Tài liệu Chuỗi fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi fourier

Mục lục MỞ ĐẦU 4 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 1.2 Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.7 Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 CHUỖI FOURIER 2.1 18 Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 2.2 2.3 2.1.4 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4 Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.6 Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.8 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. . . . 28 2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. . . . . . . . . . . . . 31 2.2.10 Tính chất của các hệ số Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.11 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. . . 36 2.2.12 Định lý (Đini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.13 Dạng phức của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. . . . . . . 42 2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER. 53 3.1 Bài toán 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Bài toán 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 3.3 Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Bài toán 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7 Bài toán 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.8 Bài toán 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.9 Bài toán 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.10 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mang nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì. Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos nπx nπx và sin . n n Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier" làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái. 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 2.1. Mục đích nghiên cứu. - Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. - Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số Fourier. 4 - Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier. - Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích. 3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học. Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là: - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 5. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN. Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng và chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier. Hơn nữa, khóa luận cũng đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. 6. CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN. Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1. Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗi hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu mà không chứng minh. Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier. 5 Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứu một số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển của một hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm. Dựa vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier. Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Chuỗi số thực. Các định nghĩa. Định nghĩa 1.1. Giả sử {un }+∞ n=1 là một dãy số thực. Ta gọi u1 + u2 + ... + un + ... = +∞ X un (1.1) n=1 là chuỗi số thực (chuỗi số). Định nghĩa 1.2. Ta gọi Sn = n P uk là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1). Nếu k=1 lim Sn = S ∈ R (1.2) n→+∞ thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết S = +∞ P un . n=1 Trường hợp ngược lại, nếu không tồn tại lim Sn hoặc lim Sn = ±∞ thì chuỗi số (1.1) n→+∞ n→+∞ được gọi là chuỗi phân kì. Ví dụ 1.3. (i) Chuỗi số +∞ P 1 hội tụ và có tổng bằng 1 vì tổng riêng thứ n của chuỗi là n n=1 2 Sn = Do đó lim Sn = lim (1 − n→∞ n→+∞ 1 1 1 1 + + ... + n = 1 − n . 