Tài liệu Chuyên đề tích phân luyện thi đại học (nguyễn minh hiếu)

Chuyên đề TÍCH PHÂN y y = 2x − x2 1 Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu THPT Phan Đình Phùng −2 O 2 x c Copyright 2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”. Đồng Hới Tháng 04 - 2012 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com Mục lục Chương 1. Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Nguyên Hàm.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 1.1.1. Khái niệm nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Tính chất của nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 Chương 2. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Tích Phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 2.1.1. Khái niệm tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Tính chất của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. Phương Phương Phương Phương hệ số bất định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . đổi biến dạng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . đổi biến dạng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 16 19 23 2.3. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1. Dạng 2.3.2. Dạng 2.3.3. Dạng 2.3.4. Dạng Rb a Rb a Rb a Ra pháp pháp pháp pháp sinm xcosn xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {f (sin x); cos x} dx hoặc Rb 30 {f (cos x); sin x} dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Rb  f (cot x); sin12 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (tan x); cos12 x dx hoặc 33 a  a f (x)dx, trong đó a ∈ π π 2 , π, 4 , ... ........................................................ 35 Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Tính Diện Tích Tình Phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 43 0 Chương 4. Một Số Bài Toán Chọn Lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1. Tích Phân Hữu Tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Tích Phân Vô Tỉ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3. Tích Phân Mũ - Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4. Tích Phân Lượng Giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ĐÁP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 www.MATHVN.com 3 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com www.MATHVN.com 4 www.MATHVN.com Chương 1 Nguyên Hàm 1.1. Nguyên Hàm. 1.1.1. Khái niệm nguyên hàm. Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F 0 (x) = f (x), với mọi x thuộc K. Ví dụ 1.1.
0 a) Hàm số F (x) = x3 là nguyên hàm của f (x) = 3x2 trên R vì x3 = 3x2 , với mọi x ∈ R. b) Hàm số F (x) = cos x là nguyên hàm của f (x) = sin x trên R vì (sin x)0 = cos x, với mọi x ∈ R. Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của R f trên K đều có dạng F (x) + C với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là f (x)dx. Vậy Z f (x)dx = F (x) + C (1.1) Z Z Z √ 1 √ dx = x + C. Ví dụ 1.2. 5x4 dx = x5 + C. ex dx = ex + C. 2 x Lưu ý. R • Người ta cũng dùng ký hiệu f (x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f . • Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm.Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp. Z Z ax + C (0 < a 6= 1) 1. 0dx = C 6. ax dx = ln a Z Z 2. dx = x + C 7. cos xdx = sin x + C Z Z xα+1 3. xα du = + C (α 6= −1) 8. sin xdx = − cos x + C α+1 Z Z 1 1 4. dx = ln |x| + C 9. dx = tan x + C x cos2 x Z Z 1 5. ex dx = ex + C 10. dx = − cot x + C sin2 x Ví dụZ1.3. x2013 a) x2012 dx = + C. 2013 √ 3 Z Z √ 1 x2 2x x 2 c) xdx = x dx = 3 + C = + C. 3 2 Z 1 x−1 1 −2 dx = x dx = + C = − + C. x2 −1 √ x Z Z 5 1 5 x2 − 35 √ d) dx = x dx = + C. 5 2 x3 Z b) www.MATHVN.com 5 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu 1.1.3. Tính chất của nguyên hàm. Định Z lý 1.2. Nếu f , g là hai Z hàm số liên Z tục trên K thìZ Z a) [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g(x)dx; b) kf (x)dx = k f (x)dx (k 6= 0). Ví dụZ1.4. Z Z Z
