Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1
A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC
1
x 2 + x + 1 khi x ≤ 0
b
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x
. Biết ∫ f ( x )dx = ae 2 − với a, b, c ∈ N * . Tìm
4 e − 3 khi x ≥ 0
c
−1
giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c .
A. 23 .
B. 27 .
C. 33 .
D. 42 .
Lời giải
0
1
0
1
5
25
2
Ta có, ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x + 1) dx +∫ (4 e 2 x − 3) dx = + 2e 2 − 5 = 2e 2 − .
6
6
0
0
−1
−1
⇒ T = 2 + 25 + 6 = 33
1
2
Ví dụ 2. [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ thỏa mãn f ′( x ) =
2
2 x −1
, f (0) = 1 và f (1) = 2 . Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng
B. 2 + ln15 .
C. 3 + ln15 .
D. ln15.
A. 4 + ln 5 .
Lời giải
1
2
dx = ln(2 x −1) + C1.
Cách 1: Trên khoảng ; +∞ : f ( x ) = ∫
2
2 x −1
Lại có f (1) = 2 ⇒ C1 = 2.
2
1
• Trên khoảng −∞; : f ( x ) = ∫
dx = ln(1− 2 x ) + C 2 .
2 x −1
2
Lại có f (0) = 1 ⇒ C 2 = 1.
1
ln(2 x −1) + 2 khi x >
2.
Vậy f ( x ) =
1
ln(1 − 2 x ) + 1 khi x <
2
Suy ra f (−1) + f (3) = 3 + ln15.
Cách 2:
0
0
2dx
1
0
f (0) − f (−1) = f '( x )dx =
∫
∫ 2 x −1 = ln 2 x −1 |−1= ln 3 (1)
−1
−1
Ta có:
3
3
f (3) − f (1) = ∫ f '( x )dx =∫ 2dx = ln 2 x −1 |13 = ln 5 (2)
2 x −1
1
1
Lấy (2)-(1), ta được f (3) − f (1) − f (0) + f (−1) = ln15 ⇒ f (−1) + f (3) = 3 + ln15 .
2. TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1. Điều kiện hàm ẩn có dạng:
1. f ′ ( x ) = g ( x ).h ( f ( x ))
2. f ′ ( x ).h ( f ( x )) = g ( x )
Phương pháp giải:
f ′(x )
f ′ (x )
df ( x )
1.
= g (x ) ⇔ ∫
= g ( x )dx ...
dx = ∫ g ( x )dx ⇔ ∫
h ( f ( x ))
h ( f ( x ))
h ( f ( x )) ∫
2.
∫
f ′ ( x ).h ( f ( x )) dx = ∫ g ( x ) dx ⇔ ∫ h ( f ( x )) df ( x ) = ∫ g ( x ) dx ...
Trang 1
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Chú ý:
• 1 và 2 bản chất là một ( cô lập các cụm f ( x ), f ′ ( x ) sang một vế).
•
•
Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi)
f ′ ( x ) phải để trên tử
Ví dụ 1. Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; + ∞) và thỏa mãn f (1) = 1 ,
f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 < f (5) < 5 .
B. 2 < f (5) < 3 .
C. 3 < f (5) < 4 .
Lời giải
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
f ′(x )
f ′(x )
1
f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1 ⇔
=
⇔∫
dx = ∫
f (x )
f (x )
3x + 1
⇔∫
d ( f ′ ( x ))
f (x )
1
2
1
−
2 d (3 x + 1) ⇔ ln f ( x ) =
3x + 1 + C ⇔ f ( x ) = e 3
3
+
1
x
(
)
∫
3
3
4
+C
=1 ⇔ C = −
2
4
⇒ f (x ) = e3
3
3 x +1−
4
3
1
d ( f ( x ))
f (x )
=
3 x +1 +C
.
4
⇒ f (5) = e 3 ≈ 3,79 ∈ (3; 4 ) .
Vậy 3 < f (5) < 4 .
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
5
5
f ′(x )
f ′ (x )
1
⇔∫
f ( x ) = f ′( x ) 3x + 1 ⇔
dx = ∫
=
f (x )
f (x )
3x +1
1
1
5
1
dx
3x + 1
2
=
Khi đó f (1) = 1 ⇔ e 3
⇔∫
D. 1 < f (5) < 2 .
1
dx
3x +1
4
5
f (5) 4
4
4
⇔ ln f ( x ) = ⇔ ln
= ⇔ f (5) = f (1).e 3 ≈ 3,79 ∈ (3; 4 ) .
3
3
f (1) 3
1
f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1;4 ] thỏa mãn
2
3
x + 2 xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = . Giá trị f (4 ) bằng:
2
391
361
381
371
A.
B.
C.
D.
18
18
18
18
Lời giải
Biến đổi:
2
f ′ ( x )
f ′ (x )
2
2
=x⇒
= x.
x + 2 xf ( x ) = f ′ ( x ) ⇔ x (1 + 2 f ( x )) = f ′ ( x ) ⇔
1 + 2 f (x )
1+ 2 f x
Ví dụ 2. Cho
( )
4
⇒∫
1
f ′ (x )
1 + 2 f (x )
4
dx = ∫
⇔ 1 + 2 f (4 ) − 2 =
4
xdx ⇔ 1 + 2 f ( x ) =
1
1
14
3
14
391
⇔ f (4 ) =
.
