Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Chính hóa một số bài toán ngược trong khoa học ứng dụng...

Tài liệu Chính hóa một số bài toán ngược trong khoa học ứng dụng

.PDF
28
115
124

Mô tả:

BO GIAO ])t)C vA 1);\0 T~O [11)1H()C Qu6c cIArl..jANH PH6 H6 CHI MINH TRUc)NCD~I HQC KHOAHQC H,! NHlt N a a ~~I:&'~~ N C TrY'~ ",1\..1:', D . ,. N " ( 'r' )l \T(i T AM ,,'_.Tn.., CHiNH. UO,\ l\iQT 86 BAI ToAN NGtf<1C TRONe KHOA HOC rfNG Dt)NG Chuyennganh: loAN GJArItCH \13 s6 01.01.01 II TOM T£(TLu.~N AN Fh6 Tie'n SIKhoa hQcToan Ly II Thanh ph6116 ChI Minh - 1996- ~} ) "J, ' - I.'; ~ Lu~n ~n n1iydu'Qchean thanh t~i Khoa Toh - Tin h9c II Tru'CJngBl}i hQc &boa hQc TV lJl'Mn Thanh pho' hI6 Chi Minh IIiIo Irii 'II Netti1i hu'OIH~ d1in : " II iii GS TS J:)~NG DINH ANG rI/lI .. II1II l1li 'II Ng1f(Y]nhan xet 1 : II II II a III a II III !I .. ~i1j hh1tnxet 2 : CI II II' Cd Quan nJU)Hxet : Ie 'III III Ii! = II Lu~n ~n se du'<;fc baa v~ tq,iH9i D6ng Chill Lu4n an Nh;) Nll'OChqp tq,iTru'CJngDq.ihQc Khoa h9C Tv Nhien Thanh pho' H6 Chi Minh VaG hk~ giCJ ~ ngay -- thclng ~ Ham 1~96. ' III .. III IJI C6th! tlm hilu Lutjn dn tQi cdc tllltvifl1 : !:I -' Tnto/'lg Dqi h9C Khan h9C T~(Nhien Thc'rl1hpluJ' H6 Chi Minh - Khaa H9c nfng fir]) Thanh ph/f H6 C?ll Minh a ID nO GIAo D~JC vA. BAo L'}O D/\I HQC Quc5c CIA THANH PH6 HO CHi MINH TRUHI Trong phan II chung toi xet bai toan Cauchy cho phu'ong trmh Laplace trong t~ng g6 gh8 cua R3nhu'san D = {(x,y,z):- 4>(x,y) , V(x.y) E R2 Sd dl}ng phu'dng phap chlnh h6a Tikhonov (xem A.N.Tikhonov and V.Y.Arsenin : Solutions of ill-posed problems. Winston. Willey, New York, (1977», chung toi xiy dlfng mQt phu'dng trlnh bie'n pMn (phu'dng trlnh chInh h6a) (00) : ~ Ve = Fe (3) Trong d6 bai toaD too nghi~m v=v" da phu'dng trlnh (3) la bai "toaD chlnh, nghia la i) T8n t~i duy nha't v"thoa (3) ii) v" phI} thuQc lien tl}c vao Fe E>6ngg6p quan tn;mg khac trong Lu~n an Ia chUng t5i dii dauh gia du'<1c 5ai 56 giU'a nghi~m chlnh h6a v" neu teen so voi nghi~m chinh xac v cua phu'dng trlnh (1) -3 - Cl}the la ne'u sai s6 giiia dii ki~n do d."e F£ va dU'ki~n ehinh xac F la & , nghlala (4) ~F,-FII< Ii thl eh11ngt8i eh1fng t6 du'<;1ela sai s6 giiia nghi~m ehlnh h6a v£ va nghi~m chinh xacv (Vdi~iathie'ttrdnthichh<;JP)C6b~C,fS nghlala IIv£-vll < c,fS hay [l{~)r;(0<&<1) (5) hay II v.-vll < c[tr{~)r (6) trong d6 h!ing s6 du'dng C kh6ng phl} thuQc S Ta chuiln 11.lIl1y trong cae kh6ng gian tu'dng 1fng . Hdn the' niia, ehl1ng t8i thi~t l~p dU<;1f; thu~t roan Giai tlch s8. Cl} the; nhu' sau: a) £>6ivdi cac bar roan khao sat trong phh I, chung toichd'ng Minh du<;1e rhg v.chinh la diem b1t dQngduy nh:lt cua mQtroan ttl'co thieh h<;Jp.Do d6 de dang dy dvng mQtthu~t roan l?p M tinh xa'p xl v£ . O9i v£(rn)la budc l~p thd' m .Chung toi da dua ra dU<;1cdaRb gia sai s6 Iv,("> -vl< C,k'" +C~ (7) C£ 13.h!ing s8. phl} thuqc s. kh8ng phl} thuQc m . k E (0.1) 13.h~ s8 co. Hdn niia ne'u chQn budc l~p t6i thieu m=m. tIll chung t8i thu du'<;JcdaRb gia sai so' ~v}",) - vii < (1 + C)J;: (8) b) £>6ivdi bai roan trong phh II, chung toi du'a ra du'<;1ccong th1fc tu'Clnp, minh tinh v. theo dU'ki~n do d~c F£ thong qua bie'n d6i Fourier (hai chi~u) thu~II va ngu<;1C.Vdi gia thi6t v du trdn (v E Hl(R2» chung t8i thu du'<;JcdaRb gia sai s6 -4- I"~ 1\ v.