1 2x3 − 3x2 + 1 dx = 2x3 dx − 3x2 dx + 1dx = x4 − x3 + x + C. a) 2  Z  Z Z Z 1 1 2x ex − + 2x dx = ex dx − b) dx + 2x dx = ex − ln |x| + + C. x x ln 2  Z Z Z Z 2 Z  1 1 x − 3x + 1 1 x−3+ dx = xdx − 3dx + c) dx = dx = x2 − 3x + ln |x| + C. x x x 2  Z  Z Z Z 2 2 3 1 3sin x − 4cos x 4 1 dx = dx = 3 dx = 3 tan x+4 cot x+C. d) − dx−4 2 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin xcos x sin2 x Ví dụ 1.5. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3 − 3x2 + 2, biết F (−1) = 3. Z Lời giải. Ta có Z f (x)dx = (4x3 − 3x2 + 2)dx = x4 − x3 + 2x + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên có dạng F (x) = x4 − x3 + 2x + C. Mặt khác F (−1) = 3 ⇒ C = 3. Do đó F (x) = x4 − x3 + 2x + 3. Ví dụ 1.6. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) = Z 1 1 thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) = − 1. x F (x) + 1 Z 1 dx = ln |x| + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên có dạng x 1 F (x) = ln |x|+C. Mặt khác F (1) = −1 ⇒ C = −1. Do đó F (x) = ln |x|−1. Khi đó 2F (x) = −1 ⇔ F (x) + 1 "   x = ±e 1 ln |x| = 6 0 ln |x| = 1 2(ln |x| − 1) = ⇔ (thỏa mãn). Vậy −1 ⇔ ⇔ x = ± √1e ln |x| = − 21 2ln2 |x| − ln |x| − 1 = 0 ln |x| 1 x = ±e và x = ± √ . e Lời giải. Ta có f (x)dx = BÀI TẬP 1.1. Tìm Z các họ nguyên hàm sau √
a) x7 + 4x3 − x dx. Z
√ √ d) x x − 2x (x + 1) dx. 1.2. Tìm các √ họ nguyên hàm sau Z x+ x+1 √ a) dx 3 x Z x 2 −1 d) dx. ex Z  √ 3  1 b) x+1− √ dx. x  Z  2 e) 3 sin x + dx. x x3 + 5x2 − 3x + √ b) x x Z e) tan2 xdx. Z √ x Z
3x2 + 1 (2x − 3) dx. Z
3 cos x − 3x−1 dx. c) f) 4x + 1 dx. 2x Z 1 f) dx. 2 sin xcos2 x Z dx. c) 1.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau 7 1 a) f (x) = 2 − x2 , biết F (2) = . b) f (x) = x − 2 + 2, biết F (1) = 2. 3 √ x c) f (x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1. d) f (x) = 3 x + x3 + 1, biết F (1) = 2. b e) f (x) = ax + 2 , biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5. x www.MATHVN.com 6 www.MATHVN.com Chương 1. Nguyên Hàm 1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm. 1.2.1. Phương pháp đổi biến số. Định lý 1.3. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàmR số y = f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức là f (u)du = F (u) + C thì Z f [u(x)] u0 (x)dx = F [u(x)] + C (1.2) Nhận xét. Trong thực hành công thức (1.2) thường được viết như sau Z Z f [u(x)] u0 (x)dx = f [u(x)] du(x) = F [u(x)] + C (1.3) Đặc biệt vì d(Ax + B) = Adx ⇒ dx = A1 d(Ax + B) nên ta có Z Z 1 1 f (Ax + B) dx = f (Ax + B) d(Ax + B) = F (Ax + B) + C A A Ví dụ 1.7.Z Tìm các họ nguyên hàm sau Z 7 9 dx. a) I = (3x + 3) dx. b) I = Z Z 2 − 9x 4x − 1 d) I = dx. e) I = sin2 xdx. 2x + 1 Z c) I = (1.4)
e3x+1 + cos 5x dx. Z sin 5x sin xdx. f) I = Lời giải. 1 (3x + 3)10 1 (3x + 3)9 d(3x + 3) = + C = (3x + 3)10 + C. 3 10 30 Z 1 7 7 b) I = − d(2 − 9x) = − ln |2 − 9x| + C. 2 − 9xZ 9Z Z 9 Z 1 1 1 1 3x+1 3x+1 c) I = e dx + cos 5xdx = e d(3x + 1) + cos 5xd (5x) = e3x+1 + sin x + C. 5 3 5  Z  Z 3 Z 3 1 3 3 d) I = 2− dx = 2dx − d(2x + 1) = 2x − ln |2x + 1| + C. 2x + 1 Z  2  2x + 1 Z 2 Z Z 1 1 1 1 1 1 1 − cos 2x dx = − cos 2x dx = dx − cos 2xd (2x) = x − sin 2x + C. e) I = 2 2 2 2 4 2 4 Z Z Z 1 1 1 1 1 f) I = (cos 4x − cos 6x) dx = cos 4xd (4x) − cos 6xd (6x) = sin 4x − sin 6x + C 2 8 12 8 12 a) I = 1 3 Z Ví dụ 1.8.Z Tìm các họ nguyên hàm sau Z 2012 2 a) I = x(x + 1) dx. b) I = tan xdx. Z Z √ 1 + ln x e) I = cos5 xdx. d) I = dx. x ex dx. x Z e +1 x √ f) I = dx. x2 + 1 Z c) I = Lời giải. 2013 2013 1 (x2 + 1) (x2 + 1) d(x2 + 1) = +C = + C. 2 2013 4026 Z sin x 1 b) I = dx = − d (cos x) = − ln |cos x| + C. cos x Z cos x 1 c) I = d (ex + 1) = ln |ex + 1| + C. x e +1 √ 3 Z 1 (1 + ln x) 2 2 (1 + ln x) 1 + ln x d) I = (1 + ln x) 2 d (1 + ln x) = +C = + C. 3 3 2 Z Z
2 2sin3 x sin5 x e) I = cos4 x cos xdx = 1 − sin2 x d (sin x) = sin x − + + C. 3 5 1
Z p
1 x2 + 1 2
− 1 1 2 2 2 d x +1 = x2 + 1 + C. f) C1: I = x +1 + C = 1 2 2 2 Z p  p 2 2 C2: I = d x + 1 = x + 1 + C. a) I = 1 2 Z Z (x2 + 1) 2012 www.MATHVN.com 7 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Ví dụ 1.9.Z Tìm các họ nguyên hàm sau Z x3 2012 a) I = x (x − 1) dx. b) I = dx. x2 + 1 Z Z 2 ln x − 1 e2x e) I = dx. √ x d) I = dx. x ln x e +1 Lời giải. a) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx. Ta có Z Z 2012 I = (u + 1)u du = = Z x5 Z √ sin3 x 1 + cos xdx. c) I = f) I = p x3 + 1dx.
u2013 + u2012 du u2014 u2013 (x − 1)2014 (x − 1)2013 + +C = + +C 2014 2013 2014 2013 b) Đặt u = x2 + 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có  Z Z Z  1 x2 x 1 u−1 1 1− du I= dx = du = x2 + 1 2 u 2 u
1
1 1 2 = (u − ln |u|) + C = x + 1 − ln x2 + 1 + C 2 2 2 √ c) Đặt u = x3 + 1 ⇔ u2 = x3 + 1 ⇒ 2udu = 3x2 dx. Ta có Z Z Z p
2u
2 u2 − 1 u du = u4 − u2 du I = x3 x2 x3 + 1dx = 3 3 √ 5 √ 3  5  3+1 3+1 2 x 2 x 3 u 2 u + +C = + +C = 3 5 3 15 9 √ d) Đặt u = ex + 1 ⇔ u2 = ex + 1 ⇒ 2udu = ex dx. Ta có Z 2 Z Z
u −1 ex .ex √ x dx = 2udu = 2 u2 − 1 du I= u e +1
3 √ x  3  √ 2 e +1 u =2 −u +C = − 2 ex + 1 + C 3 3 e) Đặt u = ln x ⇒ du = 1 dx. Ta có x  Z  2u − 1 1 du = 2− du u u = 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C Z I= √ 1 + cos x ⇔ u2 = 1 + cos x ⇒ 2udu = − sin xdx. Ta có Z Z √
√ I = sin2 x sin x 1 + cos xdx = 1 − cos2 x 1 + cos x sin xdx Z  Z Z
2 

=− 1 − u2 − 1 u.2udu = − −u4 + 2u2 2u2 du = 2 u6 − 2u4 du
7
5 √ √  7  2 1 + cos x 4 1 + cos x 2u5 u − +C = − +C =2 7 5 7 5 f) Đặt u = 1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần. Định lý 1.4. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì Z Z u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx www.MATHVN.com 8 (1.5) www.MATHVN.com Chương 1. Nguyên Hàm Công thức (1.5) gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần và được viết gọn dưới dạng Z Z udv = uv − vdu Ví dụ 1.10. Z Tìm các họ nguyên hàm sau Z a) I = (x − 1) ex dx. b) I = x cos xdx. Z Z d) I = ln (2x + 1) dx. e) I = x2 e2x−1 dx. Z x2 ln xdx. Z ex sin xdx. c) I = f) I = Lời giải.   u=x−1 du = dx a) Đặt ⇒ . Ta có dv = ex dx v = ex Z I = (x − 1)ex − ex dx = (x − 1)ex − ex + C = (x − 2)ex + C  b) Đặt u=x ⇒ dv = cos xdx  du = dx . Ta có v = sin x Z I = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C du = x1 dx . Ta có 3 v = x3 Z 3 Z x3 x3 x 1 x3 1 x3 I= ln x − dx = ln x − ln x − +C x2 dx = 3 3 x 3 3 3 9   2 dx du = 2x+1 u = ln(2x + 1) . Ta có ⇒ d) Đặt dv = dx v=x  Z Z  2x 1 1 I = x ln(2x + 1) − dx = 1− dx = x − ln |2x + 1| + C 2x + 1 2x + 1 2   du = 2xdx u = x2 ⇒ e) Đặt . Ta có 2x−1 v = 12 e2x−1 dv = e dx Z 1 1 I = x2 e2x−1 − xe2x−1 dx = x2 e2x−1 − I1 2 2   u=x du = dx ⇒ Đặt . Ta có 2x−1 dv = e dx v = 12 e2x−1 Z 1 1 1 2x−1 1 − e2x−1 dx = xe2x−1 − e2x−1 + C I1 = xe 2 2 2 4  
1 1 2x−1 1 2x−1 1 Vậy I = x2 e2x−1 − xe − e +C = 2x2 − 2x + 1 e2x−1 + C. 2  4 4 2 u = ex du = ex dx f) Đặt ⇒ . Ta có dv = sin xdx v = − cos x Z x I = −e cos x + ex cos xdx = −ex cos x + I1  c) Đặt  Lại đặt u = ln x ⇒ dv = x2 dx  u = ex ⇒ dv = cos xdx du = ex dx . Ta có v = sin x Z x I1 = e sin x − ex sin xdx = ex sin x − I  1 Vậy I = −ex cos x + ex sin x − I ⇔ I = ex (sin x − cos x) + C. 2 www.MATHVN.com 9 (1.6) Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com BÀI TẬP 1.4. Tìm các Z họ nguyên hàm sau Z √ 1 a) I = 3x − 1dx. b) I = dx. 2 Z Z 4x + 4x + 1 1 √ √ dx. e) I = tan2 xdx. d) I = 3x + 1 + 3x − 1 Z Z 1 4 g) I = sin xdx. h) I = dx. 1 + cos x 1.5. Tìm các Z họ nguyên hàm sau x dx. a) I = 2 Z 1+x 1 d) I = dx. e−x + 1 1.6. Tìm các hàm sau Z họ nguyên x2 a) I = 100 dx. Z (1 − x) 2 d) I = sin 2xesin x dx. 1.7. Tìm các Z họ nguyên hàm sau a) I = xex dx. Z
d) I = ln x2 + 2x dx. Z b) I = Z e) I = Z b) I = 3 c) I = c) I = ln x(1 − 3 ln x) dx. x f) I = 
