I HÅC QUÈC GIA H NËI
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
KHOA TON - CÌ - TIN HÅC
Nguy¹n Hçng Sìn
Copula v ùng döng trong t i ch½nh
LUN VN THC S KHOA HÅC
Chuy¶n ng nh: Lþ thuy¸t X¡c su§t v Thèng k¶ to¡n håc
M¢ sè : 60 46 15
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Tr¦n Trång Nguy¶n
H Nëi - 2011
Möc löc
1 Ki¸n thùc chu©n bà
1.1
1.2
1.3
Copula cho ph¥n phèi nhi·u chi·u v sü phö thuëc . .
1.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Giîi thi»u v· copula . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Mët v i ành ngh¾a v t½nh ch§t cõa copula . . .
1.1.4 C¡c h m ph¥n phèi çng thíi Fr²chet-Hoeffding
1.1.5 Copula v bi¸n ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . .
C¡c kh¡i ni»m sü phö thuëc . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 T÷ìng quan tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 ë o sü t÷ìng th½ch . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 ë o sü phö thuëc . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Nhúng kh¡i ni»m phö thuëc kh¡c . . . . . . . .
Sì l÷ñc v· c¡c h m copula . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Ph¥n phèi elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Copula li¶n quan ¸n ph¥n phèi elliptic . . . . .
1.3.3 Copula Archimedean . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Gi¡ trà cüc trà c¡c copula . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 C¡c k¸t luªn thèng k¶ v· copula
2.1
2.2
2.3
Kÿ thuªt mæ phäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×îc l÷ñng khæng tham sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Copula thüc nghi»m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ph²p çng nh§t cõa copula Archimedean . . . . . . . . . .
×îc l÷ñng tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 ×îc l÷ñng hñp lþ cüc ¤i (Maximum likelihood estimation:
2.3.2 Ph÷ìng ph¡p moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ùng döng copula trong o l÷íng rõi ro t i ch½nh
3.1
3.2
Tên th§t têng hñp v ph¥n t½ch gi¡ trà rõi ro .
3.1.1 Tr÷íng hñp ríi r¤c . . . . . . . . . . .
3.1.2 Tr÷íng hñp li¶n töc . . . . . . . . . . .
Gi¡ trà cüc trà nhi·u chi·u v rõi ro thà tr÷íng
3.2.1 Lþ thuy¸t gi¡ trà cüc trà . . . . . . . .
3.2.2 C¡c ph÷ìng ph¡p ÷îc l÷ñng . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
ML)
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
7
10
12
12
12
16
17
20
20
21
25
26
28
28
29
29
31
31
31
35
37
37
37
38
43
43
48
3.3
3.2.3 Ùng döng vîi dú li»u LME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T¦n sè t÷ìng quan v t½nh to¡n rõi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T i li»u tham kh£o
2
50
55
59
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
1.1
Copula cho ph¥n phèi nhi·u chi·u v sü phö
thuëc
1.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
1.1.1.1 ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n
Mët ¤i l÷ñng (hay mët bi¸n) nhªn c¡c gi¡ trà cõa nâ vîi x¡c su§t t÷ìng ùng n o
§y gåi l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hay bi¸n ng¨u nhi¶n.
Chóng ta th÷íng kþ hi»u c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n bði c¡c chú in hoa X, Y, Z, . . . ho°c
ξ, η, ζ, . . .. C¡c gi¡ trà m bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn th÷íng vi¸t b¬ng chú in th÷íng:
x, y, z, . . .
1.1.1.2 H m ph¥n phèi
Cho bi¸n ng¨u nhi¶n ξ , ta x¡c ành h m ph¥n phèi cõa ξ nh÷ sau:
Fξ (x) = P {ξ < x}.
(1.1)
Trong ành ngh¾a tr¶n x l bi¸n cõa h m F , x nhªn gi¡ trà thüc, x thuëc (−∞, +∞).
T¤i mët iºm x b§t ký h m F (x) ch½nh l x¡c su§t º bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà
nhä hìn x ho°c º bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà b¶n tr¡i x.
Ch¿ sè cõa h m Fξ (x) º ch¿ h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n ξ . Tr÷íng hñp
khæng c¦n thi¸t câ thº bä qua khæng c¦n vi¸t ch¿ sè â.
1.1.1.3 Ph¥n phèi çng thíi
Gi£ sû ξ = (ξ1 , ξ2, . . . , ξn ) trong â ξi , i = 1, 2, . . . , n l c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n mët
chi·u, ξ ÷ñc gåi l v²c tì ng¨u nhi¶n n chi·u. H m ph¥n phèi cõa v²ctì ng¨u nhi¶n
ξ ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
Fξ (x1 , x2 , . . . , xn ) = P {ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , . . . , ξn < xn }, xi ∈ R, i = 1, . . . , n .
1
N¸u c¡c th nh ph¦n ξi , i = 1, . . . , n cõa v²ctì ng¨u nhi¶n ëc lªp vîi nhau th¼:
Fξ (x1 , x2 , . . . , xn ) = P {ξ1 < x1 }.P {ξ2 < x2 } . . . P {ξn < xn }
= Fξ1 (x1 )Fξ2 (x2 ) . . . Fξn (xn ).
Trong tr÷íng hñp n y, n¸u ξi câ h m mªt ë th¼:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
∂ n F (x1 , x2 , . . . xn )
= fξ1 (x1 ).fξ2 (x2 ) . . . fξn (xn )
∂x1 ∂x2 . . . ∂xn
trong â f, fξi l kþ hi»u h m mªt ë cõa v²ctì ξ v th nh ph¦n ξi .
1.1.1.4 Ph¥n phèi thüc nghi»m
Gi£ sû ta câ m¨u ng¨u nhi¶n (x1 , x2 , . . . , xn ). Xu§t ph¡t tø n gi¡ trà cö thº m
bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn ta x¥y düng h m sè.
