Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Chủ đề III
Vấn đề cần nắm:
I. Nguyên hàm và
các tính chất cơ
bản
II. Hai phương
pháp cơ bản tìm
nguyên hàm
III. Khái niệm và
tính chất cơ bản
tích phân
IV. Hai phương
pháp cơ bản tính
tích phân
V. Ứng dụng hình
học của tích phân
Trang 1
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng
1. Định nghĩa
f x
F x
Cho hàm số xác định trên K. Hàm số được gọi là nguyên hàm của
f x
F ' x f x
hàm số
trên K nếu
với mọi x thuộc K.
Định lý 1
1. Nếu
F x
số C, hàm
là một nguyên hàm của hàm số
G x F x C
2. Đảo lại nếu
F x
và
trên K thì với mỗi hằng
cũng là một nguyên hàm của hàm
G x
tồn tại hằng số C sao cho
f x
là hai nguyên hàm của hàm số
F x G x C
f x
f x
trên K.
trên K thì
.
Định lý 2
Nếu
f x
STUDY TIP
Từ định nghĩa nguyên
hàm ta có được:
F x
là một nguyên hàm của
trên K đều có dạng
F x C
f x
trên K thì mọi nguyên hàm của
, với C là một hằng số.
Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.”
Từ hai định lý trên ta có
- Nếu
Chú ý
Biểu thức chính là vi
phân của nguyên hàm
của , vì
F x
là một nguyên hàm của hàm số
họ tất cả các nguyên hàm của
f x
f x
trên K. Kí hiệu
f x dx F x C .
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
f ' x dx f x C
Tính chất 2
kf x dx k f x dx
Từ đây ta suy ra hệ quả
Với
ta có
u ax b, a 0
f ax b dx
Tính chất 3
trên K thì
F x C, C
là
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
f x g x dx f x dx g x dx
II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 3
Cho hàm số
u u x
tục sao cho hàm hợp
hàm của f thì
có đạo hàm liên tục trên K và hàm số
liên
f u x
xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên
f u x u ' x dx F u x C
x 1
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm
STUDY TIP
Với phương pháp đổi
biêến ta câần chú trọng
công thức mà suy ra từ
định lý như sau:
Nêếu , khi đó
y f u
10
dx
.
Lời giải
Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng
Mà
u ' x 1 ' 1
x 1
10
f u du .
, do vậy
10
10
dx x 1 . x 1 ' dx x 1 d x 1
x 1
11
11
C
.
Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương
pháp đổi biến.
Nêếu tnh nguyên hàm
theo biêến mới thì sau
khi tnh nguyên hàm
xong, ta phải trở lại
biêến x ban đâầu bằầng
cách thay u bởi .
Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng
theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số
tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn.
Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một
kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng dồn vào vốn để tính lãi kép. Ví
dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar, tháng 2, tháng 3 cũng là ar, sau hết
kỳ hạn 3 tháng mà không rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào
tiền gốc.
Lời giải tổng quát
1. Đặt
u g x
.
2. Biến đổi x và dx về u và du.
3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp
f u du , sau đó thay biến
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Trang 3
x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.
Ta đến với ví dụ 2
2
x 1 x
Ví dụ 2: Tìm
7
dx
.
Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp
7
2
1 x để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng gợi ý
hơn là x . Do vậy ta sẽ đặt
các bước trên.
Lời giải
Đặt
u 1 x du 1 x ' dx du dx
2
x 1 x
ta có
7
2
dx 1 u .u 7 . 1 du u 7 2u 8 u 9 du
8
9
10
1 x 2 1 x 1 x C
u 8 2u 9 u10
C
8
9
10
8
9
10
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Chú ý
Đẳng thức trong định
lý 4 còn dc viết dưới
dạng
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u x v ' x dx u x .v x v x u ' x dx
p x .q x dx
Nếu nguyên hàm có dạng
thì ta có thể nghĩ đến phương pháp
nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm
p x .q x dx .
Hàm dưới dấu tích phân
Cách đặt
p x
là đa thức,
q x
u p x
dv q x dx
p x
là đa thức,
q x f ' e x .e x
u p x
dv q x dx
p x
là đa thức,
q x f ln x
u q x
dv p x dx
p x
là hàm lượng giác,
là hàm lượng giác
q x f ex
u q x
dv p x dx
Công Phá Toán – Lớp 12
q x f ' ln x
p x
là đa thức,
p x
là đa thức,
lượng giác
Ngọc Huyền LB
1
x
u p x
dv q x dx
q x f ' u x . u x ' u x
,
là các hàm
sin x, cos x, tan x, cot x
Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “Tìm
và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau
Bạn Huyền giải bằng
phương pháp đổi biến số
như sau:
u sin x ,
“Đặt
du cos xdx
Vậy
ta
u2
sin 2 x
C
C
2
2
”
sin x cos xdx ” thì ba bạn Huyền, Lê
Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên
hàm từng phần như sau:
u cos x, v ' sin x .
“Đặt
có: u ' sin x, v cos x
.
sin x.cos xdx udu
u p x
dv q x dx
Ta
Bạn Minh Hằng chưa
học đến hai phương
pháp trên nên làm như
có
sau:
sin x.cos xdx
Công thức nguyên hàm từng phần cho ta “
2
sin 2 x
dx
sin x cos xdx cos x sin x cos xdx
2
Giả sử F là một nguyên hàm của sin x.cos x .
cos 2 x
C
Theo đẳng thức trên ta có
4
”.
2
F x cos x F x C
.
cos 2 x C
F x
2
2.
Suy ra
Điều này chứng tỏ
hàm của sin x.cos x .
Vậy
sin x.cos xdx
cos 2 x
2
là một nguyên
cos 2 x
C
2
.”
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai
STUDY TIP
Bài toán củng côế vêầ định
lý 1 đã nêu ở trên, và
củng côế các cách giải
nguyên hàm cơ bản.
B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.
C. Ba bạn đều giải sai.
D. Ba bạn đều giải đúng.
Đáp án D.
Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở
bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải
thích ở lời giải sau
Lời giải
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Trang 5
sin 2 x
cos 2 x
cos 2 x
2
4
Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số 2 ;
và
đều là
nguyên hàm của sin x.cos x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy
sin 2 x
2
cos 2 x 1
2 2
;
sin 2 x
2
2
2
cos 2 x 2sin x 1 2sin x 1
4
4
4.
3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng
1
ax b
ax b dx a 1
dx
C , 1
1
1
ax b a ln ax b C
e
ax b
m
a
2
a
2
x
sin ax b dx a cos ax b C
1
dx e ax b C
a
ax b
dx
1
cos ax b dx a sin ax b C
1
tan ax b dx a ln cos ax b C
1
m ax b C , m 0
a ln m
1
cot ax b dx a ln sin ax b C
dx
1
x
arctan C
2
x
a
a
sin ax b a cot ax b C
dx
1
ax
ln
C
2
x
2a a x
x
dx
2
x a
2
dx
ln x x 2 a 2 C
dx
x2 a 2
1 a x2 a2
ln
C
a
x
b
1
2
2
dx
1
x a
ln
C
2
a
2a x a
dx
1
cos ax b a tan ax b C
2
a 2 x 2 dx
dx
x a2 x2 a2
x
arcsin C
2
2
a
1
ln ax b dx x a ln ax b x Csin ax b a ln tan
ax
e sin bxdx
ax b
C
2
eax a sin bx b cos bx
eax a cos bx b sin bx
ax
C
e
cos
bxdx
C
a 2 b2
a 2 b2
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
III. Các dạng toán về nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm
F x
f x
của hàm số
trên D .
Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm
cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công
thức!
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
f x cos 3 x
cos 3xdx
B.
cos 3xdx 3sin 3x C
sin 3x
C
3
cos 3xdx
C.
.
D.
sin 3 x
C
3
cos 3xdx sin 3x C
Đáp án B.
STUDY TIP
Lời giải
.
1
cos 3xdx 3 d sin 3x
Ta có
sin 3 x
C
3
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
dx
1
f x
1
5x 2 .
dx
ln 5 x 2 C
A. 5 x 2 5
1
ln 5 x 2 C
2
B. 5 x 2
dx
dx
5ln 5 x 2 C
C. 5 x 2
ln 5 x 2 C
D. 5 x 2
Đáp án A.
