Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115
Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế
Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà
KH¶O S¸T HµM Sè
TIÕP TUYÕN Vµ Sù TIÕP XóC
Phiªn b¶n 2020
Cè lªn c¸c em nhÐ!
HuÕ, th¸ng 9/2020
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Chuyên đề:
KH¶O S¸T HµM Sè
Chủ đề 7: TIÕP TUYÕN – Sù TIÕP XóC
Môn: TOÁN 12 _GIẢI TÍCH
I- LÝ THUYẾT
Cho hàm số y
f x , có đồ thị (C).
y
1. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 x 0 ; y 0
y
f / x0 x
y0
Lưu ý: + Điểm M 0 x 0 ; y 0
x0
(C)
(C ) :
MO
(*)
(C ) được gọi là tiếp điểm.
O
x
+ Đường thẳng bất kỳ đi qua M 0 x 0 ; y 0 có hệ số góc k ,
y
có phương trình:
y0
k x
x0
+ Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M 0 x 0 ; y 0
có hệ số góc k
(C )
f / x 0 . Hay hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: k
f / x . Rõ ràng,
tiếp tuyến của (C) hoàn toàn xác định nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc hoành độ tiếp điểm.
Nhắc: Cho hai đường thẳng
Lúc đó:
1
2
1
:y
k1
k1x
k2 và m1
m1 và
(C) và (C’) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình
kx
:y
k2x
m2
2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y
Đặc biệt: Đường thẳng y
2
1
/
f (x )
k1.k2
2
f x , (C) và y
f x
g x
f/ x
g/ x
m là tiếp tuyến với (C) : y
f (x )
m2 .
kx
1
g x , (C') .
có nghiệm.
f x khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
m
k
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI TIẾP ĐIỂM
Câu 1: (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của
đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d có hệ số góc âm.
B. d có hệ số góc dương.
C. d song song với đường thẳng y 4 .
D. d song song với trục Ox .
Lời giải:
Ta có đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 nhận điểm A 1; 0 làm điểm cực đại. Mà y 1 0 .
Suy ra phương trình đường thẳng d : y 0 . Do đó d song song với đường thẳng y 4 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
1
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 2:
Câu 3:
Luyện thi THPT Quốc gia
(THPT Tây Thụy Anh - Thái Bình - Lần 2 - 2018 - BTN) Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ
1
thị hàm số y x3 2 x 2 3x 5
3
A. Có hệ số góc dương.
B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc bằng 1 .
D. Song song với đường thẳng x 1 .
Lời giải:
x 1
Ta có y x 2 4 x 3 , y 0
. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A 3; 5 .
x 3
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực tiểu có phương trình là y 5 .
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hệ số góc của tiếp tuyến
tại A 1;0 của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 2 là
A. 1 .
B. 1 .
C. 3 .
Lời giải:
3
2
2
Đặt f x x 3x 2 . Ta có f x 3x 6 x .
D. 0 .
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A 1;0 của đồ thị hàm số đã cho là: f 1 3.1 6.1 3 .
Câu 4:
3
(CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Cho hàm số y x 2 x 1 có đồ thị C . Tính hệ số góc
k của tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ bằng 1 .
A. k 25 .
B. k 5 .
C. k 10 .
D. k 1 .
Lời giải:
2
Ta có : y 3 x 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là k y 1 1 .
Câu 6:
(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y x 4 1 có đồ thị
là (C ) . Tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm với hoành độ bằng 0 có hệ số góc là
A. 0 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải:
+) Ta có y x 4 1 y 4 x 3
+) Tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm với hoành độ bằng 0 có hệ số góc là k y(0) 0
(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
3 4x
7
hàm số y
tại điểm có tung độ y .
x2
3
9
5
5
A. .
B. .
C. .
D. 10 .
5
9
9
Lời giải:
7
3 4x
7
5
5
y
x 1 . Ta có: y
. Vậy hệ số góc cần tìm là y 1 .
2
3
x2
3
9
x 2
Câu 7:
(TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC CẢNH LẦN 03) Cho hàm số y x 2 2 x 4 có đồ thị
Câu 5:
C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ
A. y 4 x 3 .
B. y
1
x2.
2
C. y
x 0 là
1
x 2.
2
D. y
1
x2.
2
Lời giải:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
2
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
; y 0 2 .
2
x2 2 x 4
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 là
1
y y 0 x 0 2 y x 2 .
2
(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ LẦN 3 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1
số y
tại điểm M 1;0 .
x2
1
1
1
1
1
A. y x .
B. y x 1 .
C. y x 1 .
D. y x .
3
3
3
9
9
Lời giải:
1
TXĐ: D \ 2 . Ta có f 1 .
