Tài liệu Chuyendegioihanvalientuchamso11 170223180405

Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim  un   0 hay u n  0 khi n  +. n b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực ( n   ), nếu lim  un  a   0. Kí hiệu: lim  un   a hay u n  a khi n  +. n n  Chú ý: lim  un   lim  un  . n 2. Một vài giới hạn đặc biệt. 1 1  0 , lim k  0 , n ¢ * n n n b) lim q  0 với q  1 . a) lim   c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn  un  wn n  ¥ * và lim  vn   lim  wn   a  lim  un   a . b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un  vn   lim  un   lim  vn   a  b lim  un .vn   lim un .lim vn  a.b lim un lim  un  a   , vn  0 n  ¥ *; b  0 vn lim  vn  b   lim un  lim  un   a ,  un  0 ,a  0  4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q  1. lim Sn  lim u1 1 q 5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  un    khi n dần tới vơ cực  n    nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=  hay un   khi n   . __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 1 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n   nếu lim  un    .Ký hiệu: lim(un)=  hay un   khi n   . c) Định lý:   o Nếu : lim  un   0 un  0 ,n ¥ * thì lim o Nếu : lim  un    thì lim 1 0 un B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 1. Giới hạn của dãy số (un) với un  1  un P  n với P,Q là các đa thức: Q  n o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim  un   a0 . b0 o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=  . 2. Giới hạn của dãy số dạng: un  f n , f và g là các biển thức chứa căn. gn o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. C. CÁC VÍ DỤ. 3n2  2n  5 2 5 3  2 2 2 3n  2n  5 n n n 3 1. lim  lim lim 2 2 1 8 7 7n  n  8 7n  n  8 7   n n2 n2 1 n2  1  4n 1 2  4 2 n  1  4n 1 4 5 n n  lim  lim   2. lim 3n  2 2 3n  2 3 3 3 n n 3. lim   n  2n  3  n   lim 2 n2  2n  3  n  n 2  2n  3  n n2  2n  3  n   lim n  2n  3  n 2 2 n 2  2n  3  n 3 2n  3 2n  3 2 n  lim  lim  lim  1 11   2 3 2 3 n2  2n  3  n 1  2 1 n  1   2  1 n n n n   2 n2  2n  3  n là biểu thức liên hợp của n2  2n  3  n __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 2 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số  1 1  1  1 4. 1           ...      2 4  8  2  n1  ...  1 2  . Tổng của cấp số nhân lùi vô  1 3 1     2 1 và số hạng đầu u1=1. 2 n3  2n  1 2 1 1 2  3 3 3 n  2n  1 n n   . 5. lim 2  lim 2 n  lim 1 1 3 2n  n  3 2n  n  3   n n 2 n3 n3 2 3 n  2  3 n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n 2    6. lim 3 n  2  3 n  lim hạn có công bội q        lim 3 3 3 n2  n  2 2    n 3 3  n  2 3  n  2 2  3 n  2. 3 n  3 n2  n  2. n  n 3 3  3 n  2. 3 n  3 n2 3 2  lim 2 3 2 n2n  lim 3  n  2 2  3 n  2. 3 n  3 n 2 0 D. BÀI TẬP 1. Tìm các giới hạn: 7n 2  n 5n2  2 2n  1 lim n2 3n2  1 lim 2 n 4 6n3  3n  1 lim 7n 3  2 n n 2  2n  4 lim 3 7n  2 n  9 n2  2 a) lim f) lim b) 8n3  1 g) lim 2n  5 c) d) e) 3 h) lim 1  2  3  4  ...  n n2  3 3n2  1  n2  1 n n 2  2n  3  n   b) lim 5sin  n   7cos  n  2n  1 b) lim  3. Tìm các giới hạn sau: a) lim  i) lim 2. Tìm các giới hạn sau: a) lim 4n2  2 n 1  n 3  n3  2n 2  n  __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 3 Giải tích 11 c) lim  Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số n2  1  n2  2  h) lim 1  a  a  a  a  ...  a d) lim 1  b  b2  b3  b 4  ...  b n 2 3 n2  3 1  n6 4 n 2 n3 e) lim 4 n  3n2  2 n n   1 f) lim  n1 2n2   1 n 4  1  n2  2n a  1, b  1 i) lim  1  1  1   1  1  1  ... 