https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Trang 148
GV : Vũ Văn Thiện
CHUYÊN ĐỀ:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Trong các chuyên đề luyện thi đại học, giải hệ phương trình là một trong những câu khó đối với phần lớn
học sinh. Đối với hệ phương trình đối xứng loại I, loại II, hệ đẳng cấp thì chúng ta đã biết phương pháp giải, nhưng
còn đối với hệ phương trình không mẫu mực thì sao?. Để giải được nó không phải là dễ dàng, có rất nhiều phương
pháp khác nhau, sau đây chúng tôi xin được đưa ra một vài phương pháp được đúc kết sau đây.
---------------------------------------------Bài 1.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH SỐ
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1.
2
2
x y 2 x 1 (1)
2
2
2 x y xy 6 y (2)
3 1
Gợi ý: (1) ( x y 1)( x y 1) 0 . ĐS: x; y 2;1 , 1; 2 , 1; 2 , ;
2 2
Bài 2.
2 y 2 xy x 2 0
(1)
2
2
x xy y 3x 7 y 3 0 (2)
Gợi ý: (1) y x 2 y x 0 .
13 157
13 157
ĐS: x; y 1; 1 , 3; 3 , 13 157;
, 13 157;
2
2
Bài 3.
x 2 6 xy 5 y 2 =0 (1)
81 3 81
3
(1)
(
x
y
)(
x
5
y
)
0
Gợi
ý:
.
ĐS:
x
;
y
3;3
,
5
3
2
135 ; 135
x +2xy =81 (2)
Bài 4.
2
2
y (1 x ) x(1 y ) (1)
2
2
x 3 y 1 (2)
1 1 1 1
Gợi ý: 1 ( x y )(1 xy ) 0 . ĐS : x; y ; , ;
2 2 2 2
Bài 5.
x 2 xy 2 y 2 y 2 2 x (1)
8 1
Gợi ý: (1) ( x y )( x 2 y 2) 0 . ĐS: x; y 1;1 , 2;0 , ;
(2)
3 3
y x y 1 x 2
Bài 6.
xy x y x 2 2 y 2
(1)
(ĐH - D 2008)
x 2 y y x 1 2 x 2 y (2)
Gợi ý: Tương tự câu trên, (1) x y 2 y 1 x 0 . ĐS: x; y 5; 2
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Bài 7.
Trang 149
GV : Vũ Văn Thiện
2 x 2 y 2 3 xy 3x 2 y 1 0
(1)
(ĐH-B 2013)
2
2
4 x y x 4 2 x y + x 4 y (2)
Gợi ý: Tương tự câu trên, (1) ( y x 1)( y 2 x 1) 0 . ĐS: x; y 1; 2 , 0;1
Bài 8.
2 xy
2
2
x y x y 1 (1)
(Đề 192/254 bộ đề)
x y x2 y
(2)
2 xy
Gợi ý: (1) ( x y 1) x y 1
0 ĐS: x; y 1;0 , 2;3
x y
Bài 9.
xy x 2 0 (1)
(ĐH - D 2012)
3
2
2
2
2 x x y x y 2 xy y 0 (2)
1 5
1 5
Gợi ý: (2) (2 x y 1) x 2 y 0 . ĐS: x; y 1;1 ,
; 5 ,
; 5
2
2
5 x 2 y 4 xy 2 3 y 3 2( x y ) 0 (1)
Bài 10.
(ĐH - A 2011)
2
2
2
xy ( x y ) 2 ( x y ) (2)
2 2 2 2 2
2
;
;
Gợi ý: (2) ( x 2 y 2 2) xy 1 0 . ĐS: x; y 1;1 , 1; 1 ,
,
5
5
5
5
y 2 2 x 2 xy x 2 y 1 0 (1)
Bài 11. 2
2
x y 7 y 0 (2)
Gợi ý: Từ (1) không dể để phân tích thành nhân tử, ta xem (1) là phương trình bậc 2 theo biến y.
Tính và từ đó phân tích nhân tử sẽ dễ hơn. (1) ( y 2 x 1)( y x 1) 0 .
9 41 13 2 41 9 41 13 2 41
3 1
;
;
ĐS: x; y
,
, 3; 2 , ;
5
5
2 2
5
5
6 x 2 3xy x y 1 (1)
Bài 12. 2
2
x y 1 (2)
Gợi ý: Ta xem (1) là phương trình bậc hai theo biến x, tính ta được: (1) (3x 1)(2 x y 1) 0
3 4 1 2 2 1 2 2
ĐS: 1;0 , ; , ;
, ;
4 5 3 3 3 3
4
2
2 2
3
2
2
x y x y y x y x
Bài 13.
3
23
3
10 x 5 x 12 y 11 2 x 7 x 7 y 2 x 7
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
(1)
(2)
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 150
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
Gợi ý: (1) x 4 x 2 y 2 y 1 y 2 y 3 0 có y 2 y 1
2
2 10 x3 12 x2 5x 1 2 x2 3 7 x3 7 x2 2 x . Xét VT y 10 x3 12x2 5x 1 là hàm nghịch
biến. và y f x 7 x3 7 x 2 2 x là hàm đồng biến và f 0 0 . Ta nhẩm được nghiệm x
1
.
