Tài liệu Chuyên đề toán 9 ôn thi vào 10 hay

Website: Tailieumontoan.com Tập thể Nhóm LATEX N hóm LATEX BỘ CHUYÊN ĐỀ ĐỀ CHUYÊN CHUYÊNĐỀ 9 ◦ 4 LƯU HÀNH NỘI BỘ a b N hóm LATEX Website: tailieumontoan.com MỤC LỤC I ĐẠI SỐ 2 CHỦ ĐỀ 1 RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN 3 Dạng 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ 3 A Loại 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG 3 B Loại 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG 4 C Loại 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC D CĂN THỨC, QUY ĐỒNG 6 Loại 4. KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN 9 Dạng 2. RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ 11 E Một số bài toán nâng cao đặc biệt 37 F Bài tập làm thêm 40 CHỦ ĐỀ 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2 1 51 HÀM SỐ BẬC NHẤT 51 A Kiến thức và phương pháp 51 B Bài toán minh họa 52 Dạng 3. Vị trí và khoảng cách 52 Dạng 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN 56 2 HÀM SỐ BẬC HAI 58 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 58 B BÀI TOÁN MINH HỌA 58 Dạng 5. Vẽ - đi qua - liên quan hoành, tung và khoảng cách (Cơ bản) 58 Dạng 6. Vẽ - đi qua - liên quan hoành, tung và khoảng cách (Nâng cao) 60 N hóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 Website: tailieumontoan.com Nhóm LATEX Dạng 7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VIET 62 C KIẾN THỨC CẦN NHỚ 62 D PHƯƠNG PHÁP 62 Dạng 8. VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN E 67 Bài toán minh họa 68 Dạng 9. ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 70 F Kiến thức cần nhớ 71 G Bài toán minh họa 72 Dạng 10. CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL H 82 BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẢN XẠ 86 CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 98 A Lý thuyết 98 B Các ví dụ và bài tập tự luyện 99 Dạng 11. Giải phương trình bậc nhất 99 Dạng 12. Giải phương trình bậc hai 100 Dạng 13. Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước 102 CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 1 2 106 KIẾN THỨC CƠ BẢN 106 A Ứng dụng hệ thức Vi-ét 106 B Các hệ thức thường gặp 106 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 107 N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 1 Website: tailieumontoan.com Phần I ĐẠI SỐ N hóm LATEX 2 Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 1 RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN { DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ A. LOẠI 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG  CÂU 1. Rút gọn M = ú Lời giải. √ 45 + √ √ 245 − 80. √ √ √ √ √ √ M = 45 + 245 − 80 = 32 · 5 + 72 · 5 − 42 · 5 √ √ √ √ = 3 5 + 7 5 − 4 5 = 6 5.  √ √  CÂU 2. Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 + 36 − 25. ú Lời giải.√ √ A = 2015 + 36 − 25 = 2015 + 6 − 5 = 2016. √ √ √  CÂU 3. Rút gọn biểu thức: A = 5 8 + 50 − 2 18. ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ A = 5 8 + 50 − 2 18 = 5 · 2 2 + 5 2 − 2 · 3 2 √ √ √ √ √ = 10 2 + 5 2 − 6 2 = (10 + 5 − 6) 2 = 9 2. √   √ √ 27 − 2 12 − 75.  CÂU 4. Rút gọn biểu thức: A = ú Lời √ giải. √ √ √ √ √ √ A = 27 − 2 27 − 75 = 3 3 − 4 3 − 5 3 = −6 3. √ √ √  CÂU 5. Rút gọn biểu thức: A = 12 + 27 − 48. ú Lời √ √ √ √ √ √ giải.