Tài liệu Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề I I. Hệ tọa độ trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Vấn đề cần nắm: I. Lí thuyết về hệ tọa độ trong không gian II. Phương trình mặt phẳng III. Phương trình đường thẳng IV. Các dạng toán mặt cầu Trong không gian, cho ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi   một. Gọi i , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz . Định nghĩa Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1). Điểm O được gọi là gốc tọa độ.  Oxy  ,  Oyz  ,  Oxz  đôi một vuông góc với nhau được gọi là các Các mặt phẳng mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz 2 2 2     i  j  k  1 Nhận xét: và i. j  j.k k .i 0 2. Tọa độ của vectơ   Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j , k trên các trục Ox, Oy, Oz, cho   x, y, z  sao cho u một vectơ . Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực     u  x.i  y. j  z.k  x, y, z  thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ u đối Bộ ba số thực với hệ trục Oxyz.   u  x; y; z  u  x; y; z  Kí hiệu hoặc , trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao  độ của vectơ u . Tính chất   u  u1 ; u2 ; u3  , v  v1 ; v2 ; v3  Cho các vectơ . Khi đó   u v  u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 . a.   u  v  u1  v1 ; u2  v2 ; u3  v3  b. .  k .u  ku1 ; ku2 ; ku3  c. với mọi số thực k.  u.v u1.v1  u2v2  u3 .v3 d.  u  u12  u22  u32 e.   u; v v 0 f. Hai vectơ có phương trình vuông góc với nhau khi và chỉ khi u1v1  u2v2  u3v3 0  g. Hai vectơ u , v cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao   Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com   cho u kv. 3. Tọa độ của một điểm   x; y; z  là tọa độ của vectơ OM  x; y; z  là tọa độ của điểm Nếu thì ta cũng nói M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2). Kí hiệu M  x; y; z  hay M  x; y; z  . Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. 4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút Trong không gian Oxyz cho hai điểm  độ của vectơ MN và độ dài của nó là: MN   x2  x1  2 2 M  x1 ; y1 ; z1    y2  y1    z2  z1  và N  x2 ; y2 ; z2  thì khi đó tọa 2 5. Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa      u; v    u v a Tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là vectơ xách định bởi    i. a có phương vuông góc với u và v  u , v, a ii. Bộ ba là bộ ba vectơ thuần (đọc thêm vì trong SGK cơ bản không giải thích vấn đề này)      a  u . v .sin  iii. , tỏng đó  là góc giữa hai vectơ u và v  STUDY TIP  Định lý Trong không gian Oxyz cho hai vectơ đó  u  u; v   2    v2 u3 u3 ; v3 v3  u  u1 ; u2 ; u3  và  v  v1 ; v2 ; v3  . Khi u1 u1 u2  ;   u2v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2 v1  v1 v1 v2  Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ. Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:   u  u1; u2 ; u3  v  v1; v2 ; v3  Ví dụ hai vectơ và ta viết tọa độ của hai vectơ song song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức. Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng   u; v   u2 v3  u3v2 ; u3v1  u1v3 ; u1v2  u2 v1    Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx  570 VN Plus mà tôi đã giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau: 1. Vào MODE  8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với vectơ). 2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ, cao độ. 3. Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào. 4. Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình. Tiếp tục thực hiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1 nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độ vectơ thứ hai. 5. Tiếp tục ấn AC để xóa màn hình. 6. Ấn SHIFT 5 máy hiện như bên, chọn 3 để hiện VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần nữa chọn 4 để hiện VctB. Máy hiện như bên. 7. Ấn = để nhận kết quả. Tính chất 1. 2. 3. 4.     u; v  0  u || v      u; v    v; u            ku ; v   u; kv  k  u; v  , k                                   u  v ,    u;     v;   ;  u, v     u; v    u;                       Hệ quả      u , v  . 0 1. Ba vectơ u; v và  đồng phẳng khi và chỉ khi  (tích hỗn tạp).   