phßng Gd & §t Thanh oai
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
( Đề gồm 01trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
Môn : Toán
Năm học : 2015-2016
Thời gian 150 phút
( không kể thời gian giao đề)
Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:
2
5 x
1
x 1
A 1 (
):
1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 2 2 +
Bài 2: (4đ)
1 1 1
a) Cho ba số dương x, y , z thoả mãn 1. Chứng minh rằng:
x y z
3
3
3 2
2
x yz y zx z xy � xyz x y z .
b)Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 n 6 là số chính phương
Bài 3 : (4đ)
a , Giải phương trình :
3x 2 4 x 10 2 14 x 2 7 .
b, Tìm nghiệm của phương trình:
x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0
. Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một
điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với
đường tròn (B,C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA= 2R. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC
nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5 ( 1.0 đ):T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn dư¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b - 1
----------------Hết---------------( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
.
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
CÂU
HƯỚNG dÉn chÊm thi häc sinh giái líp9
N¨m häc 2015 - 2016
M«n thi : To¸n
Ý
1a)
(2đ).
a/(2đ)Cho biểu thức
� 2
5 x
1 �
x 1
:
�
ĐK: x
�
1 2 x 4 x 1 1 2 x �4 x 4 x 1
�
1
�0; x � ; x �1
4
�
�
2
5 x
1 �
x 1
�
:
A= 1- �
2
2 x 1 2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 � 2 x 1
�
�
A= 1- �
�
Bài 1
(5đ)
ĐIỂM
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
4 x 2 5 x 2 x 1 (2 x 1) 2
.
A=1(2 x 1)(2 x 1)
x 1
A=11b)
(1đ)
x 1 2 x 1
2 x 1
2
.
1
2 x 1 x 1
2 x 1 1 2 x
2
�Z � 1 2 x �Ư(2)
1 2 x
Do x �0; x �1; x �Z � x 0
Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên.
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
2.(2đ) Đặt a= 3 2 2 , b= 3 2 2
Ta có
x= a+b x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x x3- 3x = 6
Suy ra B = 2006
3
Bài 2
(4đ)
0,5
0,5
0,75
Ta có :
b/(2đ) Tìm x �Z để A nguyên.
A �Z �
a)(2đ)
0,25
0,5
0,5
0,5
3
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a bc b ca c ab �1 ab bc ca ,
1
1
1
với a , b , c , a b c 1.
x
y
z
Tacó : a bc a(a b c) bc
0,5
0,25
0,25
0,5
0,75
0,75
a 2 a (b c ) bc � a 2 2a bc bc a bc .
Tương tự: b ca �b ca ; c ab �c ab .
Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x y z 3.
0,5
b)2đ
A n 2 n 6 là số chính phương nên A có dạng
A n 2 n 6 k 2 (k �N * )
0,5
� 4n 2 4n 24 4k 2 � (2k ) 2 (2n 1) 2 23
2k 2n 1 23
�
� (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 � �
�2k 2n 1 1
0,5
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Bài 3
(4đ)
a)(2đ)
2k 2n 1 23
k 6
�
�
��
��
�2k 2n 1 1
�n 5
0,5
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0,5
a) Giải pt sau: 3x 2 4 x 10 2 14 x 2 7
14 x 2 ��
7 0�۳�
2 x2 1 0
1
2
x2
ĐKXĐ:
�
2
�x �
2
�
�
2
x �
�
�
2
2
26
Vì 3x 2 4 x 10 3( x ) 2
0
3
3
0,25
0,25
0,75
Ta có: (1) � 3x 2 4 x 10 2 7 2 x 2 1 0
� x 2 4 x 4 2 x 2 1 2 2 x 2 1. 7 7 0
� x 2
2
2x 1 7
2
2
0
�x 2
x
2
0
�
�
�
�� 2
� ��x 2 � x 2
� 2x 1 7 0
��
x 2
��
(TMĐK)
Vậy PT có nghiệm là: x = -2
b)(2đ) b)
BiÕn ®æi phư¬ng tr×nh
x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=0
(y+4)(y-1) =-(x+y)2 0
- 4 y 1 v× y thuéc Z nªn y
4; 3; 2; 1;0;1
§S s¸u cÆp (x;y) tháa m·n phư¬ng tr×nh lµ
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
0,75
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(5đ)
Vẽ
hình
(0,25)
d
M
B
H
O
K
A
0,25
C
a.
HOK
AOM
OA.OK OH.OM
a)(2đ)
2
vBOM có OB = OH. OM
... OK
R2
(Không
OA
đổi)
K là điểm cố định.
0,5
0,5
0,5
0,5
b.
H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định.
b)(1đ)
1đ
c.
c)
(1,75)
1
S OBMC 2S OBM OM . BH OM . BC
2
Smin OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất
M A, BC OK H K M A
S min ...R 2 3
Bài 5
(1đ)
0,5
0,5
0,5
0,25
Bµi 5: (1®)
x 2 2Mxy 2 � y( x 2 2) Mxy 2 � x( xy 2) 2( x y) Mxy 2
� 2( x y )Mxy 2
§Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k �Z k=1
0,25
� 2 x 2 y xy 2 � ( x 2)( y 2) 2
NêuT×m được x=4 ; y=3
Nếếu k �2 � 2( x y ) �2( xy 2) � x y �xy 2 � ( x 1)( y 1) 1 �0 v«
lÝ (lo¹i)
VËy x=4. y=3
0,5
0,25
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )
- Xem thêm -
.DOC 
5 
519 
64 
