Mô tả:
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
Bài 1: Khái niệm về vectơ. Hai vectơ bằng nhau
uuur uuur
Bài 1: Cho 2 vectơ AB; AC cùng phương. Kết luận gì về 3 điểm A; B; C
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC.
uuu
r uuur
a) Ta có AB AC đúng hay sai?
uuur
uuur
b) Các vectơ nào cùng hướng với AB ? Các vectơ nào ngược hướng với BC
c) Các vectơ nào bằng nhau?
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên AB và điểm N trên CD sao cho AM = CN.
uuur
uuuu
r uuuu
r uuur
Chứng minh rằng AN MC; MD BN
Bài 4: Cho tam giác ABC đều. Các đẳng thức sau đúng hay sai?
uuu
r uuur
a) AB AC
uuu
r uuur
b) AB BC
uuu
r uuur uuu
r
AB
BC
CA
c)
Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB; BC; CA. Tìm trên hình vẽ các
uuu
r uuu
r
uu
r
vectơ lần lượt bằng các vectơ JK ; BJ và IJ
Bài 6: Cho tam giác ABC có D; E; F lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. Tìm các vectơ bằng
nhau và chứng minh
r
Bài 7: Cho điểm M và a . Dựng điểm N sao cho
uuuu
r r
uuuu
r
r
r
a) MN a
b) MN cùng phương với a và có độ dài bằng a
ur
Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O. Hãy liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác O ) nhận đỉnh và
tâm của hình vuông là điểm đầu và điểm cuối
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; BC. CMR
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
a) Nếu MN AB và MN DC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
uuu
r uuur
uuur uuur
b) Nếu AB DC thì AD BC
uuur uuur
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ rằng AE BD
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
AM = CN. Chứng minh rằng AN MC và MD BN
Bài 12: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
uuu
r
a) Tìm các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với OA
uuu
r uuur
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB; OE
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A; B; C; D; O
uuu
r uuur
a) Bằng vectơ AB; OB
uuur
b) Có độ dài bằng OB
Bài 14: Cho tam giác đều ABC. Đẳng thức sau đúng hay sai?
uuu
r uuur
a) AB BC
uuu
r
uuur
b) AB AC
uuu
r
uuur
c) AB AC
Bài 15: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; DA. Chứng
minh rằng
uuuu
r uuur
uuur uuuu
r
a) MN QP
b) NP MQ
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi I là
uuuu
r uuur uuur uur
giao điểm của AM và BN; K là giao điểm của DM và CN. CMR AM NC ; DK NI
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
Bài 17: Cho tam giác ABC. Gọi H; O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
uuur uuuur
ABC; B’ là điểm đối xứng với B qua O. CMR AH B ' C
Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M; N lần lượt là trung điểm của BC và AD
uuur
uuuu
r uuuu
uuur uuur
uuur
r
a) Tìm tổng của 2 vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC
uuuu
r uuur uuur uuur
b) Chứng minh rằng AM AN AB AD
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur ur
Bài 2: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng OA OB OC OD OE OF O
uuu
r uuur uuur uuur
Bài 3: Cho 5 điểm A; B; C; D; E phân biệt. Tính tổng AB BC CD DE
Bài 4: Cho tam giác ABC; các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r uuu
r
a) Tìm hiệu AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP
uuuu
r
uuuu
r uuur
b) Phân tích AM theo 2 vectơ MN ; MP
uuu
r uuur uuur uuur
Bài 5: Cho 4 điểm A; B; C; D. Chứng minh rằng AB CD AC BD
Bài 6: Cho hai điểm A; B phân biệt. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
uuur uuur ur
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
a) MA MB BA
b) MA MB AB
c) MA MB O
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Bài 7: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F tùy ý. Chứng minh rằng AC BD EF AF BC ED
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là điểm tùy ý. CMR
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
a) AB OA OB
b) MA MC MD MB
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng
uuur uuur uuu
r ur
uuur uuu
r uuu
r ur
a) AD MB NA O
b) CD CA CB O
Bài 10: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F. CMR (bằng nhiều cách)
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
a) AB CD AD CB
b) AB CD AC BD
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur uuur ur
c) AB AD CB CD
d) AB BC CD DA O
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
e) AD BE CF AE BF CD
f) AC DE DC CE CB AB
Bài 11: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; BC;
uuuu
r uuur uuur ur
CA. Chứng minh rằng GM GN GP O
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur ur
a) CD OB BA
b) AB BC DB
c) DA DB DC O
Bài 13: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ; BCPQ; CARS. Chứng
uuu
r uur uuu
r ur
minh rằng RJ IQ PS O
Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm là O. CMR
uuu
r uuur uuur ur
uuu
r uuur uuur uuur
a) OA OC OE O
b) AB AO AF AD
uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
c) MA ME MC MB MD MF (Với M tùy ý)
Bài 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
a) AB CD EA CB ED
b) AD BE CF AE BF CD
uuu
r uuur uur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuu
r uur uuur ur
c) AB CD EF GA CB ED GF
d) AB AF CD CB EF ED O
Bài 16: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AB: AC; BC. Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuu
r
với điểm O bất kỳ ta có: OA OB OC OM ON OP
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
Bài 17: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B;
C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỳ ta có:
uuu
r uuu
r uuur uuur uuuu
r uuuu
r
OA OB OC OA ' OB ' OC '
Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O; trực tâm H, vẽ đường kính AD.
uuur uuur uuur
a) Chứng minh rằng HB HC HD
uuur uuur uuur uuuur
b) Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng HA HB HC HH '
uuu
r uuur
Bài 19: CMR AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau
uuur
r uuur
r
uuu
r uuur uuur uuur
r r
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt AO a; BO b . Tính AB; BC ; CD; DA theo a; b
uuur uuur uuuu
r ur
Bài 21: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho MA MB MC O
Chuyên đề: Vectơ và các phép toán về vectơ
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ
Hướng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng; quy tắc hiệu
uuu
r uuur uuur uuur
Bài 1: Cho 4 điểm A; B; C; D. Chứng minh rằng AB CD AC BD
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F tùy ý. Chứng minh rằng AC BD EF AF BC ED
Bài 3: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F. CMR (bằng nhiều cách)
uuu
r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
a) AB CD AD CB
b) AB CD AC BD
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur uuur ur
c) AB AD CB CD
d) AB BC CD DA O
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
e) AD BE CF AE BF CD
f) AC DE DC CE CB AB
Bài 4: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
a) AB CD EA CB ED
b) AD BE CF AE BF CD
uuu
r uuur uur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuu
r uur uuur ur
c) AB CD EF GA CB ED GF
d) AB AF CD CB EF ED O
Hướng 2: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng; quy tắc hiệu kết hợp với tính chất hai vectơ bằng
nhau trong hình bình hành, trong lục giác đều.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur ur
a) CD OB BA
b) AB BC DB
c) DA DB DC O
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là điểm tùy ý. CMR
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
a) AB OA OB
b) MA MC MD MB
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng
uuur uuur uuu
r ur
uuur uuu
r uuu
r ur
a) AD MB NA O
b) CD CA CB O
uuu
r uuur
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm thỏa mãn CE BD . Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
a) AB BC CD AB CE
b) AC BD CB BD CE BC
Bài 5: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ; BCPQ; CARS. Chứng
uuu
r uur uuu
r ur
minh rằng RJ IQ PS O
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
ur
Bài 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng OA OB OC OD OE OF O
Bài 7: Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm là O. CMR
uuu
r uuur uuur ur
uuu
r uuur uuur uuur
a) OA OC OE O
b) AB AO AF AD
uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
c) MA ME MC MB MD MF (Với M tùy ý)
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
Hướng 3: Các bài toán sử dụng quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm
Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; BC;
uuuu
r uuur uuur ur
CA. Chứng minh rằng GM GN GP O
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AB: AC; BC. Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuu
r
với điểm O bất kỳ ta có: OA OB OC OM ON OP
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B;
C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỳ ta có:
uuu
r uuu
r uuur uuur uuuu
r uuuu
r
OA OB OC OA ' OB ' OC '
Bài 4: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến; D là trung điểm của AM. CMR
uuur uuur uuur ur
uuu
r uuu
r uuur
uuur
a) 2DA DB DC O
b) 2OA OB OC 4.OD (Với O tùy ý)
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
Bài 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. CMR MA MB MC 3.MG (Với M bất kỳ)
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. CMR
uuu
r uuur
uuu
r
AB CD 2.MI
uu
r uuur uuur
uuur uuur
Bài 7: Gọi I; J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. CMR 2IJ AC BD AD BC
uuur uuur uuuu
r
uuuur
Bài 8: CMR nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của ∆ ABC và ∆ A’B’C’ thì AA ' BB ' CC ' 3.GG '
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi E; F là trung điểm của AB; CD và O là trung điểm của EF. Chứng
minh rằng
uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur ur
1 uuur uuur
AC BD
b) OA OB OC OD O
2
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
c) MA MB MC MD 4.MO (Với M là điểm bất kỳ)
a) EF
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. CMR
uuuu
r uuur uuu
r ur
AM BN CP O
Bài 11: Cho 4 điểm A; B; C; D. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD. CMR
uuur uuur uuur uuur
uuuu
r
AD BD AC BC 4.MN
Bài 12: Cho 4 điểm A; B; C; D; I; F lần lượt là trung điểm của BC; CD. CMR
r uur uuu
r uuur
uuur
1 uuu
AB AI FA DA 3.DB
2
Hướng 4: Các bài toán liên quan tới đường tròn; tính chất của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O; trực tâm H, vẽ đường kính AD.