2 4 2 2 1 ) = 1. 2n 7 (ii) Chuỗi +∞ P n phân kì vì tổng riêng thứ n của chuỗi là n=1 Sn = 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) . 2 n(n + 1) = +∞. n→+∞ 2 Do đó lim Sn = lim n→+∞ 1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ và S là tổng của nó. Khi đó ta gọi Rn = S − Sn (1.3) là phần dư thứ n của chuỗi số (1.1). Chú ý: Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S thì lim Rn = lim (S − Sn ) = 0. n→+∞ 1.1.3 n→+∞ Tính chất. Tính chất 1.4. Giả sử chuỗi số +∞ P un và chuỗi số n=1 +∞ P vn hội tụ có tổng tương ứng là I n=1 và J. Khi đó: +∞ P (i) Chuỗi số (un ± vn ) cũng hội tụ có tổng tương ứng là I ± J. n=1 (ii) Nếu k ∈ R là hằng số thì chuỗi số +∞ P kun hội tụ có tổng là kI. n=1 Tính chất 1.5. Trong một chuỗi, ta có thể thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng mà không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kì của nó. 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. Định lý 1.6. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số +∞ P un hội tụ khi và chỉ khi với mỗi số ε > 0 bất kì, tồn tại số nguyên dương N n=1 sao cho: ∀n, p ∈ N∗ , n ≥ N ⇒ |un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε 8 Tính chất 1.7. Điều kiện cần để chuỗi +∞ P un hội tụ là lim un = 0. n=1 Chứng minh. Giả sử chuỗi số +∞ P n→+∞ un hội tụ có tổng là S và Sn = n=1 n P uk là tổng riêng thứ k=1 n của chuỗi. Khi đó lim Sn = S và un = Sn − Sn−1 . n→+∞ Do đó lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = S − S = 0(đpcm). n→+∞ n→+∞ Nhận xét 1.8. Nếu lim un 6= 0 hoặc không tồn tại lim un thì chuỗi số n→+∞ n→+∞ +∞ P un phân n=1 kì. Tuy nhiên, tính chất 1.7 chỉ là điều kiện cần nên một chuỗi số thỏa mãn điều kiện lim un = 0 thì chưa kết luận được chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ. n→+∞ Ví dụ: Chuỗi số +∞ P q n (q là hằng số) được gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này hội tụ khi n=1 |q| < 1, phân kỳ khi |q| ≥ 1. 1.1.5 Chuỗi số dương. Định nghĩa 1.9. Chuỗi số +∞ P un có các số hạng un ≥ 0 với mọi n được gọi là chuỗi số n=1 dương. Chú ý: Chuỗi số +∞ P 1 (s là hằng số) được gọi là chuỗi Riemann. Chuỗi này hội tụ khi s n=1 n s > 1 và phân kỳ khi s ≤ 1. Trong trường hợp s = 1 ta được chuỗi +∞ X 1 1 1 = 1 + + ... + + ... n 2 n n=1 là chuỗi phân kì. Chuỗi số này còn gọi là chuỗi điều hòa. Các dấu hiệu hội tụ: Định lý 1.10. Chuỗi số dương +∞ P un hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn n=1 trên. Định lý 1.11. (Dấu hiệu so sánh 1.) Giả sử hai chuỗi số dương +∞ P n=1 un và +∞ P vn và un ≤ vn kể từ một chỉ số nào đó trở đi. n=1 9 Khi đó +∞ P (i) Nếu chuỗi số (ii) Nếu chuỗi số vn hội tụ thì chuỗi số n=1 +∞ P +∞ P un n=1 +∞ P un phân kỳ thì chuỗi số n=1 hội tụ. vn phân kỳ. n=1 Định lý 1.12. (Dấu hiệu so sánh 2.) Giả sử hai chuỗi số dương +∞ P un và n=1 +∞ P un = k (0 6= k ∈ R). Khi đó hai chuỗi n→+∞ vn vn có lim n=1 số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Định lý 1.13. (Dấu hiệu tích phân Cauchy.) Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) và f giảm với x đủ lớn. Đặt u1 = f (1), u2 = f (2), ..., un = f (n), ... Khi đó chuỗi số +∞ P un hội tụ nếu và chỉ nếu n=1 Zy lim f (x)dx y→+∞ 1 là hữu hạn. 1.1.6 Chuỗi đan dấu. Định nghĩa 1.14. Chuỗi số có dạng +∞ X (−1)n−1 un = u1 − u2 + u3 − ... (1.4) (−1)n un = −u1 + u2 − u3 + ... (1.5) n=1 hoặc +∞ X n=1 với un ≥ 0, ∀n ∈ N∗ gọi là chuỗi số đan dấu. Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu: 10 Định lý 1.15. (Định lý Leibniz) Nếu chuỗi số đan dấu +∞ P (−1)n−1 un thỏa mãn các điều kiện sau: n=1 (i) u1 ≥ u2 ≥ ... ≥ un ≥ ... (ii) lim un = 0 n→+∞ thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng u1 . Ví dụ 1.16. Xét chuỗi số đan dấu +∞ X (−1)n−1 n=1 1 n   1 1 có là một dãy giảm và lim = 0. Do đó chuỗi số trên hội tụ. n→+∞ n n Chú ý 1.17. (i) Định lý Leibniz phát biểu cho chuỗi đan dấu dạng +∞ P (−1)n−1 un và là n=1 điều kiện đủ để chuỗi đó hội tụ. Đối với chuỗi đan dấu dang +∞ P (−1)n un ta chỉ áp dụng n=1 định lý Leibniz sau khi nhân tất cả các số hạng của chuỗi với (−1). Do đó chỉ kết luận được sự hội tụ của +∞ P (−1)n un mà không kết luận được chuỗi đó có tổng S ≤ u1 . n=1 +∞ P (ii) Đối với chuỗi đan dấu dạng (−1)n−1 un mà các giả thiết của Đinh lý Leibniz chỉ n=1 đúng khi n ≥ N (N là số nguyên dương nào đó) thì vẫn kết luận được sự hội tụ chuỗi đan dấu đó nhưng không kết luận được chuỗi có tổng S ≤ u1 . 1.1.7 Chuỗi số bất kì. Định nghĩa 1.18. Chuỗi số +∞ P un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương n=1 n=1 hội tụ. Định lý 1.19. Nếu chuỗi số +∞ P +∞ P un hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ và n=1   +∞ +∞ X  X   un  ≤ |un |.   n=1  n=1 11 |un | Chứng minh. Giả sử chuỗi số +∞ P un hội tụ tuyệt đối. Khi đó chuỗi số n=1 +∞ P |un | hội tụ, theo n=1 tiêu chuẩn Cauchy, với ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ , ∀n, p ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ N ⇒ |un+1 | + |un+2 | + ... + |un+p | < ε. Mặt khác |un+1 + un+2 + ... + un+p | ≤ |un+1 | + |un+2 | + ... + |un+p | Do đó ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ sao cho ∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ N ⇒ |un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε. Điều trên chứng tỏ chuỗi số +∞ P un hội tụ. n=1 Sau đây là một số dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi. Định lý 1.20. (Dấu hiệu D’Alembert.) Cho chuỗi số +∞ P |un+1 | = k. Khi đó n→+∞ |un | un có lim n=1 (i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. (iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số. Định lý 1.21. (Dấu hiệu Cauchy.) Giả sử chuỗi số +∞ P n=1 un có lim n→+∞ p n |un | = k. Khi đó (i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (i) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. (iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số. Trong trường hợp không sử dụng được Dấu hiệu D’Alembert hoặc Dấu hiệu Cauchy thì có thể sử dụng định lí tổng quát sau: 12 Định lý 1.22. Giả sử +∞ P un là một chuỗi số với lim sup n→+∞ n=1 p n |un | = l. Khi đó (i) Nếu l < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (i) Nếu l > 1 thì chuỗi phân kỳ. (iii) Nếu l = 1 thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số. Chứng minh. Ta biết rằng với một dãy số thực {an } bất kì, ta có lim sup an = lim sup {an , an+1 , ...}. n→+∞ n→+∞ Do đó nếu lim sup an = α và β là một số thực lớn hơn α thì an ≤ β với n đủ lớn. n→+∞ a) Gọi r là một số thực sao cho l < r < 1. Vì lim sup n→+∞ p n |un | = l < r nên p n |un | ≤ r với n đủ lớn. Do đó |un | ≤ rn với n đủ lớn. Vì chuỗi số +∞ P rn hội tụ nên, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số n=1 +∞ P b) Tồn tại một dãy con {ukn } của dãy {un } sao cho lim n→+∞ p n |un | hội tụ. n=1 p n |ukn | = l > 1. Do đó |ukn | > 1 với n đủ lớn. Vậy chuỗi đã cho phân kì. Định lý 1.23. Giả sử +∞ P un là một dãy số thực. n=1 |un+1 | = l < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. n→+∞ |un | |un+1 | (ii) Nếu lim inf = l > 1 thì chuỗi đã cho phân kì. n→+∞ |un | (i) Nếu lim sup 1.2 Chuỗi hàm số. 1.2.1 Dãy hàm số. a. Miền hội tụ. Định nghĩa 1.24. Giả sử {un (x)}+∞ n=1 là dãy hàm số thực xác định trên một tập hợp X ⊂ R. Với mỗi x0 ∈ X, {un (x0 )} là một dãy số thực. Nếu dãy số thực {un (x0 )} hội tụ thì ta nói rằng dãy hàm số {un (x)} hội tụ tại điểm x0 . Điểm x0 được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm số {un (x)}. Tập hợp các điểm hội tụ của dãy hàm số {un (x)} gọi là miền 13 hội tụ của dãy hàm số đó. Nếu dãy hàm số {un (x)} không hội tụ tại điểm x0 ∈ X thì x0 gọi là điểm phân kì của dãy {un (x)}. Ví dụ 1.25. Xét dãy hàm số un (x) = (x)n , n = 1, 2, ... xác định trên R. Ta có lim un (x) = n→+∞      1 với x = 1     0 với −1 1. Vậy miền hội tụ của dãy hàm số đã cho là (−1; 1]. Hội tụ f (x) =      1 với x = 1     0 với −1 0, tồn tại một số nguyên dương N sao cho n ≥ N ⇒ |un (x) − u(x)| < ε. 14 Số nguyên dương N phụ thuộc vào ε và nói chung phụ thuộc vào x. Nếu với mỗi ε > 0 cho trước đều tìm được một số nguyên dương N chung cho mọi x ∈ X thì ta nói rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến u trên tập hợp X. c. Hội tụ đều. Định nghĩa 1.27. Giả sử u, u1 , u2 , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Ta nói rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến hàm số u trên tập hợp X nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho n ≥ N ⇒ |un (x) − u(x)| < ε với mọi x ∈ X. Khi đó ta viết un ⇒ u trênX Định lí sau đây cho một điều kiện tương đương của định nghĩa 1.27. Định lý 1.28. Giả sử u, u1 , u2 , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó un ⇒ u trên X nếu và chỉ nếu lim sup |un (x) − u(x)| = 0 n→+∞ x∈X d. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều. Định lý 1.29. Giả sử {un (x)} là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó un hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho m ≥ N, n ≥ N ⇒ |um (x) − un (x)| < ε với mọi x ∈ X. 15 1.2.2 Chuỗi hàm số. Định nghĩa 1.30. Giả sử {un (x)}+∞ n=1 là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X ⊂ R. Khi đó u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... := +∞ X un (x) n=1 được gọi là chuỗi hàm số. Ví dụ 1.31. +∞ P n=1 +∞ P ln x x x = ln x + ln + ... + ln + ... là một chuỗi hàm trên (0; +∞). n 2 n sin nx = sin x + sin 2x + ... + sin nx + ... là chuỗi hàm trên (−∞; +∞). n=1 Định nghĩa 1.32. Cho chuỗi +∞ P un (x) các hàm xác định trên X, x0 ∈ X thì n=1 +∞ P un (x0 ) n=1 +∞ P là một chuỗi số. Nếu chuỗi số này hội tụ thì chuỗi hàm un (x) được gọi là hội tụ tại n=1 x0 và điểm x0 được gọi là điểm tụ của chuỗi hàm +∞ P un (x). Tập hợp tất cả các điểm tụ n=1 của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó. 1.2.2.1. Chuỗi hàm số hội tụ đều. a. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm số. Định lý 1.33. Giả sử u1 , u2 , ..., un , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó, chuỗi hàm số +∞ P un hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất n=1 kỳ, tồn tại một số nguyên dương N sao cho: ∀n, p ∈ N∗ , n ≥ N Suy ra |un+1 (x) + un+2 (x) + ... + un+p (x)| < ε, ∀x ∈ X. Định lý 1.34. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm +∞ P un (x) hội tụ đều trên tập X là n=1 lim sup |rn (x)| = 0. n→+∞ x∈X 16 b. Dấu hiệu Weierstrass. Chuỗi hàm +∞ P un (x) hội tụ đều trên tập X nếu tồn tại chuỗi số dương n=1 +∞ P an hội tụ n=1 sao cho: |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ X, ∀n ∈ N∗ . 