Tài liệu Chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 2 luyện thi đại học-đặng việt hùng

  • Số trang: 13 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 727 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Tham gia: 27/02/2015

Mô tả:

VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu tham khảo: 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Thầy Đặng Việt Hùng Xét hàm số bậc ba : y = ax 3 + bx 3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Nếu a = 0 thì y′ = 3bx + c  → y′ = 0 ⇔ x = − c 3b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.  Nếu a ≠ 0 : + Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. + Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0. Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị. Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số y = Ta có y′ = x 2 + 2 (1 − m ) x + m. 1 3 x + (1 − m ) x 2 − mx − 1 tùy theo giá trị của tham số m. 3 Hướng dẫn giải:  Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. 3− 5 3+ 5 2 ≤m≤ . Từ đó ta có điều kiện ∆′ ≤ 0 ⇔ (1 − m ) − m ≤ 0 ⇔ m 2 − 3m + 1 ≤ 0 ⇔ 2 2  Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.  3+ 5 m > 2 ⇔ ∆ > 0 ⇔ m 2 − 3m + 1 > 0 ⇔   3− 5 m <  2 Kết luận : 3− 5 3+ 5 ≤m≤ - Hàm số không có cực trị khi 2 2 3+ 5 3− 5 - Hàm số có hai cực trị khi m ≥ ; m≤ . 2 2 Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số y = mx 3 + ( m − 2 ) x 2 + 2mx + 3 − m tùy theo giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: 2 ′ Ta có y = 3mx + 2 ( m − 2 ) x + 2m. TH1 : m = 0. Khi đó y ′ = −4 x; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , trong trường hợp này hàm số có một cực trị. TH2 : m ≠ 0. m ≠ 0   −2 + 2 6  m ≥ − 2 + 2 6   m ≠ 0 m ≠ 0  m≥ 5  Hàm số không có cực trị khi  ⇔ 2 ⇔  ⇔ 5   −2 − 2 6 ∆′ ≤ 0 5m + 4m − 4 ≥ 0   m ≤   m ≤ −2 − 2 6 5    5 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt  −2 − 2 6 −2 + 2 6  m ≠ 0 m ≠ 0 0 5m + 4m − 4 < 0  m ≠ 0  Kết luận : −2 + 2 6 −2 − 2 6 - Hàm số không có cực trị khi m ≥ ;m≤ . 5 5 - Hàm số có một cực trị khi m = 0.  −2 − 2 6 −2 + 2 6 0, (*) + Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn. + Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng. Ta xét một số dạng tính chất điển hình. Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = xo  Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ): + Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = xo ⇔ y′ ( xo ) = 0  → m. + Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm xo hay không.  Cách 2 (sử dụng y’’) :  y ′ ( xo ) = 0 + Hàm số đạt cực đại tại x = xo ⇔   → m.  y ′′ ( xo ) < 0  y ′ ( xo ) = 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = xo ⇔   → m.  y ′′ ( xo ) > 0  y ′ ( xo ) = 0 Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại x = xo ⇔   y ′′ ( xo ) ≠ 0 1 Ví dụ mẫu: Cho hàm số y = x 3 − ( m + 2) x 2 − mx + 1. 3 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn giải : Ta có y′ = x − 2(m + 2) x − m ⇒ y′′ = 2 x − 2 ( m + 2 ) . 2  m > −1 a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m 2 + 5m + 4 > 0 ⇔   m < −4 b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.  Cách 1: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y ′ ( 0 ) = 0 ⇔ m = 0. x = 0 + Với m = 0 thì ta có y′ = x 2 − 4 x = 0 ⇔  x = 4 Ta có bảng biến thiên: x −∞ y’ + 0 0 4 − 0 +∞ + CĐ +∞ y −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.  Cách 2:  y′ ( 0 ) = 0 m = 0 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇔  ⇔ ⇔m=0  y′′ ( 0 ) < 0 −2(m + 2) < 0 Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2.  Cách 1: 4 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì y ′ ( 2 ) = 0 ⇔ 4 − 4(m + 2) − m = 0 ⇔ 5m = −4 ⇔ m = − . 5 x = 2 4 4 4 12 4  + Với m = −  → y ′ = x 2 − 2  2 −  x + ⇔ y′ = x 2 − x + = 0 ⇔  x = 2 5 5 5 5 5   5 Ta có bảng biến thiên: x 2 −∞ 2 +∞ 5 y’ + 0 − 0 + CĐ +∞ y −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. 4 Vậy m = − là giá trị cần tìm. 5  Cách 2: 4  5m + 4 = 0 m = − 4  y ′ ( 2 ) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔  ⇔ ⇔ 5 ⇔m=− . − 2 m > 0 ′′ 5   y ( 2 ) > 0 m < 0 4 Vậy m = − thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. 