5 x x2 + 1 dx. ex 1 dx. + e−x + 2 (2x − 1) sin 2xdx. Z e) I = 2 x cos xdx. www.MATHVN.com 10 1 dx. x(ln x − 4 ln x + 4) 2 x5 − 2x2 dx. 3 Z x +1 1 dx. f) I = x ln x. ln(ln x) Z c) I = Z b) I = sin3 x dx. Z cos x Z sin xdx. Z e) I = 4x2 − x + 3 dx. 2x + 1 Z f) I = cos 7x cos xdx. Z 1 i) I = dx. cos4 x Z Z x3 ln xdx. Z ex cos 2xdx. c) I = f) I = www.MATHVN.com Chương 2 Tích Phân 2.1. Tích Phân. 2.1.1. Khái niệm tích phân. Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên Rb hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu là f (x)dx. a Nhận xét. a) Nếu a < b thì ta gọi Rb f (x)dx là tích phân của f trên đoạn [a; b]. a b) Hiệu số F (b) − F (a) còn được ký hiệu là F (x)|ba . Khi đó Zb f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) (2.1) a c) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức là Rb f (x)dx = a Rb f (t)dt = a Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau Ze Z1 dx 4 b) I = . a) I = 5x dx. x 1 Z1 0 Zln 2 d) I = e−x dx. e) I = Rb π Z6 c) I = cos 3xdx. 0 (2x − 1)2012 dx. Z1 f) I = 1 2 0 f (u)du = ... = F (b) − F (a). a √ 5 − 4xdx. −1 Lời giải. 1 a) I = x5 0 = 1. π 6 1 1 π 1 1 c) I = sin 3x = sin − sin 0 = . 3 3 2 3 3 0 1 1 (2x − 1)2013  1 e) I = .  = 1 2 2013 4026 b) I = ln |x||e1 = ln e − ln 1 = 1.   1 ln 2 d) I = −e−x 0 = − e− ln 2 − e0 = . 2  3 1 Z1 1 1 (5 − 4x) 2  13 f) I = (5 − 4x) 2 dx = −  = . 3  4 3 2 −1 −1 2 2.1.2. Tính chất của tích phân. Định lý 2.2. Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có Za Zb Za f (x)dx = 0. 1) 2) f (x)dx = − f (x)dx. a a www.MATHVN.com 11 b www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Zb Zc f (x)dx + 3) a Zc f (x)dx = a b Zb Zb [f (x) ± g(x)]dx = 4) f (x)dx. a Zb f (x)dx ± a Zb g(x)dx. a a Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau Z2 Zln 2
2 a) I = 6x − 4x + 1 dx. b) I = (ex + 2x) dx. 1 f (x)dx (k ∈ R). kf (x)dx = k 5) a Zb Z1 c) [CĐ-2010] I = 0 0 π π Z8 Z4 d) I = cos2 2xdx. e) I = 0 2x − 1 dx. x+1 Z3 2cos2 x + 1 dx. 1 − sin2 x f) I = √ 1 √ dx. x+1− x−1 2 0 Lời giải.
2 a) I = 2x3 − 2x2 + x 1 = 9.
ln 2 b) I = ex + x2 0 = 1 + ln2 2.  Z1  3 c) I = 2− dx = (2x − 3 ln |x + 1|)|10 = 2 − 3 ln 2. x+1 0 π 1 d) I = 2 Z8 1 (1 + cos 4x) dx = 2  0 π 4 Z e) I = π 2cos2 x + 1 dx = cos2 x 0 Z3 f) I =  π 8 1 π+2 x + sin 4x  = . 4 16 0 Z4  2+ 1 cos2 x  π dx = (2x + tan x)|04 = π+2 . 2 0 √ x+1+ √
x − 1 dx = Z3   1 1 (x + 1) 2 + (x − 1) 2 dx 2 2 3 7 − 3√3 + 2√2 3 3  2 = (x + 1) 2 + (x − 1) 2  = . 3 3 2 Z 1 √ Tổng quát 2.1. I = dx. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp. √ ax + b ± ax + c 2.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Zb |f (x)| dx. Bài toán 2.1. Tính tích phân I = a Phương pháp. • Cho f (x) = 0 ⇒ x = xi (chỉ lấy những xi thuộc khoảng (a; b)). Rxi Rb • Khi đó I = |f (x)| dx + |f (x)| dx. a xi • Xét dấu f (x) trên các khoảng (a; xi ) và (xi ; b) để phá giá trị tuyệt đối. Lưu ý. Để xét dấu f (x) trên (a; xi ) ta lấy x0 ∈ (a; xi ) thay vào f (x) để xác định dấu. Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau Z2 Z2   a) I = |x − 1| dx. b) [D-03] I = x2 − x dx. −2 0 www.MATHVN.com 12 Z2 |2x − |x + 1|| dx. c) I = −2 www.MATHVN.com Chương 2. Tích Phân Lời giải. Z1 Z2 |x − 1| dx + a) I = −2 Z1 |x − 1| dx = Z2 (1 − x) dx + −2 1 (x − 1) dx 1   2   1 2 9 1 1 2 1 x − x  = + = 5. = x− x  + 2 2 2 2 −2 1 Z1 Z2 Z2 Z1    2  2