Fn (x) =
f {xi < x}
n
trong â f {xi < x} l sè c¡c gi¡ trà m¨u xi m nhä hìn x. Khi x thay êi, ta nhªn
÷ñc h m Fn (x) theo bi¸n sè thüc x. H m sè n y ÷ñc gåi l h m ph¥n phèi thüc
nghi»m.
Xu§t ph¡t tø c¡c m¨u cö thº kh¡c nhau ta nhªn ÷ñc c¡c h m ph¥n phèi thüc
nghi»m kh¡c nhau. ç thà cõa chóng ·u l c¡c ÷íng bªc thang. C¡c ÷íng bªc
thang kh¡c nhau ·u câ chung mët t½nh ch§t l : Khi cï m¨u t«ng væ h¤n c¡c h m
ph¥n phèi thüc nghi»m ti¸n ¸n h m ph¥n phèi lþ thuy¸t c¦n t¼m.
1.1.2 Giîi thi»u v· copula
ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû S , . . . , S
l c¡c tªp con khæng réng cõa R, ð ¥y R
÷ñc kþ hi»u l ÷íng th¯ng thüc mð rëng [−∞, +∞]. Gi£ sû H l mët h m thüc
vîi n bi¸n tr¶n mi·n x¡c ành DomH = S1 × · · · × Sn v cho a ≤ b (trong â
a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) v ak ≤ bk vîi måi k = 1, n), gi£ sû B = [a, b] =
[a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] l mët n-hëp câ c¡c ¿nh trong DomH . Ta ành ngh¾a thº
t½ch-H cõa B l :
X
VH (B) =
sgn(c)H(c)
1
n
trong â c ch¤y tr¶n c¡c ¿nh cõa B, v sgn(c) l d÷ìng n¸u trong c¡c tåa ë cõa nâ
câ mët sè ch®n c¡c ck = ak vîi måi k , v l ¥m trong tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i.
Nâi c¡ch kh¡c, thº t½ch-H cõa mët n-hëp B = [a, b] l :
VH (B) = ∆ba H(t) = ∆bann . . . ∆ba11 H(t)
trong â
∆bakk H(t) = H(t1 , . . . , tk−1, bk , tk+1 , . . . , tn ) − H(t1 , . . . , tk−1 , ak , tk+1, . . . , tn ).
2
Ch¯ng h¤n, n¸u H(x1 , . . . , xn ) = P (X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ) l h m ph¥n phèi x¡c
su§t çng thíi cõa mët bë n bi¸n ng¨u nhi¶n X1 , . . . , Xn th¼ ta câ:
VH (B) = P (a1 ≤ X1 ≤ b1 , . . . , an ≤ Xn ≤ bn ).
ành ngh¾a 1.1.2. H m thüc H cõa n bi¸n ÷ñc gåi l n-t«ng n¸u V
≥ 0 cho
måi n-hëp B câ c¡c ¿nh n¬m trong mi·n x¡c ành DomH hay câ thº nâi thº t½ch
cõa nâ tr¶n hëp b§t ký l khæng ¥m.
H (B)
Gi£ sû mi·n x¡c ành cõa mët h m thüc H vîi n bi¸n x¡c ành bði DomH =
S1 × · · · × Sn , ð â méi Sk câ mët ph¦n tû nhä nh§t ak . Chóng ta nâi r¬ng H câ
¡y (ground) n¸u H(t) = 0 vîi måi t trong DomH sao cho tk = ak t¤i sè k b²
nh§t. N¸u méi Sk kh¡c réng v câ ph¦n tû lîn nh§t bk , th¼ H câ ph¥n phèi bi¶n
duy¶n v ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët chi·u cõa H l h m Hk vîi DomHk = Sk v vîi
Hk (x) = H(b1 , . . . , bk−1 , x, bk+1 , . . . , bn ) vîi x ∈ Sk , ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët-chi·u
gåi l ph¥n phèi bi¶n duy¶n.
ành lþ 1.1.1.
Gi£ sû S1 , . . . , Sk l c¡c tªp kh¡c réng cõa R, v gi£ sû h m H câ
¡y n-t«ng vîi mi·n x¡c ành S1 × · · · × Sn . Th¼ H l t«ng theo méi èi sè, tùc l n¸u
(t1 , . . . , tk−1 , x, tk+1 , . . . , tn ) v (t1 , . . . , tk−1, y, tk+1, . . . , tn ) n¬m trong mi·n x¡c ành
DomH v x ≤ y , th¼ H(t1 , . . . , tk−1 , x, tk+1 , . . . , tn ) ≤ H(t1 , . . . , tk−1 , y, tk+1, . . . , tn ).
ành lþ 1.1.2. Gi£ sû S , . . . , S
1
k l c¡c tªp kh¡c réng cõa R, v gi£ sû h m H câ
¡y n-t«ng vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n v mi·n x¡c ành S1 × · · · × Sn . Khi â, n¸u b§t
ký iºm x = (x1 , . . . , xn ) v y = (y1 , . . . , yn ) trong S1 × . . . × Sn th¼:
|H(x) − H(y)| ≤
n
X
k=1
|Hk (xk ) − Hk (yk )|.
ành ngh¾a 1.1.3. Mët h m ph¥n phèi n-chi·u l mët h m H vîi mi·n x¡c ành
n
R sao cho H câ ¡y, n-t«ng v H(+∞, . . . , +∞) = 1.
Tø ành lþ 1.1.1 v ành ngh¾a 1.1.3 th¼ bi¶n duy¶n cõa mët h m ph¥n phèi n-chi·u
l mët h m ph¥n phèi, m chóng ta kþ hi»u F1 , . . . , Fn .
