LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tài liệu bài giảng:
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo )
Các lưu ý :
+ Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo).
+ Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo.
+ Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo).
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo.
Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :
ax + b
+ Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y =
cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A, B thỏa
cx + d
OA = kOB
mãn các tính chất
S ∆OAB = S0
+ Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =
ax + b
đến tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị đạt giá trị lớn
cx + d
nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 + x 2 + 2 x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại
a) giao điểm của đồ thị và Ox.
b) điểm uốn của đồ thị.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + x + 1 . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị đi qua
gốc tọa độ O.
Đ/s: M (−1; 2)
Ví dụ 3. Cho hàm số y =
x +1
x−2
(C ) .
Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho OA
= 3OB, với O là gốc tọa độ.
Đ/s: Một điểm M là M (3; 4)
Ví dụ 4. Cho hàm số y =
x
(C ) .
x +1
Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho khoảng cách từ điểm E(1; 2) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng
1
.
2
Đ/s: Một điểm M là M (0;0)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số y = 2 x3 − x 2 + 6 x − 3 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và Ox.
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Đ/s: y =
13
1
x−
2
2
Bài 2. Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị là (C)
Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.
Đ/s: M (−1; −4)
Bài 3. Cho hàm số y =
x+2
x −1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A
và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
50
(với O là gốc toạ độ)
3
Đ/s: M (2; 4)
Bài 4. Cho hàm số y =
2x + 3
x −1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A
và B sao cho OB = 5OA (với O là gốc toạ độ)
Đ/s: y = −5 x + 17; y = −5 x − 3
Bài 5. Cho hàm số y =
x
x +1
Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng
2.
Đ/s: M (0;0), M (−2; −2).
Bài 6. Cho hàm số y =
x+2
x −1
Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị lớn nhất.
Đ/s: d max = 2 ⇔ M (0;2), M (−2;0).
Bài 7. Cho hàm số y =
x−3
2x + 1
7 2
1 1
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm I − ; đến tiếp tuyến tại M bằng
.
10
2 2
Đ/s: y = 7 x + 11.
Bài 8. Cho hàm số y =
2x + 5
(1)
x−2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân
biệt A và B sao cho OA = 9OB (với O là gốc toạ độ)
Ví dụ 9. Cho hm số y =
x−3
( C)
x +1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho OA = 4OB.
Ví dụ 10. Cho hàm số y =
x+2
(1).
2x + 3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
Tài liệu bài giảng:
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)
Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo )
Các lưu ý :
+ Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo).
+ Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo.
+ Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo).
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo.
Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :
ax + b
Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y =
cắt các tiệm cận tại A, B. Khi đó ta có các tính chất sau:
cx + d
+ M là trung điểm của AB
+ Diện tích tam giác IAB luôn không đổi, với I là giao điêm của hai tiệm cận
+ Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn nhất.
x+2
Ví dụ 1. Cho hàm số y =
(C ) .
x −1
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B.
a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.
b) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị (I là giao của hai tiệm cận)
Ví dụ 2. Cho hàm số y =
2x − 3
(C ) .
x−2
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề độ dài
đoạn AB ngắn nhất.
Đ/s: M (3;3), M (1;1)
Ví dụ 3. Cho hàm số y =
2x + 1
(C ) .
x −1
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề chu vi
tam giác IAB nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Đ/s: xM = 1 ± 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số y =
2x − 3
(C ) .
x−2
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Đ/s: M (3;3), M (1;1)
Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB, suy ra diện tích
AB 2
đường tròn ngoại tiếp là S = πR = π
, từ đó bài toán quy về tìm M để độ dài AB ngắn nhất.
4
2
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Bài 2. Cho hàm số y =
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
2mx + 3
(C ) .
x−m
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác
IAB có diện tích bằng 64.
Đ/s: m = ±
58
2
Bài 3. Cho hàm số y =
x−2
(C ) .
x +1
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Đ/s: y = x + 2(1 ± 3)
Bài 4. Cho hàm số y =
x
(C ) .
x −1
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2 + 2) .
y = −x
Đ/s:
y = −x + 4
Bài 5. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 1 .
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các trục tọa độ tại A, B. Tìm tọa độ điểm M
biết OB = 3OA, với O là gốc tọa độ.
Đ/s: M (−1;1)
2x − 1
. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp
1− x
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác
IPQ.
Bài 6. Cho hàm số y =
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox.
Kí hiệu k = tanα.
Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.
y − yN
Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi kd = M
xM − x N
Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình d : y = k ( x − x1 ) + y1.
Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.
d : y = k1 x + m1
Cho hai đường thẳng 1
d 2 : y = k2 x + m2
kd = kd 2
+ d1 và d2 song song với nhau thì có cùng hệ số góc : 1
m1 ≠ m2
+ d1 và d2 vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng −1 : kd1 .kd 2 = −1 ⇔ kd2 = −
1
.
kd1
Đạo hàm tại một điểm xo thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.
Tức là ktt = y′ ( xo ) .
Ví dụ 1: Xác định hệ số góc k của các đường cho dưới đây ?
a) 2 x + 3 y − 1 = 0 ←
→ 3 y = −2 x + 1 ⇔ y =
−2
1
2
x +
→k = − .
3
3
3
1
3
1
b) − x + 5 y + 3 = 0 ←
→ 5 y = x − 3 ⇔ y = x −
→k = .
5
5
5
c) 2 x + y + 3 = 0 ←
→ y = 2 x − 3
→ k = 2.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 3
Tìm m để tiếp tuyến
a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0
b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 4 + 2(m − 1) x 2 − 8m − 2
Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ thị hàm số vuông góc với nhau.
Ví dụ 4: Cho hàm số y =
x + 3m
x−m
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy vuông góc với đường thẳng d : x – 2y + 1 = 0
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 + x 2 − x + 1
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + x + 3. Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k.
Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải :
Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : x3 − 3x 2 + x + 3 = k ( x − 2) + 1 ⇔ x3 − 3x 2 + x + 2 = k ( x − 2)
x = 2
⇔ ( x − 2)( x 2 − x − 1) = k ( x − 2) ⇔
2
g ( x) = x − x − 1 − k = 0, (1)
5
a) Hai đồ thị cắt nhau tại duy nhất một điểm khi (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ 1 + 4(1 + k ) < 0 ⇔ k < − .
4
Vậy với k < −
4
thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm.
5
b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.
5
∆ > 0
1 + 4(1 + k ) > 0
k > −
Điều đó xảy ra khi
⇔
⇔
4
g (2) ≠ 0
g (2) = 1 − k ≠ 0 k ≠ 1
4
k > −
Vậy với
5 thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
k ≠ 1
c) Do nghiệm x = 2 > 0 nên để ba giao điểm có hoành đô dương thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt và khác 2.
x1 + x2 > 0
1 > 0
⇔
⇔ k < −1
Gọi hai nghiệm đó là x1 ; x2. Khi đó ta có
−1 − k > 0
x1 x2 > 0
4
Kết hợp với diều kiện tồn tại ba giao điểm ở câu b ta dược − < k < −1 là giá trị cần tim.
5
Ví dụ 7: Cho hàm số y = 2 x3 − 3mx 2 + mx + 1.
a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.
Hướng dẫn giải :
y′ = 6 x 2 − 6mx + m
a) Ta có y = 2 x − 3mx + mx + 1
→
m
→ y′′ = 0 ⇔ x =
y′′ = 12 x − 6m
2
3
2
m2
m
3m 2
m
Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc là ku = y′ = 6.
− 6m. + m = −
+m
4
2
2
2
Đường thẳng ∆ có hệ số góc xác định bởi ∆ : 4 x + y + 1 = 0 ⇔ y = −4 x − 1
→ k∆ = −4.
Tiếp tuyến tại điểm uốn song song với ∆ nên ku = k∆ ⇔ −
Vậy, với m = 2; m = −
m = 2
3m 2
+ m = −4 ⇔ 3m 2 − 2m − 8 = 0 ⇔
m = − 4
2
3
4
thì tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị song song với đường thẳng ∆.
3
b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là ktt = y′ ( −2 ) = 24 + 12m + m = 13m + 24
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
2
2
2
Đường thẳng ∆′ có hệ số góc xác định bởi ∆′ : 2 x + 3 y + 2 = 0 ⇔ 3 y = −2 x − 2 ⇔ y = − x −
→ k ∆′ = − .
3
3
3
Tiếp tuyến tại điểm x = −2 vuông góc với ∆′ nên ktt .k∆′ = −1 ⇔ −
Vậy, với m = −
2
45
(13m + 24 ) = −1 ⇔ 26m + 48 = 3 ⇔ m = −
3
26
45
thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′.
26
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số y = x3 − (m − 2) x2 + mx + 3.
a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0.
Bài 2. đồ thị hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + x + 2, có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k.
a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm.
b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau.
Bài 4. Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương
của đồ thị hàm số.
Bài 5. Cho hàm số y =
( 3m + 1) x − m .
x+m
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5.
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)
2x − 1
, có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
x −1
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Ví dụ 1: Cho hàm số y =
Ví dụ 2: Cho hàm số y =
2x
, có đồ thị là (C).
x−2
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với AB = 2OA
Đ/s: d: x + y – 8 = 0
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số).
Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và
E vuông góc với nhau.
9 − 65
Đ/s: m =
8
Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011)
−x +1
Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
2x −1
phân biệt A, B với mọi giá trị của m. Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B. Tìm k để tổng k1 + k2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s: m = −1; ( k1 + k2 )min = −2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
x +1
, có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
x−2
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Bài 1: Cho hàm số y =
2x −1
, (C ).
x +1
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có
tích hệ số góc bằng −9.
Bài 2: Cho hàm số y =
Bài 3: Cho hàm số y = − x3 + 2 x 2 − 3. Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k.
a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3.
Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x 2 + 4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k.
Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau.
2
5
Bài 6: Cho hàm số y = − x3 + (m − 1) x 2 + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m là tham số.
3
3
Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > 0 và tiếp tuyến của (C m ) tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x − 3 y + 1 = 0.
Bài 7: Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2
(1) với m là tham số.
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α =
1
.
26
x−3
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục
x +1
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 3 (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua
các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2011.OB .
9
Đ/s: k = ; k = 6039.
2
Bài 8: Cho hàm số y =
HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
x +1
, có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
x−2
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.
x +1 x − 2 + 3
3
3
Ta có y =
=
=1+
→ y′ = −
x−2
x−2
x−2
( x − 2)2
Bài 1: Cho hàm số y =
Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) ⇒ yo = 1 +
3
3
→ M xo ;1 +
.
xo − 2
xo − 2
x +1
lim
=∞
x
→2 x − 2
Ta có
, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.
lim x + 1 = 1
x →∞ x − 2
Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).
3
Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ktt = y ′ ( xo ) = −
( xo − 2) 2
3
1 − 1 +
xo − 2
y I − yM
3
Đường thẳng IM có hệ số góc k IM =
=
=
x I − xM
2 − xo
( xo − 2) 2
3
3
Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường IM khi ktt .k IM = −1 ⇔ −
.
= −1
2
( xo − 2) ( xo − 2) 2
xo − 2 = 3
xo = 2 + 3
⇔ ( xo − 2)2 = 3 ⇔
⇔
xo − 2 = − 3
xo = 2 − 3
3
3
+ Với xo = 2 + 3 ⇒ yo = 1 +
=1+
= 1 + 3
→ M 2 + 3;1 + 3
xo − 2
3
3
3
+ Với xo = 2 − 3 ⇒ yo = 1 +
=1+
= 1 − 3
→ M 2 − 3;1 − 3
xo − 2
− 3
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(
)
(
)
2x −1
, (C ).
x +1
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có
tích hệ số góc bằng −9.
