Tài liệu Chuyên đề giải một bài toán quỹ tích

Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn Gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch nh thÕ nµo - Néi dung 1. §Þnh nghÜa quü tÝch. Mét h×nh (H) ®îc gäi lµ quü tÝch cña nh÷ng ®iÓm M cã mét tÝnh chÊt  (hay tËp hîp cña nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt  ) khi nã chøa vµ chØ chøa nh÷ng ®iÓm cã tÝnh chÊt  . Muèn chøng minh quü tÝch (tËp hîp) c¸c ®iÓm M tho¶ m·n tÝnh chÊt  lµ mét h×nh H nµo ®ã, ta ph¶i chøng minh hai phÇn: PhÇn thuËn: Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt  ®Òu thuéc h×nh H. PhÇn ®¶o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt  . KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hîp) c¸c ®iÓm cã tÝnh chÊt  lµ h×nh H. 2. Nh÷ng thao t¸c t duy cÇn thiÕt cho viÖc chuÈn bÞ gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch. ViÖc gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch vÒ thùc chÊt lµ chøng minh mét d·y liªn tiÕp c¸c mÖnh ®Ò to¸n häc. Nhng kh¸c víi c¸c bµi to¸n chøng minh h×nh häc, trong phÇn lín c¸c bµi to¸n quü tÝch, ®Çu tiªn ta ph¶i t×m ra cho ®îc c¸i ta cÇn ph¶i chøng minh. Nh÷ng thao t¸c t duy chuÈn bÞ sÏ gióp ta ®Þnh híng ®îc suy nghÜ, h×nh dung ra ®îc quü tÝch cÇn t×m lµ mét h×nh nh thÕ nµo vµ trong mét chõng mùc nµo ®ã, nã gióp ta biÕt ph¶i chøng minh phÇn thuËn, phÇn ®¶o, giíi h¹n v.v.... nh thÕ nµo? Díi ®©y t«i xin tr×nh bµy kÜ nh÷ng thao t¸c t duy chuÈn bÞ c¬ b¶n nhÊt. 2.1 T×m hiÓu kÜ bµi to¸n T×m hiÓu kÜ bµi to¸n tøc lµ n¾m ch¾c ®îc nh÷ng yÕu tè ®Æc trng cho bµi to¸n. Trong mét bµi to¸n quü tÝch thêng cã 3 lo¹i yÕu tè ®Æc trng: a) Lo¹i yÕu tè cè ®Þnh: th«ng thêng lµ c¸c ®iÓm. b) Lo¹i yÕu tè kh«ng ®æi: nh ®é dµi ®o¹n th¼ng, ®é lín cña gãc, diÖn tÝch h×nh v.v... C¸c yÕu tè cè ®Þnh hoÆc kh«ng ®æi thêng ®îc cho ®i kÌm theo c¸c nhãm tõ “cè ®Þnh”, “cho tríc”, “kh«ng ®æi”. c) Lo¹i yÕu tè thay ®æi: th«ng thêng lµ c¸c ®iÓm mµ ta cÇn t×m quü tÝch hoÆc c¸c ®o¹n th¼ng, c¸c h×nh mµ trªn ®ã cã ®iÓm mµ ta cÇn t×m quü tÝch. C¸c yÕu tè thay ®æi thêng cho kÌm theo nhãm tõ: “di ®éng”, “di chuyÓn”, “ch¹y”, “thay ®æi” v.v.... Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -1- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn VÝ dô 1: Cho mét gãc vu«ng xOy cè ®Þnh vµ mét ®o¹n th¼ng AB cã ®é dµi cho tríc; ®Ønh A di chuyÓn trªn c¹nh Ox, ®Ønh B di chuyÓn trªn c¹nh Oy. T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB. Trong bµi to¸n nµy th×: + YÕu tè cè ®Þnh: §Ønh O cña gãc xOy. + YÕu tè kh«ng ®æi: ®é dµi ®o¹n th¼ng AB. + YÕu tè thay ®æi: ®iÓm A, ®iÓm B vµ do ®ã kÐo theo trung ®iÓm M cña AB còng thay ®æi. CÇn chó ý lµ trong mét bµi to¸n cã thÓ cã nhiÒu yÕu tè cè ®Þnh, nhiÒu yÕu tè kh«ng ®æi, nhiÒu yÕu tè thay ®æi. Do vËy, ta chØ tËp trung vµo nh÷ng yÕu tè nµo liªn quan ®Õn c¸ch gi¶i cña ta mµ th«i. Còng cÇn biÕt r»ng c¸c yÕu tè cè ®Þnh, kh«ng ®æi, thay ®æi kh«ng ph¶i lóc nµo còng ®îc cho mét c¸ch trùc tiÕp mµ ®«i khi ph¶i ®îc hiÓu mét c¸ch linh ho¹t. Ch¼ng h¹n khi nãi: “Cho mét ®êng trßn