Tài liệu Chuyên đề hàm số ôn thi thpt quốc gia môn toán của thầy lê bá trần phương

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 1. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. 1. Nhắc lại định nghĩa Giả sử K là một khoảng, 1 đoạn hoặc nửa khoảng và hàm số y  f ( x) xác định trên K. - Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu x tăng thì y tăng mà x giảm thì y giảm. - Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu x tăng thì y giảm mà x giảm thì y tăng. Chú ý: - Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến trên K thì đồ thị sẽ đi lên theo hướng từ trái sang phải. - Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến trên K thì đồ thị sẽ đi xuống theo hướng từ trái sang phải. - Nếu hàm số đồng biến sẽ kí hiệu - Nếu hàm số nghịch biến sẽ kí hiệu 2. Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch của hàm số Định lý: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K - Nếu y’ > 0 trên K thì hàm số đồng biến trên K. - Nếu y’ < 0 trên K thì hàm số nghịch biến trên K. 3. Quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (khoảng đơn điệu) của hàm số y  f ( x) . Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm các điểm xi (i  1,2,..., n) làm cho y’ = 0 hoặc y’ không xác định (nếu có) Bước 3: Lập bảng xét dấu Bước 4: Kết luận Chú ý: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số được gọi là xét sự biến thiên của hàm số. Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. y  x 3  3x 2  1 2. y   x 3  3x 2  5 x  5 3. y  x 4  8 x 2  10 4. y  x 4  2 x 2  3 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 1. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1 1 1. y  x 4  x 2  3 2. 4 2 3x  1 1 2x Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 3. y  4. y  x2  x  1 2x 1 1. y  2 x  1  3 x  5 1 1 2. y   cos2 x  3 cos x  ; x  0,   2 2 1 3 3. y  x .(1  x) 4. y  2 3 x 2 .cos  2 x  cos ;  là tham số. x 2  2 x cos   1 1 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  mx 2  (m  6) x  2m  1 đồng biến trên R (đồng 3 biến với mọi x). (m  1) 3 Bài 4. Cho hàm số: y  .x  mx 2  (3m  2) x 3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Bài 5. Cho hàm số: y  (m  1) x 4  mx 2  3  m Tìm m để hàm số đồng biến trên (1, ) Bài 6. Cho hàm số: y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  5 Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? m Bài 7. Cho hàm số: y  x  2  x 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó). Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 1. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1 1 1. y  x 4  x 2  3 4 2 Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ) nghịch biến trên các khoảng (-  ; -1) và (0;1) 2 2. y  x3  2 x  2 3 Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ;-1) và (1;+  ); Nghịch biến trên các khoảng (-1;1). 3x  1 3. y  1 2x Giải 1 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (; ) và ( , ) . 2 2 x2  x  1 2x 1 Giải 4. y  Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1 3 1 3 ) và ( ; ) ; 2 2 1 3 1 1 1 3 ; ) và ( ; ). Nghịch biến trên các khoảng ( 2 2 2 2 Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1. y  2 x  1  3 x  5 Giải 5  TXĐ: D   ;   3  3 4 3x  5  3 89  ; y '  0  4 3x  5  3  x  48 2 3x  5 2 3x  5 Bảng biến thiên: Ta có: y '  2  Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương 5 3 x 89 48 0 - y' Chuyên đề 01. Hàm số  + 7 3 y  5 89   89  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  ; đồng biến trên khoảng  ;   .  3 48   48  1 1 2. y   cos2 x  3 cos x  ; x  0,   2 2 Giải y '  sin 2 x  3 sin x  2sin x cos x  3 sin x  sin x(2 cos x  3) sin x  0  x  0, x    y'  0   cos x   3  x  5 6   2 Bảng biến thiên: 5 0 x 6 + 0 y'  - y  5 Hàm số đồng biến trên khoảng  0,  6   ; nghịch biến trên khoảng   5  ,    6  (Chú ý: Với x 0,   thì sin x  0 nên dấu của y’ chính là dấu của 2 cos x  3 ). 