w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
H
oc
ai
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
Tài liệu gồm 341 trang bao gồm các chủ đề sau:
Chủ đề 1. Lũy thừa
Chủ đề 2. Logarit
Chủ đề 3. Hàm số Lũy thừaMũLogarit
Chủ đề 4. Phương trìnhHệ phương trình MũLogarit
Chủ đề 5. Bất phương trình MũLogarit
Chủ đề 6. Các bài toán ứng dụng Lũy thừaMũLogarit
Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau:
1. Kiến thức cơ bản cần nắm
2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa)
3. Thủ thuật Casio giải nhanh
4. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)
01
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi
THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn.
Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số
lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để
những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về:
Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna.
Hoặc qua Gmail:
[email protected].
Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán tại Website:
https://toanhocplus.blogspot.com/
Xin chân thành cảm ơn!!!
w
w
w
Quảng Nam – 15.02.2018
30 Tết
Bùi Trần Duy Tuấn
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Lời nói đầu
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
MỤC LỤC
H
oc
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM ................................................................................................................. 7
01
CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA ................................................................................................. 7
I. LŨY THỪA...................................................................................................................................... 7
ai
II. CĂN BẬC N................................................................................................................................... 8
uO
nT
hi
D
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ LŨY THỪA ................................................................. 9
I. VIẾT LŨY THỪA VỚI DẠNG SỐ MŨ HỬU TỈ .......................................................................... 9
II. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ............................................................................................. 10
III. RÚT GỌN BIỂU THỨC ............................................................................................................. 12
IV. SO SÁNH CÁC SỐ..................................................................................................................... 14
ie
C. THỦ THUẬT CASIO ...................................................................................................................... 16
iL
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN.......................................................................................... 16
Ta
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................. 16
s/
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................. 21
up
I. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................... 21
ro
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................ 33
/g
CHỦ ĐỀ 2: LOGARIT ................................................................................................. 46
om
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.................................................................................................................... 46
.c
I. ĐỊNH NGHĨA ............................................................................................................................... 46
ok
II. CÁC TÍNH CHẤT ....................................................................................................................... 46
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LOGARIT ......................................................................................... 47
bo
I. TÍNH, RÚT GỌN GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC CHỨA LOGARIT ................................. 47
ce
II. BIỂU DIỄN MỘT LOGARIT THEO CÁC LOGARIT CHO TRƯỚC ...................................... 50
.fa
C. THỦ THUẬT CASIO ...................................................................................................................... 56
w
w
w
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN.......................................................................................... 56
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................. 56
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................. 61
I. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................... 61
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................ 70
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Mục lục
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA - MŨ – LOGARIT............................................. 82
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM ............................................................................................................... 82
II. HÀM SỐ MŨ ............................................................................................................................... 84
H
oc
III. HÀM SỐ LOGARIT ................................................................................................................... 85
01
I. HÀM LŨY THỪA ......................................................................................................................... 82
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ...................................................................................... 86
ai
I. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ ......................................................................................... 86
uO
nT
hi
D
II. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.............................................................................................. 88
III. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ............................................................................................ 93
IV. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................. 98
V. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ..................................................................................................... 103
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 110
ie
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 110
s/
Ta
iL
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .......................................................................................... 125
up
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT ......... 139
ro
A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ...................................... 139
/g
I. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ............................... 139
om
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ............................................. 141
III. PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ......................................... 146
.c
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT ............................................... 148
ok
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ..................................................................................... 153
bo
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT .................................................................................. 160
I. PHƯƠNG PHÁP THẾ ................................................................................................................ 160
ce
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ..................................................................... 161
.fa
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................................................ 163
w
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ..................................................................................................... 165
w
w
C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT ............................................... 167
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SHIFT SOLVE ............................................................................ 167
II. PHƯƠNG PHÁP CALC ........................................................................................................... 172
