Mô tả:
CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN DÃY SỐ&HÀM SỐ - HÀMSỐ LIÊN TỤC
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Các quy tắc giới hạn vô cực của dãy số
*Quy tắc 2 (Quy t¾c nh©n)
lim u n
lim v n = a (dấu của a)
lim u n / v n
0
+
0
+
*Quy tắc 1
lim u n
lim v n
a
a
lim u n a 0
dÊu a
lim v n 0, v n 0
+
+
un
vn
( v n cã dÊu)
lim
+
+
2n 2 3n 5
lim
b).
3
.
2
n 2n 1
3n 4 4n 2 2 n 5
a) lim 4
n 3n3 5n 6
f ( n)
Bài 1. Tính:(Dạng1: lim
):
g ( n)
lim
*Quy tắc 3 (Quy t¾c chia)
2n 2 +4 4n 2 5n 7
(5n 2 n)(2n3 1)(4n 5)
2n n 1
lim
)lim
e)
f).
6n 5
(6n 4 3n 1)(3n 2 7)
3n 1
n2 n 3
f (n) - g(n) ) a) lim
n 2 4n+2 - n
b) lim
f (n)
Bài 4. Tính (Dạng 4 giới hạn vô cực dạng : *limf(n) * lim
* lim
g (n)
a) lim( 2n3 4n 2 n 7)
b)lim ( 3n 4 4n3 8)
e)lim 2n 2 5n 3
f) lim
n 2 -3n-2 + n
5.4n 2.3n
c) lim
n
n
3.5 4.2
c) lim
f (n) * lim
f (n) + g(n) )
m
d) lim
2n 2 +4n+1 + n
3n 2 + 5n+ 4
;
2 - n2
2n 3
1 - 5n 2
5)lim 2
+
;
2n + 3 5n+1
9)lim
(2n 1)( n 2)
;
2n 2 3n 1
13)lim
17)lim
21)lim
10) lim
1+ 4n + 9n 2
;
1 - 2n
3n n 2 n 2
;
n2 n 1
3n2 +1 - n2 - 1
;
n
5 n 2 5n 1
;
(5n 2)( n 4)
14)lim
18)lim
22 )lim
25 )lim n - 1( n+ 2 - n );
GV HOA HOÀNG TUYÊN
6 + 3n - n 2
;
3n 2 + 5
n3
3n 2
6)lim 2
;
n +1 3n+1
2)lim
3
11)lim
2n 2 - n + 4
2n 4 - n 2 +1
n 2 3 4n 2 1
27 n n 3
3
2n 2 +1 - n2 +1
;
n+1
26)lim
3
2n 3 - 4n 2 + 3n+7
;
n 3 -7n+ 5
n 2 - n+ 3
7)lim 3
;
n + 3n
3)lim
;
19) lim
.
n +1 - n ;
2
23)lim
n 3 - 2n 2
1
n 4 - 2n + 3
;
-2n 2 + 3
n6 + 3n 2 - 3
2n6 + n 5 - 2
3
3n 4 n 2 7
5n 2 2n 1
2n 5 - 6n+ 9
;
1- 3n 5
1 2 3 ... n
8) lim
n 2 + 3n
4)lim
12)lim
16)lim
2n n 1
;
n2 n 3
1 3 n3 n 2 1
2n 3
20)lim
n2 + n - n ;
24)lim( n 2 + n - n 2 +1 );
n 2 -1 ;
27 )lim
n 2 +4n+1 - n
2n3 4n 2 1
( n 2 n)(2 n 3 1)(4 n 5)
;
( n 4 3n 1)(3n 2 7)
15)lim
3
h) lim
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1)lim
2 4 6 ... (2n)
3n 2 n 7
2 n 3 5n 2 2 n 6
2
2 n 5n 1
g) lim
5n3 2n 2 4
d)
2n3 3n 1
n 2 -3n-2 - n
c) lim
c)lim
g) lim
2.4n 5.3n 3
4.4 n 2.3n
lim
Bài 2. Tính (Dạng 2:chứa lũy thừa ) a) lim n
b)
n
n
n
2 5.4 1
5.4 3.2
Bài 3. Tính (Dạng3:lim
lim u n .v n
n2 - n3 + n .
CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ.
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
f x 0
1. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x a g x
0
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
f x
g x
2. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x
o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x thì coi như x>0, nếu x thì
coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
0. . Ta biến đổi về dạng:
0
;
0
f x .g x
3. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x
f x
4. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x
g x
-
Bài 4. Tính GH dạng.