cè ®Þnh...” th× ta hiÓu r»ng t©m cña ®êng trßn lµ mét ®iÓm cè ®Þnh vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn lµ mét ®é dµi kh«ng ®æi, hay nh trong vÝ dô 2 sau ®©y. VÝ dô 2: Cho mét ®êng th¼ng b vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh kh«ng thuéc ®êng th¼ng b. Mét tam gi¸c ABC cã ®Ønh B di chuyÓn trªn ®êng th¼ng b sao cho nã lu«n lu«n ®ång d¹ng víi chÝnh nã. T×m tËp hîp ®Ønh C. Trong vÝ dô nµy ta dÔ dµng thÊy: + YÕu tè cè ®Þnh: ®Ønh A, ®êng th¼ng b. + YÕu tè thay ®æi: ®Ønh B, ®Ønh C. Cßn yÕu tè kh«ng ®æi lµ g×? ®ã lµ h×nh d¹ng cña tam gi¸c ABC. NÕu dõng l¹i ë kh¸i niÖm chung lµ h×nh d¹ng kh«ng ®æi (tù ®«ng d¹ng) th× ta kh«ng thÓ gi¶i ®îc bµi to¸n. Do vËy, ta ph¶i cô thÓ ho¸ gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC lu«n tù ®ång d¹ng ra nh sau: - C¸c gãc A, B, C cã ®é lín kh«ng ®æi; tØ sè c¸c c¹nh, ch¼ng h¹n AC AB lµ mét sè kh«ng ®æi. Nh vËy, viÖc t×m hiÓu kÜ bµi to¸n còng ®ßi hái ph¶i suy nghÜ, chän läc ®Ó t×m ®îc nh÷ng yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi, yÕu tè thay ®æi thÝch hîp, gióp cho viÖc t×m ra c¸ch gi¶i bµi to¸n. 2.2 §o¸n nhËn quü tÝch Thao t¸c t duy ®o¸n nhËn quü tÝch nh»m gióp HS h×nh dung ®îc h×nh d¹ng cña quü tÝch (®êng th¼ng, ®o¹n th¼ng, cung trßn, ®êng trßn), nhiÒu khi cßn cho HS biÕt c¶ vÞ trÝ vµ kÝch thíc cña quü tÝch n÷a. §Ó ®o¸n nhËn quü tÝch ta thêng t×m 3 ®iÓm cña quü tÝch. Muèn vËy nªn xÐt 3 vÞ trÝ ®Æc biÖt, tèt nhÊt lµ sö dông Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -2- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn c¸c ®iÓm giíi h¹n, víi ®iÒu kiÖn vÏ h×nh chÝnh x¸c, trùc gi¸c sÏ gióp ta h×nh dung ®îc h×nh d¹ng quü tÝch. - NÕu 3 ®iÓm ta vÏ ®îc lµ th¼ng hµng th× cã nhiÒu kh¶ n¨ng quü tÝch lµ ®êng th¼ng. - NÕu 3 ®iÓm ta vÏ ®îc lµ kh«ng th¼ng hµng th× quü tÝch cÇn t×m lµ ®êng trßn. Ta sÏ lµm s¸ng tá ®iÒu nµy trong vÝ dô sau: VÝ dô 3: Cho nöa ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB=2R. Mét ®iÓm M di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn. Nèi AM vµ ®Æt trªn tia AM mét ®o¹n AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. §o¸n nhËn quü tÝch - Khi M  B th× BM  O do vËy AN  O hay N  A. VËy A lµ mét ®iÓm cña quü tÝch. - Khi M ®Õn vÞ trÝ ®iÓm I, ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, th× do AI=BI nªn N  I. VËy I lµ mét ®iÓm cña quü tÝch. t' B' I M N A O B - Khi M  A th× d©y cung AM ®Õn vÞ trÝ cña tiÕp tuyÕn At víi ®êng trßn t¹i ®iÓm A vµ do BM=BA nªn ®iÓm N sÏ dÇn ®Õn vÞ trÝ ®iÓm B’ trªn tiÕp tuyÕn At sao cho AB’=AB=2R; B’ lµ mét ®iÓm cña quü tÝch. Do 3 ®iÓm A, I, B’ kh«ng th¼ng hµng nªn ta dù ®o¸n r»ng ®iÓm N sÏ n»m trªn ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm A, I, B’, tøc lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB’. VÝ dô 4: Cho gãc vu«ng xOy. Mét ®iÓm A ch¹y trªn Ox, mét ®iÓm B ch¹y trªn Oy. Ngêi ta dùng h×nh ch÷ nhËt OAMB. T×m tËp hîp ®iÓm M sao cho chu vi h×nh ch÷ nhËt OAMB b»ng mét ®é dµi 2p cho tríc. Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -3- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn y §o¸n nhËn quü tÝch D DÔ thÊy MA +MB = p M B Khi A  O th× B  D trªn Oy, mµ OD = p Khi B  O th× A  C trªn Ox, mµ OC = p. o A C x Dù ®o¸n tËp hîp cña M lµ ®o¹n th¼ng CD. VÝ dô 5: Cho mét gãc vu«ng xOy vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh n»m trong gãc ®ã. Mét gãc vu«ng tAz, ®Ønh A, quay xung quanh ®Ønh A; c¹nh At c¾t Ox ë B vµ Az c¾t Oy ë C. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng BC. Dù ®o¸n quü tÝch y A - Khi B  O th× ®iÓm C sÏ M1 dÇn ®Õn vÞ trÝ ®iÓm C1 thuéc C Oy vµ ®iÓm M ®Õn vÞ trÝ M1 M z sao cho M1O=M1C1=M1A x O B M 2  M1 n»m trªn ®êng trung t trùc cña OA. - Khi C  O th× ®iÓm B sÏ dÇn ®Õn vÞ trÝ B1 thuéc Ox vµ ®iÓm M ®Õn vÞ trÝ M2 sao cho M2O=M2B1=M2A  M2 n»m trªn ®êng trung trùc cña OA. Dù ®o¸n quü tÝch lµ ®o¹n M2M1 thuéc ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng OA, phÇn n»m trong gãc xOy. 3. Gi¶i bµi to¸n quü tÝch nh thÕ nµo? CÇn lµm cho häc sinh hiÓu, gi¶i mét bµi to¸n quü tÝch lµ tiÕn hµnh chøng minh phÇn thuËn (bao gåm c¶ phÇn giíi h¹n quü tÝch) vµ chøng minh phÇn ®¶o. Sau ®©y t«i sÏ ®i s©u h¬n vµo c¸c phÇn nµy. 3.1 Chøng minh phÇn thuËn Mét trong nh÷ng ph¬ng híng ®Ó chøng minh phÇn thuËn lµ ®a viÖc t×m quü tÝch vÒ c¸c quü tÝch c¬ b¶n. Trong ch¬ng tr×nh häc ë trêng Phæ th«ng c¬ së, häc sinh ®· ®îc giíi thiÖu c¸c quü tÝch (c¸c tËp hîp ®iÓm) c¬ b¶n sau: 1) TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm cè ®Þnh lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm Êy. 2) TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai c¹nh cña mét gãc lµ tia ph©n gi¸c cña gãc Êy. Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -4- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn 3) TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm c¸ch ®êng th¼ng b mét kho¶ng l cho tríc lµ hai ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng b vµ c¸ch ®êng th¼ng b mét kho¶ng l. 4) TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm c¸ch mét ®iÓm cè ®Þnh O mét kho¶ng kh«ng ®æi r lµ ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh r. 5) TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tríc mét gãc AMB cã sè ®o b»ng  (  kh«ng ®æi) lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB (gäi lµ cung chøa gãc  vÏ trªn ®o¹n AB). Trêng hîp ®Æc biÖt: TËp hîp c¸c ®iÓm M lu«n nh×n hai ®iÓm cè ®Þnh A, B díi mét gãc vu«ng lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Muèn vËy, ta t×m c¸ch thay viÖc t×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt  b»ng viÖc t×m quü tÝch ®iÓm M cã tÝnh chÊt  ’ vµ quü tÝch cña nh÷ng ®iÓm tho¶ tÝnh chÊt  ’ lµ mét trong nh÷ng quü tÝch c¬ b¶n mµ ta ®· biÕt. (nh vËy  ’ cã thÓ lµ “c¸ch ®Òu hai ®iÓm cè ®Þnh”; “c¸ch mét ®iÓm cè ®Þnh mét ®o¹n kh«ng ®æi”; “ c¸ch mét ®êng th¼ng cè ®Þnh mét ®o¹n kh«ng ®æi” v.v...). Nh vËy ta thay viÖc xÐt mÖnh ®Ò M(  ) b»ng viÖc xÐt mÖnh ®Ò M(  ’) mµ M(  )  M(  ’) VÝ dô 6: Cho tam gi¸c ABC vµ mét ®iÓm D di chuyÓn trªn c¹nh ®¸y BC. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AD. §o¸n nhËn quü tÝch  NÕu D  B th× M  P, mµ AP=BP. P lµ mét ®iÓm thuéc quü tÝch.  NÕu D  C th× M  Q, mµ AQ=QC. Q lµ mét ®iÓm thuéc quü tÝch.  NÕu D  H (víi AH  BC t¹i H) th× M  I, mµ IH=AH. H lµ mét ®iÓm thuéc quü tÝch. Do 3 ®iÓm P, I, Q th¼ng hµng nªn ta dù ®o¸n quü tÝch ®iÓm M lµ ®o¹n th¼ng PQ, lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC. Ph©n tÝch phÇn thuËn A Tõ M kÎ MK  BC vµ kÎ ®êng cao AH cña  ABC. DÔ thÊy MK= AH 2 P .  ABC cè ®Þnh nªn AH kh«ng B ®æi suy ra MK kh«ng ®æi. D Q M K H - VËy ®iÓm M lu«n lu«n c¸ch BC mét ®o¹n kh«ng ®æi b»ng thÊy ë ®©y lµ: M(  ): M lµ trung ®iÓm cña AD. M(  ’): M c¸ch BC mét ®o¹n kh«ng ®æi. Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -5- C AH 2 . Ta cã thÓ Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn Nh vËy lµ ta thay viÖc t×m quü tÝch ®iÓm M, trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AN, b»ng viÖc t×m quü tÝch cña ®iÓm M lu«n c¸ch c¹nh BC mét ®o¹n kh«ng ®æi b»ng AH 2 , mµ quü tÝch nµy th× ta ®· biÕt t×m, lµ d¹ng bµi to¸n quü tÝch c¬ b¶n thø 3. VÝ dô 7: Cho mét tam gi¸c cè ®Þnh ABC. Mét ®iÓm D di chuyÓn trªn c¹nh ®¸y BC. Qua D ngêi ta kÎ ®êng th¼ng song song víi c¹nh AC c¾t c¹nh AB ë E vµ ®êng th¼ng song song víi c¹nh AB c¾t c¹nh AC ë F. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng EF. Ph©n tÝch phÇn thuËn V× DF//AE vµ DE//AF nªn tø gi¸c A AEDF lµ h×nh b×nh hµnh, hai ®êng F chÐo EF vµ AD giao nhau t¹i trung P Q ®iÓm, vËy M lµ trung ®iÓm cña EF M E còng lµ trung ®iÓm cña AD. Bµi to¸n ®îc ®a vÒ viÖc t×m quü tÝch cña C B D trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AD. - TÝnh chÊt  ë ®©y lµ: M(  )  M lµ trung ®iÓm cña EF. - TÝnh chÊt  ’ ë ®©y lµ: M(  ’)  M lµ trung ®iÓm cña AD. Vµ ta ®· thay viÖc t×m quü tÝch trung ®iÓm cña EF b»ng viÖc t×m quü tÝch trung ®iÓm cña AD, mµ quü tÝch nµy th× ta ®· cã c¸ch ®a vÒ quü tÝch c¬ b¶n trong vÝ dô 6. CÇn lu ý lµ khi thay c¸c ®iÓm M(  ) b»ng c¸c ®iÓm M(  ’) mµ M(  )  M(  ’) th× tËp hîp c¸c ®iÓm M(  ) chØ lµ mét tËp hîp con (mét bé phËn) cña tËp hîp c¸c ®iÓm M(  ’), nh trong vÝ dô 6 tËp hîp c¸c ®iÓm M(  ’) lµ hai ®êng th¼ng song song vµ c¸ch ®êng th¼ng BC mét ®o¹n AH 2 , cßn tËp hîp c¸c ®iÓm M(  ) lµ ®êng trung b×nh PQ song song víi c¹nh BC cña tam gi¸c ABC mµ th«i. Trong nhiÒu trêng hîp ta kh«ng thµnh c«ng trong viÖc ®a vÒ c¸c quü tÝch c¬ b¶n mµ nhê vµo thao t¸c dù ®o¸n quü tÝch ta thÊy quü tÝch cã thÓ lµ mét ®êng cè ®Þnh nµo ®ã. Trong trêng hîp nµy ta t×m c¸ch chøng minh h×nh chøa c¸c ®iÓm cña quü tÝch lµ mét h×nh cè ®Þnh. VÝ dô 8: Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm P di ®éng trªn nöa ®êng trßn. TiÕp tuyÕn t¹i P c¾t ®êng th¼ng song song víi AP, kÎ tõ t©m O cña nöa ®êng trßn, t¹i ®iÓm M. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M. Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -6- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn t M Ph©n tÝch phÇn thuËn Nèi MB; do OM//AP nªn O1 A (®ång vÞ) O2 P1 (so le trong) MÆt kh¸c OA=OP) A P1 P 1 (v× 2 1 A VËy O B O1 O2 O1 O2   OP OB   OPM OBM OM chung    OBM OPM mµ OPM 90 0 (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm). VËy OMB 90 0  BM  AB AB cè ®Þnh, ®iÓm B cè ®Þnh mµ MB  AB  M lu«n ch¹y trªn tia At vu«ng gãc víi AB t¹i B. Qua c¸c vÝ dô trªn ®©y, ta thÊy ®Ó tiÕn hµnh viÖc chøng minh phÇn thuËn, ta cÇn t×m ra cho ®îc mèi liªn hÖ gi÷a ®iÓm cÇn t×m tËp hîp víi c¸c ®iÓm cè ®Þnh, t×m c¸ch sö dông c¸c yÕu tè kh«ng ®æi vµ viÖc biÓu diÔn c¸c liªn hÖ ®ã. - NÕu trong ®Çu bµi cã mét ®iÓm cè ®Þnh, ta cã thÓ nghÜ ®Õn tËp hîp ®iÓm cÇn t×m lµ mét ®êng trßn. - NÕu trong ®Çu bµi cã hai ®iÓm cè ®Þnh A, B th× ta nèi ®iÓm cÇn t×m tËp hîp M víi A, B vµ thö tÝnh gãc AMB hoÆc thö chøng minh MA=MB. - NÕu trong ®Çu bµi xuÊt hiÖn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh th× ta thö tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cÇn t×m quü tÝch ®Õn ®êng th¼ng cè ®Þnh Êy. - NÕu trong ®Çu bµi xuÊt hiÖn hai ®êng th¼ng song song th× h·y liªn tëng ®Õn tËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®êng th¼ng song song VÝ dô 9: Cho mét ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm P ë ngoµi ®êng trßn, mét ®iÓm N di chuyÓn trªn ®êng trßn. T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng PN. Ph©n tÝch phÇn thuËn Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -7- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn P cè ®Þnh, O cè ®Þnh, suy ra trung ®iÓm I cña OP còng cè ®Þnh. Nèi IM. Trong tam gi¸c PON th× IM= 1 ON 2 1  R =kh«ng 2 ®æi. N M I P O - VËy M thuéc ®êng trßn t©m I b¸n kÝnh 1 R . 2 Trong nhiÒu bµi tËp, khi chøng minh phÇn thuËn, ta t×m ®îc h×nh (H’) chøa c¸c ®iÓm M cã tÝnh chÊt  , nhng do nh÷ng ®iÒu kiÖn h¹n chÕ kh¸c cña bµi to¸n, tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ h×nh (H) chØ lµ mét bé phËn cña h×nh (H’). Trong trêng hîp nµy, ta ph¶i thøc hiÖn thªm mét c«ng viÖc n÷a: giíi h¹n quü tÝch. Cã nhiÒu c¸ch nh×n nhËn vÞ trÝ cña phÇn giíi h¹n quü tÝch. Ta cã thÓ coi phÇn giíi h¹n lµ mét bé phËn cña viÖc chøng minh phÇn thuËn. Ta còng cã thÓ ®Æt phÇn giíi h¹n vµo phÇn ®¶o, hoÆc t¸ch phÇn giíi h¹n thµnh mét phÇn riªng biÖt, ngang víi phÇn thuËn vµ phÇn ®¶o. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc sinh, t«i ®Æt giíi h¹n vµo trong phÇn thuËn. Lµm nh vËy sÏ tr¸nh ®îc viÖc chän nhÇm ph¶i nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc quü tÝch khi tiÕn hµnh chøng minh phÇn ®¶o. Th«ng thêng, ta t×m c¸c ®iÓm giíi h¹n cña quü tÝch b»ng c¸ch xÐt c¸c ®iÓm cña quü tÝch trong c¸c trêng hîp giíi h¹n, nh trong vÝ dô sau: VÝ dô 10: Cho mét gãc vu«ng xOy, ®Ønh O. Trªn c¹nh Ox cã mét ®iÓm A cè ®Þnh vµ trªn c¹nh Oy cã mét ®iÓm B cè ®Þnh. Mét ®iÓm C thay ®æi di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng OB. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn tia AC. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm H. Gi¶i 1) PhÇn thuËn. V× H lµ h×nh chiÕu cña B trªn y AC nªn BH  AC  BHA 90 0 Hai ®iÓm A, B cè ®Þnh. §iÓm H lu«n lu«n nh×n hai ®iÓm A, B díi mét gãc vu«ng nªn H n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Chó ý: §êng trßn nµy còng ®i qua ®Ønh O cña gãc vu«ng xOy. B H C O A Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -8- x Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn Giíi h¹n: V× ®iÓm C di chuyÓn trong ®o¹n OB nªn ®iÓm H kh«ng thÓ di chuyÓn trªn c¶ ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Ta ph¶i t×m giíi h¹n.  Khi ®iÓm C ®Õn vÞ trÝ ®iÓm B th× ®iÓm H còng ®Õn vÞ trÝ ®iÓm B.  Khi ®iÓm C ®Õn vÞ trÝ ®iÓm O, ®Çu mót cña ®o¹n th¼ng OB, th× ®iÓm H còng ®Õn vÞ trÝ ®iÓm O. - VËy khi ®iÓm C di chuyÓn trªn ®o¹n OB th× ®iÓm H di chuyÓn trªn cung OHB cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Nh vËy, ®Ó t×m giíi h¹n quü tÝch ®iÓm C, v× ®iÓm C chØ di chuyÓn trong ®o¹n th¼ng OB nªn ta xÐt c¸c ®iÓm cña quü tÝch khi ®iÓm C dÇn ®Õn c¸c ®Çu nót cña ®o¹n th¼ng OB, tøc lµ khi C  B vµ khi C  O. VÝ dô 11: Cho mét h×nh vu«ng cè ®Þnh ABCD vµ mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh AB. Trªn tia CP vµ bªn ngoµi ®o¹n th¼ng CP ta lÊy mét ®iÓm M sao cho: MAB PCB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M. PhÇn thuËn Ta cã: MAB PCB D C P1 P2 (®èi ®Ønh)  MAB  P2 PCB  P1 90 0  AMP 90 0 hay AMC 90 0 A P 1 2 B M §iÓm M nh×n hai ®iÓm cè ®Þnh A,C díi mét gãc vu«ng nªn M n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AC (còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng ABCD). Giíi h¹n. Khi P  B th× M  B Khi P  A th× M  A VËy M chØ di chuyÓn trªn cung nhá AB thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AC. Qua c¸c vÝ dô trªn ®©y, nh vÝ dô 10, ta thÊy h×nh (H) t×m ®îc trong khi chøng minh phÇn thuËn (®êng trßn ®êng kÝnh AB) chøa tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm nh×n hai ®iÓm cè ®Þnh A, B díi mét gãc vu«ng nhng chØ cã nh÷ng ®iÓm thuéc cung OHB míi lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn tia AC mµ th«i. ViÖc t×m giíi h¹n gióp chóng ta lo¹i bá ®îc nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc vÒ quü tÝch cÇn t×m. 3.2 Chøng minh phÇn ®¶o Th«ng thêng ®iÓm di ®éng cÇn t×m quü tÝch M phô thuéc vµo sù di ®éng cña mét ®iÓm kh¸c, ®iÓm P ch¼ng h¹n. Trong phÇn ®¶o ta lµm nh sau: LÊy mét vÞ trÝ P’ kh¸c cña P vµ øng víi nã ta ®îc ®iÓm M’ trªn h×nh H mµ trong phÇn thuËn ta ®· chøng minh ®îc ®ã lµ h×nh chøa nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt  . Ta sÏ ph¶i chøng minh M’ còng cã tÝnh chÊt  . VÝ dô 10: Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn -9- Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn 2) PhÇn ®¶o. LÊy mét ®iÓm C’ bÊt k× trªn ®o¹n OB. Nèi AC’ vµ tia AC’ c¾t cung OHB t¹i mét ®iÓm H’. Nèi BH’ gãc BH’A lµ gãc néi tiÕp trong nöa ®êng trßn nªn 0 BH ' A 90  BH '  AC '  H ' y B H' H C' C lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn tia AC’. x  KÕt luËn: TËp hîp c¸c h×nh chiÕu H cña ®iÓm B trªn tia AC lµ cung OB thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AB (phÇn thuéc nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa tia Ox, bê lµ ®êng