2
1 5
ĐS: ;
2 4
---------------------------------------------Bài 2.
PHƯƠNG PHÁP : CHIA 2 VẾ PHƯƠNG TRÌNH CHO MỘT BIỂU THỨC
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1.
x x y 1 3 0
5
2
x y x 2 1 0
1
2
(Đề 174/159-ĐH-D 2009)
u x y
Gợi ý: Chia 2 vế (1) cho x , đặt
.
1
v x
3
ĐS: x; y 1; 1 , 2;
2
Bài 2.
xy x 1 7 y
2 2
2
x y xy 1 13 y
1
2
1 x
x y y 7
Gợi ý:
. Đặt
x 2 1 x 13
y2 y
1
u x y
.
v x
y
1
ĐS: x; y 1; , 3;1
3
Bài 3.
3x y 2 3 9 x 2 y 2 10 3 x y 2 0 1
1
6
2
3 x y
3x y
Gợi ý: Chia hai vế của (1) cho 3 x y
2
1 2 3 11 3 3 11 3 11 3 3 11
;
,
;
ĐS: x; y 1; 2 , ; ,
2
4
4
5 5 12
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 151
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Bài 4.
GV : Vũ Văn Thiện
x 2 1 y ( x y ) 4 y (1)
2
( x 1)( x y 2) y (2)
x2 1
u
Gợi ý: chia 2 vế của (1) và (2) cho y rồi đặt
y
v x y 2
ĐS: x; y 1; 2 , 2;5
Bài 5.
2
2
x y xy 1 4 y
2
2
y( x y) 2 x 7 y 2
(Đề 203-254 bộ đề)
x2 1
u
Gợi ý: Chia 2 vế mỗi phương trình cho y sau đó đặt ẩn phụ
y . ĐS: x; y 1; 2 , 2;5
v x y
Bài 6.
5 x 3 y 4 x 3 27 1
*
3
xy
4
x
15
2
3
3
5 y 4
x . Đặt
Gợi ý: *
y3 4 5 3
x
3
a
x hệ trở thành
b y
1 17 1 17
a3 5b 4
a b a 2 a 1 0 a b a 1 a 2 a 4 0 a 1;
;
3
2
2
b 5a 4
6
1 17
6
1 17
;
;
ĐS: x; y 3;1 ,
,
2
2
1 17
1 17
Bài 7.
y xy 2 6 x 2 (1)
2 2
2
1 x y =5 x (2)
Gợi ý:
1
2 1
x 2 y y . x 6
Cách 1:
. Cách 2 :
1 y2 5
x 2
1
x2
x
6
y
y2
2
1 x2 5 x
y 2
y2
1
ĐS: x; y 1; 2 , ;1
2
Bài 8.
x 2 y 2 2 x 2 y (1)
2
2
xy 2 x 1 (2)
Gợi ý:
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 152
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
1
2
y 2 y x 2
Cách 1:
. Cách 2 :
y2. 1 2 1
x
x2
GV : Vũ Văn Thiện
2
x2 1
x
2
y2 y
2
x 2 x 1
y2 y2
Lưu ý cách (2) không giải được vì dẫn đến pt : 2b4
4b3
b2
b 1
0.
1 5 5 1 5 1 1 5
ĐS: x; y 1; 1 ,
;
,
,
2
2 2
2
Bài 9.
1
2
(1)
2 x x y 2
(Đề 191/254 bộ đề)
y y 2 x 2 y 2 2 (2)
Gợi ý: Chia hai vế của (2) cho y 2 . Sau đó từ (1) rút
1
thế xuống (2).
y
3 1 2 3 1 2
ĐS: x; y 1;1 , 1; 1 ,
;
;
,
2
3 1 2
3 1
y 2 xy x 2 2 x 2 0
Bài 10.
2
2
x( y x) 3 y 2 x 6
y2 2
u
Gợi ý: Chia 2 vế mỗi phương trình cho x ta được. Sau đó đặt ẩn phụ
x .
v y x
ĐS: x; y 7 31;3 31 , 7 31;3 31
2
2 2
2
2 x x y 2 xy 1 0 (1)
Bài 11. 4
2
(2)
xy 2 y 2 x 1 0
1
u
Gợi ý: Chia 2 vế của (1) cho x , chia 2 vế của (2) cho x . Đặt
x , hệ trở thành:
v y 2
2
2 v 2uv u 2 0
(hệ đx loại 2)
2
2 u 2uv v 0
1 1
ĐS: x; y 1;0 , ;1 , ; 1 , 1;1 , 1; 1
2 2
---------------------------------------------Bài 3.
PHƯƠNG PHÁP THẾ
Giải các hệ phương trình sau:
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 153
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Bài 1.
x 2 y 0 (1)
3
2
x 2 xy y 13 (2)
ĐS: x; y 2;1
Gợi ý: Từ (1) ta có x 2 y ,thế vào (2).