1 3 3. y  x .(1  x) 2 3 Giải TXĐ: R\ 0;1 1 2 Ta có: y   x 1  x   3   1 1 1  4 x  3x 2 1  4 x  3x 2 2  y '  .  x 1  x   3 . 1  4 x  3x 2   .   3  3 3 x(1  x) 2  3. 3 x 2 (1  x) 4   2 1 3 Dựa vào dấu của tam thức bậc hai ta có bảng biến thiên như sau: 1 - 0 1 x 3 + + 0 y'  y '  0  1  4 x  3 x 2  0  x  1, x  + + y Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số 1 và (1; ) ; nghịch biến trên khoảng ( ; 1). 3 Hàm số đồng biến trên các khoảng x 2 .cos  2 x  cos ;  là tham số. x 2  2 x cos   1 Giải 4. y  Xét : cos   1  y   x2  2x  1  1 x2  2 x  1 x2  2 x  1 1 x2  2 x  1  Hàm số là hàm hằng không tăng, không giảm Với cos   1 TXĐ: D= R cos   1  y  Ta có: y '  2sin 2  .( x 2  1) ; y '  0  x 2  1  0  x  1 2 2 ( x  2 x.cos  1) Bảng biến thiên: x - y' -1 + 0 + 1 - 0 + y Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; +  ); nghịch biến trên khoảng (-1;1) 1 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  mx 2  (m  6) x  2m  1 đồng biến trên R (đồng 3 biến với mọi x) Giải TXĐ: R Để hàm số đồng biến trên R (đồng biến với mọi x) thì ta phải có y '  0 x  x 2  2mx  m  6  0 x  '  0  m2  m  6  0  2  m  3 (m  1) 3 .x  mx 2  (3m  2) x Bài 4. Cho hàm số: y  3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Giải y '  (m  1) x 2  2mx  3m  2 Để hàm số luôn đồng biến thì y '  0 x + Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 đổi dấu khi x vượt qua  1 2 =>Vậy hàm số không thể luôn đồng biến. +Với m≠1 hàm số luôn đồng biến trên R Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số m 1  0  m  1      2     '  0  m 3m  2m 1  0 m  1    m 1       m2  1 2   m  ,m  2  2 m  5 m  2  0     2  Vậy với m  2 thì h/s luôn đồng biến trên R. Bài 5. Cho hàm số: y  (m  1) x 4  mx 2  3  m Tìm m để hàm số đồng biến trên (1, ) Giải y '  4(m  1) x3  2mx  2 x 2(m  1) x 2  m Hàm số đồng biến trên (1; )  y '  0 x  1;  +) m = 1 thì y’ = -2x Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên 1;   => m = 1 không thỏa mãn. +) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm Khi đó ta có dấu của y’ như sau: x - y’ m 2(m  1) - - y '  0 x  1;    m 2(m  1) 0 + + - + m  1  m  2(m  1)  m  2 2(m  1) +) m – 1 < 0  m < 1 Xét f(x) = 2(m - 1)x2 – m - Nếu   0  8m  0  m  0 kết hợp với m < 1 => 0  m  1 thì f ( x)  0 x => dấu của y '  2 x 2(m 1) x 2  m  như sau: - Nếu   0  m  0 thì y’ có 3 nghiệm. Khi đó dấu của y '  2 x 2(m 1) x 2  m  như sau: - + - + Vậy không thể có y '  0 trên (1;  ) Đáp số: m  2 Bài 6. Cho hàm số: y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  5 Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số Giải y '  3(m2  5m) x 2  12mx  6 Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu. Xét các trường hợp sau: m  0 +) m2  5m  0   m  5 Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số đơn điệu trên R và hàm số đồng biến 1 Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số đổi dấu khi x vượt qua (không thỏa mãn) 10 m  0 +) m2  5m  0   m  5 5 Khi đó y’ không đổi dấu nếu  '  3m2  5m  0    m  0 3 Với điều kiện đó ta có: 3(m2  5m)  0  y '  0 trên R => Hàm số đồng biến trên R. 5 Kết luận:   m  0 thì hàm số đơn điệu trên R cụ thể là hàm số luôn đồng biến. 3 m Bài 7. Cho hàm số: y  x  2  x 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó) Giải TXĐ: x  1 m y '  1 ( x  1) 2 - Nếu m  0 thì y’ > 0 x  1 do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;1) và (1;+  ), tức đồng biến trên TXĐ. - Nếu m > 0 thì y '  x2  2x  1  m , y '  0  x  1 m ( x  1) 2 Ta có bảng biến thiên: 1 m - x y' + 0 1 m 1 - - + + y Hàm số nghịch biến trên (1- m ;1) và (1;1+ m ) nên không thể đồng biến trên tập xác định. Đáp số : m  0 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 5 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 2. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 02) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 2. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 02), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 5: y  x2  x 1 x 1 2x 2  4x  3 Ví dụ 6: y  2( x  1) Ví dụ 7: y  3x  1 x3 Ví dụ 8: y  x 1  x  10 Ví dụ 9: y  x4 x x2 x2 1 Ví dụ 10: y  sin 20 x  cos 20 x   x   0;   2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 2. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 02) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 02) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 02). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1. y  1 4 1 2 x  x 3 4 2 2. y  2 3 x  2x  2 3 3. y  3x  1 1 2x 4. y  x2  x  1 2x 1 Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1. y  2 x  1  3 x  5 1 1 2. y   cos2 x  3 cos x  ; x  0,   2 2 1 3 3. y  x .(1  x) 4. y  2 3 x 2 .cos  2 x  cos ;  là tham số. x 2  2 x cos   1 1 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  mx 2  (m  6) x  2m  1 đồng biến trên R (đồng 3 biến với mọi x). Bài 4. Cho hàm số: y  (m  1) 3 .x  mx 2  (3m  2) x 3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Bài 5. Cho hàm số: y  (m  1) x 4  mx 2  3  m Tìm m để hàm số đồng biến trên (1, ) Bài 6. Cho hàm số: y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  5 Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Bài 7. Cho hàm số: y  x  2  m x 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó). Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 2. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 02) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 02) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 02). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1 1 1. y  x 4  x 2  3 4 2 Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ) ; nghịch biến trên các khoảng (-  ; -1) và (0;1). 2. Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ;-1) và (1;+  ); Nghịch biến trên các khoảng (-1;1). 3x  1 3. y  1 2x Giải 1 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (; ) và ( , ) . 2 2 x2  x  1 2x 1 Giải 4. y  Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1 3 1 3 ) và ( ; ) ; 2 2 1 3 1 1 1 3 ; ) và ( ; ). Nghịch biến trên các khoảng ( 2 2 2 2 Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1. y  2 x  1  3 x  5 Giải 5  TXĐ: D   ;   3  3 4 3x  5  3 89  ; y '  0  4 3x  5  3  x  48 2 3x  5 2 3x  5 Bảng biến thiên: Ta có: y '  2  Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương 5 3 x 89 48 0 - y' Chuyên đề 01. Hàm số  + 7 3 y  5 89   89  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  ; đồng biến trên khoảng  ;   .  3 48   48  2. Giải y '  sin 2 x  3 sin x  2sin x cos x  3 sin x  sin x(2 cos x  3) sin x  0  x  0, x    y'  0   cos x   3  x  5 6   2 Bảng biến thiên: 5 0 x 6 + 0 y'  - y  5 Hàm số đồng biến trên khoảng  0,  6   ; nghịch biến trên khoảng   5  ,    6  (Chú ý: Với x 0,   thì sin x  0 nên dấu của y’ chính là dấu của 2 cos x  3 ). 1 3 3. y  x .(1  x) 2 3 Giải TXĐ: R\ 0;1 1 2 Ta có: y   x 1  x   3   1 1 1  4 x  3x 2 1  4 x  3x 2 2  y '  .  x 1  x   3 . 1  4 x  3x 2   .   3  3 3 x(1  x) 2  3. 3 x 2 (1  x) 4   2 1 3 Dựa vào dấu của tam thức bậc hai ta có bảng biến thiên như sau: 1 - 0 1 x 3 + + 0 y'  y '  0  1  4 x  3 x 2  0  x  1, x  + + y Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số 1 1  Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;  và (1; ) ; nghịch biến trên khoảng ( ; 1). 3 3  x 2 .cos  2 x  cos ;  là tham số. x 2  2 x cos   1 Giải 4. y   x2  2x  1 x2  2 x  1   1 cos   1  y  1 , x2  2 x  1 x2  2 x  1 =>Hàm số là hàm hằng không tăng, không giảm Với cos   1 TXĐ: D= R Xét : cos   1  y  Ta có: y '  2sin 2  .