CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
CỦA MỘT BIỂU THỨC
A. Kiến thức
Định nghĩa
1. Cho biểu thức f(x,y…)
Ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, nếu hai điều
kiện sau thỏa mãn :
- Với mọi x,y,…để f(x,y…) xác định thì f(x,y…) M ( M là hằng số)
- Tồn tại x0 ; y0 ;... sao cho f ( x0 , y0 ...) M
2. Cho biểu thức f(x,y…)
Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, nếu hai điều
kiện sau thỏa mãn :
- Với mọi x,y,…để f(x,y…) xác định thì f(x,y…) m ( m là hằng số)
- Tồn tại x0 ; y0 ;... sao cho f ( x0 , y0 ...) m
B.Bài tập
Dạng I.
I.1 Biểu thức dạng f(x) = a.x 2 b.x c ( a,b,c là hằng số, a 0 )
PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn
a, Tìm GTLN
Biến đổi hàm số y = f(x) = M g ( x)
y M . Do đó ymax M g ( x) 0
2n
nZ
b. Tìm GTNN
Biến đổi hàm số y = f(x) = m h( x)
2k
k Z
y m . Do đó ymin m h( x) 0
c, Tam Thức bậc hai
2
2
2
b
b 2 b2
b b 4ac
f ( x) a.x b.x c a x 2. x 2 2 c a x
2a
4a 4a
2a
4a
2
Nếu a> 0, GTNN của f(x) là
Nếu a < 0, GTLN của f(x) là
b 2 4ac
4a
b 2 4ac
4a
x
b
và không có GTLN
2a
x
b
và không có GTNN
2a
Ví dụ 1a. Tìm GTNN của tam thức f(x) = 5x 2 2x 1
b.Tìm GTLN của tam thức f(x) = 3x 2 x 2
Giải
2
= 5 x
a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + 1
2
x 1
5
2
2
1
5 x 2 x
5
5
2
1
1
5
2
2
1 1
1 4
5 x 1 5 x
5
5
5 5
2
1
Vì với mọi x, x R thì x 0 nên ta có:
5
Vậy f(x) có giá trị nhỏ nhất là
Kl: f(x) đạt GTNN là
b/ f(x) = - 3x2 + x – 2
4
khi
5
4
1
khi x =
5
5
2
2
1 4 4
f ( x ) 5 x ;
5 5 5
1
1
x = 0 => x = 5
5
với mọi x, x R
3 x 2
3 x 2
1
x 2
3
2
2
1
1 1
x 2
3
6 6
2
1 23
3 x
6 12
2
2
1
1 23
23
Vì x 0 với mọi x, x R nên 3 x
6
6 12
12
f(x)
23
với mọi x, x R
12
2
23
1
1
1
Vaäy f(x)
khi 3 x 0 x 0 x
12
6
6
6
f(x) có giá trị nhỏ nhất là
23
1
khi x
12
6
Bài tập tự luyện
Baøi 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa:
a/ P( x) 3x 2 x 7
b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3
Baøi 2: Tìm GTLN cuûa:
a/ P(x) = - x2 – 7x +1
b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8
Baøi 3: Tìm GTLN cuûa
2
2
a/ P(x) = 3x 5 3x
b/ Q(x) = x – x2
Bài tập tự luyện
Baøi 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa:
a/ P( x) 3x 2 x 7
b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3
Baøi 2: Tìm GTLN cuûa:
a/ P(x) = - x2 – 7x +1
b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8
Baøi 3: Tìm GTLN cuûa
2
2
a/ P(x) = 3x 5 3x
b/ Q(x) = x – x2
I.2. Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36
minA = -36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6.