√ A = 12 + 27 − 48 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = 3. √ √ √  CÂU 6. Rút gọn biểu thức: B = 2 3 + 3 27 − 300. ú Lời√giải. √ √ √ √ √ √ √ √ √ B = 2 3 + 3 27 − 300 = 2 3 + 3 32 · 3 − 102 · 3 = 2 3 + 3 · 3 · 3 − 10 3 = 3. √ √  CÂU 7. Rút gọn biểu thức: A = 3 2 + 4 18. ú Lời√giải. √ √ √ √ A = 3 2 + 4 9.2 = 3 2 + 12 2 = 15 2. √ √ √  CÂU 8. Rút gọn biểu thức: A = 2 3 − 4 27 + 5 48. ú Lời√giải. √ √ √ √ √ √ A = 2 3 − 4 27 + 5 48 = 2 3 − 12 3 + 20 3 = 10 3. √ √ √ √  CÂU 9. Rút gọn biểu thức: M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2. ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2 = (15 2 − 15 2 + 6 2) 2 = 6 2 · 2 = 12. √ √ √ √  CÂU 10. Rút gọn biểu thức: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3. ú Lời √ giải. √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3 = −5 3 : 3 = −5        N hóm LATEX 3 Dự án CĐ Lớp 9 Website: tailieumontoan.com Nhóm LATEX √ √ √ √  CÂU 11. Rút gọn biểu thức: A = 125 − 4 45 + 3 20 − 80. ú Lời√giải. √ √ √ √ A = 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5 = −5 5. √ √ √  CÂU 12. Rút gọn biểu thức: A = 2 9 + 25 − 5 4. ú Lời√giải.√ √ A = 2 9 + 25 − 5 4 = 5 + 6 − 10 = 1. √ √ √ √  CÂU 13. Rút gọn biểu thức: A = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75. ú Lời giải. √ √ √ √ A = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75 √ √ √ √ = 2 42 · 2 − 5 32 · 3 − 4 22 · 2 + 3 52 · 3 √ √ √ √ = 8 2 − 15 3 − 8 2 + 15 3 = 0.    √ √ √  CÂU 14. Rút gọn biểu thức: A = 2 3 · 52 − 3 3 · 22 + 3 · 32 . ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ √ A = 2 · 5 · 3 − 3 · 2 · 3 + 3 3 = 10 3 − 6 3 + 3 3 = 7 3. √ √ √  CÂU 15. Rút gọn biểu thức: A = 2 5 + 3 45 − 500. ú Lời√giải. √ √ √ √ √ √ A = 2 5 + 3 45 − 500 = 2 5 + 3 · 3 5 − 10 5 = 5. √ √ √ √  CÂU 16. Rút gọn biểu thức: M = (3 50 + 5 18 + 3 8) 2. ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ M = (15 2 + 15 2 + 6 2) 2 = 36 2 · 2 = 72. √ √ √ √  CÂU 17. Rút gọn biểu thức: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3. ú Lời √ giải. √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5 · 3 3 + 4 · 2 3) : 3 = −5 3 : 3 = −5. √ √ √ √  CÂU 18. Rút gọn biểu thức: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3. ú Lời √ giải. √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5 · 3 3 + 4 · 2 3) : 3 = −5 3 : 3 = −5. √ √ √  CÂU 19. Rút gọn biểu thức: A = 3 − 12 + 27. ú Lời √ √ √ giải. √ √ √ √ A = 3 − 22 · 3 + 32 · 3 = 3 − 2 3 + 3 3 = 2 3. √ √ √  CÂU 20. Rút gọn biểu thức: B = 20 − 45 + 2 5. ú Lời √ giải. √ √ √ √ √ √ B = 22 · 5 − 32 · 5 + 2 5 = 2 5 − 3 5 + 2 5 = 5. √ √ √  CÂU 21. Rút gọn biểu thức: A = 3( 27 + 4 3). ú Lời √ giải. √ √ √ √ A = 3( 27 + 4 3) = 81 + 4 9 = 9 + 4 · 3 = 21. B.         LOẠI 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG » √ √  CÂU 1. Tính: B = (2 − 3)2 + 3. ú Lời giải. √ √ √ √ √ B = |2 − 3| + 3 = 2 − 3 + 3 = 2 (Do 2 > 3). » » √ √  CÂU 2. Rút gọn biểu thức: N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5. ú Lời giải. » » » » √ √ √ √ N = 6+2 5− 6−2 5= 5+2 5+1− 5−2 5+1  N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 4 Website: tailieumontoan.com Dự án CĐ Lớp 9 q √ q √ ( 5+ − ( 5 − 1)2 √ √ √ √ = | 5 + 1| − | 5 − 1| = 5 + 1 − 5 + 1 = 2. = 1)2 Nhóm LATEX  CÂU 3. Rút gọn biểu thức: A = ú Lời giải. »  √ √ 1√ 7 − 2 10 + 20 + 8. 