Tài liệu Cơ sở lý thuyết đồ thị hàm ẩn ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Contents I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH............................................................1 ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K ..............................................................................1 ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên khoảng ( a;b) và x0 Î ( a;b) ............................3 II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ..................................................................................................................5 1. Tịnh tiến theo phương hoành......................................................................................................................5 2. Tịnh tiến theo phương tung........................................................................................................................5 3. Tịnh tiến theo phương hoành và tung.........................................................................................................5 III-DẠNG 3: HÀM HỢP:................................................................................................................................6 IV-DẠNG 4: ĐỒ THỊ y = f ¢( x) V-DẠNG 5: SO SÁNH GIÁ TRỊ TƯƠNG GIAO VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG KHÁC y = h(x) ...........9 f (a); f (b); f (c).... .....................................................................................13 VI-DẠNG 6: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ.................................................................................................................17 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM ẨN Chắc chắn tài liệu còn nhiều thiếu sót. Mong quí thầy cô đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K a. Nếu f ¢( x) > 0, " x Î K thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên K b. Nếu f ¢( x) < 0, " x Î K thì hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K Chú ý: Xét đồ thị hàm số y = f '( x) sau đây 1 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN f ¢( x) = 0 khi đồ thị của nó có điểm chung với trục hoành suy ra nghiệm x = nghiệm đơn, kép(bội chẵn) f ¢( x) > 0 khi đồ thị của nó nằm trên trục hoành suy ra khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị đó f ¢( x) < 0 khi đồ thị của nó nằm dưới trục hoành suy ra khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị đó Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) dưới đây ta ta nhận thấy: y= 1. f ¢( x) = 0 Û x = - 1Ú x = 2 2. f ¢( x) > 0 là các giao điểm của đồ thị với trục Ox g = f ¢( x) khi x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Khi x < - 1Ú x > 2 3. f ¢( x) < 0 g = f ¢( x) khi x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. Khi - 1 < x < 2 Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) x y' y –∞ -1 + 0 2 – 2 0 +∞ + +∞ –∞ GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) dưới đây ta ta nhận thấy: y= 1. f ¢( x) = 0 Û x = a Ú x = b Ú x = c 2. f ¢( x) > 0 là các giao điểm của đồ thị với trục Ox là các nghiệm đơn g = f ¢( x) khi x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Khi a < x < b;x > c 3. f ¢( x) < 0 g = f ¢( x) khì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. Khi x < a;b < x < c Bảng biến thiên hàm số x y = f ( x) –∞ a y' y – 0 + +∞ c 0 – 0 + +∞ +∞ ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số Nếu hàm số b y = f ( x) y = f ( x) xác định, liên tục trên khoảng có đạo hàm trên khoảng ( a;b) ( a;b) và đạt cực trị tại x0 và x0 Î ( a;b) thì f ¢( x) . đổi dấu khi xquax0 Từ định lý trên ta có: a. Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm b. Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm xquax0 Chú ý: Xét đồ thị hàm số y = f '( x) sau đây 3 x0 thì x0 thì f ¢( x) f ¢( x) đổi dấu từ dương sang âm khi đổi dấu từ âm sang dương khi xquax0 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Chú ý:  Đồ thị cắt trục hoành gọi đó là nghiệm đơn  Đồ thị tiếp xúc trục hoành gọi đó là nghiệm kép (nghiệm bội chẵn)  Qua nghiệm đơn thì f ¢( x) đổi dấu, còn qua nghiệm kép thì không đổi dấu  Nghiệm đơn xác định cực trị. Nghiệm kép(bội chẵn) không là cực trị f ¢( x) = 0 khi đồ thị của nó có điểm chung với trục hoành suy ra nghiệm x = ... f ¢( x) > 0 khi đồ thị của nó nằm trên trục hoành suy ra khoảng đồng biến f ¢( x) < 0 khi đồ thị của nó nằm dưới trục hoành suy ra khoảng nghịch biến Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) dưới đây ta ta nhận thấy: y= 1. f ¢( x) = 0 Û x = 0 Ú x = 1 2. f ¢( x) đổi dấu từ âm sang dương khi xqua x0 = 0 2. f ¢( x) đổi dấu từ dương sang âm khi xquax0 = 1 là các nghiệm đơn Từ đó ta có kết luận:  Cụ thể x = 0 là điểm cực tiểu và x = 1 là điểm cực đại của hàm số 4 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Bảng biến thiên của hàm số x y = f ( x) –∞ 0 y' – 1 0 + +∞ 0 – +∞ y –∞ Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) dưới đây ta ta nhận thấy: y= 1. f ¢( x) = 0 Û x = a Ú x = b Ú x = c là 3 nghiệm đơn 2. f ¢( x) đổi dấu từ âm sang dương khi xquax0 = b 2. f ¢( x) đổi dấu từ dương sang âm khi tại hai chỗ xquax0 = a;x0 = c Từ đó ta có kết luận:  Cụ thể x = b là điểm cực tiểu và x = a;x = c là hai điểm cực đại của hàm số Bảng biến thiên của hàm số x y = f ( x) –∞ y' a + b 0 – c 0 + +∞ 0 – y –∞ –∞ II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ 1. Tịnh tiến theo phương hoành Hàm số y = f '( x) có đồ thị (C) thì hàm số trục hoành một đoạn bằng a y = f '( x + a) . Nếu a âm tịnh tiến qua phải Ví dụ: Tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị 5 có đồ thị là (C’) bằng cách tịnh tiến theo phương a đơn vị và ngược lại. GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN y= y= 2. Tịnh tiến theo phương tung Hàm số y = f '( x) có đồ thị (C) thì hàm số trục tung một đoạn bằng b y = f '( x) + b có đồ thị là (C’) bằng cách tịnh tiến theo phương . Nếu b âm tịnh tiến xuống dưới b đơn vị và ngược lại. Ví dụ : Tịnh tiến lên theo phương trục tung hai đơn vị y= y= 3. Tịnh tiến theo phương hoành và tung Hàm số y = f '( x) có đồ thị (C) thì hàm số phương trục trục hoành a y = f '( x + a) + b đơn vị và theo phương trục tung Ví dụ : Tịnh tiến đồ thì theo phương hoành và tung 2 đơn vị 6 b có đồ thị là (C’) bằng cách tịnh tiến theo đơn vị GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN y= y= Ví dụ: Cho hàm số y = f (x) biết rằng hàm số g(x) = f '(x + 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm điểm cực đại của hàm số y = f (x) Giải Hàm số y = f (x) có đạo hàm là y ' = f '(x) ta nhận thấy g(x) = f '(x + 1) là hàm số có đồ thị là đường cong khi ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x) theo chiều âm của trục hoành một đoạn bằng 1 từ đó suy ra đồ thị y ' = f '(x) bằng cách tịnh tiến đồ thị g(x) = f '(x + 1) theo chiều dương của trục hoành 1 đơn vị Từ đồ thị y ' = f '(x) ta thấy ngay điểm cực đại của hàm số là y = f (x) là x = 1 7 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Ví dụ: Cho hàm số y = f (x) biết rằng hàm số g(x) = f '(x) + 2có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm các khoàng đồng biến của của hàm số y = f (x) Giải Hàm số y = f (x) có đạo hàm là y ' = f '(x) ta nhận thấy g(x) = f '(x) + 2là hàm số có đồ thị là đường cong khi ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x) theo chiều dương của trục tung một đoạn bằng 2 từ đó suy ra đồ thị y ' = f '(x) như hình vẽ bên dưới Dựa vào đồ thị hàm số y ' = f '(x) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên hai khoảng (- ¥ ;0);(2; +¥ ) Ví dụ: (Trích đề thi thử lần 1 lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số y = f (x) biết rằng hàm số g(x) = f '(x - 2) + 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 8 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Hỏi hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây A. (- ¥ ;2) . 3 5 ( ; ) B. 2 2 . C. (2; +¥ ) . D. (- 1;1) Giải Hàm số y = f (x) có đạo hàm là y ' = f '(x) ta nhận thấy g(x) = f '(x - 2) + 2 là hàm số có đồ thị là đường cong khi ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x) theo chiều dương của trục hoành, tung một đoạn bằng 2 từ đó suy ra đồ thị y ' = f '(x) như hình vẽ bên dưới Từ đồ thị hàm số y ' = f '(x) ta thấy hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (- 1;1) . Chọn đáp án D III-DẠNG 3: HÀM HỢP: Từ tính chất về đồ thị hàm số Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) y = f ¢( x) suy ra tính chất về hàm số y = f '( u(x)) dưới đây ta suy ra tính chất của hàm số 9 h = f ¢( u(x)) : GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN y= 1. f ¢( x) = 0 Û x = 0 Ú x = 1 suy ra f ¢( u(x)) = 0 Û u(x) = 0 Ú u(x) = 1 Þ x = ... ìï u(x) > 0 f ¢( u(x)) > 0khi 0 < u(x) < 1 Û ïí ïï u(x) < 1 f ¢( x) > 0 î 2. khi 0 < x < 1 suy ra . Giải ra x = ..... 3. f ¢( x) < 0 khi x< 0Ú x > 1 suy ra f ¢( u(x)) < 0khi u(x) > 0 Ú u(x) < 1 . Giải ra x = ..... 4. Xác định nghiệm đơn, nghiệm bội của u ( x) nếu cần thiết 5. Lập bảng biến thiên Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ. Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x + 2) - 3 y= Giải Ta tính đạo hàm y = f ( x + 2) - 3; y ' = (x + 2)' f '( x + 2) = f '( x + 2) y = f ( x + 2) - 3 phụ thuộc vào đấu của sự biến thiên của hàm số f '( x + 2) éx + 2 = 0 f ¢( x + 2) = 0 Û ê êx + 2 = 1 Û f ¢( x) = 0 Û x = 0 Ú x = 1 ê ë 1. suy ra éx = - 2 ê êx = - 1 ê ë là các nghiệm đơn ìï x > - 2 f ¢( x + 2) > 0khi 0 < x + 2 < 1 Û ïí Þ - 1< x < - 2 ïï x < - 1 f ¢( x) > 0 î 2. khi 0 < x < 1 suy ra 10 3. f ¢( x) < 0 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN khi x < 0Ú x > 1 x suy ra –∞ y' y f ¢( x + 2) < 0 . Trên các khoảng còn lại -2 – 0 -1 + +∞ 0 +∞ – 1 0 Đồ thị minh họa hàm số –∞ y = f ¢( x) ;y = f '(x + 2) y= Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) y= dưới đây ta suy ra tính chất của hàm số ( ) h = f x2 - 1 + 2 : y= Tính đạo hàm của hàm số Sự biến thiên của hàm số ( ) h = f x2 - 1 + 2;h ' = 2xf '(x2 - 1) ( ) h = f x2 - 1 + 2 . phụ thuộc vào dấu của giá trị của hai hàm số éx = 0 h ' = 2xf '(x2 - 1) = 0 Û ê êf '(x2 - 1) = 0 ê ë Ta có 11 y = x;y = f '(x2 - 1) GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN éx2 - 1 = 0 f ¢x - 1 = 0 Û ê êx2 - 1 = 1 Û f ¢( x) = 0 Û x = 0 Ú x = 1 ê ë 1. suy ra ( ) 2 không trùng với nghiệm x = 0 (có thể kết luận ngay là hàm số ( 3. f ¢( x) > 0 ) h = f x2 - 1 + 2 éx2 - 1 < 0 f ¢ x2 - 1 < 0khi ê êx2 - 1 > 1 Û x < 0Ú x > 1 f ¢( x) < 0 ê ë 2. khi suy ra ( éx = ±1 ê ê x=± 2 ê ë là các nghiệm đơn và ) có 5 cực trị) é- 1 < x < 1 ê ê x <- 2Úx > 2 ê ë các khoảng còn lại xquax = 0 4. Giá trị của hàm số y = x đổi dáu từ âm sang dương khi Bảng dấu của h ' = 2xf '(x2 - 1) Từ đó ta có kết luận: Hàm số ( ) h = f x2 - 1 + 2 là điểm cực tiểu và x = Đồ thị minh họa hàm số 2;x = - 1;x = 0;x = 1;x = 2 . Cụ thể x = - 1; x = 1 có 5 cực trị tại x = - 2; x = 0; x = 2 là điểm cực đại của hàm số y = f ¢( x) ;y = f '(x2 - 1) y= y= Hàm số ( ) f ¢ x2 - 1 < 0 âm trên các khaỏng đã tính trên Ví dụ: (Trích đề thi thử lần 1 lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số y = f (x) biết rằng hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 12 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN 2 Tìm m để hàm số y = f (x + m) có 3 cực trị A. m Î (- ¥ ;2) . B. m Î [0;3]. C. m Î [0;3) . D. m Î (- ¥ ;0) Giải 2 2 Hàm số y = f (x + m) có đạo hàm y ' = 2x.f '(x + m) éx = 0 y ' = 0 Û 2x.f '(x2 + m) = 0 Û ê êf '(x2 + m) = 0 ê ë éx2 + m = 0 ê 2 2 f '(x + m) = 0 Û ê êx + m = 1(n0 boi chan) ê2 êx + m = 3 ë vì tại x = 1 thì đồ thị y = f '(x) tiếp xúc trục Ox éx2 = - m ê êx2 = 3 - m ê Ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình ë éx2 = - m (1) ê ê 2 2 êx = 3 - m (2) Để hàm số y = f (x + m) có 3 cực trị khi hai phương trình ë có thêm đúng hai nghiệm đơn khác 0 ìï - m £ 0 ï Û í ïï 3 - m > 0 TH 1: î ìï m ³ 0 ï Û 0£ m < 3 í ïï m < 3 î phương trình (1) vô nghiệm hoặc nghiệm kép x = 0 , phương 2 trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác không khi đó 2x.f '(x + m) = 0 có 3 nghiệm đơn nên có 3 cực trị ìï - m > 0 ï Û í ïï 3 - m £ 0 î TH 2: ìï m < 0 ï í ïï m ³ 3 î không có m thỏa yêu cầu bài toán Vậy chọn C IV-DẠNG 4: ĐỒ THỊ y = f ¢( x) TƯƠNG GIAO VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG KHÁC y = h(x) 1. Xét đồ thị như hình bên dưới của hai hàm y = f ¢( x) ;y = 3 13 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN y=3 y = f '(x) Từ đồ thị ta nhận xét về dấu của g = f ¢( x) - 3  f ¢( x) - 3 > 0 khi đồ thị  f ¢( x) - 3 < 0 thì ngược lại  f ¢( x) - 3 = 0 tại các giao điểm của