2     x − x dx = x − x dx + b) I = x − x dx + x2 − x dx 1  1   0 1 1 3 1 1 3 1 2 1 5 = x− x  + x − x  = + = 1. 2 3 3 2 6 6 0 1 Z−1 Z2 Z−1 Z1 Z2 c) I = |2x + x + 1| dx + |2x − x − 1| dx = |3x + 1| dx + |x − 1| dx + |x − 1| dx 0  −2 Z−1 −1 (−3x − 1) dx + = −2 Z1 −2 −1 1 Z2 (1 − x) dx + −1 (x − 1) dx 1 −1  1 2      1 1 1 7 3x2 2 2 − x  + x − x  + x − x  = + 2 + = 6. = − 2 2 2 2 2 −2 −1 1 BÀI TẬP 2.1. Tính các tích phân sau Z1 a) I = e2−5x dx. π π Z6  sin 2x + b) I = π 6 Z6 dx. c) I = 0 0 0 Z1 Z2 Z0 d) I = (−2x + 1)7 dx. e) I = 0 3x + 2dx. f) I = −1 1 2.2. Tính các tích phân sau Z4 √
a) I = 2x + x dx.  Z4  1 2 b) I = x+ dx. x 1 π 2 Z d) I = √ 3 cos 3x cos xdx. c) I = 0 Z1 f) I = 0 0 2.3. Tính các tích phân sau Z4 a) I = |3 − x| dx. π 2 x2 − 3x + 3 dx. x−2 Z2 b) I = 0 1 + sin x x cos dx. 2 2 x(x − 1)2009 dx. 0  2  x − 3x + 2 dx. Z3 (|x + 1| + |x − 2|) dx. c) I = −2 0 Z3 p Z2π  √   d) I =  x2 − 4x + 4 − 1 dx. e) I = 1 − cos 2xdx. 0 4 dx. (3 − 5x)3 Z2  Z1 e) I = 1 dx. cos2 2x 0 Z2π f) [BĐT-103] I = √ 1 + sin xdx. 0 2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân. 2.2.1. Phương pháp hệ số bất định. Mệnh đề 2.3. Mọi đa thức bậc n, (n ≥ 3) đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0. www.MATHVN.com 13 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Zb Bài toán 2.2. Tính tích phân I = f (x) dx, trong đó bậc f (x) < bậc g(x). g(x) a Phương pháp. Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng. Lưu ý. a) Nếu bậc f (x) ≥ bậc g(x) thì chia f (x) cho g(x). b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau ax + b A B ax + b B A • . • + . = 2 = x−x + (x − x1 ) (x − x2 ) x − x1 x − x2 (x − x0 ) (x − x0 )2 0 ax2 + bx + c B C (2a2 x + b2 ) A • + + (tam thức vô nghiệm). = 2 2 (a1 x + b1 )(a2 x + b2 x + c2 ) a1 x + b1 a2 x + b2 x + c2 a2 x2 + b2 x + c2 Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc phương pháp trị số riêng để tìm A, B, C, ... Ví dụ 2.4. Tính các tích phân sau Z5 Z1 1 5x − 13 a) I = dx. b) I = dx. (x − 2) (x + 1) x2 − 5x + 6 3 0 Z1 Z2 d) I = 3x − 1 dx. 2 x + 6x + 9 e) I = 0 Z1 c) I = x4 dx. −1 x2 0 x2 − 3x + 2 dx. x (x2 + 2x + 1) Z1 f) [BĐT-78] I = 1 4x − 2 dx. (x + 2)(x2 + 1) 0 Lời giải. a) C1: (Phương pháp đồng nhất hệ số) 1 A B A (x + 1) + B (x − 2) (A + B) x + A − 2B Ta có = + = = . (x − 2) (x + 1) x − 2 x + 1 (x − 2) (x + 1)  (x − 12) (x + 1) A= 3 A+B =0 ⇔ . Khi đó Đồng nhất hệ số được A − 2B = 1 B = − 13 1 I= 3 Z5 1 1 dx − x−2 3 3 Z5 3 5  1 1 1 dx = (ln |x − 2| − ln |x + 1|) = ln 2 x+1 3 3 3 C2: (Phương pháp trị số riêng) 1 A B A (x + 1) + B (x − 2) Ta có = + = ⇒ 1 = A (x + 1) + B (x − 2). (x − 2) (x + 1) x−2 x+1 (x − 2) (x + 1) 1 1 Cho x = 2 được A = ; cho x = −1 được B = − . Khi đó 3 3 1 I= 3 Z5 1 1 dx − x−2 3 3 Z5 3 5  1 1 1 dx = (ln |x − 2| − ln |x + 1|) = ln 2 x+1 3 3 3 C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu)  Z5  (x + 1) − (x − 2) 1 1 1 dx = − dx (x − 2) (x + 1) 3 x−2 x+1 3 3 5  1 1 = (ln |x − 2| − ln |x + 1|) = ln 2 3 3 3 1 I= 3 b) Ta có Z5 5x − 13 5x − 13 A B (A + B) x − 2A − 3B = = + = . x2 − 5x + 6 (x − 3)(x − 2) x−3 x−2 (x − 3)(x − 2) www.MATHVN.com 14 www.MATHVN.com  Đồng nhất hệ số được Z1 I=2 A+B =5 ⇔ −2A − 3B = −13 1 dx + 3 x−3 c) Ta