2 q √ √ √ √ √ 1√ 1 √ 7 − 2 10 + 20 + 8 = ( 5 − 2)2 + 2 5 + · 2 2 2 √ √ √ √ √2 √ √ √ √ √ = | 5 − 2| + 2 5 + 2 = 5 − 2 + 2 5 + 2 (Do 5 − 2 > 0) √ = 3 5. A = »  √ √ » √  CÂU 4. Rút gọn biểu thức: B = (3 2 + 6) 6 − 3 3. ú Lời giải. √ √ » √ √ » √ √ √ √ √ B = (3 2 + 6) 6 − 3 3 = (3 + 3) 12 − 6 3 = (3 + 3)|3 − 3| = (3 + 3)(3 − 3) = 9 − 3 = 6.  » √ √  CÂU 5. Rút gọn biểu thức: B = ( 5 − 1) 6 + 2 5. ú Lời giải. » » √ √ √ √ √ √ √ √ B = ( 5 − 1) 6 + 2 5 = ( 5 − 1) ( 5 + 1)2 = ( 5 − 1)| 5 + 1| = ( 5 − 1)( 5 + 1) = 5 − 1 = 4.  » √ √ 1√ 8.  CÂU 6. Rút gọn biểu thức: A = 7 + 2 10 + 20 − 2 ú Lời giải. q √ √ √ √ √ 1√ 1 √ 7 + 2 10 + 20 − 8 = ( 5 + 2)2 + 2 5 − · 2 2 2 √ √ √ √2 √ √ √ √ √ = | 5 + 2| + 2 5 − 2 = 5 + 2 + 2 5 − 2 = 3 5. A = »  √ » √ √  CÂU 7. Rút gọn biểu thức: B = (3 2 + 6) 6 − 3 3. ú Lời giải. √ √ » √ √ » √ √ √ √ √ B = (3 2 + 6) 6 − 3 3 = (3 + 3) 12 − 6 3 = (3 + 3)|3 − 3| = (3 + 3)(3 − 3) = 9 − 3 = 6.  » √ 4−2 3 √ .  CÂU 8. Rút gọn biểu thức: P = 1− 3 ú Lời » giải.√ » √ √ 4−2 3 ( 3 − 1)2 | 3 − 1| √ √ √ = −1 P = = =  1− 3 1− 3 1− 3 s s √ √ 2+ 3 2− 3  CÂU 9. Rút gọn biểu thức: A = − 2 2 ú Lời giải. s s s s √ √ √ √ 2+ 3 2− 3 4+2 3 4−2 3 A = − = + 2 2 4 4 Åq √ ã q √ 1 = ( 3 + 1)2 − ( 3 − 1)2 2 √ √ ä 1Ä√ 1 √ = | 3 + 1| − | 3 − 1| = ( 3 + 1 − 3 + 1) = 1. 2 2 N hóm  LATEX Tháng 2-2020 Trang 5 Website: tailieumontoan.com Dự án CĐ Lớp 9  CÂU 10. Rút gọn biểu thức: B = 21 » 2+ Nhóm LATEX » » » √ √ 2 √ √ 2 3+ 6−2 5 −6 2− 3+ 3+ 5 . ú Lời giải. Å» » » √ √ ã2 √ √ ã2 √ 21 Å» 4+2 3+ 6−2 5 −3 4 − 2 3 + 6 + 2 5 − 15 15 2 √ √ √ ä2 Ä√ ä2 21 Ä√ = 3 + 1 + 5 − 1 − 3 3 − 1 + 5 + 1 − 15 15 2 √ √ 15 √ = ( 3 + 5)2 − 15 15 = 60. 2 B =  C. LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN THỨC, QUY ĐỒNG u PHƯƠNG PHÁP 1. QUY ĐỒNG √ √ 1 1 2 2− 6 √  CÂU 1. Rút gọn biểu thức: A = √ +√ + . 3+1 3−1 2 ú Lời√giải. √ √ √ √ √ √ √ 2 3 3−1+ 3+1 2(2 − 3) √ √ + 2 − 3 = 3 + 2 − 3 = 2. + = A= √ 3−1 ( 3 + 1)( 3 − 1) 2  CÂU 2. Rút gọn biểu thức: B =  1 1 √ + √ . 3+ 7 3− 7 ú Lời giải. 1 1 6 6 √ + √ = = 3. B= √ 2 = 9−7 3+ 7 3− 7 32 − 7 √ √ 5  CÂU 3. Rút gọn biểu thức: P = √ − 2 5. 5−2 ú Lời √ giải. √ √ √ √ √ √ √ √ 5 5 − 2 5( 5 − 2) 5 − 10 + 4 5 5 5 − 10 5( 5 − 2) √ √ P =√ −2 5 = = = √ = √ = 5. 5−2 5−2 5−2 5−2 5−2 1 1  CÂU 4. Rút gọn biểu thức: P = √ +√ . 5−2 5+2 ú Lời √ giải. √ √ P = 5 + 2 + 5 − 2 = 2 5. 1 1 √ +√ √ .  CÂU 5. Rút gọn biểu thức: B = √ 3− 2 3+ 2 ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ √ √ 1 1 3+ 2 3− 2 √ √ +√ √ = B=√ + = 3 − 2 + 3 − 2 = 2 3. 3−2 3−2 3− 2 3+ 2     u PHƯƠNG PHÁP 2. ĐẶT THỪA SỐ CHUNG √ √ 3+ 3  CÂU 1. Rút gọn biểu thức P = ( 3 − 1) √ . 2 3 ú Lời giải. N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 6 Website: tailieumontoan.com Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 √ √ 3+ 3 P = ( 3 − 1) √ 2 3 √ √ √ 3( 3 + 1) √ = ( 3 − 1) 2 3 √ √ ( 3 − 1)( 3 + 1) 3−1 = = = 1. 2 2  1 √ 2 + · 18.  CÂU 2. Tính Q = √ 2+2 3 ú Lời giải. 2 1 √ Q =√ + · 18 2+2 3 √ √ 2 9·2 √ + = 3 1+ 2 √ √ √ 2( 2 − 1) 3 2 + = 1 − 2 3 √ √ √ √ 2−2 = + 2 = 2 − 2 + 2 = 2. −1  u PHƯƠNG PHÁP 3. LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG √ √ 2 √ − 28 + 54.  CÂU 1. Rút gọn biểu thức A = √ 7− 6 ú Lời giải. √ √ 2 √ − 28 + 54 7− 6 √ √ √ √ 2( 7 + 6) √ √ √ − 7·4+ 9·6 = √ ( 7 − 6)( 7 + 6) √ √ √ √ 2 7+2 6 = −2 7+3 6 √ 7 − 6√ √ √ √ = 2 7 + 2 6 − 2 7 + 3 6 = 5 6. A =√  √ √ 1 8 − 10 √ .  CÂU 2. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức B = √ − 2+1 2− 5 ú Lời giải. √ √ 1 8 − 10 √ A =√ − 2+1 2− 5 √ √ √ 2−1 2(2 − 5) √ − = 1 2− 5 √ √ = 2 − 1 − 2 = −1.  N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 7 Dự án CĐ Lớp 9 Website: tailieumontoan.com Nhóm LATEX √ √ A 3 − 1; B = 3 + 1. Tính giá trị của biểu thức A + B; A · B; ; A2 + B 2 bằng B cách rút gọn hoặc biến đổi thích hợp ú Lời giải. √ √ √  A + B = ( 3 − 1) + ( 3 + 1) = 2 3. √ √ √  A · B = ( 3 − 1)( 3 + 1) = ( 3)2 − 12 = 3 − 1 = 2. √ √ √ √ A 3−1 ( 3 − 1)2 4−2 3 √  =√ = √ = = 2 − 3. B 2 3+1 ( 3 + 1)( 3 − 1) √  A2 + B 2 = (A + B)2 − 2AB = (2 3)2 − 2.2 = 12 − 4 = 8.  CÂU 3. Cho A =  √ 2 3  CÂU 4. Rút gọn biểu thức P = √ − 27 + √ . 3−1 3 ú Lời giải. ä Ä√ √ √ 2 3+1 ä Ä√ ä −3 3+ 3 P = Ä√ 3−1 3+1 Ä√ ä √ 2 3+1 = −2 3 √ √ 3−1 √ = 3 + 1 − 2 3 = 1 − 3.  √ √ 2 √ − 28 + 54.  CÂU 5. Rút gọn biểu thức B = √ 7− 6 ú Lời giải. √ √ 2 √ − 28 + 54 B =√ 7− 6 √ √ √ √ 2( 7 + 6) √ √ √ − 7·4+ 9·6 = √ ( 7 − 6)( 7 + 6) √ √ √ √ 2 7+2 6 = −2 7+3 6 √ 7 − 6√ √ √ √ = 2 7 + 2 6 − 2 7 + 3 6 = 5 6.  √ √ √ 5+ 5 5 3 5 √ .  CÂU 6. Rút gọn biểu thức sau C = √ +√ − 5+2 5−1 3+ 5 ú Lời giải. √ √ √ 5+ 5 5 3 5 √ C =√ +√ − 5+2 5−1 3+ 5 √ √ √ √ √ √ (5 + 5)( 5 − 2) 5( 5 + 1) 3 5(3 − 5) √ √ √ √ = √ + √ − ( 5 − 2)( 5 + 2) ( 5 − 1)( 5 + 1) (3 + 5)(3 − 5) √ √ √ 5 + 5 9 5 − 15 =3 5−5+ − 4√ √ 4 √ 5 + 5 − 9 5 + 15 =3 5−5+ √ √ 4√ = 3 5 − 5 + 5 − 2 5 = 5. N hóm  LATEX Tháng 2-2020 Trang 8 Website: tailieumontoan.com Dự án CĐ Lớp 9 D. Nhóm LATEX LOẠI 4. KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN  CÂU 1. Cho biểu thức M = » √ √ 6 √ + (2 − 3)2 − 75. Rút gọn M . 2− 3 ú Lời giải. √ √ 6 √ + |2 − 3| − 75 2− 3 √ √ √ = 6(2 + 3) + 2 − 3 − 5 3 = 14. M = 1 √ + 2− 3  CÂU 2. Rút gọn biểu thức A =  √ 7 − 4 3. » ú Lời giải. A = = = = = 1 √ 2− 3 1 √ 2− 3 1 √ 2− 3 1 √ 2− 3 √ 2+ 3 1 + + + » √ 7−4 3 » √ 4−4 3+3 q (2 − √ 3)2 √ +2− 3= +2− √ √ √ 2+ 3 √ √ +2− 3 (2 − 3)(2 + 3) 3 = 4.  √ √ √ 7−4 3  CÂU 3. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức B = ( 5 − 2)( 5 + 2) − √ . 3−2 ú Lời giải. » √ √ 2 (2 − 3)2 2 B = ( 5) − 2 − √ 3−2 √ 2− 3 =5−4− √ 3−2 = 1 − (−1) = 2. » 2−  CÂU 4. Thu gọn biểu thức C = 1+ √  √ 3 2+ 3 » √ + √ . 4+2 3 1− 4−2 3 » ú Lời giải. 2− √ 3 √ 3 » √ + √ 1+ 4+2 3 1− 4−2 3 √ √ 2− 3 2+ 3 » » = + √ √ 1+ 3+2·1· 3+1 1− 3−2·1· 3+1 √ √ 2− 3 2+ 3 » √ » √ = + 1 + ( 3 + 1)2 1 − ( 3 − 1)2 √ √ 2+ 3 2− 3 √ √ = + 1+ 3+1 1− 3+1 C = 2+ » N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 9 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 √ √ 2− 3 2+ 3 √ + √ = 2+ 3 2− 3 √ √ = (4 − 4 3 + 3) + (3 + 4 3 + 3) = 14.  √ √ 2+ 3 2− 3  CÂU 5. Rút gọn biểu thức D = » √ −» √ . 7−4 3 7+4 3 ú Lời giải. √ √ 2+ 3 2− 3 D =» √ −» √ 7−4 3 7+4 3 √ √ 2+ 3 2− 3 =» −» √ √ (2 − 3)2 (2 + 3)2 √ √ 2+ 3 2− 3 √ − √ = 2− 3 2+ 3 √ √ = (2 + 3)2 − (2 − 3)2 √ √ √ √ √ = (2 + 3 − 2 + 3)(2 + 3 + 2 − 3) = 8 3. à  CÂU 6. Rút gọn biểu thức sau E =  à √ √ 3 3−4 3+4 √ √ . − 2 3+1 5−2 3 ú Lời giải. à √ √ 3 3−4 3+4 √ √ E = − 2 3+1 5−2 3 à à √ √ √ √ (3 3 − 4)(2 3 − 1) ( 3 + 4)(5 + 2 3) = − 12 − 1 25 − 12 s s √ √ 22 − 11 3 26 + 13 3 = − 11 » 13 » √ √ = 2− 3− 2+ 3 s s √ √ 4−2 3 4+2 3 = − 2 2 1 q√ 1 q√ = √ ( 3 − 1)2 − √ ( 3 + 1)2 2 2     √ √ √ 1 1 = √  3 − 1 −  3 + 1 = √ · (−2) = − 2. 2 2 à » 3  » √ √ 3 85 + 62 7 + 85 − 62 7.  CÂU 7. Tính giá trị biểu thức F = ú Lời giải. » » √ √ 3 3 Đặt a = 85 + 62 7; b = 85 − 62 7.