Ví dụ 3: Với giá trị nào của biến x thì biểu thức P(x)= (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6)
có GTNN?. Tìm GTNN đó
Giải
P(x) = (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6)
= (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3)
2
2
= x 5x 6 x 5x 6
Ta có hai cách giải quyết
Cách 1:
2
2
2
Ta có P(x) x 5 x 6 x 5 x 6 x 2 5 x 36
Vì x2 + 5x 0, với mọi x, x R nên P(x) -36
P(x) đạt GTNN là – 36 với x2 + 5x = 0 x = 0 hoặc x = - 5
Cách 2:
Xét biểu thưc đối của P(x) là – P(x) :
2
2
P(x) = - x 5 x 6 x 5 x 6
2
2
= x 5x 6 x 5x 6
Nếu đặt X
= x2 5x 6 ; Y = x2 5x 6
Thì ta có X + Y = - 12 không đổi
Vậy tích X.Y lớn nhất khi X = Y
=> - P(x) lớn nhất khi: x 2 5 x 6 = x 2 5 x 6 2x2 + 10 = 0 x = 0 hoặc x = - 5
Vậy P(x) đạt GTNN là 36 khi x = 0 hoặc x = - 5
II. Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 4 : Tìm GTNN của A =
Giải : A =
2
6x 5 9x2
.=
2
6x 5 9x2
2
9x 6x 5
2
=
.
2
(3 x 1) 2 4 .
Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó
1
(3 x 1) 2 4
a b thì
1
a
1
b
với a, b cùng dấu). Do đó
1
2
(3 x 1) 2 4
minA = - 2 3x – 1 = 0 x =
BT tự luyện:
1. Tìm GTLN của BT : A
1
x 4x 9
2
1
3
.
2
4
A -
1
2
1
4
theo tính chất
HD giải: A
1
1
1
1
. max A= x 2 .
2
x 4x 9 x 2 5 5
5
2
2. Tìm GTLN của BT : A
HD Giải: A
1
x 6x 17
2
1
1
1
1
. max A= x 3
2
x 6x 17 x 3 8 8
8
2
b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương của nhị thức.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của A =
3x 2 8 x 6
x2 2x 1
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
( x 2) 2
( 2 x 2 4 x 2) ( x 2 4 x 4)
=
2
+
( x 1) 2
x2 2x 1
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
3( y 1) 2 8( y 1) 6
y2
=3-
2
y
+
1
y2
=(
minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2
Bài tập luyện tập:
1, Tìm GTNN và GTLN của bt: P
2, Tìm GTNN của bt : B
x2 1
x2 x 1
x 2 2 x 2006
x2
x2
3, Tìm GTNN và GTLN của bt: C 2
x 5x 7
1
y
-1)2 + 2
4, Tìm GTNN của bt : a, D
x2 2x 2
x2 2x 3
b, E
x2 2x 1
2x2 4 x 9
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ 6: Tìm GTNN và GTLN của A =
3 4x
x2 1
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =
x2 4x 4 x2 1
x2 1
=
( x 2) 2
- 1 -1
x2 1
minA = -1 khi và chỉ khi x = 2
Tìm GTLN A =
4x2 4 4x2 4x 1
x2 1
Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN của P(x) =
b/ Tìm GTLN của Q(x) =
( 2 x 1) 2
=4x2 1
4
2x2 2x 3
x2 x 2
3 x 2 17
.
x2 4
Giải:
a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) về dạng: P(x)= 2 P(x) đạt GTNN khi
1
x x2
2
1
đạt GTLN
x x2
2
2
2
2
1 3
1 1
Xét biểu thức x x 2 x x 2 x
2 4
2 2
2
2
2
3
1
Vì x 0 với mọi x, x R nên x 2 x 2 với mọi
4
2
1
4
1
1
Suy ra 2
đạt GTLN khi x = và GTLN là 3 3
x x2
2
4
x, x R
Vậy P(x) đạt GTNN là : 2
1
4 2
3 3
2
Kết quả: P
2 3
5
5
3 x 2 17
b/ Ta có: Q(x) = 2
=3+ 2
; Q(x) lớn nhất khi 2
lớn nhất.
x 4
x 4
x 4
5
lớn nhất khi x2 + 4 đạt GTNN.
