Tài liệu Chuyên đề bài toán liên quan đến khảo sát hàm số luyện thi đại học – nguyển minh hiếu

WWW.VINAMATH.COM Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí cũng làm nên Hồ Chí Minh Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1. Cực Trị Của Hàm Số A. Kiến Thức Bổ Sung Cách tính tung độ cực trị: • Nếu y = f 0 (x).g(x) + r(x) thì y0 = r(x0 ). u0 (x0 ) u(x) thì y0 = 0 . • Nếu y = v(x) v (x0 ) B. Bài Tập 4.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa |x1 − x2 | ≤ 2.
4.2. Tìm m để hàm số y = x3 + 2 (m − 1) x2 + m2 − 4m + 1 x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa x11 + x12 = 21 (x1 + x2 ).
4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y = 32 x3 − mx2 − 2 3m2 − 1 x + 23 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1.
4.4. Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − m2 − 3m + 2 x − 4 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung. 4.5. (DB-05) Tìm m để hàm số y = x2 + 2mx + 1 − 3m2 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung. x−m 4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. mx2 + 3mx + 2m + 1 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox. x−1
4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3 1 − m2 x + m3 − m2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số. 4.7. Tìm m để hàm số y = 4.9. Tìm m để hàm số y = x3 − 23 mx2 + 21 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3 m2 − 1 x − 3m2 − 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ. 4.11. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx − 3m + 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x − y = 0. 4.12. (D-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung. 4.13. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều. 4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng x+2 với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông. 4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y = WWW.VINAMATH.COM 1 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu 4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx + cận xiên bằng √12 . 1 x có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm 4.18. (B-05) Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, hàm số y = √ cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20. x2 + (m + 1) x + m + 1 luôn có điểm cực đại, điểm x+1 4.19. Tìm m để hàm số y = 31 x3 − mx2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. §2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị A. Kiến Thức Cần Nhớ 1. Giao điểm của hai đồ thị. • Hoành độ giao điểm của (C1 ) : y = f (x) và (C2 ) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f (x) = g(x). • Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x). Lưu ý. Phương trình f (x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm. 2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.  • Đồ thị hai hàm số y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x0 ; y0 ) ⇔ f (x0 ) = g(x0 ) . f 0 (x0 ) = g 0 (x0 ) B. Bài Tập 4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − 2 và parabol y = x2 − 4x + 2. 4.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 4.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. 4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm. 4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 tại ba điểm phân biệt. 4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < 4. 4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x−1 luôn cắt đường thẳng y = m − x với mọi giá trị của m. x+1 4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = 2x − 1 tại hai điểm thuộc hai x+1 nhánh phân biệt. 4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B x+1 sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 4.30. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y = x+3 tại hai điểm x+1 phân biệt M, N . Xác định m sao cho độ dài M N là nhỏ nhất. 4.31. (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = AB = 4. 4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 − 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x x2 − 2x + 2 tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua x−1 đường thẳng y = x + 3. 4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. WWW.VINAMATH.COM 2 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. 4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9. 4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y = (2m − 1) x − m2 tiếp xúc với đường thẳng y = x. x−1 4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt. §3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ • Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0 ; y0 ) là k = y 0 (x0 ). • Phương trình tiếp tuyến tại M (x0 ; y0 ) là y = y 0 (x0 ) (x − x0 ) + y0 . B. Bài Tập 4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = 31 x3 − 2x2 + 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2). 4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x − 2 tại điểm có tung độ bằng −2. x+1 x+3 . Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và x+1 Q. Chứng minh S là trung điểm P Q. 4.42. (DB-06) Cho hàm số y = 4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x3 + 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8. 4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x + 1 , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5. x−2 −x + 3 biết tiếp tuyến song song với đường phân giác 2x − 1 góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ. 4.46. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = y = x + 2. 2x + 3 , biết d vuông góc với đường thẳng x+1 1 2 4.47. (D-05) Cho hàm số y = 13 x3 − m 2 x + 3 có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0. 4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 + x − 1 (C). Biết rằng tiếp tuyến đó vuông x+2 góc với tiệm cận xiên của (C). 4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt x−1 nhau tạo thành một tam giác cân. 4.50. Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. −x + 1 . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị 2x − 1 (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. 4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y = 4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9). WWW.VINAMATH.COM 3 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu 4.53. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 1 , biết tiếp tuyến qua giao điểm của tiệm 2x + 1 cận đứng và trục Ox. 4.54. (DB-05) Cho hàm số y = x2 + 2x + 2 có đồ thị (C). Gọi I là giao hai tiệm cận. Chứng minh rằng không có x+1 tiếp tuyến nào của (C) đi qua I. 4.55. Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) : y = x3 − 12x + 12. §4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị A. Kỹ Năng Cơ Bản 1. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|). • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy. • Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy. 2. Vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|. • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x). • Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox. 3. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f (x) = k(m). • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = k(m) song song với Ox. • Số nghiệm phương trình f (x) = k(m) là số giao điểm của đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = k(m). • Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận. B. Bài Tập 4.56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 − k = 0. 4.57. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1. Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 − 6x2 − m = 0. 4.58. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 − 2x2 + m − 1 = 0. 4.59. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3. Tìm m để phương trình 12 x4 − 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt. 4.60. (DB-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