III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7 ................................................................................... 178
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ........................................................................................................... 181
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Mục lục
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 181
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................................................................... 181
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI........................................................................................... 194
H
oc
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................................................................... 194
01
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................................................ 187
uO
nT
hi
D
ai
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................................................ 206
CHỦ ĐỀ 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT.......................................... 224
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT ....................................... 224
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BPT MŨ............................................. 224
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHO BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT226
ie
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT......... 227
iL
IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ...... 229
Ta
V. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG
s/
TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ............................................................................................................ 231
up
VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ........................................................................... 232
B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOAGRIT ................................. 236
ro
I. PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN ............................................................... 236
/g
II. PHƯƠNG PHÁP 2 : CALC THEO CHIỀU NGHỊCH ............................................................ 241
om
BÀI TẬP KẾT HỢP 2 PHƯƠNG PHÁP THUẬN VÀ NGHỊCH ........................................... 243
.c
III. PHƯƠNG PHÁP 3: LẬP BẢNG GIÁ TRỊ MODE 7 .............................................................. 247
ok
IV. PHƯƠNG PHÁP 4 : LƯỢC ĐỒ CON RẮN .......................................................................... 250
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 254
bo
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 254
ce
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................. 254
.fa
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ....................................................................................... 259
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................. 267
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .............................................................................................. 281
w
w
w
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI........................................................................................... 267
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Mục lục
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
CHỦ ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ MŨ – LOGARIT .. 298
A. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT ............... 298
I. LÃI ĐƠN ..................................................................................................................................... 299
H
oc
1. Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ.................................. 300
01
MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN NGÂN HÀNG .................................... 298
2. Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n ............................ 301
ai
3. Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. tìm lãi suất...................................... 301
uO
nT
hi
D
4. Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ, tìm vốn ban đầu ....................... 302
II. LÃI KÉP ...................................................................................................................................... 303
1. Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ.................................. 303
2. Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n ............................ 305
3. Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm lãi suất..................................... 307
ie
4. Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm vốn ban đầu ...................... 307
iL
III. BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐN ............................................................................... 309
Ta
1. Một số dạng toán thường gặp ............................................................................................... 309
s/
2. Tổng kết phần III .................................................................................................................... 313
up
IV. BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC TĂNG TRƯỞNG MŨ - ỨNG DỤNG
TRONG LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG XÃ HỘI ................................................................................... 314
ro
1. Bài toán lãi kép liên tục. ......................................................................................................... 314
/g
2. Bài toán về dân số. .................................................................................................................. 314
om
V. ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC KHOA HỌC KỸ THUẬT .............................................. 317
.c
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .......................................................................................................... 317
ok
2. CÁC BẢI TOÁN THỰC TẾ ................................................................................................... 318
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 325
bo
I. ĐỀ BÀI ......................................................................................................................................... 325
w
w
w
.fa
ce
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ......................................................................... 333
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Mục lục
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
Chủ đề 1
01
LŨY THỪA
H
oc
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. LŨY THỪA
ai
1. Lũy thừa
uO
nT
hi
D
a. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của
an a
.a
......
a ( n thừa số)
n thừa số a
n
Ta gọi a là cơ số, n là số mũ của lũy thừa an .
Với a 0 , n 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số an xác định
ie
1
.
an
iL
bởi: a0 1; a n
Ta
Chú ý : 0 0 và 0 n không có nghĩa.
b. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
m
s/
m
; trong đó m , n , n 2. Khi đó: ar a n n am .
n
c. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
up
Cho a 0 và số hữu tỉ r
om
2. Một số tính chất của lũy thừa
x
x
/g
ro
Cho a 0, , (rn ) là dãy số hữu tỉ sao cho lim rn . Khi đó: a lim rn arn .
ok
a m an am n ;
.c
Với a 0, b 0 và m , n , ta có:
bo
( ab)m a m bm ;
ce
a n
1
an
n
*
am
a mn ;
an
( a m ) n a m .n ;
m
a
am
m;
b
b
a
b
m
m
b
a
m
a n n a m ( a 0, m , n * )
w
w
w
.fa
Với a 1 thì a m an m n ; Với 0 a 1 thì a m an m n .
Với mọi 0 a b , ta có: a m bm m 0 ;
a m bm m 0
Chú ý: Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
Lũy thừa với mũ số thực (của một số dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa
với số mũ nguyên.
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
II. CĂN BẬC N
1. Định nghĩa:
Cho số thực b và số nguyên dương n (n 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
01
an b .
Với n lẻ và a : Có duy nhất một căn bậc n của a , kí hiệu là
Không tồn tại căn bậc n của a .
a0:
Có một căn bậc n của a là số 0 .
a0:
Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị
n
a , căn có giá trị âm kí hiệu là n a .
2. Một số tính chất của căn bậc n
Với a , b ; n * , ta có:
a 2 n
a a ;
2 n 1
a 2 n1 aa .
ab 2 n1 a 2 n1 b a , b .
2n
ab 2 n
a 2 n
b , ab 0 ;
2 n 1
2n
a 2 n
a
, ab 0, b 0 ;
2
n
b
b
2 n 1
iL
ie
2n
ai
a0:
dương ký hiệu là
a.
uO
nT
hi
D
Với n chẵn
n
H
oc
Nhận xét:
2 n1
Ta
a
b
a
b
a , b 0 .
s/
2 n1
up
Với a , b , ta có:
m
n m
a nm a , a 0 , n , m nguyên dương.
Nếu
p q
thì
n m
n
a p m aq , a 0; m, n nguyên dương; p , q nguyên.
a m n a m
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
Đặc biệt:
n
/g
om
n
ro
a m n a , a 0 , n nguyên dương, m nguyên.
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ LŨY THỪA
I. VIẾT LŨY THỪA VỚI DẠNG SỐ MŨ HỬU TỈ
4
x2 3 x được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
01
Bài toán 1: Cho x là số thực dương. Biểu thức
hữu tỉ là:
A. x .
6
5
12
7
B. x .
C. x .
H
oc
5
6
7
12
D. x .
Lời giải:
7
3
4
x2 3 x x2 x x x
7
3
1
4
uO
nT
hi
D
4
1
3
4
ai
Chọn A.
7
x 12 .
5
Bài toán 2: Cho b là số thực dương. Biểu thức
3
b2 b
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
b b
hữu tỉ là:
C. 2.
Lời giải:
3
bb
1
2
b
3
b
5
2
3
2
b
b
5
2
3
2
1
5
1
3
1
b2
b
1
2
s/
b b
b2 b
5
1
/g
ro
3
b2 b
1
2
up
5
5
D. 1.
Ta
Chọn D.
ie
B. – 1.
iL
A. – 2.
om
Bài toán 3: Cho x là số thực dương. Biểu thức
x x x x x x x x
được viết dưới dạng
lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
w
w
.c
C. x
.
D. x
.
128
127
.
Lời giải:
1
3
x x x x x x x x x x x x x x x x2
x x x x x x x2
.fa
Cách 1:
w
B. x
127
128
bo
ce
Chọn B.
.
255
256
ok
A. x
256
255
x x x x x x x
3
2
1
2
15
x x x x x8
63
7
7
x x x x x x 4 x x x x x x8
15
31
31
63
x x x x x 16 x x x x 16 x x xx 32 x x x 32
127
127
255
255
255
x x x 64 x x 64 x x 128 x x 128 x 128 x 256 .
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
2 8 1
Nhận xét:
x x x x x x x x x
255
28
x 256 .
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
1
01
x x 2 . Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Ta nhẩm
Bài toán 4: Cho hai số thực dương a và b . Biểu thức
a3b a
được viết dưới dạng lũy thừa
b a b
với số mũ hữu tỉ là:
31
30
a 30
B. .
b
7
30
A. x .
a 31
C. .
b
Lời giải:
5
II. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
3
up
Bài toán 1: Tính các biểu thức sau:
2
3
2
2
3
3
2
2
3 3
2
a) A 4 8 2 2
5
1
1
1
1
1
1
b) B 2 3 5 3 4 3 25 3 10 3
Lời giải:
om
/g
ro
a) A 4 2 8 3
5
5
aa6
a 6
a 6 a 6
5 5
bb
b
b
b
Ta
5
1
1
a 3 a2
b b
iL
1
1
a 3 a a 2
b b b
s/
5
a3b a
b a b
1
a 6
D. .
b
ie
Chọn D.
uO
nT
hi
D
ai
5
H
oc
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.
2 3 2 2 12 .
bo
ok
.c
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
b) B 2 5 4 25 10 2 5 2 2
5 5 2 5 7
ce
Bài toán 2: Giá trị của biểu thức P
2 3.2 1 53.54
103 : 102 0,1
B. 9 .
.fa
A. 9.
là:
0
C. 10 .
D. 10.
w
Lời giải:
w
w
Chọn C.
P
2 3.2 1 53.54
10 3 : 102 0,1
0
22 5
9
10 .
1
1
10 1
1
10
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
Bài toán 3: Chứng minh rằng
https://facebook.com/duytuan.qna
3 3
2 1
3
1 32 34
.
9
9
9
Lời giải:
x 1
1 x x2
3
.