3x-1
a. lim
x 2x 1
x
g x
g x
b. xlim
-1
4x
0
(nhân lượng LH)a. xlim
b. lim(
0
0
x 0
9 x 3
x 2 2 x 15
0
(chia đa thức ) a. xlim
3
x 3
0
Bài 3. Tính GH dạng .
x
f x
f
lim
2x 2 + 3x +1
2
-x + 4x + 2
2 x3 3x 4
Bài 1. Tính GH dạng HSố xác định tại x 0 : a. xlim
2
Bài 2. TínhGH:dạng
Đưa về dạng:
2x 2
x2
1+ 2x - 1
)
2x
c. xlim
2
2 x3 3 x 1
x2 1
b. xlim
1
đưa x mũ lớn nhất làm nhân tử chung (chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất)
2x x 3
x2 2 x 3
x 1 2 x 1 .
b. Lim 2
c. lim 2
d . Lim
x
x 2x x x
x 3 x 2 x 3
x x 1
Bài 5. Tính GH dạng.
a) a) lim
x +
lim x+1
Bài 6. Tính GH dạng: 0.
x
3
Bài 7 (Dạng vô cực): a. xlim 2 x 5 x 1
x 2 + 3x +4 - x
b) lim
x
x 2 + 3x - 1 + x
2x +1
x + x+ 2
3
2x 3 + 3x +1
b. lim 2
x
x + 4x + 2
4
2
c. xlim 2 x 5 x 1
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Tính các gới hạn
2
+ 2x +1)
1. lim(x
x -1
2. lim(x+ 2 x +1)
x 1
3. lim 3 - 4x
2
4. lim
x 3
x 1
x +1
;
2x - 1
Bài 2: Tính các gới hạn
x2 - 1
1)lim
;
x 1 x - 1
x2 - x
5)lim
;
x 1
x -1
2x 2 - 3x +1
;
1 x 3 - x 2 - x +1
9)lim
x
x-3
2)lim 2
;
x 3 x + 2x - 15
x - 2
3
x - 2 + 8
7)lim
;
x 2
3
1
6)lim
;
x 1 1- x 1- x 3
3
2
x + x - 2x - 8
10)lim
;
x 2
x 2 - 3x + 2
Bài 3: Tính các giới hạn sau (Tìm giới hạn dạng
GV HOA HOÀNG TUYÊN
3)lim
x 2 - 3x + 2
x
x 0
;
x4 - 1
4)lim 2
;
x 1 x + 2x - 3
2 x + h - 2x 3
3
8)lim
h 0
h
;
x 3 - 4x 2 + 4x - 3
8x 3 - 1
;
12)lim
;
1 6x 2 - 5x +1
3
x 2 - 3x
x
11)lim
x
2
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai)
2
CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC
x+4 - 2
;
x
1)lim
x 0
x+3 - 2
;
x -1
2)lim
x 1
2- x-2
;
7 x 2 - 49
x - 2x - 1
;
x 1 x 2 - 12x+11
3)lim
x
4)lim
x+4 - 3
x 2 +5 - 3
x 3 +1 - 1
;
7)lim
;
8)lim
;
x 6
x 5 x 2 - 25
x 2
x 0
x-2
x2 + x
0
Bài 4: Tính các giới hạn sau (Tìm g hạn dạng của hàm phân thức chứa căn thức bậc ba và bậc cao)
0
x-2 -2
;
x -6
5)lim
3
6)lim
3
4x - 2
;
x-2
1)lim
x 2
2)lim
x 0
3
2x - 1 - 3 x
5)lim
;
x 1
x -1
3
1- x - 1
;
x
3)lim
x 1
4)lim 3
x -1
;
x - 2 +1
8)lim
9+ 2x - 5
;
3
x -2
x 1
x + x 2 + x+1
7) lim
;
x -1
x+1
3
x - 1+ 3 x+1
6)lim
;
x 0
2x+1 - x+1
Bài 5: Tính các giới hạn sau (Tính giới hạn dạng
3
2x - 1 - 1
;
x -1
3
x 8
0
của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng)
0
2 1+ x - 3 8 - x
2x - 1 + 3 x - 2
2x + 2 - 3 7x +1
1- 2x - 3 1+3x
; 2)lim
;
3)lim
;
4)lim
x 0
x 1
x 1
x 0
x
x-1
x -1
x
Bài 6: Tính các giới hạn sau
3x 2 2x - 1 3x 2 + x+1
-6x 5 +7x 3 - 4x+3
x+ x 2 + 2
1) lim 5
;
2)
lim
;
3)
lim
;
x + 8x - 5x 4 + 2x 2 - 1
x 2x+1
x
4x 2
8x 2 + 5x+ 2
1)lim
2x - 3 4x+7
2
4) lim
x +
3x
2
3
+1 10x 2 + 9
;
5 ) lim
x +
x+ x 2 +1
2x+ x+1
;
x+ x 2 + x
6 ) lim
x
3x - x 2 +1