nghiệm dương phân biệt x2 + 2x + 5 = m2 + 2m + 5 (x + 1). x2 + 2x + 5 . Tìm m để phương trình sau có hai x+1 4.61. (A-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4. Tìm m để phương trình sau có 3 sáu nghiệm phân biệt 2|x| − 9x2 + 12 |x| = m. 3 4.62. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x3 +3x2 −2. Tìm m để phương trình 2|x| −3x2 +2 (m + 1) = 0 có đúng bốn nghiệm. 4.63. (DB-03) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 − 4x − 3 . Tìm m để phương trình 2x2 − 4x − 2 (x − 1) 3 + 2m |x − 1| = 0 có hai nghiệm phân biệt. 4.64. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 3 . Tìm m để phương trình x+1 x2 +3x+3 |x+1| = m có bốn nghiệm phân biệt. 4.65. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân 3 biệt |x − 1| − 3 |x − 1| − m = 0.   4.66. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 −3x+1. Tìm m để phương trình x3 − 3x + 1 −2m2 +m = 0 có ba nghiệm phân biệt. 4 2 4.67.  (B-09)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x − 4x . Với các giá trị nào của m, phương trình 2 2  x x − 2 = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.   4.68. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3. Tìm m để phương trình x4 − 4x3 + 3 = m có đúng tám nghiệm. WWW.VINAMATH.COM 4 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác 4.69. Tìm m để hàm số y = m2 x − 2 qua điểm A (2; 6). x−1 4.70. Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số y = −x3 + mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = −1 và đồ thị của nó đi qua điểm M (1; 4). 4.71. Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x là tâm đối xứng của nó. 4.72. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) : y = 2x + 1 nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. x+1 4.73. (D-04) Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 thuộc đường thẳng y = x + 1. 4.74. Tìm m để đồ thị hàm số y = − x3 + 3x2 − 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn. m 4.75. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = 4.76. Tìm trên đồ thị hàm số y = 2x − 1 có tọa độ là các số nguyên. x−1 −x2 + 3x − 1 các điểm có toạ độ nguyên. x−1

4.77. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x3 + 2 (m − 1) x2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 . mx − 1 luôn đi qua hai điểm cố định. Gọi M x−m là giao điểm của hai tiệm cận của (Cm), tìm tập hợp điểm M khi m thay đổi. 4.78. Chứng minh rằng với mọi m 6= ±1, họ đường cong (Cm) : y = 4.79. Cho họ đường cong (Cm) : y = mx3 + (1 − m) x. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đường nào của (Cm) đi qua. 1 11 4.80. (DB-06) Tìm trên đồ thị hàm số y = − x3 + x2 + 3x − hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua Oy. 3 3 4.81. Tìm trên đồ thị hàm số y = x3 + 3x − 2 hai điểm đối xứng nhau qua M (2; 18). 4.82. Tìm trên đồ thị hàm số y = 4.83. Cho hàm số y = d : x + 2y − 3 = 0. 3x + 1 hai điểm đối xứng nhau qua M (−2; −1). x−2 x+1 có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x−1 4.84. (B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. 4.85. (DB-04) Tìm trên đồ thị hàm số y = x những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x+1 d : 3x + 4y = 0 bằng 1. 4.86. Cho hàm số y = 4x + 1 có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. x+1 x2 − x + 1 . Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của x−1 hai tiệm cận là nhỏ nhất. 4.87. Cho hàm số y = 4.88. Cho hàm số y = 3x − 5 có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là x−2 nhỏ nhất. 4.89. Cho hàm số y = x−1 có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ x+1 là nhỏ nhất. 4.90. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y = x−2 có khoảng cách bé nhất. x−1 WWW.VINAMATH.COM 5 WWW.VINAMATH.COM LỜI GIẢI Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1. Cực Trị Của Hàm Số Bài tập 4.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa |x1 − x2 | ≤ 2. Lời giải. Ta có y 0 = 3x2 − 6(m + 1)x + 9; ∆0y0 = 9(m + 1)2 − 27 = 9m2 + 18m − 18. Hàm số có hai cực trị ⇔ y 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0y0 > 0 ⇔ 9m2 + 18m − 18 > 0 ⇔  √ m > −1 + √3 . m < −1 − 3 Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 . Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = 2(m + 1), x1 x2 = 3. Khi đó |x1 − x2 | ≤ 2 ⇔ (x1 + √ x2 )2 − 4x1 x2 √ ≤ 4 ⇔ 4(m + 1)2 − 12 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1. Kết hợp ta có m ∈ (−3; −1 − 3) ∪ (−1 + 3; 1).
Bài tập 4.2. Tìm m để hàm số y = x3 + 2 (m − 1) x2 + m2 − 4m + 1 x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa 1 1 1 + = (x1 + x2 ) x1 x2 2 Lời giải. Ta có y 0 = 3x2 + 4(m − 1)x + m2 − 4m + 1; ∆0y0 = 4(m − 1)2 − 3(m2 − 4m + 1) = m2 + 4m + 1. √  m > −2 + √3 Hàm số có hai cực trị ⇔ y 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0y0 > 0 ⇔ m2 + 4m + 1 > 0 ⇔ . m < −2 − 3 m2 − 4m + 1 4(1 − m) , x1 x2 = . Khi đó: Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 . Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = 3 3 1 1 1 + = (x1 + x2 ) ⇔ 2 (x1 + x2 ) = x1 x2 (x1 + x2 ) x1 x2 2  "  m=1 4(1−m) =0 x1 + x2 = 0 3 ⇔ ⇔ m2 −4m+1 ⇔ m=5 x1 x2 = 2 =2 3 m = −1 (loại) Vậy m = 1 hoặc m = 5.
Bài tập 4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y = 32 x3 − mx2 − 2 3m2 − 1 x + x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1. 2 3 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho Lời giải. Ta có y 0 = 2x2 − 2mx − 2(3m2 − 1); ∆0y0 = m2 + 4(3m2 − 1) = 13m2 − 4. " 0 Hàm số có hai cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0y0 2 > 0 ⇔ 13m − 4 > 0 ⇔ m > √213 . m < − √213 Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 . Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = m, x1 x2 = 1 − 3m2 . 2 m = 0 (loại) . Vậy m = . Khi đó x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m2 + 2m = 1 ⇔ m = 23 3
Bài tập 4.4. Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − m2 − 3m + 2 x − 4 có hai cực trị nằm về hai phía Oy. Lời giải. Ta có y 0 = −3x2 + 2(2m + 1)x − (m2 − 3m + 2). Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía trục tung ⇔ y 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2. Bài tập 4.5. (DB-05) Tìm m để hàm số y = x2 + 2mx + 1 − 3m2 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung. x−m 1 WWW.VINAMATH.COM 6 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. Tập xác định: D = R\ {m}. Ta có y 0 = x2 − 2mx + m2 − 1 . 2 (x − m) Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía trục tung ⇔ y 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1. Bài tập 4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. Lời giải. Ta có y 0 = 3x2 − 6(m + 1)x + 3m(m + 2); ∆0 = 9(m + 1)2 − 9m(m + 2) = 9 > 0, ∀m ∈ R ⇒ hàm số luôn có hai cực trị. Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi    m > −1   S>0 2(m + 1) > 0 m>0 ⇔m>0 ⇔ ⇔ P >0 m(m + 2) > 0  m < −2 Bài tập 4.7. Tìm m để hàm số y = mx2 + 3mx + 2m + 1 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox. x−1 Lời giải. Tập xác định: D = R\ {1}. u u0 (x0 ) Nhận xét rằng nếu hàm số y = đạt cực trị tại x0 thì y(x0 ) = 0 . v v (x0 ) u0 v − uv 0 Thật vậy, ta có y 0 = . Hàm số đạt cực trị tại x0 nên v2 y 0 (x0 ) = 0 ⇔ u0 (x0 )v(x0 ) − u(x0 )v 0 (x0 ) = 0 ⇔ Ta có y 0 = u0 (x0 ) u0 (x0 ) u(x0 ) = 0 ⇔ y(x0 ) = 0 (đpcm) v(x0 ) v (x0 ) v (x0 ) mx2 − 2mx − 5m − 1 . 2 (x − 1) 1 Với m = 0 ⇒ y 0 = − < 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số không có cực trị ⇒ m = 0 không thỏa mãn. (x − 1)2 Với m 6= 0 ta có y 0 = 0 ⇔ mx2 − 2mx − 5m − 1 = 0;∆0 = 6m2 + m. m>0 . Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆0 > 0 ⇔ 6m2 + m > 0 ⇔ m < − 16 Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 ta có y(x1 ) = 2mx1 + 3m, y(x2 ) = 2mx2 + 3m và x1 + x2 = 2, x1 x2 = − 5m+1 m . Khi đó hàm số có hai cực trị nằm về hai phía Ox khi và chỉ khi y(x1 )y(x2 ) < 0 ⇔ (2mx1 + 3m)(2mx2 + 3m) < 0 ⇔ 4m2 x1 x2 + 6m2 (x1 + x2 ) + 9m2 < 0 m−4 −4 (5m + 1) + 12 + 9 < 0 ⇔ < 0 ⇔ 0 < m < 4 (thỏa mãn) m m
Bài tập 4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3 1 − m2 x + m3 − m2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số. ⇔ Lời giải. Ta có: y 0 = −3x2 + 6mx + 3(1 − m2 ); ∆y0 = 9m2 + 9(1 − m2 ) = 9 > 0, ∀m ∈ R. Do đó hàm số luôn có
hai điểm cực trị A(x1 ; y1 ) và B(x2 ; y2 ). Lại có: y = 13 x − 13 m y 0 + 2x − m2 + m. Suy ra: y1 = 2x1 − m2 + m, y2 = 2x2 − m2 + m. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = 2x − m2 + m. Bài tập 4.9. Tìm m để hàm số y = x3 − 23 mx2 + 12 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.  x=0 0 2 0 . Lời giải. Ta có: y = 3x − 3mx; y = 0 ⇔ x=m Do đó với m 6= 0, hàm số đạt cực trị tại hai điểm A(0; 12 m3 ) và B(m; 0). −−→ Ta có: AB = (m; − 21 m3 ); Gọi I trung điểm AB ⇒ I( 12 m; 14 m3 ). → = (1; 1). Đặt d : y = x ⇔ x − y = 0 ⇒ − u d  −−→ −   →=0 m=0√ (loại) m − 12 m3 = 0 AB.u d Khi đó A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d ⇔ ⇔ ⇔ . 1 1 3 m − m = 0 m=± 2 I∈d 2 4
Bài tập 4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3 m2 − 1 x − 3m2 − 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ. WWW.VINAMATH.COM 7 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
Lời giải. Ta có: y 0 = −3x2 + 6x + 3 m2 − 1 , y 0 = 0 ⇔ x = 1 ± m.