Lời giải
dx
1 d 5x 2 1
ln 5 x 2 C
5x 2
5
f x dx 5x 2 5
Ta có
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
C.
f x 7 x
.
7
x
x
dx 7 ln 7 C
7x
7 dx ln 7 C
B.
7
x
x 1
7 x 1
7 dx x 1 C
D.
dx 7
C
x
x
Đáp án B.
Lời giải
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Ta có
x
x
7 dx 7 .
d 7x
d 7x 7x
C
7 x.ln 7 ln 7
ln 7
.
f x
Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số
F x
A.
F x
C.
Trang 7
1
3 x 1
1
3 x 1
3
3
x
1 x
C
5
là
F x
B.
1
4 x 1
4
C
F x
D.
1
4 x 1
4
C
4
1
4 x 1
Đáp án D.
Lời giải
Đặt u x 1 thì u ' 1 .
x
Khi đó
1 x
5
u1
1 1
dx 5 du 5 du u 4 du u 5 du
u
u u
1 1 1 1
. . C
3 u3 4 u 4
.
x
Thay u x 1 ta được
x 1
5
dx
1
4 x 1
4
1
3 x 1
3
C
Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số x.ln x là
STUDY TIP
Ở đây xuâết hiện tch của
nên ta áp dụng nguyên
hàm từng phâần.
x 2 .ln x
C
2
A.
x 2 .ln x x 2
C
2
4
B.
x 2 .ln x x 2
C
2
4
C.
x2
C
D. 4
Đáp án B.
Lời giải
1
ln x u x dx du
2
dv xdx v x
x.ln xdx
2
Ta có
. Đặt
Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có
x2
x.ln xdx udv uv vdu 2 .ln x
x 2 .ln x
2
x
x 2 .ln x x 2
dx
C
2
2
4
.
x2 1
2 . x dx
1
3 x 1
3
C
Công Phá Toán – Lớp 12
Dạng 2: Chứng minh
Sai lâầm thường gặp là
không biêết cách đạo
hàm hàm hợp. Ở đây
ta câần đạo hàm như
sau:
với lâần lượt như thêế
ta seẽ ra được kêết quả
như bên.
f x
A.
f x
C.
là một nguyên hàm của hàm
F x ln ln ln x
Ví dụ 1: Cho
dưới đây?
Chú ý
F x
Ngọc Huyền LB
. Hỏi
F x
1
x.ln ln x
trên D .
là nguyên hàm của hàm số nào
f x
1
ln ln ln x
f x
1
x.ln x.ln ln x
B.
1
ln x.ln ln x
f x
D.
Đáp án D.
Lời giải
Để tìm
hàm
F x
Ta có
F x
là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo
từ đó suy ra
f x
.
1
1
1
F ' x ln ln ln x '
. ln ln x '
.
ln x '
ln ln x
ln ln x ln x
1
1 1
1
.
.
f x
ln ln x ln x x x.ln x.ln ln x
.
1
x 3 1
F x .ln
6
x 3 12 . Hỏi F x là nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 2: Cho
nào dưới đây?
A.
STUDY TIP
Công thức câần nhớ:
C.
f x
1
x 9
f x
1
x
x 9 12
2
B.
2
D.
f x
1
x 9
f x
1
x
x 9 12
2
Đáp án A.
Lời giải
1
x 3 1 1
1
1
F ' x .ln
' .ln x 3 .ln x 3 '
x 3 12 6
6
12
6
Cách 1: Ta có
1 1
1 1
1
6
1
.
.
. 2 2 2
6 x 3 6 x 3 6 x 3
x 9
Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng
nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).
Áp dụng công thức trên ta có ngay
f x
1
x 9.
2
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Trang 9
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
f x sin x cos x
thỏa mãn
F 2
2
.
A.
F x cos x sin x 3
B.
F x cos x sin x 3
C.
F x cos x sin x 1
D.
F x cos x sin x 1
Đáp án D.
Với các bài toán đơn
giải như ở ví dụ 1, ta
chỉ đi tìm nguyên hàm
như thông thường, sau
đó dùng điều kiện ràng
buộc có sẵn để tìm
hằng số C.
