Tài liệu Chuyên đề khảo sát hàm số hay

TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức cơ bản: 1. Định lý: * f / ( x)  0x  D  f ( x) đồng biến trên D. * f / ( x)  0x  D  f ( x) nghịch biến trên D. 2. Định lý mở rộng: * f / ( x)  0x  D và f / ( x)  0 tại một số hữu hạn điểm  f (x) đồng biến trên D. * f / ( x)  0x  D và f / ( x)  0 tại một số hữu hạn điểm  f (x) nghịch biến trên D. 3. Chú ý: * f / ( x)  0 x  a; b  và f(x) liên tục trên a; b   f (x) đồng biến trên a; b  . * f / ( x)  0 x  a; b  và f(x) liên tục trên a; b  f (x) nghịch biến trên a; b . 4. Điều kiện không đổi dấu trên R: Cho f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) . a  0 * f ( x)  0x  R     0 a  0 * f ( x)  0x  R     0 a  0 * f ( x)  0x  R     0 a  0 * f ( x)  0x  R     0 II. Các dạng toán: 1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước: Phương pháp: * Tính y/ . * Cho y/ = 0. Có các cách sau Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y/ ) + Lập bảng biến thiên. + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y/ = 0 về dạng g(x) = h(m)) + Xét sự biến thiên của g(x). + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên ) + Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát. + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Ví dụ 1. Cho hàm số y  1 3 x   m  1 x 2   2m  1 x  6 3 a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;    c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  3;1 Giải: LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam a. Tập xác định: D = R. y /  x 2  2m  1x  2m  1 a  0 1  0  2    0 m  0 Hàm số đồng biến trên R  y /  0 x  R   / m  R m0  m  0 b. Tập xác định: D = R. y /  x 2  2m  1x  2m  1 x  1 y  0  x  2  m  1 x  2m  1  0    x  2m  1 * Trường hợp 1: 2m  1  1  m  0 . / 2 Ta có bảng biến thiên: x  y/ + 1  0 +  1 3 y  Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên 2;    . Do đó m = 0 thỏa mãn. * Trường hợp 2 : 2m  1  1  m  0 . Ta có bảng biến thiên: x  1 2m+1  y/ + 0 - 0 + y(1)  y  y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên 2;    1 ( thỏa đk m>0) 2 * Trường hợp 3 : 2m  1  1  m  0 .  2m  1  2  m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1 y/ + 0 1 - 0 y(2m+1) y   +  y(1) LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên 2;    Vậy hàm số đồng biến trên 2;    khi m = 0 hoặc m  1 2 c. Tập xác định: D = R. y /  x 2  2m  1x  2m  1 x  1 y /  0  x 2  2m  1x  2 m  1  0    x  2m  1 * Trường hợp 1: 2m  1  1  m  0 . Ta có bảng biến thiên: x  y/ + 1  0 +  1 3 y  Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên  3;1 Do đó m = 0 không thỏa mãn. * Trường hợp 2 : 2m  1  1  m  0 . Ta có bảng biến thiên: x  1 2m+1  y/ + 0 - 0 + y(1)  y  y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên  3;1 * Trường hợp 3 : 2m  1  1  m  0 . Ta có bảng biến thiên: x  2m+1 1 y/ + 0 - 0 y(2m+1) y   +  y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  3;1  2m  1  3  m  2 ( Thỏa mãn điều kiện m <0 ) Vậy m  2 hàm số nghịch biến trên  3;1 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 1 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  2 x 2  mx  10 a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 0;   c. Xác định m để hàm số đồng biến trên  ;1 d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Giải: a. Tập xác định: D = R. y /  x 2  4x  m Hàm số đồng biến trên R a  0 1  0    y /  0 x  R   / 4  m  0   0 m  R  m  4  m  4 b. * Tập xác định: D = R. y /  x 2  4x  m * Hàm số đồng biến trên 0;    y /  0 x  0;     x 2  4 x  m  0 x  0;     x 2  4 x  m x  0;    * Xét hàm số f ( x)  x 2  4 x trên 0;    Ta có f / ( x)  2 x  4 f / ( x)  0  x  2 (loại) Ta có bảng biến thiên: x 0 f/(x)  +  f(x) 0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  0 Vậy m  0 hàm số đồng biến trên 0;    . c. * Tập xác định: D = R. y /  x 2  4x  m * Hàm số đồng biến trên  ;1  y /  0 x   ;1  x 2  4 x  m  0 x   ;1  x 2  4 x  m x   ;1 * Xét hàm số f ( x)  x 2  4 x trên  ;1 Ta có f / ( x)  2 x  4 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam f / ( x)  0  x  2 ( nhận ) Ta có bảng biến thiên: x -2  f/(x) - 0 1 +  f(x) -4 5 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  4 d. * Tập xác định: D = R. y /  x 2  4x  m y /  0  x2  4 x  m  0 Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1  phương trình ý  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho x1  x 2  1 /  0   x1  x 2 2 4  m  0  m  4  2  2 2 1  x1  x2  2 x1 x 2  1  x1  x2   4 x1 x2  1  m  4 m  4 3     3m 2 4  2   4(m)  1 m   4 3 Vậy m   thỏa mãn điều kiện bài toán. 4 Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  mx 2  12 x  1 a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 1;  c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 1; 2 d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2. Giải: a. Tập xác định: D = R. y /  3x 2  2mx  12 Hàm số đồng biến trên R a  0 3  0  y /  0 x  R   /  2    0 m  36  0 m  R  6  m  6   6  m  6 b. Tập xác định: D = R. y /  3x 2  2mx  12 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam * Hàm số đồng biến trên 1;   y /  0 x  1;  3 x 2  2mx  12  0 x  1;   2m  3 x 2  12 x  1;  x 3x 2  12 trên 1;  x 3x 2  12 Ta có f / ( x)  x2  x  2 ( n) 3 x 2  12 f / ( x)  0  0 2 x  x  2 (l ) Xét hàm số f ( x)  Ta có bảng biến thiên: x 1 f/(x) 2 - 0  + 15  f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  6 Vậy m  6 thỏa mãn điều kiện bài toán. c. Tập xác định: D = R. y /  3x 2  2mx  12 * Hàm số nghịch biến trên 1;2   y /  0 x  1;2   3x 2  2mx  12  0 x  1;2  2m  3x 2  12 x  1;2 x 3x 2  12 trên 1; 2 x 3x 2  12 Ta có f / ( x)  x2 x  2 (l) 3 x 2  12 f / ( x)  0  0 2 x  x  2 (l ) Xét hàm số f ( x)  Bảng biến thiên: x 1 f/(x) 2 - 15 f(x) 12 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2 m  12  m  6 Vậy m  6 thỏa mãn điều kiện bài toán. d. * Tập xác định: D = R. y /  3 x 2  2mx  12 Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2  phương trình ý  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho x1  x 2  2 /  0 m 2  36  0 m   ;  6   6;        2 2 2 2  x1  x 2  2 x1 x2  4  x1  x 2  4  x1  x2   4 x1 x 2  4 m   ;  6   6;    m   ;  6   6;      2   2m   m  6  m    4 .4  4  m  6  3   Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán. Ví dụ 4. Cho hàm số y  mx  9 . xm a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;    . c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  ;  1 Giải: a. TXĐ: D  R \  m y/  m2  9  x  m 2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y /  0 x  m  m 2  9  0  m   3; 3 Vậy: m   3; 3 thỏa điều kiện bài toán. b. TXĐ: D  R \  m y/  m2  9  x  m 2 Hàm số đồng biến trên 2;     y /  0 x  2;    và x   m m 2  9  0 m   ;  3  3;    m   ;  3  3;       m3  m  2 m  2  m  2;    Vậy: m  3 thỏa điều kiện bài toán. c. TXĐ: D  R \  m y/  m2  9  x  m 2 Hàm số nghịch biến trên  ;  1  y /  0 x   ;  1 và x  m LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam m 2  9  0 m   3; 3 m   3; 3     3  m  1  m  1 m  1  m   ;  1 Vậy:  3  m  1 thỏa điều kiện bài toán. Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013) Cho hàm số y   x 3  3x 2  3mx  1 (1) , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +  ) Giải: Ta có y’ = -3x2 + 6x+3m Yêu cầu bài toán  y’  0, x   0;    3 x 2  6 x  3m  0 x  (0; )  m  x 2  2 x x  (0; ) Xét hàm số g ( x)  x 2  2 x với x > 0 Ta có g / ( x)  2 x  2 g / ( x)  0  x  1 Ta có bảng biến thiên: x 0 g/(x) 1 - 0  + 0  g(x) -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  1 Vậy m  1 hàm số nghịch biến trên (0; ) . BÀI TẬP TỰ LÀM 1. Cho hàm số y   x3  3x 2  mx  4 có đồ thị (C ) . Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    . ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009) 2. Cho hàm số y  2 x3  3(2m  1) x2  6m(m  1) x  1 có đồ thị (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;  . 3. (Dự bị 1 khối D 2003) Cho hàm số: y  LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số x2  5x  m 2  4 , (1) x3 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1. b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1;   . 2 .Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1. Chứng minh rằng:  a. sinx < x x   0;   2  b. x  tan x x   0;   2 c. x 4  2 x 2  0 x   1;1 Giải: a. Ta có: sinx < x  x  sin x  0  Xét f ( x)  x  sin x Với x  0;   2 x  Ta có f / ( x)  1  cos x  2 sin 2  0 x  0;  2  2 x x   f / ( x)  0  sin  0   k  x  k 2  x  0 ( Do x  0;  ) 2 2  2  Suy ra, f (x) đồng biến trên 0;   2  Do đó, x   0;   2 Ta có 0  x  f 0  f ( x)  0  x  sin x  sin x  x  Vậy: sinx < x x   0;   2 b. Ta có: x  tan x  x  tan x  0  Xét hàm số f ( x)  x  tan x trên 0;   2 1  Ta có f / ( x)  1  2   tan 2 x  0 x  0;  cos x  2   f / ( x)  0  tan x  0  x  k  x  0 ( Do x  0;  )  2  Suy ra, f (x) nghịch biến trên 0;   2  Do đó, x   0;   2 Ta có 0  x  f 0  f ( x)  0  x  tan x  x  tan x  Vậy x  tan x x   0;   2 4 2 c. x  2 x  0 x   1;1 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Xét hàm số f ( x)  x 4  2 x 2 với x   1;1 Ta có f / ( x)  4 x 3  4 x x  0 f ( x)  0  4 x  4 x  0  4 x x  1  0   x  1  x  1 /  3 Bảng biến thiên: x -1 f/(x) 2  0 1 + 0 0 f(x) -1 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x)  x 4  2 x 2  0 x   1;1 (đpcm) CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm: Cách 1. ( Thường dùng cho hàm đa thức )  y / ( x0 )  0 * f(x) đạt cực trị tại x = x0    y // ( x0 )  0  y / (x )  0 * f(x) đạt cực đại tại x = x0   // 0  y ( x0 )  0  y / (x )  0 * f(x) đạt cực tiểu tại x = x 0   // 0  y ( x0 )  0 Cách 2. ( Thường dùng cho hàm phân thức ) * Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x0 thì y / ( x0 )  0 . * Giải phương trình y / ( x0 )  0 tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số . * Lập bảng biến thiên và kết luận. 1 3 Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  m  1x 2  m 2  3m  2x  5 . a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0. b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Giải: LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam a. TXĐ: D = R y /  x 2  2m  1x  m 2  3m  2 y //  2 x  2m  1  y / (0)  0 Hàm số đạt cực trị tại x = 0   //   y (0)  0 m  1 m 2  3m  2  0   m  2  m  2   2m  1  0 m  1  Vậy Hàm số đạt cực trị tại x = 0 b. TXĐ: D = R y /  x 2  2m  1x  m 2  3m  2 y //  2 x  2m  1 Hàm số đạt cực đại tại x = 1  5 5  m  2    y / (1)  0  m 2  5m  5  0 5 5   //    5 5  m  2  y (1)  0  4  2m  0  m  2  m  2 c. TXĐ: D = R y /  x 2  2m  1x  m 2  3m  2 y //  2 x  2m  1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3  y / (3)  0 m 2  9m  17  0 m     //    m   y (3)  0 m  4 8  2m  0 Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. 1 3 1 2 1 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y   x 3  ax 2  bx  . Xác định a và b để hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. Giải: * TXĐ: D = R * y /   x 2  ax  b y //  2 x  a Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2   y / (1)  0  1  a  b  0  a  2  //   a  2   b  3     y (1)  0   2  a  0 b  3 1 a  2  y (1)  2    ab  2 2  a  2 Vậy  thỏa mãn điều kiện bài toán. b  3 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Ví dụ 3. Xác định m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  5 a. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 b. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2. Giải: a. TXĐ: D = R y /  4 x 3  4m 2 x y //  12 x 2  4m 2  y / (1)  0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1   //   y (1)  0  m  1  4  4m 2  0     m  1  2 12  4 m  0  m   3 ; 3   m  1  m  1 b. TXĐ: D = R y /  4 x 3  4m 2 x y //  12 x 2  4m 2 Hàm số đạt cực đại tại x = - 2  y / (2)  0   //   y (2)  0 m  2  32  8m 2  0   m  2 m2  2 48  4 m  0  m   ;  2 3  2 3 :    Ví dụ 4. Xác định m để hàm số y     x 2  2mx  5 đạt cực tiểu tại x = 3. x 1 Giải: TXĐ: D  R \  1 y/  x 2  2 x  2m  5 x  12 * Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì y / (3)  0 10  2m 0m5 16 * Với m  5 ta có x 2  2 x  15 y/  x  12 x  3 y/  0    x  5  x y/ -5  + 0 3 - 0 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số  + 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam CĐ  y  CT Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu. Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Ví dụ 5. Xác định m để hàm số y  x 2  2x  m đạt cực đại tại x  2 . x 2  2x  2 Giải: TXĐ: D = R * y/   4 x 2  4 x  2mx  2m x 2  2x  2  2 * Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì y / ( 2 )  0    4 2  8  21 2 m 4  2 2  2  0  m  2 2 * Với m  2 2 ta có y /    2  2x  2  4x2  4  4 2 x  4 2 x  2 x  2 y/  0   x  1 Bảng biến thiên: x 1  y/ - 0  2 + 1 0 - CĐ y CT 1 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  2 . Vậy m  2 2 thỏa mãn điều kiện bài toán. 2. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước: 1 3 Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  2m  1x 2  1  4m x  1 a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. b. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x 1 , x2 sao cho x1  x 2  4 . c. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1  x2  4 . d. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x1 2  x 2 2  2. e. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung. LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Giải: a. TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4m y /  0  x 2  22 m  1x  1  4m  0 (*) Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  /  4m 2  0  m 2  0  m  0 Vậy m  0 hàm số có cực đại và cực tiểu. b. TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4m y /  0  x 2  22 m  1x  1  4m  0 (*) * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt   /  4m 2  0  m 2  0  m  0 * Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x 2  x  x  22m  1 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2  x1 .x 2  1  4m Theo đề ta có x1  x 2  4  x1 2  x2 2  2 x1 x 2  16  x1  x 2 2  4 x1 x2  16  m  1 ( n) 2  22m  1  4.1  4 m   16  16m2  16    m  1 ( n) Vậy m = 1; m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán. c. TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4m y /  0  x 2  22 m  1x  1  4m  0 (*) * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  /  4m 2  0  m 2  0  m  0 * Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x 2  x  x  22m  1 (1) (2 ) Ta có x1 , x 2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2  x1 .x 2  1  4m Theo đề ta có 3x1  x2  4 (3) 4  2 x  22 m  1 1 Từ (3)  x 2  4  3x1 thay vào (1) và (2) ta được  x  4  3 x1   1  4 m  1  x1  3  2m (3)  2 4 x1  3 x1  1  4m (4) Thay x1  3  2m vào (4) ta được 43  2m   33  2m 2  1  4m 2  m  (n)   12m  32m  16  0  3   m  2 (n ) 2 2 3 Vậy m  ; m  2 thỏa TĐKBT. LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam d. TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4m y /  0  x 2  22 m  1x  1  4m  0 (*) * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  /  4m 2  0  m 2  0  m  0 * Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị x1 , x 2  x  x  22m  1 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2  x1 .x 2  1  4m Theo đề ta có x1 2  x 2 2  2  x1  x 2 2  2 x1 x2  2  22m  12  21  4m   2  16m 2  8m  0  0  m  Vậy 0  m  1 2 1 thỏa TĐKBT. 