1.2.2.2. Tính chất của tổng của một chuỗi hàm. Định lý 1.35. (Tính liên tục). Giả sử chuỗi hàm số +∞ P un hội tụ đều trên khoảng I của R. Nếu các hàm số un đều liên n=1 tục tại điểm x0 ∈ I thì tổng S của chuỗi hàm số liên tục tại điểm x0 . Vậy ta có: lim x→x0 +∞ X un (x) = n=1 +∞ X un (x0 ) = +∞ X n=1 n=1 lim un (x). x→x0 Định lý 1.36. (Đổi thứ tự dấu tổng và dấu tích phân) Cho chuỗi hàm xác định trên [a; b] là +∞ P un (x). Giả sử: n=1 (i) Các hàm un liên tục trên [a; b]. (ii) Chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Khi đó, tổng chuỗi là hàm khả tích trên [a; b] và Zb X +∞ a un (x)dx = n=1 +∞ Z X b un (x)dx. n=1 a Định lý 1.37. (Đạo hàm từng số hạng) Cho chuỗi hàm +∞ P un (x) xác định trên [a; b]. Giả sử: n=1 (i) {un } là dãy các hàm khả vi liên tục trên [a; b]. (ii) Chuỗi hàm +∞ P un (x) hội tụ tại một điểm c nào đó trên [a; b]. n=1 Khi đó, chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Hơn nữa, tổng chuỗi là hàm khả vi liên tục trên [a; b] và +∞ X n=1 !0 un (x) = +∞ X n=1 17 u0n (x), ∀x ∈ [a; b] . Chương 2 CHUỖI FOURIER 2.1 2.1.1 Chuỗi lượng giác. Định nghĩa. Định nghĩa 2.1. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng +∞ a0 X (an cos nx+bn sin nx), x ∈ R + 2 n=1 trong đó {an } , {bn } là hai dãy số thực. Với mỗi n, hàm số un (x) = an cos nx + bn sin nx có các đạo hàm mọi cấp trên R và có chu kỳ 2π. Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số f (x) thì f là một hàm số có chu kỳ 2π trên R. Các hằng số an , bn gọi là các hệ số của chuỗi. Chuỗi lượng giác không phải bao giờ cũng có đạo hàm mọi cấp trên khoảng hội tụ của nó. Tổng của một chuỗi lượng giác có thể không liên tục trên miền hội tụ của nó. Có những chuỗi lượng giác mà tổng liên tục nhưng không có đạo hàm tại mọi điểm của miền hội tụ. 2.1.2 Định lý. Định lý 2.2. Nếu các chuỗi số +∞ P an , n=1 +∞ P bn hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lượng giác n=1 +∞ a0 X + (an cos nx+bn sin nx) 2 n=1 18 (2.1) hội tụ đều trên R và tổng của nó là một hàm liên tục trên R. Chứng minh. Ta có: |an cos nx + bn sin nx| ≤ |an | + |bn | , ∀x ∈ R, n ≥ 1. Vì chuỗi số +∞ P (|an | + |bn |) hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi (2.1) hội tụ đều n=1 trên R nên tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R. 2.1.3 Định lý. Định lý 2.3. Giả sử dãy {an } và {bn } là hai dãy số dương giảm đến không khi n → +∞. Khi đó, chuỗi lượng giác +∞ a0 X + (an cos nx+bn sin nx) 2 n=1 hội tụ tại mọi điểm x ∈ R\2πZ và hội tụ đều trên mỗi đoạn [2kπ + α; 2(k + 1)π − α] , k ∈ Z, α > 0. Do đó tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R\2πZ. Ví dụ 1: Chuỗi lượng giác +∞ P cos nx hội tụ tại mọi x 6= 2kπ, k ∈ Z và phân kì tại x = 2kπ, k ∈ Z. n n=1 Ví dụ 2: Chuỗi +∞ P sin nx hội tụ tại mọi x ∈ R vì với x = 2kπ, mỗi số hạng của chuỗi đều bằng 0. n n=1 Tuy nhiên tổng của chuỗi chỉ liên tục trên R\2kπ, k ∈ Z. 2.1.4 Nếu Định lý. +∞ P (|an | + |bn |) < +∞ thì tổng f của chuỗi lượng giác n=1 +∞ a0 X + (an cos nx+bn sin nx) 2 n=1 19 (2.2) là một hàm số khả vi liên tục trên R và f 0 (x) nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng hạng tử của chuỗi (2.2), tức là 0 f (x) = +∞ X (−nan sin nx + nbn cos nx), ∀x ∈ R. n=1 Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra: +∞ P (|an | + |bn |) < +∞ n=1 Do đó chuỗi (2.2) và chuỗi đạo hàm của nó: −a1 sin x + b1 cos x + ... + (−nan sin nx + nbn cos nx) + ... (2.3) đều hội tụ đều trên R. Vậy f có đạo hàm trên R và f 0 (x) bằng tổng của chuỗi (2.3) với mọi x ∈ R. 2.1.5 Định lý. Nếu hai chuỗi số +∞ P n=1 an và +∞ P bn đều hội tụ tuyệt đối thì tổng f của chuỗi lượng giác: n=1 +∞ a0 X (an cos nx+bn sin nx) + 2 n=1 (2.4) liên tục trên R và tổng của chuỗi lượng giác +∞ a0 X + 2 n=1  an bn sin nx − cos nx n n  nhận được nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (2.4) là một nguyên hàm của f trên R. 2.1.6 Bổ đề Hệ thống các hàm: 1 ϕ0 (x) = √ , 2 ϕ1 (x) = cos x, ϕ2k−1 (x) = cos kx, ϕ2 (x) = sin x, ... (2.5) ϕ2k (x) = sin kx. 20