Lời giải
Ta có
F x f x dx sin x cos x dx sin x cos x C
.
F 2
sin cos C 2 1 C 2 C 1
2
2
Do 2
nên
.
Vậy hàm số cần tìm là
Ví dụ 2: Cho hàm số
nào dưới đây đúng?
F x sin x cos x 1
f x
thỏa mãn
.
f ' x 3 5sin x
và
f 0 10
. Mệnh đề
A.
f x 3x 5cos x 5
B.
f x 3x 5cos x 2
C.
f x 3x 5cos x 2
D.
f x 3x 5cos x 15
Đáp án A.
STUDY TIP
Rõ ràng trong bài toán
này, việc sử dụng công
thức nguyên hàm từng
phâần seẽ mang lại kêết
quả nhanh hơn. Do có
sự xuâết hiện của tch hai
phâần tử, nêếu sử dụng
nguyên hàm từng phâần
seẽ xuâết hiện ngay và
kêết hợp dữ kiện đêầ bài
seẽ có ngay đáp án.
Lời giải
Ta có
Do
f x f ' x dx 3 5sin x dx 3x 5cos x C
f 0 10
Ví dụ 3: Cho
f x 3x 5cos x 5
nên 3.0 5cos 0 C 10 C 5 . Vậy
.
F x x 2
hàm của hàm số
A.
f ' x e
f ' x e
2x
là một nguyên hàm của hàm số
f x e2 x
. Tìm nguyên
2x
?
x 2 2 x C
f ' x e 2 x 2 x 2 2 x C
C.
2x
x 2 x C
2x
2 x 2 2 x C
B.
f ' x e
D.
f ' x e
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm
Từ giả thiết, ta có
f x dx F x
F ' x f x
.
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
f x e
2x
Trang 11
dx F x f x e 2 x F ' x x 2 ' 2 x f x
2 x '.e2 x 2 x. e2 x ' 2 4 x e2 x
f ' x
2x 2
2x 2
e
Suy ra
f ' x e
Vậy
2x
e
2 4x
e2 x
2x
e2 x
.
2 4x
dx 2 x .e 2 x dx 2 4 x dx 2 x 2 x 2 C
e
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
u x v ' x dx u x .v x v x .u ' x dx .
Ta có
e
2x
. f ' x dx e 2 x . f x
Từ giả thiết:
Vậy
f x e
f ' x e
2x
Ví dụ 4: Cho
2x
2x
dx 2 x 2 x 2 C
F x x 1 e x
2x
.
.
là một nguyên hàm của hàm số
f ' x e2 x
f x e2 x
. Tìm
.
f ' x e
B.
2x
x
f ' x e dx 4 2 x e C
f ' x e
C.
dx f x e 2 x 2 f x e 2 x dx
dx F x x 2 f x e 2 x F ' x x 2 ' 2 x
nguyên hàm của hàm số
A.
f x .2e
dx 2 x e x C
f ' x e
D.
2x
2x
dx
2 x x
e C
2
dx x 2 e x C
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm
Từ giả thiết, ta có
f x
xe x
x 2
e
f ' x
2x
x
ex
2x
x. e x '
x 2
e
e x x.e x
x 2
e
ex 1 x
du dx
x
v e
.
x 2
e
1 x
dx x .e 2 x dx 1 x e x dx
e
.
u 1 x
dv e x dx
Đặt
F ' x f x
dx F x f x e 2 x F ' x x 1 e x ' xe x
.
x '.e x
Suy ra
f ' x e
Vậy
f x e
f x dx F x
1 x
x
e
.
.
Công Phá Toán – Lớp 12
x
Ngọc Huyền LB
x
x
1 x e dx 1 x e e dx 1 x e
x
e x C 2 x e x C
.