2 e. TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4 m y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*) * Hàm số có hai điểm cực trị  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  /  4m 2  0  m 2  0  m  0 * Với m  0 hàm số có hai điểm cực trị . Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số.  x1  x 2  22m  1  x1 .x 2  1  4m Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung  x1 .x2  0  1  4m  0  m  1 4 Kết hợp với điều kiện m  0 ta được m  0; m  Vậy m  0; m  1 4 1 thỏa TĐKBT. 4 Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2 a. Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. b. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. c. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều. d. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1. Giải: a. TXĐ: D = R y /  4 x 3  4mx LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam y /  0  4 x 3  4 mx  0 (*)  x  0 (1)  4x x 2  m  0   2  x  m (2) Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  0 m  0  2  m0 m  0 0  m   Vậy m > 0 thỏa mãn TĐKBT. b. TXĐ: D = R y /  4 x 3  4mx y /  0  4 x 3  4 mx  0 (*)  x  0 (1)  4x x 2  m  0   2  x  m (2) * Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  0 m  0  2  m0 m  0 0  m   * Với m  0 , ta có (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị A( 0; 2), B ( m ; 2  m 2 ) , C ( m ; 2  m 2 ) . Ta có AB  m 4  m ; AC  m 4  m  AB  AC nên tam giác ABC cân tại A. Do đó tam giác ABC vuông cân  ABC vuông tại A  AB . AC  0 (**) Có AB   m ;  m 2  ; AC   m ;  m 2   m  0 (l )  m  1 ( n) Vậy (**)   m . m  (m 2 ).(m 2 )  0   m  m 4  0   Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. c. TXĐ: D = R y /  4 x 3  4mx y /  0  4 x 3  4 mx  0 (*)  x  0 (1)  4x x 2  m  0   2  x  m (2) * Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  0 m  0  2  m0 m  0 0  m   * Với m  0 , ta có (2) (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị A( 0; 2), B ( m ; 2  m 2 ) , C ( m ; 2  m 2 ) . Tam giác ABC đều  m 4  m  m 4  m  AB  AC  AB  AC  BC     m 4  m  4m 4  AC  BC  m  m  4m LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam m  0 (l )  m 4  3m  0  m m 3  3   3  m  3 ( n) Vậy m  3 3 thỏa mãn ĐKBT.   d. TXĐ: D = R y /  4 x 3  4mx y /  0  4 x 3  4 mx  0 (*)  x  0 (1)  4x x 2  m  0   2  x  m (2) * Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  0 m  0  2  m0 m  0 0  m   * Với m  0 , ta có (2) (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị A( 0; 2), B ( m ; 2  m 2 ) , C ( m ; 2  m 2 ) . . BC  4m . BC  2 m ; 0   2 m . 1; 0   vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là n  0;1 Nên BC có phương trình: y  m 2  2  0 d( A; BC)= m 2  m 2 1 2 Ta có, S ABC  .BC. d ( A; BC )  1  1 . 4m .m 2  1  m 5  1  m  1 ( n ) 2 Vậy m = 1 thỏa ĐKBT. Ví dụ 3. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. Giải: TXĐ: D = R y’ = –3x2 + 6x + 3(m 2 - 1), y' = 0  x2 - 2x - (m2 - 1) = 0  x = 1 - m hoặc x = 1 +m Do đó (1) có cực đại và cực tiểu /  phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt  1 - m  1 + m  m  0 Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) 3 3  A(1 + m; 2(m - 1)); B(1 - m; -2(m +1)) 1 1 Ta coù : OA2 = OB2  x12  y12  x22  y22  4m  16m3  m2  (vìm  0)  m   4 2 Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 2  m  1x  m 2  4m  2 x 1 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam a. Xác định m để hàm số có cực trị. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Giải: a. TXĐ: x 2  2 x  m 2  3m  3 x  12  x  1 (1) y/  0   2 2  x  2 x  m  3m  3  0 ( 2) Hàm số có cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 /  0  m 2  3m  2  0 2  2 1 m  2 1  2.1  m 2  3m  3  0 m  3m  2  0 y/  b. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y /  0 x  1  x 2  2 x  m 2  3m  3  0 x  1 1  0  x 2  2 x  m 2  3m  3  0 x  R   /  m 2  3m  2  0  m   ;1  2;      0 Ví dụ 5. Cho hàm số y  x 2  mx  1 xm Chứng minh rằng với mọi m để hàm số có cực trị. Giải: TXĐ: D  R \  m y/  x 2  2mx  m 2  1 x  m 2  x  m (1) y/  0   2 2  x  2mx  m  1  0 ( 2) Hàm số có cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt /  0 1  0    m R   m 2  2m.(m)  m 2  1  0  1  0 Vậy với mọi m hàm số luôn có cực trị. Ví dụ 6. Cho hàm số y  x 4  2( m  1 )x 2  m . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Khối B NĂM 2011) Giải: y’ = 4x3 – 4(m + 1)x  x  0 (1) y’ = 0   2  x  m  1 (2) Hàm số có 3 cực trị  phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam  phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  1  0  m > -1  2 0  m  1 Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0; m), B ( m  1 ; -m 2 – m – 1), C (- m  1 ; -m2 – m – 1) Ta có: OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m = 2  2 2 (thỏa m > -1) 1 3 Ví dụ 7. Cho hàm số y  x 3  ( m  2 )x 2  ( 5m  4 )x  3m  1 . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 1, x2 sao cho x1 < 2 < x2 . Giải: * TXĐ: D = R. * y /  x 2  2( m  2 )x  5m  4 y /  0  x 2  2( m  2 )x  5m  4  0 (*) * Hàm số có hai cực trị  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt   /  ( m  2 )2  ( 5m  4 )  m2  9m  0  m  0 hoặc m  9 (1) * Khi m  0 hoặc m  9 , hàm số đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 < 2 < x 2  ( x1  2)( x2  2)  0  x1 x2  2 x1  2 x2  4  0  x1 x2  2( x1  x2 )  4  0  5m  4  2.(2)(m  2)  4  0  9m  0  m  0 (2) Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0. Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán. BÀI TẬP TỰ LÀM 1. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x 2  2 . 2. Cho hàm số y  (m  1) x 4  (m  2) x 2  3m . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. 3. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·AOB  1200 . 4. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m2  m . Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200. 5. Cho hàm số y  x 4  2(m2  m  1) x 2  m  1 . Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 3. Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm số: A. Kiến thức cơ bản: a/ Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d . Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y/ ta được: y  y / . Ax  B   Cx  D Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó, y1 = Cx + D và y2 = Cx + D Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D. b/ Cho hàm số y  ax 2  bx  c . dx  e Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó, y1  2 x1  b 2x  b và y 2  2 . d d Suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y  2x  b d c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó, * Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành  y1 . y 2  0 * Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành  y1 . y 2  0 B. Các ví dụ: Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  mx 2  7 x  3 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu đó. Giải: TXĐ: D = R y /  3x 2  2mx  7 y /  0  3 x 2  2mx  7  0 (*) *Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m   21  /  m 2  21  0   m  21 m   21 *Với  hàm số có hai điểm cực trị m  21 Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được: 1   14 2m 2 1 y  y / . x  m     9  3 9 3  7  x  3  m 9  Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  14 2m 2  9 3 Ta có: y1    7  x1  3  m 9  LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2