Hướng dẫn giải :
3
2
a
−
1
Ta có y′ =
. Gọi M a;
∈ (C )
2
a
+
1
( x + 1)
Bài 2: Cho hàm số y =
Tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc: ktt = y ′(a ) =
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
( a + 1)
2
. Giao điểm hai đường tiệm cận I(−1; 2).
2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Đường thẳng IM có hệ số góc là k IM =
yM − y I
−3
=
.
xM − xI ( a + 1)2
a = 0
4
= −9 ⇔ ( a + 1) = 1
→
( a + 1) ( a + 1)
a = −2
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; −3), M(−2; 5).
Theo bài ta có ktt .k IM = −9 ⇔
3
2
.
−3
2
Bài 3: Cho hàm số y = − x3 + 2 x 2 − 3. Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k.
a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải :
a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 1) − 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : − x3 + 2 x 2 − 3 = k ( x − 1) − 2 ⇔ − x3 + 2 x 2 − 1 = k ( x − 1)
x =1
⇔ ( x − 1)(− x 2 + x + 1) = k ( x − 1) ⇔ 2
2
− x + x + 1 = k ⇔ g ( x) = x − x + k − 1 = 0, (1)
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 1.
5
∆ > 0
1 − 4(k − 1) > 0
k <
Ta có điều kiện
⇔
⇔
4
g (1) ≠ 0 g (1) = k − 1 ≠ 0 k ≠ 1
4
k <
Vậy với
5 thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt, trong đó có điểm M(1 ; −2).
k ≠ 1
x + x = 1
b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) ⇒ x1 ; x2 là hai nghiệm của g(x) = 0, theo định lí Vi-ét ta có 1 2
x1 x2 = k − 1
k A = y′ ( x1 ) = −3 x12 + 4 x1
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là
2
k B = y′ ( x2 ) = −3 x2 + 4 x2
(
)(
)
Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau khi k A .k B = −1 ⇔ −3x12 + 4 x1 −3x22 + 4 x2 = −1
⇔ 9 ( x1 x2 ) − 12 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 16 x1 x2 = −1 ⇔ 9 ( k − 1) − 12 ( k − 1) + 16 ( k − 1) = −1 ⇔ 9k 2 − 14k + 14 = 0
Phương trình trên vô nghiệm, vậy không có giá trị k nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
2
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3.
Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải :
• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3 – (m + 3) x – m – 2 = 0
x = −1 ⇒ y = 3
⇔ ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 ⇔
2
g ( x) = x − x − m − 2 = 0
9
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M ( −1;3) , N , P ⇔ m > − , m ≠ 0
4
x + xP = 1
Khi đó xN ; xP là các nghiệm của phương trình x 2 − x − m − 2 = 0 ⇒ N
x N xP = − m − 2
k = 3xN2 − 3
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k1 và k2 thỏa mãn 1
2
k 2 = 3 xP − 3
−3 + 2 2
m =
3
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi k1.k2 = −1 ⇔ 9m 2 + 18m + 1 = 0 ⇔
−
3
−
2 2
m =
3
−3 ± 2 2
Đối chiếu với điều kiện ta được m =
là các giá trị cần tìm.
3
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x 2 + 4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k.
Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải :
Phương trình đường thẳng (d): y = k(x − 2).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x3 − 3 x 2 + 4 = k ( x − 2) ⇔ ( x − 2)( x 2 − x − 2 − k ) = 0
x = 2 = xA
⇔
2
g ( x) = x − x − 2 − k = 0, (1)
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
∆ > 0
9
⇔
⇔ − < k ≠ 0 (*)
4
f (2) ≠ 0
xM + x N = 1
Theo định lí Viet ta có:
xM x N = − k − 2
Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau khi k M .k N = −1 ⇔ y ′( xM ). y ′( xN ) = −1
⇔ (3 xM2 − 6 xM )(3xN2 − 6 xN ) = −1 ⇔ 9k 2 + 18k + 1 = 0 ⇔ k =
−3 ± 2 2
3
−3 ± 2 2
là các giá trị cần tìm.
