Tài liệu Công thức tổng quát và giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức cơ sở 5 1.1 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Các cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn . . . . . . 6 1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Một số giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Một số phương pháp tìm CTTQ của dãy số 2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 2.2 Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác . . . . . . . . . . 23 3 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số 31 3.1 Tính giới hạn thông qua CTTQ . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số . 38 3.3 Tính giới hạn bằng phương pháp sử dụng “nguyên lý kẹp” . 46 1 3.4 Tính giới hạn của dãy số thông qua giới hạn vô cực . . . . . 50 3.5 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 2 Mở đầu Dãy số đóng một vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG tỉnh thành phố, quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học, các bài toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độ khó. Trong công tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi , chuyên đề dãy số là một trong những chuyên đề hay, được nhiều thầy cô nghiên cứu và triển khai giảng dạy. Trong nội dung của luận văn , tác giả chỉ tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính liên quan đến dãy số, đó là: + Công thức tổng quát của dãy số + Giới hạn của dãy số Trong mỗi nội dung , thông qua các bài tập từ đó hình thành các phương pháp tìm công thức tổng quát, tính giới hạn của một số dạng dãy số cơ bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài toán Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung cũng như cách trình bày trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong các thầy cô và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện. Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư: vanbang6580 @ymail.com Nội dung chính của khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở ⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ của dãy số ⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số 3 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015. Học viên Trương Văn Bằng 4 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán học Trong chương trình phổ thông, để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi số nguyên n ≥ n0 , với n0 là số nguyên cho trước ta thực hiện hai bước cơ bản sau: Bước 1. Kiểm tra P (n0 ) đúng. Bước 2. Giả thiết mệnh đề p(k) đúng với số nguyên bất kỳ n = k > n0 (Gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với n = k+1. 1.2 1.2.1 Dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 , ...un , ... Trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un ), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Định nghĩa 1.2. Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; ...; m} với m ∈ N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , ...um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. 1.2.2 Các cách cho một dãy số a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un ) với un = (−1)n . 