1
MÖC LÖC
Trang
MÖC LÖC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LÍI NÂI U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 ¤o h m Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Ch÷ìng 2. Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian
vîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov 18
2.1 Giîi thi»u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 ¡nh gi¡ ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
KT LUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TI LIU THAM KHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
LÍI NÂI U
B i to¡n ng÷ñc cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng xuy¶n xu§t
hi»n trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa cæng ngh», àa vªt lþ, thõy ëng
håc, y håc, xû lþ £nh,... â l nhúng b i to¡n khi c¡c dú ki»n cõa qu¡
tr¼nh vªt lþ khæng o ¤c ÷ñc trüc ti¸p m ta ph£i x¡c ành chóng tø
nhúng dú ki»n o ¤c gi¡n ti¸p. Trong Luªn v«n n y, chóng tæi · cªp
tîi ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian.
B i to¡n kº tr¶n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a Hadamard. Mët b i to¡n
÷ñc gåi l °t ch¿nh n¸u nâ thäa m¢n ba i·u ki»n a) nâ câ nghi»m,
b) nghi»m duy nh§t, c) nghi»m phö thuëc li¶n töc (theo mët tæpæ n o
â) theo dú ki»n cõa b i to¡n. N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n n y
khæng thäa m¢n th¼ ta nâi r¬ng b i to¡n °t khæng ch¿nh.
T½nh °t khæng ch¿nh cõa b i to¡n tr¶n l m cho vi»c t¼m líi gi£i
g°p nhi·u khâ kh«n. º x§p x¿ mët c¡ch ên ành tîi nghi»m cõa b i
to¡n, ta c¦n · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa. Trong thüc t¸, câ kh¡
nhi·u ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡n trong tr÷íng hñp cho ph÷ìng
tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè khæng phö thuëc thíi gian
nh÷ ph÷ìng ph¡p tüa £o [7], ph÷ìng ph¡p ph÷ìng tr¼nh Sobolev [4],
ph÷ìng ph¡p b i to¡n gi¡ trà bi¶n khæng àa ph÷ìng [3]... Tuy nhi¶n,
theo chóng tæi ÷ñc bi¸t, câ r§t ½t c¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu v· ph÷ìng
tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian. V¼ trong
tr÷íng hñp n y, ta khæng câ cæng thùc biºu di¹n t÷íng minh nghi»m cõa
b i to¡n n¶n vi»c gi£i quy¸t c¡c v§n · °t ra l phùc t¤p hìn.
V o n«m 1963, Tikhonov ([12]) ¢ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p ch¿nh
hâa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh nêi ti¸ng. Ph÷ìng ph¡p n y ùng döng
÷ñc cho nhi·u b i to¡n °t khæng ch¿nh kh¡c nhau. ¸n n«m 1974, Joel
2
3
N. Franklin ([5]) ¢ ¡p döng th nh cæng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa cõa
Tikhonov cho ph÷ìng tr¼nh parabolic vîi h» sè khæng phö thuëc thíi
gian. Tuy nhi¶n, cho ¸n nay, v¨n ch÷a câ nh to¡n håc n o ùng döng
th nh cæng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov cho ph÷ìng tr¼nh parabolic
vîi h» sè phö thuëc thíi gian.
Tr¶n cì sð c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành ¢ ÷ñc cæng bè trong b i
b¡o [3], chóng tæi muèn sû döng ph÷ìng ph¡p cõa Tikhonov º ch¿nh
hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian
v ÷a ra c¡c ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p. Vîi möc ½ch nh÷ vªy,
"Ch¿nh hâa
ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc
thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov".
chóng tæi lüa chån · t i sau cho Luªn v«n cõa m¼nh l :
Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u tham kh£o, Luªn v«n gçm
câ hai ch÷ìng, ÷ñc tr¼nh b y theo bè cöc sau:
Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc bê trñ
Ch÷ìng n y nh¬m möc ½ch tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n
nëi dung Ch÷ìng 2, cö thº l tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· to¡n tû tuy¸n
t½nh, ¤o h m Frechet v sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert.
Ch÷ìng 2. Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian
vîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov
Ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành trong
b i b¡o [3]. Sau â, chóng tæi · xu§t ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡n
b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov vîi c¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºu Holder.
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh, tªn t¥m
cõa th¦y gi¡o, TS. Nguy¹n V«n ùc v sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ gi¡o
trong tê Gi£i t½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc Vinh còng vîi gia ¼nh v
b¤n b±. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y gi¡o, TS. Nguy¹n
V«n ùc - ng÷íi ¢ d nh cho t¡c gi£ sü quan t¥m gióp ï tªn t¼nh v
chu ¡o trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh Luªn
v«n.
4
Cuèi còng, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban chõ nhi»m khoa To¡n,
c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ trang bà nhúng
ki¸n thùc v kinh nghi»m bê ½ch cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp
t¤i tr÷íng, xin c£m ìn tªp thº lîp CH19 - To¡n ¢ t¤o måi i·u ki»n
gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh Luªn v«n cõa
m¼nh.
V¼ thíi gian khæng nhi·u v kh£ n«ng cõa b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n
Luªn v«n chc h¯n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mong
nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n.
