i
Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan r»ng c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong luËn v¨n nµy lµ hoµn
toµn trung thùc vµ kh«ng trïng lÆp víi ®Ò tµi kh¸c. Nguån tµi liÖu sö dông
cho viÖc hoµn thµnh luËn v¨n ®· ®îc sù ®ång ý cña c¸ nh©n vµ tæ chøc. C¸c
th«ng tin, tµi liÖu trong luËn v¨n nµy ®· ®îc ghi râ nguån gèc.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2013
Häc viªn
NguyÔn Thïy Trang
X¸c nhËn
X¸c nhËn
cña Trëng khoa chuyªn m«n
cña ngêi híng dÉn khoa häc
TS. TrÇn Nguyªn An
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
ii
Lêi c¶m ¬n
LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù chØ b¶o vµ híng dÉn tËn t×nh cña TS.
TrÇn Nguyªn An. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian híng dÉn vµ gi¶i ®¸p c¸c
th¾c m¾c cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin bµy tá lßng biÕt
¬n s©u s¾c ®Õn thÇy.
T«i xin göi tíi c¸c thÇy c« Khoa To¸n, Khoa Sau ®¹i häc Trêng §¹i häc
S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn còng nh c¸c thÇy c« ®· tham gia gi¶ng d¹y
khãa häc 2011-2013, lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt vÒ c«ng lao d¹y dç trong suèt
qu¸ tr×nh gi¸o dôc, ®µo t¹o cña nhµ trêng.
T«i xin c¶m ¬n Trêng §¹i häc C«ng nghÖ th«ng tin vµ TruyÒn th«ng §¹i häc Th¸i Nguyªn, n¬i t«i ®ang c«ng t¸c, ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn
thµnh khãa häc nµy.
T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ vµ ngêi th©n ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn,
®éng viªn, cæ vò ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2013
Häc viªn
NguyÔn Thïy Trang
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
iii
Môc lôc
Trang
Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ch¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. Ph©n tÝch nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. ChiÒu vµ ®é cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ch¬ng 2. C¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Thø tù tõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. C¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. ThuËt to¸n Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ch¬ng 3. Ph©n tÝch nguyªn s¬ cña c¸c i®ªan trong
K[x, y]
theo c¬ së
Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. C¬ së Groebner cña vµnh
K[x, y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.2. TÝnh to¸n c¸c thµnh phÇn nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
1
Më ®Çu
N¨m 1964, Hironaka ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm c¬ së chuÈn t¾c cho i®ªan
c¸c chuçi lòy thõa h×nh thøc. Mét n¨m sau, n¨m 1965, Buchberger ®· ®Þnh
nghÜa ®éc lËp mét kh¸i niÖm t¬ng tù cho i®ªan c¸c ®a thøc mµ «ng gäi lµ
c¬ së Groebner, tªn ngêi thÇy híng dÉn cña Buchberger, h¬n n÷a «ng cßn
®a ra mét thuËt to¸n tÝnh c¬ së Groebner, lµ thuËt to¸n Buchberger. C¬ së
Groebner nhanh chãng trë thµnh trung t©m cña §¹i sè m¸y tÝnh (Computer
Algebra) vµ lµ c«ng cô h÷u hiÖu trong rÊt nhiÒu bµi to¸n cña §¹i sè giao
ho¸n vµ H×nh häc ®¹i sè.
Trong luËn v¨n nµy, chóng t«i tr×nh bµy vÒ c¬ së Groebner vµ mét ¸p
dông cña c¬ së Groebner ®Ó ph©n tÝch nguyªn s¬ mét i®ªan trong vµnh ®a
thøc
K[x, y], víi K lµ mét trêng, theo bµi b¸o "Ideal bases and primary
decomposition: case of two variables" cña Lazard [3]. Còng cÇn ph¶i nãi
thªm r»ng, ph©n tÝch nguyªn s¬ cña mét i®ªan lµ mét bµi to¸n quan träng
trong §¹i sè giao ho¸n vµ H×nh häc §¹i sè, ®Æc biÖt lµ ph©n tÝch nguyªn s¬
cña i®ªan trong vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn mét trêng.
