Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
SӢ GIÁO DӨC & ĈÀO TҤO ĈӖNG NAI
Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong
Giáo viên thӵc hiӋn
NGUYӈN TҨT THU
Năm hӑc: 2008 – 2009
-1-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
MӨC LӨC
MӨC LӨC.................................................................................................................................... 1
LӠI MӢ ĈҪU.............................................................................................................................. 3
I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG
DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT. ............................................................ 4
II. SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ........... 24
III. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI
TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP............................................................................................... 30
BÀI TҰP ÁP DӨNG ................................................................................................................. 41
KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ...................................................................................................... 45
TÀI LIӊU THAM KHҦO ........................................................................................................ 46
-2-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
LӠI MӢ ĈҪU
Trong chѭѫng trình toán hӑc THPT các bài toán liên quan ÿӃn dãy sӕ là mӝt phҫn
quan trӑng cӫa ÿҥi sӕ và giҧi tích lӟp 11 , hӑc sinh thѭӡng gһp nhiӅu khó khăn khi giҧi
các bài toán liên qua ÿӃn dãy sӕ và ÿһc biӋt là bài toán xác ÿӏnh công thӭc sӕ hҥng tәng
quát cӫa dãy sӕ . Hѫn nӳa ӣ mӝt sӕ lӟp bài toán khi ÿã xác ÿӏnh ÿѭӧc công thӭc tәng
quát cӫa dãy sӕ thì nӝi dung cӫa bài toán gҫn nhѭ ÿѭӧc giҧi quyӃt. Do ÿó xác ÿӏnh công
thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ chiӃm mӝt vӏ trí nhҩt ÿӏnh trong các bài toán dãy sӕ.
Chuyên ÿӅ “M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ”
nhҵm chia sҿ vӟi các bҥn ÿӗng nghiӋp mӝt sӕ kinh nghiӋm giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ
cӫa dãy sӕ mà bҧn thân ÿúc rút ÿѭӧc trong quá trình hӑc tұp và giҧng dҥy.
Nӝi dung cӫa chuyên ÿӅ ÿѭӧc chia làm ba mөc :
I: S͵ dͭng CSC – CSN ÿ͋ xây dng ph˱˯ng pháp tìm CTTQ cͯa m͡t s͙ d̩ng dãy s͙
có d̩ng công thͱc truy h͛i ÿ̿c bi͏t.
II: S͵ dͭng ph˱˯ng pháp th͇ l˱ͫng giác ÿ͋ xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙
III: Ͱng dͭng cͯa bài toán xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ vào gi̫i m͡t s͙ bài toán v͉
dãy s͙ - t͝ hͫp .
Mӝt sӕ kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ này ÿã có ӣ mӝt sӕ sách tham khҧo vӅ dãy sӕ, tuy
nhiên trong chuyên ÿӅ các kӃt quҧ ÿó ÿѭӧc xây dӵng mӝt cách tӵ nhiên hѫn và ÿѭӧc sҳp
xӃp tӯ ÿѫn giҧn ÿӃn phӭc tҥp giúp các em hӑc sinh nҳm bҳt kiӃn thӭc dӉ dàng hѫn và
phát triӇn tѭ duy cho các em hӑc sinh.
Trong quá trình viӃt chuyên ÿӅ, chúng tôi nhұn ÿѭӧc sӵ ÿӝng viên, giúp ÿӥ nhiӋt
thành cӫa BGH và quý thҫy cô tә Toán Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong. Chúng tôi
xin ÿѭӧc bày tӓ lòng biӃt ѫn sâu sҳc.
Vì năng lӵc và thӡi gian có nhiӅu hҥn chӃ nên ӣ chuyên ÿӅ sӁ có nhӳng thiӃu sót. Rҩt
mong quý Thҫy – Cô và các bҥn ÿӗng nghiӋp thông cҧm và góp ý ÿӇ chuyên ÿӅ ÿѭӧc tӕt
hѫn.
-3-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH
CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ
I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ
DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT.
Trong mөc này chúng tôi xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy
sӕ có công thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt. Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên
các kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp. Trѭӟc hӃt
chúng ta nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC .
1. Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng và cҩp sӕ nhân
1.1: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng
Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN = UN − + D ∀N ≥ , D là sӕ thӵc không ÿәi
gӑi là cҩp sӕ cӝng .