Ngh» An, n«m 2013
T¡c gi£
CH×ÌNG 1
MËT SÈ KIN THÙC BÊ TRÑ
1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n
a. To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Banach
1.1.1 ành ngh¾a. ([2]) Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach thüc.
1. nh x¤ A : X → Y ÷ñc gåi l to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u
A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R.
2. To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y l bà ch°n n¸u
kAk := sup{kAukY |kukX 6 1} < ∞.
b. To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Hilbert
1.1.2 ành ngh¾a. ([2]) Cho H l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng
h., .i.
1. Gi£ sû A : H → H l to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n, khi â to¡n tû
A∗ : H → H thäa m¢n hAu, vi = hu, A∗ vi , ∀u, v ∈ H ÷ñc gåi l to¡n
tû li¶n hñp cõa A.
2. A ÷ñc gåi l to¡n tû tü li¶n hñp n¸u A∗ = A.
1.1.3 ành ngh¾a. ([2]) 1. Hai ph¦n tû u, v ∈ H ÷ñc gåi l trüc giao
n¸u hu, vi = 0.
2. Mët cì sð ¸m ÷ñc {wk }k>1 ⊂ H ÷ñc gåi l mët cì sð trüc chu©n,
n¸u
hwk , wl i = 0,
kwk k
= 1,
(k, l = 1, 2, ..., k 6= l),
(k = 1, 2, ...).
6
N¸u u ∈ H v {wk }k>1 ⊂ H l mët cì sð trüc chu©n th¼
u=
v
kuk2 =
+∞
X
k=1
+∞
X
hu, wk i wk
| hu, wk i |2 .
k=1
1.1.4 ành lþ. ([2]) Gi£ sû A : H → H l to¡n tû tü li¶n hñp. Khi â
(i) Gi¡ trà ri¶ng cõa A l sè thüc;
(ii) C¡c vectì ri¶ng ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng kh¡c nhau l trüc giao.
1.2 ¤o h m Frechet
1.2.1 ành ngh¾a. ([2]) Cho f : Ω → F , ð ¥y Ω l tªp mð trong khæng
gian ành chu©n E cán F l khæng gian Banach. Ta nâi f kh£ vi t¤i x0
tr¶n Ω n¸u tçn t¤i S ∈ L(E, F ) sao cho
kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k = o(khk).
(1.1)
i·u n y câ ngh¾a l vîi ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀h : khk < δ ta câ
kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k 6 (khk).
(1.1) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng quen thuëc
kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k
= 0.
khk→0
khk
lim
(1.2)
nh x¤ f ÷ñc gåi l kh£ vi tr¶n Ω n¸u nâ kh£ vi t¤i måi iºm cõa Ω.
1.2.2 Nhªn x²t. 1. T½nh kh£ vi cõa f t¤i x0 khæng thay êi n¸u chu©n
cõa E ÷ñc thay bði chu©n kh¡c t÷ìng ÷ìng.
0
2. Kþ hi»u S l f (x0 ) hay Df (x0 ) v gåi l ¤o h m cõa f t¤i x0 .
S ∈ L(E, F ) thäa m¢n (1.1) l duy nh§t.
Chùng minh. Thªt vªy, gi£ sû T ∈ L(E, F ) công thäa m¢n (1.1). Khi
â, S v T l ¤o h m cõa f t¤i x0 ∈ Ω n¶n ta câ
kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k = o(khk)
7
v
kf (x0 + h) − f (x0 ) − T (h)k = o(khk).
Do â
kS(h) − T (h)k
= k(f (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)) − (f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h))k
= o(khk) + o(khk) = o(khk).
kS(h) − T (h)k
= 0. L§y b§t k¼ h ∈ E , h 6= 0 ta câ
khk→0
khk
Suy ra lim
kS(th) − T (th)k ktS(h) − tT (h)k kS(h) − T (h)k
=
=
kthk
|t|khk
khk
vîi ∀t ∈ R, t 6= 0. Suy ra
kS(th) − T (th)k
kS(h) − T (h)k
= lim
= 0.
t→0
khk
kthk
Do â kS(h) − T (h)k = 0. i·u n y câ ngh¾a l S(h) = T (h), ∀h 6= 0.
Suy ra S(h) = T (h), ∀h ∈ E . Vªy S ≡ T .
0
Nh÷ vªy n¸u f kh£ vi tr¶n Ω ta câ ¡nh x¤ f : Ω → L(E, F ) cho bði
0
Ω 3 x 7→ f (x) ∈ L(E, F ).
0
Ngo i ra n¸u f li¶n töc th¼ f ÷ñc gåi l kh£ vi li¶n töc hay thuëc lîp
C 1 (vi¸t f ∈ C 1 ) tr¶n Ω.
0
Do f (x0 ) ∈ L(E, F ), tø (1.1) suy ra f li¶n töc t¤i x0 .
X²t tr÷íng hñp E = R. Tr÷îc h¸t cæng thùc
Ψ(T ) = T (1),
T ∈ L(R, F )
x¡c ành ¯ng c§u giú nguy¶n chu©n giúa L(R, F ) v F . Qua ¯ng c§u
n y ta çng nh§t T ∈ L(R, F ) vîi T (1).