( x 2  1) ; y '  0  x 2  1  0  x  1 2 2 ( x  2 x.cos  1) Bảng biến thiên: x - y' -1 + 0 + 1 - 0 + y Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; +  ); nghịch biến trên khoảng (-1;1) 1 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  mx 2  (m  6) x  2m  1 đồng biến trên R (đồng 3 biến với mọi x) Giải TXĐ: R Để hàm số đồng biến trên R (đồng biến với mọi x) thì ta phải có y '  0 x  x 2  2mx  m  6  0 x  '  0  m2  m  6  0  2  m  3 (m  1) 3 Bài 4. Cho hàm số: y  .x  mx 2  (3m  2) x 3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Giải y '  (m  1) x 2  2mx  3m  2 Để hàm số luôn đồng biến thì y '  0 x + Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 đổi dấu khi x vượt qua  1 2 =>Vậy hàm số không thể luôn đồng biến. +Với m≠1 hàm số luôn đồng biến trên R Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số m 1  0  m  1      2     '  0  m 3m  2m 1  0 m  1    m 1       m2  1 2   m  ,m  2  2 m  5 m  2  0     2  Vậy với m  2 thì h/s luôn đồng biến trên R. Bài 5. Cho hàm số: y  (m  1) x 4  mx 2  3  m Tìm m để hàm số đồng biến trên (1, ) Giải y '  4(m  1) x3  2mx  2 x 2(m  1) x 2  m Hàm số đồng biến trên (1; )  y '  0 x  1;  +) m = 1 thì y’ = -2x Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên 1;   => m = 1 không thỏa mãn. +) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm Khi đó ta có dấu của y’ như sau: - - m 2(m  1) - m 2(m  1) 0 + y '  0 x  1;    - + + m  1  m  2(m  1)  m  2 2(m  1) +) m – 1 < 0  m < 1 Xét f(x) = 2(m - 1)x2 – m f  8m(m  1); m  1  0 - Nếu   0  8m  0  m  0 kết hợp với m < 1 => 0  m  1 thì f ( x)  0 x => dấu của y '  2 x 2(m 1) x 2  m  như sau: - Nếu   0  m  0 thì y’ có 3 nghiệm. Khi đó dấu của y '  2 x 2(m 1) x 2  m  như sau: - + - + Vậy không thể có y '  0 trên (1;  ) Đáp số: m  2 Bài 6. Cho hàm số: y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  5 Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Giải y '  3(m2  5m) x 2  12mx  6 Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu. Xét các trường hợp sau: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số m  0 +) m2  5m  0   m  5 Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số đơn điệu trên R và hàm số đồng biến 1 Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số đổi dấu khi x vượt qua (không thỏa mãn) 10 m  0 +) m2  5m  0   m  5 5 Khi đó y’ không đổi dấu nếu  '  3m2  5m  0    m  0 3 2 Với điều kiện đó ta có: 3(m  5m)  0  y '  0 trên R => Hàm số đồng biến trên R. 5 Kết luận:   m  0 thì hàm số đơn điệu trên R cụ thể là hàm số luôn đồng biến. 3 m Bài 7. Cho hàm số: y  x  2  x 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó) Giải TXĐ: x  1 m y '  1 ( x  1) 2 - Nếu m  0 thì y’ > 0 x  1 do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;1) và (1;+  ), tức đồng biến trên TXĐ. - Nếu m > 0 thì y '  x2  2x  1  m , y '  0  x  1 m ( x  1) 2 Ta có bảng biến thiên: x y' - 1 m 1 + 0 - - + + y Hàm số nghịch biến trên (1- m ;1) và (1;1+ m ) nên không thể đồng biến trên tập xác định. Đáp số : m  0 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 5 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 3. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 03) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 03), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. Định lý: Hàm số y  f ( x) xác định trên miền K + Nếu y '  0 trên K thì hàm số đồng biến trên K (dấu “=” xảy ra tại 1 số điểm hữu hạn) + Nếu y '  0 trên K thì hàm số nghịch biến trên K (dấu “=” xảy ra tại 1 số điểm hữu hạn) Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: Ví dụ 2: Cho hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  2; . Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 2  (m  1) x 2  (2m  3) x  . 3 3 Tìm m để hàm số đồng biến trên 1;   . Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1. Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  3m  1 . xm Tìm m để hàm số nghịch biến trên 3;  . Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 3. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 03) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1. y  1 4 1 2 x  x 3 4 2 2. y  2 3 x  2x  2 3 3. y  3x  1 1 2x 4. y  x2  x  1 2x 1 Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1. y  2 x  1  3 x  5 1 1 2. y   cos2 x  3 cos x  ; x  0,   2 2 1 2 3. y  x 3 .(1  x) 3 4. y  x 2 .cos  2 x  cos ;  là tham số. x 2  2 x cos   1 1 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  mx 2  (m  6) x  2m  1 đồng biến trên R (đồng 3 biến với mọi x). Bài 4. Cho hàm số: y  (m  1) 3 .x  mx 2  (3m  2) x . Tìm m để hàm số luôn đồng biến. 3 Bài 5. Cho hàm số: y  (m  1) x 4  mx 2  3  m . Tìm m để hàm số đồng biến trên (1, ) Bài 6. Cho hàm số: y  (m2  5m) x3  6mx 2  6 x  5 . Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Bài 7. Cho hàm số: y  x  2  m .Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định (đồng biến trên mỗi x 1 khoảng xác định của nó). Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số BÀI 3. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 03) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (Phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1 1 1. y  x 4  x 2  3 4 2 Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ) ; nghịch biến trên các khoảng (-  ; -1) và (0;1). 2 2. y  x3  2 x  2 3 Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ;-1) và (1;+  ); Nghịch biến trên các khoảng (-1;1). 3x  1 3. y  1 2x Giải 1 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (; ) và ( , ) . 2 2 x2  x  1 2x 1 Giải 4. y  Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1 3 1 3 ) và ( ; ) ; 2 2 1 3 1 1 1 3 ; ) và ( ; ). Nghịch biến trên các khoảng ( 2 2 2 2 Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1. y  2 x  1  3 x  5 Giải 5  TXĐ: D   ;   3  3 4 3x  5  3 89  ; y '  0  4 3x  5  3  x  48 2 3x  5 2 3x  5 Bảng biến thiên: Ta có: y '  2  Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương 5 3 x 89 48 0 - y' Chuyên đề 01. Hàm số  + 7 3 y  5 89   89  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  ; đồng biến trên khoảng  ;   .  3 48   48  1 1 2. y   cos2 x  3 cos x  ; x  0,   2 2 Giải y '  sin 2 x  3 sin x  2sin x cos x  3 sin x  sin x(2 cos x  3) sin x  0  x  0, x    y'  0   cos x   3  x  5 6   2 Bảng biến thiên: 5 0 x 6 + 0 y'  - y  5 Hàm số đồng biến trên khoảng  0,  6   ; nghịch biến trên khoảng   5  ,    6  (Chú ý: Với x 0,   thì sin x  0 nên dấu của y’ chính là dấu của 2 cos x  3 ). 1 3 3. y  x .(1  x) 2 3 Giải TXĐ: R\ 0;1 1 2 Ta có: y   x 1  x   3   1 1 1  4 x  3x 2 1  4 x  3x 2 2  y '  .  x 1  x   3 . 1  4 x  3x 2   .   3  3 3 x(1  x) 2  3. 3 x 2 (1  x) 4   2 1 3 Dựa vào dấu của tam thức bậc hai ta có bảng biến thiên như sau: 1 - 0 1 x 3 + + 0 y'  y '  0  1  4 x  3 x 2  0  x  1, x  + + y Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01. Hàm số 1 1  Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;  và (1; ) ; nghịch biến trên khoảng ( ; 1). 3 3  x 2 .cos  2 x  cos ;  là tham số. x 2  2 x cos   1 Giải 4. y   x2  2x  1 x2  2 x  1   1 cos   1  y  1 , x2  2 x  1 x2  2 x  1 Hàm số là hàm hằng không tăng, không giảm Với cos   1 TXĐ: D= R Xét : cos   1  y  Ta có: y '  2sin 2  .( x 2  1) ; y '  0  x 2  1  0  x  1 2 2 ( x  2 x.cos  1) Bảng biến thiên: x - y' -1 + 0 + 1 - 0 + y Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; +  ); nghịch biến trên khoảng (-1;1) 1 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  mx 2  (m  6) x  2m  1 đồng biến trên R (đồng 3 biến với mọi x) Giải TXĐ: R Để hàm số đồng biến trên R (đồng biến với mọi x) thì ta phải có y '  0 x  x 2  2mx  m  6  0 x  '  0  m2  m  6  0  2  m  3 (m  1) 3 Bài 4. Cho hàm số: y  .x  mx 2  (3m  2) x 3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Giải y '  (m  1) x 2  2mx  3m  2 Để hàm số luôn đồng biến thì y '  0 x + Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 đổi dấu khi x vượt qua  1 2 =>Vậy hàm số không thể luôn đồng biến. +Với m≠1 hàm số luôn đồng biến trên R Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -