Gửi quý thầy cô và các em trích đoạn của một ấn phẩm sắp ra lò:
CHINH PHỤC KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA
NXB: Đại học quốc gia HN
Số trang: 320 trang khổ A4
Giá bìa: 99000 vnđ
Ngày phát hành: 10/11/2014
Địa điểm: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
Nhà sách giáo dục LOVEBOOK
Web: http://lovebook.vn/
Face: https://www.facebook.com/nhasach.lovebook
Sđt: 0466.860.849 – Hotline: 0963.140.260
1 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
BÀI 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị là một dạng “hóa trang” thường gặp của
cô nàng tiếp tuyến khó chiều. Để có thể xử lí tốt trong tình huống này, chúng ta cần phải nắm vững
kiến thức quan trọng là phương trình tiếp tuyến tại một điểm. Chỉ cần nắm giữ chìa khóa “nhỏ mà có
võ” này trong tay, bình tĩnh và suy luận logic, chúng ta sẽ dễ dàng chinh phục được những bài toán
từ đơn gian đến phức tạp, dù chúng có được ngụy trang thế nào đi chăng nữa.
I.Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x0 , y 0 thuộc đồ thị hàm số (C) : y f x có dạng:
y f x0 x x0 y0
II.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
x2 2x 8
(1) tại giao điểm của đồ thị này
x 1
với trục hoành.
Giải: Ta có y '
x2 2x 6
( x 1)2
x 2
2
x 2
x2 2x 8
x 2x 8 0
0
x 4
Xét phương trình:
x 1
x 4
x 1
x 1
Suy ra A(2;0), B(4;0) là các giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục hoành.
Phương trình tiếp tuyến tại A(2;0) là: y 6x 12
6
24
Phương trình tiếp tuyến tại B(4;0) là: y x
5
5
6
24
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là y 6x 12 , y x
5
5
Nhận xét: Với bài toán này, chúng ta có thể dễ dàng lựa chọn hướng đi và giải quyết nhanh chóng nếu
ta đã trang bị cho mình những kiến thức cơ bản, mà cụ thể là phương trình tiếp tuyến. Nhưng lần
“tung hoành trận mạc” đầu tiên này cũng cung cấp cho chúng ta vài kinh nghiệm rất tuyệt đấy:
u( x )
Đối với hàm số y
có đồ thị (C), nếu (C) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x x0 thì thiếp
v ( x)
tuyến của (C) tại điểm x x0 có hệ số góc k
u'( x0 )
.
v ( x0 )
u( x 0 ) 0
Thật vậy: (C) cắt trục hoành tại x x0 nên
v ( x0 ) 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 : k y '(x0 )
u'(x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v(x0 ) u'(x0 )
v ( x0 )
v 2 ( x0 )
Đây là tính chất quan trọng giúp ta tính nhanh hệ số góc của tiếp tuyến trong các trường bài toán sử
u( x )
dụng hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị y
với trục hoành. (xem thêm các ví dụ
v ( x)
ở phần sau)
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y x3 6x2 9x 2 tại điểm:
2 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
a. Tại điểm có hoành độ x0 1
b. Điểm M thuộc (C) biết rằng M cùng các điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 6.
Đề thi thử ĐH-THPT Sầm Sơn-Thanh Hóa
Phân tích:
Ở VDa chỉ cần nắm vững công thức chìa khóa về tiếp tuyến là chúng ta có thể “qua mặt” cô nàng tiếp
tuyến lắm chiêu rồi, tuy nhiên với VDb, muốn tìm ra lời đáp, ta cần tìm được tọa độ điểm M, muốn vậy
cần dựa vào giả thiết “M cùng các điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 6.”, Hãy cùng suy
nghĩ nào, dữ kiện đề bài cho có đề cập đến “diện tích”, vậy chắc hẳn là phải dựa vào các công thức tính
diện tích để tìm ra ẩn là tọa độ M còn thiếu rồi. Thử lục lại túi kiến thức diện tích xem sao, có rất nhiều
1
1
1
công thức tính toán cho chúng ta lựa chọn: công thức SABC haa hcb hcc , công thức Hêrôn, tích
2
2
2
ngoài… Bây giờ công cụ đã sẵn rồi, điều quan trọng là lựa chọn cái nào để tính toán đơn giản và chính
xác thôi!
Giải:
Đạo hàm y 3x2 12x 9 .
a. Ta có: x0 1 y0 y x0 2
y x0 y1 0 . Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y y x0 x x0 y0 0. x 1 2 2
b. Ta có:
x 3
y 0 3x2 12x 9 0
. Suy ra A 3;2 và B1;2 là 2 điểm cực trị.
x 1
Giả sử M a, a3 6a2 9a 2 (C) (với a R, a 3, a 1 )
Phương trình đường thẳng AB: 2x y 4 0 . Ta có:
1
1
SABM AB.d M, AB
2
2
3 1 2 2
2
2
.
a3 6a2 11a 6
5
6
a3 6a2 11a 6 6
a 4
a 6a 11a 6 6
3
2
a 6a 11a 6 6 a 0
3
2
Suy ra M0;2 hoặc M 4;2 .
Phương trình tiếp tuyến tại M(0; −2) là y 9x 2
Phương trình tiếp tuyến tại M(4; 2) là y 9 x 4 2 y 9x 34
Nhận xét:
Ngoài cách tính diện tích như trên ta cũng có thể áp dụng công thức tích ngoài vô hướng để tính diện
1
1
tích tam giác ABM như sau: SABM BA BM 2. a3 6a2 9a 4 a 3
2
2
3 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
SABM a3 6a2 11a 6 6 .
Cách tính tích ngoài vô hướng như sau:
Cho 2 vectơ u1 x1 , y1 và u2 x2 , y 2 , khi đó tích ngoài vô hướng của 2 vectơ u1 , u2 là :
u1 u2 u1 . u2 .sin u1 , u2 x1y2 x2y1
Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức: SABC
1
1
1
AB AC BA BC CA CB
2
2
2
Lưu ý: Cách sử dụng tích ngoài không được Bộ cho sử dụng trong kì thi Đại học, nêu ra đây để các bạn
tham khảo thêm.
Các bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trong các đề thi thường không ra ở dạng đơn giản
như trong VDa mà thường gắn liền với các yếu tố khác như chu vi, tìm GTLN, GTNN,… và đặc biệt là
diện tích. Do đó để làm tốt các dạng này cần phải nắm vững các công thức để tính chu vi, diện tích, …
hơn nữa cần có sự khéo léo trong việc lựa chọn các công thức để lời giải sáng sủa, rõ ràng, dễ trình
bày. Ta cùng xét thêm một số ví dụ có liên quan đến yếu tố diện tích sau:
2x 1
có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox, Oy
x 1
lần lượt tại A và B. Tính SOAB .
Ví dụ 3: Gọi M (C) : y
Cao đẳng khối A, A1, B, D - 2013
Giải: Tập xác định: D R\{1} .
Gọi x0 1 là hoành độ của điểm M. Tung độ điểm M bằng 5 nên:
yM 5
Ta có y '
2x0 1
5 x0 2 M(2; 5)
x0 1
3
3
( x 2) 5 3x 11 .
, tiếp tuyến của (C) tại M: (d) : y
2
( x 1)
(2 1)2
11
(d) cắt Ox tại A ; 0 , cắt trục Oy tại B(0;11) . Tam giác OAB vuông ở O nên:
3
1
1
121
SOAB .OA.OB . x A . y B
.
2
2
6
Vậy SOAB
121
.
6
Lưu ý: Đối với các bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y M của đồ thị hàm số
(C): y f (x) , thông thường ta tìm hoành độ tiếp điểm x M dựa vào phương trình: y M f (xM ) . Từ đó
viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M với hoành độ vừa tìm được.
2x
có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
x 1
1
trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
4
Ví dụ 4: Cho hàm số y
4 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
ĐH khối D-2007
Giải: Tập xác định: D R\{1} .
Ta có: y '
2x0
2
. Giả sử M x0 ,
thuộc (C) ( x0 0 )
2
x0 1
( x 1)
Tiếp tuyến của (C) tại M có dạng: (d) : y
2x0
2
( x x0 )
2
x0 1
( x0 1)
2x20
Đường thẳng (d) cắt Ox tại A(x20 ,0) , cắt Oy tại B 0,
2
.