3
1
1
1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M 1;0 là: y x 1 0 y x .
3
3
3
(GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
1
1
y x3 x 2 2 x 1 có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1; là
3
3
2
2
A. y 3 x 2 .
B. y 3 x 2 .
C. y x .
D. y x
3
3
Lời giải:
Ta có: y x 2 2 x 2; y 1 1.
Ta có y
Câu 8:
Câu 9:
x 1
Luyện thi THPT Quốc gia
; y 0
1
1
2
1
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1; là: y y 1 x 1 x 1 x
3
3
3
3
3
Câu 10: (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y x 3x có đồ
thị C .Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm có tung độ bằng 4 là
A. k 0.
B. k 2.
C. k 6.
D. k 9.
Lời giải:
Ta có hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình x 3 3 x 4 x 1
Ta có y ' 3 x 2 3 Hệ số góc của tiếp tuyến là k y ' 1 6 .
Câu 11: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho đồ thị H : y
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị H tại giao điểm của H và Ox .
2x 4
.
x 3
A. y 2 x.
B. y 2 x 4.
C. y 2 x 4.
D. y 2 x 4.
Lời giải:
2x 4
y
y 0 x 2 M 2;0 nên giao điểm của H và Ox là M 2;0 .
x 3
2
y
x 3 nên hệ số góc tiếp tuyến là y 2 2 .
2
x 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị H tại giao điểm của H và Ox là
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
3
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
y 2 x 2 0 2x 4 .
Câu 12: (THPT NGUYỄN HUỆ - HÀ NỘI 18-19) Cho hàm số y x 3 x 1 có đồ thị C . Phương
trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung là
A. y 2 x 1 .
B. y x 1 .
C. y 2 x 2 .
Lời giải:
Gọi M là giao điểm của C và trục tung. Khi đó M 0; 1 .
D. y x 1 .
Ta có y 3 x 2 1 . Phương trình tiếp tuyến của C tại M là
y y xM . x xM yM y 0 . x 0 1 x 1 .
Câu 13: (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình tiếp tuyến
của đường cong y x 3 3 x 2 2 tại điểm có hoành độ x0 1 là
A. y 9 x 7 .
B. y 9 x 7 .
C. y 9 x 7 .
Lời giải:
Xét hàm số y f ( x) x 3 3x 2 2 f '( x) 3x 2 6 x f '(1) 9.
Ta có x0 1 y0 2 M 0 1; 2 .
D. y 9 x 7 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0 1; 2 có dạng:
y y0 f '( x0 ) x x0 y 2 9 x 1 y 9 x 7 .
Câu 14: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tiếp tuyến với đồ thị hàm
1
số y x 4 2 x 2 3 tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A, B khác tiếp điểm. Tính độ dài
4
đoạn thẳng AB .
A. 2 .
Lời giải:
B.
2.
C. 2 2 .
D. 4 2 .
x 0
.
x 2
Ta có: y x3 4 x; y 0
BBT:
Từ BBT suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M 0;3 .
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu là đường thẳng y 3 .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:
x 0
1
1
A 2 2;3 ; B 2 2;3 AB 4 2 .
x4 2 x2 3 3 x4 2 x2 0
4
4
x
2
2
Câu 15: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y x 3 mx 2 2m 3 x 1 đều có hệ số góc dương.
A. m 0 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
4
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
Lời giải:
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 mx 2 2m 3 x 1 là y 3x 2 2mx 2m 3
Vì hệ số góc dương với mọi x nên ta có
a 3 0
2
y 3x 2 2mx 2m 3 0
m 2 6m 9 0 m 3 0 m .
0
2x 1
Câu 16: Cho hàm số y
có đồ thị C . Tiếp tuyến với đồ thị C tại M 2;5 cắt hai đường tiệm
x 1
cận tại E và F . Khi đó độ dài EF bằng
A. 10 .
B. 2 10 .
C. 13 .
D. 2 13 .
Lời giải:
Tiệm cận đứng của đồ thị C là: x 1 .
Tiệm cận ngang của đồ thị C là: y 1 .
Ta có y
3
x 12
.
Tiếp tuyến với C tại M 2;5 là: y y 2 x 2 5 y
Gọi E
Gọi F
3
x 2 5 y 3 x 11 .
2 12
là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E 1;8 .
là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F 3; 2 .
Vậy EF
3 12 2 82
40 2 10 .
Câu 17: (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y 4 x 2cos 2 x
có đồ thị là C . Hoành độ của các điểm trên C mà tại đó tiếp tuyến của C song song
hoặc trùng với trục hoành là
A. x
k k
.
4
Lời giải:
Ta có y 4 4sin 2 x .
B. x
2
k k
.