5 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho hàm số y = − x3 + (2m − 1) x 2 + 2mx − 3. a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = −1. c) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 3. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.  Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.  −B >0  S = x1 + x2 > 0  A Khi đó ta có x2 > x1 > 0  → ⇔  P = x1 x2 > 0 C > 0  A  Hai điểm cực trị cùng có hoành độ âm.  −B  A < 0  S = x1 + x2 < 0 Khi đó ta có x1 < x2 < 0  → ⇔  P = x1 x2 > 0 C > 0  A  Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu. C <0 A  Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α. Khi đó ta có x1 < 0 < x2 ⇔ P = x1 x2 < 0 ⇔ C  −B  2  x x − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0  − α  +α >0 ( x1 − α )( x2 − α ) > 0  1 2 A A   Khi đó ta có x2 > x1 > α ⇔  ⇔  −B ⇔ > 2α  x1 + x2 > 2α   − B > 2α  A  A  Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α. C  −B  2  x x − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0  − α  +α >0 ( x1 − α )( x2 − α ) > 0  1 2 A A   Khi đó ta có x1 < x2 < α ⇔  ⇔  −B ⇔ < 2α  x1 + x2 < 2α   − B < 2α  A  A  Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x1 < α < x2. Khi đó ta có x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0 ⇔ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 < 0 ⇔ C  −B  2 − α +α <0 A  A  Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. B   x1 + x2 = − A Theo định lí Vi-ét ta được  x x = C  1 2 A Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + ( m − 1) x 2 − 3mx + m . a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 1 1 + = 2 x1 x2 . x1 x2 c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2. d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1. Hướng dẫn giải: 2 Ta có y′ = 3x + 2(m − 1) x − 3m a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt  −7 + 3 5 m > 2 ⇔ ∆′ > 0 ⇔ (m − 1)2 + 9m > 0 ⇔ m 2 + 7 m + 1 > 0 ⇔  ( *)  −7 − 3 5 m <  2 b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  −7 + 3 5 m > 2 Vậy với  thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.  −7 − 3 5 m <  2 b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. 2(1 − m)  x + x = Theo định lí Vi-ét ta được  1 2 3  x1 x2 = − m Ta có x +x 1 1 2(1 − m) −1 ± 13 + = 2 x1 x2 ⇔ 1 2 = 2 x1 x2 ⇔ = 2m 2 ⇔ 3m 2 + m − 1 = 0 ⇔ m = . x1 x2 x1 x2 3 6 −1 + 13 là giá trị cần tìm. 6 c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. 2(1 − m)   x1 + x2 = Theo định lí Vi-ét ta được  3  x1 x2 = − m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m =  x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 > 0  4(1 − m) +4>0 ( x1 − 2 )( x2 − 2 ) > 0  −m − Theo bài ta có x2 > x1 > 2 ⇔  ⇔  2(1 − m) ⇔ 3 >4  x1 + x2 > 4  1 − m > 6  3 m + 8 > 0 m > −8  ⇔ 3 ⇔ ⇔ −8 < m < −5. m < −5 m < −5 −7 − 3 5 là giá trị cần tìm. 2  1 − m − ∆′  x = x1 = 6 d) Ta có y′ = 0 ⇔ 3x 2 + 2(m − 1) x − 3 = 0 ⇔   → x1 < x2  1 − m + ∆′  x = x2 = 6  Bảng biến thiên x −∞ x1 x2 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được −8 < m < y’ + 0 − 0 +∞ + CĐ +∞ y −∞ CT Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x1 = Theo bài ta có x1 = 1 − m − ∆′ 6 1 − m − ∆′ −m − 5 ≥ 0 > 1 ⇔ 1 − m − ∆′ > 6 ⇔ ∆′ < − m − 5 ⇔  2 6 ∆′ < ( −m − 5 ) m ≤ −5 m ≤ −5 ⇔ 2 ⇔ ⇔ −8 < m ≤ −5. 2 m + 7m + 1 < m + 10m + 25 3m > −24 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được −8 < m < −7 − 3 5 là giá trị cần tìm. 2 // Ví dụ này thầy tính nhầm nhé, hê hê // Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 ≤ 2. Hướng dẫn giải: Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Ta có y′ = 3x2 − 6(m + 1) x + 9.  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆′ > 0  m > −1 + 3 ⇔ (m + 1)2 − 3 > 0 ⇔  ( *)  m < −1 − 3  x1 + x2 = 2(m + 1)  Theo định lý Vi-et ta có   x1 x2 = 3 Khi đó: x1 − x2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≤ 4 ⇔ 4 ( m + 1) − 12 ≤ 4 ⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 2 2  −3 ≤ m < −1 − 3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được  là các giá trị cần tìm.  −1 + 3 < m ≤ 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m ) x 2 + (2 − m ) x + m + 2. 1 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 > . 3 Hướng dẫn giải: Ta có y′ = 3x2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m.  