3
2
5
Bài 6: Cho hàm số y = − x3 + (m − 1) x 2 + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m là tham số.
3
3
Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > 0 và tiếp tuyến của (C m ) tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x − 3 y + 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
1
Ta có hệ số góc của d : x − 3 y + 1 = 0 ⇒ kd = . Do đó x1 , x2 là các nghiệm của phương trình y ' = −3 , hay
3
2
2
−2 x + 2(m − 1) x + 3m − 2 = −3 ⇔ 2 x − 2(m − 1) x − 3m − 1 = 0
(1)
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 > 0
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m =
∆ ' = (m − 1) 2 + 2(3m + 1) > 0
m < −3
⇔ −3m − 1
⇔
−1 < m < − 1 .
>
0
3
2
1
Vậy kết quả của bài toán là m < −3 và −1 < m < − .
3
Bài 7: Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2
(1) với m là tham số.
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α =
1
26
.
Hướng dẫn giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k ; −1)
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là n2 = (1;1)
3
k1 =
n1 .n2
k −1
1
2
Ta có cos α = ⇔
=
⇔ 12k 2 − 26k + 12 = 0 ⇔
2
26
n1 n2
k = 2
2 k +1
2 3
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình: y ' = k1 (1) và y ' = k2 (2) có nghiệm x
2
3 x + 2(1 − 2m) x + 2 − m =
⇔
3 x 2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m =
3
2
2
3
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
có nghiệm
∆ /1 ≥ 0
⇔ /
∆ 2 ≥ 0
có nghiệm
4
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
1
1
8m 2 − 2m − 1 ≥ 0 m ≤ − 4 ; m ≥ 2
1
1
⇔ 2
⇔
⇔ m ≤ − hoặc m ≥ .
3
4
2
4m − m − 3 ≥ 0
m ≤ − ; m ≥ 1
4
x−3
Bài 8: Cho hàm số y =
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục
x +1
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Hướng dẫn giải:
OB 1
1
Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có tan A =
= ⇒ tiếp tuyến AB có hệ số góc là k = ±
OA 4
4
x=3
4
1
Phương trình y ' = k ⇔
= ⇔ ... ⇔
2
4
( x + 1)
x = −5
1
( x − 3)
4
1
1
13
+ với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình y = ( x + 5) + 2 ⇔ y = x +
4
4
4
+ với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình y =
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
5
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(xA ; yA) không thuộc đồ thị.
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau :
→ d : y = k ( x − xA ) + y A
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k
f ( x) = k ( x − x A ) + y A ,
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm :
k = f ′( x), ( 2 )
(1)
+ Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1). Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta được phương
trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − x − 6
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến
a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = − x3 + 9 x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = − x3 + 9 x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 4. CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số y =
x
đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận.
x +1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
2
a) Biết tiếp tuyến đi qua A ; −1 đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1
3
(
b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 − x 2
).
2
x+2
.
2x −1
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A ( 0; −1) đến đồ thị hàm số y = x3 + x 2 − x + 2.
Đ/s: y = 4 x − 1
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số y =
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 x3 − x 2 + 3x + 1.
Đ/s: y = 3 x + 1
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y = − x3 + 2 x + 5.
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Đ/s: x + y − 7 = 0
1
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A ; 4 đến đồ thị hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3.