th¼ng Oy). VÝ dô 11: Cho mét h×nh vu«ng cè ®Þnh ABCD vµ mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh AB. Trªn tia CP vµ bªn ngoµi ®o¹n th¼ng CP ta lÊy mét ®iÓm M sao cho: O A MAB PCB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M. PhÇn ®¶o LÊy mét ®iÓm P’ bÊt k× thuéc c¹nh AB cña h×nh vu«ng. Tia CP’ c¾t cung nhá AB cña ®êng trßn ®êng kÝnh AC t¹i ®iÓm M’. D A C P' 1 2 B M' Ta cã AM ' C 90 0 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn) vµ P '1 P ' 2 suy ra M ' AB P' CB  KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ cung AB (kh«ng chøa ®Ønh C) cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng ABCD. Lu ý: Tuy vËy, trong nhiÒu bµi to¸n, ta chøng minh phÇn ®¶o b»ng c¸ch lÊy mét ®iÓm M’ thuéc h×nh (H), øng víi nã ta cã mét vÞ trÝ kh¸c cña c¸c yÕu tè chuyÓn ®éng mµ M’ phô thuéc, sau ®ã ta chøng minh trong nh÷ng ®iÒu kiÖn Êy M’ cã tÝnh chÊt  . Chóng ta sÏ xÐt vÝ dô cô thÓ sau ®©y. VÝ dô 12: Cho mét gãc vu«ng xOy. Mét ®iÓm A ch¹y trªn c¹nh Ox, mét ®iÓm B ch¹y trªn c¹nh Oy sao cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AB lu«n b»ng mét ®o¹n l cho tríc. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB. Gi¶i PhÇn thuËn: Nèi OI. Tam gi¸c AOB vu«ng mµ OI lµ trung tuyÕn nªn 1 l OI  AB  = 2 2 kh«ng ®æi. §iÓm O cè ®Þnh, ®iÓm I c¸ch ®iÓm O mét ®o¹n Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn - 10 - Trêng THCS Phó ThÞnh kh«ng ®æi l 2 Tæ khoa häc tù nhiªn y B B' 0 nªn I n»m trªn ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh B l 2 I1 I' . I O x A' I0 A A0 Giíi h¹n: V× ®iÓm A chØ ch¹y trªn Ox, ®iÓm B chØ ch¹y trªn Oy vµ ®o¹n th¼ng AB chØ di chuyÓn trong gãc xOy nªn ta ph¶i giíi h¹n quü tÝch. - Khi ®iÓm A ®Õn trïng víi ®iÓm O th× ®iÓm B ®Õn vÞ trÝ Bo vµ ®iÓm I ®Õn vÞ trÝ I1trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng OB0. - Khi ®iÓm B ®Õn trïng víi ®iÓm O th× ®iÓm A ®Õn vÞ trÝ A o vµ ®iÓm I ®Õn vÞ trÝ I0 trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng OA0. - VËy khi ®o¹n th¼ng AB di chuyÓn trong gãc xOy th× ®iÓm I n»m trªn cung trßn I0I1 thuéc ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh l 2 , tøc lµ cung phÇn t ®êng trßn n»m trong gãc xOy. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm I’ thuéc cung phÇn t I0I1. Quay cung trßn t©m I’, B¸n kÝnh l 2 , c¾t Ox ë A vµ Oy ë B’. Ta cã OI ' A' c©n nªn I ' OA' I ' A' O Do vËy OI ' A' 180 0  2I ' OA' T¬ng tù OI ' B' 180 0  2I ' OB'  OI ' A'OI ' B ' 360 0  2.90 0 180 0 Suy ra ba ®iÓm A’, I’, B’ th¼ng hµng. Ta l¹i cã I ' A'  I ' A'  l  A' B ' l 2 vµ I’ lµ trung ®iÓm cña A’B’.  KÕt luËn: Quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB lµ cung I0I1 thuéc ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh l 2 (phÇn n»m trong gãc xOy). VÝ dô 13: Cho mét gãc vu«ng xOy, hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn c¹nh Ox vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn c¹nh Oy. §êng th¼ng vu«ng gãc víi MA kÎ tõ A c¾t ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MB kÎ tõ B t¹i ®iÓm N. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. Gi¶i PhÇn thuËn. - KÎ NH  Ox. Gäi I lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng MN. Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn - 11 - Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn Do IA=IB(= 1 MN) nªn I n»m trªn 2 trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB. NÕu gäi K lµ trung ®iÓm cña AB th× IK  AB. z y N I M A O K x H B Ta l¹i cã IK//OM//NH mµ I lµ trung ®iÓm cña MN nªn K lµ trung ®iÓm cña OH  OH=2OK=kh«ng ®æi. VËy ®iÓm N di chuyÓn trªn tia Hz vu«ng gãc víi c¹nh Ox t¹i ®iÓm H sao cho OH=2OK. PhÇn ®¶o. LÊy ®iÓm M’ trªn Oy, nèi M’A. §êng vu«ng gãc víi M’A kÎ tõ A c¾t tia Hz t¹i N’. Nèi N’B vµ M’b. Ta cÇn chøng minh: N’B  M’B Gäi I’ lµ trung ®iÓm cña M’N’. Ta cã: I' A  1 M ' N' 2 (1) (I’A lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn M’N’ cña tam gi¸c vu«ng M’AN’) MÆt kh¸c I’ lµ trung ®iÓm cña M’N’, K lµ trung ®iÓm cña OH nªn I’K//M’O  I’K  AB mµ K lµ trung ®iÓm cña AB nªn I’K lµ ®êng trung trùc cña AB, cho ta I’A=I’B (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra I'B  1 M 'N' 2 =I’M’=I’N’ z y Hay tam gi¸c M’BN’ vu«ng gãc t¹i B. VËy N’B  M’B N' I' M' O A K B H x  KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm N lµ tia Hz n»m trong gãc xOy, vu«ng gãc víi c¹nh Ox t¹i ®iÓm H, sao cho OH=2OK (K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB). Lu ý: Trong bµi to¸n nµy, liªn hÖ gi÷a hai ®iÓm M vµ N ph¶i th«ng qua c¸c gi¶ thiÕt: M  Oy, MAN 1v, MBN 1v vµ N lµ giao ®iÓm cña hai ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A víi MA, kÎ tõ B víi MB. Do vËy ta ph¶i chän mét trong ba ph¬ng híng sau ®©y ®Ó chøng minh phÇn ®¶o:  Chøng minh M’  Oy  Chøng minh M ' AN ' 90 0  Chøng minh M ' AN ' 90 0 Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn - 12 - Trêng THCS Phó ThÞnh Tæ khoa häc tù nhiªn - NÕu chó ý r»ng c¸ch dùng c¸c ®iÓm M, N lµ nh nhau th× ngay tõ ®Çu ta ®· cã thÓ dù ®o¸n tËp hîp cña N ph¶i lµ mét tia t¬ng tù nh Oy vµ trong khi chøng minh phÇn ®¶o, sau khi lÊy mét ®iÓm N’  Hz, vµ dùng l¹i ®iÓm M’, giao ®iÓm cña c¸c ®êng vu«ng gãc víi N’A kÎ tõ A víi ®êng vu«ng gãc víi N’B kÎ tõ B, th× viÖc chøng minh M’  Oy cã thÓ ®îc lÆp l¹i y hÖt nh phÇn thuËn. Nh vËy, viÖc lùa chän gi¶ thiÕt ®Ó x©y dùng “kÕ ho¹ch” chøng minh phÇn ®¶o lµ rÊt quan träng. NÕu khÐo chän, nhiÒu khi sÏ gi¶m bít ®îc c¸c khã kh¨n trong viÖc chøng minh vµ cã thÓ cho ta nh÷ng lêi gi¶i hay. Tæng qu¸t: khi chøng minh phÇn ®¶o cña bµi to¸n quü tÝch, sau khi lÊy ®iÓm M bÊt k× thuéc h×nh võa t×m ®îc, ta ph¶i chøng minh r»ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt T nªu trong ®Ò bµi. TÝnh chÊt T nµy thêng ®îc t¸ch lµm hai nhãm tÝnh chÊt T1 vµ T2. Ta dùng c¸c ®iÓm chuyÓn ®éng cßn l¹i tho¶ m·n tÝnh chÊt T1 råi chøng minh M vµ c¸c ®iÓm Êy tho¶ m·n tÝnh chÊt T 2. Nh thÕ, tuú theo c¸ch chia nhãm T1 vµ T2 mµ cã nhiÒu c¸ch chøng minh ®¶o ®èi víi cïng mét bµi to¸n. Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng Nguyªn - 13 -