C. x k k
.
D. x k 2 k
.
Khi đó, hoành độ của các điểm trên C mà tại đó tiếp tuyến của C song song hoặc trùng
với trục hoành là nghiệm của phương trình:
k k .
2
4
Câu 18: (THPT Lương Thế Vinh Đồng Nai lần 2 – 2019) Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 ?
A. y 9 x 12 .
B. y 9 x 14 .
C. y 9 x 13 .
D. y 9 x 11 .
Lời giải:
y x3 3x 2 y 3x 2 3 .
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x0 ; y0 .
y 0 4 4sin 2 x 0 sin 2 x 1 2 x
k 2 x
x0 2 y0 0 d1 : y 9 x 18
Hệ số góc tiếp tuyến bằng 9 f x0 3x02 3 9
.
x0 2 y0 4 d 2 : y 9 x 14
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
5
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy đường thẳng y 9 x 14 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 .
x 1
Câu 19: (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trên đồ thị C : y
có bao nhiêu điểm
x2
M mà tiếp tuyến với C tại M song song với đường thẳng d : x y 1
A. 4 .
Lời giải:
B. 1 .
Xét hàm số C : y
D. 0 .
C. 2 .
x 1
. TXĐ: D
x2
\ 2 , y '
1
x 2
2
0.
Để tiếp tuyến với C tại M song song với đường thẳng d : y x 1 suy ra
y'
1
x 2
2
1VN . Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn.
Câu 20: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị
1
2
1
2
C : y x3 x sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng y x .
3
3
3
3
4
4
A. M 2 ; 4 .
B. M 1; .
C. M 2 ; .
D. M 2 ; 0 .
3
3
Lời giải:
2
1
Giả sử M a ; a 3 a , a 0 ; y x 2 1 y a a 2 1
3
3
1
2
Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng y x nên ta có:
3
3
a 2
y a 3 a 2 1 3
.
a 2
Vì M có hoành độ âm nên ta chọn a 2 . Suy ra M 2;0 .
Câu 21: (THPT MAI ANH TUẤN-THANH HÓA-2019) Cho hàm số y x 3 3x 2 9 x 1 có đồ thị
C . Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị C là
A. 1 .
Lời giải:
B. 6 .
D. 9 .
C. 12 .
Ta có y ' 3 x 2 6 x 9; y ' 3 x 1 12 12
2
Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị C là 12 .
2 x3
x 2 4 x 2 , gọi đồ thị của hàm số là C . Viết phương trình tiếp tuyến
3
của C có hệ số góc lớn nhất.
Câu 22: Cho hàm số y
9
25
25
9
25
7
5
B. y 5 x
.
C. y x .
D. y x .
x .
2
12
12
4
12
2
12
Lời giải:
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm phương trình và x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C thì
A. y
2
9
1
9
1 9
hệ số góc của d : k y '( x0 ) 2 x 2 x0 4 x0 ; k x0 .
2
2
2
2 2
2
0
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
6
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
9
1
đạt được khi và chỉ khi x0 .
2
2
9
1
25
1 9
Suy ra phương trình tiếp tuyến d : y x y x
.
2
2
12
2 2
Câu 23: (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y x 3 3x 2 6 x 5 . Tiếp
tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là
A. y 3 x 9 .
B. y 3 x 3 .
C. y 3 x 12 .
D. y 3 x 6 .
Lời giải:
2
Ta có: y 3x 2 6 x 6 3 x 1 3 3 . Dấu " " xảy ra khi x 1 y 9 .
Vậy max k
Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 và là tiếp tuyến tại điểm M 1;9 .
Phương trình tiếp tuyến là: y 3 x 1 9 y 3 x 6 .
Câu 24: (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4x 3
cùng với 2 tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng:
y
2x 1
A. 6 .
B. 7 .
C. 5 .
D. 4 .
Lời giải:
10
Ta có: y
.
2
2 x 1
Gọi M x0 ; y0 là điểm nằm trên đồ thị hàm số , x0
1
.
2
Phương trình tiếp tuyến tại M : y f ( x0 ) x x0 y0 y
10
2 x0 1
2
x x0
4 x0 3
2 x0 1
1
Tiệm cận đứng: x , tiệm cận ngang: y 2
2
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng
1 4x 8
10
1
1
4 x 3 4 x0 8
. Vậy A ; 0
yA
x0 0
2
2
2 x0 1 2 2 x0 1 2 x0 1
2 2 x0 1
Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận
4x 3
1
10
4x 1
ngang yB 2 2
xB 2 x0 . Vậy B 0 ; 2
x x0 0
2 B
2
2 x0 1
2
2 x0 1
xA
1
Giao điểm 2 tiệm cận là I ; 2
2
10
10
Ta có: IA 0;
; IB 2 x0 1;0 IB 2 x0 1
IA
2 x0 1
2 x0 1
Tam giác IAB vuông tại I nên S IAB
1
1 10
IA.IB
. 2 x0 1 5 .