2
Đ/s: y = 8 x − 8
x +1
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −6 ) đến đồ thị hàm số y =
.
x+2
Đ/s: y = −3x − 3
2x − 3
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số y =
.
x−2
Đ/s: y = − x + 4
Hướng dẫn giải:
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
2
a) Biết tiếp tuyến đi qua A ; −1 đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1
3
2
2
Gọi d là đường thẳng qua A ; −1 và có hệ số góc k
→ d : y = k x − − 1.
3
3
3
2
x − 3x + 1 = k x − 3 − 1,
Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x – 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm:
k = 3x 2 − 3, ( 2 )
3
(1)
x = 0
2
Thế (2) lên (1) ta được x3 − 3x + 1 = ( 3x 2 − 3) x − − 1 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 = 0 ⇔
3
x =1
2
Với x = 0 ⇒ k = −3
→ d : y = −3 x − − 1 ⇔ y = −3x + 1
3
Với x = 1 ⇒ k = 0
→ d : y = −1.
(
b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 − x 2
)
2
.
Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k
→ d : y = kx + 4.
(
Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 − x
)
2 2
x4 − 4 x2 + 4 = kx + 4,
= x − 4 x + 4 thì hệ sau có nghiệm:
3
k = 4 x − 8 x, ( 2 )
4
2
(1)
x = 0
Ta có (1) ⇔ x4 − 4 x 2 = kx ⇔
3
k = x − 4 x
Với x = 0, ( 2 ) ⇔ k = 0
→d : y = 4
x = 0
3
k = x − 4 x
3
3
3
Với k = x − 4 x
→
→ x − 4 x = 4 x − 8 x ⇔ 3x − 4 x = 0 ⇔ 2 4
3
x = ⇔ x = ± 2
k = 4 x − 8 x
3
3
+ Nếu x = 0 thì ta được d : y = 4.
2
8
8
16
16
+ Nếu x =
⇒k =
−
=−
→d : y = −
x + 4.
3
3 3
3
3 3
3 3
2
8
8
16
16
⇒k =−
+
=
→d : y =
x + 4.
+ Nếu x = −
3
3 3
3 3 3
3 3
x+2
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số y =
.
2x − 1
Gọi d là đường thẳng qua A(1; −2) và có hệ số góc k
→ d : y = k ( x − 1) − 2.
3
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
x+2
2 x − 1 = k ( x − 1) − 2,
x+2
Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
thì hệ sau có nghiệm:
−5
2x − 1
k =
, ( 2)
2
( 2 x − 1)
(1)
x+2
−5
2
=
( x − 1) − 2 ⇔ ( x + 2 )( 2 x − 1) + 5 ( x − 1) + 2 ( 2 x − 1) = 0
2
2 x − 1 ( 2 x − 1)
Thay (2) lên (1) ta được
1
2
−5
⇔ 10 x 2 − 5 = 0 ⇔ x = ±
Với x =
1
⇒k =
2
Với x = −
(
)
2 −1
2
=
1
−5
⇒k =
2
− 2 −1
(
)
2
5
5
→d : y =
( x − 1) − 2
2 2 −3
2 2 −3
=
−5
−5
→d : y =
( x − 1) − 2
3+ 2 2
3+ 2 2
Nhận xét : Ngoài cách giải trên, ta còn có thể thực hiện biến đổi hệ (1), (2) một cách linh hoạt hơn như sau :
5
1
2 ( 2 x − 1) + 2 k
k
= ( 2 x − 1) − − 2
1 5 1
−5
k
x
2
−
1
2
2
→ + .
=
2 x − 1) − − 2
(1) , ( 2) ⇔
2 (
2 2 2 x − 1 2 ( 2 x − 1)
2
−5
k
=
2
( 2 x − 1)
1 5 1
5 1
k
5
k 5
1
−k − 5
⇔ + .
=− .
− −2⇔
=− − ⇔
=
2 2 2x −1
2 2x −1 2
2x −1
2 2
2x −1
10
2
2
1
−k − 5
2
Khi đó ( 2 ) ⇔ k = −5.