Bài 2.
GV : Vũ Văn Thiện
4
3
2 2
x 2 x y x y 2 x 9 1
2
(2)
x 2 xy 6 x 6
Gợi ý: Từ (2) ta có xy
6 x 6 x2
, thế vào (1) x x 3 12 x 2 48 x 64 0
2
17
ĐS: x; y 4;
4
Bài 3.
3 3
3
27 x y 7 y =8 (1)
(*)
2
2
(2)
9x y y =6 x
27 x3 y 3 7 y 3 8
27 x3 y 3 7 y 3 8
Gợi ý: * 2 2
. Đặt t xy suy ra pt :
3
2 2
3
63x y 7 y 42 xy
9 x y y 6 xy
4
1
2
4
27t 3 63t 2 42t 8 0 t 27t 2 27t 6 0 t t t
3
3
3
3
14
1
2 10
ĐS: x; y ;1 ,
;
7
3 3 10
Bài 4.
2
2
2 y x =1 (1)
3
3
2x y =2 y x (2)
(Đề 226/254 bộ đề)
HD : 2 2 x3 y 3 2 y x 2 y 2 x 2 x y 5 y 2 3 y 1 0 x y
Bài 5.
3
2
(1)
x 3xy 49
(HSG QG-2004)
2
2
x
8
xy
y
8
y
17
x
(2)
Gợi ý:
Cách 1: Từ (2) ta có y 2 x 2 8xy 8 y 17 x , thế vào (1) ta được: 24 xy( x 1) 2 x3 51x 2 49
Xét x 0, x 1 . Nếu x 0, x 1, y
2 x 2 49 x 49
, thế trở lại (2), tìm x .
24 x
ĐS: x; y 1; 4 , 1; 4
Bài 6.
x y x 2 y 2 12 (1)
y x 2 y 2 12 (2)
(Đề 235/254 bộ đề)
Gợi ý:
Cách 1: Từ (1) x 2 y 2 12 x y , thế vào (2) ta được x 12 y
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
12
,sau đó thế vào (1) hoặc (2).
y
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 154
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
ĐS: x; y 5;3 , 5; 4
a x y
a 2 b2
Cách 2: Đặt
ta được hệ :
y
2
2
2a
b x y
Bài 7.
a b 12
a 9 a 8
b 3 b 4
b a b 12a
7 x y 2 x y 5 (1)
(HSG QG - 2001)
2 x y x y 2 (2)
Gợi ý: Từ (2) 2 x y 2 y x , thế vào (1) ta được
7 x y 3 x y (3), từ (2) và (3) ta có hệ
mới. ĐS: x; y 1;1
Bài 8.
8 x3 y 3 27 55 y 3 (1)
(Đề 225/254 bộ đề)
2
2
(2)
4 x y 6 x y
Gợi ý:
8 x3 y 3 27 55 y 3 (1)
Cách 1: y 0 không thỏa hệ, nhân 2 vế của (2) cho y ta được 2 2
, sau đó thế y 3 từ
3
4 x y 6 xy y (2)
1 1
(2) vào (1). ĐS: x; y ;3 , ; 2
2 3
3
3
x
3
2 x 18 2 x 55
y
y
y
Cách 2:
. Đặt
3 y
2 2x
y x
27
3
8 x y 3 55
Cách 3:
. Đặt
4 x 2 . 3 2 x. 9 3
y
y2
Bài 9.
3
a
2
x
y
. Hệ trở thành :
b x
y
a 2 x
3 . Hệ trở thành :
b y
a 3 18ab 55
a 4
1
1
2a
b 8
b
a3 b3 55
.
2
2
a b ab 3
3 3
3
1 x y 19 x (1)
(Đề 90/254 bộ đề)
2
2
y
xy
=
6
x
(2)
1
1
Cách 1: Tương tự bài 7. ĐS: x; y ; 2 , ;3
3
2
1
3
x3 y 19
Cách 2:
. Đặt
y2 x2 6
y
x
1
a
x . Hệ trở thành :
b y
a 3 b3 19
2
2
a b ab 6
4 x 2 y 2 6 xy 3 y 2 9 (1)
Bài 11. 2
2
(2)
6 x y y 9 x 0
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 155
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
3 2 xy 2 9 2 xy 9 y 2 27
HD: hệ
2 y3 9 y 2 27 0 y 3 2 y 2 3y 9
2
3
3 2 xy 9 2 xy 2 y 0
1 1 2 3 1 2 3
; ,
;
ĐS: x; y 1;3 , ;3 ,
2
2 2
2
2
x 2 y xy 2 +x 5 y 0 (1)
Bài 12.