√Suy ra a + b = F . √ Ta có»a3 + b3 = (85 » + 62 7) + (85 − 62 7) = 170; » √ 3 √ √ √ 3 3 ab = 85 + 62 7 · 85 − 62 7 = 852 − (62 7)2 = 3 −19683 = −27. Do đó F 3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = 170 − 3Ç· 27 · B. å F 2 + 2F + 85 3 Suy ra phương trình F + 81F − 170 = 0 ⇔ (F − 2) = 0 ⇔ F = 2. 50  N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 10 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 { DẠNG 2. RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ √ √ √ √  VÍ DỤ 1. Rút gọn biểu thức A = ( a + 2)( a − 3) − ( a + 1)2 + 9a với a ≥ 0. ú Lời √ giải. √ √ √ √ Ta có ( a + 2)(√ a − 3) = a − √a − 6; ( a√ + 1)2 = a + 2 a + 1. Do đó A = a − a − 6 − (a + 2 a + 1) + 3 a − 7.  u PHƯƠNG PHÁP 4. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC  CÂU 1. Rút gọn biểu thức M = ú Lời giải. M= (a + b)2 − (a − b)2 với ab 6= 0. ab (a + b)2 − (a − b)2 (a + b + a − b)(a + b − a + b) 2a · 2b = = = 4. ab ab ab  CÂU 2. Rút gọn biểu thức P = Ç  √ å2 √ å Ç 1− a 1−a a √ √ + a · với (a ≥ 0; a 6= 1). 1− a 1−a ú Lời giải. Với (a ≥ 0; a 6= 1), ta có √ å2 √ å Ç 1− a 1−a a √ √ + a · P = 1− a 1−a √ ! Ç √ √ √ å2 1− a (1 − a)(1 + a + a2 ) √ √ √ √ + a · = 1− a (1 − a)(1 + a) Ç å2 Ä ä √ 1 √ = 1+2 a+a · 1+ a √ 1 √ = (1 + a)2 · = 1. (1 + a)2 Ç »  √ √ x − 1 − 2 x − 2 + 1 + x − 2 với 2 ≤ x < 3.  CÂU 3. Rút gọn biểu thức Q = ú Lời giải. Ta có » √ √ Q = x−1−2 x−2+1+ x−2 q √ √ = ( x − 2 − 1)2 + 1 + x − 2 √ √ = | x − 2 − 1| + 1 + x − 2 √ √ √ = − x − 2 + 1 + 1 + x − 2 ( vì 2 ≤ x < 3 nên x − 2 − 1 < 0) = 2.  CÂU 4. Rút gọn biểu thức: A = Ç √ √ å Ç å 2 x+x 1 x+2 √ √ −√ : 1− với x ≥ 0, x 6= 1. x x−1 x−1 x+ x+1  ú Lời giải. N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 11 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 √ √ å Ç å 2 x+x 1 x+2 √ √ √ A= − : 1− với x ≥ 0, x 6= 1 x x−1 x−1 x+ x+1 ! √ √ √ √ 2 x+x x+x+1 x + x + 1 − ( x + 2) √ = √ 3 : − √ 3 x+x+1 ( x) − 1 ( x) − 1 √ √ √ √ √ 2 x+x− x−x−1 x+x+1 2 x+x− x−x−1 √ √ √ = √ .√ = ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + 1 − x − 2 ( x − 1) (x − 1) √ x−1 1 = . = √ ( x − 1) (x − 1) x−1 √ x−1 x x+1 −√ (với x 6= 1; x ≥ 0 ).  CÂU 5. Cho biểu thức A = x−1 x+1 √ Rút gọn A, sau đó tính giá trị A − 1 khi x = 2016 + 2 2015. ú Lời giải. Với x ≥ 0, x 6= 1 ta có √ √ √ √ 3 ä ( x − 1) ( x + 1) x − x + 1 Ä√ ( x) + 1 √ √ − = √ − x−1 A= √ ( x + 1) ( x − 1) x+1 x−1 √ √ √ 2 x − x + 1 − ( x − 1) x √ = =√ x−1 x−1 √ √ x − ( x − 1) 1 √ A−1= =√ . x − 1√ x−1 Ta có x = 2016 + 2 2015 thỏaÄ mãn điều äkiện x 6= 1; x ≥ 0 √ √ √ √ 2 Có x = 2015 + 2 2015 + 1 = 2015 + 1 ⇒ x = 2015 + 1. 1 Thay vào biểu thức A − 1 ta được: A − 1 = √ . 2015 q √ q √ 2 2  CÂU 6. Cho biểu thức: D = ( x − 1) · ( x + 1) . Rút gọn D. ú Lời q giải. q √ √ √ √ 2 2 D = ( x − 1) · ( x + 1) = | x − 1| · ( x + 1). √ √ √  Nếu x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇒ D = ( x − 1) ( x + 1) = x − 1. √ √ √  Nếu x − 1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 ⇒ D = − ( x − 1) ( x + 1) = 1 − x. Ç  CÂU 7. Cho biểu thức Q = Ç √ 1 2 − x−1 x−1 åÇ    √ √ å x+ x 1− x √ −√ (với x > 0; x 6= 1 ) x+1 x−x 1. Rút gọn biểu thức Q. 2. Tìm các giá trị của x để Q = −1. ú Lời giải. 1. Với điều xÇ 6= 1 , √ ta có √ å Ç åÇ å Ç kiện x > 0 và å √ 2 x+ x 1− x 1 2 1 1 √ √ √ √ √ − − = − x− Q= x−1 x−1 x+1 x−x x−1 x−1 x √ √ x−1 x−1 x−1 = . √ = √ . x−1 x x √ x−1 2. Với x > 0; x 6= 1 , ta có Q = √ . x √ ä √ √ √ x−1 1Ä Do đó Q = √ = −1 ⇔ x − 1 = − x ⇔ 2 x = 1 ⇔ x = thỏa mãn . x 4 1 Vậy với x = thì Q = −1. 