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Ta có
e
2x
. f ' x dx e 2 x . f x
f x e
Từ giả thiết:
2x
f x .2e
2x
dx f x e 2 x 2 f x e 2 x dx
dx F x x 1 e x
f x e 2 x F ' x x 1 e x ' xe x
.
f ' x e
Vậy
2x
dx xe x 2 x 1 e x C 2 x e x C
Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để
Ví dụ 1: Tìm a, b, c, d để
F x F ' x
hàm của
sau đó cho
F ' x f x
và sau
đó sử dụng hệ số bất
định để tìm giá trị của
tham số.
là một nguyên hàm của
F x ax3 bx 2 cx d e x
f x 2 x3 9 x 2 2 x 5 e x
Với các bài toán dạng
này ta chỉ cần tìm đạo
F x
.
B. a 2; b 3; c 8; d 13
D. a 3; b 3; c 8; d 15
Đáp án B.
Lời giải
F ' x 3ax 2 2bx c e x ax 3 bx 2 cx d e x
ax3 3a b x 2 2b c x c d e x
a 2
3a b 9
F ' x f x , x
2
b
c
2
c d 5
a 2
b 3
c 8
d 13
.
là một nguyên hàm của
.
A. a 3; b 3; c 7; d 13
C. a 2; b 3; c 8; d 13
Ta có
f x
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Trang 13
IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm
Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, phương.
Cho hai hàm số
u u x
và
v v x
có đạo hàm liên tục trên K.
Lúc này ta có bảng sau:
Với các bài toán dạng
này ta chỉ cần tìm đạo
Dạng
Cấu trúc hàm số
Nguyên hàm
Tổng
f x u ' v ' u v '
F x u v
Hiệu
f x u ' v ' u v '
F x u v
Tích
f x u ' v uv ' uv '
F x uv
vdu 2f x e2 x dx
hàm của
sau đó cho
uv f x e 2 x
Phương
và sau
đó sử dụng hệ số bất
định để tìm giá trị của
tham số.
f x
u ' v uv ' u
v2
v
/
F x
u
v
1
f x
1 e x là:
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số
A.
C.
f x dx x ln e
f x dx
x
1 C
ln e x 1
x
C
B.
f x dx ln e
D.
f x dx x ln e
x
1 C
x
1 C
Đáp án A.
Lời giải
Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài
toán bằng bảng ở trên như sau:
1 ex ex
1 ex '
1
ex
f x
1
x '
x ' ln e x 1 '
x
x
x
x
1 e
1 e
1 e
1 e
x ln e x 1 '
f x dx x ln e
x
1 C
f x
Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số
1
f x dx ln
A.
3
x
x
1
C
ln 2 x
f x dx ln x C
C.
1
ln x
2
1
ln x
là
1
f x dx ln
B.
3
x
x
1
C
ln 2 x
f x dx ln x C
D.
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
Đáp án D.
Lời giải
f x
Ta có
1
ln x
2
1
1 ln x x '.ln x x . ln x ' x
2
ln x ln x 2
ln x
ln x
/
x
f x dx ln x C .
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
f x x.ln ex 2
với x 0 .
A.
F x ex 2 .ln ex C
B.
F x x 2 .ln ex C
C.
F x x 2 .ln x C
D.
F x x ln x C
Đáp án C.
Lời giải
Ta có
1
f x x. ln e 2 ln x x 1 2 ln x x 2 . 2 x ln x x 2 . ln x ' x 2 '.ln x
x
x 2 ln x ' F x x 2 .ln x C
x
Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm e .
x
Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa e .
Đặc trưng
Nguyên hàm
Hàm số (đạo hàm)
ex
F x u x .e x
F ' x u ' x u x e x f x
e x
F x u x .e x
F ' x u ' x u x e x f x
eax b
F x u x eax b
F ' x u ' x au x e ax b f x
v x
F x u x ev x
F ' x u ' x v ' x u x ev x f x
e
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số
f x 5 x 2 13 x 9 e x
là
A.
F x 5 x 2 6 e x C
B.
F x e x x 2 1 5 x C
C.
F x 5 x 2 3x e x C
D.
F x 5 x 2 3x 6 e x C
Đáp án D.
Lời giải
f x 10 x 3 5 x 2 3 x 6 e x 5 x 2 3 x 6 ' 5 x 2 3x 6 e x
Ta có
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
F x 5 x 2 3x 6 e x C
Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên
nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
f x
Trang 15
là
e x x.e x .ln x
x
A.
F x e x .ln 2 x C
B.