2
2 2 x0 1
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
7
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
2x
, có đồ thị (C)
x2
và điểm M (x 0 ; y0 ) (C) (với x0 0 ). Biết rằng khoảng cách từ I ( 2; 2) đến tiếp tuyến của (C)
tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2 x0 y0 0 .
B. 2 x0 y0 4 .
C. 2 x0 y0 2 .
D. 2 x0 y0 2 .
Lời giải:
2 x0
4
)
Tập xác định D \ 2 . y
, M (x 0 ;
2
x0 2
(x 2)
2 x0
4
(x x 0 )
4 x ( x0 2) 2 y 2 x02 0
Phương trình tiếp tuyến tại M là y
2
( x0 2)
x0 2
Câu 25: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là d
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có
4(2) ( x0 2) 2 .2 2 x02
42 (x 0 2) 4
8 x0 16
42 ( x0 2) 4
8 x0 2
8( x0 2) 2
8 x0 16
42 (x 0 2) 4
2 2
x0 0
2
Dấu bằng xảy ra khi ( x0 2) 4
. Vì x0 0 nên x0 4 y0 4 2 x0 y0 4 .
x
4
0
x 1
Câu 26: (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018) Cho hàm số y
. Gọi I là giao điểm
2x 3
của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho
đạt giá trị lớn nhất bằng
1
A. d
.
B. d 1 .
C. d 2 .
D. d 5 .
2
Lời giải:
3 1
Tọa độ giao điểm I ; .
2 2
Gọi tọa độ tiếp điểm là x0 ;
x0 1
. Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại
2 x0 3
x0 1
là:
2 x0 3
x 1
1
2
y
x x0 0
x 2 x0 3 y 2 x02 4 x0 3 0 .
2
2 x0 3
2 x0 3
điểm x0 ;
Khi đó: d I ,
3 1
2
2 x0 3 2 x02 4 x0 3
2 2
1 2 x0 3
4
2 x0 3
1 2 x0 3
4
2 x0 3
2 2 x0 3
2
1
2
2 x0 3 1
x0 2
.
2 x0 3 1 x0 1
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2 x0 3 1
2
Vậy max d I ,
1
.
2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
8
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 27:
Luyện thi THPT Quốc gia
[THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Cho hàm số y x 3 3 x 2 có đồ thị C . Đường
thẳng d : y x 2 cắt đồ thị C tại ba điểm A , B , C 0; 2 . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của
tiếp tuyến của C tại A và B . Tính k1.k2 .
B. 27 .
A. 9 .
Lời giải:
Ta có: y 3 x 2 3
C. 81 .
D. 81 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C là :
x 0
x3 3x 2 x 2 x 3 4 x 0
x 2
Vậy đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt: A 2; 2 , B 2; 4 và C 0; 2 .
Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A và B , ta có:
k1 y 2 9 , k2 y 2 9 . Vậy k1k 2 81 .
2x 1
có đồ thị C . Gọi M x0 ; y0
2x 2
(với x0 1 ) là điểm thuộc C , biết tiếp tuyến của C tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận
Câu 28: (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2018 ) Cho hàm số y
ngang lần lượt tại A và B sao cho S OIB 8S OIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai
tiệm cận). Tính giá trị của S x0 4 y0 .
17
A. S 8 .
B. S
.
4
Lời giải:
Ta có y
2
2x 2
2
C. S
23
.
4
D. S 2 .
, TCĐ: x 1 d1 , TCN: y 1 d 2 , I 1;1 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 có dạng y
2
2 x0 2
2
x x0
2 x0 1
2 x0 2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
9
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
x
1
A d1 A 1; 0 , B d 2 B 2 x0 1;1 . IB 2 x0 2;0 , IA 0;
.
x0 1
x0 1
1
1
1
2
S OIB 8S OIA .1.IB 8. .1.IA IB 8 IA 2 x0 2 8
x0 1 4 x0 3
2
2
x0 1
5
5
(do x0 1 ) y0 S x0 4 y0 3 4. 8 .
4
4
2x 1
Câu 29: (THI THỬ THPTQG VTV7 NĂM 2018-2019) Đồ thị hàm số y
có bao nhiêu cặp tiếp
x2
tuyến vuông góc với nhau?
A. 1 .
B. Vô số.
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải:
2x 1
5
TXĐ: D \ 2 . Ta có: y
.
y
2
x2
x 2
Tiếp tuyến d1 của đồ thị hàm số tại M x1 ; y1 có dạng: y y x1 x x1 y1 .