3
18
Ví dụ 3. Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ). f '( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1 và f (0) = 0 . Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [1;3] là
A. 22
B. 4 11 + 3
C. 20 + 2
Lời giải
Biến đổi:
Trang 2
D. 3 11 + 3
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
f ( x ). f '( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1 ⇔
⇔
f ( x ). f '( x )
f 2 (x ) +1
= 2x ⇒ ∫
f ( x ). f '( x )
f 2 (x ) +1
dx = ∫ 2 xdx
f 2 (x ) +1 = x 2 + C
Với f (0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒
f 2 (x ) +1 = x 2 +1 ⇒ f 2 (x ) = x 4 + 2x 2 = g (x )
Ta có: g '( x ) = 4 x 3 + 4 x > 0, ∀x ∈ [1;3] . Suy ra g ( x ) đồng biến trên [1;3]
f ( x )≥0
→ 3 ≤ f ( x ) ≤ 3 11
Suy ra: g (1) ≤ g ( x ) = f 2 ( x ) ≤ g (3) ⇒ 3 ≤ f 2 ( x ) ≤ 99
f (x ) = 3
min
[1;3]
⇒
Max f ( x ) = 3 11
3
Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn
∫
f ( x ). f '( x )
dx =
f 2 ( x ) + 1 + C thì ta có thể sử dụng
f ( x ) +1
kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một)
+) Vi phân:
−1
f ( x ). f '( x )
f (x )
1
2
2
∫ f 2 ( x ) + 1 dx =∫ f 2 ( x ) + 1 d ( f ( x )) = 2 ∫ ( f ( x ) + 1) 2 d ( f ( x ) + 1) =
2
f 2 (x ) +1 + C
+ Đổi biến: Đặt t = f 2 ( x ) + 1 ⇒ t 2 = f 2 ( x ) + 1 ⇒ tdt = f ( x ) f '( x )dx
f ( x ). f '( x )
tdt
Suy ra: ∫
dx =∫
= ∫ dt = t + C = f 2 ( x ) + 1 + C
2
t
f ( x ) +1
Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3). f 2 ( x ) và f (0) =
−1
. Biết
2
tổng f (1) + f (2) + ... + f (2017) + f (2018) =
a
a
với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ* và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A. < −1 .
B. > 1 .
b
b
C. a + b = 1010 .
D. b − a = 3029.
Lời giải
f (x )
f '( x )
Biến đổi f ( x ) = (2 x + 3). f ( x ) ⇔ 2
= 2x + 3 ⇔ ∫ 2
dx = ∫ (2 x + 3) dx
f (x )
f (x )
−1
1
1
⇔−
= x 2 + 3x + C ⇒ f ( x ) = − 2
. Mà f (0) =
nên C = 2 .
f (x )
x + 3x + C
2
'
'
Do đó f ( x ) = −
2
1
1
=−
.
x + 3x + 2
( x + 1)( x + 2)
2
a
= f (1) + f (2 ) + ... + f (2017 ) + f (2018)
b
1
1
1
1
= −
+
+ ..... +
+
2.3 3.4
2018.2019 2019.2020
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 −1009
.
= − − + − + ..... +
−
+
−
= − −
=
2 3 3 4
2 2020
2020
2018 2019 2019 2020
a = −1009
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:
⇒ b − a = 3029 .
b = 2020
Khi đó
Trang 3
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 7
Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng. Buổi sau học sinh cùng GV kiểm tra kết quả
Câu 1.
3 x 2
[Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y = f ( x ) =
4 − x
khi 0 ≤ x ≤ 1
. Tính
khi 1 ≤ x ≤ 2
2
∫
f ( x )dx .
0
A.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
7
.
2
B. 1 .
C.
5
.
2
D.
3
.
2
4
6 x 2
khi x ≤ 0
Cho hàm số y = f ( x ) =
và I = ∫ f ( x )dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số
a − a 2 x khi x ≥ 0
−1
nguyên a để I + 22 ≥ 0 ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
1
[Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ thỏa mãn
2
2
, f (0) = 1 và f (1) = 2 . Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng
f ′( x ) =
2 x −1
A. 4 + ln 5 .
B. 2 + ln15 .
C. 3 + ln15 .
D. ln15.
[Toán học tuổi trẻ số 6 – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} thỏa mãn
1
, f (0 ) = 2017 , f (2) = 2018 . Tính S = f (3) − f (−1) .
x −1
A. S = 1 .
B. S = ln 2 .
C. S = ln 4035 .
D. S = 4 .
1
[Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ thỏa mãn
3
2
3
f ′ (x ) =
, f (0) = 1 và f = 2 . Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng
3
3 x −1
A. 3 + 5 ln 2 .
B. −2 + 5 ln 2 .
C. 4 + 5 ln 2 .
D. 2 + 5 ln 2 .
4
Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−2;2} và thỏa mãn f ′ ( x ) = 2
; f (−3) = 0 ;
x −4
f (0) = 1 và f (3) = 2 . Tính giá trị biểu thức P = f (−4 ) + f (−1) + f (4 ) .
f ′ (x ) =
Câu 5.
Câu 6.
A. P = 3 + ln
3
.
25
B. P = 3 + ln 3 .
Trang 4
5
C. P = 2 + ln .
3
5
D. P = 2 − ln .
3
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Câu 7.
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
[Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−2;1} thỏa
1
1
; f (−3) − f (3) = 0 và f (0 ) = . Giá trị của biểu thức
mãn f ′ ( x ) = 2
x + x −2
3
f (−4 ) + f (−1) − f (4 ) bằng
1 1
1 4
1 8
+ ln 2 .
B. 1 + ln 80 .
C. 1 + ln 2 + ln .
D. 1 + ln .
3 3
3 5
3 5
[Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} và thỏa mãn
A.
Câu 8.
1
1
; f (−3) + f (3) = 0 và f − +
2
x −1
P = f (0 ) + f ( 4 ) .
f ′ (x ) =
2
1
f = 2 . Tính giá trị của biểu thức
2
3
3
1 3
1 3
A. P = 2 + ln .
B. P = 1 + ln .
C. P = 1 + ln .
D. P = ln .
5
5
2 5
2 5
Câu 9.
[Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} và thỏa mãn
1
1
2
f '(x ) = 2
; f (−2 ) + f (2 ) = 0 và f − + f = 0. Tính f (−2 ) + f (0 ) + f (4 ) = 0
2
2
x −1
được kết quả
6
6
4
4
A. P = 1 + ln .
B. P = −1 + ln .
C. P = 1 + ln .
D. P = −1 + ln .
5
5
5
5
Câu 10. [Chuyên Thái Bình – Lần 4 – 2018] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
π
1
với ∀x ∈ ℝ \ − + k π, k ∈ ℤ. Biết F (0) = 1 và F (π ) = 0. Tính giá trị của
4
1 + sin 2 x
π
11π
biểu thức P = F − − F
.
12
12
y=
A. P = 2 − 3.
B. P = 0.
C. Không tồn tại.
D. P = 1.
Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
1
f ( x ) > 0 , ∀x ∈ ℝ ; f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈ ℝ và f (0 ) = . Tính giá trị của f (ln 2) .
2
2
2
2
1
A. f (ln 2 ) = .
B. f (ln 2) = − .
C. f (ln 2 ) = .
D. f (ln 2) = .
9
9
3
3
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) , xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các
điều kiện f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ , f ′ ( x ) = ( x . f ( x )) , ∀x ∈ ℝ và f (0 ) = 2 . Phương trình tiếp
2
tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị (C ) là.
A. y = 6 x + 30 .
B. y = −6 x + 30 .
C. y = 36 x − 30 .
D. y = −36 x + 42 .
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [−1;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ
và f ' ( x ) + 2 f ( x ) = 0 . Biết f (1) = 1 , tính f (−1) .
A. f (−1) = e −2 .
Câu 14.
B. f (−1) = e 3 .
C. f (−1) = e 4 .
D. f (−1) = 3 .
[Sở Yên Bái – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ). f ( x ) = x 4 + x 2 . Biết
f (0) = 2 . Tính f 2 (2) .
313
332
A. f 2 (2) =
.
B. f 2 (2) =
.
15
15
Trang 5
C. f 2 (2) =
324
.
15
D. f 2 (2 ) =
323
.
15
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
[Sở Nam Định – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên (0; + ∞) , biết
1
f ′ ( x ) + (2 x + 4 ) f 2 ( x ) = 0 và f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ; f (2 ) = . Tính f (1) + f (2 ) + f (3) .
15
7
11
11
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
15
15
30
30
Câu 16. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ . Biết f 6 ( x ). f ′ ( x ) = 12 x + 13 và f (0 ) = 2 .
Câu 15.
Khi đó phương trình f ( x ) = 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 1 .
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3). f 2 ( x ) và f (0 ) =
f (1) + f (2) + ... + f (2017 ) + f (2018) =
−1
. Biết tổng
2
a
a
với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ * và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A. < −1 .
B. > 1 .
C. a + b = 1010 .
D. b − a = 3029.
b
b
Câu 18. [Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017] Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên
(0; + ∞) và thỏa mãn f (1) = 1 , f ( x ) = f ′ ( x ) 3 x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. 4 < f (5) < 5 .
B. 2 < f (5) < 3 .
C. 3 < f (5) < 4 .
D. 1 < f (5) < 2 .
Câu 19. [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018] Cho f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục
2
3
và đồng biến trên [1;4 ] thỏa mãn x + 2 xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = . Giá trị f (4 )
2
bằng:
391
361
381
371
A.
B.
C.
D.
18
18
18
18
Câu 20. Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ). f '( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1 và f (0) = 0 . Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [1;3] là
A. 22
B. 4 11 + 3
C. 20 + 2
D. 3 11 + 3
Câu 21. [Chuyên Tuyên Quang – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và đồng biến trên
ℝ thỏa mãn f (0 ) = 1 và ( f ′ ( x )) = e x f ( x ), ∀x ∈ ℝ . Tính tích phân
2
1
∫
f ( x ) dx bằng
0
A. e − 2 .
B. e −1 .
C. e 2 − 2 .
D. e 2 −1 .
Câu 22. [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên
tục trên
ℝ \ {0} thỏa mãn x 2 f 2 ( x ) + (2 x −1) f ( x ) = xf ′ ( x )−1 với
∀x ∈ ℝ \ {0} và
2
f (1) = −2 . Tính
∫
f ( x ) dx .
1
1
3
ln 2
3 ln 2
A. − − ln 2 .
B. − − ln 2 .
C. −1 −
.
D. − −
.
2
2
2
2
2
Câu 23. [Sở Đà Nẵng – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ 4;8 ] và
8
f (0) ≠ 0 với ∀x ∈ [ 4;8 ] . Biết rằng
∫
4
A.
5
.
8
B.
2
.
3
′
f ( x ) dx = 1 và f (4 ) = 1 , f (8) = 1 . Tính f (6 ) .
4
2
f ( x ) 4
3
1
C. .
D. .
8
3
2
Trang 6
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
3 x 2
khi 0 x 1
[Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y f x
. Tính
4 x khi 1 x 2
2
0
A.
Câu 2.
f xdx .
7
.
2
Ta có,
1
0
5
.
2
Lời giải
C.
D.
3
.
2
1
5 7
x2 2
f x dx f x dx 3 x dx 4 x dx x 3 4 x 1 .
0
2 1
2 2
1
0
1
2
1
2
2
4
6 x 2
khi x 0
Cho hàm số y f x
và I f x dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số
a a 2 x khi x 0
1
nguyên a để I 22 0 ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Ta có
4
0
4
0
4
a 2 x 2
2
2
3 0
2 4 a 8a 2 .
I f xdx f xdx 6 x dx a a xdx 2 x 1 ax
2
1
Câu 3.
B. 1 .
0
1
0
0
3
a
a 1;0;1;2 .
I 22 0 2 4 a 8a 2 22 0 2a 2 a 6 0 a 2
2
Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn.
