Tài liệu Con quay hồi chuyển và một vài kết quả khảo sát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  Phạm Lê Giang Dũng Tên đề tài: CON QUAY HỒI CHUYỂN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  Phạm Lê Giang Dũng Tên đề tài: CON QUAY HỒI CHUYỂN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Mã số: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S Dương Đào Tùng Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn chân thành gởi đến Th.S Dương Đào Tùng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời cũng xin cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Long và cô Ngô Thị Phương đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành công việc thực nghiệm trên thiết bị. Xin cảm ơn quý thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh sau 4 năm đã cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tôi tự tin hoàn thành luận văn tốt nghiệp ra trường. Cuối cùng tôi xin gởi lời tri ân đến gia đình và bạn bè, những người luôn quan tâm, động viên tôi trong suốt chặng đường đã đi qua. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013 Phạm Lê Giang Dũng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 2 MỤC LỤC ........................................................................................................................ 3 DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................................... 6 DANH MỤC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ .................................................................................. 7 LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 9 PHẦN MỘT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................................. 12 CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ VẬT RẮN................................................................... 12 1.1. Chuyển động của vật rắn ......................................................................................... 12 1.1.1. Chuyển động tịnh tiến ................................................................................ 12 1.1.2. Chuyển động quay ..................................................................................... 13 1.2. Các định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm ...................................... 13 1.2.1. Momen động lượng của một hệ ................................................................. 13 1.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ ............................................... 14 1.3. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định ... 15 1.3.1. Momen lực đối với trục ............................................................................. 15 1.3.1.1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay...................................... 15 1.3.1.2. Momen của lực đối với trục quay.................................................... 16 1.3.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn ............ 17 1.3.3. Tính momen quán tính ............................................................................... 18 1.3.3.1. Tính momen quán tính của một hình trụ tròn.................................. 19 1.3.3.2. Tính momen quán tính của một số vật rắn ...................................... 19 CHƯƠNG II. LÝ THUYẾT VỀ CON QUAY .............................................................. 20 2.1. Nhắc lại về momen động lượng của vật rắn ............................................................ 20 2.2. Chuyển động quay tự do của vật rắn ....................................................................... 21 2.3. Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định. Con quay hồi chuyển .... 23 2.4. Một số ứng dụng thực tế của con quay.................................................................... 27 PHẦN HAI: THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG ................................................................ 31 CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VỀ BỘ DỤNG CỤ THÍ NGHIỆM .................................... 31 1.1. Giới thiệu chung ...................................................................................................... 31 1.2. Giới thiệu về con quay hồi chuyển U52006 và bộ đo tần số quay .......................... 