2
2xy y 5 y 1 0 (2)
(Đề 207/254 bộ đề)
Gợi ý:
Cách 1: Từ (2) ta có x
5 5
5 1 5 5
5 1
y2 5 y 1
thế vào (1). ĐS: x; y
;
;
,
2 2
2
2y
2
2
1
x x y 5
y
Cách 2:
Đặt
2x y 1 5
y
ax
5 5
5 5
a 2 ab 5
a
a
1 . Hệ trở thành :
2
2
2a b 5
b 5 b 5
b y y
2 x 2 x y 2 7 (1)
Bài 13.
xy x y 3 (2)
Gợi ý: từ (2) y
x3
thế vào (1) được: ( x 1)( x 2)(2 x 2 3x 1) 0
x 1
3 17 1 17 3 17 1 17
ĐS: x; y 1; 2 , 2; 1 ,
;
;
,
4
2
4
2
x 2 ( y 1)( x y 1) 3x 2 4 x 1 (1)
Bài 14.
2
xy x 1 x (2)
Gợi ý: Từ (2) y 1
x2 1
5
thế vào (1) được: 2 x( x 2)( x 1)2 0 . ĐS: x; y 1;1 , 2;
x
2
2
2
3x y xy y 15 x (1)
Bài 15. 2
(2)
6 x xy 10 x 1
x 2 10 x 1
1
Gợi ý: Từ 2 y
thế vào (1) được: x 1 x 3x 2 11x 1 0
x
3
1 11 109 13 109 11 109 13 109
ĐS: x; y 1;3 , ;5 ,
,
,
,
6
2
6
2
3
x 2 xy y 2 3
(1)
Bài 16. 3
3
2 x 9 y = x y 2 xy 3 (2)
y 1
Gợi ý: Từ 1 x 2 3 xy y 2 thế vào (2) được: 3 y 6 3 y 4 y 2 1 0
y 1
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 156
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
ĐS: x; y 1;1 , 2;1 , 1, 1 , 2; 1
x y xy 0 (1)
Bài 17. 2
2
y 2 x y (2)
xy 1
2
Gợi ý: Từ 1 xy x y thế vào (2) được: x y xy 2 0
xy 2
2 1 5 2 1 5
ĐS: x; y 1; 1 , 1; 2 ,
,
;
,
2 5 1
2
5 1
2
2
3 y 1 2 y x 1 4 y x 2 y 1 (1)
Bài 18.
(2)
y y x 3 3y
y2 3y 3
Gợi ý: Từ 2 x
thế vào (1) được: 5 y 2 8 y 5 4 y 4 8 y 3 4 y 2 18 y 9
y
y 1 9 y 2 30 y 119 0
2
415 17 41 7
ĐS: x; y 1;1 ,
, , ;
51 3 21 3
Bài 19. (1 điểm). Giải hệ phương trình :
2 x3
x2
2 y2
3
y
3
3y
y
2x y
0
y
1
2
Điều kiện : y 0
2 x2 y 3 y
1 2x y 3 y 2 y y 3 2x y y 3 0
2 x y y 3 2 y 3 y 1 0
2 x y
0
3 y 1 1
y3 y
y 1 x 1
2 x y
1
y3 y
3
3
y 3 2x ĐK : x
3
2
y 4x2 3 thay vào (2) ta được x2 2x 4x2 3 0
2
x 2x 1 4x 3 1 0 x 1
2
Năm học 2018 - 2019
2
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
4 x2 1
2
4x 3 1
0
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 157
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
x 1 y 1
4 x 1
4 x 1
0
x 1 x 1
0
x 1
4x2 3 1
2
4x 3 1
4 x 1
4 x 1
3
3
x 1
1
x 0 x
Ta có : x 1
2x 1
2x 1
2
4x 2 3 1
ĐS : x; y 1;1 , 1;1
---------------------------------------------Bài 4.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1.
x 1+ y 1 4 (1)
x 6 y 4 6 (2)
(Đề 214/254 bộ đề)
u x 1
u v 4
x 1
(u, v 0) , hệ trở thành đối xứng loại 1:
Gợi ý: ĐK:
.Đặt
2
2
y 1
u 5 v 5 6
v y 1
ĐS: x; y 3;5
Bài 2.
x 1+ 7 y 4 (1)
(Đề 94/254 bộ đề)
y
1
7
x
4
(2)
Gợi ý:
u x 1
Cách 1: Đặt
u, v 0 ĐS: x; y 3;3
v 7 y
Cách 2: 1 2 x 1 7 x
Bài 3.
y 1 y . Chứng minh 2 vế là hàm đồng biến nên x y .
x 1+ 2 y 3 (1)
2 x y 1 3 (2)
u x 1
Gợi ý: Đặt
u, v 0
v
2
y
ĐS: x; y 1; 1 , 2; 2
Bài 4.
x 3+ 2 y 3 (1)
2 x y 3 3 (2)
u x 1
Gợi ý: Đặt
u, v 0
v 2 y
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Trang 158
GV : Vũ Văn Thiện
ĐS: x; y 2; 2 , 1;1
Bài 5.
1
1
x x y y 5
x 2 1 y 2 1 49
x2
y2
1
u
x
x
Gợi ý: Đặt
| a |,| b | 2
v y 1
y
73 5
73 5
7 3 5 7 3 5
ĐS: x; y 1;
; 1 ,
; 1
, 1;
,
2
2 2
2
Bài 6.
4
4
x y 1
(Đề 86/254 bộ đề)
6
6
x
y
1
2
u x
Gợi ý: Đặt
(u, v 0) ĐS: x; y 0;1 , 0; 1 , 1;0 , 1;0
2
v y
Bài 7.
x2 y 2 x y 4
(Đề 101/254 bộ đề)
xy
(
x
1)(
y
1)
4
2
u x x
Gợi ý: Đặt
2
v y y
ĐS : x; y 1; 1 , 1; 2 , 2; 1 , 2; 2
Bài 8.
5
2
3
2
x y x y xy xy 4
(ĐH KA-2008)
5
4
2
x y xy (1 2 x)
4
5
2
2
x y xy ( x y ) xy 4
Gợi ý: Hệ
. Đặt
( x 2 y ) 2 xy 5
4
u x 2 y
v xy
3 5 25
ĐS: x; y 1; , 3 , 3
2 4 16
Bài 9.
x 2 x 3 y x 1 14
(ĐH KA-2008)
2
x
x
3
y
9
x x 1 2 x 3 y 14
u x x 1
Gợi ý: Hệ
. Đặt
x x 1 2 x 3 y 9
v 2 x 3 y
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Trang 159
GV : Vũ Văn Thiện
1 29 1 29 1 29 1 29
ĐS: x; y 1;3 , 2;1 ,
;
;
,
3 2
3
2
3
x y x y
Bài 10.
x y x y 2
1
2
(ĐH B - 2002)
x y 0
Gợi ý: (1) đặt u 6 x y
; (2) đặt v x y x y 2 ;
x y 1
3 1
ĐS: x; y 1;1 , ;
2 2
2 x y 1 x y 1 1
Bài 11.
2
3 x 2 y 4
u 2 x y 1
Gợi ý: Đặt
hệ trở thành :
v x y
x y xy 3
Bài 12.
x 1 y 1 4
u v 1
. ĐS: x; y 2;1
2 2
u v 5
1
2
Gợi ý: 2 x y 2 2 xy x y 1 16 . Đặt t xy ta được t 3
ĐS: x; y 3;3
(4 x 2 1) x ( y 3) 5 2 y 0 (1)
Bài 13.
2
2
(2)
4 x y 2 3 4 x 7
(ĐH KA-2010)
Gợi ý: 1 (4 x 2 1)2 x (2 y 6) 5 2 y 0
u 2 x
Đặt
. Từ (1) (u 2 1)u (v 2 1)v 0 u v
v 5 2 y
2 x 5 2 y (1)
Ta có hệ mới:
2
2
4 x y 2 3 4 x 7
5 4 x2
1
. Từ (1) y
thế vào (2). ĐS : x; y ; 2
2
2
(2)
2 x 2 2 y 2 5
Bài 14.
2
2
| x y | | x y | | x y | 5
u | x y | 0
Gợi ý : Đặt
ta được hệ đối xứng loại 1
v | x y | 0
u 2 v 2 5
u v uv 5
1 3 3 1 1 3 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3
ĐS: x; y ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 4 y 1 1 (1)
Bài 15.
y 4 x 1 1 (2)
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 160
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
u 4 x 1
(u , v 0) , hệ trở thành :
Gợi ý : Đặt
4 y 1
v
GV : Vũ Văn Thiện
u 4 v 0
.
4
v u 0
u 0 x 1
Vì u, v 0 nên hệ
. ĐS: x; y 1;1
v 0 y 1
2 x2
1
y2 1
x2
Bài 16. Giải hệ phương trình :
1
2x 1
x
2
y
17
2
2 2
5
y2
Điều kiện : x y
a2 x2 y2 2xy
a x y
a, b 0
Đặt
a2 b2 2 x2 y2
2
2
2
b x y
b x y 2xy
1
17
1
17
2
a 2 b2 1
a
b
2ab
1
2
2
a 2b2
a 2b2
Hệ trở thành
1
1
a b 1
5
a b 1
5
ab
ab
S a b 2
Đặt
S 4P . Hệ trở thành
b ab
2
2P 1
S1
1
P
2
P2
2P
P
4P4
25P3
1
2
42P2
P
25P
1
P
P
t
4
t2
2
Phương trình trở thành : 4t
t
17
4
P
P
Năm học 2018 - 2019
17
2
P2
5
2
2 P2
25P
17
2
1
2
2
2P 1 P 2 1
.