Gi£ sû f : (a, b) → F kh£ vi t¤i x0 ∈ (a, b).
Ta câ
0
f (x0 + h) − f (x0 ) 0
f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)
lim [
−f (x0 )(1)] = lim
= 0.
h→0
h→0
h
h
8
0
0
Nh÷ vªy n¸u çng nh§t f (x0 ) vîi f (x0 )(1) ta câ thº vi¸t
0
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f (x0 ) = lim
v â ch½nh l ành ngh¾a ¤o h m theo ngh¾a thæng th÷íng.
1.2.3 V½ dö.
0
1. N¸u f : Ω → F, f = const, th¼ f = 0 tr¶n Ω.
0
2. N¸u f ∈ L(E, F ) th¼ f kh£ vi t¤i måi iºm x0 ∈ E v f (x0 ) = f .
Chùng minh. V¼ f kh£ vi t¤i måi iºm x0 ∈ E n¶n
kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k
=0
khk→0
khk
kf (x0 ) + f (h) − f (x0 ) − S(h)k
⇔ lim
= 0 (do f ∈ L(E, F )).
khk→0
khk
lim
L§y f = S ∈ L(E, F ), khi â
kf (x0 ) + f (h) − f (x0 ) − S(h)k
0
= lim
= 0.
khk→0
khk→0 khk
khk
lim
0
Suy ra f (x0 ) = f .
Nh÷ vªy ¤o h m cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc t¤i måi iºm thuëc E
ch½nh l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc â.
3. Gi£ sû f = S \ Ω vîi S : E1 × E2 → F l song tuy¸n t½nh li¶n töc. L§y
(x01 , x02 ) ∈ Ω. Ta câ
kf ((x01 , x02 ) + (h1 , h2 )) − f (x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )k
= kS(x01 + h1 , x02 + h2 ) − S(x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )k
= kS(x01 , x02 ) + S(x01 , h2 ) + S(h1 , x02 ) + S(h1 , h2 )
− S(x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )k
= kS(h1 , h2 )k 6 kSk kh1 k kh2 k = o(k(h1 , h2 )k).
Do â, f kh£ vi t¤i (x01 , x02 ) v
0
f (x01 , x02 )(h1 , h2 ) = S(x01 , h2 ) + S(h1 , x02 ), ∀(h1 , h2 ) ∈ E1 × E2 .
9
Mët c¡ch têng qu¡t, n¸u f = S \ Ω, Ω ⊂ E1 × ... × En l tªp mð cán
S ∈ L(E1 , ..., En ; F ) th¼ f kh£ vi t¤i måi (x1 , ..., xn ) ∈ Ω v
0
f (x1 , ..., xn )(h1 , ...hn ) = S(h1 , x1 , ..., xn ) + ... + S(x1 , .., xn−1 , hn ),
∀(h1 , ..., hn ) ∈ E1 × ... × En .
1.2.4 ành lþ. ([2]) Gi£ sû E l khæng gian ành chu©n, F l khæng gian
Banach, Ω l tªp mð trong E v x0 ∈ Ω. Khi â
(i) N¸u f, g : Ω → F kh£ vi t¤i x0 , th¼ αf + βg công kh£ vi t¤i x0 vîi
måi α, β ∈ R v
0
0
0
(αf + βg) (x0 ) = αf (x0 ) + βg (x0 ).
(ii) N¸u f : Ω → R, g : Ω → R kh£ vi t¤i x0 , th¼ gf : Ω → R kh£ vi
t¤i x0 v
0
0
0
(gf ) (x0 ) = g (x0 )f (x0 ) + g(x0 )f (x0 ).
Ngo i ra n¸u g(x0 ) 6= 0 th¼ f /g công kh£ vi t¤i x0 v
0
0
0
g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 )
f
(x0 ) =
.
g
g 2 (x0 )
Chùng minh. (i) Ta câ
0
0
k(αf + βg)(x0 + h) − (αf + βg)(x0 ) − αf (x0 )(h) − βg (x0 )(h)k
0 6 lim
khk→0
khk
0
kαf (x0 + h) − αf (x0 ) − αf (x0 )(h)k
= lim
khk→0
khk
0
kβg(x0 + h) − βg(x0 ) − βg (x0 )(h)k
+ lim
khk→0
khk
0
|α|kf (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)k
6 lim
khk→0
khk
0
|β|kg(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)k
+ lim
khk→0
khk
6 0 (v¼ f, g kh£ vi t¤i x0 ).
10
0
0
0
Do â (αf + βg) (x0 ) = αf (x0 ) + βg (x0 ).
(ii) º chùng minh gf kh£ vi t¤i x0 ta c¦n chùng minh
0
0
kg(x0 + h)f (x0 + h) − g(x0 )f (x0 ) − g (x0 )f (x0 ) − g(x0 )f (x0 )k
A = lim
khk→0
khk
= 0.