4 Tháng 2-2020 N hóm LATEX Trang 12 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9  u PHƯƠNG PHÁP 5. ÁP DỤNG QUY ĐỒNG  CÂU 1. Rút gọn biểu thức: B = 1 1 − . 1+x 1−x ú Lời giải. (1 − x) − (1 + x) −2x = . (1 + x) (1 − x) 1 − x2 √ 2 x−5 4 √ − + với x ≥ 0, x 6= 1.  CÂU 2. Rút gọn biểu thức: B = √ x+1 1− x x−1 ú Lời giải. Với x ≥ 0, x 6= 1 , ta có: √ x−5 4 2 √ − B=√ + x+1 1− x x−1 √ √ √ −2 ( x + 1) x−5 4 ( x − 1) √ √ √ + √ − √ = √ ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) √ √ √ 4 ( x − 1) − 2 ( x + 1) − ( x − 5) √ √ = ( x + 1) ( x − 1) √ 1 x−1 √ =√ . = √ ( x + 1) ( x − 1) x+1 1 Vậy B = √ . x+1 √ √ x 2 x 1  CÂU 3. Rút gọn biểu thức: B = √ − −√ với x ≥ 0 và x 6= 1. x−1 x−1 x+1 ú Lời √ giải. √ 2 x 1 x √ B=√ − √ −√ x − 1 ( x − 1) ( x + 1) x+1 √ √ √ √ √ √ √ x ( x + 1) − 2 x − ( x − 1) x+ x−2 x− x+1 √ √ √ √ = = ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) √ √ √ 2 x−2 x+1 ( x − 1) x−1 √ √ = √ = √ =√ . ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) x+1 √ x− x x−1  CÂU 4. Cho biểu thức G = √ −√ . Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G. x−1 x+1 ú Lời giải. Điều kiện√x ≥ 0 và x 6= 1 √ √ √ √ √ x− x x−1 x ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) √ √ √ G= √ −√ = − = x − ( x − 1) = 1. x−1 x+1 x−1 x+1 √ √ 2+ x 2− x  CÂU 5. Cho biểu thức: P = √ +√ điều kiện x ≥ 0 và x 6= 1. Rút gọn biểu thức P . x+1 x−1 ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ √ (2 + x) ( x − 1) (2 − x) ( x + 1) (x + x − 2) + (−x + x + 2) 2 x √ √ Có P = √ + √ = = . ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) x−1 x−1 Ç √ å x 2 x+4  CÂU 6. Rút gọn biểu thức A = √ +√ :√ với x ≥ 0 và x 6= 4. x+2 x−2 x+2 ú Lời giải. Ta có điều kiện là x 6= ±1 B =      N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 13 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 Với xÇ≥ 0√và x 6= 4 ta có:å 2 x+4 x +√ :√ A= √ x+2 x−2 x+2 √ √ √ Ç å √ x ( x − 2) 2 ( x + 2) x+2 √ √ = √ + √ . ( x + 2) ( x − 2) ( x − 2) ( x + 2) x+4 √ √ √ x−2 x+2 x+4 x+2 √ = √ . ( x + 2) ( x − 2) x + 4 √ 1 x+2 =√ = . x−2 x−4 Ç å√ x−2 1 1 √  CÂU 7. Cho B = √ +√ với x > 0 và x 6= 4. Rút gọn biểu thức. x−2 x+2 x ú Lời √ √ √ Ç giải. å√ x−2 1 1 ( x + 2) + ( x − 2) x − 2 √ √ B= √ +√ = √ . √ x−2 x+2 x ( x − 2) ( x + 2) x √ √ 2 2 x ( x − 2) √ =√ (x > 0; x 6= 4) . =√ √ x ( x − 2) ( x + 2) x+2  CÂU 8. Rút ngắn biểu thức: P = Ç 1 1 √ −√ a−1 a+1 å :   a+1 . a−1 ú Lời giải. Điều Çkiện: a ≥ 0; a 6= 1. å 1 1 a+1 P = √ −√ : a−1 a+1 a−1 √ √ a + 1 − ( a − 1) a + 1 2 a−1 2 √ : = . = . = √ ( a − 1) ( a + 1) a − 1 a−1 a+1 a+1 √ √ a+1 a−1 −√ (với a ∈ R, a ≥ 0 và a 6= 1). Rút gọn biểu thức.  CÂU 9. Cho biểu thức A = √ a−1 a+1 ú Lời giải. √ √ √ √ √ √ √ 2 2 ( a + 1) − ( a − 1) a+2 a+1−a+2 a−1 4 a a+1 a−1 A= √ −√ = = = . a−1 a+1 a−1 a−1 a−1  CÂU 10. Rút gọn biểu thức: B = Ç 1 1 √ −√ x−1 x å :   1 √ (x > 0; x 6= 1) x− x ú Lời √ √ √ √ Ç giải. å 1 x − ( x − 1) x − x 1 x− x 1 1 √ = √ √ √ . −√ . = = 1. B= √ : x−1 x x− x x ( x − 1) 1 x− x 1 Ç å√ 1 1 x+4 √  CÂU 11. Rút gọn biểu thức: Q = √ +√ . x+4 x−4 x ú Lời√giải. √ √ √ √ x−4+ x+4 x+4 x+4 2 x 2 √ √ Q= √ . √ = √ . √ =√ . ( x + 4) ( x − 4) x ( x + 4) ( x − 4) x x−4 √ å Ç 1+ x 1  CÂU 12. Rút gọn biểu thức: Q = 1 + √ . √ với x > 0, x 6= 1. x−1 x ú Lời √ √ ñ √giải. ô x−1+ x+1 1 2 x 1 2 √ Q= ·√ =√ .