x 4
2
Vì x2 + 4 4, với mọi x, x R nên x2 + 4 đạt GTLN là 4 khi x = 0
Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN là 3 +
5
1
4
4
4
Bài tập luyện tập:
1, Tìm GTLN của bt:
x
a, A 2
x 2
b, B
x2 4x 4
Với x > 0;
x
3, Tìm GTNN của bt:
a, C
4, Tìm GTNN của bt:
a, E x 2
2
với x > 0;
x3
x2
x
3
x5 2
Với x > 0
x3
b, F
x3 1
Với x > 0
x2
x 2 2 x 17
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S
2
b, D
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Q 2 x 1
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R
2
Với x > 0
x 6 x 34
Với x > 0
x 3
x 3 2000
Với x > 0
x
9, Vôùi giaù trò döông naøo cuûa x thì bieåu thöùc sau ñaït GTNN:
a/ P( x)
2 x2 3
x
3x 2
1 9 x2
b/ Q( x)
III. TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA
CÁC BIẾN
Ví dụ 8: Tìm GTNN của x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
Xử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2
Đến đây ta có nhiều cách giải
Cách 1: Xử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1
(1)
(x – y) 0 x2 - 2xy + y2 0
Mà
(2)
Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2
minA =
1
2
khi và chỉ khi x = y =
1
2
1
2
Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA =
1
2
khi và chỉ khi x = y =
1
2
)2 +
1
2
1
2
1
2
Cách 3/ Sử dụnh điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
Đặt x =
1
2
+ a thì y =
x2 + y 2 = (
minA =
1
2
1
2
1
2
- a . Biểu thị x2 + y2 ta được :
1
+ a)2 + ( 2 - a)2 =
a = 0 x=y=
1
2
1
2
+2 a2
1
2
Ví dụ 9: Tìm Min A = a 2 ab b2 3a 3b 2014
Cách 1 Ta có: A= a 2 2a 1 b 2 2b 1 ab a b 1 2011
= a 2 2a 1 b 2 2b 1 ab a b 1 2011 =
=
a 1
2
a 1
2
1
b 1 a b 1 b 1 2011
2
b 1 a 1 b 1 2011
2
a 1 2 a 1
b 1 b 1
2
2
4
3 b 1
4
2
2
2
3 b 1
b 1
2011
2011 = a 1
+
2
4
b 1
0
a 1
a b 1
2
Min A = 2011 khi
b 1 0
Cách 2:
2A 2 a 2 ab b 2 3a 3b 2014 = a 2 2a 1 b 2 2b 1 a 2 2ab b 2 2.2 a b 4 4022
2
1
2
= a 1 b 1 a b 2 4022
a 1 0
a b 1 => Min A = 2011
Min 2A = 4022 khi b 1 0
a b 2 0
Bài tập luyện tập
Tìm GTNN của
a) A=a 2 5b 2 4ab 2b 5
b) B = x 2 y 2 xy 3 x 3 y 2029
c) C x 2 4 y 2 9 z 2 4 x 12 y 24 z 30
2
2
( Gợi ý A = a - 2b b 1 4 )
2
2
2
( Gợi ý B = x-y y 3 x 3 2011 )
2
2
2
( Gợi ý C = x+2 2 y 3 3z 4 1 )
d) D= 20x 2 18 y 2 24 xy 4 x 12 y 2016
2
2
( Gợi ý D= 4x-3y 2 x 1 3 y 2 2011 )
IV Các chú ý khi tìm bài toán cực trị :
1- Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến
Ví dụ 9 : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y ,biểu thức trở thành (y
+ 1)2 + (y – 1)2
= 2y2 +2 2 minA = 2 y = 0 x = 2
2- Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này
đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức kháư đạt cực trị
chẳng hạn :
-A lớn nhất A nhỏ nhất
1
lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0
B
x4 1
Ví dụ 10: Tìm GTLN của A 2
( x 1) 2
Chú ý rằng A>0 nên A lớn nhất khi
1
nhỏ nhất và ngược lại
A
1
1
( x 2 1)2 x 4 2 x 2 1
2x2
1
=
.Vậy 1
4
4
4
A
A
x 1
x 1
x i
min
1
= 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0
A
3/ Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường xử dụng các bất
đẳng thức đã biết.