Ta câ
0
kf (x0 + h)[g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)]k
0 6 A 6 lim
khk→0
khk
0
kg(x0 )[f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)]k
+ lim
khk→0
khk
0
0
kf (x0 + h)g (x0 )(h) − f (x0 )g (x0 )(h)k
+ lim
.
khk→0
khk
Do g kh£ vi t¤i x0 n¶n ta câ
0
kf (x0 + h)[g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)]k
0 6 A1 = lim
khk→0
khk
0
kg(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)k
= |f (x0 )| lim
khk→0
khk
= |f (x0 )|.0 = 0.
Suy ra A1 = 0.
T÷ìng tü, v¼ f kh£ vi t¤i x0 n¶n
0
kg(x0 )[f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)]k
0 6 A2 = lim
khk→0
khk
0
kf (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)k
= |g(x0 )| lim
khk→0
khk
= |g(x0 )|.0 = 0.
Suy ra A2 = 0.
M°t kh¡c, ta câ
0
0
kf (x0 + h)g (x0 )(h) − f (x0 )g (x0 )(h)k
0 6 A3 = lim
khk→0
khk
0
k[f (x0 + h) − f (x0 )]g (x0 )(h)k
= lim
khk→0
khk
11
0
kg (x0 )(h)k
= lim |f (x0 + h) − f (x0 )|
khk→0
khk
0
kg (x0 )kkhk
6 lim |f (x0 + h) − f (x0 )|
khk→0
khk
0
= lim |f (x0 + h) − f (x0 )|kg (x0 )k
khk→0
0
= |f (x0 ) − f (x0 )|kg (x0 )k = 0.
Suy ra A3 = 0.
V¼ vªy 0 6 A 6 0 n¶n A = 0.
1
N¸u g(x0 ) 6= 0 th¼ kh£ vi t¤i x0 v¼
g
0
1
g (x0 )(h)
1
1
−
+ 2
lim
khk→0 khk
g(x0 + h)
g(x0 )
g (x0 )
0
g
(x
)(h)
1
g(x
+
h)
−
g(x
)
0
0
0
− 2
= lim
khk→0 khk
g(x0 + h)g(x0 )
g (x0 )
0
kg(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)k
= 0.
= lim
khk→0
kg(x0 + h)g(x0 )k
Suy ra
f
1
= f. kh£ vi t¤i x0 v
g
g
0
0
0
f
g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 )
(x0 ) =
.
g
g 2 (x0 )
1.2.5 ành lþ. ([2]) Gi£ sû E l khæng gian ành chu©n, F , G l khæng
gian Banach v U ⊂ E , V ⊂ F l c¡c tªp mð. Gi£ sû x0 ∈ U , f : U →
V, g : V → G l c¡c h m kh£ vi t¤i x0 v y0 = f (x0 ). Khi â g◦f : U → G
kh£ vi t¤i x0 v
0
0
(g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 ))f 0 (x0 ).
Chùng minh. V¼ f kh£ vi t¤i x0 n¶n ta câ
0
kf (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)k
lim
= 0.
khk→0
khk
12
°t x = x0 + h, ta ÷ñc
0
kf (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 )k
lim
= 0.
kx−x0 k→0
k(x − x0 )k
(1.3)
°t
0
ϕ(x − x0 ) = f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 ).
(1.4)
kϕ(x − x0 )k
= 0 v
x→x0 kx − x0 k
Tø (1.3) v (1.4) ta câ lim
0
f (x) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) + ϕ(x − x0 ).
(1.5)
T÷ìng tü, v¼ g kh£ vi t¤i y0 n¶n ta câ
0
g(y) − g(y0 ) = g (y0 )(y − y0 ) + ψ(y − y0 ).
(1.6)
kψ(y − y0 )k
= 0. Thüc hi»n ph²p bi¸n êi v sû döng (1.5), (1.6)
y→y0 ky − y0 k
ta ֖c
vîi lim
g ◦ f (x) − g ◦ f (x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 ))
0
= g (f (x0 ))(f (x) − f (x0 )) + ψ(f (x) − f (x0 ))
0
0
= g (f (x0 ))[f (x0 )(x − x0 ) + ϕ(x − x0 )] + ψ(f (x) − f (x0 ))
0
0
0
= g (f (x0 ))f (x0 )(x − x0 ) + g (f (x0 ))ϕ(x − x0 ) + ψ(f (x) − f (x0 )).
º chùng minh g ◦ f kh£ vi t¤i x0 ta c¦n chùng minh
0
kg (f (x0 ))ϕ(x − x0 ) + ψ(f (x) − f (x0 ))k
B = lim
= 0.
x→x0
k(x − x0 )k
Ta câ
0
kg (f (x0 ))ϕ(x − x0 )k
kψ(f (x) − f (x0 ))k
0 6 B 6 lim
+ lim
x→x0
x→x0
k(x − x0 )k
k(x − x0 )k
kϕ(x − x0 )k
kψ(f (x) − f (x0 ))k kf (x) − f (x0 )k
0
6 lim kg (f (x0 ))k
+ lim
.
x→x0
x→x0 kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
kx − x0 k
6 0.
Do â B = 0.
0
0
Vªy g ◦ f kh£ vi t¤i x0 v (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 ))f 0 (x0 ).