1.1.3 Mët v i ành ngh¾a v t½nh ch§t cõa copula
C¡c copula N chi·u l c¡c h m N bi¸n tø [0, 1]N v o [0, 1], v h m copula l mët
h m ph¥n phèi nhi·u chi·u (multivariate distribution function) x¡c ành tr¶n h¼nh
lªp ph÷ìng ìn và IN = [0, 1]N , nâ thº hi»n sü phö thuëc v o nhau cõa mët bë N
bi¸n ng¨u nhi¶n. C¡c copula l c¡c h m °c bi»t vîi nhi·u t½nh ch§t thó và, v khi
ta bi¸t copula th¼ công câ thº t½nh to¡n ÷ñc sü phö thuëc cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n
tr¶n hi»p ph÷ìng sai (covariance) v sü t÷ìng quan (correlation).
ành ngh¾a 1.1.4.
(Nelsen (1998), trang 39) Mët Copula N -chi·u l mët h m C
vîi nhúng t½nh ch§t sau:
1. Mi·n x¡c ành (domain) cõa h m C : DomC = IN = [0, 1]N ;
3
2. H m C câ ¡y (ground) v h m N -t«ng;
3. H m C câ c¡c bi¶n duy¶n Cn , thäa m¢n Cn (u) = C(1, . . . , 1, u, 1, . . . , 1) =
u, ∀u ∈ I.
Chó þ r¬ng b§t ký N -copula C , N ≥ 3, méi ph¥n phèi bi¶n duy¶n k -chi·u cõa C
l k -copula. Nâi mët c¡ch kh¡c, mët N -copula l mët h m C tø [0, 1]N v o [0, 1] vîi
nhúng t½nh ch§t sau:
1. Méi u ∈ [0, 1]N , C(u) = 0 n¸u mët tåa ë nhä nh§t cõa u l 0 v C(u) = uk
n¸u t§t c£ c¡c tåa ë cõa u b¬ng 1 trø ra uk .
2. Méi a v b trong [0, 1]N sao cho ai ≤ bi vîi måi i, VC ([a, b]) ≥ 0.
Mët copula t÷ìng ùng công l mët h m vîi nhúng t½nh ch§t ri¶ng. Trong tr÷íng hñp
ri¶ng, do t½nh ch§t 2, v 3, ImC = I, v C công l ph¥n phèi ·u nhi·u chi·u. N¸u
F1 , . . . , FN l c¡c h m ph¥n phèi mët chi·u th¼ C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , FN (xN )) l
h m ph¥n phèi nhi·u chi·u vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n F1 , . . . , FN , bði v¼ un = Fn (xn )
l mët bi¸n ng¨u nhi¶n vîi ph¥n phèi ·u. H m copula l mët cæng cö th½ch hñp º
x¥y düng ph¥n phèi nhi·u chi·u.
ành lþ 1.1.3. Gi£ sû C l mët N -copula. Khi â vîi méi u v v trong [0, 1]
N
|C(v) − C(u)| ≤
N
X
k=1
:
|vk − uk |
hìn núa C l li¶n töc ·u tr¶n [0, 1]N .
ành lþ 1.1.4.
( ành lþ Sklar [1959]) Cho F l mët h m ph¥n phèi N -chi·u vîi ph¥n
phèi bi¶n duy¶n li¶n töc F1 , . . . , FN . Khi â F câ mët biºu di¹n copula duy nh§t:
F (x1 , . . . , xn , . . . , xN ) = C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , FN (xN )).
(1.2)
Þ t÷ðng cõa ành lþ Sklar l èi vîi mët v²ctì ng¨u nhi¶n N -chi·u, th¼ ph¦n phö
thuëc giúa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n trong â ÷ñc x¡c ành bði copula v câ thº ÷ñc
t¡ch ríi nâ ra khäi ph¦n c¡c ph¥n phèi bi¶n duy¶n (hai ph¦n n y k¸t hñp vîi nhau
th¼ cho ph¥n phèi chung N -chi·u).
Do vªy ành lþ Sklar r§t l quan trång, bði v¼ nâ cung c§p c¡ch ph¥n t½ch c§u tróc
phö thuëc cõa ph¥n phèi nhi·u chi·u m khæng nghi¶n cùu ph¥n phèi bi¶n duy¶n.
Gi£ sû F l h m ph¥n phèi mët chi·u, chóng ta ành ngh¾a h m ng÷ñc cõa F l
F −1 (t) = inf{x ∈ R|F (x) ≥ t} vîi t ∈ [0, 1], quy ÷îc inf ∅ = −∞.
ành lþ 1.1.5. Gi£ sû H l h m ph¥n phèi n-chi·u vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n li¶n
töc F1 , . . . , Fn v copula C , (ð ¥y C thäa m¢n i·u ki»n (1.2) ). Khi â b§t ký u
trong [0, 1]n
C(u1 , . . . , un ) = H(F1−1 (u1 ), . . . , Fn−1 (un )).
4
V½ dö 1.1.1. Chóng ta x²t h m ph¥n phèi Gumbel logistic hai chi·u F (x , x ) = (1+
1
2
2
e−x1 +e−x2 )−1
. Chóng ta câ thº th§y
R , ÷ñc x¡c ành tr¶n R−x
R r¬ng ph¥n phèi bi¶n duy¶n
l F1 (x1 ) = R F (x1 , x2 )dx2 = (1+e 1 )−1 v F2 (x2 ) = R F (x1 , x2 )dx1 = (1+e−x2 )−1 .