Tiếp tuyến d 2 của đồ thị hàm số tại N x2 ; y2 có dạng: y y x2 x x2 y2 .
d1 d 2 y x1 . y x2 1
5
5
x1 2 x2 2
2
1 x1 2 . x2 2 25 (vô lý).
2
2
2
Vậy không có cặp tiếp tuyến nào của đồ thị vuông góc với nhau.
Câu 30: (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
ax b
y f x
, a, b, c, d ; c 0, d 0 có đồ thị C . Đồ thị của hàm số y f x như
cx d
hình vẽ dưới đây. Biết C cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Viết phương trình tiếp
tuyến của C tại giao điểm của C với
trục hoành.
A. x 3 y 2 0.
B. x 3 y 2 0.
C. x 3 y 2 0.
Lời giải:
Đồ thị hàm số y f x đi qua 0; 2 suy ra b 2d .
D. x 3 y 2 0.
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
10
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ta có y
3
ad bc
cx d
2
Luyện thi THPT Quốc gia
. Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x 1 nên c d , đi qua 0;3 nên
x2
3
ad bc
hay a d . Do đó y
.
y
2
2
d
x 1
x 1
1
x 2 3x y 2 0 .
3
(THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm
Phương trình tiếp tuyến tại 2;0 là y
Câu 31:
thỏa mãn f 2 x 1 f 1 x x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 .
2
trên
1
6
x .
7
7
Lời giải:
A. y
B. y
3
1
8
x .
7
7
C. y
1
5
x .
7
7
D. y
1
6
x .
7
7
f 1 0
2
3
2
3
Từ f 2 x 1 f 1 x x (*), cho x 0 ta có f 1 f 1 0
f 1 1
Đạo hàm hai vế của (*) ta được 4. f 2 x 1 . f 2 x 1 3 f 1 x . f 1 x 1 .
2
Cho x 0 ta được 4 f 1 . f 1 3. f 1 . f 1 1 f 1 . f 1 . 4 3 f 1 1 (**).
Nếu f 1 0 thì (**) vô lý, do đó f 1 1 , khi đó (**) trở thành
2
f 1 . 4 3 1 f 1
1
7
1
1
8
Phương trình tiếp tuyến y x 1 1 y x .
7
7
7
Câu 32: (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn 2 f 2 x f 1 2 x 12 x 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x
tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. y 2 x 2
B. y 4 x 6
Lời giải:
C. y 2 x 6
D. y 4 x 2
2 f 0 f 1 0
f 1 2
f 0 2 f 1 3
1
Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được 4 f 2 x 2 f 1 2 x 24 x , cho x 0 và x ta được
2
4 f 0 2 f 1 0
f 1 4 .
4 f 1 2 f 0 12
Từ 2 f 2 x f 1 2 x 12 x 2 (*), cho x 0 và x
1
ta được
2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm x 1 là
y f 1 x 1 f 1 y 4 x 1 2 y 4 x 2 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
11
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 33: (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số
x 2 2mx m
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm
y
xm
đó vuông góc với nhau.
A. 5 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải:
x 2 2mx m
3m2 m
3m2 m
.
y
x 3m
y 1
2
xm
xm
x m
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox .
x 2 2mx m
0 f x x 2 2mx m 0 * x m .
xm
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó
vuông góc với nhau thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác m và
y x1 . y x2 1 .
m 1
m 0
m 2 m 0
m 0
2
f m 3m m 0
1 m 5.
m
3
3m 2 m
3m 2 m
y
x
.
y
x
1
1
1
2
2
m 0
1 2
x1 m x2 m
m 5
Câu 34: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - LẦN 5 - 2019) Cho hàm số bậc bốn y f x xác định và liên tục
trên
2
, hàm số g x 2 x 3 và đường thẳng d có đồ thị như hình vẽ. Biết A là điểm chung
của đồ thị f x và g x , x A 1 . Điểm B thuộc đồ thị g x , xB
đồ thị hàm số y f x . Giá trị f x A bằng
A. 1 .
B.
3
.
2
C.
5
.
2
9
và d là tiếp tuyến của
4
D. 2 .
Lời giải:
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
12
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vì các điểm
Luyện thi THPT Quốc gia
A,B
thuộc đồ thị hàm số
g (x)
9 57
A 1 ; 1 , B ;
4 8
nên ta có
13 65
AB ; . Do d đi qua hai điểm A và B nên ta chọn vectơ pháp tuyến là
4 8
nd 65 ; 26 .
Phương trình đường thẳng d là: 65 x 1 26 y 1 0 65 x 26 y 39 0 y
5
3
x
2
2
5
Mà d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x nên f xA .