P
2P 1
17
2
1
1
P
4 P2
0
P
Đặt t
1
5P
thay vào (1) ta được :
P 1
S
5P
P 1
S2
1
P
P
4
1
4
S
17
4
4
1
2
25t
a
b
ab
4
34
0
4
0
4
b
ab
1
1
4
a
b
a
b
2
2
1
2
1
2
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
25 P
42
0
2
P2
4P 2 17P
a
S
1
P2
2
t
17
4
t 2
x
x
y
y
x
y
x
y
2
2
1
2
1
2
x
y
x
y
2
0
1
2
0
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 161
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
t
2
P
1
P
a
a
ab
b
5
2
b
a
1
b
Kết luận x; y
P2
2
2
1
2
2
1
2
2;0 ,
2P 1
x
y
x
y
x
y
x
y
0
2
1
2
2
1
2
P
GV : Vũ Văn Thiện
1
x
y
x
y
S
5
2
5
4
3
4
5
4
3
4
1
5 3 5 3
;0 , ; , ;
2
4 4 4 4
---------------------------------------------Bài 5.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP :
VẬN DỤNG HÀM SỐ
Lưu ý:
Nếu hàm y f x tăng (hoặc giảm) trên khoảng a; b thì u, v a; b ta có : f u f v u v .
Bài 1.
1
1
x x y y (1)
Giải các hệ phương trình :
(ĐH A-2003)
3
2 y x 1
(2)
Giải :
Xét hàm số: f (t ) t
1
có tập xác định D
t
\ 0
1
0 x D nên hàm số đồng biến trên ;0 , 0; .
t2
TH1 : Xét x, y ;0
f '(t ) 1
1 x y
thay vào (2) ta được x3 2 x 1 0 x 1 x 2 x 1 0
1 5
1 5
1 5
x
(nhaä
n
)
y
x
(loaïi)
x 1
2
2
2
2
1 5
x x 1 0
y 1 5
(loaïi)
x
2
2
TH1 : Xét x, y 0 :
1 x y
Năm học 2018 - 2019
thay vào (2) ta được x3 2 x 1 0 x 1 x 2 x 1 0
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Bài 2.
Trang 162
GV : Vũ Văn Thiện
nhaän
x 1
x 1
x 1
1 5
2
x
loaïi 1 5
2
x
x
1
0
x
2
x 1 5
nhaän
2
1 5 1 5 1 5 1 5
ĐS: x; y 1;1 ,
;
;
,
2 2
2
2
3
3
x 3x y 3 y (1)
Giải các hệ phương trình : 6 6
(2)
x +y 1
Giải :
| x | 1
Từ (2) suy ra
1 x 1
| y | 1
y 1
y
1 5
2
Xét hàm số f (t ) t 3 3t trên 1;1
f (' t ) 3t 2 3 0 t 1;1 nên hàm số nghịch biến trên 1;1
Bài 3.
1
1
x
y
6
6
2
2
1
1 x y , thế vào (2) ta được x 6
1
1
2
x
y
6
6
2
2
1
1 1 1
ĐS: x; y 6 ; 6 , 6 ; 6
2
2
2 2
x x 2 y y 2 (1)
Giải các hệ phương trình : 2
(2)
x y 4 y 2 x 1 0
x 2
ĐK:
.
y 2
Xét hàm số f (t ) t t 2 trên D 2;
1
0 x 2; nên hàm số đồng biến trên 2;
2 t2
suy ra x y , thế vào (2) ta được: x3 2 x 1 0 x 1 x 2 x 1 0
f '(t ) 1
Bài 4.
x 1
y 1
x 1
1 5
1 5
2
x
y
2
2
x x 1 0
x 1 5 y 1 5
2
2
1 5 1 5 1 5 1 5
;
;
ĐS: x; y 1;1 ,
,
2 2
2
2
x y cos x cos y (1)
Giải các hệ phương trình : 2
(2)
x y 3 y 18 0
GIẢI :
(1) x cos x y cos y .
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Trang 163
GV : Vũ Văn Thiện
Xét hàm số f (t ) t cos t có tập xác định D
f '(t ) 1 sin t 0 t nên hàm số đồng biến trên R suy ra x y .
Thế vào (2) ta được: x3 3x 18 0 x 3 x 2 3x 6 0
x 3
2
x 3 y 3
x 3x 6 0 VN
ĐS: x; y 3;3
Bài 5.
x x 2 x 4
Giải các hệ phương trình :
2
2
x y x y 44
GIẢI :
Điều kiện : x 0; y 5 .
y 5 y 3 y 1 (1)
(2)
Đặt t y 5 thì 1 x x 2 x 4 t t 2 t 4
Xét hàm số f x x x 2 x 4 trên D 0;
1
1
0 t 0; nên hàm số đồng biến trên 0;
2 x 2 x2 2 x4
y 6 n
y 6 x 1
1 x t x y 5 . Thế vào (2) ta được y 2 4 y 12 0
y
2
l
f '(t )
1
ĐS: x; y 1;6
Bài 6.
x3 12 y x 2 8 y 3 8 y (1)
Giải các hệ phương trình :
2
3
(2)
x 8 y 2 y 5 x
GIẢI :
Điều kiện : x 2 8 y3 0
1 2 y 1 2 y 1 2 x3 x 2
Xét hàm số : f t t 3 t 2 có tập xác định D
f ' t 3t 2 1 0 x nên hàm số đồng biến trên
1 x 2 y 1 2 y x 1 x 2 y 1 . Thế vào (2) ta được :
3
1
x 1
x
1
4
x
y 1
3
2
4
x 0 (loaïi)
x 4 x 3x 1 4 x 1
x 11
x x 2 12 x 11 0
x 1 y 1
y 6
x 11 y 6
ĐS: x; y 1;1 , 11;6
Bài 7.