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 5  m> 2 2  ′ ⇔ ∆ = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − 5 > 0 ⇔ 4 ( *)  m < − 1  2(1 − 2m)   x1 + x2 = − 3  Theo định lý Vi-et ta có  . 2 − m x x =  1 2 3 1 1 2 2 Khi đó x1 − x2 > ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 > ⇔ 4(1 − 2m)2 − 4(2 − m) > 1 3 9  3 + 29 m > 8 ⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0 ⇔   3 − 29 m < 8   3 + 29 m>  Đối chiếu với điều kiện (*) ta được là các giá trị cần tìm. 8   m < −1 1 3 1 x − ( m − 1) x 2 + 3( m − 2) x + . 3 3 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 1. Ví dụ 4: Cho hàm số y = Hướng dẫn giải: Ta có y′ = x − 2(m − 1) x + 3(m − 2). 2  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆′ = m 2 − 5m + 7 > 0, ∀m  x = 3 − 2m  x1 + x2 = 2(m − 1) 1 − 2 x2 + x2 = 2(m − 1)    2  Khi đó ta có  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 = 1 − 2(2 − 2m) = 4m − 3  x1 + 2 x2 = 1  x1 + 2 x2 = 1  x1 x2 = 3(m − 2) ⇒ ( 3 − 2m )( 4m − 3) = 3m − 6  ⇔ 8m 2 + 16m − 9 = 0 ⇔ m = −4 ± 34 −4 ± 34 . V ậy m = là các giá trị cần tìm. 4 4 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 + (1 – 2m ) x 2 + (2 – m ) x + m + 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Hướng dẫn giải: 2 Ta có y′ = 3x + 2(1 − 2m) x + 2 − m = g ( x). Do hệ số a = 3 > 0 nên yêu cầu bài toán trở thành y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng ∆′ = 4m 2 − m − 5 > 0 5 7  x1 < x2 < 1 ⇔ g (1) = −5m + 7 > 0 ⇔ < m <  4 5  S = 2m − 1 < 1  2 3 Ví dụ 6: Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 = −4 x2 . Hướng dẫn giải:   x1 = −4 x2  m 9  Ta có y′ = 12 x 2 + 2mx − 3 ⇒ ∆′ = m2 + 36 > 0. Khi đó  x1 + x2 = −  →m = ± . 6 2  1   x1 x2 = − 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x 2 − (m − 1) x + 2. a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3. c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 < 10. d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1. Bài 2: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 3) x 2 + 6 ( 5m + 1) x − 4m3 − 1. a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Bài 3: Tìm m để hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2 có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2. 2 3 x + ( m + 1) x 2 + ( m2 + 4m + 3) x + m + 2. Gọi x1, x2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số. 3 a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. b) Tìm m sao cho biểu thức P = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: Cho hàm số y = 1 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − 1. 3 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1 x1 + x1 + = . x1 x2 3 c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1. d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ. + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với yCĐ.yCT < 0. + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với yCĐ.yCT > 0. Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. Hướng dẫn giải: 2 Ta có y′ = 3x + 6 x + m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tức là ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  x = −1 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox: x3 + 3x 2 + mx + m – 2 = 0 ⇔  2  g ( x) = x + 2 x + m − 2 = 0, (1) Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1  ′ Ta có điều kiện  ∆ = 3 − m > 0 ⇔ m<3  g ( −1) = m − 3 ≠ 0 Vậy m < 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − ( m 2 − 3m + 2) x − 4 , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Hướng dẫn giải: Ta có y ′= −3x 2 + 2(2m + 1) x − (m2 − 3m + 2) ( ) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ ( 2m + 1) − 3 m2 − 3m + 2 > 0 2  −13 + 3 21 m > 2 ⇔ m 2 + 13m − 5 > 0 ⇔   −13 − 3 21 m <  2 Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu 3 m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2. ( ) Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − 3 , với m là tham số. 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung. Hướng dẫn giải: 2 Ta có y ′= x − 2mx + 2m − 1 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m2 − 2m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1 Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm cùng 1 dấu ⇔ ac > 0 ⇔ 2m − 1 > 0 ⇔ m > . 