32 1.2.1. Con quay hồi chuyển U52006 () ............................................................ 32 1.2.2. Bộ đo tần số quay của đĩa .......................................................................... 33 1.3. Các thí nghiệm thực hiện ......................................................................................... 34 CHƯƠNG II – KẾT QUẢ KHẢO SÁT ........................................................................ 35 2.1. Xác định momen quán tính của đĩa quay ................................................................ 35 2.1.1. Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 35 2.1.2. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 35 2.1.3. Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 36 2.1.4. Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 36 2.1.5. Số liệu tính toán và đo đạc ......................................................................... 37 2.1.5.1. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚1 = 0.02𝑘𝑔 .............................. 37 1T 2.1.5.2. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚2 = 0.03𝑘𝑔 .............................. 40 1T 2.1.5.3. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚3 = 0.04𝑘𝑔 .............................. 43 1T 2.1.6. Nhận xét kết quả thực nghiệm ................................................................... 46 2.2. Khảo sát sự tiến động của con quay ........................................................................ 47 2.2.1. Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 47 2.2.2. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 47 2.2.3. Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 48 2.2.4. Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 50 2.2.5. Số liệu tính toán và đo đạc ......................................................................... 51 2.2.5.1. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚1 = 0.03𝑘𝑔 .............................. 52 1T 2.2.5.2. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚2 = 0.04𝑘𝑔 .............................. 54 1T 2.2.5.3. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚3 = 0.05𝑘𝑔 .............................. 55 1T 2.2.5.4. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚4 = 0.06𝑘𝑔 .............................. 57 1T 2.2.6. Nhận xét kết quả thực nghiệm ................................................................... 59 2.3. Khảo sát sự chương động của con quay: ................................................................. 61 2.3.1. Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 61 2.3.2. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 61 2.3.3. Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 61 2.3.4. Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 61 2.3.5. Kết quả đo đạc ........................................................................................... 62 2.3.6. Nhận xét kết quả thí nghiệm ...................................................................... 66 2.4. Sự khử momen động lượng của con quay ............................................................... 66 2.4.1. Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 67 2.4.2. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 67 2.4.3. Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 67 2.4.4. Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 67 2.4.5. Kết quả thí nghiệm ..................................................................................... 68 2.4.6. Nhận xét kết quả thí nghiệm ...................................................................... 69 NHẬN XÉT VÀ ĐỀ XUẤT .......................................................................................... 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 72 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2-1. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật nặng 0.02kg .................................................................................................................... 37 Bảng 2-2. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật nặng 0.03kg .................................................................................................................... 