2
Câu 35: (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm
số y x3 m 1 x 2 x 2m 1 có đồ thị C ( m là tham số thực). Gọi m1 , m2 là các giá trị của
m để đường thẳng d : y x m 1 cắt C tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số
góc của các tiếp tuyến với C tại A, B, C bằng 19 . Khi đó m1 m2 bằng
A.
4 .
B.
2.
C. 0 .
D.
2 .
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và C :
x 1
y x 3 m 1x 2 x m 0 x 1 x 2 mx m 0 2
x mx m 0 *
Để d và C cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì * phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức
0
1 1
m ;4 0; ; . Khi đó d và C cắt nhau tại ba điểm phân biệt
2 2
1 2m 0
A1; m 2, B x1 ; x1 m 1, C x 2 ; x 2 m 1 với x1 ; x 2 là nghiệm của phương trình *
Hệ số góc tiếp tuyến của C tại A là: y 1 2 2m . Hệ số góc tiếp tuyến của C tại B là:
2
y x1 3 x1 2m 1x1 1 .
Hệ số góc tiếp tuyến của C tại C là: y x 2 3 x 2 2m 1x 2 1 .
2
2
Theo giả thiết, ta có: 3 x1
3 x1
x2
2
6 x1 x2
x2 2
2 m 1 x1
2 m 1 x1
x2
4 2m
x1 x 2 m
thay vào * * , ta được 3m 2
x1 x 2 m
m2
2m 15
0
m1
m2
3
5
m1
m2
x2
4 2m
19 .
19 **
6m 2 m 1 m
4 2m
19 .
2
x2
đồ thị C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị
x 1
C đến một tiếp tuyến của C . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là
Câu 36: Cho hàm số y
A. 3 3 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 2 .
Lời giải:
Tiệm cận đứng d1 : x 1 0 , tiệm cận ngang d 2 : y 1 0 tâm đối xứng là I 1;1 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
13
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
1
a2
a2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M a;
x a
C là: y
2
a 1
a 1
a 1
1
Khi đó d I , d
a 1
2
1 a
1
a 1
4
a2
a 1
2
a 1
1
1
a 1
4
2
a 1
1
2
1
a 1
d
.
2
2 .
2
2
Câu 37: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi A là điểm có hoành độ bằng 1 thuộc
a
a
đồ thị C của hàm số y x 4 2mx 2 m ( m là tham số thực). Ta luôn tìm được m
với
b
b
là phân số tối giản để tiếp tuyến
với đồ thị C tại A cắt đường tròn
: x2
y2
2y 3
A. 12 .
Lời giải:
0 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khi đó, tổng a
B. 3 .
Đường tròn : x 2
y 1
Ta có A 1;1 m ; y
4 x3
Dễ thấy
2
C. 29 .
4 có tâm I 0;1 , R
4mx
y 1
luôn đi qua điểm cố định F
b bằng:
D. 10 .
2.
4 4m suy ra
:y
4 4m x 1
1 m.
3
;0 và điểm F nằm trong đường tròn .
4
N
M
F d
R
I
Giả sử
cắt tại M , N , ta có: MN
2 R2
d 2 I;
Do đó MN nhỏ nhất
d I;
Khi đó đường thẳng
có một véc-tơ chỉ phương u
lớn nhất
d I;
2 4 d 2 I;
IF
IF
.
IF .
3
; 1;u
4
1; 4 4m nên:
3
13
4 4m 0
m
suy ra a 13 , b 16 . Vậy a b 13 16 29 .
4
16
Câu 38: (THPT NGÔ QUYỀN HÀ NỘI NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm đa thức bậc bốn
y f x có đồ thị C . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi đường thẳng
u.n
0
1.
là tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1 . Hỏi và C có bao nhiêu điểm
chung?
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
14
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. 2 .
Lời giải:
Luyện thi THPT Quốc gia
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Ta có tiếp tuyến của C tại x 1 là y f 1 x 1 f 1 .
Dựa vào đồ thị của hàm số f x , ta có f 1 0 .
Vậy : y f 1 .
Gọi a1 , a 2 là hai nghiệm còn lại của f x . Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có : y f 1 và C có ba điểm chung.
x 1
C .
x 1
Điểm M thuộc C có hoành độ lớn hơn 1 , tiếp tuyến của C tại M cắt hai tiệm cận của C
Câu 39: (THPT KINH MÔN II HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số y
lần lượt tại A , B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng
A. 4 2 2 .
B. 4 .
C. 4 2 .
Lời giải:
2
Tập xác định: D \ 1 . Ta có: y
, x 1 .