(x0 1)
Từ đó SOAB
2x20
x04
1
1
.
x A y B . x02 .
2
2
( x0 1)2 ( x0 1)2
SOAB
2x20 x0 1
2x02 x0 1 0
x04
1
1
4
2
4x
(
x
1
)
0
0
4
( x0 1)2 4
2x20 x0 1 2x02 x0 1 0
x0 1
1
M(1;1) hoặc M ; 2 .
TH1: 2x20 x0 1 0
1
x0
2
2
TH2: 2x20 x0 1 0 (Vô nghiệm)
1
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là M(1;1) hoặc M ; 2 .
2
Một khi tìm ra hướng giải, hãy bình tĩnh và cận trọng trong tính toán nhé. Đối với những bài toán mà
cô nàng tiếp tuyến ngụy trang dưới dạng phân số rườm rà như thế này, chỉ cần chúng ta sơ xảy trong
xử lí công thức là có thể “sai một li đi một dặm” đấy. Giữ một đôi mắt tinh tường, một cái đầu lạnh đầy
cẩn thận, chắc chắn không có chướng ngại vật nào có thể cản bước chân bạn được đâu!
Ví dụ 5: Cho hàm số: y x3 ax2 bx c
(*)
Giả sử đồ thị hàm số (*) có đúng hai điểm chung M, N với trục hoành. Gọi P là giao của đồ thị hàm số
(*) với trục tung. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số (*) tại N đi qua P. Tìm a,b,c để diện tích tam giác
MNP bằng 1.
Đề 2 – Thi Thử ĐH diễn đàn BoxMath 2013
Phân tích: Thoạt nhìn ta sẽ thấy hơi hoang mang vì hàm số y x3 ax2 bx c có tới 3 tham số a,b,c.
Trong khi đồ thị (*) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M, N và cần viết phương trình tiếp tuyến tại
N nên thông thường ta sẽ tìm cách biểu diễn tọa M, N qua các tham số a, b, c, tuy nhiên đây là 1 việc
cực kì khó khăn và gần như vô vọng. Thử những cách giải quyết thông thường, ngay từ đầu chúng ta
có vẻ như đang đâm sầm vào ngõ cụt. Nhưng đừng hoang mang, hít thở thật sâu, trong những tình
huống như thế này, chúng ta phải xử lí như thế nào đây?
Hãy tìm cách tiếp cận khác nào, chẳng hạn như suy nghĩ ngược lại :Thay vì cố gắng tìm biểu diễn tọa
dộ của M, N theo a, b ,c thì sao lại không tìm cách biểu diễn a, b, c theo tọa độ M, N? Có thể đấy chứ!
Khi mà tọa độ của M, N chỉ là M(m,0); N(n,0) nếu biểu diễn được a, b, c theo m, n thì ta đã giảm được
số ẩn từ 3 còn 2, khó khăn đã vơi dần đi rồi, giờ chỉ cần bình tĩnh và tìm cách để biểu diễn chúng thôi.
Cùng lục lọi lại và ôn tập một số kiến thức về nghiệm của đa thức nhé:
5 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
Nếu f(x) là đa thức bậc n có nghiệm x x0 thì f(x) biểu diễn được dưới dạng: f (x) (x x0 )g(x) trong
đó g(x) là đa thức bậc n-1.
Áp dụng vào bài toán này, đa thức bậc ba f x x3 ax2 bx c có 2 nghiệm phân biệt là m,n thì
f (x) (x m)(x n)g(x) trong đó g( x) là đa thức bậc 1, hiển nhiên g(x) có 1 nghiệm x0 (chú ý rằng
trong định nghĩa đa thức bậc n thì hệ số bậc cao nhất khác 0). Mặt khác f(x) chỉ có 2 nghiệm nên phải
xảy ra trường hợp x0 m hoặc x0 n . Từ đó f x x3 ax2 bx c có nghiệm kép x m hoặc x n
, suy ra x3 ax2 bx c (x m)2 (x n) hoặc x3 ax2 bx c ( x m)(x n)2 , tuy nhiên tiếp tuyến
tại N đi qua P nên dễ dàng suy ra x3 ax2 bx c (x m)2 (x n) , đến đây ta hoàn toàn có thể biểu
diễn a, b, c,SMNP theo m ,n.
Sau khi tháo gỡ được các nút thắt, chúng ta có thể tìm được các giá trị a, b, c rồi!
Giải:
Đồ thị hàm số (*) có đúng 2 điểm chung với trục hoành nên phương trình x3 ax2 bx c 0 (1) có
đúng 2 nghiệm phân biệt, suy ra phương trình (1) có nghiệm kép.
2 nghiệm của phương trình (1) là m, n ( m, n R; m n ). Không mất tính tổng quát giả sử x m là
nghiệm kép.
Ta có x3 ax2 bx c (x m)2 (x n) y (x m)2 (x n)
Giao điểm P của đồ thị hàm số (*) với trục tung là P(0,m2n) . Do P cùng với M, N lập thành 1 tam giác
nên P không trùng gốc tọa độ O hay mn 0 .
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) tại điểm có hoành độ m,n lần lượt là: y 0, y (n m)2 (x n)
Vì P không trùng O nên P thuộc đường thẳng
y (n m)2 (x n) m2n n(n m)2 m2 (n m)2 n 2m (do mn 0 )
1
1
1
Lại có tam giác MNP có diện tích là 1 nên SMNP MN.OP xM xN y P m n m2n
2
2
2
m 1
4
m n m2n 2 2 m 2
m 1
Với m 1 n 2 y ( x 1)2 (x 2) x3 4x2 4x 2 (thử lại thỏa mãn)
a 4, b 5, c 2
Với m 1 n 2 y ( x 1)2 (x 2) x3 4x2 5x 2 (thử lại thỏa mãn)
a 4, b 5, c 2
Vậy a 4, b 5,c 2 hoặc a 4, b 5, c 2
Nhận xét: Không phải lúc nào chìa khóa cũng được ngụy trang dưới những vỏ bọc đơn giản. Nếu chỉ
suy nghĩ máy móc chúng ta sẽ rất khó khăn trong việc xử lí bài toán này. Đừng đi theo lối mòn, sáng
tạo và bạn sẽ chinh phục được những mục tiêu “khó nhằn” mà không phải tốn nhiều “mồ hôi công
sức” chút nào cả.
………………………………………………………………..
Một số dạng toán khác…..
Ví dụ 1:[Nhị Chiểu- 2014] Cho hàm số y f (x) x3 3x2 mx 1 . Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho
1 11
có hai điểm cực trị. Với giá trị nào của m thì khoảng cách từ điểm I ; đến đường thẳng đi qua
2 4
2 điểm cực trị là lớn nhất?
6 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
Phân tích:
Trước hết, ta phải giải quyết yêu cầu đầu tiên: Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm
cực trị. Điều này thì ta giải quyết bằng cách đạo hàm hàm số ban đầu rồi tính biệt thức của
phương trình f '(x) 0 , tìm m sao cho 0 là được.
Tiếp theo, ta phải có kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Ta có thể
tìm hai nghiệm của phương trình f '(x) 0 , sau đó tính tọa độ các điểm đó bằng cách thay vào
hàm số ban đầu để tìm tung độ, cuối cùng là viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị. Tuy nhiên cách làm này thường dài dòng, mất thời gian. Khi làm bài, ta có thể làm theo
cách sau:
Biểu diễn f (x) f '(x).(ax b) (mx n) . Đa thức này có được bằng cách chia đa thức f ( x) cho
đa thức f '( x) , với phần thương số là ax b , phần dư là mx n .
Tiếp đó, tại các điểm cực trị có hoành độ x1 và x2 , ta tạm gọi là A x1 ; y1 và B x2 ; y 2 , ta có
f '(x1 ) f '(x2 ) 0 . Do đó, ta sẽ có y1 f (x1 ) f '(x1 ).(ax1 b) (mx1 n) mx1 n và tương tự
ta có y2 f (x2 ) mx2 n . Vậy thấy ngay rằng tọa độ các điểm cực trị cùng thỏa mãn phương
trình y mx n . Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y mx n .