5 3n n b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, tức là - Cho số hạng đầu hoặc một vài số hạng đầu. - Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước nó hoặc một vài số hạng đướng trước nó (gọi là hệ thức truy hồi). Ví dụ 1.2. Dãy Fibonacci là dãy số (un ) được xác định như sau: { u1 = u2 = 1 un = un−1 + un−2 ; n = 3, 4, 5, ... 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm. Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi ∗ n∈N . Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi ∗ n∈N . Định nghĩa 1.4. Dãy số bị chặn. Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un < M, ∀n ∈ N∗ . Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un > m, ∀n ∈ N∗ . Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m,M sao cho m < un < M, ∀n ∈ N∗ . (SGK lớp 11- Nhà xuất bản GD -2007) 1.3 1.3.1 Cấp số cộng – Cấp số nhân Cấp số cộng Định nghĩa 1.5. Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô hạn , trong đó kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Định lí 1.1. Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un = u1 + (n − 1)d với n > 2 Định lí 1.2. Cho một cấp số cộng (un ). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un . Khi đó ta có: n(u1 + un ) Sn = 2 6 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.6. Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Định lí 1.3. Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu là u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un = u1 .q n−1 với n > 2. Định lí 1.4. Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ̸= 1. Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un . Khi đó ta có: u1 (1 − q n ) Sn = 1−q 1.4 1.4.1 Giới hạn của dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.7. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là số L khi n → +∞ nếu với mọi số dương ε cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên no sao cho với mọi n > no thì |un − L| < ε. Ta viết lim un = L. n→∞ hay viết tắt là lim un = L. Định nghĩa 1.8. Ta nói dãy số (un ) tiến tới vô cực khi n → +∞ nếu với mọi số dương M cho trước (lớn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên no sao cho với mọi n > no thì |un | > M . Ta viết lim un = ∞. n→∞ hay viết tắt là un → ∞. Nếu với mọi n > no , un > M thì lim un = +∞. n→∞ Nếu với mọi n > no , un < −M thì lim un = −∞. n→∞ 7 1.4.2 Định lí Định lí 1.5. Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn. (Như vậy nếu một dãy số không bị chặn thì không có giới hạn). Định lí 1.6. Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì dãy số đó có giới hạn. Định lí 1.7. Cho ba dãy số (un ) , (vn ) , (wn ). Nếu ∀n ∈ N∗ ta có vn 6 un 6 wn và lim vn = lim wn = L thì lim un = L. Định lí 1.8. Nếu hai dãy số (un ) , (vn ) đều có giới hạn thì ta có lim (un ± vn ) = lim un ± lim vn lim (un .vn ) = lim un . lim vn ( ) un lim un lim = ( nếu lim vn ̸= 0) vn lim vn √ √ lim un = lim un (un > 0∀n ∈ N∗ ). Định lí 1.9. Nếu lim un = 0(un ̸= 0∀n ∈ N∗ ) thì lim Nếu lim un = ∞ thì lim 1.4.3 1 = ∞. un 1 = 0. un Một số giới hạn cơ bản Nếu un = C ta có lim C = C lim nk = +∞ nếu k > 0, lim nk = 0 nếu k < 0 lim q n = 0 nếu |q| < 1 Đối với cấp số nhân có công bội q, |q| < 1 ta có S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = u1 1−q được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 1.5 Định lí Lagrange Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a). 