Do đó với m 6= 0 hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại A 1 − m; −2 − 2m3 , B 1 + m; −2 + 2m3 . Khi đó q p 2 2 OA = (1 − m) + (2 + 2m3 ) = 4m6 + 8m3 + m2 − 2m + 5 q 2 2 (1 + m) + (2 − 2m3 ) = p 4m6 − 8m3 + m2 + 2m + 5  m = 0 (loại) Hàm số có cực đại, cực tiểu cách đều gốc tọa độ ⇔ OA = OB ⇔ 16m3 = 4m ⇔ . m = ± 12 OB = Bài tập 4.11. Tìm m để hàm số y = x3 −3mx−3m+1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x−y = 0. Lời giải. Ta có: y 0 = 3x2 − 3m; y 0 = 0 ⇔ x2 = m. Do đó với m > 0 hàm số có hai cực trị √ √ √ √ A( m; −2m m − 3m + 1), B(− m; 2m m − 3m + 1) Theo giả thiết các điểm cực trị cách đều đường thẳng d nên ta có: √   √  √ √ 1 d (A, d) = d (B, d) ⇔  m + 2m m + 3m − 1 = − m − 2m m + 3m − 1 ⇔ m = 3 Bài tập 4.12. (B-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung.  x=0 0 3 0 . Do đó với m > −1 hàm số có ba cực trị Lời giải. Ta có: y = 4x − 4(m + 1)x; y = 0 ⇔ x2 = m + 1 √ √

A (0; m) , B − m + 1; −m2 − m − 1 , C m + 1; −m2 − m − 1
√ √ −−→ Khi đó: OA = |m|; BC = 2 m + 1; 0 ⇒ BC = 2 m + 1. √ √ Theo giả thiết ta có: OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ 2 ± 2 (thỏa mãn). Vậy m = 2 ± 2. Bài tập 4.13. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.  x=0 Lời giải. Ta có: y 0 = 4x3 − 4mx; y 0 = 0 ⇔ . Do đó với m > 0 hàm số có ba cực trị x2 = m


√ √ m; m4 − m2 + 2m A 0; 2m + m4 , B − m; m4 − m2 + 2m , C √
√ √ √ −−→ −−→ Khi đó AB = − m; −m2 ⇒ AB = m + m4 ; BC = (2 m; 0) ⇒ BC = 2 m. √ Dễ thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC đều ⇔ AB = BC ⇔ m + m4 = 4m ⇔ m = 3 3. Bài tập 4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.  x=0 Lời giải. Ta có: y 0 = 4x3 − 4(m + 1)x; y 0 = 0 ⇔ . Do đó với m > −1 hàm số có ba cực trị x2 = m + 1 √ √


m + 1; −2m − 1 A 0; m2 , B − m + 1; −2m − 1 , C  −→ √  −−→  √ 2 2 Khi đó: AB = − m + 1; −(m + 1) ; AC = m + 1; −(m + 1) . −−→ −→ 4 Dễ thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC vuông ⇔ AB.AC = 0 ⇔ (m + 1) − (m + 1) = 0 ⇔ m = 0. x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm x+2 cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông tại O. Bài tập 4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y = Lời giải. Ta có: y 0 = x2 + 4x + 4 − m2 ; y 0 = 0 ⇔ x = −2 ± m. 2 (x + 2) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y 0 có hai nghiệm phân biệt khác −2 ⇔ m 6= 0. Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại: −→ −−→ A (−2 − m; −2) , B (−2 + m; 4m − 2) ⇒ OA = (−2 − m; −2) , OB = (−2 + m; 4m − 2) Hàm số có các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông tại O khi và chỉ khi √ −→ −−→ OA.OB = 0 ⇔ (−2 − m) (−2 + m) − 2 (4m − 2) = 0 ⇔ m = −4 ± 2 6 (thỏa mãn) √ Vậy m = −4 ± 2 6. WWW.VINAMATH.COM 8 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.  x=0 2 0 . Lời giải. Ta có: y = 3x − 6mx; y = 0 ⇔ x = 2m 0 Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y có hai
nghiệm phân biệt
⇔ m 6= 0. Khi đó hàm số đạt cực trị tại A 0; 3m3 , B 2m; −m3 . Suy ra OA = 3|m|3 , d(B, OA) = 2|m| ⇒ S∆OAB = 12 OA.d(B, OA) = 3m4 . Lại có S∆OAB = 48 ⇔ 3m4 = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn). Vậy m = ±2. Bài tập 4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx + đến tiệm cận xiên bằng √12 . 1 x có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu 1 Lời giải. Ta có: y 0 = m − x12 ; y 0 = 0 ⇔ x2 = m . 0 Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ y có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0. Khi đó y 0 = 0 ⇔ x = ± √1m . Bảng biến thiên x y − √1m −∞ 0 + 0 √ −2 m √1 m 0 − − 0 +∞ +∞ + +∞ y −∞ −∞ √ 2 m  √  ⇒ điểm cực tiểu là A √1m ; 2 m . r √ √ m | m − 2 m| . Với m > 0 hàm số có tiệm cận xiên y = mx ⇔ mx − y = 0 ⇒ d(A, T CX) = √ = 2 2 m +1 m +1 r 1 1 m Lại có d(A, T CX) = √ ⇔ = √ ⇔ m2 + 1 = 2m ⇔ m = 1 (thỏa mãn). Vậy m = 1. m2 + 1 2 2 Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = √1 m Bài tập 4.18. (B-05) Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, hàm số y = √ đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20.  x2 + 2x 0 x=0 ; y = 0 ⇔ Lời giải. Ta có: y 0 = . 2 x = −2 (x + 1) x2 + (m + 1) x + m + 1 luôn có điểm cực x+1 Do đó hàm số luôn đạt cực đại cực tiểu tại A(−2; m − 3) và B(0; m + 1). Khi đó AB = √ 22 + 4 2 = √ 20 (đpcm). Bài tập 4.19. Tìm m để hàm số y = 13 x3 − mx2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. Lời giải. Ta có: y 0 = x2 − 2mx − 1; ∆0 = m2 + 1 > 0, ∀m ∈ R ⇒ hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Giả sử hoành độ các điểm
cực trị là x
1 , x2 , theo định lý vi-ét có x1 +
x2 = m, x1 x2 = −1.