2
x 1
D. 4 2 .
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 1 và đường tiệm cận đứng x 1 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
15
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
Giả sử M m ; yM C m 1 yM
Phương trình tiếp tuyến là: y
m 1
2
2
; y m
.
1
2
m 1
m 1
m 1
2
m 1
2
x m 1
2
m 1
2 x m 1 y m 2 2m 1 0 .
2
Gọi A là giao điểm của và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
y 1
2
2 x 2m 1 A 2m 1;1 .
phương trình:
y
x m 1
2
m 1
m 1
Gọi B là giao điểm của và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương
x 1
4
m3
4
2
2 y
1
B 1;1
trình:
.
y
x m 1
m
1
m
1
m
1
2
m 1
m 1
2
16
2
2
4
Suy ra: AB 2 2m
4 m 1
2
m 1
m 1 m 1
2
d O;
m 2 2m 1
4 m 1
m 2 2m 1
4
S OAB
m 1
2
1
1 m 2m 1 2
d O ; . AB .
.
2
2 4 m 14 m 1
4
4.
m 1
4
4
2
2
m 2 2m 1
(vì m 1 ) m 3
.
4 m 1
m 1
m 1
m 1
m 1
2
2
2 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m 1 và
: m 1
m 1
m 1
2
4 m 1
42 2 .
m 1
2
m 1
Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng 4 2 2 khi
m 1 m 1 2 .
m 1
x 1
Câu 40: (THPT QUỲNH LƯU– 2018-2019– LẦN 1) Cho hàm số y
(C), y x m (d ) . Với mọi
2x 1
m đường thẳng (d ) luôn cắt đồ thị (C) tại hai hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là
hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Giá trị nhỏ nhất của T k12020 k22020 bằng
1
2
A. 1 .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
Lời giải:
2 x 2 2mx m 1 0
x 1
xm
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
(*)
1
2x 1
x
2
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
16
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
+ Phương trình (*) có: ' m 2 2(m 1) 0, m nên (d) luôn cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A,B.
1
Gọi a, b là các hoành độ giao điểm a b . Khi đó ta có:
2
a b m
m 1 .
ab
2
1
1
2
4040
4040
(2a 1)
(2b 1)
[(2a 1)(2b 1)]2020
2
2
2
2020
2020
4ab 2(a b) 1
2(m 1) 2m 1
+ Khi đó: T k12020 k22020
(2a 1) 2020 (2b 1) 2020
+ Nhận xét: Giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi:
a b 1 m m 1.
1
a
b
2
Câu 41: (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019) Cho hàm số y x 3 3x 2 3x 5 có đồ thị C .
Tìm tất cả những giá trị nguyên của k 2019; 2019 để trên đồ thị C có ít nhất một điểm
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : y k 3 x .
A. 2021 .
Lời giải:
TXĐ : D
B. 2017 .
C. 2022 .
D. 2016 .
. Ta có : y ' 3 x 2 6 x 3 .
TH1 : k 3 . Khi đó d : y 0 không tồn tại tiếp tuyến vuông góc với d .
TH2 : k 3 .
Ta có : k 3 3x02 6 x0 3 1 3x02 6 x0 3
1
0 *
k 3
3
0k 3
k 3
Vậy k 2019; 2018;...;0;1; 2 Có 2022 giá trị nguyên của k thỏa đề bài.
Theo yêu cầu bài toán , phương trình * có nghiệm ' 0
Câu 42: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Gọi M , N là hai điểm di động trên
đồ thị C của hàm số y x 3 3x 2 x 4 sao cho tiếp tuyến của C tại M và N luôn song
song với nhau. Hỏi khi M , N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới
đây?
A. Điểm N 1; 5
B. Điểm M 1; 5
C. Điểm Q 1;5
D. Điểm P 1;5
Lời giải:
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm bậc ba tại 2 điểm M , N thuộc đồ thị hàm số song song với nhau
nên đường thẳng MN phải đi qua điểm uốn của C .
Ta có y 3x 2 6 x 1; y 6 x 6
Cho y 0 6 x 6 0 x 1 . Điểm uốn Q 1;5 .
x2
đồ thị C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị
x 1
C đến một tiếp tuyến của C . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là
Câu 43: Cho hàm số y
A. 3 3 .
B.
3.
C.
2.
D. 2 2 .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
17
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
Lời giải:
Tiệm cận đứng d1 : x 1 0 , tiệm cận ngang d 2 : y 1 0 tâm đối xứng là I 1;1 .
1
a2
a2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M a;
x a
C là: y
2
a 1
a 1
a 1
1
Khi đó d I , d
a 1
2
1 a
1
a 1
4
1
a2
a 1
2
a 1
1
a 1
4
2
1
a 1
2
1
a 1
d
.
