Tài liệu Chương trình elliptic đều dạng không bảo toàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐỀU DẠNG KHÔNG BẢO TOÀN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐỀU DẠNG KHÔNG BẢO TOÀN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI – 2018 Líi c£m ìn º ho n th nh khâa luªn n y, em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  tri ¥n s¥u s­c ¸n c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa To¡n nâi chung hay tê Gi£i t½ch nâi ri¶ng ¢ h÷îng d¨n, gi£ng d¤y trong suèt qu¡ tr¼nh em håc tªp v  r±n luy»n t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2. °c bi»t, em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi th¦y gi¡o TS. Tr¦n V«n B¬ng ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v  gióp ï em r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n khâa luªn n y. M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng do thíi gian v  ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n b i khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. V¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 Sinh vi¶n Nguy¹n Thà H¬ng Líi cam oan Em xin cam oan khâa luªn n y l  k¸t qu£ cõa qu¡ tr¼nh t¼m hiºu, nghi¶n cùu cõa b£n th¥n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o TS. Tr¦n V«n B¬ng. Ngo i ra, º ho n th nh khâa luªn em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u khoa håc v  ¢ ÷ñc ghi rã trong ph¦n T i li»u tham kh£o. Em xin cam oan b i khâa luªn n y khæng sao ch²p b§t cù mët · t i khoa håc n o kh¡c, n¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m v· líi cam oan cõa m¼nh. H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 Sinh vi¶n Nguy¹n Thà H¬ng Möc löc Líi nâi ¦u 2 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Mët sè k½ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 B i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . 9 2 Ph÷ìng tr¼nh Elliptic ·u d¤ng khæng b£o to n 12 2.1 ¡nh gi¡ mªt ë tîi h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 ¡nh gi¡ h m ph¥n phèi nghi»m . . . . . . . . . . . . 22 2.3 B§t ¯ng thùc Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 K¸t luªn 30 T i li»u tham kh£o 31 T€I LI›U THAM KHƒO 32 ii Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng BƒNG K HI›U R Tªp sè thüc Rn Khæng gian Euclide thüc n chi·u P(Rn ) Hå t§t c£ c¡c tªp con cõa Rn x = (x1 , · · · , xn ) Ph¦n tû cõa Rn Chu©n cõa ph¦n tû x, b¬ng x·y p x21 + · · · + x2n P T½ch væ h÷îng cõa x v  y, b¬ng ni=1 xi yi BR (x0 ) H¼nh c¦u mð t¥m x0 ∈ Rn b¡n k½nh R A Bao âng cõa tªp con A dist(x, A) Kho£ng c¡ch tø iºm x ¸n tªp A trace M V¸t cõa ma trªn M C k (Ω) Tªp c¡c h m kh£ vi li¶n töc ¸n c§p k tr¶n Ω Du(x), D2 u(x) Gradient v  Hessian cõa h m u t¤i x ∆u(x) Laplace cõa h m u t¤i x ∂u(x) nh x¤ ph¡p hay d÷îi vi ph¥n cõa h m u t¤i x χE (x) H m °c tr÷ng cõa tªp hñp E |E| ë o Lebesgue n chi·u cõa tªp hñp E ⊂ Rn h.k.n. H¦u kh­p nìi Id To¡n tû çng nh§t trong Rn |x| 1 Líi nâi ¦u Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l  mët trong nhúng l¾nh vüc câ vai trá quan trång trong nhi·u ùng döng. Trong ch÷ìng tr¼nh håc ð ¤i håc, c¡c lîp ph÷ìng tr¼nh elliptic, parabolic v  hyperbolic ¢ ÷ñc nghi¶n cùu thæng qua c¡c ¤i di»n t÷ìng ùng cõa chóng l  ph÷ìng tr¼nh Laplace, ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t v  ph÷ìng tr¼nh truy·n sâng, xem [1]-[4]. Tuy nhi¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh â ·u câ h» sè h¬ng v  câ d¤ng b£o to n, i·u n y khæng ph£i lóc n o công câ ÷ñc trong thüc t¸, xem [5], [6] v  c¡c t i li»u trong â. V¼ vªy º t¼m hiºu v  nghi¶n cùu s¥u hìn v· v§n · n y, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o - TS. Tr¦n Ph÷ìng tr¼nh Elliptic ·u d¤ng V«n B¬ng em ¢ lüa chån · t i " khæng b£o to n" cho b i khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh. Cö thº khâa luªn n y t¼m hiºu v· mët sè k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic vîi h» sè bi¸n thi¶n v  câ d¤ng khæng b£o to n n X aij (x)Dij u(x) = 0, x ∈ Ω, i,j=1 trong â Ω ⊂ Rn l  mët h¼nh c¦u ho°c h¼nh lªp ph÷ìng cö thº. Nëi dung ch½nh cõa khâa luªn gçm hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc c¦n thi¸t cho vi»c tr¼nh b y c¡c nëi dung cõa ch÷ìng sau, nh÷ c¡c k½ hi»u cì b£n v  mët sè k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh Laplace. 2 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng Ch÷ìng 2 · cªp tîi mët sè k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh elliptic ·u d¤ng khæng b£o to n nh÷ c¡c ¡nh gi¡ mªt ë tîi h¤n, ¡nh gi¡ h m ph¥n phèi nghi»m v  b§t ¯ng thùc Harnack. Do tr¼nh ë câ h¤n n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi câ nhúng thi¸u sât. R§t mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn ÷ñc ho n thi»n hìn. 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Mët sè k½ hi»u Cho Ω l  mët tªp con mð cõa Rn v  u : Ω → R l  h m sè x¡c ành tr¶n Ω. Vîi x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , th¼ chu©n cõa x x¡c ành bði q |x| = x21 + · · · + x2n v  biºu thùc x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn l  t½ch væ h÷îng cõa c¡c v²c tì x, y ∈ Rn. Tªp hñp BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R} l  h¼nh c¦u t¥m x0 b¡n k½nh R trong Rn. C k (Ω) l  khæng gian t§t c£ c¡c h m câ ¤o h m ¸n c§p k li¶n töc tr¶n Ω, k = 0, 1, 2, · · · . Khi k = 0 ta th÷íng vi¸t ìn gi£n C 0 (Ω) bði C(Ω). N¸u u ∈ C 1 (Ω) th¼ Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) l  gradient cõa h m u t¤i iºm x ∈ Ω. N¸u u ∈ C 2 (Ω) th¼ D2 u(x) = [uxi xj ]n×n l  (ma trªn) 4 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng Hessian cõa h m u t¤i x ∈ Ω, Dij = ∂x∂ ∂xu 2 i j l  ¤o h m ri¶ng c§p hai theo c¡c bi¸n xi v  xj . 1.2 Ph÷ìng tr¼nh Laplace Trong möc n y chóng ta t¼m hiºu v· mët ¤i di»n cõa lîp ph÷ìng tr¼nh elliptic, â l  ph÷ìng tr¼nh Laplace, bao gçm c¡c t½nh ch§t nghi»m, t½nh °t ch¿nh cõa mët sè b i to¡n èi vîi ph÷ìng tr¼nh â. Nhi·u k¸t qu£ ành t½nh èi vîi ph÷ìng tr¼nh n y câ thº mð rëng èi vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh elliptic nâi chung. Ph÷ìng tr¼nh Laplace l  ph÷ìng tr¼nh: ∆u := ux1 x1 + ux2 x2 + . . . + uxn xn = 0. (1.1) Ph÷ìng tr¼nh n y mæ t£ h¦u h¸t c¡c h» (hi»n t÷ñng) cì b£n cõa Vªt l½ ð tr¤ng th¡i ên ành (tùc l  khi h» khæng phö thuëc v o thíi gian), ch¯ng h¤n, c¡c qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t, dao ëng, truy·n sâng, khu¸ch t¡n ð tr¤ng th¡i ên ành. H m u(x) ÷ñc gåi l  h m i·u háa t¤i iºm x0 n¸u u câ c¡c ¤o h m ri¶ng ¸n c§p hai li¶n töc t¤i x0 v  thäa m¢n ∆u(x0 ) = 0. H m u ÷ñc gåi l  h m i·u háa trong mi·n giîi nëi Ω ⊂ Rn n¸u u l  h m i·u háa t¤i måi iºm thuëc Ω. V½ dö 1.2.1. Gåi ωn l  thº t½ch h¼nh c¦u ìn và trong Rn. Vîi méi 5 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng ξ ∈ Rn , h m Γ(x, ξ) x¡c ành bði Γ(x, ξ) = Γ(|x − ξ|) :=    1 n(2−n)ωn |x − ξ|2−n , n¸u n > 2, n¸u n = 2   1 ln |x − ξ|, 2π l  h m i·u háa t¤i måi x ∈ Rn \ {ξ} v  ÷ñc gåi l  (1.2) nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace. ành lþ 1.1. Gi£ sû Ω l  mët mi·n giîi nëi trong Rn vîi bi¶n ∂Ω õ trìn, u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) l  i·u háa trong Ω. Khi â ta câ Z u(ξ) = [u ∂Γ ∂u (x, ξ) − Γ(x, ξ) ]dS. ∂ν ∂ν (1.3) ∂Ω D÷îi ¥y l  mët sè t½nh ch§t quan trång cõa h m i·u háa. C¡c ành lþ n y câ thº xem l  c¡c h» qu£ cõa c¡c cæng thùc Green. Gi£ sû Ω ⊂ Rn l  mët tªp mð. ành lþ 1.2 (Gi¡ trà trung b¼nh). Gi£ sû h m u ∈ C 2(Ω) thäa m¢n h» thùc ∆u = 0 (∆u ≥ 0, ∆u ≤ 0) trong Ω. Khi â, vîi måi h¼nh c¦u B = BR (ξ) ⊂⊂ Ω ta câ c¡c ¯ng thùc (b§t ¯ng thùc sau) Z 1 u(ξ) = (≤, ≥) nωn Rn−1 u(x)dS, (1.4) ∂B 1 u(ξ) = (≤, ≥) ωn R n Z u(x)dx, (1.5) B trong â ωn l  thº t½ch h¼nh c¦u ìn và trong Rn. Chóng ta ¢ bi¸t r¬ng h m u i·u háa t¤i iºm x n¸u ∆u(x) = 0. N¸u ∆u(x) ≤ 0 (t÷ìng ùng: ∆u(x) ≥ 0) th¼ ta nâi h m u 6 d÷îi i·u Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc háa (t÷ìng ùng: Nguy¹n Thà H¬ng tr¶n i·u háa ) t¤i x. Theo ành lþ 1.2, n¸u u i·u háa (t÷ìng ùng: d÷îi i·u háa, tr¶n i·u háa) t¤i måi x ∈ Ω th¼ gi¡ trà cõa u t¤i måi iºm x ∈ Ω b¬ng (t÷ìng ùng: lîn hìn ho°c b¬ng, nhä hìn ho°c b¬ng) gi¡ trà trung b¼nh cõa h m â tr¶n måi h¼nh c¦u, m°t c¦u t¥m x n¬m trong Ω. i·u n y gi£i th½ch cho thuªt ngú "i·u háa". ành lþ 1.3 (Nguy¶n lþ cüc trà m¤nh). Gi£ sû h m u ∈ C 2(Ω) thäa m¢n h» thùc ∆u trong Ω v  tçn t¤i ξ ∈ Ω sao cho u(ξ) = supΩ u (u(ξ) = inf Ω u). Khi â h m u l  h¬ng sè. Do â måi h m i·u háa trong Ω, kh¡c h¬ng sè ·u khæng thº ¤t gi¡ trà lîn nh§t v  gi¡ trà nhä nh§t t¤i c¡c iºm trong Ω. ≥ 0 (∆u ≤ 0) Tø nguy¶n lþ cüc trà m¤nh ta nhªn ÷ñc nguy¶n lþ cüc trà tr¶n mi·n bà ch°n sau ¥y: ành lþ 1.4 (Nguy¶n lþ cüc trà tr¶n mi·n bà ch°n). Cho Ω ⊂ Rn l  mët mi·n bà ch°n. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) ∩ C(Ω) l  h m i·u háa trong Ω. Khi â inf u ≤ u(x) ≤ sup u, ∂Ω x ∈ Ω. ∂Ω H» qu£ 1.1. Cho Ω ⊂ Rn l  mët mi·n bà ch°n. Gi£ sû u, v ∈ C 2(Ω) ∩ thäa m¢n c¡c ¯ng thùc ∆u = ∆v trong Ω v  u = v tr¶n ∂Ω. Khi â u = v trong Ω. C(Ω) H» qu£ 1.2. Cho Ω ⊂ Rn l  mët mi·n bà ch°n. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) ∩ C(Ω) v  ∆u ≥ 0 (t÷ìng ùng: ∆u ≤ 0) trong Ω. Khi â sup u = sup u (t÷ìng Ω ∂Ω 7 ùng: inf u = inf u). Ω ∂Ω Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng Theo H» qu£ 1.2, n¸u u l  h m i·u háa tr¶n mi·n bà ch°n th¼ gi¡ trà lîn nh§t v  gi¡ trà nhä nh§t cõa u s³ ¤t ÷ñc tr¶n bi¶n cõa Ω. i·u n y câ ùng döng r§t quan trång trong thüc ti¹n, ch¯ng h¤n x²t mæ h¼nh truy·n nhi»t ð tr¤ng th¡i ên ành. Khi â ta ch¿ c¦n kiºm so¡t nhi»t ë ð tr¶n bi¶n cõa mi·n l  bi¸t ÷ñc kho£ng bi¸n thi¶n cõa nhi»t ë trong mi·n ang x²t. ành lþ 1.5 (B§t ¯ng thùc Harnack). Gi£ sû u l  mët h m i·u háa khæng ¥m trong mi·n Ω. Khi â vîi méi mi·n con bà ch°n Ω0 ⊂⊂ Ω tçn t¤i mët h¬ng sè C = C(n, Ω0, Ω) sao cho sup u ≤ C inf0 u. Ω Ω0 ành lþ 1.6. Gi£ sû B = BR(ξ) l  h¼nh c¦u t¥m ξ b¡n k½nh R v  l  h m i·u háa kh¡c h¬ng sè trong B v  nhªn gi¡ trà nhä ∂u nh§t t¤i mët iºm x0 ∈ ∂B. N¸u t¤i iºm x0 tçn t¤i ¤o h m ∂µ vîi µ l  h÷îng hñp vîi v²c tì ph¡p tuy¸n ngo i cõa ∂B t¤i x0 mët gâc nhån th¼ u ∈ C(B̄) ∂u (x0 ) < 0. ∂µ ành lþ 1.7. Gi£ sû Ω l  mi·n bà ch°n vîi bi¶n trìn, u ∈ C 1(Ω) l  h m i·u háa trong Ω. Khi â Z ∂u dS = 0. ∂ν ∂Ω ành lþ n y cho th§y, n¸u u l  ph¥n bè nhi»t ð tr¤ng th¡i ên ành th¼ têng dáng nhi»t truy·n ra ngo i bi¶n Ω theo h÷îng v²c tì ph¡p tuy¸n ngo i tr¶n to n ∂Ω luæn b¬ng 0. 8 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng Hìn núa, n¸u R1 , R2 l  c¡c sè d÷ìng sao cho c¡c h¼nh c¦u BR1 (y) v  BR2 (y) chùa trong mi·n Ω v  R1 < R2 . Khi â ¡p döng ành lþ 1.6 èi vîi h m u(x) = −Γ(x, y) v  mi·n Ω l  mi·n BR2 (y) \ BR1 (y) ta nhªn ÷ñc Z ∂Γ(x, y) dS = ∂ν Z ∂Γ(x, y) dS. ∂ν ∂BR2 (y) ∂BR1 (y) i·u n y câ ngh¾a l : têng l÷ñng nhi»t i qua mët m°t c¦u b§t k¼ vîi t¥m t¤i y theo h÷îng v²c tì ph¡p tuy¸n ngo i, vîi ph¥n bè nhi»t trong Ω \ {y} l  h m −Γ(x, y), l  mët h¬ng sè. Bði vªy iºm y vîi ph¥n bè nhi»t −Γ(x, y) câ thº ÷ñc x²t nh÷ nguçn nhi»t täa ra mët l÷ñng nhi»t b¬ng Z ∂Γ(x, y) dS = 1. ∂ν ∂Bρ (y) 1.3 B i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace Gi£ sû Ω l  mi·n bà ch°n trong Rn . 1, B i to¡n bi¶n thù nh§t (Dirichlet): l  b i to¡n t¼m nghi»m u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω thäa m¢n i·u ki»n bi¶n u |∂Ω = ψ, ð â ψ l  h m li¶n töc ¢ cho tr¶n ∂Ω. 2, B i to¡n bi¶n thù hai (Neumann): l  b i to¡n t¼m nghi»m u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω thäa m¢n i·u ki»n 9 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng bi¶n ∂u |∂Ω = ψ, ∂ν ð â ψ l  h m li¶n töc ¢ cho tr¶n ∂Ω. 3, B i to¡n bi¶n thù ba (hén hñp): l  b i to¡n t¼m nghi»m u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω thäa m¢n i·u ki»n bi¶n ( ∂u + au) |∂Ω = ψ, ∂ν ð â a v  ψ l  h m li¶n töc ¢ cho tr¶n ∂Ω. èi vîi c¡c b i to¡n n y, ta câ mët sè k¸t qu£ sau: ành lþ 1.8. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) ∩ C(Ω) l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω. Khi â ta câ ¡nh gi¡ |u(x)| ≤ max |ψ|, ∂Ω ∀x ∈ Ω. (1.6) Do â, b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace câ khæng qu¡ mët nghi»m trong C(Ω) v  nghi»m phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n bi¶n ψ. ành lþ 1.9. Gi£ sû ∂Ω trìn v  vîi méi x0 ∈ ∂Ω ·u tçn t¤i mët h¼nh c¦u BR b¡n k½nh R sao cho x0 ∈ ∂BR v  BR ⊂ Ω (t½nh ch§t c¦u trong). Khi â hai nghi»m b§t k¼ cõa b i to¡n bi¶n thù hai èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace ch¿ sai kh¡c nhau mët h¬ng sè. ành lþ 1.10. Gi£ sû Ω l  mi·n thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa ành lþ 1.9 v  u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n thù hai èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace. Khi â tçn t¤i c¡c h¬ng sè C = C(Ω), M = 10 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc M (Ω) Nguy¹n Thà H¬ng sao cho |u(x) − C| ≤ M max |ψ|, ∂Ω ∀x ∈ Ω. (1.7) èi vîi b i to¡n bi¶n thù ba ta câ k¸t qu£ sau: ành lþ 1.11. Gi£ sû ∂Ω trìn v  tçn t¤i h¬ng sè a0 > 0 sao cho tr¶n ∂Ω, u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n thù ba èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace. Khi â ta câ ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m a(x) ≥ a0 |u(x)| ≤ 1 max |ψ|, a0 ∂Ω ∀x ∈ Ω. (1.8) V· sü tçn t¤i nghi»m ta câ ành lþ 1.12. Gi£ sû ψ l  h m li¶n töc tr¶n ∂BR. Khi â h m u x¡c ành bði u(ξ) =  2 2 R    Rnω−|ξ| nR ∂BR udS |x−ξ|n , n¸u ξ ∈ BR n¸u ξ ∈ ∂BR   ψ(ξ), (1.9) thuëc C 2(BR) ∩ C(B̄R) v  thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ∆u = 0 trong BR hay u l  nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace trong h¼nh c¦u BR. 11 Ch÷ìng 2 Ph÷ìng tr¼nh Elliptic ·u d¤ng khæng b£o to n Trong ch÷ìng n y chóng ta x²t to¡n tû tuy¸n t½nh câ d¤ng Lu = n X aij (x)Dij u(x), i,j=1 trong â ma trªn c¡c h» sè A(x) = (aij (x)) l  èi xùng v  elliptic ·u, ngh¾a l  λ|ξ|2 ≤ hA(x)ξ, ξi ≤ Λ|ξ|2 , vîi måi ξ ∈ Rn v  x ∈ Ω ⊂ Rn . Chóng ta gi£ sû r¬ng c¡c h» sè aij l  c¡c h m trìn, nh÷ng c¡c ÷îc l÷ñng chóng ta s³ thi¸t lªp ëc lªp vîi t½nh ch½nh quy cõa c¡c h» sè v  ch¿ phö thuëc v o c¡c h¬ng sè elliptic λ, Λ v  sè chi·u n. Khi â ta nâi c¡c h¬ng sè â ch¿ phö thuëc v o c§u tróc. D¹ th§y l , n¸u A l  ma trªn ìn và th¼ Lu = ∆u l  to¡n tû Laplace. Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [6]. 12 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng 2.1 ¡nh gi¡ mªt ë tîi h¤n ành lþ 2.1. Tçn t¤i c¡c h¬ng sè M0 > 1 v  0 <  < 1, ch¿ phö thuëc v o c§u tróc, sao cho vîi b§t k¼ u ≥ 0 l  nghi»m cõa Lu ≤ 0 trong h¼nh c¦u B2R(x0) thäa m¢n inf u ≤ 1, BR (x0 ) chóng ta câ |{x ∈ B7R/4 (x0 ) : u(x) < M0 }| ≥ |B7R/4 (x0 )|. Chùng minh. L§y y ∈ BR/4(x0) v  ành ngh¾a h m sè |x − y|2 R2 u(x) + . φy (x) = 4 2 5 N¸u x ∈ BR (x0 ), th¼ |x − y| ≤ R v  bði vªy 4  2 R2 5 1 φy (x) ≤ u(x) + R , vîi måi x ∈ BR (x0 ). 4 4 2 Do â R2 inf φy (x) ≤ + 4 BR (x0 )  5 R 4 2 1 33 2 = R. 2 32 M°t kh¡c, n¸u x ∈ B2R (x0 )\B7R/4 (x0 ), th¼ |x−y| ≥ |x−x0 |−|x0 −y| ≥ 6 R, v  v¼ u ≥ 0, 4 36 φy (x) ≥ R2 . 32 13 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng Suy ra inf B2R (x0 )\B7R/4 (x0 ) φy (x) ≥ 36 2 33 2 R > R ≥ inf φy (x), 32 32 BR (x0 ) v  h» qu£ l  inf φy (x) = B2R (x0 ) inf B7R/4 (x0 ) φy (x). Nh÷ vªy, tçn t¤i z ∈ B7R/4 (x0 ) sao cho inf φy (x) = φy (z). B2R (x0 ) Chóng ta x²t tªp H = {z ∈ B7R/4 (x0 ) : ∃y ∈ BR/4 (x0 ) sao cho φy (z) = inf φy (x)}. B2R (x0 ) Nâi c¡ch kh¡c, H l  tªp t§t c£ c¡c iºm z ∈ B7R/4 (x0 ) sao cho gi¡ trà nhä nh§t cõa φy (x) trong B2R (x0 ) ¤t ÷ñc t¤i z vîi mët sè y ∈ BR/4 (x0 ). B¥y gií º þ r¬ng Dφy (z) = 0 D2 φy (z) ≥ 0. R2 R2 Du(z) + z − y, suy ra y = Du(z) + z. Do â, 0 = Dφy (z) = 4 4 Chóng ta x¡c ành ¡nh x¤ R2 Φ(z) = Du(z) + z. 4 14 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà H¬ng N¸u y ∈ BR/4 (x0 ), th¼ tçn t¤i z ∈ H sao cho Φ(z) = y. Khi â Z Z |BR/4 (x0 )| ≤ dx ≤ Φ(H) |JΦ (x)|dx. H  R2 2 D u(x) + Id v  v¼ D2 φy (x) ≥ 0 vîi x ∈ H, B¥y gií JΦ (x) = det 4 chóng ta câ R2 2 2 D u(x) + Id ≥ 0, D φy (x) = 4  vîi x ∈ H. Do â  R2 2 |BR/4 (x0 )| ≤ det D u(x) + Id dx 4 H  2  Z det A(x) R 2 = det D u(x) + Id dx 4 H det A(x)    2 n Z R 1 trace A(x) D2 u(x) + Id dx ≤n−n det A(x) 4 H  2 + !n Z R 1 =n−n Lu(x) + trace A(x) dx. 4 H det A(x) Z  Chóng ta ÷îc l÷ñng tªp H. Vîi z ∈ H; tçn t¤i y ∈ BR/4 (x0 ) vîi φy (z) = min x∈B2R (x0 ) φy (x). V¼ inf BR (x0 ) u ≤ 1, n¶n tçn t¤i x1 ∈ BR (x0 ) sao cho u(x1 ) ≤ 1. Khi â R2 |z − y|2 R2 u(z) ≤ u(z) + = φy (z) 4 4 2 R2 |x1 − y|2 ≤φy (x1 ) = u(x1 ) + 4 2  2 2 R 5 1 33 2 ≤ + R = R. 4 4 2 32 15