LuËn v¨n bao gåm ba ch¬ng. Ch¬ng mét tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc
chuÈn bÞ cña luËn v¨n nh ph©n tÝch nguyªn s¬ cña i®ªan trªn vµnh giao
ho¸n, chiÒu cña vµnh, ®é cao cña i®ªan. Ch¬ng hai tr×nh bµy chi tiÕt vÒ c¬
së Groebner vµ thuËt to¸n Buchberger ®Ó t×m c¬ së Groebner theo thuËt ng÷
cña Robbiano [5]. Ch¬ng ba tr×nh bµy mét thuËt to¸n cña Lazard vÒ mét ¸p
dông cña c¬ së Groebner trong viÖc t×m ph©n tÝch nguyªn s¬ cña mét i®ªan
trong vµnh ®a thøc hai biÕn
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
K[x, y] víi K lµ mét trêng.
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
2
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy vµ toµn bé luËn v¨n, ta lu«n gi¶ thiÕt
A lµ vµnh giao ho¸n
cã ®¬n vÞ.
1.1
Ph©n tÝch nguyªn s¬
1.1.1 §Þnh nghÜa.
s¬ cña
(i)
Cho Q lµ mét i®ªan cña A. Ta nãi r»ng Q lµ i®ªan nguyªn
A nÕu:
Q lµ i®ªan thËt sù cña A;
(ii) Víi
a, b bÊt kú thuéc A mµ ab ∈ Q; a 6∈ Q, tån t¹i n ∈ N sao cho
bn ∈ Q.
1.1.2 VÝ dô.
(ii) Trong
(i) Mäi i®ªan nguyªn tè lµ i®ªan nguyªn s¬.
Z, i®ªan 4Z lµ nguyªn s¬ nhng kh«ng lµ i®ªan nguyªn tè.
lµ i®ªan
P
lµ i®ªan
lµ i®ªan nguyªn tè cña A; Q1 , Q2 , ..., Qn (n ≥
n
- nguyªn s¬ cña A. Khi ®ã, ∩ Qi còng lµ P - nguyªn s¬.
i=1
1) lµ c¸c
Cho
nguyªn tè cña
A
Q
lµ i®ªan nguyªn s¬ cña
vµ ta nãi r»ng
nguyªn tè nhá nhÊt cña
1.1.4 Bæ ®Ò.
i®ªan
P
Cho
1.1.5 MÖnh ®Ò.
tèi ®¹i cña
Q
lµ
P
A.
Khi ®ã,
P =
√
Q
1.1.3 Bæ ®Ò.
- nguyªn s¬. H¬n n÷a,
A chøa Q.
P
Cho
Q
lµ mét i®ªan cña
A
sao cho
√
Q=m
lµ mét i®ªan
A. Khi ®ã, Q lµ i®ªan nguyªn s¬ hay i®ªan m - nguyªn s¬ cña A.
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
3
1.1.6 §Þnh nghÜa.
Cho
I lµ i®ªan thùc sù cña A. Mét ph©n tÝch nguyªn s¬
cña
I lµ mét biÓu diÔn cña I nh lµ giao cña h÷u h¹n c¸c i®ªan nguyªn s¬
cña
A. Mét ph©n tÝch nguyªn s¬
I = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn ,
víi
√
Qi = Pi hay Qi lµ Pi - nguyªn s¬, i = 1, 2, ..., n ®îc gäi lµ ph©n tÝch
nguyªn s¬ tèi tiÓu cña
(i)
I nÕu tháa m·n hai ®iÒu kiÖn sau:
P1 , P2 , ..., Pn lµ n i®ªan nguyªn tè ®«i mét kh¸c nhau cña A,
(ii)
n
∀j = 1, ..., n ta cã Qj + ∩ Qi .
Ta nãi
i=1
i6=j
lµ i®ªan ph©n tÝch ®îc cña
I
A nÕu nã cã mét ph©n tÝch nguyªn
s¬.
1.1.7 §Þnh lý
®îc cña
(§Þnh lý duy nhÊt thø nhÊt). Cho
I
lµ mét i®ªan ph©n tÝch
A. Gi¶ sö
I = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn
víi
√
Qi = Pi ; i = 1, 2, ..., n vµ
I = Q01 ∩ Q02 ∩ ... ∩ Q0n0
víi
p 0
Qi = Pi0 ; i = 1, 2, ..., n0
®ã,
n = n0
vµ ta cã:
1.1.8 §Þnh nghÜa.
... ∩ Qn ,
√
lµ hai ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña
I . Khi
{P1 , P2 , ..., Pn } = {P10 , P20 , ..., Pn0 }.
Gi¶ sö
I lµ i®ªan ph©n tÝch ®îc cña A, vµ I = Q1 ∩ Q2 ∩
Qi = Pi , i = 1, ..., n lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña I.
Khi ®ã, tËp
{P1 , ..., Pn }
®éc lËp víi c¸ch chän ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña
i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña
1.1.9 §Þnh nghÜa.
tiÓu cña
Gi¶ sö
I vµ ®îc gäi lµ tËp
I , ký hiÖu Ass(I).
I lµ i®ªan ph©n tÝch ®îc cña A. C¸c phÇn tö tèi
Ass(I) ®îc gäi lµ c¸c i®ªan nguyªn tè tèi tiÓu cña I hay c¸c i®ªan
nguyªn tè c« lËp,
nguyªn tè nhóng
c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cßn l¹i ®îc gäi lµ c¸c i®ªan
cña I .
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
4
(§Þnh lý duy nhÊt thø hai). Cho
1.1.10 §Þnh lý
®îc cña
I
lµ mét i®ªan ph©n tÝch
A, Ass(I) = {P1 , ..., Pn }. Gi¶ sö
I = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn
√
víi
Qi = Pi ; i = 1, 2, ..., n vµ
I = Q01 ∩ Q02 ∩ ... ∩ Q0n
p 0
Qi = Pi ; i = 1, 2, ..., n0
víi
®ã, víi mçi
i mµ Pi
lµ hai ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña
lµ i®ªan nguyªn tè tèi tiÓu cña
I
phÇn nguyªn s¬ øng víi i®ªan nguyªn tè c« lËp cña
bëi
th×
I
Qi = Q0i
I . Khi
hay thµnh
lµ x¸c ®Þnh duy nhÊt
I , kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu.
1.1.11 §Þnh lý.
Mäi i®ªan thùc sù trong vµnh Noether ®Òu cã ph©n tÝch
nguyªn s¬, do ®ã cã ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu.
1.1.12 §Þnh lý
vµnh ®a thøc
1.1.13 VÝ dô.
c¸c biÕn
(§Þnh lý c¬ së Hilbert). Gi¶ sö
A
lµ vµnh Noether. Khi ®ã,
A[x1 , ..., xn ] còng lµ vµnh Noether.
Gi¶ sö
K lµ mét trêng vµ A = K[x, y] lµ vµnh ®a thøc cña
x, y. Ta cã:
xy, y 2 = hx, yi2 ∩ hyi = x, y 2 ∩ hyi
q
lµ hai ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña I = xy, y . L¹i cã,
hx, yi2 =
p
hx, y 2 i = hx, yi nªn Ass(I) = {hyi , hx, yi}, trong ®ã hyi lµ i®ªan nguyªn
tè c« lËp (tèi tiÓu) cña
2
I vµ hx, yi lµ i®ªan nguyªn tè nhóng cña I.
MÖnh ®Ò sau ®a ra mèi liªn hÖ gi÷a i®ªan nguyªn s¬ víi ®Þa ph¬ng hãa.
Chó ý, víi
S = A \ P lµ tËp ®ãng nh©n cña A, I lµ i®ªan cña A, ta ký hiÖu
IP = S −1 I .
1.1.14 MÖnh ®Ò.
Gi¶ sö
Q
lµ i®ªan nguyªn s¬ cña
A
víi
√
Q = P, P ∈
Spec(A). Khi ®ã:
(i) NÕu
(ii) NÕu
P *P
P ⊆P
th×
th×
PP = QP = AP .
PP ∩ A = P
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
vµ
QP = Q.
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
5
1.2
ChiÒu vµ ®é cao
1.2.1 §Þnh nghÜa.
(ChiÒu Krull) Mét d·y gi¶m thùc sù c¸c i®ªan nguyªn tè
P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ... ⊃ Pn cña vµnh A ®îc gäi lµ mét xÝch nguyªn tè cã ®é
dµi lµ
n. CËn trªn cña ®é dµi tÊt c¶ c¸c xÝch nguyªn tè trong A ®îc gäi lµ
chiÒu Krull cña
A, hay chiÒu cña vµnh A. KÝ hiÖu lµ dim A.