√ = √ (0 < x 6= 1). ( x − 1) x x−1 x x−1 Ç å √ 1 1  CÂU 13. Rút gọn biểu thức: P = √ − √ (x x + x) với x > 0. x x+1 ú Lời giải.    N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 14 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 Với xÇ> 0 có å Ä √ ä 1 1 √ √ P = − x x+x x x+1 √ √  Ä√ ä ä √ x + 1 − x Ä√ 1 .x x + 1 = √ √ .x. x + 1 = x. = √ √ x ( x + 1) x ( x + 1) √ Ç å Ç√ å 1 1 a+1 a+2  CÂU 14. Cho biểu thức: P = √ −√ : √ −√ với a > 0; a 6= 1; a 6= 4. Rút a−1 a a−2 a−1 gọn P . ú Lời √ å Ç√ å Ç giải. 1 a+1 a+2 1 √ √ √ √ − : − P = a−1 a a−2 a−1 √ √ √ √ √ Ç √ å a− a+1 ( a + 1) ( a − 1) ( a + 2) ( a − 2) √ √  = √ √ : √ − √ a ( a − 1) ( a − 2) ( a − 1) ( a − 2) ( a − 1) √ √ √ 1 ( a − 2) ( a − 1) a−2 =√ √ . = √ . a ( a − 1) (a − 1) − (a − 4) 3 a 3 4 12  CÂU 15. Rút gọn biểu thức B = √ +√ − , (x ≥ 0, x 6= 4). x−2 x+2 x−4 ú Lời giải. Ta có √ √ 3 4 12 3( x + 2) + 4( x − 2) − 12 √ √ B =√ +√ − = x−2 x+2 x−4 ( x − 2)( x + 2) √ √ 7( x − 2) 7 7 x − 14 √ √ = √ =√ . = √ ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x+2 Vậy B = √ 7 . x+2   CÂU 16. Rút gọn biểu thức A = Ç √ å √ 3 x 1 x+1 √ −√ −3 · √ với x ≥ 0 và x 6= 1. x−1 x+1 x+2 ú Lời giải. Với x ≥ 0 và x 6= 1 ta có √ å √ x+1 3 x 1 √ −√ −3 · √ x−1 x+1 x+2 √ √ √ √ √ √ 3 x( x + 1) − ( x − 1) − 3( x − 1)( x + 1) x+1 √ √ ·√ ( x − 1)( x + 1) x+2 √ √ √ 3x + 3 x − x + 1 − 3x + 3 x+1 √ √ ·√ ( x − 1)( x + 1) x+2 √ √ 2( x + 2) x+1 2 √ √ ·√ =√ . ( x − 1)( x + 1) x+2 x−1 Ç A = = = = Vậy A = √ 2 . x−1   CÂU 17. Cho biểu thức P = Ç √ å Ç √ å 4 x 8x x−4 1 √ − √ +√ : với x > 0, x 6= 1, x 6= 4. Rút 2− x 4−x x+2 x x gọn biểu thức P . ú Lời giải. Ta có Ç P = √ å Ç √ å 4 x 8x x−4 1 √ − √ +√ : 2− x 4−x x+2 x x N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 15 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 √ √ √ √ 4 x(2 + x) − 8x x − 4 + ( x + 2) √ √ : √ √ = (2 − x)(2 + x) x( x + 2) √ √ 2 x−2 −4x + 8 x √ √ :√ √ = (2 − x)(2 + x) x( x + 2) √ √ √ 4 x x( x + 2) 2x √ · √ = =√ . 2+ x 2 x−2 x−1 Vậy P = √ 2x . x−1   CÂU 18. Cho biểu thức P = Ç 1 1 √ −√ a−1 a Ç√ å : √ å a+1 a+2 √ −√ . Tìm điều kiện xác định và a−2 a−1 rút gọn biểu thức P . ú Lời giải. Ta có điều kiện a > 0, a 6= 1, a 6= 4 thì biểu thức P thành √ √ √ √ √ √ a − ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) − ( a + 2)( a − 2) √ √ : P = √ √ a( a − 1) ( a − 2)( a − 1) 1 (a − 1) − (a − 4) √ =√ √ : √ a( a − 1) ( a − 2)( a − 1) √ √ √ 1 ( a − 2)( a − 1) a−2 =√ √ · = √ . a( a − 1) 3 3 a √ a−2 Vậy P = √ . 3 a √ Ç å 1 1 3 a  CÂU 19. Rút gọn biểu thức N = √ +√ , (a > 0, a 6= 4). : a+2 a−2 a−4 ú Lời giải.Ç √ √ √ √ å 1 1 2 3 a a−2+ a+2 a−4 2 a a−4 √ Ta có N = √ +√ = √ · √ · √ = . : a+2 a−2 a−4 ( a + 2)( a − 2) 3 a a − 4 3 a 3    CÂU 20. Ç 1. Rút gọn biểu thức Q = √ √ å √ 3+ x 3− x 36 x−5 √ − √ − , (x > 0, x 6= 9, x 6= 25). : √ 3− x 3+ x x−9 3 x−x 2. Tìm x để Q < 0. ú Lời giải. 1. Với x > 0, x 6= 9, x 6= 25, ta có √ √ å √ 3+ x 3− x 36 x−5 √ − √ − : √ 3− x 3+ x x−9 3 x−x √ 2 √ 2 √ (3 + x) − (3 − x) + 36 3 x − x √ √ · √ (3 + x)(3 − x) x−5 √ √ √ √ (9 + 6 x + x) − (9 − 6 x + x) + 36 x(3 − x) √ √ · √ (3 + x)(3 − x) x−5 √ √ √ √ (12 x + 36)(3 − x) x 12 x √ √ √ =√ . (3 − x)(3 + x)( x − 5) x−5 Ç Q = = = = √ 12 x Vậy Q = √ . x−5 N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 16 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 √ √ √ 12 x 2. Với x > 0 thì 12 x > 0. Do đó Q < 0 ⇔ √ < 0 ⇔ x − 5 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 25. x−5 Kết hợp với điều kiện xác định, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x 6= 9. Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0; 25) \ {9}.  CÂU 21. Cho biểu thức A = Ç  √ √ å 3 5 x−7 2 x+3 2 √ √ , (x > 0, x 6= 4). √ + √ − : x − 2 2 x + 1 2x − 3 x − 2 5x − 10 x Rút gọn biểu thức A. ú Lời giải. Với x > 0, x 6= 4, biểu thức có nghĩa. Ta có √ √ å 2 3 5 x−7 2 x+3 √ √ √ + √ − : x − 2 2 x + 1 2x − 3 x − 2 5x − 10 x √ √ √ √ 2(2 x + 1) + 3( x − 2) − (5 x − 7) 2 x+3 √ √ : √ √ ( x − 2)(2 x + 1) 5 x( x − 2) √ √ √ 2 x+3 5 x( x − 2) √ √ √ · ( x − 2)(2 x + 1) 2 x+3 √ 5 x √ . 2 x+1 Ç A = = = = √ 5 x Vậy A = √ . 2 x+1  u PHƯƠNG PHÁP 6. LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU RỒI ĐƠN GIẢN HOẶC QUY ĐỒNG √ √ x 2 2x − 2 √ +  CÂU 1. Rút gọn biểu thức P = √ với x > 0, x 6= 2. x−2 2 x+x 2 ú Lời giải. Với điều kiện đã cho thì √ √ √ √ √ x 2 2( x − 2) x 2 √ √ √ =√ √ = 1. P =√ √ √ + √ √ +√ 2x( 2 + x) ( x − 2)( x + 2) 2+ x x+ 2 Vậy P = 1.  √ √ x y+y x 1  CÂU 2. Chứng minh rằng :√ √ √ = x − y với x > 0, y > 0 và x 6= y. xy x− y ú Lời giải. √ √ √ √ √ xy( x + y) √ x y+y x 1 √  Ta có :√ · ( x − y) = x − y. √ √ = √ xy x− y xy √ √ a b+b a a−b √ √ .  CÂU 3. Rút gọn biểu thức B = +√ ab a+ b ú Lời giải. Ta có với a, b là hai số thực dương thì √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ a b+b a a−b ab( a + b) ( a − b)( a + b) √ √ √ = √ √ B= +√ + = a + b + a − b = 2 a. √ ab a+ b ab a+ b √ Vậy B = 2 a.  N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 17 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp 9 √ åÇ √ å a+ a a−5 a  CÂU 4. Rút gọn biểu thức A = 3 + √ 3− √ với a ≥ 0, a 6= 25. a+1 a−5 ú Lời giải. Ta có √ å √ åÇ Ç a−5 a a+ a 3− √ A = 3+ √ a+1 a−5 √ √ √ √ Ç åÇ å a( a + 1) a( a − 5) = 3+ √ 3− √ a+1 a−5 √ √ = (3 + a)(3 − a) = 9 − a. Ç Vậy A = 9 − a.  √ åÇ √ å a+ a a− a √  CÂU 5. Rút gọn biểu thức P = 1 + √ 1+ với a ≥ 0, a 6= 1. a+1 1− a ú Lời giải. √ √ √ √ ôñ ô ñ √ √ a( a + 1) a( a − 1) √ 1+ = (1 + a)(1 − a) = 1 − a.  Với a ≥ 0, a 6= 1 ta có P = 1 + √ a+1 1− a √ åÇ √ å Ç a− a a+2 a  CÂU 6. Rút gọn biểu thức P = 1 − √ 1− √ với a ≥ 0, a 6= 1 (trình bày rõ các a−1 a+2 bước biến đổi). ú Lời giải. Ta có √ åÇ √ å Ç a− a a+2 a P = 1− √ 1− √ a−1 a+2 √ √ √ √ Ç å Ç å a( a − 1) a( a + 2) = 1+ √ · 1− √ a−1 a+2 √ √ = (1 − a)(1 + a) = 1 − a. Ç Vậy P = 1 − a.  Ç å 1 2 1 +√ . Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu : √ x−4 x+2 x+2 3 thức P , từ đó tìm giá trị của x để P = . 2 ú Lời giải. ( ( x≥0 x≥0 Điều kiện xác định ⇔ x − 4 6= 0 x 6= 4. √ √ Ç å √ 1 1 2+ x−2 x 2 √ +√ : √ = √ · ( x + 2) = √ . Ta có P = x −√ 4 x+2 x+2 ( x + 2)( x − 2) x−2 √ √ √ 3 x 3 Tại P = ⇔ √ = ⇔ 2 x = 3 x − 6 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36 (thỏa).  2 x−2 2 √ å Ç x 1 1 : √  CÂU 8. Cho biểu thức A = √ − . Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu x−1 x−1 x+1 thức A. ú Lời giải. ( x≥0 Điều kiện xác định x 6= 1. √ √ √ x+1− x 1 1 x+1 1 √ √ Rút gọn A = √ :√ = √ · =√ .  ( x + 1)( x − 1) x+1 ( x + 1)( x − 1) 1 x−1  CÂU 7. Cho biểu thức P = N hóm LATEX Tháng 2-2020 Trang 18