Bài 7: Tính các giới hạn sau (Tính giới hạn dạng của hàm số)
1) lim
x +
4) lim
x +
5) lim
x+1 - x ;
2) lim
x +
3x 2 + x+1 - x 3 ;
x
;
6) lim
x 2 + x+1 - x ;
x
3x 2 + x+1 + x 3 ;
x 2 +1+ x - 1 ;
3) lim
2x 2 +1 + x ;
x
Bài 8: Tính các giới hạn sau (Giới hạn một bên)
x+2 x
1) lim
;
x 0
x- x
5) lim
x
-2
3x +6
;
x+2
4 - x2
2) lim
;
x 2
2- x
6) lim
x
- 2
3) lim
x 2 -7x +12
;
4) lim
3x +6
x 2 + 3x + 2
; 7) lim
;
x - 1
x+ 2
x +1
8) lim
x 3
9 - x2
x
x
-1
- 1
x 2 + 3x + 2
x5 + x4
;
x 2 + 3x + 2
;
x +1
Bài 9: Tính các giới hạn sau (Tính giới hạn dạng 0. của hàm số)
1) lim+ x - 2
x 2
x
;
x -4
2
2) lim + x 3 +1
x -1
x
;
x -1
3) lim x+2
2
x +
x -1
;
x3 + x
4) lim x+1
x
2x+1
;
x + x+2
3
x3
v�i x<1
lim f x , lim f x v� lim f x
f x 2
x 1
x 1
Bài 10: Cho hàm số
(nếu có).
2x 3 v�i x 1 . Tìm x 1
2 x 1
v�i x -2
lim f x , lim f x v� lim f x
f x
x 2
x 2
x 2
2
Bài 11: Cho hàm số
.
Tìm
(nếu có).
2x 1 v�i x 2
x 2 2x 3 v�i x 2
lim f x , lim f x v� lim f x
f x
x 2
x 2
x 2
Bài 12: Cho hàm số
(nếu có).
4x 3 v�i x 2 . Tìm
GV HOA HOÀNG TUYÊN
3
CHUYÊN ĐỀ :GIỚI HẠN & LIÊN TỤC LỚP 11 NC
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
lim
f x f x0 .
o f(x) xác định trên (a;b) được gọi là liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng ấy.
o f(x) được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
lim
f x f a
x a
lim f x
f b
x b
2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c
(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B. CÁC DẠNG TOÁN QUAN TRỌNG.
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm x x0
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm chỉ ra:
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) . f(x) liên tục tại điểm x0 (a;b)
x x0
x 3x 4
a) f(x) =
2 - x
2
c) f(x) =
khi x 1
tại xo = 1
khi x 1
4 x2
khi x 2
x2
2x khix 2
tại xo = 2
x 2 3x 2
khi x 2
x 2
b) f(x) =
11 +x
khi x 2
3
3
x
khi x 0
2
d) f(x) =
x 1 1 khi x 0
x
tại xo = 2
tại xo = 0
Dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định hàm số
2. Xét sự liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:
x 2 3x 2
x2 9
khi x 1
khi x 3
x 1
f(x) = x 3
d) f(x) =
x
x 5
khi
x
3
khi x 1
2
Dạng 3:Tìm m để hàm số liên tục tại x 0
3. Tìm m để hàm số liên tục tại x 0 chỉ ra
x2 4x 3
a) f x x 1
x - m
x 1
x=1
x 0 =1
x2 4
b) f x x 2
2x - m
x 2
x < 2
tại x0 = 2.
Dang 4 : chứng minh phương trình y=f(x) =0 có nghiệm trên khoảng (a;b)
4 Chứng minh rằng phương trình:
a) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm
d. 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
3
b) x -3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.
e. x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).
