Tài liệu Chinh phục kỳ thi thpt quốc gia 2017 quyển b

LỜI NÓI ĐẦU Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức cho áp dụng kiểm tra dưới trắc nghiệm khách quan cho môn Toán. Vì vậy chúng tôi biên soạn quyển sách này, cố gắng đề ra một số các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp với chương trình và sách giáo khoa GIẢI TÍCH lớp 12 Ban Cơ bản; qua đó giúp các em học sinh lớp 12 phát huy khả năng tự học và tự mình giải được các bài tập hệ một cách có hệ thống, đồng thời cũng giải được các câu hỏi trắc nghiệm khách quan một cách nhanh gọn hơn. Quyển sách này gồm 2 chuyên đề được trình bày với các nội dung sau: 1. Kiến thức cơ bản: tóm tắt các kiến thức cơ bản trong từng chương, bài dưới dạng các chuyên đề, chủ đề gồm: các khái niệm, định nghĩa, định lí, công thức để giải được các bài tập. 2. Kỹ năng cơ bản: trình bày các phương pháp giải các dạng toán thường gặp, các kỹ năng giải bài tập cần thiết nhất có kèm theo các kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay Casio f(x) 570VN Plus. 3. Bài tập trắc nghiệm: dựa vào chương trình, chúng tôi biên soạn một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, mỗi câu hỏi có bốn phương án lựa chọn, trong đó chỉ có một lựa chọn là đúng. Các câu hỏi này được biên soạn theo đúng tinh thần ra đề trắc nghiệm khách quan của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Hệ thống câu hỏi trong từng chủ đề được sắp xếp theo mức độ từ nhận biết, thông hiểu rồi đến vận dụng thấp sang vận dụng cao. Qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan này, chắc chắn học sinh sẽ hiểu được phương pháp kiểm tra bằng trắc nghiệm khách quan và từ đó có phương pháp học tập phù hợp giúp cho kết quả kỳ thi THPT Quốc gia 2017 của các em đạt được tốt hơn. Điều đặc biệt đi kèm quyển sách này là toàn bộ câu hỏi trắc nghiệm khác quan được để trong ngân hàng trắc nghiệm online của website Toán học Bắc Trung Nam tại địa chỉ: http://www.toanhocbactrungnam.vn mục “Trắc nghiệm Online”. Các em có thể tự kiểm tra đánh giá kết quả việc học của mình tại đây. Chúng tôi hy vọng rằng, với nội dung được trình bày trong sách sẽ là tài liệu cần thiết, là điểm tựa cho các em phát huy khả năng tự học của mình. Chúng tôi xin chân thành gửi lời tri ân đến tất cả quý thầy cô và các thành viên Page Toán học Bắc Trung Nam đã cùng chúng tôi hoàn thành quyển sách này. Chúc quý thầy cô, các anh em bạn hữu đã tận tình vì học sinh thân yêu. Trong quá trình biên soạn không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự chia sẻ và đóng góp để tài liệu này được hoàn thiện hơn. Mọi liên hệ xin gửi về email: [email protected] BAN QUẢN TRỊ TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM Chuyên đề 1 http://toanhocbactrungnam.vn/ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.  Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .  Hàm số y  f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .  Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K .  Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .  Nếu f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .  Nếu f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .  Nếu f   x   0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý.  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn   a; b và có đạo hàm f   x   0, x  K trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến trên đoạn  a; b . Nếu f   x   0, x  K ( hoặc f   x   0, x  K ) và f   x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P ( x ) Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P ( x ) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P ( x ) không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P ( x ) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm y   f ( x ) . Bước 3. Tìm nghiệm của f ( x ) hoặc những giá trị x làm cho f ( x ) không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 1|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ 3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x ) đồng biến, nghịch biến trên khoảng  a; b  cho trước. Cho hàm