⇔ k = −5.
⇔ k + 30k + 25 = 0 ⇔ k = −15 ± 10 2
2x −1
10
(
)
Từ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là y = −15 ± 10 2 ( x − 1) − 2.
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
02. BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN
Thầy Đặng Việt Hùng
Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3 x − x 3 (C).
Tìm trên đường thẳng (d): y = − x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (m; −m) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) − m .
3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1)
3 − 3 x = k
Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3 − 3mx 2 + 4m = 0 ⇔ m =
2 x3
3x 2 − 4
(2)
(*)
(**)
Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có 2 nghiệm phân biệt
Xét hàm số f ( x ) =
2 x3
3x 2 − 4
2 3 2 3
6 x 4 − 24 x 2
f ′( x ) =
;
; f ′( x ) = 0 ⇔ x = 0
2
2
3
3
x = ±2
(3 x − 4)
. Tập xác định D = R \ −
Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m = −2 . Vậy: M(−2;2) hoặc M(2; −2) .
m = 2
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 .
Tìm trên đường thẳng d : y = 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (m;4) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 4
3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x 2− 3 x + 2 = k ( x − m) + 4
3 x − 3 = k
Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0
(1)
(2)
(*)
(3)
x = −1
⇔ 2
2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0
(4)
YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m = −1
+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = −
2
3
2
∨ m=2
3
Vậy các điểm cần tìm là: (−1; 4) ; − ;4 ; (2; 4) .
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m
(Cm).
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (Cm).
Hướng dẫn giải:
PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − 1) + 2 . ∆ là tiếp tuyến của (Cm) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:
x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m = k ( x − 1) + 2
2
3 x − 4 x + m − 1 = k
⇒ f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3(m − 1) = 0 (*)
Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
2
3
2 109
⇒ Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4 − 3m), B ;
− 3m .
3 27
Ta có f ′( x ) = 6 x 2 − 10 x + 4 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1; x =
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
4
m = 3
A ∈ Ox
Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔
.
⇔
B ∈ Ox
m = 109
81
Ví dụ 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (C).
Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (m;2) ∈ (d ) . PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng : y = k ( x − m) + 2
2
− 3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm x 2+ 3 x − 2 = k ( x − m) + 2
−3 x + 6 x = k
(1)
(2)
(*).
Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 x 2 − (3m − 1) x + 2 = 0
x = 2
⇔
2
f ( x ) = 2 x − (3m − 1) x + 2 = 0 (3)
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt
5
∆ > 0
⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔
⇔ m < −1 ∨ m > 3 .
f (2) ≠ 0
m ≠ 2
5
Vậy từ các điểm M(m; 2) ∈ (d) với m < −1 ∨ m > 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
m ≠ 2
2
2
Ví dụ 5: Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x − 1)
Cho điểm A(a;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Hướng dẫn giải:
4
2
Ta có y = x − 2 x + 1 . PT đường thẳng d đi qua A(a;0) và có hệ số góc k : y = k ( x − a)
4
2
x − 2 x + 1 = k ( x − a)
d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:
k = 0
( A)
2
x −1 = 0
Ta có: (I ) ⇔
2
hoặc 4 x( x − 1)2= k
f ( x ) = 3 x − 4ax + 1 = 0 (1)
+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 .
4x3 − 4x = k
(I )
( B)
+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm
phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔
∆′ = 4a2 − 3 > 0
3
3
⇔ −1 ≠ a < −
hoaëc 1 ≠ a >
2
2
f (±1) ≠ 0
Ví dụ 6: Cho hàm số: y =
x+2
(C).
x −1
Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về
2 phía của trục hoành.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a
x +2
x − 1 = kx + a
d là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ PT
có nghiệm
−3
k =
( x − 1)2
⇔ PT: (1 − a) x 2 + 2(a + 2) x − (a + 2) = 0 (1) có nghiệm x ≠ 1 .