Lại có y = y 0 13 x − 13 m − 23 m2 + 1 x + 23 m + 1 nên y1 = 23 m2 + 1 x1 + 32 m + 1, y2 = 23 m2 + 1 x2 + 32 m + 1.



Do đó hàm số đạt cực trị tại A x1 ; − 23 m2 + 1 x1 + 32 m + 1 , B x2 ; − 23 m2 + 1 x2 + 32 m + 1 .

−−→ Khi đó AB = x2 − x1 ; − 23 m2 + 1 (x2 − x1 ) . rh ih i r h i 2 2 2 4 2 Suy ra AB = (x1 + x2 ) − 4x1 x2 1 + 9 (m + 1) = 49 (m2 + 1) 9 + 4(m2 + 1) . q 3 Đặt m2 + 1 = t, t ≥ 1, ta có AB = 4t + 16 9 t . Xét hàm số f (t) = 4t + 16 3 9 t trên [1; +∞) có f 0 (t) = 4 + 89 t2 > 0, ∀t ≥ 1. Do đó min f (t) = f (1) = Với t = 1 ⇒ m = 0. Vậy với m = 0 thì AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng √ 2 13 3 . [1;+∞) 52 9 . §2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị Bài tập 4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − 2 và parabol y = x2 − 4x + 2. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 + 3x2 − 3x − 2 = x2 − 4x + 2 ⇔ x3 + 2x2 + x − 4 = 0 ⇔ x = 1 Do đó đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − 2 cắt parabol y = x2 − 4x + 2 tại điểm (1; −1). WWW.VINAMATH.COM 9 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 4.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
mx3 − x2 − 2x + 8m = 0 ⇔ (x + 2) mx2 − (2m + 1)x + 4m = 0 ⇔  x = −2 mx2 − (2m + 1)x + 4m = 0 Đặt f (x) = mx2 − (2m + 1)x + 4m có ∆ = −12m2 + 4m + 1. Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −2 khi và chỉ khi     m 6= 0  m 6= 0 m 6= 0 −12m2 + 4m + 1 > 0 ⇔ ∆>0 ⇔ − 61 < m < 12   12m + 2 6= 0 f (−2) 6= 0   1 1 Vậy m ∈ − ; \ {0}. 6 2 Bài tập 4.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. x3 − 1 . 3x2 √ x3 + 2 0 x3 − 1 1 trên R\ {0} có f 0 (x) = ; f (x) = 0 ⇔ x = − 3 2 = x0 ⇒ f (x0 ) = − √ Xét hàm số f (x) = 3 . 2 3 4 3x 3x Bảng biến thiên: Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3mx2 − 1 = 0 ⇔ m = x x0 −∞ 0 + f (x) +∞ 0 − 0 f (x0 ) + +∞ f (x) −∞ −∞ −∞ 1 Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi m < − √ . 3 4 Bài tập 4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 + ax + 3 = 1 ⇔ a = − Xét hàm số f (x) = − x3 + 2 . x x3 + 2 2 − 2x3 0 trên R\ {0} có f 0 (x) = ; f (x) = 0 ⇔ x = 1. x x2 Bảng biến thiên: x −∞ f 0 (x) 0 + + +∞ +∞ 1 0 −3 − f (x) −∞ −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm khi a > −3. Bài tập 4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 tại ba điểm phân biệt. Lời giải. Đường thẳng d qua A(3; 20) và có hệ số góc m bất kỳ nên có phương trình: y = m(x − 3) + 20. Phương trình hoành độ giao điểm: 
x=3 3 2 x − 3x + 2 = m(x − 3) + 20 ⇔ (x − 3) x + 3x + 6 − m = 0 ⇔ x2 + 3x + 6 − m = 0 Đặt f (x) = x2 + 3x + 6 − m có ∆ = 4m − 15. Đồ thị hàm số cắt d tại ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 3 khi và chỉ khi    ∆>0 4m − 15 > 0 m > 15 4 ⇔ ⇔ f (3) 6= 0 24 − m 6= 0 m 6= 24   15 Vậy m ∈ ; +∞ \ {24}. 4 WWW.VINAMATH.COM 10 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < 4. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x3 − 2x2 + (1 − m) x + m = 0 ⇔ (x − 1) x2 − x − m = 0 ⇔  x=1 x2 − x − m = 0 Đặt f (x) = x2 − x − m có ∆ = 1 + 4m. Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi    ∆>0 1 + 4m > 0 m > − 41 f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ ⇔ f (1) 6= 0 −m 6= 0 m 6= 0 Khi đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 . Giả sử x3 = 1 ⇒ x1 , x2 là hai nghiệm của f (x) do đó x1 + x2 = 1, x1 x2 = −m. 2 Theo giả thiết x21 +x22 + x23< 4 ⇔ (x1 + x2 ) − 2x1 x2 < 3 ⇔ 1 + 2m < 3 ⇔ m < 1. 1 Kết hợp ta có m ∈ − ; 1 \ {0}. 4 Bài tập 4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 = 0 ⇔ (x − 2) x2 + (2 − m) x + 8 − 2m = 0 ⇔  x=2 x2 + (2 − m) x + 8 − 2m = 0 Đặt f (x) = x2 + (2 − m) x + 8 − 2m có ∆ = m2 + 4m − 28. Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 2 khi và chỉ khi   √  2  m > −2 + 4√2  m + 4m − 28 > 0 ∆>0 ⇔ ⇔ m < −2 − 4 2 16 − 4m 6= 0 f (2) 6= 0  m 6= 4 √ m − 2 ± m2 + 4m − 28 . Khi đó f (x) có hai nghiệm x = 2 Theo giả thiết đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 nên ta có √  p m − 2 − m2 + 4m − 28 m≥4 2 > 1 ⇔ m − 4 > m + 4m − 28 ⇔ ⇔m∈∅ m2 − 8m + 16 > m2 + 4m − 28 2 Vậy không có giá trị nào của m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. x−1 luôn cắt đường thẳng y = m − x với mọi giá trị của m. Bài tập 4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x+1  x−1 x 6= −1 Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: =m−x⇔ . x2 − (m − 2) x − m − 1 = 0 x+1 Đặt f (x) = x2 − (m − 2) x − m − 1 có ∆ = m2 + 8 > 0, ∀m ∈ R và f (−1) = −2 6= 0, ∀m ∈ R. Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = m − x tại hai điểm phân biệt. 2x − 1 Bài tập 4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm x+1 thuộc hai nhánh phân biệt. Lời giải. Đường thẳng đi qua A(−2; 2) với hệ số góc m bất kỳ có phương trình dạng: d : y = mx + 2m + 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d là:   2x − 1 x 6= −1 x 6= −1 ⇔ = mx + 2m + 2 ⇔ mx2 + 3mx + 2m + 3 = 0 2x − 1 = (x + 1) (mx + 2m + 2) x+1 Đặt f (x) = mx2 + 3mx + 2m + 3 có ∆ = m2 − 12m. Đồ thị hàm số cắt d tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi     m 6= 0  m 6= 0 m > 12 2 ∆>0 m − 12m > 0 ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác − 1 ⇔ ⇔ m<0   f (−1) 6= 0 3 6= 0 Giả sử đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 ta có x1 + x2 = −3, x1 x2 = 2m + 3 . m Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt khi và chỉ khi (x1 + 1) (x2 + 1) < 0 ⇔ x1 + x2 + x1 x2 + 1 < 0 ⇔ −3 + 2m + 3 3 +1<0⇔ <0⇔m<0 m m WWW.VINAMATH.COM 