có I = A=2 . Khi đó B=3 1 dx = 2 ln |x − 3||10 + 3 ln |x − 2||10 = − ln 18 x−2 0 0 Z3  Z1  Chương 2. Tích Phân 1 x +1+ 2 x −1 2   dx = 2 3 Z3 Z3  x3 1 22 1 + x  + dx = + dx. 2−1 2−1 3 x 3 x 2 2 2 1 1 A B (A + B) x + A − B Lại có 2 = = + = . x −1 (x − 1)(x x−1 x+1 (x − 1)(x + 1)  + 1) A+B =0 A = 12 . Khi đó Đồng nhất hệ số được ⇔ A−B =1 B = − 12 22 1 I= + 3 2 Z3 1 1 dx − x−1 2 2 Z3 3  1 22 1 22 1 3 dx = + (ln |x − 1| − ln |x + 1|) = + ln x+1 3 2 3 2 2 2 2 3x − 1 A A(x + 3) + B Ax + 3A + B 3x − 1 B = . = 2 = x+3 + 2 = 2 2 x2 + 6x + 9 (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x + 3)   A=3 A=3 . Khi đó ⇔ Đồng nhất hệ số được B = −10 3A + B = −1 d) Ta có Z1 I=3 Z1 1 dx − 10 x+3 0 0  10 1 4 5 1 1 2 dx = 3 ln |x + 3||0 + x + 3  = 3 ln 3 − 6 (x + 3) 0 x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 B C A = + = + 2 2 x (x + 2x + 1) x x + 1 (x + 1)2 x(x + 1) A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx (A + B)x2 + (2A + B + C)x + A = = . x(x + 1)2  x(x + 1)2   A=2  A+B =1 2A + B + C = −3 ⇔ B = −1 . Khi đó Đồng nhất hệ số được   A=2 C = −6 e) Ta có Z2 I=2 1 1 dx − x Z2 1 dx − 6 x+1 1 Z2 1 1 dx = (x + 1)2  2 ln |x| − ln |x + 1| + 2  6  = ln 8 − 1 x + 1 1 3
A x2 + 1 + B(x + 2) + 2Cx(x + 2) 4x − 2 A B 2Cx f) Ta có = + + = (x + 2)(x2 + 1) x + 2 x2 + 1 x2 + 1 (x + 2)(x2 + 1) 2 (A + 2C) x + (B + 4C) x + A + 2B = . 2 (x + 2)(x   + 1)  A + 2C = 0  A = −2 B + 4C = 4 B = 0 . Khi đó Đồng nhất hệ số được ⇔   A + 2B = −2 C=1 Z1 I = −2 0 1 dx + x+2 Z1  
1 2x 8 dx = −2 ln |x + 2| + ln x2 + 1 0 = ln +1 9 x2 0 Ví dụ 2.5.√Tính các tích phân sau Z2 Z3 1 − x4 1 b) I = dx. a) I = dx. x + x5 x + x3 1 1 www.MATHVN.com 15 Z1 c) [BĐT-15] I = 0 1 (x2 − 3x + 2)2 dx. www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. √ √ Z3 √ Z3 Z3 √ x2 Z 3 x2  1 +1− 1 x dx a) I = dx = dx = − x (1 + x2 ) x (1 + x2 ) x 1 + x2 1 1 1 1  √3   1  1 3 = ln |x| − ln 1 + x2   = ln . 2 2 2 1 2 Z Z2 Z2 Z2 1 + x4 − 2x4 1 x3 1 − x4 dx = dx = dx − 2 dx b) I = x (1 + x4 ) x (1 + x4 ) x 1 + x4 1 1 1 1 2    1 1  8 = ln |x| − ln 1 + x4   = ln 2 2 17 1  2 Z1 Z1  Z1  1 (x + 2) − (x + 1) 2 1 1 c) I = dx = dx = − dx (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 (x2 + 3x + 2)2 1 dx = x + x3 0 0 0 Z1    Z1 1 1 2 1 1 1 1 (x + 2) − (x + 1) = dx 2 + 2 − (x + 1)(x + 2) dx = − x + 1  − x + 2  − 2 (x + 1)(x + 2) (x + 2) (x + 1) 0 0 0 0  1  Z Z1 1 1 2 2 3 2 dx − dx = − 2 (ln |x + 1| − ln |x + 2|)|10 = + 2 ln = − 2 3 x+1 x+2 3 3 4  0 0 Nhận xét. Rõ ràng đối với các bài tập trong ví dụ 2.5 dùng kỹ thuật thêm bớt là tốt hơn dùng phương pháp hệ số bất định. 2.2.2. Phương pháp đổi biến dạng 1. Zb Bài toán 2.3. Tính tích phân I = f (x)dx. a Phương pháp. • Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ0 (t)dt. • Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b). Zβ • Khi đó I = f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt. α Lưu ý.  π π • a2 + x2 : x = |a| tan t, t ∈ − ; . 2 i2 h p |a| π π • x2 − a2 : x = t∈ − ; \ {0}. sin t 2 2 • p a2 − x2 : Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau Z1 Z1 1 1 a) I = dx. b) I = dx. 1 + x2 3 + x2 0 Z1 p d) I = 1 − x2 dx. 0 h π πi x = |a| sin t t ∈ − ; . 2 2 Z1 c) I = 0 0 √ 2 2 Z e) I = 0 x3 dx. +1 x8 √ x2 dx. 1 − x2 Lời giải.  