uuur uuur uuur
c) Chứng minh rằng HB HC HD
uuur uuur uuur uuuur
d) Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng HA HB HC HH '
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh rằng tứ giác HCDB là hình bình hành
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
b) Chứng minh HA HD 2 HO ; HA HB HC 2 HO ; OA OB OC OH
uuur
uuur
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR OH 3OG từ đó có kết luận gì về 3 điểm O; H;
G
Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ
uuu
r uuur
uuu
r uuur
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a; AC = 2a.Tính AB AC và AB AC
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB BC và CA CB
uuu
r uuur
uuu
r uuur
� 60o . Tính AB BC và AB AC
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và B
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
Bài 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính AB AC ; AB BH và AB AC
uuur uuu
r
uuu
r uuur
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính BC AB ; AB AC theo a.
� 60o . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và BAD
Tính
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a) AB AD
b) BA BC
uuu
r uuur
c) OB DC
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a và O là giao điểm của hai đường chéo. Tính
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
a) OA CB
b) AB DC
uuur uuur
c) CD DA
Dạng 3: Tìm một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
uuu
r uuur ur
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3KA 2 KB O
Bài 2: Cho tam giác ABC.
uu
r uur ur
a) Tìm điểm I sao cho IA 2 IB O
uuu
r uuur uuur ur
b) Tìm điểm O sao cho OA OB OC O
uuu
r uuur uuu
r
c) Tìm điểm K sao cho KA 2 KB CB
uuur uuur uuuu
r ur
d) Tìm điểm M sao cho MA MB 2 MC O
uuu
r uuu
r uuur uuur ur
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho OA OB OC OD O
Bài 4: Cho tam giác ABC.
uur uur ur
a) Tìm điểm I sao cho 2 IB 3IC O
uur uur uuu
r ur
b) Tìm điểm J sao cho JA JB 2 JC O
uuu
r uuur uuur uuur
c) Tìm điểm K sao cho KA KB KC BC
uuu
r uuur uuur
uuur
d) Tìm điểm K sao cho KA KB KC 2 BC
uur uuu
r uuu
r ur
e) Tìm điểm L sao cho 3LA LB 2 LC O
uuur uuur ur
Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết 2 MA 3MB O
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC
= 2NA.
uuu
r uuur
uuur ur
a) Xác định điểm K sao cho 3 AB 2 AC 12 AK O
uuu
r uuur
uuur ur
b) Xác định điểm D sao cho 3 AB 4 AC 12 KD O
Bài 7: Cho các điểm A; B; C; D; E. Xác định các điểm O; I; K sao cho
uuu
r uuur uuur ur
a) OA 2OB 3OC O
uu
r uur uur uur ur
b) IA IB IC ID O
uuu
r uuur uuur
uuur uuur
ur
c) KA KB KC 3 KD KE O
Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M; N sao cho
uuur uuur ur
uuu
r uuur uuu
r
a) MA 2 MB O
b) NA 2 NB CB
uuu
r uuur uuur
uuuu
r
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn AB AC AD 3 AM
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
uuu
r
uuu
r uuur
ur
Bài 1: Cho 4 điểm O; A; B; C sao cho 3OA 2OB OC O . Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng
hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên
1
3
uuur uur
uuu
r uuur
a) Phân tích BK ; BI theo hai vectơ BA; BC
cạnh AC sao cho AK AC
b) Chứng minh ba điểm B; I; K thẳng hàng.
1
4
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho CI AC và J là điểm thỏa mãn
uuu
r 1 uuur 2 uuur
BJ AC AB
2
3
uur
a) Chứng minh rằng BI
3 uuur uuur
AC AB
4
b) Chứng minh ba điểm B; I; J thẳng hàng
uuur uuur uuur
Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho BD DE EC
uuu
r uuur uuur uuur
a) Chứng minh AB AC AD AE
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
uur
b) Tính vectơ AS AB AD AC AE theo AI
c) Suy ra ba điểm A; I; S thẳng hàng.
uuu
r r uuur r
Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt AB u; AC v
uuur
r r
a) Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính AP theo u; v
uuur
b) Gọi Q và R là hai điểm định bởi AQ
r 1 uuu
r
uuu
r uuur
r r
1 uuur uuu
AC ; AR AB . Tính RP; RQ theo u; v
2
3
c) Suy ra P; R; Q thẳng hàng
uu
r uur ur uur uur uuu
r ur
Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I; J sao cho 2 IA 3IC O ; 5 JA 5 JB 3JC O
a) Chứng minh rằng M; N; J thẳng hàng (với M; N lần lượt là trung điểm của AB và BC
b) Chứng minh rằng J là trung điểm của BI
r ur
uu
r
uur uur uuu
Bài 7: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Lấy các điểm I; J thỏa mãn IA 2 IB ; 3 JA 2 JC O .
Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
uuur uuur ur uuur uuur ur uuu
r
uuur
Bài 8: Cho tam giác ABC. Lấy 3 điểm M; N; P thỏa mãn MA MB O; 3 AN 2 AC O; PB 2 PC .
Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I; J thỏa mãn
uur uuu
r uuu
r ur uur uur uuu
r ur
3 JA 2 JC 2 JD O; JA 2 JB 2 JC O . Chứng minh I; J; O thẳng hàng (với O là giao điểm của AC
và BD)
uuur uuuu
r ur uuur
uuur uuu
r uuu
r ur
Bài 10: Cho tam giác ABC. Lấy điểm M; N; P sao cho MB 3MC O; AN 3 NC; PA PB O .
Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng
uuuu
r
uuur uuur
Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn AM 3 AB 2 AC . Chứng minh rằng 3 điểm M; B;
C thẳng hàng
Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB; AC sao cho
AM
uuu
r uuur ur
1
MB; AN 3 NC và điểm P xác định bởi hệ thức 4 PB 9 PC O ; K là trung điểm của MN
2
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
uuur 1 uuu
r 3 uuur
a) Chứng minh rằng AK AB AC
6
8
b) Chứng minh ba điểm A; K; P thẳng hàng.
uuur uuur ur
Bài 13: Cho tam giác ABC. Hai điểm M; N được xác định bởi các hệ thức BC MA O ;
uuu
r uuu
r uuur ur
AB NA 3 AC O . Chứng minh rằng MN // AC
Dạng 5: Biểu diễn một vectơ qua các vectơ không cùng phương.
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA;
uur uuur uuur uuur
AB và I là giao điểm của AD và EF Hãy phân tích các vectơ AI ; AG; DE; DC theo hai vectơ
uuur uuur
AE ; AF
uuur
uuuu
r
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB 3MC . Hãy phân tích vectơ
uuur uuur
uuuu
r
AM theo hai vectơ AB; AC .
uuuu
r
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ AM
uuur uuur
theo hai vectơ AB; AC .
uuur uuur uuu
r
Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB; BC ; CA
uuur uuuu
r
theo hai vectơ AK ; BM
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG; K là điểm trên cạnh
uur uuur uur uuur
1
5
uuu
r uuu
r
AB sao cho AK AB . Hãy phân tích AI ; AK ; CI ; CK theo CA; CB
Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.
uuur uuur
uuur
a) Hãy phân tích vectơ AD theo hai vectơ AB; AF
r 1 uuu
r 1 uuur
u
AB
BC theo a
b) Tính độ dài
2
2
uuur uuur
uuuu
r
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích AM theo hai vectơ AB; AC
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB; N là điểm trên cạnh AC sao cho NA =
uuur
uuur uuur
2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ AK theo AB; AC
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC =
2NA. Gọi K là trung điểm của MN
uuur uuur
uuur
a) Phân tích AK theo hai vectơ AB; AC
uuur
b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng KD
r 1 uuur
1 uuu
AB AC
4
3
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P là trung điểm của BC; CA; AB. Tính các vectơ
uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r
AB; BC; CA theo BN ; CP
uuur
uuur uuur
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích AE theo hai vectơ AD; AB
Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn
uuur uuur uuuur
uuur uuur
các vectơ AH ; BH ; MH theo các vectơ AB; AC (Với M là trung điểm của BC)
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm của BO và G là trọng tâm của tam
uuu
r r uuur
r
uur uuur
r r
giác OCD) đặt AB a; AD b . Hãy tính các vectơ AI ; BG theo a; b
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
Chuyên đề Vectơ – Hình học 10
Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm, B1 là điểm đối xứng với B qua G, M là trung điểm
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur
của BC. Hãy biểu diễn các vectơ AM ; AG; BC; CB1; AB1; MB1 qua hai vectơ AB; AC
Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI 3BI và J thuộc BC kéo dài
sao cho 5 JB 2 JC .
uur uuu
r
uuur uuur
uuur uuur
uur uuu
r
a) Tính AI ; AJ theo hai vectơ AB; AC . Từ đó biểu diễn AB; AC theo AI ; AJ
uuur
uur uuu
r
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo AI ; AJ
Ths: Nguyễn Dương Thịnh
- Xem thêm -