x 2 y 2 (1)
Giải các hệ phương trình :
y 2 x 2 (2)
GIẢI :
Điều kiện : 0 x, y 2
1 2
x 2 x y 2 y
Xét hàm số f (t ) t 2 t có tập xác định D [0; 2]
1
1
f '(t )
0 t 0; 2 nên hàm số đồng biến trên [0; 2]
2 t 2 2t
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 164
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Suy ra x y . Thế vào (1) ta được :
x 0 y 0
.
x 2 x 0 x 2 x 0
x 2 y 2
ĐS: x; y 0;0 , 2; 2
2 x 1 x y 6 x y 2 x
Bài 8.* Giải các hệ phương trình :
3
2
y 3 2 3 12 x 3 xy 18 x x 1
GIẢI :
(1)
(2)
x y 0
x y 0
2 x 0
x2
Điều kiện :
Xét phương trình 2 x 1 x y 6 x y 2 x
a x y
Đặt :
b 2 x
với a, b 0
a 2b
(1) trở thành 3 2b 2 a 6 a 2 b a 2b 3 ab 0
3 ab 0 VN vì 3 ab 3
a 2b x y 2 2 x y 8 5 x . Thay vào (2) ta được :
x3 3x 2 8 x 12 2 3 3x 2 6 x
x 2 2 x 2 3x 2 6 x 2 3 3x 2 6 x (3)
3
Xét hàm số f t t 3 2t có tập xác định D
f ' t 3t 2 2 0 t D f t đồng biến trên
3 x 2 3 3x2 6 x
.
x 2 3 x 2 6 x x 2 x 2 x 4 0
3
x 2 y 2
ĐS: x; y 2; 2
2 x2 1 7 x2 y 3
Bài 9.* Giải các hệ phương trình :
x 2 y 2 x 3
4 y 2 1 1 =16x 2 y 3
(1)
(2)
GIẢI :
Nếu x 0 thì 2 0 3 (vô lý). Vậy x 0 không là nghiệm của hệ.
Nếu y 0 thì 1 2 x 2 1 3 2 0 (vô lý). Vậy y 0 không là nghiệm của hệ.
2 3 2x x 2 y
x2 1 4x2 y x
Với x 0 hoặc y 0 thì 1
4 y 1 1
2
8 y 2 16 x 2 y 3
4 y 1 1
3
x 1 x 2 x y 4 y 1 1 ( y 0 ; 2 x )
2
x 2 1 4 x 2 y x 8 y 2 16 x 2 y 3
2
2
2
1 1
1
2 1 2 y
x x
x
Năm học 2018 - 2019
2
2 y
2
1 1 (3)
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 165
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Xét hàm số f t t
GV : Vũ Văn Thiện
t 2 1 1 trên 0;
t2
0 t 0;
t2 1
Vậy hàm số đồng biến trên 0; .
f 't t 1
2
1
1
2 y 2 xy 1 thay vào (2) ta có : x 2 y
x
4
1
ĐS: x; y 2;
4
8 x3 y 3 8 x 2 y 2 4 x y 1 0
Bài 10.* Giải các hệ phương trình : 2
2
x 4 y 3 y 1 0
GIẢI :
3
1 8x3 8x 2 4 x y 3 y 2 y 1
3
2
3
2
2 x 2 2 x 2 2 x y 1 2 y 1 2 y 1
(1)
(2)
(3)
------------Cách khác : đặt u 2x . Ta có :
3
2
3
2
2x 2 2x 2.2x u 3 2u 2 2u u 1 u 1 u 1 1
------------Xét hàm số f t t 3 2t 2 2t 1 có tập xác định D
f ' t 3t 2 4t 2 0 t D
Vậy hàm số đồng biến trên D.
3 2 x y 1 y 2 x 1 thay vào (2) ta có :
1 19
5 2 19
x
y
2
17
17
x 2 4 2 x 1 3 2 x 1 1 0 17 x 2 22 x 6 0
1 19
5 2 19
y
x
17
17
11 19 5 2 19 11 19 5 2 19
ĐS: x; y
;
;
,
17 17
17
17
---------------------------------------------CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
2 x 3 4 y 4 (1)
2 y 3 4 x 4 (2)
3
Gợi ý: ĐK: x, y ; 4 . Trừ vế với vế (1),(2) ta được:
2
x3 4 x y3 4 y
3
1
1
Xét hàm số f (t ) 2t 3 4 t , t [ ; 4] f '(t )
0 nên hàm số đồng biến trên
2
2t 3 2 4 t
3
11 11
[ ; 4] . Suy ra x y . Thế vào (1). ĐS: x; y ; , 3;3
2
9 9
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 166
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
Bài 2.