40 Bảng 2-3. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật nặng 0.04kg .................................................................................................................... 43 Bảng 2-4. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng 0.03kg ............................................................................................................................. 52 Bảng 2-5. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng 0.04kg ............................................................................................................................. 54 Bảng 2-6. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng 0.05kg ............................................................................................................................. 55 Bảng 2-7. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng 0.06kg ............................................................................................................................. 57 Bảng 2-8. Kết quả thí nghiệm khảo sát chương động của con quay........................ 62 DANH MỤC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ Hình 1-1. Chuyển đông của vật rắn quay xung quanh một trục .............................. 13 Hình 1-2. Tác dụng của lực trong chuyển động quay .............................................. 15 Hình 1-3. Xác định momen quán tính của khối trụ.................................................. 19 Hình 1-4. Momen quán tính của một số vật rắn ...................................................... 19 Hình 1-5. Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng (1)............................... 22 Hình 1-6. Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng (2)............................... 22 Hình 1-7. Chuyển động của con quay trong trường trọng lực quanh điểm cố định ................................................................................................................................. 24 Hình 1-8. Ngẫu lực đặt vào con quay đang quay ..................................................... 26 Hình 1-9. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên tàu thủy ................................. 28 Hình 1-10. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên ngư lôi ................................. 29 Hình 1-12. Chuyển động của viên đạn trong không gian (2) .................................. 30 Hình 1-11. Chuyển động của viên đạn trong không gian (1) .................................. 30 Hình 2-1. Bộ dụng cụ thí nghiệm............................................................................. 31 Hình 2-2. Con quay hồi chuyển U52006 ................................................................. 32 Hình 2-3. Bộ đo tần số quay của đĩa ........................................................................ 34 Hình 2-4. Bài toán xác định momen quán tính I của đĩa ......................................... 35 Hình 2-5. Thí nghiệm xác định momen quán tính I của đĩa .................................... 36 Hình 2-6. Đo đường kính của phần ống quấn dây ................................................... 37 Hình 2-7. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.02kg ...................... 40 Hình 2-8. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.03kg ...................... 43 Hình 2-9. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.04kg ...................... 46 Hình 2-10. Con quay cân bằng theo phương ngang ................................................ 49 Hình 2-11. Thí nghiệm khảo sát sự tiến động .......................................................... 49 Hình 2-12. Cách làm cho đĩa quay........................................................................... 50 Hình 2-13. Treo vào đầu trục một gia trọng và di chuyển con quay lệch khỏi cổng quang ..................................................................................................................... 50 Hình 2-14. Con quay thực hiện tiến động. Chắn sáng quét qua cổng quang ........... 51 Hình 2-15. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.03kg ...................... 53 Hình 2-16. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.04kg ...................... 55 Hình 2-17. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.05kg ...................... 57 Hình 2-18. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.06kg ...................... 59 Hình 2-19. Tác dụng một lực nhẹ, tức thời lên đầu trục quay khi đĩa đang quay ... 62 Hình 2-20. Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa tần số quay của đĩa f và tần số chương động fN ............................................................................................................. 65 1T Hình 2-21. Bằng phương pháp chụp ảnh liên hoàn, ta ghi nhận lại sự di chuyển của đầu trục quay trong một chu kỳ chương động ......................................................... 66 Hình 2-22. Cách làm hai đĩa quay cùng vận tốc góc nhưng ngược chiều ............... 67 Hình 2-23. Hiện tượng xảy ra khi móc gia trong vào đầu trục quay của hai đĩa ..... 69 Hình 2-24. Hiện tượng xảy ra khi tác dụng một lực tức thời theo phương ngang vào đầu trục quay của hai đĩa ......................................................................................... 69 LỜI MỞ ĐẦU Vật lý học là một môn khoa học thực nghiệm. Phần lớn các kiến thức vật lý mà con người tìm ra đều bắt nguồn từ các quan sát, các thí nghiệm. Một chiếc xe đạp khi chuyển động tại sao không bị ngã? Tại sao một cái bông vụ khi quay nhanh quanh trục đối xứng của nó thì có thể tự đứng được? Tại sao người ta lại xẻ rãnh nòng súng để cho viên đạn khi bay ra ngoài thì quay quanh trục của nó? Đó là một vài câu hỏi thú vị về các hiện tượng vật lý mà hằng ngày chúng ta quan sát được và hoàn toàn có thể được trả lời dựa vào các kiến thức về Cơ học, cụ thể là kiến thức về con quay hồi chuyển. Con quay hồi chuyển, một cách đơn giản là một vật rắn quay quanh một trục, mà trục này có thể thay đổi tự do theo bất kỳ phương nào trong không gian. Con quay hồi chuyển có nhiều tính chất kỳ lạ được ứng dụng rộng rãi trong khoa học kỹ thuật. Đó là lý do đầu tiên khiến chúng tôi quan tâm đến thiết bị này và lựa chọn làm đối tượng nghiên cứu chủ yếu cho luận văn tốt nghiệp. Bên cạnh đó, dưới con mắt của một nhà Sư phạm, chúng tôi nhận thấy vai trò của thực nghiệm trong việc truyền đạt kiến thức vật lý đến người học là rất quan trọng. Một kiến thức vật lý “khô khan” cũng sẽ trở nến sống động và có ý nghĩa nếu nó được biểu diễn hay chứng minh từ các mô hình trực quan. Nắm bắt được nhu cầu này, các nhà sản xuất đã nghiên cứu, cho ra đời các bộ thí nghiệm vật lý phù hợp với từng đối tượng. Đó là thuận lợi nhưng cũng là khó khăn đặt ra cho những ai quan tâm. Thuận lợi ở chỗ giờ đây trong tay các nhà nghiên cứu hay người học đã có các công cụ thực nghiệm vật lý phong phú, đầy đủ các lĩnh vực của vật lý. Còn khó khăn đó là phần lớn các bộ thí nghiệm, các dụng cụ thực hành vật lý được sản xuất từ các hãng nước ngoài. Do đó gây ra một số khó khăn trong việc vận hành cũng như phát huy tối đa các ứng dụng của thiết bị trong điều kiện phòng thí nghiệm ở trong nước. Ngoài ra khó khăn còn nằm ở chỗ, mỗi bộ dụng cụ được sản xuất ra đa phần chỉ phù hợp với một số thí nghiệm mà nhà sản xuất quy định trong cẩm năng hướng dẫn đi kèm. Do đó, nếu không nghiên cứu kỹ lưỡng dụng cụ và cho vận hành thử thì sẽ dễ dàng vướng phải các sai lầm ảnh hưởng đến chất lượng công việc và tuổi thọ của dụng cụ. Dựa trên sự lựa chọn ban đầu đối với con quay hồi chuyển cũng như mong muốn khắc phục các khó khăn trong việc ứng dụng các thiết bị thí nghiệm vật lý vào học tập và nghiên cứu, chúng tôi đã quyết định lựa chọn đề tài: CON QUAY HỒI CHUYỂN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT. Với tên đề tài như vậy, mục đích của chúng tôi trong luận văn này là xây dựng các thí nghiệm dựa trên bộ dụng cụ có sẵn nhằm minh họa và kiểm chứng các hiện tượng tiến động, chương động và khử momen động lượng của con quay hồi chuyển phục vụ cho việc dạy học, nghiên cứu các kiến thức về con quay hồi chuyển. Ngoài ra, trong bộ dụng cụ chúng tôi sử dụng, thiết bị quan trọng nhất đó là con quay hồi chuyển U52006 do hãng 3B SCIENTIFIC sản xuất. Chúng tôi sẽ tiến hành đo đạc momen quán tính của đĩa quay con quay hồi chuyển nhằm giúp cho những ai sử dụng sau này có thể đối chiếu hay tham khảo số liệu. Như vậy, đối tượng chúng tôi nghiên cứu trong đề tài này bao gồm các khái