1.2.2 §Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
P lµ mét i®ªan nguyªn tè cña A. ChiÒu cña i®ªan
P lµ chiÒu cña vµnh A/P , ký hiÖu dim P. Gi¶ sö I lµ mét i®ªan bÊt kú
cña
A th× dim I = sup {dimP | P ∈ V (I)} , trong ®ã V (I) lµ tËp c¸c i®ªan
nguyªn tè cña
A chøa I .
1.2.3 §Þnh nghÜa.
Gi¶ sö P lµ mét i®ªan nguyªn tè cña A. ChiÒu dµi lín nhÊt
cña mäi d·y gi¶m thùc sù c¸c i®ªan nguyªn tè P
xuÊt ph¸t tõ
i®ªan cña
= P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ... ⊃ Pr
P , ®îc gäi lµ ®é cao cña P , kÝ hiÖu lµ ht P. Gi¶ sö I lµ mét
A. §é cao cña i®ªan I , kÝ hiÖu ht I , ®îc cho bëi c«ng thøc
ht I = inf {ht P | P ∈ V (I)}.
MÖnh ®Ò sau nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu vµ ®é cao.
1.2.4 MÖnh ®Ò.
vµ nÕu
(i) Gi¶ sö
K
lµ mét trêng. Khi ®ã,
dim K[x1 , ..., xn ] = n
m lµ i®ªan tèi ®¹i cña K[x1 , ..., xn ] th× ht m = n.
(ii) NÕu
(A, m) lµ mét vµnh ®Þa ph¬ng th× dim A = ht m.
(iii) Cho P lµ mét i®ªan nguyªn tè cña vµnh A, khi ®ã dim AP
= ht P AP =
ht P .
(iv) Trong miÒn ph©n tÝch duy nhÊt
D,
mäi i®ªan nguyªn tè cã ®é cao
1
lµ i®ªan chÝnh.
1.2.5 §Þnh lý
I
(§Þnh lý i®ªan chÝnh cña Krull). Gi¶ sö A lµ mét vµnh Noether,
lµ i®ªan thùc sù cña
1.2.6 §Þnh nghÜa.
i®ªan nguyªn tè
A sinh bëi n phÇn tö. Khi ®ã ht(I) ≤ n.
Cho
Q ⊂ P lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña A. Mét d·y c¸c
Q = P0 ⊂ P1 ⊂ . . . Pn = P sao cho Pi 6= Pi+1 , ∀i, ®îc
gäi lµ mét d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a
mét i®ªan nguyªn tè chÌn gi÷a
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
Q vµ P nÕu víi mäi i, kh«ng tån t¹i
Pi vµ Pi+1 .
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
6
Ta nãi r»ng vµnh
A lµ catenary nÕu víi mäi i®ªan nguyªn tè Q ⊂ P cña
A lu«n tån t¹i mét d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a Q vµ P vµ mäi d·y nguyªn
tè b·o hoµ gi÷a
Q vµ P ®Òu cã chung ®é dµi.
NÕu A lµ mét vµnh catenary vµ P
∈ Spec(A) th× ta cã dim A = dim A/P +
ht P . VÝ dô, vµnh K[x1 , ..., xn ] lµ mét vµnh catenary. §Æc biÖt, K[x, y] lµ
vµnh catenary nªn nÕu
P ∈ Spec(K[x, y]) lµ i®ªan nguyªn tè chiÒu 1 th×
ht P = 1. Do ®ã, theo MÖnh ®Ò 1.2.4(iv) th× P lµ i®ªan chÝnh. Tõ ®ã, ta
chøng minh ®îc kÕt qu¶ sau.
1.2.7 MÖnh ®Ò.
K[x, y], K
Gi¶ sö
0 6= I = hf0 , ..., fk i 6= K[x, y],
lµ mét trêng. Khi ®ã,
víi
f0 , ..., fk ∈
U CLN {fi } = 1 nÕu vµ chØ nÕu dim I =
0.
Chøng minh.
(⇒) V×
I 6= 0 nªn dim I = 1 hoÆc dim I = 0. NÕu dim I = 1
th× tån t¹i i®ªan nguyªn tè
P sao cho I ⊆ P vµ dim P = 1. V× K[x, y] lµ
miÒn ph©n tÝch duy nhÊt nªn
Do ®ã q|fi víi mäi i
V× vËy
P lµ i®ªan chÝnh. Do ®ã P = hqi, q ∈ K[x, y].
= 0, ..., k . §iÒu nµy v« lý víi gi¶ thiÕt U CLN {fi } = 1.
dim I = 0.
(⇐) Gi¶ sö
U CLN {fi } =
6 1. Khi ®ã tån t¹i ®a thøc bÊt kh¶ quy d ∈
K[x, y] tháa m·n d|fi víi mäi i = 0, ..., k. §iÒu nµy kÐo theo I ⊆ hdi. V×
d bÊt kh¶ quy nªn hdi lµ i®ªan nguyªn tè. MÆt kh¸c dim I = 0 nªn hdi lµ
i®ªan tèi ®¹i. Do ®ã
®ã
ht hdi = 2. V« lý víi §Þnh lý i®ªan chÝnh cña Krull. Do
U CLN {fi } = 1.
Gi¶ sö
I lµ i®ªan chiÒu 0 cña A. NhËn xÐt r»ng, chØ cã i®ªan tèi ®¹i lµ
i®ªan nguyªn tè chøa
I . Do ®ã, nÕu A lµ vµnh Noether th× I chØ cã i®ªan
nguyªn tè liªn kÕt lµ c¸c i®ªan tèi ®¹i vµ kh«ng cã i®ªan nguyªn tè nhóng.
Hay nãi c¸ch kh¸c,
I biÓu diÔn duy nhÊt thµnh giao cña c¸c i®ªan nguyªn
s¬. §Æc biÖt, mét i®ªan cña vµnh
K[x, y] cã ph©n tÝch nguyªn s¬ duy nhÊt
nÕu c¸c ®a thøc trong tËp sinh cña nã nguyªn tè cïng nhau.
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
7
Ch¬ng 2
C¬ së Groebner
Trong ch¬ng nµy, ta nghiªn cøu c¬ së Groebner giíi h¹n trong vµnh ®a thøc
A = K[x1 , x2 , ..., xn ] = K[x], trong ®ã K lµ mét trêng. C¸c i®ªan trong A
cã thÓ ®îc biÓu diÔn bëi mét tËp sinh gåm h÷u h¹n c¸c ®a thøc, gäi lµ c¬
së. Ta cã thÓ chØ ra r»ng, víi bÊt kú mét tËp sinh h÷u h¹n nµo cña mét i®ªan
I trong A ®Òu cã thÓ dïng thuËt to¸n ®Ó biÕn ®æi thµnh mét c¬ së Groebner
cña I .
2.1
Thø tù tõ
2.1.1 §Þnh nghÜa.
thøc cña
Gi¶ sö
≤ lµ mét thø tù toµn phÇn trªn tËp T tÊt c¶ c¸c ®¬n
K[x]. Thø tù ≤ ®îc gäi lµ thø tù tõ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt
sau:
(i) Víi mäi
(ii) NÕu
m ∈ T, 1 ≤ m,
m1 , m2 , m ∈ T mµ m1 ≤ m2 th× mm1 ≤ mm2 .
2.1.2 Bæ ®Ò.
Mét thø tù toµn phÇn
≤ trªn T
lµ thø tù tèt khi vµ chØ khi mäi
d·y ®¬n thøc thùc sù gi¶m:
m1 > m2 > m3 > . . .
®Òu dõng (sau h÷u h¹n phÇn tö).
Chøng minh.
NÕu
≤ kh«ng lµ thø tù tèt th× tån t¹i tËp con B ⊆ T sao cho B
kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt. LÊy
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
m1 lµ phÇn tö tïy ý thuéc B . V× B kh«ng cã
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
8
phÇn tö nhá nhÊt nªn tån t¹i m2
®îc
< m1 trong B . TiÕp tôc nh vËy, sau khi t×m
n ®¬n thøc m1 > m2 > . . . > mn trong B , ta l¹i t×m ®îc mn+1 ∈ B
sao cho
mn > mn+1 . B»ng quy n¹p, ta x©y dùng ®îc mét d·y v« h¹n c¸c
®¬n thøc thùc sù gi¶m. Ngîc l¹i, nÕu cã mét d·y v« h¹n c¸c ®¬n thøc thùc
sù gi¶m th× d·y ®ã kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt. VËy thø tù ®· cho kh«ng ph¶i
lµ thø tù tèt.
2.1.3 Bæ ®Ò.
Mäi thø tù tõ lµ thø tù tèt. Ngîc l¹i, mäi thø tù tèt trªn
m·n ®iÒu kiÖn
Chøng minh.
T
tháa
(ii) cña §Þnh nghÜa 2.1.1 lµ thø tù tõ.
Cho
≤ lµ thø tù tõ. Gi¶ sö ∅ 6= B ⊆ T . Gäi I ⊆ K[x] lµ
i®ªan ®¬n thøc sinh bëi
B . Theo Bæ ®Ò Dickson (mäi i®ªan ®¬n thøc ®Òu
h÷u h¹n sinh), tån t¹i mét sè h÷u h¹n phÇn tö
m1 , . . . , mn ∈ B sao cho I =
hm1 , . . . , mn i. V× ≤ lµ thø tù toµn phÇn nªn cã thÓ gi¶ thiÕt m1 ≤ mi ,
víi mäi
i ≤ n. Ta chøng tá m1 lµ phÇn tö nhá nhÊt cña B . Cho m ∈ B
tïy ý. V×
víi
I = hm1 , . . . , mn i nªn ta t×m ®îc i ≤ n sao cho m = m0 mi ,
m0 lµ ®¬n thøc nµo ®ã. V× 1 ≤ m0 nªn theo §Þnh nghÜa 2.1.1(ii) th×
m1 ≤ mi ≤ m0 .mi = m. Do ®ã, m1 lµ phÇn tö nhá nhÊt cña B vµ ≤ lµ thø
tù tèt.
Ngîc l¹i, cho
≤ lµ thø tù tèt. Gi¶ sö tån t¹i ®¬n thøc m sao cho 1 > m.
Khi ®ã theo tÝnh chÊt
(ii),
m = 1.m > m.m = m2 , m2 = m.m > m2 .m = m3 , . . .
Cø nh vËy sÏ nhËn ®îc d·y v« h¹n ®¬n thøc thùc sù gi¶m:
1 > m > m2 > m3 > . . .
Theo Bæ ®Ò 2.1.2 th× ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt
≤ lµ thø tù tèt. VËy ≤ tháa
m·n hai ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii) cña §Þnh nghÜa 2.1.1, hay ≤ lµ mét thø tù tõ.
Sau ®©y ta giíi thiÖu mét sè thø tù tõ hay dïng. Cho
≤ lµ mét thø tù tõ.
Sau khi ®æi chØ sè c¸c biÕn lu«n cã thÓ gi¶ thiÕt:
x1 > x2 > . . . > xn .
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
9
2.1.4
§Þnh
nghÜa.
Thø tù tõ ®iÓn lµ thø tù
≤lex x¸c ®Þnh nh sau:
xα1 1 . . . xαnn
βi .
2.1.7 MÖnh ®Ò.
2.1.8 VÝ dô.
(i)
Ba thø tù kÓ trªn lµ thø tù tõ.
x1 x32 x23 glex x1 x24 nhng x1 x24 >rlex x1 x2 x4 .
(ii)
Nh vËy ba thø tù tõ trªn lµ thùc sù kh¸c nhau.
2.2
C¬ së Groebner
Gi¶ sö
deg(f ) nÕu lt(g) >T lt(f ).
2.2.2 §Þnh nghÜa.
Cho
F = {f1 , f2 , .., ft } ⊆ A\ {0} vµ I = hf1 , f2 , ..., ft i.
F ®îc gäi lµ mét c¬ së Groebner cña I nÕu hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(ft )i = lt(I).
Bæ ®Ò díi ®©y sÏ chØ ra r»ng lu«n tån t¹i c¬ së Groebner cña mét i®ªan
I tïy ý trong A.
2.2.3 MÖnh ®Ò.
trong ®ã
K
Cho
I 6= h0i lµ mét i®ªan thËt sù cña A = K[x1 , x2 , ..., xn ]
lµ mét trêng. Khi ®ã lu«n tån t¹i c¬ së Groebner cña
Chøng minh.
Cho
I.
I lµ mét i®ªan cña A. V× A lµ vµnh Noether nªn I lµ h÷u
h¹n sinh. Do ®ã tån t¹i
{f1 , f2 , .., ft } ⊆ A\ {0} sao cho
I = hf1 , f2 , ..., fr i .
Gi¶ sö kh«ng tån t¹i c¬ së Groebner cña I , khi ®ã ta cã:
lt(I) 6⊆ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr )i ,
vµ v× vËy tån t¹i phÇn tö kh¸c kh«ng fr+1
∈ I sao cho
lt(fr+1 ) 6∈ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr )i
vµ
{f1 , f2 , ..., fr+1 } kh«ng ph¶i lµ c¬ së Groebner cña I . TiÕp tôc qu¸ tr×nh
nµy, ®Õn bíc thø
i ta ®îc:
fr+i ∈ I vµ lt(fr+i ) 6∈ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr+i−1 )i .
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
11
§Æt
Hi = hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr+i )i víi i = 1, 2, .... Khi ®ã ta ®îc d·y
t¨ng c¸c i®ªan cña
A,
H0 ⊆ H1 ⊆ ... ⊆ Hi ⊆ ...
kh«ng dõng, m©u thuÉn víi
§Ó xem tËp
A lµ vµnh Noether.
F cã lµ c¬ së Groebner cña i®ªan I = hF i kh«ng, ta cÇn
xÐt quan hÖ thø tù toµn phÇn cña c¸c ®¬n thøc trong vµnh. Trong c¸c vÝ dô
sau, ta gi¶ thiÕt c¸c ®¬n thøc cña
(x
A ®îc s¾p xÕp theo quan hÖ thø tù tõ ®iÓn
< y) :
1 < x < x2 < ... < y < xy < x2 y < ... < y 2 < xy 2 < ....
2.2.4 VÝ dô.
Cho
F = {x, y} ⊆ A = K[x, y] vµ cho I = hx, yi. V×
lt(I) = hx, yi nªn F lµ c¬ së Groebner cña I .
Trong vÝ dô tíi, chóng ta sÏ xÐt mét tËp sinh kh¸c cña I .
2.2.5 VÝ dô.
Cho
H = {y + x, y} ⊆ A = K[x, y]. Ta cã I = hy + x, yi.
lt(H) = lt(y + x) = lt(y) = y vµ do x ∈ I nªn x = lt(x) ∈ lt(I) nhng
x 6∈ lt(H). Do ®ã H kh«ng ph¶i lµ c¬ së Groebner cña I .
Trong vÝ dô trªn nÕu c¸c ®¬n thøc cña
A ®îc cho bëi thø tù:
1 < y < y 2 < ... < x < xy < xy 2 < ... < x2 < x2 y < ...
th×
H sÏ lµ c¬ së Groebner cña I . V× vËy c¬ së Groebner phô thuéc vµo quan
hÖ thø tù toµn phÇn.
H¬n n÷a, víi quan hÖ thø tù tõ ®iÓn ngîc,
cña
F vµ H ®Òu lµ c¬ së Groebner
I = hx, yi. V× vËy chóng ta nhËn thÊy r»ng c¬ së Groebner cña mét
i®ªan kh«ng ph¶i lµ duy nhÊt.
Cho mét tËp sinh tïy ý c¸c ®a thøc kh¸c kh«ng
F = {f1 , f2 , ..., ft } cña
I , khi ®ã lt(F ) = hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(ft )i ⊆ lt(I). Ta sÏ t×m c¸ch biÕn
®æi
F ®Ó ®îc c¬ së Groebner b»ng viÖc thªm vµo F mét sè c¸c ®a thøc
{ft+1 , ..., fs } nµo ®ã thuéc I ®Ó ®¶m b¶o r»ng lt(I) ⊆ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fs )i.
§Ó lµm ®îc ®iÒu nµy, tríc hÕt ta ®a ra ®Þnh nghÜa sau.
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
12
2.2.6 §Þnh nghÜa.
nãi
Cho
f, g ∈ K[x1 , x2 , ..., xn ] vµ F = {f1 , f2 , ..., ft }. Ta
f ®îc gäi lµ dÉn vÒ g theo F , hoÆc g lµ viÕt l¹i cña f , kÝ hiÖu f RF g
nÕu tån t¹i
fi ∈ F vµ T ∈
T
sao cho
g = f−
ci
lc(fi ) .T.fi , trong ®ã
ci =
coef (f, T.lt(fi )).
Lu ý r»ng khi
f RF g , víi g 6= f , th× tån t¹i fi ∈ F sao cho lt(fi ) chia
hÕt mét ®¬n thøc nµo ®ã cña
cña
f vµ ta chän T sao cho T.lt(fi ) khö tõ ®ã
f ®Ó ®îc g . Nh×n chung lt (g) ≤T lt (f ), tuy nhiªn trêng hîp ®Æc biÖt
lt (g) T lt(hj ) = Tj+1 .lt(pj+1 ). ThËt vËy, nÕu tr¸i l¹i th× tån
t¹i
r < m sao cho víi mäi T ∈ T vµ p ∈ F ; lt(hr ) 6= T.lt(p) ta cã:
lt(hr ) = lt(hr+1 ) = ... = lt(hm ).