số y  f ( x, m ) có tập xác định D, khoảng ( a; b)  D :  Hàm số nghịch biến trên ( a; b)  y '  0, x  ( a; b )  Hàm số đồng biến trên ( a; b)  y '  0, x  ( a; b ) ax  b và y  ax  b thì : cx  d  Hàm số nghịch biến trên ( a; b)  y '  0, x  ( a; b )  Chú ý: Riêng hai hàm số: y   Hàm số đồng biến trên ( a; b)  y '  0, x  ( a; b ) * Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x)  ax 2  bx  c (a  0) a  0 a) g ( x)  0, x       0 a  0 c) g ( x)  0, x       0 a  0 b) g ( x)  0, x       0 a  0 d) g ( x)  0, x       0  Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a; b) :  Bước 1: Đưa bất phương trình f ( x )  0 (hoặc f ( x )  0 ), x  ( a; b ) về dạng g ( x )  h ( m ) (hoặc g ( x )  h ( m ) ), x  ( a; b ) .  Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g ( x ) trên ( a; b) .  Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. 4. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình: Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng f ( x)  m hoặc f ( x)  g (m) , lập bảng biến thiên của f ( x) , dựa vào BBT suy ra kết luận. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số y  f ( x ) xác định có đạo hàm trên khoảng  a; b  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Nếu f ( x )  0, x   a; b  thì hàm số đồng biến trên  a; b  . B. Nếu f   x   0 thì hàm số nghịch biến trên đoạn  a; b  . C. Nếu f ( x )  0, x   a; b  , f ( x )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a; b  thì hàm số đồng biến trên  a; b  . D. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên  a; b  nếu x1 , x2   a; b  , x1  x2  f  x1   f  x2  . Câu 2. Cho hàm số y  x 1 . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? 1 x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  1;   . B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1  1;   . 2|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;   . D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;   . Câu 3. Cho hàm số y   x3  3x 2  3x  2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên  . B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;   . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 và nghịch biến trên khoảng 1;   . D. Hàm số luôn đồng biến trên  . Câu 4. Cho hàm số y   x 4  4 x 2  10 và các khoảng sau:       (I) ;  2 ;(II)  2;0 ;(III) 0; 2 . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? A. Chỉ (I). Câu 5. B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (I) và (III). 3x  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 4  2 x A. Hàm số luôn nghịch biến trên  . B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Cho hàm số y  C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;  2  và  2;   . Câu 6. Câu 7. Câu 8. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên  ? A. h( x)  x 4  4 x 2  4 . B. g ( x)  x 3  3 x 2  10 x  1 . 4 4 C. f ( x)   x 5  x 3  x . 5 3 D. k ( x )  x 3  10 x  cos 2 x . x 2  3x  5 Cho hàm số y  . Hỏi hàm số nghịch biến trên các khoảng nào ? x 1 A. ( ; 4) và (2;  ) . B.  4; 2  . C.  ; 1 và  1;   . D.  4; 1 và  1; 2  . Cho hàm số y  x3  3x 2  5 x  2 . Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào? 3 B. 1;6  A. (5;  ) Câu 9. Cho hàm số y  A. ( ; 0) . C.  ;1 D.  2;3 3 5 x  3 x 4  4 x 3  2 . Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào? 5 B.  . C. (0; 2) . D. (2;  ) . Câu 10. Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên R khi nào?  a  b  0, c  0 A.  . 2  a  0; b  3ac  0  a  b  0, c  0 C.  . 2  a  0; b  3ac  0 Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan  a  b  0, c  0 B.  . 2  a  0; b  3ac  0 a  b  c  0 D.  . 2  a  0; b  3ac  0 3|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 11. Cho hàm số y  x3  3 x 2  9 x  15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;1 . B. Hàm số đồng biến trên  . C. Hàm số đồng biến trên  9; 5 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng  5;   . Câu 12. Cho hàm số y  3 x 2  x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2  . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  ;  2;3 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;2  ;  2;3 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3 . Câu 13. Cho hàm số y  x  sin 2 x, x  0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào? 2  7   11  A.  0; ;  .  và   12   12   7 11 B.  ;  12 12  .   7 C.  0;  12  7 11 D.  ;  12 12   11   và  12 ;   .      7 11 ;  và    12 12  .  Câu 14. Cho hàm số y  x  cos 2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn đồng biến trên  .   B. Hàm số đồng biến trên   k ;   và nghịch biến trên khoảng 4      ;  k  . 4     C. Hàm số nghịch biến trên   k ;   và đồng biến trên khoảng 4  D. Hàm số luôn nghịch biến trên  .     ;  k  . 4   Câu 15. Cho các hàm số sau: 1 ( I ) : y  x3  x 2  3x  4 ; 3 ( IV ) : y  x3  4 x  sin x ; x 1 ; x 1 (V ) : y  x 4  x 2  2 . ( II ) : y  ( III ) : y  x 2  4 Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định? A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Câu 16. Hỏi hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số ? ( I ) : y   x3  3x 2  3x  1 ( II ) : y  sin x  2 x ( III ) : y   x 3  2 A. (I), (II). x2 1 x C. (I), (II) và (IV). ( IV ) : y  B. (I), (II) và (III). D. (II), (III). Câu 17. Xét các mệnh đề sau. (I). Hàm số y  ( x  1)3 nghịch biến trên  . 4|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM (II). Hàm số y  ln( x  1)  http://toanhocbactrungnam.vn/ x đồng biến trên tập xác định của nó. x 1 x (III). Hàm số y  đồng biến trên  . x2  1 Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 18. Cho hàm số y  x  1  x  2  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 1  A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;  .  2 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1) . 1  C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và  ;   . 2  1  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;  và đồng biến trên khoảng  2 1   ;   . 2  Câu 19. Cho hàm số y  x  3  2 2  x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  và đồng biến trên khoảng  2; 2  . B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  và nghịch biến trên khoảng  2; 2  . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; 2  . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 và đồng biến trên khoảng 1; 2  .    Câu 20. Cho hàm số y  cos 2 x  sin 2 x.tan x, x    ;  . Khẳng định nào sau đây là khẳng  2 2 định đúng?    A. Hàm số luôn giảm trên   ;  .  2 2    B. Hàm số luôn tăng trên   ;  .  2 2    C. Hàm số không đổi trên   ;  .  2 2       D. Hàm số đơn điệu trên   ;  ( vừa tăng, vừa giảm trên   ;  ).  2 2  2 2 Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  khoảng mà nó xác định ? A. m  3 . B. m  3 . Câu 22. Tìm tất cả các giá trị C. m  1 . thực của tham xm2 giảm trên các x 1 D. m  1 . số m sao cho hàm số 1 y   x3  mx 2  (2m  3) x  m  2 luôn nghịch biến trên  ? 3 A. 3  m  1 . B. m  1 . Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan C. 3  m  1 . D. m  3; m  1 . 5|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 2  (m  1)  2m  1 tăng xm trên từng khoảng xác định của nó? A. m  1 . B. m  1 . C. m  1 . D. m  1 . Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  f ( x )  x  m cos x luôn đồng biến trên  ? A. m  1 . B. m  3 . 2 C. m  1 . D. m  1 . 2 Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  ( m  3) x  (2 m  1) cos x luôn nghịch biến trên  ? A. 4  m  Câu 26. Tìm tất 2 . 3 cả m  3 C.  . m  1 B. m  2 . các giá trị thực của tham số D. m  2 . m sao cho hàm số y  2 x 3  3(m  2) x 2  6(m  1) x  3m  5  0 luôn đồng biến trên  ? A. 0. B. –1 . C. 2. D. 1. x3 Câu 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y   mx 2  mx  m luôn đồng 3 biến trên  ? A. m  5 . B. m  0 . C. m  1 . D. m  6 . Câu 28. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y  khoảng xác định của nó? A. m  1 . B. m  2 . (m  3) x  2 luôn nghịch biến trên các xm C. m  0 . Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y   ;1 ? A. 2  m  2 . B. 2  m  1 . C. 2  m  1 . D. Không có m . mx  4 giảm trên khoảng xm D. 2  m  2 . Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 3  6 x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng  0;   ? A. m  0 . C. m  0 . B. m  12 . D. m  12 . Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  m  2 đồng biến trên khoảng (1;3) ? A. m  5; 2  . B. m  ; 2 . C. m   2,   . D. m   ; 5 . 1 1 Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 3  mx 2  2mx  3m  4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m  1; m  9 . B. m  1 . C. m  9 . D. m  1; m  9 . 6|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ 1  sin x Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  nghịch biến trên sin x  m   khoảng  0;  ?  6 1 1 A. m  1 . B. m  0;  m  1 . C. m  1 . D. m  0;  m  1 . 2 2 Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y    khoảng  0;  ?  4 A. 1  m  2 . Câu 35. Tìm tất cả B. m  0;1  m  2 . các giá trị thực tan x  2 đồng biến trên tan x  m D. m  0 . C. m  2 . của tham số m sao mx  7 mx 2  14 x  m  2 giảm trên nửa khoảng [1;  ) ? 3 14  14  14     A.  ;   . B.  ;   . C.  2;   . D. 15  15  15     y  f ( x)  cho hàm số 3  14    15 ;   . Câu 36. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y   x 4  (2m  3) x 2  m nghịch  p p biến trên khoảng 1; 2  là  ;  , trong đó phân số tối giản và q  0 . Hỏi tổng q q  p  q là? A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Câu 37. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y  đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. Hai. B. Bốn. C. Vô số. x 2  2mx  m  2 xm D. Không có. Câu 38. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2 x 2  (1  m) x  1  m đồng biến trên khoảng (1;  ) ? xm A. 3. B. 1. C. 2. y Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số y  f ( x)    và D. 0.  sao cho hàm số  x3 1 3  (sin   cos )x 2  x sin  cos    2 luôn giảm trên  ? 3 2 2   k , k   và   2 . 4  5 B.  k     k , k   và   2 . 12 12 A. 12  k      k , k   và   2 . 4 5 D.    k , k   và   2 . 12 C.   Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 7|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 40. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y  f ( x )  2 x  a sin x  bcosx luôn tăng trên  ? A. 1 1   1. a b B. a  2b  2 3 . C. a 2  b 2  4 . D. a  2b  1 2 . 3 D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 C 7 D 8 D 9 B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 8|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b) (có thể a là  ; b là  ) và điểm x0  (a; b) .  Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x  ( x0  h; x0  h) và x  x0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x0 .  Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x  ( x0  h; x0  h) và x  x0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại x0 . 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục trên K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0 } , với h  0 .  Nếu f '  x   0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x ) .  Nếu f   x   0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) . x f ( x ) Minh họa bằng bảng biến thiến x0 x0  h x0  h x x0  h f ( x)   fCÑ f ( x ) f ( x) x0  x0  h  fCT  Chú ý.  Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ ( fCT ) , còn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số  Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f   x  . Tìm các điểm tại đó f   x  bằng 0 hoặc f   x  không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.  Quy tắc 2: Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 9|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f   x  . Giải phương trình f   x  và ký hiệu xi  i  1, 2,3,... là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f   x  và f   xi  . Bước 4. Dựa vào dấu của f   xi  suy ra tính chất cực trị của điểm xi . 2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  Ta có y  3ax 2  2bx  c  Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt  b 2  3ac  0 . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :  2c 2b 2  bc y  . xd  9a  3 9a   Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :  x b  x i ax 3  bx 2  cx  d   3ax 2  2bx  c      Ai  B  y  Ax  B  3 9a  y. y Hoặc sử dụng công thức y  . 