niệm, tính chất của con quay hồi chuyển. Để thực hiện đề tài, đầu tiên chúng tôi nghiên cứu các lý thuyết có liên quan đến con quay hồi chuyển, bao gồm: lý thuyết về vật rắn, lý thuyết về con quay … Tiếp đến chúng tôi nghiên cứu về con quay hồi chuyển U52006 và các thiết bị khác có liên quan như: đầu thu tần số U21005, cổng quang học, đồng hồ bấm giây … cũng như cách kết hợp các thiết bị này lại để phục vụ mục đích thí nghiệm. Kết quả của quá trình nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong hai phần: Phần một: Cơ sở lý thuyết, nhằm xây dựng hệ thống kiến thức cơ bản về vật rắn và con quay hồi chuyển. Phần hai: Thí nghiệm kiểm chứng, gồm 4 thí nghiệm nhằm minh họa, kiểm chứng các hiện tượng của con quay hồi chuyển và đo đạc momen quán tính của con quay U52006. Đề tài của chúng tôi hoàn thành hi vọng sẽ góp một phần nhỏ vào việc làm phong phú thêm các thí nghiệm về Vật lý đại cương, giúp cho các nhà nghiên cứu, các bạn sinh viên tin tưởng hơn vào các kiến thức đã được học trên giảng đường, từ đó có những phát kiến mới nhằm từng bước cải thiện thiết bị, nâng cao hiệu quả sử dụng thiết bị và thêm say mê lĩnh vực Vật lý thực nghiệm. Với thời gian nghiên cứu tương đối ngắn, cộng với năng lực còn hạn chế nên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được mọi sự đóng góp để đề tài thêm hoàn thiện. Tác giả luận văn. PHẦN MỘT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ VẬT RẮN 1.1. Chuyển động của vật rắn Vật rắn là một hệ chất điểm, trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn không đổi. Chuyển động của một vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng minh được rằng, mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về hai chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. 1.1.1. Chuyển động tịnh tiến Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó chuyển động theo những quỹ đạo giống nhau. Tại mỗi thời điểm, các chất điểm của vật rắn tịnh tiến đều có cùng vectơ vận tốc và vectơ gia tốc. Giả thiết 𝑎⃗ là vectơ gia tốc chung của các chất điểm 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , … , 𝑀𝑖 , … của vật rắn, các chất điểm này lần lượt có khối lượng 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , … , 𝑚𝑖 , … và lần lượt chịu các ngoại lực tác dụng ���⃗1 , 𝐹 ���⃗2 , ���⃗ ��⃗𝚤 , … Theo định luật II Niutơn ta có: 𝐹 𝐹3 , … , 𝐹 𝐹1 𝑚1 𝑎⃗ = ���⃗ 𝑚2 𝑎⃗ = ���⃗ 𝐹2 …………… 𝑚𝑖 𝑎⃗ = ��⃗ 𝐹𝚤 (1) …………… Các phương trình đó chứng tỏ những ngoại lực tác dụng lên vật rắn ���⃗1 , 𝐹 ���⃗2 , ���⃗ ��⃗𝚤 , … song song và cùng chiều. Đó là điều kiện cần để một vật rắn 𝐹3 , … , 𝐹 𝐹 chuyển động tịnh tiến. Cộng các phương trình (1) vế với vế ta được: �� 𝑚𝑖 � 𝑎⃗ = � ��⃗ 𝐹𝚤 𝑖 𝑖 (2) Đó là phương trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến. Nó giống như phương trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Dễ dàng thấy rằng, đó cũng là phương trình chuyển động của khối tâm vật rắn. Như vậy, muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật rắn, ta chỉ xét chuyển động của khối tâm của nó. 1.1.2. Chuyển động quay Khi một vật rắn chuyển động quay xung quanh một đường thẳng cố định ∆ (gọi là trục quay) thì: - Mọi điểm của vật rắn vạch ra những vòng tròn có cùng trục ∆ (những vòng tròn mà mặt phẳng vuông góc với ∆ và có tâm nằm trên ∆). - Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được cùng một góc 𝜃. - Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc 𝜔 = 𝑑𝜔 𝑑𝑡 - = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2 . Hình 1-1. Chuyển đông của vật rắn quay xung quanh một trục và cùng gia tốc góc 𝛾 = Tại một thời điểm, vectơ vận tốc tiếp tuyến và vectơ gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm bất kì của vật rắn cách trục quay một khoảng 𝑟 được xác định bởi những hệ thức: 𝑣⃗ = [𝜔 �⃗ ∧ 𝑟⃗] 1.2. 𝑎 ���⃗𝑡 = [𝛾⃗ ∧ 𝑟⃗] (𝑟⃗ = ������⃗ 𝑂𝑀 ); (3) Các định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm 1.2.1. Momen động lượng của một hệ Một hệ chất điểm 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , … , 𝑀𝑖 , …, lần lượt có khối lượng ���⃗, ����⃗, ����⃗, ���⃗,𝚤 … đối với một 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , … , 𝑚𝑖 , … chuyển động với những vận tốc 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 …,𝑣 hệ quy chiếu gốc 𝑂 cố định. Momen động lượng của hệ đối với 𝑂 được định nghĩa bởi: ��������⃗𝚤 ∧ 𝑚𝑣 𝐿�⃗ = � ���⃗ 𝐿𝚤 = ��𝑂𝑀 ���⃗� 𝚤 𝑖 𝑖 ���⃗𝚤 ] = �[𝑟�⃗𝚤 ∧ 𝑚𝑣 𝑖 1.