D : gӑi là công sai cӫa CSC; U : gӑi sӕ hҥng ÿҫu, UN gӑi là sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ
Ĉ͓nh lí 1: Cho CSC UN . Ta có : UN = U + N − D
(1).
Ĉ͓nh lí 2: Gӑi 3N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSC UN có công sai d. Ta có:
N
;U + N − D =
(2).
1. 2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân
Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN + = QUN ÅÅÅ∀N ∈ `
gӑi là cҩp sӕ nhân công
bӝi Q .
3N =
N −
Ĉ͓nh lí 3: Cho CSN UN có công bӝi Q . Ta có: UN = UQ
(3).
Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSN UN có công bӝi Q . Ta có:
QN
3N = U
Q
(4).
-4-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
2. Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt
Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
U = ÅUN = UN − − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥ .
Giҧi:
Ta thҩy dãy UN là mӝt CSC có công sai D = − . Áp dөng kӃt quҧ (1) ta có:
UN = − N − = −N + .
Ví dͭ 1.2: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
U = ÅUN = UN − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥ .
Giҧi:
Ta thҩy dãy UN là mӝt CSN có công bӝi Q = . Ta có: UN = N − .
Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
U = − ÅÅUN = UN − − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥ .
Giҧi:
Trong bài toán này chúng ta gһp khó khăn vì dãy UN không phҧi là CSC hay CSN! Ta
thҩy dãy UN không phҧi là CSN vì xuҩt hiӋn hҵng sӕ − ӣ VT. Ta tìm cách làm mҩt
− ÿi và chuyӇn dãy sӕ vӅ CSN.
Ta có: − = − + nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:
UN − = UN − − = UN − − (1).
Ĉһt VN = UN − V = − và VN = VN − ÅÅ∀N ≥ . Dãy VN là CSN công bӝi Q =
VN = VQ N − = − N − . Vұy UN = VN + = − N +
∀N = .
Nh̵n xét: Mүu chӕt ӣ cách làm trên là ta phân tích − = − + ÿӇ chuyӇn công thӭc
truy hӗi cӫa dãy vӅ (1), tӯ ÿó ta ÿһt dãy phө ÿӇ chuyӇn vӅ dãy VN là mӝt CSN. Tuy
nhiên viӋc làm trên có vҿ không tӵ nhiên lҳm! Làm thӃ nào ta biӃt phân tích
− = − + ? Ta có thӇ làm nhѭ sau:
-5-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Ta phân tích − = K − K K =
.
°U = X
.
Vӟi cách làm này ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy UN ®
=
+
∀
≥
U
AU
B
N
ÅÅÅ
°̄ N
N −
Thұt vұy:
* NӃu A = thì dãy UN là CSC có công sai D = B nên UN = U + N − B .
AB
B
. Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ
−
A − A −
B
B
B
B
sau: UN +
= AUN − +
, tӯ ÿây ta có ÿѭӧc: UN +
= U +
A N −
A −
A −
A −
A −
A N − −
Hay UN = UA N − + B
.
A −
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
* NӃu A ≠ , ta viӃt B =
Dҥng 1: Dãy sӕ UN U = X ÅUN = AUN − + B Å∀N ≥ (A B ≠ là các hҵng sӕ) có
CTTQ là:
U + N − B ÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅA =
°
UN = ®
ÅÅÅ .
A N − −
N −
+B
ÅÅKHIÅA ≠
°UA
¯
A −
Ví dͭ 1.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh : U = ÅUN = UN − + N − .
Giҧi: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ ta tìm cách làm mҩt N − ÿӇ chuyӇn vӅ dãy sӕ là mӝt
CSN. Muӕn làm vұy ta viӃt :
N − = −N − + ª¬N − + º¼ (2).
Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ sau:
UN + N + = ª¬UN + N − + º¼ .
Ĉһt VN = UN + N + , ta có: V = và VN = VN − Å∀N ≥ VN = VN − = N −
Vұy CTTQ cӫa dãy UN UN = VN − N − = N − N − ÅÅ∀N = .
Chú ý : 1) ĈӇ phân tích ÿѭӧc ÿҷng thӭc (2), ta làm nhѭ sau:
-6-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
°A − B =
°A = −
⇔®
N − = AN + B − ª¬AN − + B º¼ . Cho N = N = ta có: ®
.
−
B
=
B
=
−
°¯
¯°
°U
2) Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy UN ®
, trong ÿó F N
U
AU
F
N
N
ÅÅ
=
+
∀
≥
°̄ N
N −
( )
là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N , ta xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau:
Phân tích F N = GN − AGN − (3) vӟi GN cNJng là mӝt ÿa thӭc theo N . Khi ÿó ta
có: UN − GN = A ª¬UN − − GN − º¼ = = A N − ª¬U − G º¼
Vұy ta có: UN = ª¬U − G º¼ A N − + G N .
Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ nào ?
Ta thҩy :
*NӃu A = thì GN − AGN − là mӝt ÿa thӭc có bұc nhӓ hѫn bұc cӫa GN mӝt bұc và
không phө thuӝc vào hӋ sӕ tӵ do cӫa GN , mà F N là ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta
chӑn GN là ÿa thӭc bұc K + , có hӋ sӕ tӵ do bҵng không và khi ÿó ÿӇ xác ÿӏnh GN
thì trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N bҩt kì ta ÿѭӧc hӋ K + phѭѫng trình,
giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc các hӋ sӕ cӫa GN .
* NӃu A ≠ thì GN − AGN − là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi GN nên ta chӑn GN là
ÿa thӭc bұc K và trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K + giá trӏ cӫa N thì ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc
GN .
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
°U = X
, trong
Dҥng 2: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: ®
°̄UN = AUN − + F N
ÿó F N là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N ; A là hҵng sӕ. Ta làm nhѭ sau:
Ta phân tích: F N = GN − AGN − vӟi GN là mӝt ÿa thӭc theo N . Khi ÿó, ta ÿһt
VN = UN − GN ta có ÿѭӧc: UN = ª¬U − G º¼ A N − + GN .
Lѭu ý nӃu A = , ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K + có hӋ sӕ tӵ do bҵng không, còn nӃu
A ≠ ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K .
°U =
Ví dͭ 1.5: Cho dãy sӕ UN ®
. Tìm CTTQ cӫa dãy UN .
=
+
+
U
U
N
°̄ N
N −
Giҧi: Ta phân tích N + = GN − GN − = A ªN − N − º + B ª¬N − N − º¼
¬
¼
-7-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
( trong ÿó GN = AN + BN ).
° −A + B =
Cho N = N = ta có hӋ: ®
⇔
A
B
+
=
¯°
°A =
GN = N + N .
®
B
=
¯°
UN = N + N − .
°U =
.Tìm CTTQ cӫa dãy UN .
Ví dͭ 1.6: Cho dãy sӕ UN ®
N
U
U
ÅÅÅ
N
=
+
=
°̄ N
N −
Giҧi: Ta vүn bҳt chѭӟc cách làm trong các ví dө trên, ta phân tích:
N = AN − AN − . Cho N = , ta có: A = − N = −N + N −
Nên ta có: UN + N = UN − + N − = = N −U +
Vұy UN = N − − N + .
Chú ý : Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy UN UN = AUN − + Bα N , ta phân tích
(
α N = K α N − AK α N − vӟi A ≠ α .
)
(
Khi ÿó: UN − KBα N = A UN − − KBα N − = = A N − U − BK
)
Suy ra UN = A N −U − BK + BK α N .
Trѭӡng hӧp α = A , ta phân tích α N = Nα N − α N − α N −
(
)
UN − BNα N = α UN − − BN − α N − = = α N −U − Bα
UN = BN − α N + Uα N − . Vұy ta có kӃt quҧ sau.
°U
Dҥng 3: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ®
, ta làm nhѭ
N
=
+
∀
≥
α
Å
U
A
U
B
N
°̄ N
N −
sau:
•Å NӃu A = α UN = BN − α N + Uα N − .
•Å NӃu A ≠ α , ta phân tích α N = K α N − AK α N − . Khi ÿó: UN = A N −U − BK + BK α N
Ta tìm ÿѭӧc: K =
α
α −A
.
-8-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
°U = −
Ví dͭ 1.7: Tìm CTTQ cӫa dãy UN ®
.
N
N
=
+
−
+
=
U
U
ÅÅ
N
Å
°̄ N
N −
°°K = −
®
°L =
°̄
Hѫn nӳa = − + nên công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt lҥi nhѭ sau:
°N = K N − K N −
Giҧi: Ta có: ® N
cho N = , ta ÿѭӧc:
N
N −
=
−
L
L
°̄
(
)
UN + N + N + = UN − + N − + N − + = = N −U + + +
Vұy UN = N − − N + − N + − .
°U =
.
Ví dͭ 1.8: Tìm CTTQ cӫa dãy UN ®
N
U
U
N
ÅÅ
N
=
+
−
∀
≥
°̄ N
N −
°N = N − N −
Giҧi: Ta phân tích: ®
nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy
ª
º
=
−
−
+
−
+
N
N
N
°¯
¬
¼
nhѭ sau: UN − N − N − = ªUN − − N − − N − − º = = N −U −
¬
¼
Vұy UN = −N − + N + + N + .
°U = P
, trong
Dҥng 4: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ®
N
α
ÅÅ
U
A
U
B
F
N
N
=
+
+
∀
≥
°̄ N
N −
ÿó F N là ÿa thӭc theo N bұc K , ta phân tích α N và F N nhѭ cách phân tích ӣ dҥng 2
và dҥng 3.
Ví dͭ 1.9: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN U = − U = ÅUN = UN − − UN − Å∀N ≥
Giҧi: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ trên, ta thay thӃ dãy UN bҵng mӝt dãy sӕ khác là
mӝt CSN. Ta viӃt lҥi công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:
-9-
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
°X + X =
UN − XUN − = X UN − − XUN − , do ÿó ta phҧi chӑn X X ®
hay X X là
=
X
X
°̄
nghiӋm phѭѫng trình : X − X + = ⇔ X = X = . Ta chӑn X = X = . Khi ÿó:
UN − UN − = UN − − UN − = = N −U − U = N −
UN = UN − + N − . Sӱ dөng kӃt quҧ dҥng 3, ta tìm ÿѭӧc: UN = N − N .
Chú ý : Tѭѫng tӵ vӟi cách làm trên ta xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
°U ÅU
, trong ÿó A B là các sӕ thӵc cho trѭӟc và A − B ≥
®
°̄UN − AUN − + BUN − ÅÅ∀N ≥
nhѭ sau:
Gӑi X X là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : X − AX + B = ÅÅÅ ( phѭѫng trình này
ÿѭӧc gӑi là phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa dãy).
Khi ÿó: UN − XUN − = X UN − − XUN − = = X N −U − XU .
Sӱ dөng kӃt quҧ cӫa dҥng 3, ta có các trѭӡng hӧp sau:
X U − U N U − X U N
X +
X . Hay UN = K XN + L X N , trong ÿó
•Å NӃu X ≠ X thì UN =
X − X
Y −X
°K + L = U
K L là nghiӋm cӫa hӋ: ®
.
X
K
+
X
L
=
U
°̄
ªU A
º
AU
•Å NӃu X = X = α thì UN = α N − « + U − N » , hay UN = KN + L α N − , trong
«¬
»¼
°L = α U
ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ: ®
.
+
=
K
L
U
°̄
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
°U ÅU
, trong
Dҥng 5: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN : ®
U
A
U
B
U
ÅÅ
N
−
+
=
∀
≥
N −
N −
°̄ N
ÿó A B C là các sӕ thӵc khác không; A − B ≥ ta làm nhѭ sau:
Gӑi X X là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng: X − AX + B = .
- 10 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
°K + L = U
•Å NӃu X ≠ X thì UN = K XN + L X N , trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ : ®
.
+
=
X
K
X
L
U
°̄
°L = α U
•Å NӃu X = X = α thì UN = KN + L α N − , trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ: ®
.
+
=
K
L
U
°̄
°U = U =
Ví dͭ 1.10: Cho dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi : ®
.
=
+
∀
≥
U
U
U
N
ÅÅ
°̄ N +
N
N −
( )
Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN .
Giҧi:
Phѭѫng trình X − X − = có hai nghiӋm X = + ÅX = − .
°K + L =
UN = K XN + L X N . Vì U = U = nên ta có hӋ: ®
°̄ + K + − L =
⇔K =L =
.
Vұy UN =
ª
+ N + − N º .
¬
¼
°U = U =
Ví dͭ 1.11: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy: UN ®
.
°̄UN − UN − + UN − = Å∀N =
Giҧi:
Phѭѫng trình ÿһc trѭng X − X + = có nghiӋm kép X = nên UN = KN + L N −
°L =
⇔ K = L = .
Vì U = U = nên ta có hӋ: ®
°̄K + L =
Vұy UN = N + N − .
°U = − U =
. Xác ÿӏnh
Ví dͭ 1.12: Cho dãy UN ®
°̄UN − UN − + UN − = N + N + ÅÅÅ∀N ≥
CTTQ cӫa dãy UN .
Giҧi:
Vӟi cách làm tѭѫng tӵ nhѭ Ví dͭ 1.4, ta phân tích: N + N + =
- 11 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
= KN + LN + T − ªK N − + L N − + T º + ªK N − + L N − + T º (5)
¬
¼
¬
¼
K − L + T =
K =
°
°
Ӣ (5) cho N = N = N = ta có hӋ: ®K − L + T = ⇔ ®L = .
° −K − L + T =
°T =
¯
¯
Ĉһt VN = UN − N − N − V = − V = − và VN − VN − + VN − =
°α + β = −
°α =
⇔®
VN = α N + β N . Ta có hӋ: ®
°¯α + β = −
°¯ β = −
VN = N − N UN = N − N + N + N + .
°U U
Chú ý : ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ: UN ®
,
°̄UN + + AUN + BUN − = F N ÅÅ∀N ≥
( trong ÿó F N là ÿa thӭc bұc K theo N và A − B ≥ ) ta làm nhѭ sau:
•Å Ta phân tích F N = GN + AGN − + BGN − (6) rӗi ta ÿһt VN = UN − GN
°V = U − G V = U − G
Ta có ÿѭӧc dãy sӕ VN ®
. Ĉây là dãy sӕ mà ta ÿã xét
V
AV
BV
Å
N
+
+
=
∀
≥
N −
N −
°̄ N
trong dҥng 5. Do ÿó ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa VN UN .
•Å Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ nào ÿӇ có (6) ?
Vì F N là ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn GN sao cho GN + AGN − + BGN − là
mӝt ÿa thӭc bұc K theo N . Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K + giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁ
xác ÿӏnh ÿѭӧc GN .
Giҧ sӱ GN = AM N M + AM −N M − + + AN + A AM ≠ ) là ÿa thӭc bұc M . Khi ÿó hӋ
sӕ cӫa X M và X M − trong VP là: AM + A + B và ª¬ −A + B MAM + + A + B AM − º¼ .
Do ÿó :
I NӃu PT: X + AX + B = (1) có nghiӋm hai nghiӋm phân biӋt khác thì
+ A + B ≠ nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M .
II NӃu PT (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó có mӝt nghiӋm X = + A + B =
và −A + B MAM + + A + B AM − = −A + B MAM ≠ nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc
M − .
III NӃu PT (1) có nghiӋm kép X = A = −B = nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc
M − .
Vұy ÿӇ chӑn GN ta cҫn chú ý nhѭ sau:
- 12 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, thì GN là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N
NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, trong ÿó mӝt nghiӋm bҵng thì ta chӑn
GN = NHN trong ÿó HN là ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N .
NӃu (1) có nghiӋm kép X = thì ta chӑn G N = N H N trong ÿó HN là ÿa thӭc
cùng bұc vӟi F N .
°U U
,
Dҥng 6: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy UN ®
U
A
U
B
U
F
N
ÅÅ
N
+
+
=
∀
≥
°̄ N
N −
N −
( trong ÿó F N là ÿa thӭc theo N bұc K và B − AC ≥ ) ta làm nhѭ sau:
Xét GN là mӝt ÿa thӭc bұc K : GN = AK N K + + AK + A .
•Å NӃu phѭѫng trình : X + AX + B = Å có hai nghiӋm phân biӋt, ta phân tích
F N = GN + AGN − + BGN − rӗi ÿһt VN = UN − GN .
•Å NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó mӝt nghiӋm X = , ta phân tích
F N = NGN + AN − GN − + BN − GN − rӗi ÿһt VN = UN − NGN .
•Å NӃu (1) có nghiӋm kép X = , ta phân tích
F N = N GN + AN − GN − + BN − GN − rӗi ÿһt VN = UN − N GN .
°U = U =
Ví dͭ 1.13: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ®
.
°̄UN − UN − + UN − = N + Å∀N ≥
Giҧi:
Vì phѭѫng trình X − X + = có hai nghiӋm X = X = nên ta phân tích
N + = NKN + L − N − ª¬K N − + L º¼ + N − ª¬K N − + L º¼ , cho N = N = ta
°K − L =
có hӋ: ®
⇔ K = −L = − .
°̄K − L =
Ĉһt VN = UN + NN + V = V = và VN − VN − + VN − =
°α + β =
VN = α N + β N vӟi α β ®
⇔ α = β = −
α
β
+
=
°̄
VN = N − UN = N + − N − N − ÅÅ∀N = .
- 13 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
°U = − U =
Ví dͭ 1.14: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ®
.
N
U
U
U
ÅÅ
N
−
+
=
∀
≥
°̄ N
N −
N −
Giҧi: Ta phân tích N = AN − AN − + AN − .
Cho N = ta có: = A − A + A ⇔ A = −
Ĉһt VN = UN + N V = V = và VN − VN − + VN − =
Vì phѭѫng trình X − X + = có hai nghiӋm X = X = nên VN = α N + β N
°α + β =
Vӟi α β ®
⇔ α = β = VN = N + .
°̄α + β =
Vұy UN = N + − N + + ÅÅ∀N = .
Chú ý : Vӟi ý tѭӣng cách giҧi trên, ta tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:
°U U
(vӟi A − B ≥ ) nhѭ sau:
®
N
°̄UN + AUN − + BUN − = Cα ÅÅ∀N ≥
Ta phân tích α N = Kα N + AK α N − + BK α N − (7).
Cho N = thì (7) trӣ thành: K α + Aα + B = α
Tӯ ÿây, ta tìm ÿѭӧc K =
α
α + Aα + B
khi α không là nghiӋm cӫa phѭѫng trình :
X + AX + B = (8).
°V = U − KC V = U − KCα
Khi ÿó, ta ÿһt VN = UN − KCα N , ta có dãy VN ®
°̄VN + AVN − + BVN − = ÅÅ∀N ≥
VN = PX N + QX N ÅÅX X là hai nghiӋm cӫa (8)).
UN = PX N + QX N + KCα N .
Vұy nӃu X = α là mӝt nghiӋm cӫa (8), tӭc là: α + Aα + B = thì ta sӁ xӱ lí thӃ nào ?
Nhìn lҥi cách giҧi ӣ dҥng 3, ta phân tích :
α N = KNα N + AK N − α N − + BK N − α N −
(9).
Cho N = ta có: α K α + A = α ⇔ K α + A = α ⇔ K =
A
α
ÅÅα ≠ − .
α + A
có nghiӋm K ⇔ α là nghiӋm ÿѫn cӫa phѭѫng trình (8).
Khi ÿó: UN = PXN + QX N + KCNα N .
- 14 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
A
là nghiӋm kép cӫa (8). Vӟi tѭ tѭӣng nhѭ trên,
ta sӁ phân tích: α N = KN α N + AK N − α N − + BK N − α N − (10).
Cuӕi cùng ta xét trѭӡng hӧp X = α = −
Cho N = ta có: ⇔ α = K α + AK α K =
α
= .
α + A
Khi ÿó: UN = PX N + QX N + CN α N .
Vұy ta có kӃt quҧ sau:
°U U
Dҥng 7: Cho dãy sӕ UN xác ÿӏnh bӣi: ®
.
N
°̄UN + AUN − + BUN − = Cα Å∀N ≥
ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ta làm nhѭ sau:
Xét phѭѫng trình : X + AX + B = Å
•Å NӃu phѭѫng trình (11) có hai nghiӋm phân biӋt khác α thì
UN =
PXN
+ QX N
α
N
+ KCα vӟi K =
•Å NӃu phѭѫng trình (11) có nghiӋm ÿѫn X = α thì
α + Aα + B
UN = PX N + QX N + KCNα N vӟi K =
.
α
.
α + A
•Å NӃu X = α là nghiӋm kép cӫa (11) thì : UN = P + QN + CN α N .
°U = − U =
Ví dͭ 1.15: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ®
.
N
U
U
U
Å
N
−
+
=
∀
≥
°̄ N
N −
N −
Giҧi:
Phѭѫng trình X − X + = có hai nghiӋm X = X = , do ÿó
UN = PN + QN + KNN .