π π 1 a) Đặt x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt = (1 + tan2 t)dt. 2t 2 2 cos www.MATHVN.com 16 Z2 f) I = √2 3 1 dx. x x2 − 1 √ www.MATHVN.com Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π . Ta có 4 π π Z4 Z4 I= Chương 2. Tích Phân 1 (1 + tan2 t)dt = 1 + tan2 t π dt = t|04 = 0 π 4 0 √  π π √ 3 b) Đặt x = 3 tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt = 3(1 + tan2 t)dt. 2 2 2 cos t π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . Ta có 6 √ π π Z6 I= √ Z6 1 1 3 1 + tan2 t dt = √ 3 + 3tan2 t 3
0 π 1 π dt = √ t|06 = √ 3 6 3 0  π π 1 c) Đặt x4 = tan t, t ∈ − ; ⇒ 4x3 dx = dt = (1 + tan2 t)dt. 2 2 cos2 t π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . Ta có 4 1 I= 4 π π Z4 Z4 1 1 (1 + tan2 t)dt = 4 1 + tan2 t 0 0 π 1  4 π dt = t = 4 0 16 h π πi d) Đặt x = sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt. 2 2 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . Ta có 2 π π π   π Z2 p Z2 Z2 2 π 1 1 1 2 2 1 − sin t cos tdt = cos tdt = (1 + cos 2t) dt = t + sin 2t  = I= 2 2 4 4 0 0 0 0 h π πi ⇒ dx = cos tdt. e) Đặt x = sin t, t ∈ − ; 2 2 √ 2 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = . Ta có 2 4 π Z4 I= 0 2 sin t p cos tdt = 1 − sin2 t π π Z4 Z4 1 sin tdt = 2 2 0  (1 − cos 2t) dt = 0  π 4 1 1 π−2 t − sin 2t  = 2 4 8 0 h π πi 1 cos t f) Đặt x = ,t∈ − ; \ {0} ⇒ dx = − 2 dt. sin t 2 2 sin t 2 π π Đổi cận: x = √ ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t = . Ta có 3 6 3 π π Z3 I= π 6 1 1 sin t q 1 sin2 t cos t 2 dt = − 1 sin t Z3 π dt = t| π3 = 6 π 6 π 6 Ví dụ 2.7. Tính các tích phân sau Z1 Z1 p 1 a) I = dx. b) I = 2x − x2 dx. x2 + x + 1 √ Z 2r c) I = 0 0 0 Z1 Z2 Zπ d) I = 0 x2 + x + 2 dx. 3 x + x2 + x + 1 e) I = 1 x2 √ 1 dx. 1 + x2 www.MATHVN.com 17 f) I = −π 2+x dx. 2−x sin2 x dx. 3x + 1 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. Z1 1 a) Ta có I = dx. + 43 0√ √ √  π π 1 3 3 1 3 Đặt x + = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt = (1 + tan2 t)dt. 2 2 2 2 2 cos2 t 2 π π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = 1 ⇒ t = . Ta có 6 3 x+
1 2 2 π Z3 I= π 6 1 3 2 4 tan t + π √ 3 4 2 3 (1 + tan2 t)dt = √ 2 3 Z3 π 6 π π 2  3 dt = √ t = √ 3 π6 3 3 Z 1 dx (với ∆ là biệt thức của mẫu) Z + bx + c 1 dx. • Nếu ∆ > 0 thì I = a(x − x 1 )(x − x2 ) Z 1 • Nếu ∆ = 0 thì I = 2 dx. Z a(x − x0 ) 1 • Nếu ∆ < 0 thì I = dx. 2 u + A2 Tổng quát 2.2. I = ax2 Z1 q b) Ta có I = 1 − (x − 1)2 dx. 0 h π πi ⇒ dx = cos dt. Đặt x − 1 = sin t, t ∈ − ; 2 2 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ; x = 1 ⇒ t = 0. Ta có 2  0 Z0 p Z0 Z0  1 1 1 π 2 2 I= cos tdt = (1 + cos2t) dt = t + sin 2t  = 1 − sin t cos tdt = 2 2 4 4 −π − π2 − π2 − π2 2 Z p Z p 2 Tổng quát 2.3. I = ax + bx + cdx = A2 − u2 dx (trong đó a < 0 và ∆ > 0) √ Z2 2+x √ dx. 4 − x2 0 h π πi Đặt x = 2 sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = 2 cos dt. 2 2 √ π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = . Ta có 4 c) Ta có I = π π Z4 Z4 I= 0 2 + 2 sin t p 2 cos tdt = 2 4 − 4sin2 t Z r Tổng quát 2.4. I = Z1 d) Ta có I = a+x dx = a−x x2 + x + 2 dx = x3 + x2 + x + 1 0 Z1  = 0 Z √ π (1 + sin t) dt = (2t − 2 cos t)|04 = 2 − (a > 0). x2 + x + 2 dx = x2 (x + 1) + x + 1 0 1 1 + 2 x+1 x +1 1 2+ π 2 0 a+x dx a2 − x2 Z1 √  dx = ln |x + Z1 x2 + 1 + x + 1 