8 Chương 2 Một số phương pháp tìm CTTQ của dãy số 2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN Dạng 2.1. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức { u1 un+1 = aun + f (n), n = 1, 2, 3, ... (2.1) Trong đó f (n) là đa thức bậc k theo n. Phương pháp: + Ta phân tích f (n) = g(n + 1) − ag(n) với g(n) cũng là đa thức theo n. Khi đó un+1 − g(n + 1) = a (un − g(n)). Đặt vn = (un − g(n)). Ta có vn+1 = avn , do đó (vn ) là một cấp số nhân công bội a, v1 = u1 − g(1). Theo tính chất của cấp số nhân ta có vn = an−1 v1 = an−1 (u1 − g(1)). Vậy ta có un = an−1 (u1 − g(1)) + g(n). + Cách xác định g(n) .Ta thấy Nếu a = 1 thì g(n + 1) − g(n) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n), mà f (n)có bậc k nên ta chọn g(n) có bậc k+1 và có hệ số tự do bằng không. Trong hệ thức f (n) = g(n + 1) − ag(n) cho n nhận k giá trị khác nhau ta được hệ k+1 ẩn, giải hệ ta được các hệ số của g(n). Nếu a ̸= 1, thì g(n + 1) − g(n) là đa thức có bậc bằng bậc của g(n). Ta chọn g(n) có bậc k, Trong hệ thức f (n) = g(n + 1) − ag(n) cho n nhận k giá trị khác nhau ta được hệ k+1 ẩn, giải hệ ta được các hệ số của g(n). 9 Bài tập 2.1. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = 2 un+1 = 2un + 3n + 1, n = 1, 2, 3, ... Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trên. Lời giải Ta phân tích 3n + 1 = a(n{+ 1) + b − 2 (an +{b) a = −3 −b = 4 ⇒ Cho n = 1, n = 2 ta được b = −4 −a − b = 7 Ta có un+1 = 2un + 3n + 1 ⇔ un+1 + (3(n + 1) + 4) = 2 (un + (3n + 4)) Đặt vn = un + 3n + 4, ∀n, ta có v1 = u1 + 3.1 + 4 = 9, vn+1 = 2vn , ∀n. Do đó vn là một cấp số nhân có công bội bằng 2, v1 = 9. Suy ra vn = 9.2n−1 , ∀n . Vậy un = 9.2n−1 − 3n − 4, ∀n. Bài tập 2.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = 2 . un+1 = un + 2n + 1 Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy (un ) Lời giải ( ) ( ) Ta phân tích 2n + 1 = a(n + 1) + b(n + 1) − an2 + bn . { { 3a + b = 3 a=1 Cho n = 1, 2 ta được ⇒ 5a + b = 5 b=0 Khi đó un+1 −(n + 1)2 = un −n2 = ... = u1 −1 = 1 ⇒ un+1 = 1+(n + 1)2 Vậy un = 1 + n2 , ∀n. 2 Dạng 2.2. Tìm CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức { u1 un = aun−1 + b.αn , n = 2, 3, 4, ... (2.2) + Trường hợp 1: a ̸= α ta phân tích αn = kαn − akαn−1 . α Cho n một giá trị ta tìm được k = α −)a ( n Khi đó un − kbα = a un−1 − kb.αn−1 Đặt vn = un − kbαn . Ta có vn+1 = avn , do đó (vn ) là một cấp số nhân 10 công bội a, v1 = u1 − kbα. Theo tính chất của cấp số nhân ta có vn = an−1 v1 = an−1 (u1 − kbα) un = an−1 (u1 − bkα) + bk.αn . + Trường hợp 2: a = α , ta phân tích αn( = nαn − α(n − 1)αn−1 ) Suy ra un − bnαn = α un−1 − b(n − 1)αn−1 = ... = αn−1 (u1 − bα) un = b(n − 1)αn + u1 αn−1 . Bài tập 2.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = 1 un = 3un−1 + 2n , n = 2, 3, 4, ... Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số (un ) . Lời giải Ta phân tích 2n = a.2n − 3a.2n−1 Cho n = 2 ta được a = −2 n Suy ra 2n = −2.2 + 3.2.2n−1) nên ta có ( un + 2.2n = 3 un−1 + 2.2n−1 Đặt vn = un + 2.2n , ∀n, suy ra vn là cấp số nhân có công bội bằng 3 và v1 = u1 + 2.2 = 5, do đó vn = 5.3n−1 , ∀n. Vậy un = 5.3n−1 − 2n+1 . Bài tập 2.4. Tìm CTTQ của dãy số (un ) biết { u1 = −2 un = 5un−1 + 2.3n − 6.7n + 12; n = 2, 3, 4, ... Lời giải Ta phân tích { 3n = a.3n − 5a.3n−1 7n = b.7n − 5b.7n−1 3 7 Cho n = 2 ta được a = − ; b = 2 2 Hơn nữa 12 = −3 + 5.3 nên công thức truy hồi của dãy số được viết lại như sau ( ) un + 3.3n + 21.7n + 3 =5 un−1 + 3.3n−1 + 21.7n−1 + 3 , ∀n Đặt vn = un + 3.3n + 21.7n + 3, ∀n, ta có vn là cấp số nhân có công bội bằng 5, v1 = u1 + 3.3 + 21.7 + 3 = 157, suy ra vn = 157.5n−1 , ∀n. Vậy un = 157.5n−1 − 3n+1 − 3.7n+1 − 3. 11 Bài tập 2.5. Tìm CTTQ của dãy số (un ) biết { u1 = 1 un = 2un−1 + 3n − n, n = 2, 3, 4, ... Lời giải { 3n = k.3n − 2.k.3n−1 n = an + b − 2 (a(n − 1) + b) Cho n = 2, 3 ta được k = 3; a = −1; b = −2 Khi đó ta có ( ) un − 3.3n − n − 2 = 2 un−1 − 3.3n−1 − (n − 1) − 2 = ... = 2n−1 (u1 − 9 − 1 − 2) = −11.2n−1 Ta phân tích Vậy un = −11.2n−1 + 3n+1 + n + 2 Nhận xét: Bài toán trên là tổng hợp của dạng 1 và dạng 2. Dạng 2.3. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho định bởi công thức { u1 , u 2 (2.3) un − aun−1 + bun−2 = 0; ∀n ≥ 3 trong đó a,b là các số thức thỏa mãn a2 − 4b ≥ 0. Phương pháp: Ta phân tích un − x1 un−1 = { x2 (un−1 − x1 un−2 ) x1 + x2 = a Ta phải chọn x1 , x2 sao cho hay x1 , x2 là hai nghiệm của x1 .x2 = b phương trình: x2 − ax + b = 0 (Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy số đã cho). Khi đó un − x1 un−1 = x2 (un−1 − x1 un−2 ) = ... = xn−2 (u2 − x1 u1 ) 2 Suy ra un = x1 un−1 + (u2 − x1 u1 ) xn−2 2 Đưa về dạng (2.2) un = aun−1 + b.αn + Nếu x1 ̸= x2 ta tìm được { un = kxn1 + ℓxn2 (2.4) k + ℓ = u1 kx1 + ℓx2 = u2 + Nếu x1 = x2 = α ta tìm được với un = (kn + ℓ)αn−1 12 (2.5) { với k + ℓ = u1 (2k + ℓ) α = u2 Bài tập 2.6. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = −1; u2 = 3 un = 5un−1 − 6un−2 ; n = 3, 4, 5, ... Tìm CTTQ của dãy số trên. Lời giải Ta viết lại công thức truy hồi của dãy số đã cho như sau un − aun−1 = b(un−1 − au{n−2 ) a+b=5 Ta phải chọn a,b sao cho hay a,b là hai nghiệm của phương a.b = 6 trình: x2 − 5x + 6 = 0 . Phương trình có hai nghiệm x = 2; x = 3. Chọn a = 2; b = 3. Khi đó ta có un − 2un−1 = 3 (un−1 − 2un−2 ) = ... = 3n−2 (u2 − 2u1 ) = 5.3n−2 5 Công thức truy hồi được viết lại là un = 2un−1 + .3n , n = 2, 3, 4, ... 9 Ta phân tích 3n = c.3n(− 2c.3n−1 . Cho n = 2 ta được c = 3. ) 5 5 Suy ra un − .3n = 2 un−1 − .3n−1 = ... = 2n−1 (u1 − 5). 3 3 n−1 n Vậy un = 5.3 − 3.2 . Bài tập 2.7. Cho dãy số xác định bởi công thức { u1 = 1; u2 = 2 un+1 = 4un + 4n−1 ; ∀n ≥ 2 Hãy xác định CTTQ của dãy số (un ) . Lời giải 2 Phương √ trình đặc trưng x − 4x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 = 2 + 2 − 5. √ √ Theo công thức (2.4) ta có un = a(2 + 5)n + b(2 − 5)n Do u1 = 1; u2 = 2 nên ta có hệ √ √ { 1 (2 + √5)a + (2 − 5)b √ =1 ⇒ a = −b = √ (9 + 2 5)a + (9 − 2 5)b = 2 2 5 √ n √ n) 1 ( Vậy un = √ (2 + 5) − (2 − 5) . 2 5 13 √ 5; x2 = Bài tập 2.8. Xác định CTTQ của dãy số (un ) biết { u1 = 1; u2 = 3 un − 4un−1 + 4un−2 ; ∀n ≥ 3 Lời giải Phương trình đặc trưng x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm x1 = x2 = 2 Theo công thức (2.5) ta có un ={(an + b)2n−1 1 a+b=1 Do u1 = 1; u2 = 3 nên ta có hệ ⇒a=b= . 