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ (4) Đối với chất điểm (𝑚𝑖 , 𝑟𝑖 ) của hệ, khi áp dụng định lý về momen động lượng ta được: ���⃗𝚤 𝑑𝐿 ��⃗/𝑂 (𝐹 ��⃗𝚤 ) =𝑀 𝑑𝑡 ��⃗/𝑂 (𝐹 ��⃗𝚤 ) là tổng momen đối với gốc 𝑂 của các lực tác dụng lên chất điểm 𝑚𝑖 . với 𝑀 Cộng các phương trình trên theo 𝑖 ta được: � 𝑖 Vế đầu: � 𝑖 ���⃗𝚤 𝑑𝐿 ��⃗/𝑂 (𝐹 ��⃗𝚤 ) = �𝑀 𝑑𝑡 𝑖 ���⃗𝚤 𝑑𝐿 𝑑 𝑑𝐿�⃗ ���⃗𝚤 = = �𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑖 là đạo hàm theo thời gian của tổng momen động lượng của hệ. Vế thứ hai biểu thị tổng momen đối với gốc 𝑂 của các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác dụng và các nội lực tương tác của các chất điểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực tương tác của các chất điểm trong hệ từng đôi một đối nhau (cùng phương ngược chiều, cùng cường độ) do đó tổng momen đối với 𝑂 của những lực này sẽ bằng 0. Vậy vế thứ hai của phương trình trên chỉ còn là tổng momen đối với 𝑂 của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Kết quả ta được công thức sau: 𝑑𝐿�⃗ ��⃗/𝑂 (𝐹 ��⃗𝚤 ) = 𝑀 ��⃗ = �𝑀 𝑑𝑡 𝑖 (5) Định lý: Đạo hàm theo thời gian của momen động lượng của một hệ bằng tổng momen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc 𝑂 cố định bất kì). Chú ý quan trọng: Trong định lý trên, ta phải tính momen động lượng của hệ đối với một điểm 𝑂 cố định. Người ta chứng minh được rằng định lý ấy vẫn đúng nếu ta thay 𝑂 bằng khối tâm 𝐺 của hệ (mặc dù lúc xét, 𝐺 đang chuyển động). 1.3. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục. Trước hết ta xét một đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay. 1.3.1. Momen lực đối với trục 1.3.1.1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay Giả thiết có lực 𝐹⃗ tác dụng lên vật rắn quay xung quanh trục ∆, đặt tại điểm 𝑀. Trước hết ta phân tích 𝐹⃗ ra hai thành phần: ���⃗2 𝐹⃗ = ���⃗ 𝐹1 + 𝐹 ���⃗1 nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆ đi trong đó ���⃗ 𝐹1 ⊥ trục; ���⃗ 𝐹2 ∥ trục. Lực 𝐹 qua 𝑀 lại được phân tích ra hai thành phần: ���⃗1 = ���⃗ ���⃗ 𝐹𝑡 + 𝐹 𝐹 𝑛 ���⃗𝑡 ⊥ bán kính 𝑂𝑀, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm 𝑂 bán trong đó 𝐹 kính 𝑂𝑀, còn ���⃗ 𝐹𝑛 nằm theo bán kính 𝑂𝑀. Kết quả ta có: Trên Hình 1-2 ta thấy rằng: - ���⃗ ���⃗ 𝐹⃗ = ���⃗ 𝐹𝑡 + 𝐹 𝑛 + 𝐹2 Thành phần ���⃗ 𝐹2 không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn trượt dọc theo trục quay, chuyển động này không thể có vì theo giả thiết vật rắn chỉ quay xung quanh trục A. - ���⃗ Thành phần 𝐹 𝑛 không gây ra chuyển ��⃗ 𝑀 động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn rời khỏi trục quay, chuyển động này cũng không thể có. - Như vậy trong chuyển động quay, tác dụng của lực 𝐹⃗ tương đương với tác dụng của thành phần ���⃗ 𝐹𝑡 của nó. Ta kết luận: Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục, chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự. Vì vậy trong các phần sau đây, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng các lực tác dụng lên vật rắn chuyển động quay đều là lực tiếp tuyến. 1.3.1.2. Momen của lực đối với trục quay ���⃗𝑡 đặt tại điểm 𝑀 ứng với bán kính 𝑂𝑀 Ta hãy xét tác dụng của lực tiếp tuyến 𝐹 = 𝑟 của quỹ đạo của 𝑀. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, tác dụng của lực ���⃗ 𝐹𝑡 không những phụ thuộc cường độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách 𝑟, khoảng cách này càng lớn thì tác dụng của lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay, người ta đưa ra một đại lượng gọi là momen lực. ���⃗𝑡 đối với trục quay ∆ là một vectơ 𝑀 ��⃗ xác định bởi Định nghĩa: Momen của lực 𝐹 (Hình 1-2): ��⃗ = �𝑟⃗ ∧ ���⃗ 𝐹𝑡 � 𝑀 (6) trong đó 𝑟⃗ = ������⃗ 𝑂𝑀, với 𝑂 là giao điểm của trục quay ∆ và mặt phẳng quỹ đạo của 𝑀. ��⃗ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa 𝑟⃗ và Theo định nghĩa này, vectơ 𝑀 ���⃗ 𝐹𝑡 , nghĩa là phương của trục quay, có chiều thuận đối với chiều quay từ 𝑟⃗ sang ���⃗ 𝐹𝑡 , có trị số: 𝐹𝑡 � 𝑀 = 𝑟𝐹𝑡 sin�𝑟⃗, ���⃗ 𝑀 = 𝑟𝐹𝑡 (7) Chú thích: Vì trong chuyển động quay, tác dụng của lực 𝐹⃗ tương đương với tác ���⃗𝑡 nên người ta cũng định dụng của lực ���⃗ 𝐹1 và tương đương với tác dụng của lực 𝐹 ��⃗ là vectơ momen của 𝐹 ���⃗1 hay của 𝐹⃗ đối với ∆. nghĩa 𝑀 1.3.