Đối với hàm bậc 4, nếu nó có 3 điểm cực trị, thì đường cong đi qua các điểm cực trị đó là một
parabol, với cách làm hoàn toàn giống cách xác định đường thẳng đi qua các điểm cực trị ở
hàm số bậc 3. Đường cong đó( nói chung cả hai hàm số) có phương trình là phần dư trong
phép chia đa thức f ( x) cho đa thức f '( x) .
_ Sau khi xác định được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị rồi, thì ta đi giải quyết nốt
yêu cầu còn lại của bài toán. Ta có thể viết công thức tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng, rồi
xét hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để đánh giá. Tuy nhiên cũng còn một cách làm khác, mang phong
cách hình học nhiều hơn. Đó là tìm một điểm cố định H mà đường thẳng này luôn đi qua, và khoảng
cách lớn nhất cần tìm chính là đoạn IH, xảy ra khi IH vuông góc với đường thẳng đó. Sử dụng tích vô
hướng là ta sẽ giải quyết xong bài toán. Ngoài ra cũng cần chú ý so sánh với điều kiện của m mình vừa
tìm được ở trên.
Bài giải:
Cách 1:
Có f '( x) = y ' 3x2 6x m . Xét phương trình y ' 3x2 6x m 0 (*) có ' 32 3m .
Để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi ' 32 3m 0 m 3 .
Gọi x1 và x2 là hoành độ của các điểm cực trị A x1 ; y1 và B x2 ; y 2 .
1 2
1
1
Ta lại có y f (x) x3 3x2 mx 1 f '(x). x m 2 x m 1 .
3 3
3
3
Mặt khác, ta có f '(x1 ) f '(x2 ) 0 .
1
1
2
2
Do vậy ta có y1 0 m 2 x1 m 1 và y 2 0 m 2 x2 m 1 .
3
3
3
3
2
1
Ta nhận thấy tọa độ các điểm cực trị cùng thỏa mãn phương trình y m 2 x m 1 . Do vậy
3
3
2
1
phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y m 2 x m 1 . Gọi
3
3
2
đường thẳng này là , có véc tơ chỉ phương là u 1; m 2 .
3
7 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
1
2
1
Nhận thấy H ; 2 luôn thỏa mãn phương trình y m 2 x m 1 với bất kì giá trị nào của
2
3
3
3
1
m. Vì vậy nên H ; 2 là điểm cố định của đường thẳng . Suy ra IH 1; .
4
2
Ta luôn có d(I, ) IH . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
IH IH.u 0 1
3 2
. m 2 0 m 1 ( thỏa mãn m 3 )
4 3
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Với các số thực a, b, c, d ta có (a2 b2 )(c2 d2 ) (ac bd)2 . Điều này đúng vì biến đổi tương đương ta
được (ad bc)2 0 . Dấu bằng xảy ra khi ad bc .
Một cách tương tự, ta có bất đẳng thức
(a2 b2 )(c2 d2 ) (ac bd)2 (*). Dấu bằng xảy ra cũng như
trên, khi ad bc .
2
1
Ta đã có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y m 2 x m 1 .
3
3
Có d(I; )
11
2
1 1
m 2 m 1
4
3
2 3
2
2
2
m 2 1
3
2
11
m
3
4
2
2
2
m 2 1
3
2
11
m
3
4
2
4 2
3
. m 2 12 . 12
5 3
4
2
2
11
m
5 3
5
4
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta được d(I; ) .
.
11 4
4 2
m
3
4
2
4
m 2
m 1.
3
3
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Dấu bằng xảy ra khi
2
3
Nhận xét: Chắc hẳn một số bạn sẽ thắc mắc, lượng 12 nhân vào ở dưới mẫu do đâu mà có?
4
Tất cả mọi thứ đều có lý do của nó. Mình xin trả lời rằng, đó là mình đã cố ý “lái” mẫu theo hướng có
thể áp dụng bất đẳng thức (*), và làm cho mẫu sau khi áp dụng (*) thì có dạng giống với tử số.