2(2a + b) = 3 2 n−2 Vậy un = (n + 1)2 . Bài tập 2.9. Dãy số Fibonacci Ngày 1/1/1202 Giáo Hoàng Lamã ra cho nhà toán học Ý là Fibonacci một Bài toán như sau: Hôm nay người ta tặng tôi một cặp thỏ mới đẻ (một đực, một cái). Biết rằng thỏ mới đẻ sau một tháng bắt đầu đẻ và tiếp đó mỗi tháng đẻ một cặp thỏ con(một đực, một cái). Hỏi hết năm tôi sẽ có mấy cặp thỏ (giả thiết không có cặp thỏ nào chết trong năm.) ( Bài tập phương trình sai phân-Lê Đình Định-Trang 73) Lời giải Bài toán được phân tích như sau: Tháng giêng có một cặp thỏ, tháng hai vẫn có một cặp thỏ vì cặp thỏ thàng giêng vẫn chưa đẻ được. Tháng ba có hai cặp thỏ vì cặp thỏ ban đầu bắt đầu đẻ một cặp mới,... Ký hiệu un là số cặp thỏ sau n tháng, thế thì sau n+2 tháng ta có un+1 cặp thỏ đẻ được. Vậy ta có phương trình { u1 = 1; u2 = 1 un+2 = un+1 + un Phương trình đặc trưng x2 − x − 1 = 0 có hai nghiệm √ √ 1− 5 1+ 5 x1 = ; x2 = 2 2 14 ( ( √ )n √ )n 1− 5 1+ 5 +b Theo công thức (2.4) ta có un = a 2 2 Cho n=1,n=2 ta có hệ phương trình  √ √  5 1 − 5 1 +  1= .a + .b 1 2√ 2√ ⇒ a = −b = √  3+ 5 3− 5 5  1= .a + .b 2 2 [( √ )n ] √ )n ( 1 1− 5 1+ 5 + Vậy un = √ 2 2 5 Cho n= 12 ta được u12 = 144 cặp thỏ. Vậy sau một năm Giáo Hoàng có 144 cặp thỏ. Dạng 2.4. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức: { u1 ; u2 un + aun−1 + bun−2 = f (n); ∀n ≥ 3 (2.6) (trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n và a2 − 4b ≥ 0) ta làm như sau Phân tích f(n)=g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) rồi đặt vn = un − g(n). { v1 = u1 − g(1), v2 = u2 − g(2) Ta đưa dãy số về dạng , dạng (2.3) vn + avn−1 + bvn−2 = 0; ∀n ≥ 3 Xác định CTTQ của vn , suy ra CTTQ của un . Vấn đề còn lại là xác định g(n) như thế nào? Vì f(n) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là đa thức bậc k theo n. Khi đó chỉ cần cho n nhận k+1 giá trị bất kỳ ta sẽ tìm được g(n). Giả sử g(n) = am nm + am−1 nm−1 + ... + a1 n + a0 , (am ̸= 0) là đa thức bậc m theo n. Khi đó hệ số của nm và nm−1 trong đa thức g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là am (1 + a + b) và [−(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am−1 ] Do đó : i) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 1 + a + b ̸= 0 nên g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là đa thức bậc m nên ta chọn g(n) cùng bậc với f(n). ii) Nếu phương trình x2 +ax+b = 0 có hai nghiệm phân biệt , một nghiệm bằng 1 thì 1 + a + b = 0 và [−(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am−1 ] = −(a + 2b)m.am ̸= 0 nên ta chọn g(n) =n.h(n) trong đó h(n) cùng bậc với f(n). g(n) + ag(n-1) + bg(n-2) là đa thức bậc m-1. iii) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép bằng 1 thì a=-2,b=1 nên g(n) + ag(n-1) + bg(n-2) là đa thức bậc m-2 nên ta chọn 15 g(n) = n2 h(n), trong đó h(n) cùng bậc với f(n). Tóm lại Để xác định CTTQ của dãy số (un ): { u1 ; u2 un + aun−1 + bun−2 = f (n); ∀n ≥ 3 (trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n và a2 − 4b ≥ 0) ta làm như sau: Xét g(n) là một đa thức bậc k theo n. +)Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 ta phân tích f (n) = g(n) + ag(n − 1) + bg(n − 2) rồi đặt vn = un − g(n). +) Nếu phương trình x2 +ax+b = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 ta phân tích f (n) = n.g(n) + a(n − 1).g(n − 1) + b(n − 2).g(n − 2) rồi đặt vn = un − n.g(n). +) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép là 1 thì ta phân tích f (n) = n2 .g(n) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2) rồi đặt vn = un − n2 .g(n). Bài tập 2.10. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = −1; u2 = 3 un − 5un−1 + 6un−2 = 2n2 + 2n + 1; ∀n ≥ 3 Xác định CTTQ của dãy số trên. Lời giải Ta phân tích ) 2n + 2n + 1 = (an + bn + c) − 5 a(n − 1) + b(n − 1) + c ( ) + 6 a(n − 2)2 + b(n − 2) + c 2 2 ( 2 Trong công thức trên cho n = 1, 2, 3 ta có hệ phương trình    7a − 5b + 2c = 5 a=1 −a − 3b + 2c = 13 ⇒ b = 8   −5a − b + 2c = 25 c = 19 { v1 = −29; v2 = −36 2 Đặt vn = un − n − 8n − 19 , ta có vn − 5vn−1 + 6vn−2 = 0; ∀n ≥ 3 2 Phương trình đặc trưng x − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1 = 2; x2 = 3 Theo công thức (2.4) ta có vn = k.2n + ℓ.3n . 16 Cho n=1,n=2 ta được hệ phương trình  51  k=− 2k + 3ℓ = −29 2 ⇒ 22 4k + 9ℓ = −36  ℓ= 3 51 22 Suy ra vn = − 2n + 3n 2 3 51 n 22 n Vậy un = − 2 + 3 + n2 + 8n + 19. 2 3 Bài tập 2.11. Xác định CTTQ của dãy số (un ) biết { u1 = 4; u2 = 15 un − 3un−1 + 2un−2 = 2n + 1; ∀n ≥ 3 { Lời giải Phương trình đặc trưng x2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2 nên ta phân tích 2n + 1 = n(an + b) − 3(n − 1)(a(n −{ 1) + b) + 2(n − 2)(a(n − 2) + b) { 3a − b = 3 a = −1 Cho n=1, n=2 ta có hệ phương trình ⇒ a−b=5 b = −6 { v1 = 11, v2 = 31 Đặt vn = un + n(n + 6) , suy ra . vn − 3vn−1 + 2vn−2 = 0 Theo công thức (2.4) ta có vn = α.2n + β.1n với α, β thỏa mãn hệ phương trình { { 2α + β = 11 α = 10 ⇒ 4α + β = 31 β = −9 Suy ra vn = 5.2n+1 − 9. Vậy un = 5.2n+1 − n2 − 6n − 9. Dạng 2.5. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức { u1 ; u2 un + aun−1 + bun−2 = c.αn ; ∀n ≥ 3 ( ) , với a2 − 4b ≥ 0 . Phân tích αn = kαn + a.k.αn−1 + b.k.αn−2 (2.7) (2.8) Trong công thức (2.8) cho n = 2 ta có k(α2 + a.α + b) = α2 . +) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt α2 . Đặt vn = un − kc.αn ta có dãy số khác α, ta có k = 2 α + a.α + b 17 { (vn ) : v1 = u1 − kc.α; v2 = u2 − kc.α2 , dạng (2.3) vn + avn−1 + bvn−2 = 0; ∀n ≥ 3 Suy ra vn = p.xn1 + q.xn2 , với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0, suy ra un = p.xn1 + q.xn2 + kc.αn . +) Nếu α là một nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0, ta phân tích αn = kn.αn + a.k (n − 1) αn−1 + b.k (n − 2) αn−2 (2.9) Trong công thức (2.9) cho n=2 ta có k (2α + a) = α. α a Phương trình có nghiệm k = khi α ̸= , hay α là nghiệm đơn của 2α + a 2 2 phương trình x + ax + b = 0. Khi đó un = p.xn1 + q.xn2 + kcn.αn a +) Cuối cùng nếu α = − là nghiệm kép của phương trình 2 x2 + ax + b = 0, ta phân tích αn = kn2 .αn + a.k(n − 1)2 αn−1 + b.k(n − 2)2 αn−2 Trong công thức (2.10) cho n = 2 ta có k = (2.10) α 1 = 4α + a 2 Khi đó 1 un = (p + nq) .αn + cn2 .αn . 2 Tóm lại ta có kết quả sau. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 ; u2 . un + aun−1 + bun−2 = c.αn ; ∀n ≥ 3 Để xác định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau Xét phương trình x2 + ax + b = 0 +) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác α thì un = p.xn1 + q.xn2 + kc.αn , (2.11) α2 với k = 2 α + a.α + b +) Nếu phương trình có một nghiệm bằng α, một nghiệm khác α thì un = p.xn1 + q.xn2 + kcn.αn 18 (2.12)