9
3
H
oc
3
01
Đặt x 3 2 1 . Ta cần chứng minh đẳng thức
3
3
ai
9 x 1 x 2 x 1 , nhân vào hai vế x 1 0
3
uO
nT
hi
D
9 x 1 x 1 x 3 1 , sử dụng x 3 2
9 x 1 3 x 2 3 x 3 27 x 1 x 2 x 1 1
x 3 1 1 x 3 2 , đẳng thức này đúng. (Đpcm)
2016 x
2016 x 2016
. Tính giá trị biểu thức
ie
Bài toán 4: Cho f x
Ta
B. S = 2017
C. S = 1008
D. S =
2016
s/
A. S = 2016
iL
1
2
2016
S f
f
f
2017
2017
2017
up
Lời giải:
2016 x 2016
1
Suy ra S f
2017
2
f
2017
1
f
2017
2016
f
2017
2
f
2017
1009
f
1008 .
2017
.c
1008
f
2017
2016
f
2017
ok
2015
f
...
2017
f ( x) f (1 x) 1
/g
2016
om
Ta có: f (1 x)
ro
Chọn C.
4 3
1 3
.fa
ce
A
bo
Bài toán 5: Rút gọn biểu thức
w
w
w
Ta có
6 8
2 4
...
2k k 2 1
k 1 k 1
...
200 9999
99 101
Lời giải:
k 12 k 1 k 1 k 12 k 1 k 1
2k k 1
k 1 k 1
k 1 k 1
k 1 k 1
2
3
3
k 1 k 1 k 1 k 1 .
k 1 k 1
2
2
Áp dụng đẳng thức trên ta có
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
A
4 3
1 3
6 8
2 4
...
https://facebook.com/duytuan.qna
2k k 2 1
k 1 k 1
...
200 9999
99 101
3 3 1 1 4 4 2 2 5 5 3 3 6 6 4 4 ...100 100 98 98 101 101 99 99
2
1 1 2 2 100 100 101 101 999 101 101 2 2
.
2
2
H
oc
01
A. x .
2
1
y y
. Biểu thức rút gọn của P là:
1 2
x
x
B. 2x .
uO
nT
hi
D
1
1
Bài toán 1: Cho P x 2 y 2
C. x 1 .
D. x – 1 .
Lời giải:
Chọn A.
x y
x y
x
2
x y
2
x.
iL
Ta
P
x 2 xy y
x
ie
1
2
ai
III. RÚT GỌN BIỂU THỨC
s/
Bài toán 2: Hãy rút gọn biểu thức sau:
up
a0 ,5 2
a0 ,5 2 a0 ,5 1
(Với 0 a 1 )
.
a 2a0 ,5 1 a 1 a0 ,5
0 ,5
0 ,5
ro
Lời giải:
0 ,5
om
/g
a 2
a 2 a 1
.
0 ,5
a 2a 1 a 1 a0 ,5
0 ,5
a 2
a0 ,5 2
2
0,5
a0 ,5 1 a0 ,5 1
a 1
ok
.c
0 ,5
. a 1
a0 ,5
ce
bo
a0 ,5 2 a0 ,5 2 1
a a0 ,5 2 a a0 ,5 2 1
2
0 ,5
0 ,5
. 0,5
.
. 0 ,5
a 1
a 1
a
a 1 a 1 a
3
x x x
(Với x 0, x 1 )
4 x 3 1
4 x3 1
x
x
4
4
x 1
x 1
Lời giải:
w
w
w
.fa
Bài toán 3: Hãy rút gọn biểu thức sau
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
3
x x x
x x x
4 x3 1
4 x 2 4 x 1 x 4 x 2 4 x 1 x
4 x3 1
x
x
4
4
x 1
x 1
01
3
x3 .
H
oc
3
x x 1
x x x
4
4
x 1 1 x 1 x
3
23 12
. x y 2y
x y x y (Với x 0, y 0 , x y )
uO
nT
hi
D
1
1
1
21
2
2
2
x
y
x
y
1
1
1
1
yx 2 xy 2 xy 2 yx 2
Lời giải:
Cách 1: Làm trực tiếp
23 21
x y
x y x
2y
2y
x y
.
.
xy xy y x
x y x y x y
iL
ie
1
1
1
21
2
2
2
x
y
x
y
1
1
1
1
yx 2 xy 2 xy 2 yx 2
ai
Bài toán 4: Hãy rút gọn biểu thức sau
s/
Ta
xy x
2y
2
2.