1
2
[Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x) xác định trên \ thỏa mãn f ( x)
2
2 x 1
, f (0) 1 và f (1) 2 . Giá trị của biểu thức f (1) f (3) bằng
A. 4 ln 5 .
B. 2 ln15 .
C. 3 ln15 .
D. ln15.
Lời giải
2
f ( x)
dx ln(2 x 1) C1.
2 x 1
1
Cách 1: Trên khoảng ; :
2
Lại có f (1) 2 C1 2.
2
1
dx ln(1 2 x) C2 .
• Trên khoảng ; : f ( x)
2 x 1
2
Lại có f (0) 1 C2 1.
1
ln(2 x 1) 2 khi x
2.
Vậy f ( x)
1
ln(1 2 x) 1 khi x
2
Suy ra f (1) f (3) 3 ln15.
Cách 2:
0
0
2dx
1
0
f (0) f (1) f '( x)dx
2 x 1 ln 2 x 1 |1 ln 3 (1)
1
1
Ta có:
3
3
f (3) f (1) f '( x)dx 2dx ln 2 x 1 |13 ln 5 (2)
2 x 1
1
1
Trang 1
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Câu 4.
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Lấy (2)-(1), ta được f (3) f (1) f (0) f (1) ln15 f (1) f (3) 3 ln15 .
[Toán học tuổi trẻ số 6 – 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 1 thỏa mãn
1
, f 0 2017 , f 2 2018 . Tính S f 3 f 1 .
x 1
A. S 1 .
B. S ln 2 .
C. S ln 4035 .
D. S 4 .
Lời giải
1
dx ln x 1 C .
Cách 1: Ta có f x dx
x 1
f x ln x 1 2017 khi x 1
Theo giả thiết f 0 2017 , f 2 2018 nên
.
ln
1
2018
khi
1
f
x
x
x
Do đó S f 3 f 1 ln 2 2018 ln 2 2017 1 .
f x
Cách 2:
0
0
1
dx
0
f (0) f (1) f '( x)dx
x 1 ln x 1 |1 ln 2 (1)
1
1
Ta có:
3
3
f (3) f (2) f '( x)dx dx ln x 1 |32 ln 2 (2)
x 1
2
2
Lấy 1 2, ta được
Câu 5.
f (3) f (2) f (0) f (1) 0 S f (3) f (1) f (2) f (0) 1 .
1
[Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x) xác định trên \ thỏa mãn
3
2
3
, f 0 1 và f 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
f x
3
3 x 1
A. 3 5 ln 2 .
B. 2 5 ln 2 .
C. 4 5 ln 2 .
D. 2 5 ln 2 .
Lời giải
ln 3 x 1 C1 khi x ; 1
3
3
3
Cách 1: Từ f x
.
dx=
f x
1
3 x 1
3 x 1
ln 3 x 1 C1 khi x 3 ;
ln 3 x 1 1 khi x ; 1
0
1
f
0 C1 1
C1 1
3
Ta có: 2
.
f x
1
f 2 0 C2 2 C2 2
ln 3 x 1 2 khi x ;
3
3
Khi đó: f 1 f 3 ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5 ln 2 .
Cách 2: Ta có
0
0
0
3
1
f 0 f 1 f x 0 f x dx
3x 1 dx ln 3x 1 1 ln 4 1
1
1
1
3
3
2
3
3
3
dx ln 3 x 1 2 ln 8 2
f 3 f f x 2 f x dx
3
3 x 1
3
3
2
2
3
3
2
Lấy 2 1 , ta được: f 3 f 1 f 0 f ln 32 f 1 f 3 3 5 ln 2 .
3
Trang 2
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Câu 6.
Câu 7.
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
4
; f 3 0 ;
x 4
f 0 1 và f 3 2 . Tính giá trị biểu thức P f 4 f 1 f 4 .
3
5
5
B. P 3 ln 3 .
C. P 2 ln .
D. P 2 ln .
A. P 3 ln .
3
25
3
Lời giải
4 dx
4
4 dx
f x 2
Từ f x 2
x 4
x 4
x 2 x 2
x2
C1 khi x ; 2
ln
x
2
x2
C2 khi x 2;2
ln
x
2
x2
C3 khi x 2;
ln
x2
f 3 0
ln 5 C1 0
C1 ln 5
Ta có f 0 1 0 C2 1
C2 1
f 2 2
C3 2 ln 5
1
ln
2
C
3
5
x2
ln
-ln5
khi x ;2
x2
x2
f x ln
khi x 2;2 .
1
x2
x2
ln
2 ln 5 khi x 2;
x2
1
Khi đó P f 4 f 1 f 4 ln 3 ln 5 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 ln 3 .
3
[Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 2;1 thỏa mãn
Cho hàm số f x xác định trên \ 2;2 và thỏa mãn f x
1
f 3 f 3 0
;
x x2
f 4 f 1 f 4 bằng
f x
A.
2
1 1
ln 2 .
3 3
f x
1
x x2
B. 1 ln 80 .
và
1
3
f 0 .
Giá
1 4
C. 1 ln 2 ln .
3 5
Lời giải
trị
2
của
biểu
1 8
D. 1 ln .
3 5
2
x 1
1
ln
C1 khi x ; 2
3 x2
1
dx
dx
x 1
x 2;1
f x 2
ln
C2 khi
x x2
x 1 x 2 3 x 2
1
x 1
ln
C3 khi x 1;
3 x 2
1
1 2
1
Do đó f 3 f 3 0 ln 4 C1 ln C3 C3 C1 ln10 .
3
3 5
3
Trang 3
thức
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
1 1 1
1
1 1
ln C2 C2 ln 2 .
3 3 2
3
3 3
1
x
1
ln
khi x ; 2
C1
x
3
2
x 1 1 1
1
f x ln
ln 2 khi
x 2;1 .