3.1 Bất đăng thức có tính chất sau
a ) a > b , c > d với a,b,c,d > 0 thì a.c > b.d
b) a > b và c >0 thì a.c > b.c
c) a > b và c<0 thì a.c < b.c
d) a > b và a,b,n >0 thì an > bn
e ) A B A+B
3.2 Bất đẳng thức Cauchy
- Với a 0, b 0 thì
- a>0 ; b>0 thì
a b
ab
2
hay a b 2 ab
1
2
ab a b
3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki
2
Cho hai cặp số ( a1 ; a2 ; b1 ; b2 ta có a1.b1 a2 .b2 a12 a2 2 . b12 b2 2
a
a
1
2
Dấu ’’=’’ xảy ra khi b b
1
2
Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là thành phần của bất đẳng thức Bu- nha - cốp
–xki với a = 2 và b = 3 ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4
2x + 3y 26. Vậy max A = 26
{ 3x = 2y
2x +3y 0
Thay y =
3x
vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4
2
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0
Vậy max A 26 x =4 , y = 6
Ví dụ 12a/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc P(x)= 2x – x 2
vôùi 0 < x < 2.
b/ Tìm GTNN cuûa Q(x)=
x2 4
,x>0
x
Giaûi:
a/ Ta coù 2x – x2 = x(2 – x) vôùi 0 < x < 2 =>x > 0; 2 – x > 0
Xeùt toång x + (2 - x) = 2 = khoâng ñoåi
Vaäy tích x(2 - x) lôùn nhaát khi x = 2 – x => x = 1
GTLN cuûa P(x) vôùi 0 < x < 2 laø: P(1) = 1 +1 = 2, öùng vôùi
giaù trò x =1
x2 4
4
x ; x > 0
b/ Ta coù Q(x)=
x
x
Xeùt tích x.
Vaäy toång x +
4
= 4 = khoâng ñoåi
x
4
4
ñaït giaù trò nhoû nhaát khi x =
x
x
=> x2 = 4
=> x = 2
Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a côp xki ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52
( 2x + 3y )2 13.13.4
2 x 3 y
2 x 3 y 0
2x + 3y 26. Vậy maxA = 26
Thay y =
3x
vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4
2
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0
Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6
1
1
1
Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk x y 2 Tìm GTNN của bt: A = x y
1
1
1 1
Giải. Do x > 0, y > 0 nên x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số x , y
ta có:
1
11 1
1 1
.
2 x y
x y
1
Hay 4 xy =>
xy 4
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x 0, y 0 . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
x y 2
xy 2 4 4
x y
Vậy: Min A = 4 khi : 1 1 1 x y 4
x y 2
Ví dụ 15 : Tìm GTNN của của biểu thức : A x 2 x 1 x 2 x 1
2
1 3 3
Giải. Ta có: x x 1 x x R
2 4 4
2
2
1 3 3
x x 1 x x R
2 4 4
2
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số
x 2 x 1 x 2 x 1 2
x 2 x 1, x 2 x 1 ta có :
x 2 x 1. x 2 x 1 2 4 x 4 x 2 1 2
x 4 x 2 1 1
x 0
Max A = 2 khi 2
2
x x 1 x x 1
x
y
y
z
Ví dụ 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A
z
với x, y, z > 0.
x
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
x y z
x y z
A 33 . . 3
y z x
y z x
x
y
z
x
y
z
Do đó min 3 x y z
y z x
y z x
Cách 2 : Ta có :
x y
x y z x y y z y
. Ta đã có 2 (do x, y > 0)
y x
y z x y x z x x
nên để
chứng minh
x y z
y z y
3 ta chỉ cần chứng minh : 1
y z x
z x x
(1)
(1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0
(2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó
tìm được giá trị nhỏ nhất của
x y z
.
y z x
VD 17: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x +
y + z = 1.
Giải
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có:
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)
(2)
2
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. A A ≤
9
3
3
3
1
2
max A = khi và chỉ khi x = y = z = .
3
9
VD 18 Tìm GTNN của A
xy yz zx
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :
yz zx
zx xy
2z ;
2x . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
x
y
y
z
Tương tự :
min A = 1 với x = y = z =
1
.