F x e x .ln x C
C.
F x e x .ln x C
D.
F x e x .ln x C
Đáp án B.
Lời giải
x
Ta có
f x
e x x.e x .ln x 1 x ln x e 1
ln x e x ln x ' ln x e x
x
x
x
F x e x .ln x C
là nguyên hàm của hàm số đã cho.
1 1
f x 2 e x
x
x
Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số
là
Tương tự với hai nhận
dạng còn lại, quý độc
giả có thể áp dụng vào
các bài toán phức tạp
hơn.
e x
F x
C
x
A.
e x
F x 2 C
x
B.
e x
F x
C
x
C.
e x
F x 2 C
x
D.
Đáp án A.
Lời giải
1 1
e x
1 1
f x 2 e x ' e x F x
C
x
x
x
x
x
Ta có
là nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
Nguyên hàm một số hàm lượng giác
a. Dạng
sin
m
x.cos n xdx
trong đó m, n là các số tự nhiên.
Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.
Lũy thừa của cos x là số lẻ, n 2k 1 thì Lũy thừa của sin x là số lẻ, m 2k 1 thì đổi biến u cos x
đổi biến u sin x
sin
m
k
sin
x.cos n xdx sin m x cos 2 x cos xdx
k
m
k
x.cos n xdx cos n x sin 2 x sin xdx
cos n x. 1 cos 2 x
sin m x 1 sin 2 x . sin x ' dx
k
cos x ' dx
k
k
1 u 2 .u n du
u m 1 u 2 du
Ví dụ 1: Tìm
sin
5
x.cos2 xdx
.
Lời giải
u cos x du cos x ' dx
Vì lũy thừa của sin x là số lẻ nên ta đổi biến
.
sin
5
2
x.cos 2 xdx 1 cos 2 x .cos 2 x. cos ' dx
2
1 u 2 .u 2 du 2u 4 u 2 u 6 du
2u 5 u 3 u 7
C
5
3 7
2 cos5 x cos3 x cos7 x
C
5
3
7
.
Trường hợp 2: Cả hai số m ,n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để
giảm một nửa số mũ của sin x;cos x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.
b. Dạng
sin mx.cos nxdx, sin mx.sin nxdx, cos mx.cos nxdx .
Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.
tan m x
n dx trong đó m, n là các số nguyên.
c. Dạng cos x
Lũy thừa của cos x là số nguyên Lũy thừa của tan x là số nguyên
dương chẵn, n 2k thì ta đổi biến dương lẻ, m 2k 1 thì ta đổi biến
u tan x
1
u
cos x
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
tan m x
tan m x
1
dx
cosn x
cos2k 2 . cos2 x dx
tan m x
cos x
2
tan x ' dx
k1
Khi đó
u'
Trang 17
sin x
cos 2 x , do đó
tan m x
tan 2 k x tan x
dx
cosn x cosn 1 x . cos x dx
k
tan x. 1 tan x
m
2
u m . 1 u 2
k 1
k1
.d tan x
du
1
1
2
cos x sin x
. 2 dx
cos n 1 x
cos x
k
u 2 1 u n 1.du
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
tan 6 x
4 dx
a. cos x
Tương tự với hai nhận
dạng còn lại, quý độc
giả có thể áp dụng vào
các bài toán phức tạp
hơn.
tan 5 x
7 dx
b. cos x
Lời giải
a. Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt u tan x . Từ công thức
tổng quát đã chứng minh ở trên ta có
tan 6 x
u9 u7
tan 9 x tan 7 x
6
2 1
du
u
.
1
u
du
C
C
cos4 x
9 7
9
7
.
b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt
tổng quát chứng minh ở trên ta có
u
1
cos x , do vậy, từ công thức
2
tan 5 x
u11 2u 9 u 7
2
6
cos7 x dx u 1 .u du 11 9 7 C
1
2
1
C
11
9
11cos x 9 cos x 7 cos7 x
.