.
xy xy xy
ro
32 21
1
1
2y
x y
2
2
.
,
đặt
x
a
,
y
b
xy xy
/g
1
1
1
12
2
2
2
x
y
x
y
A 1
1
1
1
yx 2 xy 2 xy 2 yx 2
up
Cách 2 : Dùng ẩn phụ
Ta có
a3 b
2b 2
.
2 2
2
2
a b a b
om
ab
ab
A 2 2 2
2
a.b a b a b ab
a2
2b 2
.
2
2 2
2
2
a b a b
ce
bo
a2 b2
2 2 2
a b
ok
.c
a b a b a2
2b 2
.
2 2
2
2
ba ab a b a b
1
1
1
1
1
w
1
P 2a 4 3b 4 2a 4 3b 4 4a 2 9b 2 có dạng là P xa yb . Tính x y ?
A. x y 97 .
B. x y 65 .
w
w
.fa
Bài toán 5: Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
C. x y 56 .
D. y x 97 .
Lời giải:
Chọn B.
Cách 1: Ta có: P 2a
1
4
3b 2a
1
4
1
4
3b
1
4
4a
1
2
9b
1
2
1 2
4
1 2
4
2a 3b 4a
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
2
1
9b 2
Trang 13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
1 2
2
1 2
2
4 a 9b 4 a 9b 4a 9b
1
2
1
2
1
2
1
2
16a 81b .
Do đó: x 16; y 81.
Cách 2: Cho a = 1, b= 1 bấm máy ra kết quả là A
01
Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B
H
oc
x y A
x 16
Giải hệ
y 81
2 x 3 y B
a b
4
4
a b
4 a 4 16ab
4
4
a b
có dạng P m 4 a n 4 b . Khi đó biểu thức liên hệ giữa
uO
nT
hi
D
P
ai
Bài toán 6: Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
m và n là:
A. 2 m n 3 .
B. m n 2 .
C. m n 0 .
Chọn A.
4 a 4 b 4 a 4 b
4
a4b
a4b
24 a 4 a 24 a 4 b
.
4
a4b
iL
4
2
24 a 4 a 4 b
4 a 4 b 24 a 4 b 4 a .
4
4
a b
s/
2
4 a 4 b
Ta
a b
4a 4 16ab
Cách 1: P 4
4
a4b
a4b
ie
Lời giải:
D. m 3n 1 .
up
Do đó m 1; n 1 .
ro
Cách 2: Cho a = 1, b= 1 bấm máy ra kết quả là A
Cho a = 2, b = 3 bấm máy ra kết quả là B
om
/g
m n A
x 1
Giải hệ
2m 3n B y 1
.c
IV. SO SÁNH CÁC SỐ
ok
Bài toán 1: So sánh các cặp số sau:
bo
a) 0,01
3
2
víi 10
víi 5 3
b) víi
4
4
2
6
d) 5300 víi 8 200
2
Lời giải:
.fa
ce
c) 52
2
w
w
w
a) Ta có hai số cùng số mũ n 2 0 nên cơ số càng lớn số càng nhỏ.
Suy ra 0,01
2
> 10
2
b) Ta có hai số cùng cơ số 0 a
2
4
1 nên số mũ càng lớn số càng nhỏ.
6
Suy ra > .
4 4
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
c) Ta có hai số cùng cơ số a 5 1 nên số mũ càng lớn số càng lớn.
Mà 2 3 12 3 2 18
Suy ra 52 3 >53 2 .
100
125100 8200 8 2
100
64100
H
oc
5300 = 53
01
d) Ta cần đưa hai số trên về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
Bài toán 2: So sánh hai số m, n hoặc tìm điều kiện với cơ số a ?
c)
m
5 1 5 1
n
d) a 1
2
3
n
a 1
Lời giải:
ai
a) 3,2 3, 2
3
3
b)
2
2
n
1
3
uO
nT
hi
D
m
m
a) Ta có hai số cùng cơ số a 3, 2 1 nên số mũ càng lớn số càng lớn.
Mà 3, 2 m 3, 2n m n .
n
iL
m
3
1 nên số mũ càng lớn số càng nhỏ.
2
ie
b) Ta có hai số cùng cơ số a
Ta
3
3
Mà
m n.
2
2
m
n
5 1 5 1 m n .
up
Mà
s/
c)Ta có hai số cùng cơ số a 5 1 1 nên số mũ càng lớn số càng lớn.
ro
d) Ta có hai số cùng cơ số a 1 .
om
/g
2
1
2
1
3
Mà và a 1
a 1 3 a 1 1 a 2 .
3
3
22
2
24
22
2
Lời giải:
ok
Ta có 2 2
.c
Bài toán 3: So sánh hai số 11 2 2 33 ... 10001000 và 2 2
16
22 22 .
ce
bo
210 1024 1000
16
Mà 6
216 64000 22 264000 .
2 64
.fa
Mặt khác 11 2 2 33 ... 10001000 1000.10001000 10001001 210
22
1001
210010 2 64000 .
2
w
w
w
Vậy 11 2 2 33 ... 10001000 22 .
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
C. THỦ THUẬT CASIO
I. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN
Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào A , B, C nếu các giá trị tính được lẻ
H
oc
Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác
B.
3
2
C.
1
2
uO
nT
hi
D
A. 2
5 3 x 3 x
có giá trị bằng?
1 3 x 3 x
5
D.
2
ai
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Cho 9 x 9 x 23 . Khi đó biểu thức P
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
ie
Từ phương trình điều kiện 9 x 9 x 23 ta có thể dò được nghiệm bằng chức năng SHIFT
up
s/
Ta
iL
SOLVE
9^Q)$+9^pQ)$p23qr1=
/g
ro
Lưu nghiệm này vào giá trị A : qJz
om
Để tính giá trị biểu thức P ta chỉ cần gắn giá trị x A sẽ được giá trị của P
bo
ok
.c
a5+3^Qz$+3^pQzR1p3^Q)$p3^p
Qz$$=
Vậy rõ ràng D là đáp số chính xác
ce
TỰ LUẬN
.fa
Đặt t 3 x 3 x t 2 9 x 9 x 2 25 t 5
w
Vì 3x 3 x 0 vậy t 0 hay 5
w
w
Với 3 x 3 x 5 . Thế vào P ta được P
01
Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến
55
5
1 5
2
Bình luận
Một bài toán hay thể hiện sức mạnh của Casio
Nếu trong một phương trình có cụm a x a x thì ta đặt ẩn phụ là cụm này, khi đó ta có thể biểu
diễn a 2 x a 2 x t 2 2 và a 3 x a 3 x t 3 3t
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
1
1
Bài toán 2: Cho K x 2 y 2
2
https://facebook.com/duytuan.qna
y y
1 2
x x
B. 2x
A. x
1
với x 0, y 0 . Biểu thức rút gọn của K là ?
C. x 1
D. x 1
01
Lời giải:
2
1
y y
x bằng 0 với mọi
1 2
x x
ai
1
1
Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì K x hay hiệu x 2 y 2
H
oc
PHƯƠNG PHÁP CASIO
uO
nT
hi
D
giá trị x; y thỏa mãn điều kiện x 0, y 0
Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
ie
(Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d(1p2s
aQnRQ)$$+aQnRQ)$)^p1pQ)
iL
Chọn 1 giá trị X 1.25 và Y 3 bất kì thỏa x 0, y 0 rồi dùng lệnh gán giá trị CALC
up
s/
Ta
r1.25=3=
om
/g
12^i9$Qz=
ro
Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị y 12 log 9 x
.c
Vậy ta khẳng định 90% đáp án A đúng
Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ như X 0.55, Y 1.12
ce
bo
ok
r0.55=1.12=
.fa
Kết quả vẫn ra là 0 , vậy ta chắc chắn A là đáp số chính xác
TỰ LUẬN
w
w
w
2
1
1
Rút gọn x 2 y 2
x y
2
1
2
2
1
2
y x
y y
y
x
Rút gọn 1 2
1
y x
x
x
x
x
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
2
Vậy K
x y
2
x
x
y x
Chúng ta cần nhớ nếu 1 khẳng định ( 1 hệ thức đúng ) thì nó sẽ đúng với mọi giá trị x , y thỏa
H
oc
mãn điều kiện đề bài . Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị X , Y 0 để thử và ưu tiên các giá trị này
hơi lẻ, tránh số tránh (có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt)
3 1
.a2
a
2 2
A. a 4
3
(với a 0 ) được kết quả :
2 2
C. a5
B. a
D. a 3
Lời giải:
PHƯƠNG PHÁP CASIO
Ta phải hiểu nếu đáp A đúng thì hiệu
a
3 1
.a2
3
2 2
a
a4 phải 0 với mọi giá trị của a
ie
2 2
ai
a
uO
nT
hi
D
Bài toán 3: Rút gọn biểu thức
iL
Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
ro
up
s/
Ta
aQ)^s3$+1$OQ)^2ps3R(Q)^s2$
p2$)^s2$+2$$pQ)^4
Chọn một giá trị a bất kỳ (ưu tiên A lẻ), ta chọn a 1.25 chả hạn rồi dùng lệnh tính giá trị
ok
.c
om
/g
CALC
r1.25=
bo
Vậy hiệu trên khác 0 hay đáp án A sai
Để kiểm tra đáp số B ta sửa hiệu trên thành
a
3 1
.a 2
a
ce
2 2
3
2 2
a
w
w
.fa
!ooo
w
01
Bình luận
Rồi lại tính giá trị của hiệu trên với a 1.25
r1.25=
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
https://facebook.com/duytuan.qna
Vẫn ra giá trị khác 0 vậy B sai.