2
11
2
11
m
m
3
4
3
4
Nguồn gốc nó từ đẳng thức này:
2
2
1
2
2
2
. m 2 12 . x2 y 2
m 2 1
3
x2 y 2 3
Trong đó x và y là hai số mình cần phải tìm để “thăng bằng” với các hệ số còn lại.
2
11
Để ý, trên tử số là m
, vậy thì ta cố gắng tìm x và y để thỏa mãn phương trình sau:
3
4
2
11
2
x m 2 1.y m
. Lại dễ nhận thấy hệ số của m phải bằng nhau ở hai vế, do đó ta chọn x 1
3
4
3
1
4
3
, do đó mà ta có phép biến đổi như trong bài:
. Từ đó dễ dàng giải ra được y
. Vậy
4
x2 y 2 5
8 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
2
11
m
3
4
2
2
2
m 2 1
3
2
11
m
3
4
2
2
.
4 2
3
. m 2 12 . 12
5 3
4
Mong các bạn chú ý để có thể hiểu được kĩ thuật này, nó khá hay và có thể áp dụng cho nhiều trường
hợp khác!
Ví dụ 2: [Internet] Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số y x4 4x2 m cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới.
Phân tích:
_ Bài toán khá hay, liên quan đến sự tương giao và cả kiến thức tích phân. Một tính chất mà ta cần nhớ:
Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương đối xứng qua trục Oy. Do đó, ta không cần thiết tính cả tích phân “to
đùng” mà chỉ cần so sánh 2 nguyên hàm của tích phân từ 0 đến nghiệm dương nhỏ và tích phân từ
nghiệm dương nhỏ đến nghiệm dương lớn, ráp cận vào, cho chúng bằng nhau là ta đã được giả thiết
bài cho. Công việc còn lại là thay số vào và giải quyết hết bài toán mà thôi.
_ Thực ra bài toán này khá “nổi tiếng” nhưng mình không rõ nguồn thực sự ở đâu nên cứ ghi là
Internet.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x4 4x2 m 0 (1)
Đặt t x2 0 . Lúc đó (1) t 2 4t m 0 (2)
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt dương t 0
' 4 m 0
S 4 0
0 m 4(i)
P m 0
Gọi t 1 , t 2 , với giả sử 0 t 1 t 2 , là nghiệm của phương trình (2). Lúc đó 4 nghiệm của phương trình
(1) theo thứ tự tăng dần lần lượt là x1 , x2 , x3 , x4 , tương ứng với t 2 ; t1 ; t1 ; t 2 .
Do tính đối xứng của đồ thị hàm trùng phương và theo giả thiết ta có
x3
0
x4
(x4 4x2 m)dx (x4 4x2 m)dx
x3
x 45 4x 43
mx 4 0 .
5
3
x 44 4x 42 m 0
Từ đó, ta nhận thấy x 4 là nghiệm của hệ phương trình: x 5 4x 3
.
4
4
mx
0
4
3
5
m 0
Giải hệ này, ta tìm được hai giá trị của m là
.
m 20
9
20
là giá trị thỏa mãn bài toán.
9
Dưới đây là hình vẽ sau khi tìm được m. Phần từ 0 đến C bằng phần từ C đến D.
Đối chiếu với điều kiện (i) ta thấy m
9 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
2x 4
có đồ thị (C) . Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt đồ thị
x 1
(C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB thuộc trục Ox.
Ví dụ 3: [K2pi.net] Cho hàm số y
Phân tích:
_ Công việc quen thuộc của chúng ta là tìm điều kiện của m để 0 và chỉ vậy là đã đủ để đường
thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt( do tham số nằm trọn vẹn trong đường thẳng).
_ Ta xử lí yêu cầu tiếp theo. Tạm gọi I(a, 0) là tâm đường tròn cần tìm, gọi x1 , x2 là hoành độ tương
ứng của A và B. Theo đó ta sẽ có: IA2 OI2 và IB2 OI2 . Lập hệ đó, ta sẽ thấy x1 , x2 cùng thỏa mãn
một phương trình bậc 2. Mặt khác, x1 , x2 lại chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Xử lí hai phương trình đó bằng đồng nhất hệ số hoặc theo định lý Viet ta sẽ tìm được m.