1       22  32  42   n2   1 2  n 1 4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: b) lim 2n3  11n  1 n2  2 1    k) lim   n 3  n  1 n  2  j) lim  1  g) lim 1  n2  n 4  3n  1 a) lim  n 1 c) lim  n   3  1 n2  2  ...    n2  n  1  n3  n 2  n   n2  2  n2  4 ________________________________________________________________________________ CHỦ ĐỀ 2 :GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn  K và xn  a , n  ¥ * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f  x   L . x a 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim  f  x   L , lim  g  x   M thì: x a x a lim  f  x   g  x   lim  f  x   lim  g  x   L  M x a x a x a lim  f  x  .g  x   lim  f  x  .lim  g  x   L.M x a lim x a x a x a  f  x   L f  x  lim  x a  ,M0 g  x  lim  g  x   M x a __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 4 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số lim f  x   lim  f  x    L ; f  x   0, L  0 x a x a c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)  f(x)  h(x) x  K , x  a và lim  g  x   lim h  x   L  lim  f  x   L . x a x a x a 3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]=  thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim  f  x    . x a b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim  f  x   L . x  c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a n  ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim  f  x   . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số x a (xn), xn < a n  ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim  f  x   x a B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: * f x  0    g x   0  1. Giới hạn của hàm số dạng: lim x a o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. f  x      x  g  x   2. Giới hạn của hàm số dạng: lim o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu x   thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 3. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f  x  .g  x  x    0.  . Ta biến đổi về dạng:     4. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f  x   g  x   x  o Đưa về dạng: lim x  C. CÁC VÍ DỤ  f  x  g x     -  f  x   g x  x 2  3x  2  2   3  2   2 12 1. lim     3 x 2 x 2 4  2   2 2. lim x 2 2  x  2  x  1  lim x  1  2  1  1 .Chia tử và mẫu cho (x-2). x 2  3x  2  lim   x 2 x 2 x 2 x2 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 5 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số   x  1  2 3x  3  lim  x  1  4   3x  3 3x  3   x  1  2   3x  3 x  1  2 3x  3  x  3  3 x  3  3x  3   3.3  3  6  1  lim  lim 3  x  3  x  1  2  3  x  1  2  3  3  1  2  12 2 x 1  2  lim x 3 3x  3 3. lim x 3 x 1  2 2 x 3 x 3 x 3  x 2  3x  1    xlim 3 x 2  3x  1 x 3 4. lim   (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:  2 x 3 x 3  lim x  3 x  1    x 3 x  3 2x2  x  1  x  1 2 x 2  x  1 2 x3  x2  1 5. lim 3  lim  lim . 2 x 1 x  4 x 2  5 x  2 x 1 x 1  x  1 x  2   x  1  x  2      2x2  x  3 1 3 2  2 2 2 2x  x  3 x x x  2 2 6. lim  lim  lim 2 2 x  x  x  1 x 1 x 1 1 1  2 x x2 7. lim x  1  0 x 1 1 2 x 1 1 x 8. lim  lim  lim 1  2  1 x  x  x  x x x 1 1 x 1 2 x 1  2 2 x 1 x  lim x  lim   1  1   1 .  lim 9. lim  2   x  x  x  x   x x x x   2  x  x  3  x  1  10. Cho hàm số : f  x    x+a . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và  x>1   x 2 x 1 tìm giới hạn đó. Giải Ta có : lim  f  x    lim x  x  3  3 . x 1 x 1  2  xa  a 1 x 1 x 1 x Vậy lim  f  x   3  a  1  3  a  2 lim  f  x    lim x 1 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 6 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số    x  2 x2  2x  4 x3  8 0 11. lim  lim  lim x 2  2 x  4  12 . Dạng   . x 2 x  2 x 2 x 2 x 2 0 x3  2x  1 2 1 1   3 x  2x  1 x3 x 2 x 3  1 . Dạng    . 