13
1.3 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert
1.3.1 ành ngh¾a. ([1]) 1. Gi£ sû X
l khæng gian tuy¸n t½nh ành
chu©n tr¶n tr÷íng K . Kþ hi»u X ∗ = L(X, K) l tªp t§t c£ c¡c phi¸m
h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X v gåi X ∗ l khæng gian li¶n hñp thù nh§t
cõa X .
2. Mët d¢y c¡c ph¦n tû {xn } cõa X hëi tö m¤nh ¸n ph¦n tû x0 v vi¸t
xn → x0 khi n → ∞, n¸u kxn − x0 k → 0 khi n → ∞.
3. Ta nâi d¢y {xn } ⊂ X hëi tö y¸u ¸n x0 ∈ X , n¸u ∀f ∈ X ∗ câ
f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞. Ta kþ hi»u d¢y {xn } hëi tö y¸u ¸n x0 bði
xn * x0 .
1.3.2 Nhªn x²t.
1. Måi d¢y hëi tö m¤nh trong khæng gian tuy¸n t½nh
ành chu©n X ·u hëi tö y¸u. i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.
2. Giîi h¤n cõa mët d¢y hëi tö y¸u l duy nh§t.
3. N¸u X l khæng gian húu h¤n chi·u v xn * x th¼ xn → x.
4. N¸u M l mët tªp compact trong X , d¢y {xn } ⊂ M v xn * x th¼
xn → x.
5. Måi d¢y hëi tö y¸u ·u bà ch°n.
6. N¸u xn * x th¼ kxk 6 lim inf kxn k.
Chùng minh. 1. Gi£ sû {xn } l d¢y trong X hëi tö ¸n x ∈ X . Vîi méi
f ∈ X ∗ , v¼ f li¶n töc n¶n ta câ f (xn ) → f (x) khi n → ∞. Vªy xn * x.
i·u ng÷ñc l¤i câ thº xem V½ dö 1.3.4.
2. Gi£ sû {xn } ⊂ X, x, y ∈ X v xn * x, xn * y . Ta c¦n chùng minh
x = y . V¼ xn * x n¶n ∀f ∈ X ∗ ta câ f (xn ) → f (x) khi n → ∞, hay
|f (xn ) − f (x)| → 0 khi n → ∞ . T÷ìng tü, v¼ xn * y n¶n ∀f ∈ X ∗ ta câ
|f (xn ) − f (y)| → 0 khi n → ∞.
Ta câ
0 6 |f (x) − f (y)| = |f (x) − f (xn ) + f (xn ) − f (y)|
6 |f (x) − f (xn )| + |f (xn ) − f (y)| → 0,
khi n → ∞.
14
Do â, |f (x) − f (y)| = 0, ∀f ∈ X ∗ , hay f (x) = f (y), ∀f ∈ X ∗ .
Suy ra f (x − y) = 0, ∀f ∈ X ∗ .
Gi£ sû x − y 6= 0. Khi â, theo h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach, tçn
t¤i g ∈ X ∗ sao cho kgk = 1, g(x − y) = kx − yk =
6 0. i·u n y m¥u thu¨n
vîi kh¯ng ành ð tr¶n. Vªy x − y = 0, hay x = y .
3. Gi£ sû X l khæng gian k chi·u tr¶n tr÷íng K câ mët cì sð trüc chu©n
k
P
xi ei . D¢y {xn } trong X câ
l {e1 , e2 , ..., ek }. Vîi måi x ∈ X , ta câ x =
i=1
thº vi¸t nh÷ sau xn =
k
P
xn i ei .
i=1
L§y fi (y) = y i , ∀y ∈ X, ∀i = 1, ..., k . D¹ th§y fi ∈ X ∗ , ∀i = 1, ..., k .
V¼ xn * x n¶n fi (xn ) → f (x), ∀i = 1, ..., k hay xn i → xi , ∀i = 1, ..., k .
k
1/2
P
i
i 2
Suy ra kxn − xk =
|xn − x |
→ 0, khi n → ∞. Do â, xn → x.
i=1
4. Gi£ sû xn khæng hëi tö m¤nh ¸n x, khi â ∃ > 0 : kxnk − xk > , ∀k .
Do M l tªp compact n¶n tçn t¤i mët d¢y con {xnki } hëi tö m¤nh ¸n
y v y = x. Khi â, ta câ sü m¥u thu¨n ε 6 kxnki − xk → 0, khi i → ∞.
Vªy xn → x.
5. Gi£ sû d¢y {xn } hëi tö y¸u trong X . Khi â, ∀f ∈ X ∗ , d¢y f (xn ) =
xn (f ) hëi tö trong K n¶n nâ bà ch°n, ngh¾a l hå (xn )n∈N bà ch°n
iºm. Theo nguy¶n lþ Banach-Steinhaus, d¢y {xn } bà ch°n ·u, ngh¾a
l sup kxn k < +∞.
n∈N
6. Ta kiºm tra cho tr÷íng hñp têng qu¡t khi X l khæng gian Banach.
N¸u x = 0 th¼ kh¯ng ành tr¶n l hiºn nhi¶n.