11 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Bài tập 4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1 tại hai điểm phân x+1 biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:   2x + 1 x 6= −1 x 6= −1 ⇔ = kx + 2k + 1 ⇔ kx2 + (3k − 1)x + 2k = 0 2x + 1 = (x + 1) (kx + 2k + 1) x+1 Đặt f (x) = kx2 + (3k − 1)x + 2k có ∆ = k 2 − 6k + 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = kx + 2k + 1 tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi     k 6= 0  k 6= 0  k √  6= 0 ∆>0 k 2 − 6k + 1 > 0 ⇔ k > 3 + 2 √2 f (x) có hai nghiệm phân biệt khác − 1 ⇔ ⇔    f (−1) 6= 0 1 6= 0 k <3−2 2 Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = kx + 2k + 1 tại hai điểm A(x1 ; kx1 + 2k + 1), B(x2 ; kx2 + 2k + 1). Theo giả thiết ta có: d (A, Ox) = d (B, Ox) ⇔ |kx1 + 2k + 1| = |kx2 + 2k + 1|   x1 = x2 (loại) kx1 + 2k + 1 = kx2 + 2k + 1 ⇔ ⇔ k (x1 + x2 ) + 4k + 2 = 0 kx1 + 2k + 1 = −kx2 − 2k − 1 1 − 3k ⇔k + 4k + 2 = 0 ⇔ k = −3 (thỏa mãn) k Bài tập 4.30. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y = x+3 x+1 tại hai điểm phân biệt M, N . Xác định m sao cho độ dài M N là nhỏ nhất. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:   x+3 x 6= −1 x 6= −1 = 2x + m ⇔ ⇔ x + 3 = (x + 1) (2x + m) 2x2 + (m + 1) x + m − 3 = 0 x+1 Đặt f (x) = 2x2 + (m + 1) x + m − 3 có ∆ = m2 − 6m + 25 > 0, ∀m ∈ R và f (−1) = −2 6= 0, ∀m ∈ R. Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = 2x + m tại hair điểm phân biệt M (x1 ; 2x1 + m), N (x2 ; 2x2 + m). q h i −−→ 2 2 Ta có: M N = (x2 − x1 ; 2x2 − 2x1 ) ⇒ M N = 5(x2 − x1 ) = 5 (x1 + x2 ) − 4x1 x2 (*). Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = − m+1 2 , x1 x2 = m−3 2 , thay vào (*) ta có: v " # r r h u i u (m + 1)2 √ m−3 5 5 2 t 2 −4 (m − 6m + 25) = MN = 5 = (m − 3) + 16 ≥ 2 10 4 2 2 2 √ Dấu bằng xảy ra khi m = 3. Vậy M N đạt giá trị nhỏ nhất là 2 10 khi m = 3. x2 − 1 Bài tập 4.31. (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt x A, B sao cho AB = 4.  x2 − 1 x 6= 0 Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: = −x + m ⇔ . 2x2 − mx − 1 = 0 x Đặt f (x) = 2x2 − mx − 1 có ∆ = m2 + 8 > 0, ∀m ∈ R và f (0) = −1 6= 0, ∀m ∈ R. Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = −x + m tạirhai điểm phân biệt A(x1 ; −x1 + m), B(x2 ; −x2 + m). q h i −−→ 2 2 Ta có: AB = (x2 − x1 ; x1 − x2 ) ⇒ AB = 2(x1 − x2 ) = 2 (x1 + x2 ) − 4x1 x2 (*). s   r 2 m2 m m 1 Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = 2 , x1 x2 = − 2 thay vào (*) được AB = 2 +2 = + 4. 4 2 √ m2 Lại theo giả thiết có AB = 4 ⇔ + 4 = 16 ⇔ m = ±2 6. 2 Bài tập 4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 − 2x + 2 tại hai điểm A, B đối xứng x−1 nhau qua đường thẳng y = x + 3. WWW.VINAMATH.COM 12 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:   x2 − 2x + 2 x 6= 1 x 6= 1 = −x + m ⇔ ⇔ x2 − 2x + 2 = (x − 1) (−x + m) 2x2 − (m + 3) x + m + 2 = 0 x−1 Đặt f (x) = 2x2 − (m + 3) x + m + 2 có ∆ = m2 − 2m − 7. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −x + m tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi √   2  m > 1 + 2 √2 m − 2m − 7 > 0 ∆>0 ⇔ ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 1 6= 0 f (1) 6= 0 m<1−2 2 Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −x + m tại hai điểm A(x1 ; −x1 + m), B(x2 ; −x2 + m). m+2 m+3 , x1 x2 = . Theo định lý vi-ét ta có: x1 + x2 = 2  2   x1 + x2 m + 3 3m − 3 x1 + x2 Gọi I trung điểm AB ⇒ I = = . ;m − ; 2 2 4 4 Dễ thấy đường thẳng y = −x + m vuông góc với đường thẳng d : y = x + 3. 3m − 3 m+3 Do đó A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d ⇔ I ∈ d ⇔ = + 3 ⇔ m = 9 (thỏa mãn). 4 4 Bài tập 4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.  2 x =1 (*). Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: −x4 + 2mx2 − 2m + 1 = 0 ⇔ x2 = 2m − 1   m=1 2m − 1 = 1 . Đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ 2m − 1 < 0 m < 12 Bài tập 4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x4 − (3m + 4) x2 + m2 = 0 (1). Đặt x2 = t, t ≥ 0, phương trình (1) trở thành t2 − (3m + 4)t + m2 = 0 (2). Đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt. Do đó phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi     m > − 54  2    ∆>0  5m + 24m + 16 > 0  m < −4 m > − 54 S>0 ⇔ 3m + 4 > 0 ⇔ ⇔ 4 m 6= 0 m > −3   2   P >0 m >0  m 6= 0 √ √ Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 (t1 < t2 ) ⇒ (1) ± √t1 , ± t2 .  có√bốn nghiệm √ √ √ −√t2 + √t1 = −2 √ t1 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1 . Phương trình (1) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng ⇔ − t1 + t2 = 2 t1    2 (3m + 4) m = 12 t1 + t2 = 3m + 4 10t1 = 3m + 4 2 = m ⇔ (TM). Theo định lý vi-ét có ⇔ ⇒ 9 12 t1 t2 = m2 9t21 = m2 m = − 19 100 Bài tập 4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.  2 x =1 4 2 (*). Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x − (3m + 2) x + 3m = −1 ⇔ x2 = 3m + 1 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −1 tại bốn nhỏ hơn 2  độ  điểm phân biệt có hoành 0 < 3m + 1 < 4 − 13 < m < 1 ⇔ ⇔ (*) có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 ⇔ . 3m + 1 6= 1 m 6= 0 Bài tập 4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9. ( x4 − 8x2 + 7 = mx − 9 Lời giải. Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx−9 ⇔ hệ sau có nghiệm: 4x3 − 16x = m Thay (2) vào (1) ta có: x4 − 8x2 + 7 = 4x4 − 16x2 − 9 ⇔ x2 = 4 ⇒ m = 0. Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9. Bài tập 4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y = (1) . (2) (2m − 1) x − m2 tiếp xúc với đường thẳng y = x. x−1 WWW.VINAMATH.COM 13 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số ( (2m−1)x−m2 Lời giải. Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x ⇔ hệ sau có nghiệm:   x 6= 1 x 6= 1 . ⇔ Ta có (1) ⇔ m=x (2m − 1) x − m2 = x2 − x Với m = x 6= 1 thay vào (2) thỏa mãn. Vậy m 6= 1. x−1 (m−1)2 (x−1)2 = =x 1 (1) (2) có nghiệm. Bài tập 4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.  x=0 . Lời giải. Ta có: y 0 = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m); y 0 = 0 ⇔ x2 = m √ Do đó với m > 0 hàm số đạt ba cực trị tại x = 0 và x = ± m. Khi đó đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi  √