12. lim  lim  lim   x  x  x  1 2x3  1 2x3  1 2  2 3 3 x x 2  3 x 2  x  1 2  3 x 2  x  1   2 2 x2 13. lim  3 x  x  1  lim  lim    3 3 x  x  x  x. 3 x 3  1 x. 3 x 3  1  x. x  1  x2 1 1   2 3   2  x x  6  lim   6 x  1 1 3 1 x3 14. lim x   x2   x  3  x   lim x  x3  lim x  x 3  x 2 x  Dạng      . D. BÀI TẬP. 1. Tìm các giới hạn sau: a) lim x 3  4 x 2  10  lim  5x x 0 b) x 3 2  7x  x2  5 c) lim x 1 x  5 x 2  2 x  15 d) lim x 3 x 3 2 2 x  3x  1 e) lim x 1 x2  1   lim x   x2  x  3  x   x2  x  3  x x2  x  3  x   lim x x  2  x  3  x2 x2  x  3  x x 3 3 1 1 x x  lim  . x 2  x  3  x x  1  1  3  1 2 x x2 x x3  x2  x  1 f) lim x 1 x 1 4 x  a4 g) lim x a x  a x 2  3x  3 h) lim x 7 x2 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 7 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số 2. Tìm các giới hạn : a) b) c) d) e) 2 x 2  3x  1 f) lim 3 x 1 x  x 2  x  1 x2  4x  3 g) lim x 3 x 3 6 4 x  5x 5  x h) lim 2 x 1 1  x  x  1  x2  x  1 lim x 0 x x x2 lim x 2 4x  1  3 1 3 x 1 lim x 0 3x 3 x 1 lim x 1 x2  3  2 x 2  3x  2 lim 2 x 2  x  2 i) lim 3 x 2 3. Tìm các giới hạn sau: 3x 2  5x  1 a) lim x  x2  2 2 2 x  1 . 7 x  2   b) lim 4 x   2 x  1 d) lim x   8 x  11  x  7 x 2  3x  2 x2  4x  x  sin  2 x   2 cos  x  . x  x2  x  1 e) lim  2 x  1  5x  3 lim  2 x  1  x  1 2 c) x  3 4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem lim  f  x   có tồn x  x0 tại không trong các trƣờng hợp sau:  2x  1  a) f  x    x 5 x  3   x2  x  2  b) f  x    x  1 x2  x  1   4  x2  c) f  x    x  2 1  2 x   x>1  x  1 tại x0 = 1  x>1  x  1  x<2   x  2 tại x0 = 1 tại x0 = 2 x 3  3x  2 d) f  x   2 tại x0 = 1 x  5x  4 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 8 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số 5. Tìm các giới hạn: a) lim  x x     x2  5  x   b) lim x   x2  x  3  x  ________________________________________________________________________________ HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng: o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0  (a;b) nếu: lim  f  x    f  x0  .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm x  x0 số. o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0  (a;b)  lim  f  x   lim  f  x   lim  f  x   f  x0  . x  x0 x  x0 x  x0 o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên  lim  f  x    f  a   x a khoảng (a;b) và   f  x    f  b   xlim b  2. Một số định lý về hàm số liên tục: o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f  x   g  x  , f  x  .g  x  , f  x g x  g  x   0 cũng liên tục tại x0 . o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.  Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.  g  x  a 1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f  x    o  x  x0   x=x 0  Tìm lim  g  x   .Hàm số liên tục tại x0  lim  g  x    a . x  x0 x  x0 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 9 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số g  x   xx0  h  x   lim  f  x    lim  g  x   x  x0  x  x0  o Tìm :  lim  f  x    lim  g  x   . Hàm số liên tục tại x = x0 x  x0  x  x0  f  x0    lim  f  x   lim  f  x   f  x0   a . x  x0 x  x0 3. Chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. o Chứng tỏ f(a).f(b)<0 Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b). Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm. C. CÁC VÍ DỤ.  x2  1  1. Cho hàm số: f  x    x  1 a   x  1 a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số  x=1 tại x0 = 1. Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có f(1) = a. lim x 1  x  1 x  1  lim x  1  2 x2  1  lim   x 1 x  1 x 1 x 1 Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1. Nếu a  2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.  x 2  1 2. Cho hàm số: f  x    x x  0 . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0. x  0   Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có f(0) = 0 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 10 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số lim  f  x   lim x  0 x 0  x 0   lim  f  x   lim x 2  1  1  0= lim  f  x   lim x x 0 x 0 x 0 Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0. ax  2 2 x +x-1 3. Cho hàm số: f  x    . x 0  x  1  x  1 . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục. x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục. Khi x = 1: Ta có f(1) = a+2 lim  f  x   lim  ax  2   a  2 x 1 x 1   lim  f  x   lim x  x  1  1 x 1 x 1 2 . Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1. Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1. Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên  ;1  1;   nếu a  -1. D. BÀI TẬP 1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn. a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1  x 2  16 2x  1 2 x  3x  2 x 2  5x  6 c) f  x   x2  2x  ax 2 2. Cho hàm số: f  x    3 3. a) b) c) d) e) 4.   x  4 8   x=4  d) f  x    x  4 b) f  x    x  2  x>2  a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x, khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số. Chứng minh rằng phƣơng trình: 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1). x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt. x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2). 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]. Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R: __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 11 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số  3 3x  2  a) f  x    x  2 ax  1  4 1  x  a  x>2  b) f  x    x  2  x<0   x  0 5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trƣờng hợp sau: 1  2 x  3  a) f  x    2x 1  x  2  x  2  x 3 -x2 +2x-2  b) f  x    x 1 4   x 2 -x-6 x x 3     c) f  x   a  b   x  1  x  1 x 2  3x  0  x  0  x=3 tại x0 = 2 tại x0 = 1.  tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3. MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 Sở GD&ĐT Phú Yên Trường THPT Trần Suyền ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 11 ( Chương IV: Giới hạn Câu1:(5 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) lim 6n 3  2n  1 2n 3  n d) lim x   x xx 2 b) xlim  4   x7 2x  8 1  2 x  3 1  3x e) lim x 0 x c) xlim  1 x5 2 x 1 f) lim(3n 3  5n 2  7) Câu 2:(3 điểm)  x 2  5x  6 Cho f ( x)   x  2 , nêux  2 .Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo  2 . mx  1, nêux  2  __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 12 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình : x 4  5 x  3  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;0). ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƢƠNG 4 MÔN: ĐẠI SỐ 11NC( Năm học : 2010-2011) Câu 1: (6 điểm) Tìm các giới han sau: 4n  5 2n  3 3 x 2  11x  6 d) lim x 3 x 3 b) lim  3 x 7  5 x 5  7 x  4  a) lim c) lim x  e) lim x  Câu 2: (3điểm) Cho hàm số:  x2  2x  x x 3  f) 2x  1 3 x lim x 0 1  2 x  3 1  3x x  7 x  10  2 ,x  2  f ( x)   , Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2. x2 mx  3, x  2    Câu 3:( 1điểm) Cho phương trình: m4  m  1 x 2010  x 5  32  0 , m là tham số CMR phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m Đề 01 Bµi 1: TÝnh lim  2 x  5 x 2 Bµi 2: T×m c¸c gíi h¹n sau: a) lim 3n  4n  2 2 n  3  5n b) lim d) lim x x2 x 2  3x  2 e) lim 2 x  1  4 x 2  4 x  2 x2 x  2n  3 n5 2 x  x2  x  1 x  3x  2   sin  x   6  f) lim 3  2cosx x 6 c) lim   Bµi 3:XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã  x 2  2 x, x  1 y = f(x) =   x  a, x  1 , víi a lµ tham sè. Bµi 4: Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh x3 – 3x + 1 = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt trong kho¶ng (-2 ; 2). Đề 02 Câu 1:Tính các giới hạn sau: a) lim 3n  5 4n  7 b) lim 2n 2  3n  7 n 3  9n  2 Câu 2:Tính các giới hạn sau __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 13 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số x2  5x  2 x  2 x 1 x3  x 2  2 x  8 x 2 x 2  3x  2 a) lim( x3  5 x 2  10 x  8) b) lim x 5 x3  4 x  3  4 x 3 d) lim ( 3x 2  1  x 3) e) lim x  c) lim 9 x2  5x  1  4 x x  Câu 3: a) Tìm số thực a sao cho hàm số  1  x2 1 3  f ( x)   1  x  1  1 a  2 víi x  0 Liên tục trên ¡ víi x  0 b) Chứng minh rằng phương trình: sin x  1  x  0 có nghiệm. Đề 03 Câu 1: Tính giới hạn: 3n3  5n  7 a. lim n 2  2 b. lim Câu 2:Tính các giới hạn sau: b) lim x  x 3 n 2  4n  5  n 2x 1 x 1 x  3 x  4 a) lim (3x 2  5 x  7) d) lim  9  x2 2x2  7 x  3 c) lim ( 3 x  1  3 x ) 2 e, lim x   x  4 x 2  2 x  1  3x  1 3x  5 Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x  R  3 3x  2  2  f ( x)   x  2 ax + 1  4 víi x  2 víi x  2 b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x3 10 x  7  0 Đề 04 C©u 1: TÝnh :  n  a) lim  2  1  n 1  1 b) lim n 1  n x2  2 d) lim x 1 x  1 e) lim x  2x  3 2x2  3 . 3x 2  5 x  2 c) lim x 1 x 1 1  3 cos2x x 0 sin 2 x f) lim C©u 2: T×m sè thùc a sao cho hµm sè:  x3  3x  2  f  x   x 1 1-a  x ;  ;x 1 liªn tôc trªn R x=1 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 14 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số C©u 3: Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m: 1  m  x 2 5  3x  1  0 1  u1  2 C©u 4: T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè  . Khi ®ã tÝnh : limUn u  1 u  n 1 2 n Đề 05 Câu 1: Tính giới hạn: a) lim 9n3  5n  7 n 2  2 b) lim Câu 2: Tính các giới hạn sau: a) lim (3x 2  5 x  7) b) lim x 1 x  9  x2 d) lim 2 x2  7 x  3 x 3  2n 2  n  1  n  2  12 x  1 c) lim ( 4 x  1  4 x  5) x  x  3x  4 2  2 x  1 .  5 x 2  2  e) lim 3 x   3  2 x  ( x  1) 2 Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x  R  3 3x  2  2  f ( x)   2  x ax + 1  4 víi x  2 víi x  2 b) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: x6  mx5  x 4  mx3  (2  3m) x  m2  3m  7  0 Đề 06 Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau: 2n n 3  32  ...  3n 1. lim 4. lim x   x2  x  1  x 2. lim x 1  1  2  x  2  x  1 x  1 3 5. lim x 3 3. lim x  x . x4  1 1  x 2 . 3 x3  1 x53 4 x  x2 . x3  2 x 2  5 x  3 , x3  Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã: f(x) =  . x  3 a  7 , x3  Bµi 3. Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt ba nghiÖm: x5 = 5x + 1. Đề 07 Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau: __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 15 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số 1  n2 n  1  3  ...  (2 n  1) 1. lim  x   1  3  2. lim  3  x 1 x  1 x  1  x5  1 3 3x  2  3 x  3  x  1 . x2  1 3. lim x  4. lim 3 5. lim x 1 x  1 x  x 2 x 2  Bµi 2. XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã:   3 x 2  2 x  16 , x2  f(x) =  . x  2 2 , x2  Bµi 3. Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã ba nghiÖm ph©n biÖt: 2x3 + 1 = 5x. Đề 08 Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:  1. lim n  n 2  3n n  x2  x  1  4. lim x 0 x 3 3  3x  2 2. lim x 1 x2  2x  2  x x  x3  1 3. lim x2  x  2  1  x x4  x x3  4 6  x 5. lim . x 2 x2 6  1  x  2  x  2 x 2  2 ; x  2   Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) =  t¹i ®iÓm x = –2.  3 ; x  2  Bµi 3 . Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: sin x + 1 = x2 – x. Đề 09 Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau: 1. lim n  3 4. lim x 0  n 2  2n  2n x2  x  1  x 3  x3  1 2. lim x x  x2  2x  2 2x  3 3. lim x 1 x3  4 2  x . x 2 x2 x2  x  2  x4  x x 1 1  cosx x  0 s inx.sin2x 5. lim 6) lim 6  1  x  2  x  2 x2  2 ; x  2   Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) =  t¹i ®iÓm x = 2.  2 ;x  2  Bµi 3 . Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: cos x + 1 = x2 + x. Đề 10 C©u 1. T×m c¸c giíi h¹n sau a) lim x 2 2 x x  11  3 d) lim  5 x3  x 2  2 x  1 x  x 2  3x  2 x 2 x2 b) lim e) lim x   x2  x  3  x  2 c) lim x 2   f) lim x 3 3x  5 2x  4 2s inx- 3 2cosx-1 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 16 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số 1 Câu 2. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +…+ n3 + …. 3 Câu 3 Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)  x 2  x  2Nếu x  1  f ( x)   x  1 4 Nếu x= -1  Câu 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên R Đề 11 C©u 1. T×m c¸c giíi h¹n sau: 1  2x  1 x 2  3x  2 lim a) x  0 b) lim x 2 x2 x2 3 d) lim (3x3  2 x 2  x  1) e) lim x  Câu 2.Tính tổng S = x  c) lim  x 3 x  2x 1  x 5x  1 3 2 d) lim x 2 x4 3 x s inx- 1+cos2 x cos 2 x 1 1 1 1    .....  n  .. 2 4 8 2 Câu 3. Chứng minh phương trình sau : x3 - 3x - 1 = 0 có 2 nghiệm 1  cos2x ;x  0  Câu 4.Xét tính liên tục của hàm số sau f ( x)   sin 2 x cosx ;x<0  ĐỀ SỐ 12: Câu 1: Tính các giới hạn sau: n3  3n 2  1 a) lim 1  2n  2n 3 (n  1) 2 (2n  1) 4 b) lim (2n  3)3 .n3 2n 1  3.4n  2  1 c) lim n 3  2.4n  2  2 Câu 2:Tính các giới hạn sau: 2 x2  5x  3 x 1 1  x2 a) lim 2 x2  x  1 x 3 x 3 b) lim c) lim ( 4 x 2  2 x  1  2 x) x  Câu 3: a.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập  0;3  x 9  f ( x)   2 x  3  x  5   x2 x x2 3  4 x  1 d) lim nêu x  3 nêu x  3 b.Chứng minh rằng phương trình x3  3x  1  0 có ít nhất 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm: x0  5 3 ĐỀ SỐ 13: Câu 1:Tính các giới hạn sau: n 4  2n  1 a. lim 2  3n 2  2n 4 (2n  1)3 (n  1)3 b. lim (1  2n) 4 .(n  2) 2 2  3.2n 1  3.4n  2 c. lim n 1 4  2.3n 1  1 Câu 2:Tính các giới hạn sau: __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 17 Giải tích 11 3x 2  4 x  7 x 1 1  x2 a) lim Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số b. lim  x 1 x2  x  2 x 1 c. lim ( x 2  x  1  x) x  d. lim x 1 1  cosx 3x  1  2 x e) lim x 0 s in 2 x 1 x  x  2  3 3x  2 ;x  2  Câu 3:Định a để hàm số liên tục trên  2;   biết : f  x    x2 ax+1 ;x=2  a) Chứng minh rằng phương trình x3  3x  1  0 có ít nhất 2 nghiệm. Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề A Tổ : Toán-Tin Câu 1: Tính các giới hạn sau : 3x 2  2 x  7 x 1 x1 4 2x 1  5 x  2 lim x 1 x 1 2 x2  5x  2 a) lim  b) lim 2 x2 x  x  6  x 2  3x  2 khi x> 1  Câu 2: Cho f(x) =  x  1 3m 4  2m 2 khi x  1  c) lim x 1 d) Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1 . Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong (-1;2) : Trường THPT Nguyễn Du Tổ : Toán-Tin x3  2  x x 1 3x5  2 x 2  mx  3  0 ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề B Câu 1: Tính các giới hạn sau : a) lim x 2 x3  66  x x2 3x 2  5 x  2 b) lim 2 x  x6 x2  x  3x  4 khi x> 1  Câu 2: Cho f(x) =  x  1  m 4  4m 2 khi x  1  3x 2  2 x  7 x 1 x1 c) lim 5 d) lim x 1 4  5x  6 4 x  3 x 1 2 Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1 x5  2(m  1) x 2  mx  3  0 Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc (2;1) : Trường THPT Nguyễn Du Tổ : Toán-Tin ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề C x3  66  x x2 x 2 5 cos x  6 cosx d) lim sin 2 x x 0 Câu 1: Tính các giới hạn sau : a) lim 3x 2  2 x  7 c) lim x 1 x1 3x 2  5 x  2 b) lim 2 x  x6 x2 e) lim x  sin(2013x) sin(2012 x) __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 18 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số  x 2  3x  2 khi x> 1  Câu 2: Cho f(x) =  x  1 3m 4  2m 2 khi x  1  Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1 Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc (2;1) : x5  2(m  1) x 2  mx  3  0 Ñeà 1: Baøi 1:Tìm giôùi haïn cuûa haøm soá: 3x 2  5 x  2 2 x  2 x  4 x  4 3 x 5 ; x  4 x 2  6 x  8 a) lim b) lim c) lim  3 x 7  5 x 5  7 x  4  ; d) lim x  x   x2  2x  x  Baøi 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên tập xác định  6  x  x2  f ( x)   x  2  2 x  m  vôùi x  2 vôùi x  2 Baøi 3: Chöùng minh phöông trình sau coù ít nhaát 2 nghieäm: x5+6x4 -1=0 ĐỀ KIỂM TRA Câu 1 (3điểm):Tính giới hạn của các dãy số sau: n 2  2n  n (2n 2  3)(5n3  2) a) lim b)lim 1  3n 4  5n5 4 n 2  n  2n c) lim( 3 n  1  3 n) Câu 2(3điểm) :Tính giới hạn của các hàm số sau: -6x 3 +7x 2  4x +3 a) lim 5 x  8x  5x 4  2x 2  1 b) lim ( x 2  x  4  x 2 ) x  c) lim x 0 1  2x  3 1  3x x2 Câu 3(4điểm ): a) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2  2x+5  3 nêu x >2  2  x f ( x)   - x nêu x  2  6 __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 19 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số b) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m 2m( x  1)2 ( x  2)  2x-3=0 ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 01 Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau: a) lim 3n  5 4n  7 b) lim 2n 2  3n  7 n 3  9n  2 Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau: x3  x 2  2 x  8 x 2 x 2  3x  2 a) lim( x3  5 x 2  10 x  8) b) lim x 5 x2  5x  2 x  2 x 1 c) lim d) lim x 1 x2  x  2  1  x x4  x Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :  x2  x  2 khi x  1  f (x)   x  1 4 khi x  1  Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0) ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 02 Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau: a) lim 2n  5 6n  1 b) lim 2n 2  n  1 n 4  3n  2 Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau: x3  x 2  2 x  8 x 2 x 2  3x  2 a) lim(5 x3  10 x 2  10 x  8) b) lim x 2 x2  5x  2 x  2 x 1 c) lim d) lim x 1 x2  x  2  1  x x4  x Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :  x2  x  2 khi x  2  f (x)   x  2 3 khi x  2  Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: x3  3x 2  4 x  7  0 có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0) Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau: 3n  5 a) lim 4n  7 2n 2  3n  7 b) lim 3 n  9n  2 Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau: __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 20