- 15 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
α
=
= −
°K =
α
+
−
A
°
⇔ K = − P = − Q = .
Vӟi ® P + Q = −
°P + Q + K =
°
¯
Vұy UN = −N + N − NN = N − N +N + ∀N = .
°U = U =
Ví dͭ 1.16: Tìm CTTQ cӫa dãy UN ®
N .
U
U
U
−
+
=
°̄ N
N −
N −
Giҧi:
Phѭѫng trình X − X + = có nghiӋm kép X = nên UN = P + QN +
N
N
° P =
⇔ P = Q = − .
Dӵa vào U U ta có hӋ: ®
P
+
Q
=
°̄
Vұy UN = N − N + N − Å∀N = .
Vӟi cách xây dӵng tѭѫng tӵ ta cNJng có ÿѭӧc các kӃt quҧ sau:
°U U U
.ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ
Dҥng 8: Cho dãy (un ) : ®
U
AU
BU
CU
Å
N
+
+
+
=
∀
≥
N −
N −
N −
°̄ N
cӫa dãy ta xét phѭѫng trình: X + AX + BX + C = (12) .
•Å NӃu (12) có ba nghiӋm phân biӋt X X X UN = α XN + β X N + γ X N . Dӵa vào
U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ .
•Å NӃu (12) có mӝt nghiӋm ÿѫn, 1 nghiӋm kép:
X = X ≠ X UN = α + β N XN + γ X N
Dӵa vào U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ .
•Å NӃu (12) có nghiӋm bӝi 3 X = X = X UN = α + β N + γ N XN .
Dӵa vào U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ .
°U = U = U =
Ví dͭ 1.17: Tìm CTTQ cӫa dãy UN ®
°̄UN = UN − − UN − + UN − ÅÅ∀N ≥
- 16 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Giҧi : Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng : X − X + X − =
Phѭѫng trình có 3 nghiӋm thӵc: X = X = ÅX =
Vұy AN = α + β N + γ N
Cho N = ÅN = ÅN = và giҧi hӋ phѭѫng trình tҥo thành, ta ÿѭӧc
α=−
Vұy an = −
Åβ = Åγ =
1 3
1
+ ( n − 1) + .5n −1 .
16 4
16
°U = ÅÅUN = UN − + VN −
Å∀N ≥ .
Ví dͭ 1.18: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN VN ®
V
ÅÅÅ
V
U
V
=
=
+
°̄
N
N −
N −
Giҧi:
Ta có: UN = UN − + UN − + VN − = UN − + UN − + UN − − UN −
UN = UN − − UN − và U =
+ N +
− + N +
VN = UN + − UN =
.
Tѭѫng tӵ ta có kӃt quҧ sau:
Tӯ ÿây, ta có: UN =
°X = PX N − + QYN − ÅÅÅX
Dҥng 9: Cho dãy X N YN ® N
. ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy
=
+
Y
RY
SX
ÅÅÅ
Y
°̄ N
N −
N −
XN YN ta làm nhѭ sau:
Ta biӃn ÿәi ÿѭӧc: X N − P + S X N − + PS − QR X N − = tӯ ÿây ta xác ÿӏnh ÿѭӧc X N ,
thay vào hӋ ÿã cho ta có ÿѭӧc YN .
Chú ý : Ta có thӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ trên theo cách sau:
Q − λR
YN −
°°X N − λYN = P − λS X N − −
λ
S
P
−
Ta ÿѭa vào các tham sӕ phө λ , λ ' ®
Q + λ R
°X + λ Y = P + λ S X
+
Y
N
N
N −
P + λ S N −
¯°
- 17 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Q − λR
°°λ =
λS − P °X N − λYN = P − λS X N − − λYN −
Ta chӑn λ , λ ' sao cho ®
®
°¯X N + λ YN = P + λ S X N − + λ YN −
°λ = Q + λ R
°¯
λ S + P
°X − λY = P − λS N −X − λY
N
N
giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc ( xn ) , ( yn ) .
®
N −
°̄X N + λ YN = P + λ S X + λ Y
U =
°
UN −
Ví dͭ 1.19: Tìm CTTQ cӫa dãy UN ®
.
U
ÅÅ
N
=
∀
≥
° N U
+
¯
N −
Giҧi: Ta có
U
+
. Ĉһt X N =
, ta có:
= N −
= +
UN −
UN
UN
UN −
X =
N − −
°
X
=
U
=
.