18a  Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: b 2  3ac 4e  16e3 với e  a 9a 3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. AB  Cho hàm số: y  ax 4  bx 2  c  a  0  có đồ thị là  C  . x  0 y   4ax  2bx; y   0   2 x   b 2a  3  C  có ba điểm cực trị y   0 có 3 nghiệm phân biệt   b 0. 2a   b   b   Khi đó ba điểm cực trị là: A  0; c  , B    ;   , C   ;   với   b 2  4ac 2a 4a  2a 4a    Độ dài các đoạn thẳng: AB  AC  b4 b b  , BC  2  . 2 16a 2a 2a Các kết quả cần ghi nhớ:  ABC vuông cân  BC 2  AB 2  AC 2   b4  2b b  b4 b b  b3 b3  2     0   1  0  1  0    2 2 a 2a  8a  8a  16a 2a  16a 2a  ABC đều  BC 2  AB 2  10 | T H B T N  2b b4 b b4 3b b  b3 b3      0   3  0  3 0   a 16a 2 2a 16a 2 2a 2a  8a 8a  Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ 3    , ta có: cos   b  8a  tan    8a  BAC b3  8a 2 b3  SABC  b2 4a  b 2a  Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R  b 3  8a 8ab  Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là r  b2 4a  b 2a  b2 b4 b b 4 a  16a 2  2ab3    16a 2 2a 2a 2   2    Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: x 2  y 2     c y  c    0  b 4a   b 4a  C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y  x3  3x 2  x  2 Bấm máy tính: MODE 2 8 7  x 1  x i 7 8 x 3  3 x 2  x  2   3x 2  6 x  1      i y   x 3 3 3 3  3 3 Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y  x3  3x 2  m 2 x  m Bấm máy tính: MODE 2  x 1  x i , m  A1000 1003000 1999994 x 3  3 x 2  m 2 x  m   3x 2  6 x  m 2        i 3 3  3 3 Ta có: 1003000 1999994 1000000  3000 2000000  6 m 2  3m 2m 2  6  i  i  x 3 3 3 3 3 3 Vậy đường thẳng cần tìm: y  2m 2  6 m 2  3m x 3 3 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ: Đồ thị hàm số y  f ( x ) có mấy điểm cực trị? Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 11 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM A. 2. Câu 2. B. 1. C. 0. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên: x  2 0  y  y 4 0    3  2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x  2 . C. Hàm số đạt cực đại tại x  4 . Câu 3. http://toanhocbactrungnam.vn/ D. 3. B. Hàm số đạt cực đại tại x  3 . D. Hàm số đạt cực đại tại x  2 . Cho hàm số y  x3  3x 2  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x  2 và đạt cực tiểu tại x  0 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 và đạt cực đại x  0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x  2 và cực tiểu tại x  0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và cực tiểu tại x  2 . Câu 4. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có hai cực trị. C. Hàm số không có cực trị. Câu 5. Biết đồ thị hàm số y  x3  3x  1 có hai điểm cực trị A, B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là: A. y  x  2. B. y  2 x  1. C. y  2 x  1. Câu 6. D. y   x  2. Gọi M , n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số y  giá trị của biểu thức M 2  2 n bằng: A. 8. B. 7. Câu 7. D. 6. 2 B. xCD  . 3 C. xCD  3. D. xCD  12. Cho hàm số y  3x 4  6 x 2  1 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. yCD  2. Câu 9. C. 9. x 2  3x  3 . Khi đó x2 Cho hàm số y  x3  17 x 2  24 x  8 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. xCD  1. Câu 8. B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị. D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. B. yCD  1. C. yCD  1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x  A. y  1 4 x  x 3  x 2  3x. 2 C. y  4 x 2  12 x  8. D. yCD  2. 3 ? 2 B. y   x 2  3x  2. D. y  x 1 . x2 Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? 12 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM A. y  10 x 4  5 x 2  7. C. y  http://toanhocbactrungnam.vn/ B. y  17 x3  2 x 2  x  5. x2 . x 1 D. y  x2  x  1 . x 1 3x 2  13x  19 . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số x3 có phương trình là: A. 5 x  2 y  13  0. B. y  3 x  13. Câu 11. Cho hàm số y  C. y  6 x  13. D. 2 x  4 y  1  0. Câu 12. Cho hàm số y  x 2  2 x . Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số có hai điểm cực trị. C. Hàm số đạt cực đại x  2 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 . D. Hàm số không có cực trị. Câu 13. Cho hàm số y  x 7  x5 . Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị. C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị. B. Hàm số có đúng 3 điểm cực trị . D. Hàm số có đúng 4 điểm cực trị. Câu 14. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f ( x)  ( x  1)( x  2)2 ( x  3)3 ( x  5)4 . Hỏi hàm số y  f ( x ) có mấy điểm cực trị? A. 2. B. 3. C.4. D. 5. 1 Câu 15. Cho hàm số y  ( x 2  2 x) 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1. C. Hàm số không có điểm cực trị. B. Hàm số đạt cực đại tại x  1 . D. Hàm số có đúng 2 điểm cực trị. Câu 16. Cho hàm số y   x3  3x 2  6 x . Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 . Khi đó giá trị của biểu thức S  x12  x22 bằng: A. 10 . B. 8 . C.10. D. 8. Câu 17. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên  . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu đạo hàm đổi dấu khi x chạy qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . B. Nếu f ( x0 )  0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 . C. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x chạy qua x0 . D. Nếu f ( x0 )  f ( x0 )  0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0 . Câu 18. Cho hàm số y  f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì f ( x0 )  0 . B. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f ( x0 )  0 . C. Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0 . D. Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì f ( x0 )  0 hoặc f ( x0 )  0 . Câu 19. Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên [a , b ] và đạt cực đại, cực tiểu lần lượt tại x1 , x2 thuộc đoạn [a , b ] . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 13 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ A. Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì f ( x0 )  0 hoặc f ( x0 )  0 . B. Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì f ( x0 )  0 . C. Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0 . D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f ( x0 )  0 . Câu 20. Cho hàm số y  f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu hàm số y  f ( x ) có giá trị cực đại là M , giá trị cực tiểu là m thì M  m . B. Nếu hàm số y  f ( x ) không có cực trị thì phương trình f ( x0 )  0 vô nghiệm. C. Hàm số y  f ( x ) có đúng hai điểm cực trị thì hàm số đó là hàm bậc ba. D. Hàm số y  ax 4  bx 2  c với a  0 luôn có cực trị. Câu 21. Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 hoặc 1 hoặc 2. B. 1 hoặc 2. C. 0 hoặc 2. D. 0 hoặc 1. Câu 22. Cho hàm số y  f ( x )  x 2  2 x  4 có đồ thị như hình vẽ: Hàm số y  f ( x ) có mấy cực trị? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 23. Cho hàm số y  f ( x ) . Hàm số y  f '( x ) có đồ thị như hình vẽ: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. B. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có hai điểm cực trị. C. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có ba điểm cực trị. 14 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ D. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm có một điểm cực trị. Câu 24. Cho hàm số y  f ( x ) . Hàm số y  f '( x ) có đồ thị như hình vẽ: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x  1 . B. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm cực tiểu. C. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên ( ;1) . D. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có hai điểm cực trị. Câu 25. Cho hàm số y | x3  3x  2 | có đồ thị như hình vẽ: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số y  f ( x ) chỉ có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. B. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. C. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có bốn điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. Câu 26. Hàm số nào sau đây có đúng hai điểm cực trị? Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 15 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM A. y  x  http://toanhocbactrungnam.vn/ 1 . x 1 B. y  x3  3x 2  7 x  2. C. y   x 4  2 x 2  3. D. y  x  Câu 27. Hàm số nào sau đây không có cực trị? 2 A. y  2 x  B. y  x3  3x 2 . . x 1 2 . x 1 C. y   x 4  2 x 2  3. D. y  x 1 . x2 Câu 28. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là khẳng định sai? A. Đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d , (a  0) luôn có cực trị. B. Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c, (a  0) luôn có ít nhất một điểm cực trị. ax  b , (ad  bc  0) luôn không có cực trị. cx  d D. Đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d , (a  0) có nhiều nhất hai điểm cực trị. C. Hàm số y  Câu 29. Điểm cực tiểu của hàm số y   x3  3x  4 là: A. x  1. B. x  1. C. x  3. D. x  3. Câu 30. Hàm số nào sau đây đạt cực đại tại x  1 ? A. y  x5  5 x 2  5 x  13. B. y  x 4  4 x  3. 1 C. y  x  . x D. y  2 x  x. Câu 31. Hàm số nào sau đây có cực trị? A. y  x3  1. B. y  x 4  3x 2  2. C. y  3 x  4. D. y  2x 1 . 3x  2 Câu 32. Đồ thị hàm số y  x 4  3x 2  5 có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  mx 2  (2m  3) x  3 đạt cực đại tại x  1 . A. m  3. Câu 34. Đồ thị hàm số y  A. 3. B. m  3. C. m  3. x 1 có bao nhiêu điểm cực trị? 4x  7 B. 1. C. 2. D. m  3. D. 0. Câu 35. Đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  x  3 có tọa độ điểm cực tiểu là: A. (3;1). B. ( 1; 1).  1 85  C.  ;  .  3 27  D. (1;3). Câu 36. Hàm số y  x 4  2(m  2) x 2  m2  2m  3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là: A. m  2. 16 | T H B T N B. m  2. C. m  2. D. m  2. Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ 1 Câu 37. Cho hàm số y   x 3  4 x 2  5 x  17 . Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là 3 x1 , x2 . Khi đó, tích số x1 x2 có giá trị là: A. 5. B. 5. C. 4. D. 4. Câu 38. Cho hàm số y  3x 4  4 x3  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . C. Hàm số đạt cực đại tại x  1 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 . Câu 39. Hàm số y  a sin 2 x  b cos 3x  2 x (0  x  2 ) đạt cực trị tại x  trị của biểu thức P  a  3b  3ab là: A. 3. B. 1. C. 1.  2 ; x   . Khi đó, giá D. 3. Câu 40. Hàm số y  4 x3  6 x 2  3x  2 có mấy điểm cực trị? C. 1. B. 2. C. 0. D. 3. E. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1.2 1 A 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B 9 B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C D C A C D C B D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan 17 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên miền D  f ( x)  M , x  D  Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:  . x0  D, f ( x0 )  M Kí hiệu: M  max f ( x) hoặc M  max f ( x) . xD D  f ( x)  m, x  D  Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:  . x0  D, f ( x0 )  m Kí hiệu: m  min f ( x) hoặc m  min f ( x) xD D B. KỸ NĂNG CƠ BẢN Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỉ nhất của hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ...) 1. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên  Bước 1. Tính đạo hàm f ( x) .  Bước 2. Tìm các nghiệm của f ( x) và các điểm f ( x) trên K.  Bước 3. Lập bảng biến thiên của f ( x) trên K.  Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min f ( x), max f ( x) K K 2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên  Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]  Bước 1. Tính đạo hàm f ( x) .  Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi  [a; b] của phương trình f ( x)  0 và tất cả các điểm  i  [a; b] làm cho f ( x) không xác định.  Bước 3. Tính f (a ) , f (b) , f ( xi ) , f ( i ) .  Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M  max f ( x) , m  min f ( x ) .  a ;b   a ;b   Trường hợp 2. Tập K là đoạn (a; b)  Bước 1. Tính đạo hàm f ( x) .  Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi  (a; b) của phương trình f ( x)  0 và tất cả các điểm  i  (a; b) làm cho f ( x) không xác định.  Bước 3. Tính A  lim f ( x) , B  lim f ( x) , f ( xi ) , f ( i ) . x a  Bước 4. x b So sánh các giá trị tính được và kết luận M  max f ( x) , m  min f ( x) . ( a ;b ) ( a ;b )  Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). 18 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các bài toán liên quan