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn Ta áp dụng phương trình diễn tả định lý về momen động lượng của một hệ: 𝑑𝐿�⃗ 𝑑 ���⃗𝚤 � = � 𝑀 ��⃗/𝑂 (𝐹 ��⃗𝚤 ) = �� 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑖 𝑖 Cho một vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc 𝜔 �⃗. Ta xét một phần tử khối lượng 𝑑𝑚 của vật rắn, cách trục quay một đoạn 𝑟. Momen động lượng của 𝑑𝑚 có biểu thức: �⃗ 𝑑𝐿�⃗ = (𝑟 2 𝑑𝑚)𝜔 trong đó 𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝑑𝐼 = momen quán tính của 𝑑𝑚 đối với ∆. Vậy momen động lượng của cả vật rắn cho bởi 𝐿�⃗ = � 𝑑𝐼𝜔 �⃗ = 𝐼𝜔 �⃗ Và định lý biến thiên momen động lượng cho ta phương trình: 𝑑𝐿�⃗ �⃗ 𝑑𝜔 ��⃗ =𝐼 =𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (8) trong đó 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 = momen quán tính của vật rắn đối với ∆; còn tốc góc của chuyển động quay của vật rắn. Vậy (8) có thể được viết thành: ��⃗ 𝐼𝛾⃗ = 𝑀 ���⃗ 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝛾⃗ là gia (9) Phương trình này gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục. Từ (9) ta cũng có thể viết: và ta có thể phát biểu: 𝛾⃗ = ��⃗ 𝑀 𝐼 (10) Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ thuận với tổng hợp momen các ngoại lực đối với trục và tỉ lệ nghịch với momen quán tính của vật rắn đối trục. Phương trình (9) nêu lên mối liên hệ giữa ngoại lực tác dụng đối với vật rắn ��⃗ với sự thay đổi trạng thái chuyển động của vật quay, đặc trưng bởi vectơ momen 𝑀 rắn quay, đặc trưng bởi vectơ gia tốc góc 𝛾⃗. Phương trình đó tương tự như phương ��⃗ có ý nghĩa trình của định luật II Niutơn đối với chuyển động tịnh tiến 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗ ; 𝑀 tương tự như 𝐹⃗ ; 𝛾⃗ có ý nghĩa như 𝑎⃗ và momen quán tính 𝐼 có ý nghĩa tương tự như khối lượng 𝑚. Vậy 𝐼 là đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật rắn trong chuyển động quay. Cắn cứ vào biểu thức của momen quán tính: 𝐼 = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 𝑖 (11) ta thấy rằng quán tính của vật rắn quay không những phụ thuộc vào khối lượng mà còn phụ thuộc vào khoảng cách từ các chất điểm của vật rắn đến trục quay. Hai vật cùng một khối lượng nhưng khối lượng của vật nào được phân bố cách trục quay càng xa thì quán tính của vật đó càng lớn. Điều này đã được thực nghiệm xác nhận. 1.3.3. Tính momen quán tính Momen quán tính 𝐼 của vật rắn đối với một trục ∆ được tính theo công thức (11): trong đó 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 𝐼 = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 𝑖 là momen quán tính của chất điểm 𝑀𝑖 của vật rắn đối với trục và phép cộng lấy cho tất cả các chất điểm của vật rắn. Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục, muốn tính momen quán tính 𝐼, ta chia vật rắn thành những phần tử vô cùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lượng vi phân 𝑑𝑚 và cách trục ∆ một khoảng 𝑟; khi đó phép cộng ở vế phải của (11) trở thành phép lấy tích phân: 𝐼 = � 𝑟 2 𝑑𝑚 = � 𝑟 2 𝜌𝑑𝑉 (12) trong đó 𝜌 là khối lượng riêng của vật rắn liên tục; tích phân lấy đối với toàn bộ thể tích 𝑉 của vật rắn. Ta hãy áp dụng công thức (12) để xác định momen quán tính của một số vật rắn: 1.3.3.1. Tính momen quán tính của một hình trụ tròn Cho một hình trụ tròn đồng nhất (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) có bán kính 𝑅, có chiều cao ℎ đối ∆ với trục đối xứng của nó (đi qua khối tâm 𝐺). Chia hình trụ thành những lớp trụ mỏng, bán kính trong 𝑟, bán kính ngoài 𝑟 + 𝑑𝑟 (Hình r 1-3). Khối lượng của lớp trụ mỏng sẽ bằng: dr 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌ℎ2𝜋𝑟𝑑𝑟 Momen quán tính của hình trụ đối với trục của nó bằng: 𝑅 𝑅 𝐼 = � 𝑟 2 𝑑𝑚 = � 2𝜋𝜌ℎ𝑟 3 𝑑𝑟 = 𝑂 𝑂 Hình 1-3. Xác định momen quán tính của khối trụ 1 𝜋𝜌ℎ𝑅 4 2 Chú ý: 𝜌𝜋𝑅2 ℎ = 𝑚 là khối lượng của cả hình trụ, ta được: 1 𝐼 = 𝑚𝑅2 2 (13) 1.3.3.2. Tính momen quán tính của một số vật rắn Cũng bằng cách làm tương tự, ta tìm được công thức tính momen quán tính của một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng với trục của chúng (Hình 1-4): ∆ ∆ 𝐼 = 𝑀𝑅2 a) Vành tròn 𝐼= ∆ 2 𝑀𝑅2 5 b) Khối cầu 1 2 (𝑎 + 𝑏2 ) 12 c) Mặt chữ nhật 𝐼= Hình 1-4. Momen quán tính của một số vật rắn