3
VD 19 Tìm GTNN của A
Giải .
xy yz
xy yz
2
. 2y .
z
x
z x
1
2
4xy với : x > 0, y > 0, x + y < 1
2
x y
xy
2
Ta có:
2
x y
2 xy x y 4 xy
1 1
1
1 1
4
x y 2 xy .2
4
xy
x y xy
x y
1 1 2 1
x y
xy
Ta có: A
=> A
1
1
2
1
1
5
4xy 2
4xy
2
2
x y
xy
2xy
4xy 4xy
x y
2
4
1
5
4
5
11
2 4xy.
2
11
2
2
2
2
2
x 2xy y
4xy x y
x y
x y x y
2
VD 20 : Cho x
1
, Tìm GTLN của A = 2x 2 5 x 2 + 2 x+3 - 2x
2
Giải : Ta có : A = 2x 2 5 x 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 x 2 + 2 x+3 - 2x Với x
1
ta có:
2
2x 1 0
x 2 0
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2 Ta có:
Hay :
3x 3
2
2x 1 x+2 Dấu “ = ” xảy ra khi
x 7
2 x 3 .
2
Do đó: A
2x 1 x+2
2x 1 x+2 x=1
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4 Ta có:
Hay :
2x 1 x+2
2
x 3 4
4 x 3 2 x 3
2
Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 x=1
x 7
3x 3
- 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1
2
2
1
4
9
VD 21: Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x y z
1
4
9
y
4x 4z
9y
9x
z
Giải. Ta có: S = x + y + z = 1+4+9+
z z x
x y z
x y y
y 4x
y
4x
y 4x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x , y ta có : 2 . 4
x y
x y
Tương tự ta có :
4z 9 y
4z 9 y
2
.
12 ;
y
z
y z
S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
9x z
9x z
2
. 6
z x
z x
y 4x
x y
4z 9 y
z
Dấu “=” sảy ra khi : y
9x z
x
z
x y z 1
1
3
1
6
Vậy Min S = 36 khi y , x , z
y 2 4 x 2
2
2
4 z 9 y
2
2
9 x z
x y z 1
1
y 3
y 2 x
1
x
z 3x
6
x y z 1
1
z 2
1
2
VD 22: Tìm GTNN của hàm số : y x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
Cách 1: y x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 1
Nếu: x < -1 thì y x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 2
Nếu: -1 x 1 thì y x 1 x 1 x 1 x 1 2
Nếu: x > 1 thì y x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 2
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1
Cách 2 : áp dụng BĐT a b a b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b 0 )
Ta có : y x 1 1 x x 1 1 x 2
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1
Bài 23: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :
2
2
A = x(4 -2x ) = 2 – x 2 2 x 2. 2 2 = 2 x 2 2
x 2 2 0
2 x xy 4
=> Max A = 2 khi
x 1
y 2
2
Cách 2: Ta có : A =
1
.2 x.xy . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi
2
2
2
2 x xy x 2 y Thay số ta
2 x xy
2 x xy
cho 2 số 2x, xy ta có:
2 x.xy
2 x.xy
2
4.2
2
có : 2 x 2 y =A
2 x xy
2 x xy 4
Vậy Max A =2 khi
x 1
y 2
BÀI TẬP TỰ LUYÊN
Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y 4 x 2 4 x 1 4 x 2 12 x 9 b,
y x2 4 x 4 x2 6 x 9
Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y 4 x 2 20 x 25 x 2 8 x 16
b,
y 25 x 2 20 x 4 25 x 2 30 x 9
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1
3/ Trong các hằng bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
-Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó
bang nhau
Ví dụ 13: Tìm GTLN và GTNN của tích xy , biết x,y là các số nguyên dương thoả
mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2
xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xãy ra x = y)
Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
VI. Một số sai lầm khi giải bài toán cực trị
( Tài liệu Nâng cao vàphát triển Toán 9 tập 1- Vũ Hữu Bình)
VII.
Ví dụ thamkhảo + Bài tập luyện tập
1. Sách nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2 – Vũ Hữu Bình (Trang 56 – 73)
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 –Bùi Văn Tuyên (Trang 23-29)
- Xem thêm -
.PDF 
20 
27 
62 