1   S ABD   AB, AD  S   AB, AD  2 2. Diện tích hình bình hành ABCD là và    V   AB, AD  . AA ' 3. Nếu ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình hộp có thể tích V thì 1    VABDA '   AB, AD  . AA ' . 6 và do đó Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độ dài. II. Phương trình mặt phẳng 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    P  n  0 n Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian vuông góc với mặt phẳng  P Thuvienhoclieu.com (hình 7.4). Chú ý   P  k .n  k 0   n Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P .  P  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ pháp tuyến Cho mặt phẳng  n  a; b; c  0.  P  có dạng Khi đó phương trình mặt phẳng  P  : a  x  x0   b  y  y0   c  z  z0  0 Định nghĩa Phương trình có dạng Ax  By  Cz  D 0 , trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét  P có phương trình tổng quát là Ax  By  Cz  D 0 thì  n  A; B; C  nó có vectơ pháp tuyến . i. Nếu mặt phẳng M 0  x0 ; y0 ; z0  ii. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm   n  A; B; C  0 khác làm vectơ pháp tuyến nhận vectơ có dạng A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0  0. Các trường hợp đặc biệt Trong không gian a 2  b 2  c 2 0 Oxyz, xét mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d 0  P  đi qua gốc tọa độ. 1. Trường hợp d 0 thì mặt phẳng với Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB  P n  0; b; c   d  0 2. Trường hợp thì mặt phẳng có vtpt khi đó mặt phẳng  P khi song song hoặc chứa trục Ox. Khi đó mặt phẳng  P  P chứa trục Ox khi và chỉ đi qua gốc tọa độ O, hay d 0.  P  song song hoặc chứa trục Oy. 3. Trường hợp b 0 , mặt phẳng  P  song song hoặc chứa trục Oz. 4. Trường hợp c 0 , mặt phẳng  P n  0;0; c   a  b  0, c  0. 5. Trường hợp Khi đó mặt phẳng có vtpt . Trong trường hợp này, mặt phẳng đó  P   Oxy   P khi và chỉ khi song song hoặc trùng với mặt phẳng  P đi qua gốc tọa độ O, hay d 0.  Oxy  . Khi Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com  P  song song hoặc trùng với mặt 6. Trường hợp a c 0, b 0 , mặt phẳng phẳng  Oxz  . 7. Trường hợp b c 0, a 0 , mặt phẳng phẳng  Oyz  .  P song song hoặc trùng với mặt Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 8. Trường hợp abcd 0 . Đặt   d d d ,   ,   a b c , phương tình mặt phẳng x y z   1    được đưa về dạng . Mặt phẳng lần lượt cắt các trục tọa độ Ox, Oy , Oz tại các điểm A   ;0; 0  , B  0;  ;0  , C  0;0;   và phương trình mặt phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Đến đây ta có bài toán tổng quát: Mặt phẳng  P phương trình (hình 7.5) đi qua ba điểm  P : M  a;0;0  , N  0; b;0  , P  0;0; c  có x y z   1 a b c 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng  P1  ;  P2  lần lượt có phương trình  P1  : a1 x  b1 y  c1z  d 0,  P2  : a2 x  b2 y  c2 z  d 0 , với a12  b12  c12 0  i 1; 2  . Khi đó  n1 kn2  a1 ; b1 ; c1  k  a2 ; b2 ; c2    d1 kd 2 d1 kd 2  P1  //  P2     n1 kn2  a1 ; b1 ; c1  k  a2 ; b2 ; c2    d1 kd 2 d1 kd2  P1   P2     P1  cắt  P2   n1 kn2   a1 ; b1 ; c1  k  a2 ; b2 ; c2   P    P2   a1a2  b1b2  c1c2 0 3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d 0 , với a 2  b 2  c 2 0 và điểm M  x0 ; y0 ; z0  . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với Độ dài MH được tính bằng công thức Hệ quả Với  P  : ax  by  cz  d 0 và d  M ;  P   MH   P tại H (hình 7.6). ax0  by0  cz0  d a 2  b2  c2 Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian a  P ' : ax  by  cz  d ' 0 khoảng cách d   P  ;  P '   giữa 2  b 2  c 2 0; d d '   P  P ' được và Thuvienhoclieu.com là hai mặt phẳng song song thì tính bằng công thức: d d' 2 a  b2  c 2 4. Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng thẳng a và b mà a   P  P và   Q  , kí hiệu   P  ,  Q   và b   Q .  0  P  ,  Q   . 2 Từ đó suy ra   cos   P  ;  Q   Từ đây ta có    n P  .n Q   cos n P  , n Q     n P  . n Q    là góc giữa hai đường Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng toán viết phương trình mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. M  x0 ; y0 ; z0    Dạng 1: Cho mặt phẳng đi qua và chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương)   a b có vectơ chỉ phương lần lượt là và M  x0 ; y0 ; z0  Dạng 2: Cho mặt phẳng   song song với mặt phẳng    : ax  by  cz  d 0. Dạng 3: Cho mặt phẳng không thẳng hàng. đi qua và    đi qua ba điểm A; B; C    n  a, b  là vectơ pháp tuyến của   .     : a  x  x0   b  y  y0   c  z  z0  0      n  AB, AC  là vectơ pháp tuyến của .   . d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là    đi qua điểm M và một Trên Dạng 4: Cho mặt phẳng    u  n  AM , u    đường thẳng d không chứa M. là một vectơ pháp tuyến của Dạng 5: Cho mặt phẳng với đường thẳng d.     Dạng 6: Cho mặt phẳng nhau d1 ; d 2 . đi qua M và vuông góc  vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến của   .  a ; b của d1 ; d 2 . đi qua 2 đường thẳng cắt - Xác định các vtcp   n    là  a, b  . - vtpt của - Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng trên từ đó viết phương trình mặt phẳng   a ; b của d1 ; d 2 .  d Dạng 7: Cho mặt phẳng chứa 1 và song song - Xác định các vtcp   n với d 2 (hai đường thẳng này chéo nhau).    là  a, b  . - vtpt của     - Lấy một điểm M  d1 (Vì d 2 không nằm trong ).   a ; b của d1 ; d 2 .  Dạng 8: Cho mặt phẳng song song với hai đường - Xác định các vtcp   n thẳng d1 ; d 2 chéo nhau và đi qua điểm M.    là  a, b  . - vtpt của    đi qua M và có vtpt n . - Viết phương trình      n Dạng 9: Cho mặt phẳng song song với hai đường - Xác định vtcp u của d và vtpt  của   .    . thẳng d và vuông góc với mặt phẳng   n  u , n  .  - Một vtpt của là   . - Lấy M  d và viết phương trình mặt phẳng Dạng 10: Cho mặt phẳng   với hai mặt phẳng cắt nhau đi qua M và vuông góc    ;  .    - Xác định ctpt của   và lần lượt là        là n  n ; n  . - Một vtpt của     n ; n Dạng 11: Cho mặt phẳng đi qua đường thẳng d Giả sử có phương 2 2 2 cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k. ax  by  cz  d 0,  a  b  c 0  . . trình A; B  d  A; B     - Lấy hai điểm ta được hai phương trình (1);(2). - Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3). Dạng 12: Cho mặt phẳng S  I; R tại điểm A.   tiếp xúc với mặt cầu - Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.      : n IA.  Vtpt của III. Phương trình đường thẳng 1. Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian M  x0 ; y0 ; z 0  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  đi qua điểm và có vectơ    2 2 2 u  a; b; c  chỉ phương (do u 0 nên a  b  c 0 ), Khi đó phương trình tham  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 số của đường thẳng  có dạng  với t là tham số. x  x0 y  y0 z  z0   b c Khi abc 0 , khử t từ hệ ta được : a Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  . 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  u1  M 1 1 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương và  u đường thẳng  2 đi qua M 2 có vectơ chỉ phương 2 .    u   1 ; u2 ; M 1M 2 đôi một cùng phương, tức là 2 khi và chỉ khi ba vectơ 1. 1    u1 , u2   u1 , M 1M 2      =0 (hình 7.7).    u // u MM  //  2. 1 2 khi và chỉ khi 1 2 nhưng không cùng phương với 1 2 , tức là      u1 , u2  0       u , M M  0   1 1 2  (hình 7.8)   u u   1 1 2 3. và cắt nhau khi và chỉ khi không cùng phương với 2 , đồng thời      u1 , u2  0            u1 , u2  .M 1M 2 0 u ,u MM ba vectơ 1 2 và 1 2 đồng phẳng, tức là   (hình 7.9)    u ,u MM 4. 1 và  2 chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ 1 2 và 1 2 không đồng      u1 , u2  .M 1M 2 0  phẳng, tức là  (hình 7.10) Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai  x0  ta1 x0 ' t ' a1 '   y0  ta2  y0 ' t ' a2  z  ta z ' t ' a ' 3 0 3 (1) ẩn như sau:  0 1. Hai đường thẳng d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có đúng một nghiệm. 2. Hai đường thẳng d và d ' chéo nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô   u u 1 nghiệm và không cùng phương với 2 . 3. Hai đường thẳng d và d ' song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và   u1 cùng phương với u2 . 4. Hai đường thẳng d và d ' trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm. 3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng STUDY TIP Khoảng cách giữa điểm M đếến đường thẳng trong không gian được tnh bằằng công thức Trong đó N là một điểm thuộc Trong không gian cho điểm M và đường thẳng  đi qua điểm N, với vectơ chỉ  phương u . Khoảng cách từ M đến  là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến  (hình 7.11)   Cách 1: Lấy điểm P trên  sao cho NP u . Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ     u.NM    d  M ;    2S MNP MH  u NP nên M của tam giác MNP. Vì Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng  , ta có thể xác định tọa độ hình chiếu H của M trên  rồi tính độ dài MH. Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường thẳng  về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H. Dựa vào dữ kiện MH   ta sẽ tìm được tọa độ điểm H. Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A  1; 2;1 đến đường thẳng d : x y 1  z  3. 3 4 Lời giải Cách 1: Lấy điểm STUDY TIP Cả hai cách làm đếằu khá là nhanh, tùy theo lựa chọn của độc giả mà áp dụng, tuy nhiến để nhớ công thức nhanh, cầằn nằếm vững cách để suy luận ra công thức đó. thẳng B  0;1;  3 trên  d  . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường d  A;  d   d     u; BA    .  u được tính bằng công thức:    u ; BA  15;  11;  1 BA  1;1; 4  Ta có . Khi đó  2  d  A;  d    152    11    1 32  42  12 2  Cách 2: Gọi H là hình chiếu của A lên   AH  3t  1; 4t  1; t  4  Mà AH   d  , do vậy 347 . 26  d  . Khi đó H  3t;1  4t;  3  t   3t  1 .3   4t  1 .4  t  4 0  t   AH  Khi đó 11  7 9  93   AH  ; ; . 26  26 13 26  347 . 26 b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và  2 là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng. STUDY TIP Khoảng cách giữa hai đường thẳng và trong không gian được tnh bằằng công thức trong đó A, B là hai điểm lầằn lượt thuộc và . Lấy điểm A thuộc 1 , điểm B thuộc  2 .   u1 ; u2 Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và  2 .     AM u1 ; BN u2 . Khi đó   1 2 Trên và lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa 1 và  2 là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba cạnh MA, AB, BN (hình 7.12). Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của     u1 , u2  . AB    d  1 ;  2       u1 , u2  . AB .  u1 , u2     hình hộp bằng  Do vậy 4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng a. Góc giữa hai đường thẳng   d 1 , d2 d , d 1 2 Góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là , được xác định bởi các trường hợp: - Nếu d1 cùng phương với d 2 thì   d , d  0. 1 2  d 1 , d 2 - Nếu d1 và d 2 cắt nhau tại I thì bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo thành.     d 1 , d 2  a , b a  b  1 . d d 1 2 - Nếu và chéo nhua thì trong đó a //d1 , b //d 2 và (Hình 7.13) Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được.  0  d 1 , d 2  . d , d  2 Do vạy nếu đặt 1 2 Do vậy thì ta có   u1 , u2 cos   cos d 1 , d 2    u1 . u2       b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng  P  , kí hiệu là  d ,  P   , xác định bởi: Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng  - Nếu d   P d ,  P   90  thì . - Nếu d không vuông góc với d trên  P  P d ,  P    thì bằng góc giữa d và hình chiếu của (hình 7.14).  0  d ,  P   2 Ta có  u Gọi , n lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    P  . Khi đó nếu đặt  d ,  P     thì  u, n  sin   cos u, n    u. n   Dạng toán viết phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.    - Vtcp của d là u  AB Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B. Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua song song với  Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua vuông góc với mặt phẳng cho trước. M  x0 ; y0 ; z0  d // nên vtco của  cũng là vtcp của d. và - Vì M  x0 ; y0 ; z0   P  cũng là vtcp của d. và - Vì d   nên vtpt của Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt - Cách 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp phẳng  P ; Q . + Tìm một điểm A trên d bằng cách giải hệ phương  P    Q trình  + Tìm 1 vtcp của d:     u  nP , nQ  . - Cách 2: Tìm hai điểm A; B  d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Dạng 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với 2 đường thẳng d1 ; d 2 . Dạng 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  , vuông góc và cắt đường thẳng d1. Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và cắt 2 đường thẳng d1 ; d 2 . - Vì d  d1 ; d  d 2     u  ud1 , ud2  . nên một vtcp của d là - Gọi H là hình chiếu của M trên d1. Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H. - Cách 1: Gọi M 1  d1 ; M 2  d 2 . Từ điều kiện M ; M 1 ; M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1 ; M 2  phương trình d. - Cách 2: Gọi  P   M , d1  ;  Q   M ; d2  .    ud  nP , nQ  . d  P    Q  . Do đó Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P và cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 . A d1   P  ; B d 2   P   d Khi đó đi qua A;B. Dạng 9: Cho đường thẳng d // và cắt hai đường Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  và d1 , mặt thẳng d1 ; d 2 . (Biết  luôn cắt d1 ; d 2 )  Q  chứa  và d2 . Khi đó d  P    Q  . phẳng Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông Cách 1: Gọi M 1  d1 ; M 2  d 2 . Từ điều kiện góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 ; d 2 .  M 1M 2  d1   M 1M 2  d 2 ta tìm được M 1 ; M 2 . Khi đó d là đường thẳng M 1M 2 . Cách 2: - Vì d  d1; d  d 2 nên có một vtcp là     u  ud1 , ud2  . - Lập phương trình mặt phẳng  P chứa d và d1 : + Lấy một điểm A trên d1 .    P  là nP  u, ud1  . +Một vtcp của - Lập phương trình mặt phẳng - Khi đó Dạng 11: Cho đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng   P . lên mặt phẳng  Q và chứa d 2 . d  P    Q  . - Lập phương trình mặt phẳng vuông góc với  Q chứa   và  P . + Lấy M  .  Q  chứa  và vuông góc với + Vì    nQ  u , uP  . - Khi đó  P nên d  P    Q  . Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông góc với - Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d 2 . Từ điều d1 và cắt d 2 . kiện MN  d1 , ta tìm được N. Khi đó d là đường thẳng MN. - Cách 2: + Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với d1 + Viết phương trình mặt phẳng Khi đó d  P    Q  .  P  đi  Q qua M và chứa M và d 2 . Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian 1. Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm cố định Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng và cách A một khoảng lớn nhất.   chứa B Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng vuông tại H và khi đó   d  A;      AH  AB.    . Khi đó tam giác ABH Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B, là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB. Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất. 2. Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng  không đi qua A. Tìm vị trí của mặt phẳng   chứa  sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trên đường thẳng  . Ta thấy Vậy là d  A;      AH  AK d  A;          , K là hình chiếu vuông góc của A (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).    cần tìm lớn nhất khi và chỉ khi H K , hay vị trí mặt phẳng chứa  và vuông góc với AK.       n   u , MA , u    trong đó Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến M  . Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  x 1  2t  d :  y t  t    z  2  t  A.  10;17;37  và cách B. A  1; 2;5  9;  14; 4    chứa đường thẳng một khoảng lớn nhất là C.  10;  17;37  D.  9;14; 4  Đáp án A. Ta có Lời giải   ud  2;1;  1 , M  1; 0;  2   MA  0; 2;7  .       n   ud , MA , ud   10;17;37  .   chứng minh ta có Bài tập áp dụng Vậy áp dụng công thức vừa 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng M  2;1;1 d: x 1 y z 2   2 1  1 cách một khoảng lớn nhất. A.    : x  y  3z  5 0 B.    : 4 x  7 y  z 0 C.    : 6 x  6 y 18 z  5 0 D.    :  4x  7 y  2. Viết phương trình mặt phẳng  Q  : 2x  y  z  1 0  P và cách điểm z 0 đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng M  1;0;1 một khoảng lớn nhất. A. x  2 y  z 0 B. y  z 0 C. x  y  z 0 D. x  y  z 0 Đáp án: 1.A; 2.B Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng 1 ,  2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng   chứa 1 và tạo với một góc lớn nhất. Lời giải Vẽ một đường thẳng bất kì  3 song song với  2 và cắt 1 tại K. Gọi A là điểm cố    . Ta có góc giữa  2 và định trên  3 và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng    AT  1  T  1  chính là góc AKH . kẻ . Khi đó HKT vuông tại T, nên: cos AKH  HK KT  AK AK (không đổi).  Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK KT hay H T . Góc lớn nhất đó chính bằng góc  AKH    , 1 2    cần tìm chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng    u , u  . nó có một vectơ chỉ phương là  1 2      n     là   u1 ,  u1 , u2   Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Khi đó mặt phẳng Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đường thẳng d ':  P chứa d: hay x  1 y 1 z  2   2 1 2 và tạo với x 1 y z  1   1 2 1 một góc lớn nhất. A. x  4 y  z  7 0 B. x  4 y  z  7 0 C. 2 x  5 y  10 0 D. 2 x  5 y  10 0 Đáp án A.  1 , 3        n   ud , ud '  ud   3;  12;3 .   Ta có Lời giải 3. Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định trong mặt phẳng cố định Bài toán 4*: Cho mặt phẳng   và điểm A thuộc   , điểm B khác A. Tìm    đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất. đường thẳng  nằm trong Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên  . Ta thấy d  B;   BH  AB. Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H  A .    u  n ; AB  Khi đó  là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là . Gọi T là hình chiếu của B trên    . Ta thấy BH BT . Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H  A hay đường thẳng  đi qua A và T. Để viết phương trình đường thẳng  ta có 2 cách: - Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên  , từ đó viết phương trình đường thẳng  đi qua A và T.     : u  n ,  n , AB   .   - Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng Bài toán 5*: Cho mặt phẳng song song với   và điểm A thuộc    , đường thẳng d không    , khồn nằm trên    , không đi qua A. Tìm đường thẳng trong mặt phẳng lớn nhất.    nằm đi qua A sao cho khoảng cách giữa  và đường thẳng d là Lời giải Gọi d ' là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt phẳng    . Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn  d ';   . Khoảng cách giữa d và  bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d ' . Ta thấy BH BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H C .    u  n , BC  . Khi đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1; 2;1 , B  3;0;  1  P : x  y  z  1 0. A. 2 3 và mặt phẳng Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên là 4 2 B. 3  P . Độ dài đoạn thẳng MN A  1; 2;1  P  : x  2 y  2 z  1 0. 2 C. 3 D. 4 C. 5 x 1 y  2 z   1 1 1. và đường thẳng Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d là A. x  y  z  1 0 B. x  y  z  1 0 C. x  y  z 0 D. x  y  z  2 0 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x  y  z  1 0 2 và và mặt cầu 2   y  2    z  1 2 4 B. 3 . Hai mặt phẳng 6 C. D. 4 A  3;3;1 , B  0;2;1  P  : x  y  z  7 0. và mặt Đường thẳng d nằm  P  sao cho mọi điểm của d và cách đều hai trên điểm A,B có phương trình là A.  x t   y 7  3t  t     z 2t  C.  x  t   y 7  3t  t     z 2t  Câu 9: Cho bốn điểm B.  x t   y 7  3t  t     z 2t  D.  x 2t   y 7  3t  t     z t  A  a;  1; 6  , B   3;  1;  4  , C  5;  1;0  , D  1; 2;1 và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là: A. 1 B. 2 C. 2 hoặc 32 D. 32 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  Q  : x  2 y  z  5 0 . Khi đó giao tuyến của  P  mặt phẳng  Q và đây thuộc có một vectơ chỉ phương là   u  1;3;5  u   1;3;  5  A. B.   u  2;1;  1 u  1;  2;1 C. D. 2 x 2 y z   2 1 4  Q  chứa d và tiếp xúc với  S  . Gọi M và và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là D. 4 d: d:  P Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm A  1; 2;1 D. 18 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phẳng Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho    a  1; 2;1 b   2;3; 4  c  0;1; 2  , , và      d  4; 2;0  . Biết d xa  yb  zc . Tổng x  y  z là B. 3 C. 9 Câu 8: Cho hai điểm đoạn thẳng AB là A. 2 B. 6 A. 2 2  P  . Độ dài Gọi B là điểm đối xứng với A qua A. 2 A. 54  S  :  x  1 D. 4 và mặt phẳng 4 B. 3 M  1; 2;1 .  P  thay đổi đi qua M điểm Mặt phẳng lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là đường thẳng 2 C. 3 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm The best or nothing  P  : x  2 y  z  5 0 . Điểm nào dưới  P ? A. Q  2;  1;  5  B. P  0; 0;  5  C. N   5; 0;0  D. M  1;1; 6 