Đổi biến lượng giác
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng
x 2 a 2 , x 2 a 2 , a 2 x 2 , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
Biểu thức có chứa
x2 a2
Đổi biến
x a tan t , t ;
2 2
Hoặc
x2 a2
x
x a cot, t 0;
a
, t ; \ 0
sin t
2 2
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
x
Hoặc
x a sin t , t ;
2 2
a 2 x2
Hoặc
ax
a x
a
, t 0; \
cos t
2
x a cos t , t 0;
x a cos 2t
a x
ax
x a b a sin 2 t , t 0;
2
x a b x
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
STUDY TIP
Kí hiệu là bậc của đa
thức .
y f x
Cho hàm số
có dạng
không chia hết cho Q.
Hàm
f x
f x
P x
Q x
trong đó P và Q là các đa thức, và P
được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu
deg P deg Q
.
Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu
f x
chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho
mẫu thức để được
f x
Khi đó,
h x
P x
R x
S x
S x h x
Q x
Q x
,
sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.
Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn
giản hơn.
1
1
ax b
ax b
;
; 2
;
k
x a x a x px q x 2 px q k
Đó là các biểu thức có dạng
là các hàm
số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng
phương pháp hệ số bất định.
a. Trường hợp phương trình
đều là nghiệm đơn.
Q x 0
không có nghiệm phức và các nghiệm
Q x a1 x b1 a2 x b2 ... ak xk bk
(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức
Q x
).
Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng
g x
R x
Ak
A1
A2
...
Q x a1 x b1 a2 x b2
ak x bk
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
Sau khi biểu diễn được
g x
về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.
Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số
A.
B.
x 1
C
x 2
F x 4 ln x 2 ln
x 1
C
x 2
F x 4 ln x 2 ln
D.
f x
F x 4 ln x 2 ln
F x 4 ln x 2 ln
C.
Trang 19
4x 3
x 3x 2 là
2
x 2
C
x 1
x 2
C
x 1
Phân tích
Đáp án B.
4x 3
4x 3
A
B
Ax 2 A Bx B
x 3x 2 x 2 x 1 x 1 x 2
x 1 x 2
2
Ta có
Khi đó
Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 3
Tìm
A B x 2 A
A B 4
2 A B 3
B 4 x 3
, đồng nhất hệ số thì ta được
A 1
B 5
Lời giải
Ta có
x
2
4x 3
5
1
dx
dx ln x 1 5.ln x 2 C
3x 2
x 1 x 2
4.ln x 2 ln
x 2
x 1
C 4.ln x 2 ln
C
x 1
x 2
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:
x2 2 x 1
1
1
1
2 x3 3x 2 2 x dx 2 .ln x 10 .ln 2 x 1 10 .ln x 2 C
b. Trường hợp
nghiệm bội.
Q x 0
không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là
Công Phá Toán – Lớp 12
Nếu phương trình
Q x 0
Ngọc Huyền LB
có các nghiệm thực a1 ; a2 ;...; an trong đó a1 là nghiệm
g x
bội k thì ta phân tích
g x
R x
Q x
về dạng
Ak
B
A1
A2
B
B
...
1 2 ... n 1
2
k
x an
x a1 x a1
x a1 x a2 x a3
Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau:
f x
Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số
F x
A.
2
1
C
x 1 x 1 2
1 x
3
F x
B.
1
1
F x
C
1 x 4 1 x 4
C.
2x
D.
2
1
C
x 1 x 1 2
1
1
F x
C
1 x 4 1 x 4
Phân tích
3
x 1 0 , do đó ta biến đổi
Nhận thấy x 1 là nghiệm bội ba của phương trình
2x
1 x
Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 4
Tìm
3
A x 2 2 x 1 B 1 x C
A
B
C
3
1 x 1 x 2 1 x 3
1 x
Ax 2 2 A B x A B C
1 x
Từ đây ta có
3
A 0
2 A B 2
A B C 0
A 0
B 2
C 2
Lời giải
2x
Ta có
1 x
3
2
2
2
1
dx
C
dx
2
3
2
1 x
x
1
1
x
x
1
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4:
x4 2 x2 4 x 1
x2
2
dx
x ln x 1 ln x 1
C
x3 x 2 x 1
2
x 1
TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được
đưa về các dạng nguyên hàm sau:
A
dx A.ln x a C
1. x a
k 1
- Xem thêm -
.DOCX 
88 
93 
113 