H m copula t÷ìng ùng:
C(u1 , u2 ) = F (F1−1 (u1), F2−1 (u2 )) =
u1 u2
.
u1 + u2 − u1 u2
(1.3)
Tuy nhi¶n, khæng ph£i lóc n o ta công luæn d¹ d ng º nhªn ra mët copula. Thüc
vªy, nhi·u b i to¡n t i ch½nh, khæng sû döng cho ph¥n phèi nhi·u chi·u nh÷ng bao
gçm c¡c k¸t luªn mët ph¥n phèi th½ch hñp º mæ t£ mët sü vi»c, ch¯ng h¤n li¶n h»
giúa lñi su§t cõa c¡c t i s£n kh¡c nhau. Trong nhi·u ùng döng, ph¥n phèi ÷ñc gi£
ành l ph¥n phèi gauss nhi·u chi·u ho°c mët ph¥n phèi loga-chu©n º d¹ t½nh to¡n,
ngay c£ n¸u gi£ ành gauss th÷íng khæng th½ch hñp. Trong tr÷íng hñp â ng÷íi ta
dòng copula l mët cæng cö. Mæ h¼nh b i to¡n câ thº ÷ñc chia th nh hai b÷îc:
*B÷îc thù nh§t: çng nh§t cõa c¡c ph¥n phèi bi¶n duy¶n (marginal distribution)
*B÷îc thù hai: Sû döng nhúng ành ngh¾a th½ch hñp cõa copula º biºu di¹n c§u
tróc sü phö thuëc trong cæng thùc.
º minh håa iºm n y, chóng ta x²t v½ dö cõa thà tr÷íng trao êi kim lo¤i London
(dú li»u l§y tr¶n web site http://www.Ime.co.uk).
V½ dö 1.1.2. Chóng ta sû döng dú li»u cõa thà tr÷íng trao êi kim lo¤i London:
LME (London Metal Exchange) v chóng ta x²t gi¡ hi»n câ cõa h ng hâa hñp kim
nhæm (Al); çng (Cu); ni-ken (Ni); ch¼ (Pb) v gi¡ cõa hñp kim nhæm 15 th¡ng tr÷îc
(Al - 15), v o th¡ng 1 n«m 1988. Chóng ta gi£ thi¸t r¬ng ph¥n phèi lñi su§t cõa c¡c
t i s£n l ph¥n phèi gauss. Trong tr÷íng hñp n y, ma trªn t÷ìng quan ÷ñc cho bði
b£ng 1.1.
Al
Al-15
Cu
Ni
Pb
Al
1.00
Al-15 Cu
0.82
0.44
1.00
0.39
1.00
Ni
0.36
0.34
0.37
1.00
Pb
0.33
0.30
0.31
0.31
1.00
B£ng 1.1: Ma trªn t÷ìng quan ρ cõa dú li»u LME
H¼nh 1.1 biºu di¹n biºu ç t¡n x¤ lñi su§t cõa Al v Cu, t÷ìng ùng cho gauss 2-chi·u,
covariance ellipse èi vîi ë tin cªy 95% v 99% v x¡c su§t h m mªt ë.
H¼nh 1.2 chùa h¼nh chi¸u cõa si¶u ellipse 5-chi·u cho lñi su§t t i s£n. Vîi gi£ thi¸t
ph¥n phèi gauss nâi chung l cùng nhc bði v¼ bi¸n cè th÷íng hi¸m khi x£y ra ð si¶u
ph¯ng (ta th§y ph½a ngo i ÷íng covariance ellipse cho mùc tin cªy 99.99% tr¶n h m
mªt ë cõa h¼nh 1.1).
H¼nh 1.3 l mët biºu ç QQ cõa lþ thuy¸t mùc tin cªy tr¡i ng÷ñc mùc tin cªy theo
thüc nghi»m cõa sai sè ellipse. i·u â cho th§y gi£ thi¸t gauss ch÷a õ.
Trong nhúng ph¦n sau, ta s³ tr¼nh b y sü phö thuëc v mèi li¶n h» vîi copula.
5
B¥y gií, ta tr¼nh b y mët v i t½nh ch§t c¦n thi¸t º hiºu v· copula nh÷ th¸ n o v
t¤i sao chóng l mët cæng cö hay ¸n nh÷ vªy. Mët trong nhúng t½nh ch§t cì b£n l
sp x¸p thù tü phò hñp.
H¼nh 1.1: Gi£ thi¸t gauss (I)
H¼nh 1.2: Gi£ thi¸t gauss (II)
6
H¼nh 1.3: QQ ç thà cõa covariance ellipse
1.1.4 C¡c h m ph¥n phèi çng thíi Fr²chet-Hoeffding
Chóng ta x²t c¡c h m C − , C + v C ⊥ x¡c ành tr¶n [0, 1]N nh÷ sau:
N
X
un − N + 1, 0)
(1.4)
C (u1 , . . . , un , . . . , uN ) = min(u1 , . . . , un , . . . , uN )
(1.5)
C − (u1 , . . . , un , . . . , uN ) = max(
n=1
+
⊥
C (u1 , . . . , un , . . . , uN ) =
N
Y
un
(1.6)
n=1
H m ph¥n phèi çng thíi C − , C + gåi l c¡c cªn d÷îi v cªn tr¶n Fr²chet-Hoeffding,
cán h m C ⊥ gåi l t½ch copula. H m C + , C ⊥ l N - copula vîi måi N ≥ 2, trong khi
h m C − khæng l copula cho b§t ký N ≥ 3, x²t v½ dö:
V½ dö 1.1.3. X²t n-h¼nh lªp ph÷ìng [1/2, 1]
n
⊂ [0, 1]n :
VC − ([1/2, 1]n ) = max(1 + · · · + 1 − n + 1, 0)
− n max(1/2 + 1 + · · · + 1 − n + 1, 0)
n
max(1/2 + 1/2 + 1 + · · · + 1 − n + 1, 0)
+
2
···
+ max(1/2 + · · · + 1/2 − n + 1, 0)
= 1 − n/2 + 0 + · · · + 0.