3 x2 3 3
1 ln x 1 C1 1 ln10 khi x 1;
3
3 x 2
1 5
1
1 1
1 1
1
Khi đó: f 4 f 1 f 4 ln C1 ln 2 ln 2 ln C1 ln10
3 2
3
3 2
3 3
3
1 1
ln 2 .
3 3
[Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 1;1 và thỏa mãn
Và f 0
Câu 8.
1
1
; f 3 f 3 0 và f
2
x 1
P f 0 f 4 .
f x
2
3
A. P 2 ln .
5
f x
2
1 3
1 3
C. P 1 ln .
D. P ln .
2 5
2 5
Lời giải
1
x 1
ln
C1 khi x ; 1 1;
2 x 1
dx
x 1 x 1 1 x 1
ln
C2 khi x 1;1
2 x 1
3
B. P 1 ln .
5
1
dx
2
x 1
x 1
2
.
1
f 2 . Tính giá trị của biểu thức
1
1 1
ln 2 C1 ln C1 0 C1 0 .
2
2 2
1
1
1
1 1
Và f f 2 ln 3 C2 ln C2 2 C2 1 .
2
2
2
2 3
1
x 1
ln
khi x ; 1 1;
2 x 1
1 3
P f 0 f 4 = 1 ln .
Suy ra f x
2 5
1
x 1
ln
1 khi x 1;1
2 x 1
[Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 1;1 và thỏa mãn
Ta có f 3 f 3 0
Câu 9.
1
1
2
; f 2 f 2 0 và f f 0. Tính f 2 f 0 f 4 0
2
2
x 1
được kết quả
6
6
4
4
A. P 1 ln .
B. P 1 ln .
C. P 1 ln .
D. P 1 ln .
5
5
5
5
Lời giải
x 1
C1 khi x ; 1 1;
ln
x 1
2
2dx
2dx
f ' x 2
f x 2
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
C1 khi x 1;1
l n
x 1
f ' x
2
Trang 4
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
1
Ta có f 2 f 2 0 ln 3 C1 ln C1 0 C1 0.
3
1
1
1
và f f 2 ln 3 C2 ln C2 2 C2 1.
2
2
3
x 1
ln
khi x ; 1 1;
x 1
Suy ra: f x
x 1
+1 khi x 1;1
ln
x 1
3
6
f 3 f 0 f 4 ln 2 1 ln 1 ln
5
5
Câu 10. [Chuyên Thái Bình – Lần 4 – 2018] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số
1
với x \
k, k
. Biết F 0 1 và F 0. Tính giá trị của
1 sin 2 x
4
11
biểu thức P F F
.
12
12
y
A. P 2 3.
C. Không tồn tại.
D. P 1.
Lời giải
1
1
1
Cách 1: Biến đổi y
. Khi đó:
2
1 sin 2 x sin x cos x
2
2 sin x
4
F x
Ta có:
B. P 0.
5
1
tan x C1 khi x ; k2
2
4
4
4
dx
k .
1
3
2
2 sin x tan x C2 khi x ; k2
4 4
4 2
4
1
1
1 tan x 1 khi x 5 ; k2
C
1
C
2
F 0 1 2
2
4
4 2
4
2 2
F x
1 tan x 1 khi x ; 3 k2
F 0 1 C1 0 C1 1
2
2
4 4
4 2
2
11 1
tan 1 1 tan 7 1 1 .
Khi đó: P F F
12 2
12
6 2 2
6 2
0
dx
F 0 F F x 0
1
x
12
1
sin
2
12
12
Cách 2: Ta có
dx
F F 11 F x 11
2
12
1 sin 2 x
12
11
12
0
11
dx
dx
Lấy 2 1 , ta được: F F
F F 0
12
12
1 sin 2 x
1 sin 2 x
11
12
11
11
F F
1 0 F F
1.
12
12
12
12
casio
Trang 5
12
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Câu 11. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện
1
f x 0 , x ; f x ex . f 2 x , x và f 0 . Tính giá trị của f ln 2 .
2
1
2
2
2
B. f ln 2 .
C. f ln 2 .
D. f ln 2 .
A. f ln 2 .
3
9
3
9
f x ex . f 2 x
1
ln 2
0
0
f x
ln 2
0
1
1
1
1
1
3 f ln 2 .
3
f ln 2 f 0
f ln 2
1
f x 0
Lời giải
1
ln 2
f x
df x
x
dx e dx 2
ex
2
f x
ex
f x
f 2 x
0
ln 2
Câu 12. Cho hàm số y f x có đồ thị C , xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các
2
điều kiện f x 0 x , f x x. f x , x và f 0 2 . Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ x 1 của đồ thị C là.
A. y 6 x 30 .
2
f x x. f x
1
1
f x 0
B. y 6 x 30 .
1
f x
2
x
f 2 x
0
C. y 36 x 30 .
D. y 36 x 42 .
Lời giải
1
1
1
f x
df x x 3
2
dx x dx 2
f 2 x
f
x
3 0
0
0
1
1
1
1
1
1
f 1 6 .
3
3
f 1 6
f 1 f 0
2
2
Từ f x x. f x f 1 1. f 1 36 .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y 36 x 30 .
Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 1;1 , thỏa mãn f x 0, x
và f ' x 2 f x 0 . Biết f 1 1 , tính f 1 .
A. f 1 e2 .
B. f 1 e3 .
Biến đổi:
Câu 14.
C. f 1 e4 .
Lời giải
D. f 1 3 .
1
1
1
f ' x
f ' x
df x
2
4 ln f x 11 4
f ' x 2 f x 0
dx 2dx
f x
f
x
f
x
1
1
1
f 1
f 1
ln
4
e4 f 1 f 1.e4 e4 .
f 1
f 1
[Sở Yên Bái – 2018] Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x . f x x 4 x 2 . Biết f 0 2
. Tính f 2 2 .
A. f 2 2
313
.
15
B. f 2 2
2
332
.
15
C. f 2 2
Lời giải
2
324
.
15
Ta có f ' x . f x x x f ' x . f x dx x 4 x 2 dx
4
2
0
2
f x df x
0
f 2 2 4
2
136
15
f 2 x
2
136
332
.
f 2 2
15
15
0
2
0
136
15
Trang 6
D. f 2 2
323
.
15
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Câu 15.
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
[Sở Nam Định – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , biết
f x 2 x 4 f 2 x 0 và f x 0, x ; f 2
11
.
30
Lời giải
f x
f x
Biến đổi f x 2 x 4 f 2 x 0 2
2 x 4 2
dx 2 x 4 dx
f x
f x
A.
7
.
15
B.
d f x
11
.
15
1
. Tính f 1 f 2 f 3 .
15
7
D.
.
30
C.
x 2 4 x C
1
x 2 4 x C f x
1
.
x 4 x C
f x
f x
1
1
1
1
Với f 2
.
C 3 , suy ra: f x 2
x 4x 3
15
15 12 C
1 1
1
7
.
Khi đó: f 1 f 2 f 3
8 15 24 30
Câu 16. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên . Biết f 6 x . f x 12 x 13 và f 0 2 .
2
Khi đó phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm?
B. 3 .
A. 2 .
Từ f 6 x . f x 12 x 13
C. 7 .
Lời giải
6
f x. f x dx 12 x 13 dx
f x df x 6 x 13 x C
6
2
f 7 x
7
D. 1 .
6 x 2 13 x C C
f 0 2
Suy ra: f x 42 x 91x 2 .
7
2
2
2
.
7
Từ f x 3 f 7 x 2187 42 x 2 91x 2 2187 42 x 2 91x 2185 0 * .
Phương trình * có 2 nghiệm trái dấu do ac 0 .
Câu 17. Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f ' x 2 x 3. f 2 x và f 0
f 1 f 2 ... f 2017 f 2018
đề nào sau đây đúng?
A.
a
1 .
b
B.
a
1.
b
1
. Biết tổng
2
a
a
với a , b * và là phân số tối giản. Mệnh
b
b
C. a b 1010 .
D. b a 3029.
Lời giải
f ' x
f x
2
3
x
f 2 x dx 2 x 3 dx
f 2 x
1
1
1
. Mà f 0
nên C 2 .
x 2 3x C f x 2
2
f x
x 3x C
Biến đổi f ' x 2 x 3. f 2 x
Do đó f x
Khi đó
'
1
1
.
x 3x 2
x 1 x 2
2
a
f 1 f 2 ... f 2017 f 2018
b
1
1
1
1
.....
2.3 3.4
2018.2019 2019.2020
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 1009
.
.....
2 3 3 4
2 2020
2020
2018 2019 2019 2020
Trang 7
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
a 1009
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:
b a 3029 .
b 2020
Câu 18. [Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017] Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên
0; và thỏa mãn f 1 1 , f x f x 3 x 1 , với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. 4 f 5 5 .
B. 2 f 5 3 .
C. 3 f 5 4 .
Lời giải
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
f x f x 3x 1
D. 1 f 5 2 .
f x
f x
1
dx
f x
f x
3x 1
1
3x 1
dx
d f ′ x
2
1
2
1
2
3x 1 C f x e 3
3 x 1 d 3 x 1 ln f x
3
3
f x
4
Khi đó f 1 1 e 3
C
1 C
Vậy 3 f 5 4 .
Chú ý: Các bạn có thể tính
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
2
4
f x e 3
3
3 x 1
4
3
3 x 1 C
4
f 5 e 3 3,79 3;4 .
.
dx
bằng cách đặt t 3 x 1 .
3x 1
5
5
f ′ x
f x
1
1
dx
dx
f x f ′ x 3x 1
f
x
f x
3
1
x
3x 1
1
1
5
4
5
d f x 4
f 5 4
4
f 5 f 1.e 3 3,79 3;4 .
ln f x ln
3
1
3
f
3
f
x
1
1
Câu 19. [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018] Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục
2
3
và đồng biến trên 1;4 thỏa mãn x 2 xf x f x , x 1;4 , f 1 . Giá trị f 4
2
bằng:
391
A.
18
B.
Biến đổi:
361
18
381
18
Lời giải
C.
D.
371
18
2
f x
f x
x
x.
x 2 xf x f x x 1 2 f x f x
1 2 f x
1 2 f x
4
1
f x
1 2 f x
2
2
4
dx
1 2 f 4 2
4
xdx 1 2 f x
1
1
14
391
f 4
.
3
18
4
Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I
1
14
3
f x
1 2 f x
dx 1 2 f x
thì ta có thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
Trang 8
4
1
1 2 f 4 2
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
f ' x
4
+ Vi phân:
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
1 2 f x
1
df x
4
dx
1 2 f x
1
4
1
4
1
2 d 1 2 f x 1 2 f x .
1
2
f
x
1
2 1
+ Đổi biến: Đặt t 1 2 f x t 2 1 2 f x tdt f x dx
với x 1 t 1 2 f 1 2; x 4 t 1 2 f 4 .
12 f 4
Khi đó I
2
12 f 4
tdt
t
dt t 2
12 f 4
2
1 2 f 4 2 .