Bài giải:
Điều kiện: x 1
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là nghiệm phương trình:
2x 4
x m 2x 4 (x 1)(x m) (do x 1 không là nghiệm)
x 1
x2 m 3 x m 4 0 (*)
Có (m 3)2 4(m 4) m2 2m 7 . Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì
m 1 2 2
phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi 0
(**).
m 1 2 2
x1 x 2 3 m
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (*). Khi đó theo định lý Viet ta có
(1).
x1 x 2 m 4
Tọa độ các giao điểm A, B có dạng A(x1 ; x1 m) và B(x2 ; x2 m) .
Gọi I(a, 0) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB( I thuộc trục Ox).
10 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
2
m2
x
m
a
x
0
1
1
IA OI
( x a) ( x1 m) a
2
1
Khi đó ta có
.
2
2
2
2
2
2
IB OI
( x2 a) ( x2 m) a
x 2 m a x m 0
2
2
2
2
2
2
2
2
Vậy x1 , x2 cũng là nghiệm của phương trình x2 m a x
m2
0.
2
x1 x 2 a m
Cũng theo định lý Viet ta có
(2).
m2
x
x
1 2
2
3 m a m a 3
m 2 m 4 (do m 2 không thỏa mãn điều kiện
Vậy từ (1) và (2) ta có hệ m2
m 4
2
m 4
(**).
Tóm lại, m 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 8:[ Hmath] Tìm m để hàm số y x3 m 1 x2 2m2 3m 2 x 3 đồng biến trên 2; .
Phân tích:
_ Hàm số đồng biến trên một khoảng khi đạo hàm của hàm số đó lớn hơn hoặc bằng 0 trong khoảng
đó và bằng 0 tại một số hữu hạn điểm. Dựa vào đó, ta vạch ra hướng làm là sẽ chứng minh đạo hàm
của hàm số này không âm trên 2; .
_ Làm ra giấy nháp, công việc của chúng ta sẽ là chứng minh:
y' 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 0, x 2; .
Trong các bài toán trước, ta sẽ tìm cách cô lập m rồi dùng sự tương giao giữa hàm chứa m và hàm
chứa x, có thể dựa vào đồ thị, có thể dựa vào bảng biến thiên, Nhưng trong bài toán này, hàm chứa m
đã là một hàm số bậc 2, do đó dùng cách này sẽ gặp khó khăn. Do vậy ta có thể xử lí bài toán theo một
cách khác. Đạo hàm của hàm số bậc 3 là hàm bậc 2, cụ thể trong bài toán này, phương trình y ' 0 có
hai nghiệm phân biệt do biệt thức luôn dương, do đó phương trình y ' 0 sẽ luôn có hai nghiệm
x1 x2 . “ Trong trái, ngoài cùng”, trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số của x2 , ngoài khoảng
hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số của x2 . Do đó dễ thấy y’ dương trong khoảng ;x1 ; x2 ; .
Mà muốn hàm số đồng biến trên 2; thì khoảng x2 ; phải “ bao trùm” lên khoảng 2; ,
tức điều đó tương ứng với x2 2 .
Bài giải:
Có y' 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 .
Hàm số đồng biến trên 2; khi và chỉ khi y' 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 0, x 2; , và
y’ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm.
Đặt g(x) 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 . Phương trình g(x) 0 có:
'g m 1 3 2m2 3m 2 7 m2 m 1 0, m .
2
11 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
Nên ta suy ra phương trình y ' 0 luôn có số nghiệm hữu hạn, đó là hai nghiệm x1 và x 2 với giả sử
x1 x2 .
Nhận thấy khi x ;x1 x2 ; thì y ' 0 . Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;x1
và x2 ; .
Để hàm số đồng biến trên 2; thì ta phải có:
x2
m 1 7 m2 m 1
3
2
7 m2 m 1 5 m
m 5
2
3
6m 3m 18 0 2 m .
2
Vậy khi 2 m
3
thì hàm số đã cho đồng biến trên 2; .
2
12 |Chinh phục khảo sát hàm số trong đề thi quốc gia - phát hành 09/10/2014
- Xem thêm -
.PDF 
12 
634 
135 