2
2 .
2
2
1 4 7 2
x x có đồ thị C . Có bao nhiêu
4
2
tại A cắt C tại hai điểm phân biệt
Câu 44: (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số y
C sao cho tiếp tuyến của C
M x1 ; y 1 ; N x2 ; y2 khác A thỏa mãn y1 y2 6( x1 x2 )
điểm A thuộc
A. 1 .
Lời giải:
.
C. 0 .
B. 2 .
D. 3 .
7
1
Ta có A C A t ; t 4 t 2 ; y x 3 7 x y t t 3 7t.
2
4
Phương trình tiếp tuyến của C tại A là
1
7
3
7
y t 3 7t x t t 4 t 2 y t 3 7t x t 4 t 2
4
2
4
2
Phương trình hoành độ giao điểm:
1 4 7 2
3
7
x x t 3 7t x t 4 t 2 x 4 14 x 2 4 t 3 7t x 3t 4 14t 2 0
4
2
4
2
x t
2
x t x 2 2tx 3t 2 14 0 2
2
x 2tx 3t 14 0 1
Tiếp tuyến cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt M x1 ; y 1 ; N x2 ; y2 khác A khi phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt khác t
7 t 7
t 2 3t 2 14 0
2
21
2
2
2
t 2t 3t 14 0
t
3
3
7
y1 t 3 7t x1 t 4 t 2
x
x
2
t
1 2
4
2
Khi đó:
và
y1 y2 t 3 7t x1 x2
2
3
7
x
x
3
t
14
1 2
y t 3 7t x t 4 t 2
2
2
4
2
3
Ta có y1 y2 6( x1 x2 ) t 7t x1 x2 6 x1 x2
t 1 n
t
1
0
t 2 n (do 2 )
t 3 7t 6 0 t 1 t 2 t 6 0 2
t t 6 0
t 3 l
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
18
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia
13
Với t 1 ta có A 1;
4
Với t 2 ta có A 2; 10
có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 45: Cho hàm số y x 3 2018 x có đồ thị là C . M 1 là điểm trên C có hoành độ x1 2 . Tiếp
tuyến của C tại M 1 cắt C tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của C tại M 2 cắt C tại
C
điểm M 3 khác M 2 ,….., tiếp tuyến của
n 4;5;.... , gọi xn ; yn là tọa độ của điểm
A. n 685.
B. n 679.
Lời giải:
Ta có: y x 3 2018 x y 3x 2 2018
tại M n 1 cắt
C
tại điểm M n khác M n 1
M n . Tìm n để 2018 xn yn 22019 0 .
C. n 675.
Giả sử: M k C , với k 1, 2,...... M k xk ; xk3 2018 xk
D. n 673.
Phương trình tiếp tuyến của C tại M k là k : y 3xk2 2018 x xk xk3 2018 xk
Gọi M k 1 là giao điểm của k với C
Phương trình hoành độ giao điểm của k với C :
x3 2018 x 3xk2 2018 x xk xk3 2018 xk x3 xk3 2018 x xk x xk 3xk2 2018 0
x xk
2
x xk x 2 xk x 2 xk2 0 x xk x 2 xk 0
x 2 xk
Suy ra M k 1 2 xk ; 8 xk3 2018.2 xk , k 1, 2,....
Hay xk 1 2 xk , với k 1, 2,....
xn 1 2 xn , n
xn 2. 2
n 1
*
, n
xn là một cấp số nhân với x1 2 và công bội q 2 .
*
yn 8. 2
3 n 3
Mà 2018 xn yn 22019 0 nên 2018.2. 2
2018.2. 2
n 1
8. 2
3 n 3
n 1
2018.2. 2
n 1
22019 0
3n 3 2
.23n 22019
n 673 .
3n 2019
3
Câu 46: (THPT Kinh Môn – Hải Dương 2019) Xét đồ thị C của hàm số y x 3ax b với a , b là
1
3 n 3
các số thực. Gọi M , N là hai điểm phân biệt thuộc C sao cho tiếp tuyến với C tại hai
điểm đó có hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1 . Khi
đó giá trị lớn nhất của a 2 b 2 bằng
3
2
A. 0 .
B. .
C. 2 .
D.
.
2
3
Lời giải:
y x1 3
x2 a 1
.
12
y x2 3 x2 a 1
2
Giả sử M x1 ; y1 , N x2 ; y2 . Ta có y 3 x 3a . Từ giả thiết ta có
3
Mặt khác y1 x1 3ax1 b x1 x12 a 2ax1 b nên y1 2a 1 x1 b .
Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO TP Huế -Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà
19
- Xem thêm -
.PDF 
62 
97 
105 