N¸u x 6= 0 th¼ theo h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach, tçn t¤i phi¸m h m
f ∈ X ∗ sao cho kf k = 1 v kxk = hx, f i = lim hxn , f i 6 lim inf kxn k.
n→∞
n→∞
1.3.3 ành ngh¾a. ([11]) Cho X l mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væ
h÷îng h·, ·i. Ta nâi d¢y (ϕn ) trong X hëi tö y¸u tîi ϕ ∈ X v vi¸t ϕn * ϕ
khi n → ∞ n¸u
hϕn , ψi → hϕ, ψi,
vîi måi ψ ∈ X .
khi n → ∞
15
N¸u φ l mët giîi h¤n y¸u kh¡c cõa d¢y ϕn th¼ hϕ − φ, ψi = 0 vîi måi
ψ ∈ X . Chån ψ = ϕ − φ ta câ ϕ = φ, ngh¾a l giîi h¤n y¸u cõa d¢y x¡c
ành duy nh§t.
Tø b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta suy ra sü hëi tö m¤nh k²o theo
sü hëi tö y¸u. i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. V½ dö sau ¥y s³ chùng minh
i·u n y.
1.3.4 V½ dö.
Gi£ sû H l khæng gian Hilbert thüc væ h¤n chi·u, {en :
n ∈ N} l mët h» cì sð trüc chu©n ¸m ÷ñc trong H . Khi â, d¢y {en }
khæng hëi tö m¤nh nh÷ng hëi tö y¸u.
Chùng minh. Thªt vªy, ∀ m, n ∈ N∗ , m 6= n, ta câ
kem − en k2 = hem − en , em − en i = hem , em i − 2hem , en i + hen , en i
= kem k2 + ken k2 = 2.
Suy ra kem − en k =
√
2 vîi m 6= n. V¼ vªy, d¢y {en } khæng ph£i l mët
d¢y cì b£n v do â, nâ khæng hëi tö m¤nh.
Ta chùng minh d¢y {en } hëi tö y¸u. V¼ H l khæng gian Hilbert n¶n vîi
méi f ∈ H ∗ , tçn t¤i duy nh§t a ∈ H sao cho f (x) = ha, xi, ∀ x ∈ H .
Suy ra f (en ) = ha, en i, ∀ n ∈ N∗ . V¼ a ∈ H v {en : n ∈ N} l cì sð trüc
+∞
+∞
P
P
2
chu©n trong H n¶n a =
ha, en ien v kak =
|ha, en i|2 .
n=1
V¼ chuéi
+∞
P
n=1
|ha, en i|2 hëi tö n¶n |ha, en i| → 0 khi n → ∞. Suy ra ha, en i →
n=1
0 khi n → ∞, hay f (en ) → 0 = f (0) khi n → ∞, ∀ f ∈ H ∗ . Vªy d¢y
{en } hëi tö y¸u tîi ph¦n tû 0.
1.3.5 ành lþ. ([11]) Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert. Khi â
1. N¸u d¢y (ϕn ) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X v d¢y (ψn ) hëi tö m¤nh ¸n
ψ ∈ X th¼ d¢y sè (hϕn , ψn i) hëi tö ¸n hϕ, ψi .
2. N¸u d¢y (ϕn ) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X v d¢y (kϕn k) hëi tö ¸n kϕk
th¼ d¢y (ϕn ) hëi tö m¤nh ¸n ϕ ∈ X.
Chùng minh. 1. Theo gi£ thi¸t, d¢y (ϕn ) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X n¶n (ϕn )
16
bà ch°n, do â ∃M > 0 : kϕn k 6 M, ∀n ∈ N. Khi â ta câ
| hϕn , ψn i − hϕ, ψi | 6 | hϕn , ψn i | − | hϕn , ψi | + | hϕn , ψi | − | hϕ, ψi |
6 kϕn k.kψn − ψk + | hϕn , ψi − hϕ, ψi |
6 M.kψn − ψk + | hϕn , ψi − hϕ, ψi |.
Theo gi£ thi¸t cõa (1), cho n → ∞ tø b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc
lim hϕn , ψn i = hϕ, ψi .
n→∞
Vªy (hϕn , ψn i) → hϕ, ψi .
2. Ta câ kϕn −ϕk2 = hϕn − ϕ, ϕn − ϕi = kϕn k2 −hϕn , ϕi−hϕ, ϕn i+kϕk2 .
Tø gi£ thi¸t lim hϕn , ϕi = hϕ, ϕi = lim hϕ, ϕn i v lim kϕn k = kϕk,
n→∞
n→∞
n→∞
chuyºn qua giîi h¤n ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc lim kϕn − ϕk = 0. Vªy
n→∞
ϕn → ϕ.
1.3.6 ành ngh¾a. ([1]) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n X ÷ñc gåi l
nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i iºm x0 n¸u vîi måi d¢y {xn } m xn * x0 , ta
câ ϕ(x0 ) 6 lim inf ϕ(xn ).
Phi¸m h m ϕ(x) ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi y¸u, n¸u nâ nûa li¶n töc
d÷îi y¸u t¤i måi iºm trong mi·n x¡c ành cõa nâ.
1.3.7 M»nh ·. ([11]) 1. N¸u T ∈ L(X, Y ) th¼ T li¶n töc y¸u, ngh¾a l
n¸u ϕn * ϕ th¼ T (ϕn ) * T (ϕ) khi n → ∞.
2. N¸u ϕn * ϕ th¼ lim sup kϕn k > kϕk, ngh¾a l chu©n nûa li¶n töc d÷îi
y¸u.
n→∞
Chùng minh. 1. Gi£ sû ϕn * ϕ. Khi â, vîi b§t ký ψ ∈ Y ta câ
hT ϕn , ψi = hϕn , T ∗ ψi → hϕ, T ∗ ψi = hT ϕ, ψi .
Do â, T (ϕn ) * T (ϕ) khi n → ∞.
2. Gi£ sû ϕn * ϕ. Khi â ta câ hϕn , ϕi → hϕ, ϕi = kϕk2 khi n → ∞. Tø
b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz | hϕn , ϕi | 6 kϕn k.kϕk ta suy ra kϕk2 6
lim sup kϕn k.kϕk hay kϕk 6 lim sup kϕn k.
n→∞
n→∞
17
1.3.8 ành lþ. ([11]) Måi d¢y bà ch°n ·u câ d¢y con hëi tö y¸u.
Chùng minh. Gi£ sû {ϕn }n∈N l mët d¢y b§t ký trong X sao cho kϕn k 6 l
v {ej : j ∈ N} l mët h» trüc chu©n ¦y õ trong X := span{ϕn : n ∈ N}.
V¼ hϕn , e1 i l mët d¢y bà ch°n n¶n tçn t¤i d¢y con hëi tö hϕn1 (k) , e1 i. V¼
hϕn1 (k) , e2 i bà ch°n n¶n tçn t¤i d¢y con n2 (k) cõa n1 (k) sao cho hϕn2 (k) , e2 i
hëi tö. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ta thu ÷ñc d¢y con nl (k) vîi måi l ∈ N
sao cho hϕnl (k) , el i hëi tö v nl+1 (k) l d¢y con cõa nl (k). Gi£ sû d¢y
hϕnl (l) , ek i hëi tö tîi ξk n o â thuëc C khi l → ∞, vîi måi k ∈ N. Khi
P
â, ϕ :=
ξk ek x¡c ành mët ph¦n tû cõa X vîi kϕk 6 l. Thªt vªy, vîi
k∈N
måi K ∈ N ta câ
K
X
k=1
2
|ξ| = lim
l→∞
K
X
|hϕnl (l) , ek i|2 6 lim sup kϕnl (l) k2 6 l.
l→∞
k=1
Ta c¦n ch¿ ra hϕnl (l) , ψi → hϕ, ψi vîi måi ψ ∈ X . Ta câ ψ ∈ X . L§y > 0
∞
P
v chån K ∈ N sao cho
|hψ, ek i|2 6 ( 4 )2 . Khi â, tçn t¤i L > 0 sao
cho
k=K+1
K
X
hψ, ek iek i 6 , vîi l > L.
hϕ − ϕnl (l) ,
2
k=1
Tø b§t ¯ng thùc tam gi¡c v b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ
|hϕ − ϕnl (l) , ψi| 6 vîi l > L.
1.3.9 ành ngh¾a. ([11]) Tªp con K cõa khæng gian Hilbert X ÷ñc gåi
l âng y¸u n¸u nâ chùa c¡c giîi h¤n y¸u cõa måi d¢y hëi tö y¸u trong
K.
To¡n tû F : D(F ) ⊂ X → Y ÷ñc gåi l âng y¸u n¸u ç thà grF :=
{(ϕ, F (ϕ)) : ϕ ∈ D(F )} l âng y¸u trong X × Y , tùc l n¸u ϕn * ϕ v
F (ϕn ) * g th¼ ta câ ϕ ∈ D(F ) v F (ϕ) = g .
Chó þ r¬ng n¸u F li¶n töc y¸u v D(F ) âng y¸u th¼ F âng y¸u. K¸t
qu£ sau ¥y cho ta i·u ki»n õ v· t½nh âng y¸u cõa D(F ).
1.3.10 ành lþ. ([11]) N¸u tªp con K ⊂ X lçi v âng th¼ K âng y¸u.
CH×ÌNG 2
CHNH HÂA PH×ÌNG TRNH PARABOLIC NG×ÑC
THÍI GIAN VÎI H SÈ PHÖ THUËC THÍI GIAN BNG
PH×ÌNG PHP TIKHONOV
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi hi»u ch¿nh ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc
thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian d¤ng
ut + A(t)u = 0, 0 < t < T,
ku(T ) − f k 6 , f ∈ H, > 0
b¬ng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov v ÷a ra c¡ch chån tham sè hi»u
ch¿nh ti¶n nghi»m, hªu nghi»m vîi c¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºu Holder. C¡c
¡nh gi¡ ên ành ¢ ÷ñc chùng minh trong b i b¡o [3].
2.1 Giîi thi»u b i to¡n
Gi£ sû H l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h·, ·i v chu©n k · k,
A(t) (0 6 t 6 T ) : D(A(t)) ⊂ H → H l to¡n tû khæng bà ch°n, tü li¶n
hñp, x¡c ành d÷ìng tr¶n H . Gi£ sû f ∈ H v l mët sè d÷ìng cho
tr÷îc. X²t b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi
gian u : [0, T ] → H thäa m¢n
ut + A(t)u = 0, 0 < t < T,
ku(T ) − f k 6 .