®
N
N
N −
X
X
=
+
−
° N
N −
¯
U =
°
−UN − −
Ví dͭ 1.20: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ®
.
ÅÅ∀N ≥
°UN = U
+
¯
N −
Giҧi: Bài toán này không còn ÿѫn giҧi nhѭ bài toán trên vì ӣ trên tӱ sӕ còn hӋ sӕ tӵ do,
do ÿó ta tìm cách làm mҩt hӋ sӕ tӵ do ӣ trên tӱ sӕ. Muӕn vұy ta ÿѭa vào dãy phө bҵng
cách ÿһt UN = XN + T . Thay vào công thӭc truy hӗi, ta có:
XN + T =
−X N − − T −
X N − + T +
XN =
− − T XN − − T − T −
X N − + T +
Ta chӑn T T + T + = T = − X =
XN =
N − −
=+
=
XN =
+
XN
X N −
XN
N − −
X N −
XN −
UN = X N − =
−N − +
N −
−
.
- 18 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
Dҥng 10: Cho dãy ( UN ): U = α ÅUN =
PUN − + Q
RUN − + S
ÅÅ∀N ≥ . ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy (xn)
ta làm nhѭ sau:
Ĉһt UN = X N + T , thay vào công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta có:
XN =
PX N − + PT + Q
RUN − + RT + S
−T =
P − RT X N − − RT + P − S T + Q
RX N − + RT + S
(13).
Ta chӑn T RT + S − P T − Q = . Khi ÿó ta chuyӇn (13) vӅ dҥng:
Tӯ ÿây ta tìm ÿѭӧc
=A
+B
XN
X N −
, suy ra UN .
XN
°U =
Ví dͭ 1.21: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy sӕ UN VN ®
và
°̄V =
°U = U + V
N
N −
N − ÅÅ∀N ≥ .
®
°̄VN = UN −VN −
Giҧi:
°UN = UN − + VN −
°UN + VN = UN − + VN −
®
Ta có: ®
=
V
U
V
°¯
°¯UN − VN = UN − − VN −
N
N − N −
N −
N −
= +
°UN + VN = U + V
®
N −
N −
°UN − VN = U − V
= −
¯
ª
N −
N − º
=
+
+
−
U
°° N
»¼
«¬
®
.
N −
N − º
ª
°VN =
− −
« +
»¼
°̄
¬
- 19 -
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙
°U = U + V
UN UN − + VN −
N
N
−
N
−
=
Nhұn xét: Tӯ ®
V
U
V
=
UN −VN −
V
°̄ N
N − N −
N
UN
Do vұy nӃu ta ÿһt X N =
VN
§ UN − ·
¨¨
¸¸ +
V
= © N − ¹
§U
·
¨ N − ¸
¨V
¸
© N − ¹
X =
°
ta ÿѭӧc dãy sӕ XN ®
X N − + . Ta có bài toán sau:
°X N =
X N −
¯
X =
°
.
Ví dͭ 1.22: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ XN ®
X N − +
=
∀
≥
X
ÅÅ
N
° N
X N −
¯
Giҧi:
°U = °U = U + V
N −
N − ÅÅ∀N ≥ .
và ® N
Xét hai dãy UN VN ®
=
V
°̄
°̄VN = UN −VN −
Ta chӭng minh X N =
•Å N = X =
•Å Giҧ sӱ X N − =
U
V
UN
VN
(14).
= N = (14) ÿúng.
UN −
VN −
XN =
X N − +
X N −
=
UN − + VN −
UN −VN −
=
UN
VN
ÿѭӧc chӭng
minh
N −
Theo kӃt quҧ bài toán trên, ta có: X N =
+
N −
+
N −
+ −
N −
.
− −
Dҥng 11:
Å Tӯ hai ví dө trên ta có ÿѭӧc cách tìm CTTQ cӫa hai dãy sӕ UN VN ÿѭӧc xác ÿӏnh
°U = U + AV ÅÅU = α
N −
N −
bӣi: ® N
(trong ÿó A là sӕ thӵc dѭѫng) nhѭ sau:
=
=
β
V
V
U
ÅÅÅÅÅÅÅ
V
°̄ N
N − N −
- 20 -
- Xem thêm -
.PDF 
46 
377 
72 