7
Do â C − khæng l copula cho n ≥ 3
ành ngh¾a 1.1.5. Chóng ta nâi r¬ng copula C
l nhä hìn copula C2 (ho°c C2 l
lîn hìn C1 ) v vi¸t l C1 ≺ C2 (ho°c C2 C1 ) n¸u:
1
∀(u1 , . . . , un , . . . , uN ) ∈ IN , C1 (u1 , . . . , un , . . . , uN ) ≤ C2 (u1 , . . . , Cn , . . . , CN ) (1.7)
hay
∀(u1 , . . . , un , . . . , uN ) ∈ IN , C 1 (u1 , . . . , un , . . . , uN ) ≤ C 2 (u1 , . . . , un , . . . , uN )
Ch¯ng h¤n tr÷íng hñp hai chi·u:
C1 (u1 , u2 ) ≤ C2 (u1 , u2) ⇔ 1 − u1 − u2 + C1 (u1 , u2) ≤ 1 − u1 − u2 + C2 (u1 , u2)
⇔ C1 (u1 , u2 ) ≤ C(u1 , u2)
Chóng ta kþ hi»u C l h m sèng sât çng thíi (joint survival function) cho n bi¸n
ng¨u nhi¶n vîi h m ph¥n phèi çng thíi C , tùc l n¸u (U1 , . . . , Un )T câ h m ph¥n
phèi C , th¼ C(u1 , . . . , un ) = P{U1 > u1 , . . . , Un > un }.
ành lþ 1.1.6. Vîi b§t ký n-copula C cè ành n o th¼ méi u ∈ [0, 1]
n
C − (u) ≤ C(u) ≤ C + (u)
ành lþ 1.1.7. B§t ký n ≥ 3 v måi u ∈ [0, 1]
u) th¼:
n
·u cho bði
(1.8)
câ n-copula C (m phö thuëc tr¶n
C(u) = C − (u)
Kh¡i ni»m sp thù tü phò hñp câ thº minh håa vîi v½ dö cõa copula gauss 2-chi·u
C(u1 , u2, ρ) = Φρ (Φ−1 (u1 ); Φ−1 (u2 )) (Joe [1997], trang 140). Cho hå n y, chóng ta câ:
C − = Cρ=−1 ≺ Cρ<0 ≺ Cρ=0 = C ⊥ ≺ Cρ>0 ≺ Cρ=1 = C +
(1.9)
Chóng ta câ biºu di¹n copula n y v copula Fr²chet trong h¼nh 1.4. Mùc ÷íng cong
{(u1 , u2) ∈ I2 |C(u1 , u2) = C} câ thº ÷ñc hiºu l kh¡i ni»m sp thù tü phò hñp. X²t
cæng thùc (1.8) mùc ÷íng cong n¬m trong ph¦n giîi h¤n bði cªn tr¶n v cªn d÷îi
Fr²chet.
Trong h¼nh 1.5, chóng ta x²t copula Frank, copula n y ành ngh¾a bði:
C(u1 , u2) =
(exp(αu1) − 1)(exp(αu2) − 1)
1
ln 1 +
α
(exp(α) − 1)
(1.10)
vîi α ∈ R? . Chóng ta th§y rã r ng copula Frank câ thù tü d÷ìng bði tham sè α.
Tuy nhi¶n, công chó þ r¬ng t½ch copula Fr²chet d÷îi, Fr²chet tr¶n l tr÷íng hñp °c
bi»t cõa copula Frank khi α ti¸n ¸n −∞, 0 v +∞. T½nh ch§t n y câ li¶n quan ¸n
8
nhau, bði v¼ trong tr÷íng hñp n y hå c¡c tham sè câ thº phõ to n bë mi·n gi¡ trà
phö thuëc.
H¼nh 1.4: T½ch copula Fr²chet d÷îi v Fr²chet tr¶n
H¼nh 1.5: Mùc ÷íng cong cõa copula Frank
9
Chó þ 1.1.1. H m mªt ë c li¶n k¸t vîi copula ÷ñc x¡c ành bði :
c(u1 , . . . , un , . . . , uN ) =
∂C(u1 , . . . , un , . . . , uN )
.
∂u1 . . . ∂un . . . ∂uN
º ¤t ÷ñc h m mªt ë f cõa ph¥n phèi N -chi·u F , chóng ta sû döng h» thùc sau:
f (x1 , . . . , xn , . . . , xN ) = c(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , Fn (xN ))
N
Y
fn (xn )
n=1
trong â fn l h m mªt ë cõa h m ph¥n phèi bi¶n duy¶n Fn .
1.1.5 Copula v bi¸n ng¨u nhi¶n
Gi£ sû X1 , . . . , Xn t÷ìng ùng l c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n vîi c¡c h m ph¥n phèi li¶n
töc F1 , . . . , Fn , v h m ph¥n phèi çng thíi H . Th¼ (X1 , . . . , Xn )T câ duy nh§t mët
copula C , ð ¥y C x¡c ành bði (1.2). Copula bi¹u di¹n ph¥n phèi cõa v²ctì ng¨u
nhi¶n (X1 , . . . , Xn )T trð th nh:
H(x1 , . . . , xn ) = P{X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn } = C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ))
Ph²p bi¸n êi Xi 7→ F (Xi ) sû döng trong biºu di¹n tr¶n th÷íng l ph²p bi¸n êi x¡c
su§t v t¤o th nh cæng cö chu©n trong ph÷ìng ph¡p mæ phäng.
Hìn núa X1 , . . . , Xn l ëc lªp n¸u v ch¿ n¸u H(x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) . . . Fn (xn )
vîi måi x1 , . . . , xn trong R.
ành lþ 1.1.8. Gi£ sû (X , . . . , X )
l mët v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi
copula C , khi â X1 , . . . , Xn l ëc lªp n¸u v ch¿ n¸u C = C ⊥ .
1
n
T
Mët t½nh ch§t µp cõa copula ch½nh l ph²p bi¸n êi ìn i»u ng°t cõa bi¸n ng¨u
nhi¶n, copula công l b§t bi¸n. N¸u h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X l li¶n
töc v α l mët h m ìn i»u ng°t m mi·n x¡c ành chùa mi·n gi¡ trà RanX (mi·n
gi¡ trà :Range), th¼ h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n α(X) công l li¶n töc.
ành lþ 1.1.9. Gi£ sû (X , . . . , X )
l mët v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi
copula C . N¸u α1 , . . . , αn t«ng ng°t tr¶n RanX1 , . . . , RanXn , th¼ (α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ))T
công câ copula C .
1
n
T
Chùng minh: Gi£ sû F1 , . . . , Fn t÷ìng ùng kþ hi»u l h m ph¥n phèi cõa X1 , . . . , Xn
v gi£ sû G1 , . . . , Gn t÷ìng ùng kþ hi»u l ph¥n phèi cõa α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ). Gi£ sû
X1 , . . . , Xn câ copula C v gi£ sû (α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ))T câ copula Cα . Tø â αk l
t«ng ng°t vîi méi k , Gk (x) = P{αk (Xk ) ≤ x} = P{Xk ≤ αk−1 (x)} = Fk (αk−1 (x)) cho
b§t ký x trong R, tø â:
Cα (G1 (x1 ), . . . , Gn (xn )) = P{α1 (X1 ) ≤ x1 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn }
= P{X1 ≤ α1−1 (x1 ), . . . , Xn ≤ αn−1 (xn )}
= C(F1 (α1−1 (x1 )), . . . , Fn (αn−1 (xn )))
= C(G1 (x1 ), . . . , Gn (xn ))
10
Tø â X1 , . . . , Xn l li¶n töc, RanG1 = . . . = RanGn = [0, 1]. Hìn núa Cα = C tr¶n
[0, 1]n .
Tø ành lþ 1.1.4, chóng ta bi¸t r¬ng h m copula C t¡ch ÷ñc mët h m ph¥n phèi
n-chi·u tø ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët chi·u. ành lþ sau chùng tä r¬ng công câ mët
h m copula Ĉ , t¡ch mët h m sèng sât (survival function) n-chi·u tø ph¥n phèi bi¶n
duy¶n mët chi·u. Hìn núa h m n y công chùng tä l mët h m copula.
ành lþ 1.1.10. Gi£ sû (X , . . . , X )
l mët v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi
copula CX1 ,...,Xn . Gi£ sû α1 , . . . , αn t÷ìng ùng ìn i»u ng°t tr¶n RanX1 , . . . , RanXn ,
v gi£ sû (α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ))T câ copula Cα1 (X1 ),...,αn (Xn ) . Hìn núa αk gi£m ng°t cho
mët v i k (khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû k = 1). Khi â:
1
n
T
Cα1 (X1 ),...,αn (Xn ) (u1 , u2, . . . , un ) = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (u2 , . . . , un )
− CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (1 − u1 , u2 , . . . , un ).
Chùng minh: Gi£ sû X1 , . . . , Xn t÷ìng ùng câ h m ph¥n phèi F1 , . . . , Fn v gi£
sû α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ) t÷ìng ùng câ h m ph¥n phèi G1 , . . . , Gn . Th¼:
Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G1 (X1 ), . . . , Gn (Xn ))
= P{α1 (X1 ) ≤ x1 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn }
= P{X1 > α1−1 (x1 ), α2 (X2 ) ≤ x2 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn }
= P{α2 (X2 ) ≤ x2 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn }
− P{X1 ≤ α1−1 (x1 ), α2 (X2 ) ≤ x2 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn }
= Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G2 (X2 ), . . . , Gn (Xn ))
− CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (F1 (α1−1 (x1 )), G2 (x2 ), . . . , Gn (xn ))
= Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G2 (X2 ), . . . , Gn (Xn ))
− CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (1 − G1 (x1 ), G2 (x2 ), . . . , Gn (xn )).
Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh.
V½ dö 1.1.4. X²t tr÷íng hñp hai chi·u:
Gi£ sû α1 gi£m nghi¶m ng°t tr¶n RanX1 , α2 t«ng nghi¶m ng°t tr¶n RanX2 .Th¼
Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) (u1 , u2) = u2 − CX1 ,α2 (X2 ) (1 − u1 , u2 )
= u2 − CX1 ,X2 (1 − u1 , u2 ).
Gi£ sû α1 v α2 gi£m nghi¶m ng°t. Th¼:
Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) (u1 , u2 ) = u2 − CX1 ,α2 (X2 ) (1 − u1 , u2)
= u2 − (1 − u1 − CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 ))
= u1 + u2 − 1 + CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 ).
Ð ¥y (X1 , X2 )T l v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula Ĉ t¡ch tø h m sèng
sât Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) tùc l :
H(x1 , x2 ) = P{X1 > x1 , X2 > x2 } = Ĉ(F 1 (x1 ), F 2 (x2 )).
11
Chó þ r¬ng h m sèng sât çng thíi vîi n bi¸n ng¨u nhi¶n U(0, 1) câ h m ph¥n
phèi çng thíi l copula C th¼ C(u1 , . . . , un ) = Ĉ(1 − u1 , . . . , 1 − un ).
1.2
C¡c kh¡i ni»m sü phö thuëc
Copula cung c§p mët c¡ch thùc nghi¶n cùu tü nhi¶n ë o sü phö thuëc giúa c¡c
bi¸n ng¨u nhi¶n. Chóng ta công bi¸t mët h» qu£ cõa copula câ t½nh ch§t b§t bi¸n
d÷îi qua ph²p bi¸n êi t«ng nghi¶m ng°t cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n. T÷ìng quan tuy¸n
t½nh th÷íng xuy¶n ÷ñc ¡p döng nh÷ ë o phö thuëc. Tuy nhi¶n, t÷ìng quan tuy¸n
t½nh khæng l copula-cì sð ë o sü phö thuëc. Tr÷îc h¸t chóng ta nhc l¤i t½nh ch§t
cì b£n cõa t÷ìng quan tuy¸n t½nh v mët v i ë o sü phö thuëc cì sð cõa copula.
1.2.1 T÷ìng quan tuy¸n t½nh
ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû (X, Y )
l mët v²ctì cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n vîi c¡c
ph÷ìng sai húu h¤n kh¡c khæng. H» sè t÷ìng quan tuy¸n t½nh cho (X, Y )T l :
T
ρ(X, Y ) = p
Cov(X, Y )
p
V ar(X) V ar(Y )
ð ¥y Cov(X, Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) l hi»p ph÷ìng sai (covariance) cõa (X, Y )T ,
v V ar(X) v V ar(Y ) l c¡c ph÷ìng sai cõa X v Y.
T÷ìng quan tuy¸n t½nh l mët ë o sü phö thuëc tuy¸n t½nh. Trong tr÷íng hñp
cõa t÷ìng quan tuy¸n t½nh ¦y õ, tùc l Y = aX + b vîi a ∈ R\{ 0}, b ∈ R, chóng
ta câ |ρ(X, Y )| = 1. M°t kh¡c, −1 < ρ(X, Y ) < 1, t÷ìng quan tuy¸n t½nh câ t½nh
ch§t r¬ng:
ρ(αX + β, γY + δ) = sign(αγ)ρ(X, Y )
α, γ ∈ R\{ 0}, δ ∈ R. Hìn núa t÷ìng quan tuy¸n t½nh l b§t bi¸n d÷îi qua ph²p
bi¸n êi tuy¸n t½nh t«ng nghi¶m ng°t. T÷ìng quan tuy¸n t½nh d¹ d ng thao t¡c vîi
ph²p to¡n tuy¸n t½nh d÷îi. Gi£ sû A, B l c¡c ma trªn cï m × n; a, b ∈ Rm , v gi£
sû X, Y l n-v²ctì ng¨u nhi¶n. Th¼:
Cov(AX + a, BY + b) = ACov(X, Y )B T
tø ¥y vîi α ∈ R
V ar(αT X) = αT Cov(X)α
ð ¥y Cov(X) := Cov(X, X). Hìn núa ph÷ìng sai cõa tê hñp tuy¸n t½nh l ho n to n
x¡c ành bði c°p hi»p ph÷ìng sai (covariance) giúa c¡c th nh ph¦n, mët lþ thuy¸t
quan trång trong danh möc ¦u t÷.
1.2.2 ë o sü t÷ìng th½ch
Gi£ sû (x, y)T v (x̃, ỹ)T l hai quan s¡t tø mët v²ctì ng¨u nhi¶n li¶n töc (X, Y )T .
Khi â (x, y)T v (x̃, ỹ)T l t÷ìng th½ch n¸u (x − x̃)(y − ỹ) > 0, v khæng t÷ìng th½ch
n¸u (x − x̃)(y − ỹ) < 0.
12
ành lþ 1.2.1. Gi£ sû (X, Y )
v (X̃, Ỹ )T l c¡c v²c tì ëc lªp cõa c¡c bi¸n ng¨u
nhi¶n li¶n töc vîi h m ph¥n phèi çng thíi H v H̃ vîi bi¶n duy¶n chung F (cõa
X v X̃ ) v G (cõa Y v Ỹ ). Gi£ sû C v C̃ ÷ñc kþ hi»u l copula cõa (X, Y )T v
(X̃, Ỹ )T , t÷ìng ùng, sao cho H(x, y) = C(F (x), G(y)) v H̃(x, y) = C̃(F (x), G(y)),
Q kþ hi»u l hi»u sè giúa hai x¡c su§t sü t÷ìng th½ch v sü khæng t÷ìng th½ch cõa
(X, Y )T v (X̃, Ỹ )T , tùc l :
T
Q = P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} − P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) < 0}
th¼
Q = Q(C, C̃) = 4
ZZ
[0,1]2
C̃(u, v)dC(u, v) − 1.
Chùng minh: Do c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n l li¶n töc, P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) < 0} =
1 − P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} v tø â Q = 2P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} − 1. Nh÷ng
P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} = P{X > X̃, Y > Ỹ } + P{X < X̃, Y < Ỹ }, v x¡c su§t câ
thº ÷ñc ÷îc l÷ñng b¬ng c¡ch l§y t½ch ph¥n tr¶n.Ta câ:
P{X > X̃, Y > Ỹ } = P{X̃ < X, Ỹ < Y }
ZZ
=
P{X̃ < x, Ỹ < y}dC(F (x), G(y))
2
R
ZZ
=
C̃(F (x), G(y)) d(F (x), G(y)).
R2
Sû döng ph²p bi¸n êi x¡c su§t-t½ch ph¥n: u = F (x) v v = G(y) ta ÷ñc
ZZ
P{X > X̃, Y > Ỹ } =
C̃(u, v) dC(u, v).
[0,1]2
T÷ìng tü:
P{X < X̃, Y < Ỹ } =
=
=
ZZ
2
Z ZR
2
Z ZR
{X̃ > x, Ỹ > y} dC(F (x), G(y))
{1 − F (x) − G(y) + C̃(F (x), G(y))} dC(F (x), G(y))
[0,1]2
{1 − u − v + C̃(u, v)} dC(u, v).
Nh÷ng v¼ C l h m ph¥n phèi çng thíi cõa v²ctì (U, V )T cõa bi¸n ng¨u nhi¶n câ
ph¥n phèi ·u U(0, 1), E(U) = E(V ) = 1/2, v tø â
ZZ
ZZ
1 1
C̃(u, v) dC(u, v) =
C̃(u, v) dC(u, v).
P{X < X̃, Y < Ỹ } = 1 − − +
2 2
[0,1]2
[0,1]2
Do â:
P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} = 2
ZZ
C̃(u, v) dC(u, v)
[0,1]2
v chóng ta câ k¸t luªn sau: Gi£ sû C, C̃, v Q ÷ñc x¡c ành nh÷ bði ành lþ tr¶n,
khi â:
13
1. Q l èi xùng: Q(C, C̃) = Q(C̃, C);
2. Q khæng gi£m: n¸u C ≺ C 0 , th¼ Q(C, C̃) ≤ Q(C 0 , C̃);
3. Copula câ thº ÷ñc thay th¸ bði copula sèng sât trong Q, tùc l : Q(C, C̃) =
ˆ .
Q(Ĉ, C̃)
ành ngh¾a 1.2.2. (Nelsen (1998), trang 136) Mët ë o κ li¶n k¸t giúa hai bi¸n
ng¨u nhi¶n li¶n töc X1 v X2 cõa copula C l mët ë o sü t÷ìng th½ch n¸u nâ thäa
m¢n c¡c t½nh ch§t sau:
1, κ ÷ñc ành ngh¾a cho måi c°p X1 , X2 cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc;
2, −1 = κX,−X ≤ κC ≤ κX,X = 1;
3, κX1 ,X2 = κX2 ,X1 ;
4, N¸u X1 , X2 l ëc lªp, th¼ κX1 ,X2 = κC ⊥ = 0;
5, κ−X1 ,X2 = κX2 ,−X1 = −κX1 ,X2 ;
6, N¸u C1 ≺ C2 , th¼ κC1 ≤ κC2 ;
7, N¸u { (X1,n ; X2,n )} l mët d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula Cn , v n¸u
{Cn } hëi tö theo tøng iºm tîi C , th¼ lim κCn = κC .
n→∞
Chó þ 1.2.1.
Mët t½nh ch§t quan trång kh¡c cõa κ trð th nh h m copula cõa c¡c
bi¸n ng¨u nhi¶n (X1 , ..., Xn , ..., XN ) l b§t bi¸n d÷îi, t«ng thüc sü qua ph²p ¡nh x¤
CX1 ,...,Xn ,...,XN = Ch1 (X1 ),...,hn (Xn ),...,hN (XN ) n¸u ∂x hn (x) > 0.
(1.11)
Trong sè t§t c£ ë o sü t÷ìng th½ch, ba ë o âng vai trá quan trång trong thèng
k¶ khæng câ tham bi¸n: τ cõa Kendall, ρ cõa Spearman v γ cõa Gini. T§t c£ chóng
÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng copula (Schweitzer v Wolff [1981]), v chóng ta câ:
ZZ
τ =4
C(u1 , u2)dC(u1 , u2) − 1
(1.12)
I2
ZZ
ρ = 12
u1 u2 dC(u1, u2 ) − 3
I2
ZZ
γ=2
(|u1 + u2 − 1| − |u1 − u2 |)dC(u1, u2 )
I2
(1.13)
(1.14)
Chóng ta ÷a ra mët v i h» thùc giúa ë o τ v ρ (Nelsen [1998]), nâ câ thº ÷ñc
biºu di¹n b¬ng mët mi·n bà ch°n (h¼nh 1.6). Trong h¼nh 1.7 v h¼nh 1.8 chóng ta câ
biºu ç k¸t nèi giúa c¡c ë o τ, ρ v γ cho c¡c copula kh¡c. Ch¯ng h¤n, n¸u khæng
ph¥n t½ch ÷ñc biºu thùc, ta s³ t½nh to¡n vîi cæng thùc t÷ìng ÷ìng:
ZZ
τ =1−4
(1.15)
∂u1 C(u1 , u2 )∂u2 C(u1, u2 )du1 du2
I2
ZZ
ρ = 12
C(u1, u2 )du1 du2 − 3
I2
Z
γ = 4 (C(u, u) + C(u, 1 − u) − u)du
I
14
(1.16)
(1.17)
Chóng ta chó þ r¬ng c¡c h» thùc l gièng nhau. Tuy vªy, mët v i copula khæng
H¼nh 1.6: Mi·n bà ch°n bði τ v ρ
H¼nh 1.7: Quan h» giúa τ, ρ v γ cho mët v i h m copula (I)
phõ to n bë mi·n [−1, 1]. Ch¯ng h¤n, c¡c copula Kimeldorf - Sampson, Gumbel,
15
Galambos v H
usler - Reiss phõ tr¶n mi·n [0, 1].
H¼nh 1.8: Quan h» giúa τ, ρ v γ cho mët v i h m copula (II)
1.2.3 ë o sü phö thuëc
ành ngh¾a 1.2.3. (Nelsen (1998), trang [170]) Mët ë o δ li¶n k¸t giúa hai bi¸n
ng¨u nhi¶n li¶n töc X1 v X2 cõa copula l ë o sü phö thuëc n¸u nâ thäa m¢n c¡c
t½nh ch§t sau:
1, δ ÷ñc ành ngh¾a cho måi c°p X1 , X2 cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc;
2. 0 = δC ⊥ ≤ δC ≤ δC + = 1;
3, δX1 ,X2 = δX2 ,X1 ;
4, δX1 ,X2 = δC ⊥ = 0 n¸u v ch¿ n¸u X1 v X2 ëc lªp;
5, δX1 ,X2 = δC + = 1 n¸u v ch¿ n¸u X1 v X2 l h m ìn i»u ng°t h¦u chc chn
cõa c¡c bi¸n kh¡c;
6, N¸u h1 v h2 l h m ìn i»u ng°t h¦u chc chn tr¶n ImX1 v ImX2 th¼ :
δh1 (X1 ).h2 (X2 ) = δX1 ,X2 ;
7, N¸u {(X1,n , X2,n )} l mët d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc bði copula Cn hëi tö
theo tøng iºm ¸n C , th¼ lim δCn = δC .
n→∞
Chóng ta câ hai ë o khæng th÷íng dòng m thäa m¢n c¡c t½nh ch§t tr¶n
(Schweitzer v Wolff [1981]):
ZZ
σ = 12
|C(u1, u2 ) − C ⊥ (u1 , u2)|du1 du2
(1.18)
I2
16
- Xem thêm -
.PDF 
64 
195 
131 