2 1 Kết hợp điều kiện ta được < m ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’ b 2 2 Khi phương trình y′ = 0 có ∆ = ( ax + b ) thì điều kiện để hàm số có cực trị là ∆ > 0 ⇔ ( ax + b ) > 0 ⇔ x ≠ − . a  x = x1 Khi đó, y′ = 0 ⇒  và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số.  x = x2 Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m 3 + m . Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị. Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O. Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) ⇒ y ′ = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m 2  x = m − 1 ⇒ A ( m − 1;2 − 2m ) Khi đó y′ = 0 ⇔   x = m + 1 ⇒ B ( m + 1; −2 − 2m ) Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số.  m = −3 + 2 2 Theo bài ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔   m = −3 − 2 2 Vậy m = −3 ± 2 2 là các giá trị cần tìm. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng ( 3m − 1) x + (3m − 2) x + m − 1. 1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2. c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x13 + x23 > 28 2 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x12 + x22 = 12 Hướng dẫn giải : 2 2 ′ ′ Ta có y = x − ( 3m − 1) x + 3m − 2 ⇒ y = 0 ⇔ x − ( 3m − 1) x + 3m − 2 = 0. a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ta có điều kiện ∆ > 0 ⇔ ( 3m − 1) − 4. ( 3m − 2 ) > 0 ⇔ 9m2 − 18m + 9 > 0 ⇔ m ≠ 1 2  3m − 1 − 3 ( m − 1) =1 x = 2 b) Với m ≠ 1 ⇒ y ′ = 0 ⇔   3m − 1 + 3 ( m − 1) = 3m − 1 x =  2 Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3m − 1 > 2 ⇔ m > 1. Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2. 4 3 c) Ta có x13 + x23 > 28 ⇔ 1 + ( 3m − 1) > 28 ⇔ 3m − 1 > 3 ⇔ m > . 3 d) Do vai trò bình đẳng của x1 ; x2 nên ta có hai trường hợp xảy ra 1 ± 10 2  Với x1 = 1; x2 = 3m − 1 ⇒ 2 x12 + x22 = 12 ⇔ 2 + ( 3m − 1) = 12 ⇔ 3m − 1 = ± 10  →m = 3 1 ± 10 Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được m = . 3 22 2 ± 22 2  Với x1 = 3m − 1; x2 = 1 ⇒ 2 x12 + x22 = 12 ⇔ 2 ( 3m − 1) + 1 = 12 ⇔ 3m − 1 = ±  →m = 2 6 2 ± 22 Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được m = . 6 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho  AOB = 1200. Hướng dẫn giải : x = 0 ⇒ y = m Ta có y ′ = 3x 2 + 6 x ⇒ y ′ = 0 ⇔   x = −2 ⇒ y = m + 4 Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).   1 Ta có OA = (0; m), OB = (−2; m + 4). Để  AOB = 1200 ⇒ cos AOB = − 2 m(m + 4) 1 −4 < m < 0 ⇔ = − ⇔ m 2 ( 4 + (m + 4) 2 ) = −2m(m + 4) ⇔  2 2 2 2 3m + 24m + 44 = 0 m ( 4 + (m + 4) ) −4 < m < 0 −12 + 2 3 2  ⇔ = −4 + −12 ± 2 3 ⇔ m = 3 3 m = 3 2 Vậy m = −4 + là giá trị cần tìm. 3 Ví dụ 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y − 74 = 0. Hướng dẫn giải : x  =0 Ta có y ′ = −3 x 2 + 6mx = −3 x ( x − 2m ) ⇒ y ′ = 0 ⇔   x = 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 0 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m;4m3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ I (m; 2m3 − 3m − 1)  Đường thẳng d: ( d ) : x + 8 y − 74 = 0 có một véc tơ chỉ phương u = (8; −1) . m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = 0 I ∈ d A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ ( d ) ⇔  ⇔    ⇔m=2  AB ⊥ d  AB.u = 0 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. 3m 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 − x + 3 ( m − 1) x + 1 2 Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. c) hàm số đạt cực đại tại x = 0. d) hàm số không có cực đại, cực tiểu. e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1 Hướng dẫn giải : 3 m a) Ta có y = x3 − x 2 + 3 ( m − 1) x + 1 ⇒ y ′ = 3x 2 − 3mx + 3 ( m − 1) = 3 x 2 − mx + m − 1 2 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. ( ) Ta có điều kiện ∆ > 0 ⇔ ( m − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ 2. 2 Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.  y′(2) = 0 b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm  , (I )  y′′(2) > 0  4 − 2m + m − 1 = 0 m = 3 Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó ( I ) ⇔  ⇔ ⇒m=3 12 − 3m > 0 m < 4 Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.  y′(0) = 0 c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm  , (I )  y′′(0) > 0 m − 1 = 0 m = 1 Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ ( I ) ⇔  ⇔ ⇒ m =1  −3m < 0 m > 0 Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)2 ≤ 0 Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2. Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị. e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x2 – mx + m – 1 = 0 3m − 2  m+m−2  x1 = = m − 1  y1 =  2 2 2 ∆ = ( m − 2) ⇒  ⇒ 3m 2 − 5m + 4  x = m − m + 2 =1 y = 2  2  2 2   3m 2 − 8m + 6  Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó AB =  2 − m;  2   Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi 3m 2 − 8m + 6   2−m 2 AB / / ud ⇔ = ⇔ 2m − 4 = 9 3m 2 − 8m + 6 ⇔ 27 m 2 − 74m + 58 = 0  → vno −1 9 ( ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ( 2m − 1) x 1 Bài 1: Cho hàm số y = x3 − − 2(2m + 1) x + 3. 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm. 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x14 + x24 > 17 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x12 + x22 = 12 ( 3m + 1) x 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − − (2m 2 + m) x − 2. 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3. c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x12 − x22 = 40 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy. Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2 a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất. 2 Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình Lấy y chia cho y′ ta được y = y′.g ( x) + ax + b, khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì M ( x1 ; ax1 + b ) , N ( x2 ; ax2 + b ) , trong đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được. Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó, hãy viết phương trình đường thẳng qua các điểm đó. Hướng dẫn giải : 2 2 2 Ta có y ′ = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) ⇒ y ′ = 0 ⇔ x − 2mx + m 2 − 1 = 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m. m 1 Chia y cho y′ ta được y =  x −  y ′ + 2 x − m 2 + m 3 3  m 1 2  y1 =  3 x1 − 3  y(′x1 ) + 2 x1 − m + m Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó   y2 =  1 x2 − m  y ′ + 2 x2 − m 2 + m  3  ( x2 ) 3  y = 2 x1 − m 2 + m Do y(′x1 ) = y(′x2 ) = 0 ⇒  1 ⇔ A, B ∈ ( d ) : y = 2 x − m 2 + m 2  y2 = 2 x2 − m + m Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là y = 2 x − m 2 + m . Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4x + 3. Hướng dẫn giải : 2 Ta có y ′ = 3x − 6 x − m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3, (*) 1 m 1  2m   Chia y cho y′ ta được y =  x −  y′ −  + 2 x +  2 −  3 3 3  3   Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là ( ∆ ) : y = −  2m m  + 2 x + 2 − 3  3  Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng   2m  −  3 + 2  = −4  Theo bài ta có d / / ∆ : y = −4 x + 3 ⇒⇔   ⇔m=3 2 − m ≠ 3  3 Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng (d): y = x − 1. Hướng dẫn giải : 2 Ta có y ′ = 3x − 6 x − m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3, ( *) 1 m 1  2m   Chia y cho y′ ta được y =  x −  y′ −  + 2 x +  2 −  3 3 3  3   Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là ( AB ) : y = −  2m m  + 2 x + 2 − 3 3   Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:  TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d) 3  2m  ⇔ − + 2  = 1 ⇔ m = − , (thỏa mãn) 2  3  y + y2 x1 + x2  TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng ( d ) ⇔ yI = xI − 1 ⇔ 1 = −1 2 2 m 2m  2m    2m  ⇔ − + 2  ( x1 + x2 ) + 2  2 −  = ( x1 + x2 ) − 2 ⇔  + 3  .2 = 6 − ⇔m=0 3 3  3    3  3 Vậy m = 0; m = − là các giá trị cần tìm. 2 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x − 2y − 5 = 0. Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x 2 − 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3, (*) 1 1 1 2  Chia y cho y′ ta được y =  x −  y ′ +  m − 2  x + m 3 3 3 3  1 2 2  Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó ( AB ) : y =  m − 2  x + m ⇒ k AB = m − 2 3 3 3  1 Ta có ( d ) : x − 2 y − 5 = 0 ⇒ kd = 2 1 2  A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có ( AB ) ⊥ ( d ) ⇔ k AB .kd = −1 ⇔  m − 2  = −1 ⇔ m = 0 2 3  Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d). Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( d ) : y = 1 x. 2 Đ/s: m = 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 (d ) : x + 4y − 5 = 0 Thầy Đặng Việt Hùng một góc 450. 1 Đ/s: m = − . 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM
- Xem thêm -