§iÒu nµy m©u thuÉn víi
hm = 0. ThÕ ngîc trë l¹i c¸c ph¬ng tr×nh ë (∗)
ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
Trong c¸c vÝ dô sau ®©y, c¸c ®¬n thøc cña
thø tù tõ ®iÓn (x
2.2.9 VÝ dô.
Khi ®ã
A ®îc s¾p xÕp theo quan hÖ
< y ).
Cho F
= {f1 , f2 } trong ®ã f1 = x vµ f2 = y . Cho f = xy 2 +x2 .
F
F
F
f → x2 v× x2 = f − xy.f2 vµ x2 → 0 v× 0 = x2 − x.f1 . Khi ®ã: f → 0.
2.2.10 VÝ dô.
Cho
H = {h1 , h2 } trong ®ã h1 = y + x vµ h2 = y . Cho
H
H
f = x.y 2 + x2 . Khi ®ã: f → x2 v× x2 = f − xy.h2 , nhng x2 9 0 v× x2
kh«ng lµ béi cña
lt(h1 ) hay lt(h2 ).
Nh vËy mét tËp sinh
thøc trong
F lµ c¬ së Groebner cña I khi vµ chØ khi mäi ®a
I ®Òu cã thÓ dÉn vÒ 0 theo F . Chóng ta kh¼ng ®Þnh ®iÒu nµy trong
®Þnh lý sau.
2.2.11 §Þnh lý.
trong ®ã
K
Cho
F = {f1 , f2 , ..., ft } ⊆ A\ {0} = K[x1 , x2 , ..., xn ]\ {0},
lµ mét trêng. Gi¶ sö
I = hf1 , f2 , ..., ft i.
Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò
sau t¬ng ®¬ng:
(i)
F
lµ c¬ së Groebner cña
(ii) NÕu
f ∈ I\ {0}
I;
th× tån t¹i
g1 , g2 , ..., gt ∈ A
sao cho
f =
t
P
gj fj ,
j=1
trong ®ã víi mäi
sao cho
(iii)
j , lt(f ) ≥T lt(gj ).lt(fj ).
§iÒu nµy kÐo theo tån t¹i
i≤t
lt(f ) = lt(gi ).lt(fi );
f ∈I
Chøng minh.
khi vµ chØ khi
F
f → 0.
Tríc hÕt ta chøng minh sù kÐo theo trong
I\ {0} sao cho tån t¹i g1 , g2 , ..., gt ∈ A ®Ó f =
t
P
(ii). Gi¶ sö f ∈
gj fj trong ®ã víi mäi j ,
j=1
Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu
http://www.lrc-tnu.edu.vn/
14
lt(f ) ≥T lt(gj ).lt(fj ). Khi ®ã,
lt(f ) ≥T lt(gj ).lt(fj ).
V× vËy
lt(f ) ≥T max {lt (gj ) .lt (fj )} .
Tuy nhiªn, ta lu«n cã
lt(f ) ≤T max {lt (gj ) .lt (fj )} .
Suy ra tån t¹i
i ≤ t sao cho
lt(f ) = lt(gi ).lt(fi ) = max {lt (gj ) .lt (fj )} .
(i ⇒ ii) Gi¶ sö (ii) kh«ng ®óng. Khi ®ã tån t¹i f ∈ I\ {0} nhá nhÊt sao
cho
(ii) kh«ng ®óng. Theo gi¶ thiÕt lt(f ) ∈ hlt (f1 ) , lt (f2 ) , ..., lt (ft )i. V×
vËy tån t¹i ci
∈ K vµ Ti ∈ T sao cho
X
lt(f ) =
cj Tj lt (fj ) .
fj ∈F
V×
lt(f ) ∈
T ∈
T
vµ
T
nªn nã kh«ng thÓ b»ng tæng cña c¸c ®¬n thøc v× thÕ tån t¹i
k ≤ t, sao cho lt(f ) = T.lt(fk ). KÐo theo tån t¹i mét phÇn tö
c ∈ K víi lt(f − cT fk )
- Xem thêm -
.PDF 
47 
143 
87 