(2.1)
Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, b i to¡n n y °t khæng ch¿nh [8, 9]. Do â, mët
ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ên ành v hi»u ch¿nh b i to¡n ¢ ÷ñc · xu§t
trong [13].
Trong [3], c¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh r¬ng n¸u u(t) l nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh ut + A(t)u = 0, 0 < t < T th¼ tçn t¤i h m khæng ¥m ν(t)
tr¶n [0, T ] sao cho
18
19
ku(t)k 6 cku(T )kν(t) ku(0)k1−ν(t) ,
∀t ∈ [0, T ]
vîi c l h¬ng sè d÷ìng cho tr÷îc. Trong Luªn v«n n y, chóng tæi ùng
döng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov cho b i to¡n (2.1).
2.2 ¡nh gi¡ ên ành
Trong ph¦n n y, º ti»n theo dãi, chóng tæi tr¼nh b y l¤i ành lþ 2.5
trong b i b¡o [3].
2.2.1 ành lþ. ([3]) Gi£ sû r¬ng
(i) A(t) l to¡n tû tü li¶n hñp vîi méi t;
(ii) N¸u tçn t¤i nghi»m u(t) thuëc v o mi·n cõa A(t) sao cho
Lu =
du
+ A(t)u = 0, 0 < t ≤ T,
dt
th¼ vîi c¡c h¬ng sè khæng ¥m k, c ta câ
−
d
hA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − c h(A(t) + k)u(t), u(t)i .
dt
Chån a1 (t) l mët h m kh£ t½ch Riemann tr¶n [0, T ], sao cho a1 (t) 6
c, ∀t ∈ [0, T ] v
−
d
hA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − a1 (t) h(A(t) + k)u(t), u(t)i .
dt
Vîi måi t ∈ [0, T ], °t
Z t
Z t
a2 (t) = exp
a1 (τ )dτ , a3 (t) =
a2 (ξ)dξ,
0
ν(t) =
0
a3 (t)
.
a3 (T )
(2.2)
Khi â, vîi måi t ∈ [0, T ], ta câ
ku(t)k 6 ekt−kT ν(t) ku(T )kν(t) ku(0)k1−ν(t) .
(2.3)
20
2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n
Trong ph¦n n y, chóng ta °t c¡c gi£ thi¸t cho to¡n tû A(t) nh÷ sau
(xem [14, pp. 134135])
(H1 ) Vîi 0 6 t 6 T , phê cõa A(t) ÷ñc chùa trong mët mi·n h¼nh
qu¤t
σ(A(t)) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |argλ| < ω}, 0 6 t 6 T,
(2.4)
vîi gâc ω cè ành sao cho 0 < ω < π2 , v gi£i thùc thäa m¢n ¡nh gi¡
k(λ − A(t))−1 k 6
M
,
|λ|
λ 6∈ Σω , 0 6 t 6 T,
(2.5)
vîi h¬ng sè M > 1 n o â.
(H2 ) Mi·n x¡c ành D(A(t)) ëc lªp vîi t v A(t) kh£ vi li¶n töc m¤nh
(xem [10, p. 15]).
(H3 ) Vîi måi t ∈ [0, T ], A(t) l mët to¡n tû khæng bà ch°n, tü li¶n
hñp, x¡c ành d÷ìng v n¸u u(t) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Lu =
du
+ A(t)u = 0, 0 < t 6 T , th¼ tçn t¤i h¬ng sè khæng ¥m k , h m sè
dt
kh£ t½ch Riemann tr¶n [0, T ], a1 (t) sao cho
−
d
hA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − a1 (t) h(A(t) + k)u(t), u(t)i .
dt
(2.6)
2.3.1 Nhªn x²t. N¸u c¡c gi£ thi¸t (H1) − (H2) ÷ñc thäa m¢n th¼ tçn
t¤i h¬ng sè N > 0 sao cho
kA(t)(A(t)−1 − A(s)−1 )k 6 N |t − s|,
0 6 s, t 6 T.
(2.7)
Chùng minh. i·u ki»n (2.4) k²o theo A(t) câ to¡n tû ng÷ñc bà ch°n tr¶n
H (xem [14, p. 135]). M°t kh¡c, ta câ
kA(t)(A(t)−1 −A(s)−1 )k = k−(A(t)−A(s))A(s)−1 k = k(A(t)−A(s))A(s)−1 k.
V¼ A(t) kh£ vi li¶n töc m¤nh, theo Bê · 4.7.1 trong Tanabe [10, p. 108],
A(t)A(s)−1 kh£ vi li¶n töc m¤nh trong (t, s) ∈ [0, T ] × [0, T ]. Do â, theo
ành lþ Banach-Steinhaus, tçn t¤i h¬ng sè N > 0 sao cho
k(A(t) − A(s))A(s)−1 k 6 N |t − s|,
0 6 s, t 6 T.
- Xem thêm -
.PDF 
31 
150 
128 