Chú ý: nếu bài toán cho yêu cầu là y = f ¢( x) năm trên đồ thị y = 3 nghĩa là x < - 1Ú x > 3 y = f ¢( x) ;y = 3 g = 3 - f ¢( x)  3 - f ¢( x) < 0 khi đồ thị y = f ¢( x)  3 - f ¢( x) > 0 thì ngược lại  3 - f ¢( x) = 0 tại các giao điểm của 2. Xét đồ thị như hình bên dưới của hai hàm nghĩa là tại x = - 1Ú x = 3 thì biện luận ngược lại năm trên đồ thị y = 3 nghĩa là x < - 1Ú x > 3 y = f ¢( x) ;y = 3 nghĩa là tại x = - 1Ú x = 3 y = f ¢( x) ;y = x y=x y = f '(x) Từ đồ thị ta nhận xét về dấu của g = f ¢( x) - x  f ¢( x) - x > 0 khi đồ thị y = f ¢( x)  f ¢( x) - x < 0 thì ngược lại  f ¢( x) - x = 0 tại x = - 2 Ú x = 2 Ú x = 4 là các giao điểm của hai đồ thị nằm phía trên đồ thị y = x nghĩa là - 2 < x < 2 Ú x > 4 14 y = f ¢( x) ;y = x GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Chú ý: nếu bài toán cho yêu cầu là Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) g = h(x) - f ¢( x) thì biện luận ngược lại giống phần trên y = f ¢( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số như hình bên dưới y = f '(x) lập bảng biến thiên của hàm số g( x) = f ( x) - x, Giải Ta có g '( x) = f '( x) - 1 g '( x) = 0 Û f '( x) - 1 = 0 Û f '( x) = 1 . Vẽ thêm đường thẳng y = 1 ta có đồ thị bên dưới y = f '(x) Dựa vào đồ thị ta có: g ' = f '( x) - 1 = 0 Û x = - 1Ú x = 1Ú x = 2 g ' = f '( x) - 1 âm khi - 1 < x < 1;1 < x < 2 và dương vói x < - 1;x > 2 Bảng biến thiên Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) y = f ¢( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số như hình bên dưới 15 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN y = f '(x) Lập bảng biến thiên của hàm số g( x) = 2f ( x) - x2 Giải Ta có g¢( x) = 2f ¢( x) - 2x; g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = x. Vẽ thêm đường thẳng y = x ta được đồ thị như hình bên dưới y=x y = f '(x) éx = - 2 ê ¢ g ( x) = 0 Û ê êx = 2 . ê x=4 ê ë Dựa vào đồ thị, suy ra g¢( x) = 2f ¢( x) - 2x dương khi - 2 < x < 2; x > 4 và âm khi x < - 2; 2 < x < 4 Bảng biến thiên x –∞ g' -2 – 0 2 + 0 4 – +∞ y  f  x có đồ thị 0 + +∞ g Ví dụ: Cho hàm số +∞ y  f  x  như hình vẽ: 16 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN y= 3 Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) = 2f (x) + 2x - 4x - 3. Trên [ - 5; 5] Giải 2 Tính g '(x) = 2f '(x) + 6x - 4 2 2 2 Ta có : g '(x) = 0 Û 2f '(x) - (- 6x + 4) = 0 Û f '(x) - (- 3x + 2) = 0 Û f '(x) = - 3x + 2 2 Vẽ thêm đồ thị hàm số y = - 3x + 2 Từ đồ thị bên trên ta thấy đồ thị y = f '(x); y = - 3x2 + 2 2 đồ thị y = - 3x + 2nằm dưới đồ thị y = f '(x), " x Î (- . Có điểm chung tại x = 0(nghiệm bội chẵn) và 5; 5) nên ta có: g '(x) = 0 Û 2f '(x) - (6x2 + 4) = 0 tại x = 0 thuộc khoảng (g '(x) ³ 0 " x Î (- 5; 5) 5; 5) có bảng biến thiên x g' 5 5 0 + + 0 17 g GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Ví dụ: ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 –ĐỀ 103 Cho hai hàm số y = g¢( x) y = f ( x) y = g( x) y = f ¢( x) , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y y = g¢( x) . y  f  x  10 8 5 4 O x 8 1011 3 y  g  x  æ 3ö ÷ ÷ h ( x) = f ( x + 4) - gç 2 x ç ÷ ç ÷ 2ø è Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? æ 31ö ç ÷ 5; ÷ ç ÷ ç ÷ 5ø è A. . æ 9 ö ç ÷ ; 3÷ ç ÷ ç ÷ 4 ø è B. . C. æ 31 ç ; +¥ ç ç è5 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø . æ 25÷ ö ç ÷ 6; ç ÷ ç 4÷ ø. D. è Giải æ 3ö ÷ ÷ h '( x) = f '( x + 4) - 2g 'ç 2 x ç ÷ ç ÷ 2ø è Tính æ 3ö ÷ ÷ g’ç 2 x ç ÷ ç ÷ h’( x) ³ 0 f ’( x + 4) 4ø è Để khi giá trị phải lớn hơn hoặc bằng hai lần giá trị Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số y = g '( x) luôn có giá trị nhỏ hơn bằng 5, vì vậy hàm số y = f ¢( x) cần có giá trị lớn hơn bằng 10 khi đó ta làm như sau y = f ¢( x) A ( 3;10) ;B(a;10) a Î ( 8;10) Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số tại , . ïìï f ( x + 4) ³ 10,khi 3 £ x + 4 £ a ïï Þ í æ 3ö 3 ïï gç ÷ £ 5,khi 0 £ 2x £ 11 ç2x - ÷ ÷ ÷ ï ç 2ø 2 è Khi đó ta có îï ïìï f ( x + 4) ³ 10,khi - 1 £ x < 6;voi 3 < a < 10 ïï í æ 3ö 3 25 ïï gç ÷ £ 5,khi £ x £ ç2x - ÷ ÷ ç ïîï è 2÷ 4 4 ø . æ 3ö 3 ÷ h¢( x) = f ¢( x + 4) - 2g¢ç >0 ç2x - ÷ ÷ £ x <6 ÷ ç 2ø è Do đó khi 4 . 3 £ x <6 Vì vậy ta loại được đáp án A, C, D. Chỉ còn đáp án B thỏa kq 4 bài toán 18 GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN V-DẠNG 5: SO SÁNH GIÁ TRỊ f (a); f (b); f (c).... Dựa vào bàng biến thiên dòng cuối là miền giá trị. Ta xét các giá trị cực đại, cực tiểu và dựa vào điều kiện đề bài để so sánh Ví dụ: Cho hàm số Biết rằng y = f ( x) f( 0) + f( 3) = có đạo hàm là f ¢( x) . Đồ thị của hàm số ( 2) + ( 5) . So sánh các giá trị f(0); f (2); y = f ¢( x) được cho như hình vẽ bên. (5) Giải é0;5ù ë ú û Từ đồ thị ta có bảng biến thiên trên ê Từ bảng biến thiên ta thấy Mà đề cho f ( 2) nhỏ nhất trong ba giá trị cần so sánh. f( 0) + f( 3) = f( 2) + f( 5) Þ Từ đây ta có kết quả: ( 0) - ( 5) = ( 2) - ( 3) < 0 Þ f( 0) < ( 5) . f(2) < f (0) < (5) Chú ý: muốn so sánh hai giá trị nào thì ta dồn hai giá trị đó về cùng một vế để so sánh. Ví dụ: Cho hàm số rằng y = f ( x) f( 0) + f( 1) - 2f ( 2) = có đạo hàm là f ¢( x) . Đồ thị của hàm số ( 4) - ( 3) . So sánh giá trị Giải é0;4ù ê û ú Từ đồ thị trên suy ra bảng biến thiên trên ë 19 y = f ¢( x) f(0); f (2); (4) được cho như hình vẽ bên. Biết GV: BÙI HỒNG PHONG THPT CHUYÊN NGUYỄN KHUYẾN Dựa vào BBT ta có Ta lại có: f ( 2) f( 1) < f(2); lớn nhất trong ba giá trị cần so sánh ( 3f) < ( f2) Þ ( 1)f+ ( 3) < 2 ( 2) Û f( 0) + f( 1) - 2f ( 2) = f( 4) - Từ đây ta có kết quả: Ví dụ: Cho hàm số 2 ( 2) - ( 1) - ( 3) > 0 (f3) Û f( 0) - ( 4) = 2 ( 2) - ( 3) - ( 1) > 0 Þ ( 0) > ( 4) . f(4) < f (0) < (2) y = f ( x) y = f ¢( x) có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số như trong hình vẽ bên dưới. So sánh giá trị f (a); f (b;); f (c) . y f  x  a O y= c b x Giải Từ đồ thị của hàm số x , y y = f '( x) - ¥ ta có bảng biến thiên như sau: a - 0 + b 0 +¥ c - 0 + f ( b) y f ( a) Dựa vào bảng biến thiên thì f ( b) f ( c) lớn nhất trong 3 giá trị đề bài yêu cầu so sánh. Bây giờ ta cần so sánh hai giá trị còn lại. Trong bài này không so sánh được như hai ví dụ trên vì vậy ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình phẳng. Theo quan sát hình vẽ thì b c a b ò f '( x)dx > 0; ò f '( x)dx < 0 éa;bù é b;cù ê û úlớn hơn hình phẳng giới hạn trên ë ê únên û trên ë 20 và điện tích hình phẳng giới hạn