m = 0 (loại) 3 2 y ± m = 0 ⇔ m − 2m = 0 ⇔ m=2 §3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Bài tập 4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = 31 x3 − 2x2 + 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Lời giải. Ta có: y 0 = x2 − 4x + 3; y 00 = 2x − 4; y 00 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = −1. Do đó đồ thị (C) có tâm đối xứng I(2; 32 ). Lại có: y 0 (2) = −1 nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại I là: y = − (x − 2) + 32 ⇔ y = −x + 83 . Tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại x0 có hệ số góc k = y 0 (x0 ) = x20 − 4x0 + 3 = (x0 − 2)2 − 1 ≥ −1. Dấu bằng xảy ra khi x0 = 2 = xI . Vậy tiếp tuyến của (C) tại I là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (đpcm). Bài tập 4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2). Lời giải. Ta có: y 0 = 3x2 + 6mx + m + 1 ⇒ y 0 (−1) = 4 − 5m; y(−1) = 2m − 1. Do đó tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 là: y = (4 − 5m)(x + 1) + 2m − 1. 5 Mặt khác tiếp tuyến qua A(1; 2) nên ta có: 2 = 2(4 − 5m) + 2m − 1 ⇔ m = . 8 Bài tập 4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = Lời giải. Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ). Ta có: y0 = −2 ⇔ Lại có: y 0 = 5 (x + 1) 2 3x − 2 tại điểm có tung độ bằng −2. x+1 3x0 − 2 = −2 ⇔ 3x0 − 2 = −2 (x0 + 1) ⇔ x0 = 0. x0 + 1 ⇒ y 0 (x0 ) = 5. Vậy tiếp tuyến tại M (0; −2) là: y = 5x − 2. x+3 . Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) x+1 tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm P Q. Bài tập 4.42. (DB-06) Cho hàm số y = Lời giải. Hàm số đã  cho có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = −1. x0 + 3 −2 −2 0 Lấy S x0 ; ∈ (C). Ta có: y 0 = 2 ⇒ y (x0 ) = 2. x0 + 1 (x + 1) (x0 + 1) −2 x0 + 3 Phương trình tiếp tuyến tại S là: y = 2 (x − x0 ) + x + 1 . 0 (x0 + 1)   x0 + 5 Tiếp tuyến cắt tiêm cận ngang tại P (2x0 + 1; 1) và cắt tiệm cận đứng tại Q −1; . x0 + 1 ( xP +xQ 2x0 +1−1 = = x0 = xS 2 2 x +5 Ta có: ⇒ S là trung điểm của P Q (đpcm). 1+ x0 +1 yP +yQ 0 = = xx00 +3 2 2 +1 = yS Bài tập 4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x3 + 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8. Lời giải. Đồ thị (Cm) cắt trục Oy tại M (0; 1 − m). Ta có y 0 = 3x2 − m ⇒ y 0 (0) = −m ⇒ tiếp tuyến tại M (0; 1 − m) là: y = −mx  + 1 −m. 1−m Với m = 0, tiếp tuyến không cắt Ox. Với m 6= 0, tiếp tuyến cắt Ox tại N ;0 . m WWW.VINAMATH.COM 14 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu   2 1 − m   ⇒ S∆OM N = 1 .OM.ON = (1 − m) . Khi đó OM = |1 − m|, ON =  m  2 2 |m| √  2 (1 − m) 5 m=9±4 √ 2 (thỏa mãn). Theo giả thiết ta có: S∆OM N = 8 ⇔ = 8 ⇔ (1 − m) = 16 |m| ⇔ m = −7 ± 4 3 2 |m| 2x + 1 , biết hệ số góc của tiếp tuyến x−2 Bài tập 4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = bằng −5.  −5 −5 x0 = 1 . Gọi điểm tiếp xúc là M (x ; y ). Với k = −5 ⇒ . = −5 ⇔ 0 0 2 x0 = 3 (x − 2)2 (x0 − 2) Với x0 = 1 ⇒ y0 = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M (1; −3) là: y = −5(x − 1) − 3 ⇔ y = −5x + 2. Với x0 = 3 ⇒ y0 = 7 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M (3; 7) là: y = −5(x − 3) + 7 ⇔ y = −5x + 22. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −5x + 2 và y = −5x + 22. Lời giải. Ta có: y 0 = Bài tập 4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 3 biết tiếp tuyến song song với đường 2x − 1 phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ. Lời giải. Tiếp tuyến cần tìm song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai nên có hệ số góc k =√ −1. −5 5 −5 1 ± . Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ). Với k = −1 ⇒ Ta có: y 0 = = −1 ⇔ x0 = . 2 2 (2x − 1) 2 (2x0 − 1)  √ √  √ √ √ ⇒ tiếp tuyến tại M 1+2 5 ; 5−1 là: y = −x + 5. Với x0 = 1+2 5 ⇒ y0 = 5−1 2 2  √  √ √ √ √ Với x0 = 1−2 5 ⇒ y0 = − 25−1 ⇒ tiếp tuyến tại M 1−2 5 ; − 25−1 là: y = −x − 5. √ √ Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x + 5 và y = −x − 5. Bài tập 4.46. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = 2x + 3 , biết d vuông góc với đường x+1 thẳng y = x + 2. Lời giải. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 2 nên có hệ số góc k = −1.  −1 −1 x0 = 0 0 Ta có: y = . Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ). Với k = −1 ⇒ . 2 = −1 ⇔ x0 = −2 (x + 1)2 (x0 + 1) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M (0; 3) là: y = −x + 3. Với x0 = −2 ⇒ y0 = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M (−2; 1) là: y = −(x + 2) + 1 ⇔ y = −x − 1. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x + 3 và y = −x − 1. 1 2 Bài tập 4.47. (D-05) Cho hàm số y = 13 x3 − m 2 x + 3 có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0. Lời giải. Ta có: y 0 = x2 − mx ⇒ y 0 (−1) = m + 1; y(−1) = − 12 m.