3
c)2x -6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
5. CMR phương trình: x2016 + 3x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( -1 ; 0 )
6.CMR phương trình: x 5 - 3x 3 + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương
GV HOA HOÀNG TUYÊN
4
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ-HÀM SỐ
ÔN TẬP : KIỂM TRA 1 TIẾT GIỚI HẠN& LIÊN TỤC 11NC và CHUẨN
I) PHẦN GIỚI HẠN DÃY SỐ:
3n 2 + 5n + 4
2n 3 - 4n 2 + 3n+7
1)lim
;
2
)lim
;
2 - n2
n 2 -7n+ 5
3n 4n
5) Lim
n
n
3.4 2
II) PHẦN GIỚI HẠN HÀM SỐ:
4) lim
n2 n 1 n
3 )lim
n 2 - n+ 3
;
n 3 + 3n
6) lim (n3
3n2 2n 5)
Loại 1: gh hàm số xác định tại x 0
x 2 + x+1
1 2x 5 +3
x
x -1
1 2x +1
2) lim
1) lim
x
Loại 2: gh hàm số không xác định tại x 0 ( gh vô cực)
4
2
x 3 + x +1
2
3) lim ( x 1 x )
4) lim (2 x 5 x 1)
lim
x
x
x
x 2x + 3
0
Loại 3: gh hàm số dạng vô định ( ; ; 0. ; )
0
2
3
2
3
1 2x 1 0
4x
2x - 3x+1
x + x - 2x - 8
2x - 1 - 1
3) Lim
4) lim
5) Lim
( )
1)lim 3 2
; 2 )lim 2
;
x
0
x
0
x 1 x - x + x -1
x 2
x 1
x - 3x+ 2
4 x 2 0
9 x 3
x -1
1)
lim ( x3 2 x 2 5 x 1)
-6x 5 +7x 3 - 4x + 3
6) lim 5
x 8x - 5x 4 + 2x 2 - 1
10) lim
x +
x+1 - x ;
2)
2x - 3 4x +7
2
7) lim
x
11) lim
3x
x
2
2
3
+1 10x + 9
x 2 + 2x + x ;
(
x
) 8) lim x - 2
;
2
x 2
x -4
12/ lim(
x 2
1
1
2
);
x 2 x 3x 2
9 ) lim x+1
x
13/ lim (
x
2x+1
(0. )
x + x+2
3
3x 2 (2 x 1)(3 x 2 x 1)
)(
2x 1
4x2
3
) 14 )lim 1- 2x - 1+ 3x ; 15/ lim x 1 2 x 3 1 (gọi hằng số vắng)
x 3
x 0
x
x 3
Loại 4: gh một bên của hàm số
x3
v�i x<1
lim f x , lim f x v� lim f x
f x 2
x 1
x 1
1/ Cho hàm số
(nếu có).
2x 3 v�i x 1 . Tìm x 1
3x - 1
3x - 1
2x - 1
2/ Tìm các giới hạn
a) lim
b) lim
c) lim
x x + 2
x 1
x 1
x -1
x -1
2
2
x + 3x - 1
x + 3x - 1
e) lim
f) lim
x ( 1)
x
(
1)
x +1
x +1
2
2m x 2...khi...x 2
3/ Cho f(x)=
.Tìm m để ta có giới hạn lim
f(x) và tìm giới hạn nầy?
x 2
5
3
x
.......
khi
...
x
2
Loại 5: Tính liên tục của hàm số
1. Chứng minh rằng phương trình: sinx-x +1=0 Có ít nhất một nghiệm
2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:
3.
x3 3x 14
khi x 2
f(x)
x2
5a 2x
khi x 2
x3 8
v�i x 2
Hàm số f x 4x 8
có liên tục tại x= - 2
3
v�i x=-2
x 1
, ne�
u x 1
ta�
i x 1
4. Xét tính liên tục của hàm số: g(x) 2 x 1
2x
ne�
u x1
2
x 2
ax
f
x
5. Cho hàm số:
a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại x=2
x>2
3
GV HOA HOÀNG TUYÊN
Trang 5
d) lim
x
2x - 1
x+2
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ-HÀM SỐ
ĐỀ KT 15 PHÚT LỚP 11D1 HK II LẦN 1
3n 2 5n 1
lim 4
2
Câu 1: Tìm giới hạn
n -7n 2 (4điểm)
2x 2 + x +1
Câu 2: Tìm giới hạn xlim
(3điểm)
2
x-2
3x +1
lim
Câu 3: Tìm giới hạn x x + 4
(3điểm)
GV HOA HOÀNG TUYÊN
Trang 6
- Xem thêm -
.DOC 
6 
5261 
101 