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95
Chuyên đề HÀM SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
a ≠ 1
a ≠ 1
⇔
⇔
(*)
a > −2
∆′ = 3a + 6 > 0
Khi đó ta có: x1 + x2 =
2(a + 2)
a+2
3
3
; x1 x2 =
và y1 = 1 +
; y2 = 1 +
x1 − 1
x2 − 1
a −1
a −1
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2 < 0
3
3
x .x + 2( x + x ) + 4
2
1 2
1
2
⇔ 1 +
< 0 ⇔ 3a + 2 > 0 ⇔ a > −
.1 +
<0 ⇔
x
−
1
x
−
1
x
.
x
−
(
x
+
x
3
1
2
1 2
1
2) +1
2
Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a > − 3 .
a ≠ 1
Ví dụ 7: Cho hàm số y =
x +1
(C).
x −1
Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d)
x +1
( y − 1) x 2 − 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1)
x − 1 = kx + yo
o
o
o
⇔
(*)
(d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ −2
−2
=k
=k
x ≠ 1;
2
2
( x − 1)
( x − 1)
YCBT ⇔ hệ (*) có 1 nghiệm ⇔ (1) có 1 nghiệm khác 1
y = 1 y ≠ 1
1
o
o
x = ; yo = 1 ⇒ k = −8
⇔
∨
⇔
1
2
2
∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = 0
x = 2
x
=
0;
yo = −1 ⇒ k = −2
Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).
x +3
(C).
x −1
Tìm trên đường thẳng d : y = 2 x + 1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
Ví dụ 8: Cho hàm số y =
Hướng dẫn giải:
Gọi M (m;2m + 1) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2m + 1
PT hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k ( x − m) + 2m + 1 =
⇔ kx 2 − [(m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = 0 (*)
x+3
x −1
k ≠ 0
2
∆ = [(m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = 0
∆ tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔
k ≠ 0
2 2
2
2
g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = 0
⇔
Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
m = 0
∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0
⇔ g(k ) = 0 có đúng 1 nghiệm k ≠ 0 ⇔ ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0 ⇔ m = −1
m = 2
1
−
=
⇒
+
=
⇒
=
−
m
1
0
16
k
4
0
k
m = 1
4
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
⇒ M (0;1)
⇒ M (−1; −1)
⇒ M (2;5)
⇒ M (1;3)
facebook: LyHung95
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:
02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt lí thuyết cơ bản :
Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c
Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có y′ = 3bx + c ⇒ y′ = 0 ⇔ x = −
c
3b
Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 + 2mx − 3 + m tùy theo giá trị của tham số m.
1
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số y = − (m + 1) x3 + ( 2m − 1) x 2 + mx + 3m − 2 tùy theo giá trị của tham
3
số m.
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Phương pháp chung :
+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu.
+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu.
+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm.
Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước.
Phương pháp 1: (Sử dụng y’’)
y ′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔
y ′′ ( x0 ) < 0
y ′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔
y ′′ ( x0 ) > 0
y ′ ( x0 ) = 0
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại x = x0 ⇔
y ′′ ( x0 ) ≠ 0
Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn
facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn
+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 ⇔ y′ ( x0 ) = 0
→ m.
+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay
cực tiểu tại điểm x0 hay không.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 2) x 2 + (m + 1) x + 3 − m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Dạng 2. Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 − x2 = k
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho ax1 + bx2 = c
x1 < x2 < α
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho
β < x1 < x2
x1 < γ < x2
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 − x2 ≤ 2.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2 x3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1
Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 sao cho x12 = x2 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 3
1
x − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x +
3
3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1.
Bài 1: Cho hàm số y =
Đ/s : m =
−4 ± 34
4
m 3
x + (m − 2) x 2 + (m − 1) x + 2
3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 < x2 < 1.
Bài 2: Cho hàm số y =
Đ/s :
5
4
- Xem thêm -
.PDF 
90 
4673 
127 