Câu 20. Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f '( x) 2 x f 2 ( x) 1 và f (0) 0 . Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f ( x) trên 1;3 là
A. 22
B. 4 11 3
Biến đổi:
f ( x). f '( x) 2 x f 2 ( x) 1
C. 20 2
Lời giải
f ( x). f '( x)
f 2 ( x) 1
2x
f ( x). f '( x)
f 2 ( x) 1
D. 3 11 3
dx 2 xdx
f 2 ( x) 1 x 2 C
Với f (0) 0 C 1
f 2 ( x ) 1 x 2 1 f 2 ( x ) x 4 2 x 2 g( x )
Ta có: g '( x) 4 x 3 4 x 0, x 1;3 . Suy ra g( x) đồng biến trên 1;3
f ( x )0
3 f ( x) 3 11
Suy ra: g(1) g( x) f 2 ( x) g 3 3 f 2 ( x) 99
min f ( x) 3
1;3
Max f ( x) 3 11
3
Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn
f ( x). f '( x)
2
f ( x) 1
f 2 ( x) 1 C thì ta có thể sử dụng
dx
kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một)
+) Vi phân:
1
f ( x). f '( x)
f ( x)
1
2
2
f 2 ( x) 1 dx f 2 ( x) 1 d f ( x) 2 f ( x) 1 2 d f ( x) 1
f 2 ( x) 1 C
+ Đổi biến: Đặt t f 2 ( x) 1 t 2 f 2 ( x) 1 tdt f ( x) f '( x)dx
f ( x). f '( x)
tdt
Suy ra:
dx
dt t C f 2 ( x) 1 C
2
t
f ( x) 1
Câu 21.
[Chuyên Tuyên Quang – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm và đồng biến trên
2
thỏa mãn f 0 1 và f x ex f x , x . Tính tích phân
A. e 2 .
2
B. e 1 .
Biến đổi f x ex f x
2
f x
f x
C. e2 2 .
Lời giải
ex
Trang 9
f x
f x
ex
1
0
f x dx bằng
D. e2 1 .
f x
f x
dx ex dx
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
1
2
x
x
2
2
f x df x e dx 2 f x 2e C
Vì f 0 1 C 0
1
Câu 22.
Suy ra
0
x
f x e 2 f x ex
1
1
f x dx edx e
0
x
0
e 1 .
[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018] Cho hàm số y f x xác định và liên
\ 0 thỏa mãn x 2 f 2 x 2 x 1 f x xf x 1 với
tục trên
2
f 1 2 . Tính
1
A. ln 2 .
2
1
f x dx .
3
B. ln 2 .
2
C. 1
Lời giải
x \ 0 và
3 ln 2
D.
.
2
2
ln 2
.
2
2
Ta có x f x 2 x 1 f x xf x 1 xf x 1 f x xf x *
2
2
Đặt h x f x xf x h x f x xf x , khi đó * có dạng
h2 x h x
h x
h x
dh x
1
x C
1
x C
dx 1dx 2
2
2
h x
h x
h x
h x
1
1
xf x 1
x C
x C
1
Vì f 1 2 nên 2 1
C 0
1C
1
1 1
Khi đó xf x 1 f x 2
h x
x
x
2
Câu 23.
Suy ra:
1
x
2
2
1 1
1
1
f x dx 2 dx ln x ln 2
x
x
1
x
2
1
[Sở Đà Nẵng – 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và f 0 0
2
f x
dx 1 và f 4 1 , f 8 1 . Tính f 6 .
với x 4;8 . Biết rằng
4
4
2
4 f x
5
2
3
1
A. .
B. .
C. .
D. .
8
3
8
3
Lời giải
8
8
1
f x
df x
1 8
1
2 4 2 .
+) Xét 2 dx 2
4
f
x
f
x
f
x
f
f
8
4
4
4
8
2
f x
+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để 2
k dx 0 .
f x
4
Ta
2
2
8
8
8
8
f
x
f
x
f x
2
2
2
f 2 x k dx f x 4 dx 2k f 2 xdx k dx 1 4 k 4 k 2k 1 .
4
4
4
4
2
8
6
6
f x 1
f x 1
f x
1
1
Suy ra: k thì 2
dx 0 2
dx dx
f x 2
2
2
f x 2 f 2 x
8
4
4
Trang 10
4
có:
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
6
4
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
df x
1 6
1
1
1
1
1
1
1 4
1 f 6 .
2
f x
f x 4
f 4 f 6
f 6
3
b
Chú ý:
a
f x dx 0 không được phép suy ra f x 0 , nhưng
b
f 2 k x dx 0 f x 0
a
Trang 11
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 2
A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 2. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A. f ( x ) + B. u ′. f (u ) +C . f (a + b − x )= g ( x )
b
b
u (a ) = a
1
+) Với
g ( x ) dx .
thì ∫ f ( x ) dx =
u (b )= b
A + B + C ∫a
a
b
b
u (a ) = b
1
g ( x ) dx .
+) Với
thì ∫ f ( x ) dx =
A − B + C ∫a
u (b )= a
a
Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B,C .
b
Nếu f ( x ) liên tục trên [a; b ] thì
∫
b
f (a + b − x ) dx =
a
∫
f ( x ) dx .
a
Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f ( x ) = 6 x 2 f ( x 3 ) −
6
. Tính
3x + 1
1
∫
f ( x ) dx
0
C. −1 .
D. 6 .
Lời giải
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
6
6
Biến đổi f ( x ) = 6 x 2 f ( x 3 ) −
⇔ f ( x ) − 2.3 x 2 . f ( x 3 ) = −
với A = 1 ,
3x + 1
3x +1
B = −2 .
1
1
1
6
−
dx = 4 .
Áp dụng công thức ta có: ∫ f ( x ) dx =
∫
1
+
−
2
(
)
3
x
+
1
0
0
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
1
1
1
1
6
2
3
2
3
⇒ ∫ f ( x ) dx − 2 ∫ 3 x f ( x ) dx = −6 ∫
dx
Từ f ( x ) = 6 x f ( x ) −
3x +1
3x + 1
0
0
0
A. 2 .
B. 4 .
Đặt u = x 3 ⇒ du = 3 x 2 dx ; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1 .
1
Khi đó
1
∫ 3x f ( x ) dx = ∫
2
3
0
f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (*) , ta được:
0
1
∫
1
0
1
1
f ( x ) dx − 2 ∫ f ( x ) dx = −6 ∫
0
Ví dụ 2. Xét
0
hàm
số
0
f (x )
1
1
1
dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = 6 ∫
3x +1
0
0
liên
tục
[0;1]
trên
và
1
dx = 4 .
3x + 1
thỏa
mãn
điều
kiện
1
4 xf ( x 2 ) + 3 f ( x −1) = 1 − x 2 . Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng
0
A. I =
π
.
4
B. I =
π
.
6
C. I =
π
.
20
D. I =
π
16
Lời giải
1
1
1
0
0
Từ 4 x. f ( x ) + 3 f ( x −1) = 1− x ⇒ 2 ∫ 2 xf ( x ) dx + 3∫ f (1− x ) dx = ∫ 1 − x 2 dx (∗)
2
2
2
0
+) Đặt u = x ⇒ du = 2 xdx ; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1 .
2
Trang 1
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
1
Khi đó
1
∫ 2 xf ( x ) dx = ∫
2
0
1
f (u ) du = ∫ f ( x ) dx
0
(1)
0
+) Đặt t = 1 − x ⇒ dt = −dx ; Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 0 .
1
Khi đó
∫
1
1
f (1− x ) dx = ∫ f (t ) dt = ∫ f ( x ) dx
0
0
(2 )
0
Thay (1),(2) vào (∗) ta được:
1
1
1
1
2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ f ( x ) dx = ∫ 1 − x dx ⇔ ∫
2
0
0
0
0
1
1
π
f ( x )dx = ∫ 1− x 2 dx =
.
5 0
20
DẠNG 3. Điều kiện hàm ẩn A. f (u( x )) + B. f (v ( x )) = g ( x )
Phương pháp giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) và t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có
ẩn f ( x ) ) để suy ra hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v ( x ) ).
Các kết quả đặc biệt:
x − b
x − c
A. g
− B. g
a
−a
Cho A. f (ax + b ) + B. f (−ax + c ) = g ( x ) (với A 2 ≠ B 2 ) khi đó f ( x ) =
(*)
A2 − B 2
A. g ( x ) − B. g (−x )
+)Hệ quả 1 của (*): A. f ( x ) + B. f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) =
A2 − B 2
g (x )
+)Hệ quả 2 của (*): A. f ( x ) + B. f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) =
với g ( x ) là hàm số chẵn.
A+B
f (x )
1
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và f ( x ) + 2 f = 3 x . Tính I = ∫
dx .
x
x
1
2
2
3
A. I = .
2
1
B. I = 1 .
C. I = .
D. I = −1 .
2
Lời giải
1
1 3
1
1
3
Đặt, t = ⇒ x = khi đó điều kiện trở thành f + 2 f (t ) = ⇒ 2 f ( x ) + f = .
t
x x
x
t
t
1 6
1
Hay 4 f ( x ) + 2 f = , kết hợp với điều kiện f ( x ) + 2 f = 3 x . Suy ra :
x x
x
2
2
2
f (x ) 2
2
−2
f (x )
6
3
dx = ∫ 2 −1 dx =
− x 1 = .
3 f ( x ) = − 3x ⇒
= 2 −1 ⇒ I = ∫
x
x
x
x
x
x
2
1
1
2
2
2
Ví dụ 2. (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện
1
2 f ( x ) + 3 f (1− x ) = x 1− x . Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx .
0
4
A. I = − .
15
1
B. I = .
15
C. I =
4
.
75
D. I =
Lời giải
Cách 1: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 2)
Với 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1− x ta có A = 2; B = 3 .
1
Suy ra:
∫
0
1
f ( x ) dx =
Casio
4
1
x 1 − xdx = 0,05 (3) =
.
∫
2+3 0
75
Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3)
Trang 2
1
.
25
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng
Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Áp dụng kết quả của Dạng 3:
“Cho A. f (ax + b ) + B. f (−ax + c ) = g ( x ) (Với A 2 ≠ B 2 ) khi đó
x − b
x − c
A. g
− B. g
a
−a
f (x ) =
”.
A2 − B 2
Ta có: 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1− x = g ( x ) ⇒ f ( x ) =
=
2 g ( x )− 3 g (1− x )
22 − 32
2 x 1 − x − 3 (1 − x ) x
.
−5
Casio
2 x 1 − x − 3 (1 − x ) x
4
dx = 0,05 (3) = .
−5
75
0
0
Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
1
1
Suy ra: I = ∫ f ( x ) dx = ∫
1
1
1
Từ 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1 − x ⇒ 2 ∫ f ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ x 1 − x dx
0
0
0
4
= 0,2 (6) = (∗) Đặt u = 1 − x ⇒ du = −dx ; Với x = 0 ⇒ u = 1 và x = 1 ⇒ u = 0 .
15
Casio
1
Suy ra
∫
1
1
f (1 − x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (∗) , ta được:
0
0
2
0
2
5∫ f ( x ) dx =
0
4
4
⇔ ∫ f ( x ) dx =
.
15
75
0
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x . Tính
π
2
giá trị của I = ∫ f ( x ) dx .
−
A. I =
2
.
2019
π
2
B. I =
2
.
1009
C. I =
4
.
2019
D. I =
1
.
1009
Lời giải
Cách 1: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 2)
Với f (−x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x ta có A = 1; B = 2018
π
2
Suy ra I = ∫ f ( x ) dx =
−
π
2
π
2
Casio
4
1
2 x sin xdx =
∫
1 + 2018 π
2019
−
2
Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3)
g (x )
Áp dụng Hệ quả 2: A. f ( x ) + Bf (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) =
với g ( x ) là hàm số chẵn.
A+B
2 x sin x
Ta có f (−x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x ⇒ f ( x ) =
2019
π
2
I =∫
−
π
2
π
2
Casio
4
2
=
f ( x ) dx =
x
sin
x
d
x
∫
2019 π
2019
−
2
Trang 3
- Xem thêm -
.PDF 
46 
139 
131 