GV : Vũ Văn Thiện
x 1 y 7 4 (1)
x 7 y 1 4 (2)
Gợi ý: ĐK: x, y 7; . Trừ vế với vế (1),(2) ta được:
Xét hàm số f (t ) t 1 t 7, t 7; f '(t )
7; . Suy ra
Bài 3.
x y . Thế vào (1). ĐS: x; y 8;8
Xét hàm số f (t ) t 1 t 2, t 2; f '(t )
Bài 4.
1
1
0 nên hàm số nghịch biến trên
2 t 1 2 t 7
x 1 y 2 3 (1)
x 2 y 1 3 (2)
Gợi ý: ĐK: x, y 2; . Trừ vế với vế (1),(2) ta được:
2; . Suy ra
x 1 x 7 y 1 y 7
x y . Thế vào (1). ĐS: x; y 3;3
x 1 x 2 y 1 y 2
1
1
0 nên hàm số nghịch biến trên
2 t 1 2 t 2
x3 1 y 3 1 y x (1)
(ĐH KA-2013)
3
2
4
x
y
24
x
y
47
xy
39
y
18
0
(2)
Gợi ý:
Từ (1) ta chứng minh x y . 2 y 2 y 3 4 y 2 4 y 3 0
ĐS: x; y 2; 2 , 3;3
Bài 5.
x 3 y 3 y y 3 x 3 x (1)
5
5
(2)
x y 2
Gợi ý:
Từ 1 x5 3 x y 5 3 y ta chứng minh x y . 2 y 2
ĐS: x; y 2; 2
Bài 6.
x5 3 y y 5 3 x
x 1 3 y 2 3
(1)
(2)
Gợi ý: Từ 1 x 3 x3 x y 3 y 3 y ta chứng minh x y . 2 y 1
ĐS: x; y 1;1
Bài 7.
x3 x 2 y 1 2 y 1
x 2 2 y 1 1 0
Gợi ý: ĐK : y
(1)
(2)
t0
1
. Đặt y 2 y 1
.
2
2
2 y 1 t
Từ 1 x3 x t 3 t ta chứng minh x y . 2 y 0
ĐS: x; y 1;0
Bài 8.
x3 2 x 3 y 1 3 y 1 (1)
(2)
2 x 3 3 y 2 2
t0
3
2
3 y 1 3 y 1 t t 2 2
Gợi ý: ĐK : x ; y . Đặt t 3 y 1
2
2
3
3 y 1 t
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
Trang 167
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
GV : Vũ Văn Thiện
2
t2
Từ 1 x3 2 x t 3 2t ta chứng minh x t . 2 t 2
0 xt 2
t 2 3 1
2t 3 1
ĐS: x; y 2;1
Bài 9.
2 y 3 y 2 x 1 x =3 1 x
2
y 2 y 1 4 x 4
(1)
(2)
t0
Gợi ý: ĐK : 4 x 1 . Đặt t 1 x
2 x 1 x 2t 2t 3
2
1 x t
Từ 1 2 y 3 y 2t 3 t ta chứng minh y t .
1
1
2
1 x 3 2 x 4 x 4 x 3
0 x 3
1 x 2
3 2x 3
x 4 1
ĐS: x; y 3; 2
2
3 y 3 2 y 3x 2 x 8 2 x (1)
Bài 10.
(2)
5 4 x 3 y 1 3
5
1
Gợi ý: ĐK : x ; y .
4
3
t0
Đặt t 2 x
. 1 2 y 3 y 2t 3 t ta chứng minh y t . x 2 y 2
2
2
x
t
4 y 1
3
4 y 2 3 3 y 1 3 y 1
0 y 1
3 y 1 2
4 y 2 3 1
ĐS: x; y 1;1
2
x 3 y 3 3 y 1 y 1 1 x (1)
Bài 11.
3
x y 1 3 3 x y 17 11 y xy (2)
3
Gợi ý: 1 x3 x y 1 y 1 x y 1 thay vào (2) ta được
2 y 2 6 y 5 y 3 y 2 y 11
ĐS: x; y 0; 1
6 y 1
y 1 2
y 2 1 y 1 0
y 5 2
x 3 4 x 2 y 4 5 y (1)
Bài 12.
2
2
x 2 x( y 2) y 8 y 4 0 (2)
Gợi ý: Điều kiện : x 2 . 1 x 3 4 x 2 y y 4 5
Đặt t 4 x 2 0 x u 4 2 x 3 t 4 5
Từ (1) u u 4 5 y y 4 5 (*)
2t 3
0, t 0 nên hàm số đồng biến trên 0; .
t4 5
Từ (*) suy ra t y y 4 x 2 y 4 x 2 x y 4 2 thế vào (2) ta được :
Xét hàm số f (t ) t t 4 5 f '(t ) 1
y y 1 y 6 y 5 y 4 3 y 3 3 y 2 3 y 4 0
ĐS: x; y 2;0 , 3;1
Năm học 2018 - 2019
LỚP BDVH MINH TRÍ.
https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/
18A Song Hành, P. TRUNG MỸ TÂY, Q. 12. TP.HCM
ĐT : 088 880 51 52
- Xem thêm -
.PDF 
26 
87 
63 