Phương trình tiếp tuyến tại M −1; − 12 m là y = (m + 1)x + 12 m + 1.   m+1=5 m=4 Mặt khác tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x − y = 0 nên ta có: ⇔ m = 4. ⇔ 1 m= 6 −2 m + 1 = 6 0 2 Bài tập 4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 + x − 1 (C). Biết rằng tiếp tuyến x+2 đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). 1 nên hàm số có tiệm cận xiên y = x − 1. x+2 Tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên nên có hệ số góc k = −1. √ x2 + 4x + 3 x20 + 4x0 + 3 −4 ± 2 0 Ta có: y = . Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ). Với k = −1 ⇒ = −1 ⇔ x0 = . 2 (x + 2)2 2 (x0 + 2) √ √ √ 2 Với x0 = −4+2 2 ⇒ y0 = −6+3 2 √ ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −x + 2 2 − 5. √ √ 2 Với x0 = −4−2 2 ⇒ y0 = −6−3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −x − 2 2 − 5. 2 √ √ Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x + 2 2 − 5 và y = −x − 2 2 − 5. Lời giải. Ta có y = x − 1 + Bài tập 4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x sao cho tiếp tuyến và hai tiệm x−1 cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân. WWW.VINAMATH.COM 15 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải. Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang do đó tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tạo thành tam giác cân khi k = ±1. −1 Hơn nữa y 0 = < 0, ∀x ∈ R\1 nên k = −1. (x − 1)2  −1 x0 = 0 . Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ). Với k = −1 ⇒ = −1 ⇔ 2 x0 = 2 (x0 − 1) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M (0; 0) là: y = −x. Với x0 = 2 ⇒ y0 = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M (2; 2) là: y = −x + 4. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = −x và y = −x + 4. Bài tập 4.50. Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.  x=0 Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ . x2 + 3x + m = 0 Đặt f (x) = x2 + 3x + m có ∆ = 9 − 4m. Đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi    9 − 4m > 0 ∆>0 m < 94 ⇔ ⇔ f (x) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m 6= 0 f (0) 6= 0 m 6= 0 Khi đó (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm C(0; 1), D(x1 ; 1), E(x2 ; 1), trong đó x1 + x2 = −3, x1 x2 = m. Lại có y 0 = 3x2 + 6x + m, do đó tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi

y 0 (x1 ).y 0 (x2 ) = −1 ⇔ 3x21 + 6x1 + m 3x22 + 6x2 + m = −1   2 2 ⇔ 9(x1 x2 ) + 18x1 x2 (x1 + x2 ) + 3m (x1 + x2 ) − 2x1 x2 + 36x1 x2 + 6m(x1 + x2 ) + m2 + 1 = 0 ⇔ 9m2 − 54m + 3m(9 − 2m) + 36m − 18m + m2 + 1 = 0 √ 9 ± 65 2 (thỏa mãn) ⇔ 4m − 9m + 1 = 0 ⇔ m = 8 Vậy m = √ 9± 65 . 8 −x + 1 . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn 2x − 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y = Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:   −x + 1 x 6= 21 x 6= 21 =x+m⇔ ⇔ −x + 1 = (2x − 1)(x + m) 2x2 + 2mx − m − 1 = 0 2x − 1
Đặt f (x) = 2x2 + 2mx − m − 1 có ∆ = m2 + 2m + 2 > 0, ∀m ∈ R và f 12 = − 21 6= 0, ∀m ∈ R. Do đó đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng y = x + m tại hai điểm phân biệt A(x1 ; x1 + m), B(x2 ; x2 + m). 1 0 Ta có: x1 + x2 = −m, x − 1x − 2 = − m+1 2 . Lại có y = − (2x − 1)2 . Do đó suy ra k1 + k2 = − 1 (2x1 − 1) 2 − 2 1 (2x2 − 1) 2 =− 4(x1 + x2 ) − 8x1 x2 − 4 (x1 + x2 ) + 2 (4x1 x2 − 2(x1 + x2 ) + 1) 2 = −4(m + 1)2 − 2 ≤ −2 Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng −2 khi m = −1. Bài tập 4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9). Lời giải. Đường thẳng qua M (−1; −9) với hệ số góc k bất kỳ có phương trình dạng: d : y = kx + k − 9. Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 ⇔ hệ sau có nghiệm: ( 4x3 − 6x2 + 1 = kx + k − 9 (1) 12x2 − 12x = k (2)  x = −1 Thay (2) vào (1) ta có: 4x3 − 6x2 + 1 = (12x2 − 12x)(x + 1) − 9 ⇔ (x + 1)2 (4x − 5) = 0 ⇔ . x = 54 Với x = −1 ⇒ k = 24 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15. 15 21 Với x = 45 ⇒ k = 15 4 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = 4 x − 4 . 15 21 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = 24x + 15 và y = 4 x − 4 . WWW.VINAMATH.COM 16 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.53. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 1 , biết tiếp tuyến qua giao điểm 2x + 1 của tiệm cận đứng và trục Ox.
Lời giải. Hàm số có tiệm cận đứng x = − 12 . Tiệm cận đứng cắt trục Ox tại điểm M − 21 ; 0 .

k x + 21 . Đường thẳng qua M − 12 ; 0 với hệ số góc k bất kỳ có phương trình dạng: d : y = (
1 −x+1 (1) −x + 1 2x+1 = k x + 2 Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ⇔ hệ sau có nghiệm: . 3 2x + 1 (2) − (2x+1)2 = k    −x + 1 5 −x + 1 −3 −3 1 x 6= − 21 ⇔ ⇔x= . Thay (2) vào (1) ta có: = = ⇔ x + 2 −2x + 2 = −3 2x + 1 2 2x + 1 2(2x + 1) 2 (2x + 1) 1 1 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = − 12 x − 24 . Với x = 52 ⇒ k = − 12 1 1 Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = − 12 x − 24 . Bài tập 4.54. (DB-05) Cho hàm số y = x2 + 2x + 2 có đồ thị (C). Gọi I là giao hai tiệm cận. Chứng minh rằng x+1 không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I. 1 ⇒ hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận xiên y = x + 1. x+1 Do đó giao hai tiệm cận là I(−1; 0). Đường thẳng qua I(−1; 0) với hệ số góc k bất kỳ có phương trình dạng: d : y = k(x(+ 1). x2 +2x+2 = k(x + 1) x2 + 2x + 2 x+1 Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ⇔ hệ sau có nghiệm: x2 +2x x+1 = k − (x+1) 2 Lời giải. Ta có y = x + 1 + (1) . (2) Thay (2) vào (1) ta có: x2 + 2x x2 + 2x x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 = = ⇔ (x + 1) ⇔ 2 x+1 x+1 x+1 (x + 1)  x 6= −1 x2 + 2x + 2 = x2 + 2x (vô nghiệm) Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I. Bài tập 4.55. Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) : y = x3 − 12x + 12. Lời giải. Lấy điểm M (m; −4) trên đường thẳng y = −4. Đường thẳng qua M (m − 4) với hệ số góc k bất kỳ có phương trình ( dạng: d : y = k(x − m) − 4. x3 − 12x + 12 = k(x − m) − 4 Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) ⇔ hệ sau có nghiệm: 3x2 − 12 = k Thay (2) vào (1) ta có:
x3 − 12x + 12 = 3x2 − 12 (x − m) − 4 ⇔ 2x3 − 3mx2 + 12m − 16 = 0  x=2 2 ⇔ (x − 2)(2x + (4 − 3m)x + 8 − 6m) = 0 ⇔ (∗) 2x2 + (4 − 3m)x + 8 − 6m = 0 (1) . (2) Đặt f (x) = 2x2 + (4 − 3m)x + 8 − 6m có ∆ = 9m2 + 24m − 48. Từ M kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) khi và chỉ khi (∗) có ba nghiệm phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác 2     m > 34  2 9m + 24m − 48 > 0 ∆>0 m < −4 ⇔ ⇔ ⇔ 24 − 12m 6= 0 f (2) 6= 0  m 6= 2 Vậy những điểm trên y = −4 có hoành độ m ∈ (−∞; −4) ∪ 4 3 ; +∞
\ {2} kẻ được ba tiếp tuyến đến (C). WWW.VINAMATH.COM 17 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị Bài tập 4.56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 − k = 0. Lời giải. Ta có phương trình tương đương: x3 − 3x2 − 1 = k − 1. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1 và đường thẳng y = k − 1. Dựa vào đồ thị ta có: k − 1 > −1 ⇔ k > 0: Phương trình có một nghiệm. k − 1 < −5 ⇔ k < −4: Phương trình có một nghiệm. k − 1 = −1 ⇔ k = 0: Phương trình có hai nghiệm. k − 1 = −5 ⇔ k = −4: Phương trình có hai nghiệm. −5 < k − 1 < −1 ⇔ −4 < k < 0: Phương trình có ba nghiệm. Kết luận: k > 0 hoặc k < −4: Phương trình có một nghiệm. k = 0 hoặc k = −4: Phương trình có hai nghiệm. −4 < k < 0: Phương trình có ba nghiệm. y 1 O 2 x −1 −3 U −5 Bài tập 4.57. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1. Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 − 6x2 − m = 0. Lời giải. Ta có phương trình tương đương: 2x3 − 3x2 + 1 = m 2 + 1. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1 và đường thẳng y = m 2 + 1. Dựa vào đồ thị ta có: m 2 + 1 > 1 ⇔ m > 0: Phương trình có một nghiệm. m 2 + 1 < 0 ⇔ m < −2: Phương trình có một nghiệm. m 2 + 1 = 1 ⇔ m = 0: Phương trình có hai nghiệm. m 2 + 1 = 0 ⇔ m = −2: Phương trình có hai nghiệm. 0< m 2 + 1 < 1 ⇔ −2 < m < 0: Phương trình có ba nghiệm. Kết luận: m > 0 hoặc m < −2: Phương trình có một nghiệm. m = 0 hoặc m = −2: Phương trình có hai nghiệm. −2 < m < 0: Phương trình có ba nghiệm. y 1 O U 1 x Bài tập 4.58. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 − 2x2 + m − 1 = 0. Lời giải. Ta có phương trình tương đương: −x4 + 2x2 + 3 = m + 2. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3 và đường thẳng y = m + 2. Dựa vào đồ thị ta có: m + 2 > 4 ⇔ m > 2: Phương trình vô nghiệm. m + 2 < 3 ⇔ m < 1: Phương trình có hai nghiệm. m + 2 = 4 ⇔ m = 2: Phương trình có hai nghiệm. m + 2 = 3 ⇔ m = 1: Phương trình có ba nghiệm. 3 < m + 2 < 4 ⇔ 1 < m < 2: Phương trình có bốn nghiệm. Kết luận: m > 2: Phương trình vô nghiệm. m < 1 hoặc m = 2: Phương trình có hai nghiệm. m = 1: Phương trình có ba nghiệm. 1 < m < 2: Phương trình có bốn nghiệm. y 4 3 −1 O 1 x Bài tập 4.59. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 −4x2 +3. Tìm m để phương trình 12 x4 −2x2 +m = 0 có bốn nghiệm phân biệt. Lời giải. WWW.VINAMATH.COM 18 WWW.VINAMATH.COM Nguyễn Minh Hiếu y 3 Ta có phương trình tương đương: x4 − 4x2 + 3 = 3 − 2m. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3 và đường thẳng y = 3 − 2m. Dựa vào đồ thị, phương trình có bốn nghiệm phân biệt ⇔ −1 < 3 − 2m < 3 ⇔ 0 < m < 2. √ − 2 √ 2 x O −1 Bài tập 4.60. (DB-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
có hai nghiệm dương phân biệt x2 + 2x + 5 = m2 + 2m + 5 (x + 1). x2 + 2x + 5 . Tìm m để phương trình sau x+1 Lời giải. Ta có phương trình tương đương: x2 + 2x + 5 = m2 + 2m + 5. x+1 Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = y 2 x + 2x + 5 và x+1 đường thẳng y = m2 + 2m + 5. Dựa vào đồ thị, phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  2  m + 2m + 1 > 0 m 6= −1 4 < m2 + 2m + 5 < 5 ⇔ ⇔ m2 + 2m < 0 −2 < m < 0 4 −3 1 O x −4 Vậy m ∈ (−2; 0) \ {−1}. Bài tập 4.61. (A-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4. Tìm m để phương trình 3 sau có sáu nghiệm phân biệt 2|x| − 9x2 + 12 |x| = m. Lời giải. y 3 Ta có phương trình tương đương: 2|x| − 9x2 + 12 |x| − 4 = m − 4. Từ đồ thị đã vẽ, bỏ phần đồ thị bên trái Oy, sau đó đối xứng phần đồ thị bên 3 phải Oy qua Oy ta được đồ thị (C1 ) : y = 2|x| − 9x2 + 12 |x| − 4. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của (C1 ) và đường thẳng y = m − 4. Dựa vào đồ thị, phương trình có sáu nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 −2 −1 O 1 x 2 0 0 nên ta có phương trình tương đương:  x+1  Từ đồ thị đã vẽ, đối xứng phần đồ thị bên dưới Ox qua Ox, sau đó bỏ phần đồ  x2 + 3x + 3  . thị bên dưới Ox, ta được đồ thị (C1 ) : y =  x+1  Số nghiệm phương trình là số giao điểm của (C1 ) và đường thẳng y = m. Dựa vào đồ thị, phương trình có bốn nghiệm phân biệt ⇔ m > 3. Vậy với m > 3 thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 2 3 1 −2 O x Bài tập 4.65. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4. Tìm m để phương trình sau có bốn 3 nghiệm phân biệt |x − 1| − 3 |x − 1| − m = 0. Lời giải. 3 Hàm số đã cho viết thành y = (x − 1) − 3 (x − 1) + 2. 3 Ta có phương trình tương đương: |x − 1| − 3 |x − 1| + 2 = m + 2. Từ đồ thị đã vẽ, bỏ phần đồ thị bên trái đường thẳng d : x = 1, sau đó đối xứng 3 phần đồ thị bên phải d qua d ta được đồ thị (C1 ) : y = |x − 1| − 3 |x − 1| + 2. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của (C1 ) và đường thẳng y = m + 2. Dựa vào đồ thị, phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m + 2 < 2 ⇔ −2 < m < 0 y 2 1 2 O x . Vậy với mọi m ∈ (−2; 0) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.   Bài tập 4.66. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1. Tìm m để phương trình x3 − 3x + 1 − 2m2 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt. Lời giải.   Ta có phương trình tương đương: x3 − 3x + 1 = 2m2 − m. Từ đồ thị đã vẽ, đối xứng phần đồ thị bên dưới Ox qua  Ox, sau đó bỏ phần đồ thị bên dưới Ox, ta được đồ thị (C1 ) : y = x3 − 3x + 1. Số nghiệm phương trình là số giao điểm của (C1 ) và đường thẳng y = 2m2 − m. Dựa vào đồ thị, phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  m = −1   m= 3 2m2 − m = 3 2 ⇔  m=0 2m2 − m = 0 m = 12 y 3 1 O −1 1 x  Vậy với m ∈ −1; 0; 12 ; 23 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt. WWW.VINAMATH.COM 20