Tương tự vậy ta sẽ thấy hiệu
a
3 1
.a 2
a
2 2
a 5 bằng 0
H
oc
01
2 2
3
Vậy đáp số C là đáp số chính xác
3
3 1 2 3
a
Tiếp tục rút gọn mẫu số a
2 2
2 2
a
2 2
2 2
a2 4 a2
a3
3 2
a a5
2
a
Bài toán 4: Rút gọn biểu thức
a
3 1
.a2
a
2 2
3
2 2
(với a 0 ) được kết quả :
ie
Vậy phân thức trở thành
A. a4
a3
uO
nT
hi
D
.a2
iL
3 1
C. a5
B. a
Ta
Ta rút gọn tử số a
ai
TỰ LUẬN
D. a3
s/
Lời giải:
1.25
3 1
.1.252
1.25
2 2
3
2 2
rồi lưu vào A
ro
up
Chọn a 0 ví dụ như a 1.25 chẳng hạn. Tính giá trị
.c
om
/g
a1.25^s3$+1$O1.25^2ps3R(1.25
^s2$p2$)^s2$+2=qJz
5
3125
1.25 a 5 Đáp số chính xác là C
1024
bo
ok
Ta thấy
Bài toán 5: Biến đổi
ce
20
21
x 5 4 x x 0 thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được :
B. x
21
12
.fa
A. x
3
C. x
20
5
Lời giải:
w
Chọn a 0 ví dụ như a 1.25 chẳng hạn. Tính giá trị
3
1.255 4 1.25 rồi lưu vào A
q^3$1.25^5$Oq^4$1.25=qJz
w
w
D. x
12
5
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
Đáp số chính xác là B
1
1
Bài toán 6: Cho K x 2 y 2
2
y y
1 2
x x
B. 2x
A. x
1
với x 0, y 0 . Biểu thức rút gọn của K là ?
C. x 1
01
a
21
12
D. x 1
H
oc
Ta thấy A 1.25
21
12
https://facebook.com/duytuan.qna
Lời giải:
Chọn x 1.125 và y 2.175 rồi tính giá trị biểu thức K
ie
9
1.125 x Đáp số chính xác là A
8
iL
Rõ ràng K
uO
nT
hi
D
ai
(1.125^0.5$p2.175^0.5$)dO(1
p2sa2.175R1.125$$+a2.175R1.
125$)^p1=
B.
3
2
C. 2
D.
s/
A. 1
Ta
Bài toán 7: Cho các số a 0, b 0, c 0 thỏa mãn 4 a 6 b 9 c . Tính giá trị biểu thức T
b b
a c
5
2
up
Lời giải:
Chọn a 2 Từ hệ thức ta có 4 6 6 4 2 0 . Dò nghiệm và lưu vào B
b
b
ro
2
om
/g
6^Q)$p4^2qr1=qJx
.c
Từ hệ thức ta lại có 9c 4 2 0 . Dò nghiệm và lưu vào C
ce
bo
ok
ga2+QxR40$)=
b b B B
2 Đáp số chính xác là C
a c 2 C
aQxR2$+aQxRQc=
w
w
w
.fa
Cuối cùng là tính T
Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 20
.PDF 
341 
385 
122 