dx (x + 1) (x2 + 1) 0 1||10 Z1 + 1 dx = ln 2 + 2 x +1 0 www.MATHVN.com 18 Z1 x2 0 1 dx. +1 www.MATHVN.com Chương 2. Tích Phân  π π 1 Đặt x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt = (1 + tan2 t)dt. 2 2 cos2 t π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . Ta có 4 π π Z4 Z4 I = ln 2 + 1 (1 + tan2 t)dt = ln 2 + 2 tan t + 1 0 π dt = ln 2 + t|04 = ln 2 + π 4 0  π π 1 e) C1: Đặt x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt. 2 2 cos2 t π Đổi cận: x = 1 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ arctan 2. Ta có 4 arctan Z 2 I= π 4 C2: Đặt x = Z1 1 t2 arctan Z 2 π 4 √ √  1 arctan 2 2 2 − 5 cos t dt = − = sin t  π 2 sin2 t 4 1 1 1 ⇒ dx = − 2 dt. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = . Ta có t t 2 1 I= 1 2 1 √ dt = 2 2 tan t 1 + tan t cos2 t 1 q 1+ 1 t2 1 dt = t2 1 2 Z Tổng quát 2.5. I = Z1 (1 + 1 √ n xn ) t 1 √ dt = 2 2 1+t 1+ xn Z1 1 2 √ √ 1 p 1 2 2 − 5  2 √ d(1 + t ) = 1 + t2  1 = 2 2 1+t 2 1 Đặt x = . t dx. f) Đặt x = −t ⇒ dx = −dt. Đổi cận: x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π. Ta có Zπ I= sin2 (−t) dt = 3−t + 1 −π −π Zπ  Suy ra 2I = Zπ sin2 x 3x sin2 x + 1 + 3x 1 + 3x sin2 t dt = 1 3t + 1 Zπ  dx = −π 2 Zπ Zπ 3x sin2 x dx 1 + 3x −π −π sin xdx = −π 3t sin2 t dt = 1 + 3t  π  1 1 π x − sin 2x  = π ⇔ I = . 2 4 2 −π Za Tổng quát 2.6. I = Đặt x = −t. f (x)dx. −a 2.2.3. Phương pháp đổi biến dạng 2. Zb Bài toán 2.4. Tính tích phân I = f [u(x)] u0 (x)dx. a Phương pháp. • Đặt u = u(x) ⇒ du = u0 (x)dx. • Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b). Zb • Khi đó I = f (u) du. a Lưu ý. u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit. www.MATHVN.com 19 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Ví dụ 2.8. Tính các tích phân sau Z1 Z1
3 4 3 a) I = x 1 + x dx. b) I = 0 Z1 x+2 dx. x2 + 4x + 7 c) [DB-02] I = 0 Z1 d) [BĐT-18] I = 0 0 Z1 x dx. (x + 1)3 x3 dx. x2 + 1 x5 x2 + 1 e) I =
2011 Z2 dx. f) I = 0 1 (2x − 1)10 dx. (x + 1)12 Lời giải. 1 a) I = 4 Z1 1+x
4 3 d 1+x 4
0 1 b) I = 2 Z1 0 
1 15 1 4 4 = 1+x  = . 16 16 0  1 1 12
1 1  2 2  d x + 4x + 7 = ln x + 4x + 7  = ln . x2 + 4x + 7 2 2 7 0 Z1  c) I = x− x x2 + 1 Z1  dx = 0 1 xdx − 2 Z1 0 1  1 1 1
1  2 1 x2  2  − ln x + 1  = − ln 2. d x +1 = x2 + 1 2 0 2 2 2 0 0 d) Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có Z2 u−1 du = u3 I= Z2  1 Z1   du = 1 x4 x x2 + 1 e) Ta có I = 1 1 − 3 2 u u
2012  1 1 2 1 − + 2  = u 2u 8 1 dx. 0 Đặt u = x2 + 1 ⇒ du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có 1 I= 2 Z2 2 2012 (u − 1) u 1 du = 2 1 1 = 2 Z2  f) Ta có I = 2x − 1 x+1 1 Z2
u2014 − 2u2013 + u2012 du 1  2 2012 − 1   = 2025079.2 − + 2015 2014 2013 1 4084588365 u2015 10 . 2u2014 u2013 1 dx. (x + 1)2 2x − 1 3 1 Đặt u = ⇒ du = dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = ; x = 2 ⇒ u = 1. Ta có x+1 (x + 1)2 2 1 I= 3 Z1 1 u11  2047 u du = =  33 1 67584 10 2 1 2 Z Tổng quát 2.7. I = (ax + b)n dx = (cx + d)n+2 Z  ax + b cx + d n 1 dx. (cx + d)2 Đặt u = ax + b . cx + d Ví dụ 2.9. Tính các tích phân sau Z1 p Z4 Z6 4x − 1 1 √ √ a) [DB-03] I = x3 1 − x2 dx. b) [D-2011] I = dx. c) I = dx. 2x + 1 + 2 2x + 1 + 4x + 1 0 √ 2 Z d) [A-03] I = √ 5 0 3 1 √ dx. x x2 + 4 Z64 e) I = √ 1 √ dx. x+ 3x 1 2 Z1 f) I = 0 www.MATHVN.com 20 1 p dx. (x + 1) (x + 8)