-vll < C[~;)r trong d6 h~ng s6 C chi ph'} thuQc vao Ilv~lh'11) Lie ke"lqua cbillh CIIa LlI~ll all (hi<,lccong b6 trong c!til/c cong b6"lrong [:\J.[4 J.[S J" tJ -5 - [1] .[2] va se PJIANM6r cAc sAI loAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH POISSON I. BM roAN CAUCHY CHO PHtJdNG TRINH POISSON TRONG HINH TRON BdN VI : 1.Bdi loan.. G~i D =I(X,Y):X2+ l < I} 15 = I(x,y): X2 + y2 ~ I} Tlm ham u = u(x,y) th0 vfl E [}(a,2TC) eho tru'de x~t bai loan : T1m va FE L2(O.a) saoeho P(\'p,ffJ)+ = trong do ( . , .) va <.,. (15) ,Vf!JEI!(a,2f'l) > Ih lu'~t la tieh vo hu'dng trong L2(a.2TC) va L2(O.a). Chung ta ky hi~u cae ehuin tu'dng U'ngla 11.11 H va 11.11HI . Ta co ke't qua: Dillh Iv 1.1: Vdi m6i nha't mQt nghi~m P >0 va FE L2(O.a) phu'dng trlnh (15) co cluy vp E L2(a.27r) , hdn m1a vp phV thuQc lien t1}c vao FE L2(O.a). Ghl sU' Vo13.ngill~m chinh xac ell a phu'dng trlnh Avo thoa di~u ki~n : T6.ri t~i = Fo v E L2 (O.a) (vo.ffJ)= (16) sao cho , (17) VffJEL2(a.27r) Kill d6 ta co Dinh It 1.2: GiasltF.FoEe(O,a) thoallF-Foll HI iv, lil nghi~m da phu'dng trlnh bie'n phan (15) rl'ng vdi p =£ thl ta co daub gia livE - VO~H < trong do Mii (18) r (19) M=C+I~U~. 5. Phlidnf!. IJhti~ s(J:' XtSt phu'dng trlnh bie'n phan (Ii > 0) : £(v.,ffJ)+ = ,VffJEL2(a.27r) hay tu'dng du'dng - 8 - (20) 1>1'F. +;\*;\1' B =;\*r (2\ ) ludo I'F. =\' ( F. -n.f' 1>1'F. +;\*;\1' F. -;\*r ) (22) v(fj fJ > 0 sc ch9n sau, = V~y vI> T vI>v8i T: L2 (a.,27t) ~ L2 (a.,27t) du'(jc xac djnh nhu' sau : Tv= v-p(ABv-A () day , AB =;E.ld+A (23) *F) * (24) A , vii ld - to Dillh Ii 1.3: V8i P = (E+ He Qua1.1: IIA If Y thl T Iii phep co trong L2 (a.,27t) 'liE:>0 cho tmac, phu'dngtrlnh (20) ho~c (21) co nghi~m duy nha'l VBE L2 (a.,27t) Ta linh VI>bAng phu'dng phap xa'p xi lien tie'p (m) T (m-I) VB VB m 1, 2 '0" -- -- v~O) E L2 (a..27t) y tily (25) Taco ,,~m)= (/- PEl v~m-l) - pA *( A 'J~m-I) - F) (26) v8i fJ nhu'trong Djnh Iy 1.3 Mellh d~ 1.2: Gia sar v~ thoa (16), (17). Khi do sai s6 giii'a v~m) va vo 13 Il vlllll - v I> 0 < (' II /}ra..21t) kill I> -9- +M r; v'<'- (27) d da C = Y IITv.(0)-". (0)11, . I-k L (a,2") , ' ( 28 ) k - h~ s8 co eua anh x~ co T ; (0 < k < I) va M de djnhb"l (19) Ml!nh dO 1.3: ~f) , (29) ChQns6 tVnhl~n m. > Ink Bat . v = v (M,) khid6 .. Il v, - VoI, ilL(a,l..) < (1+M)JE (30) Cilu tb.ie!!.;. m.la s8 bd&:l~p t8i thi~u di ta e6 danh gia teen. MQt ph~n ket qua eua mvc nay dii ddcjcc6ng b6 trong [I] va[2]. II. BAI ToAN CAUCHY CHO PHVcJNGTRINH POISSON TRONG NUA MAT PHANGTRtN: 1. Biz; loan: GQi Tlm p+ = {(x,y): -ooO} ]5+= {(x,y): -ooy~O} U E Cl(P+)nC2(]5+) Au = f . thoa C(P+) trong p+ Uy E (31) u(x,O) = uo(x) "Ix E 1 = (-1,1) Uy(x,O) = UI(x) (32) u ehinh qui d v8 eung. nghla Iii.t6n t~i h~ng s8 dddng B sao el1o lim sup u(x,y) = U'" R-++a> x'+,,'-R' y>o B IVu(x,y)\~ Xl + l 'V(x,y) E P+ vhl +l - 10 - duMn (34) ~ diiy Vu - gradient cua u. f chotn10ctrongr . Uo,u. tho tru'<'1ctrong (-1.1) ; Uy - d~o ham rieng cua u theo y . 2. Thitt llip p1uh1nll trinh tlch phlin Ch9n v(x) .. =Uy(x,O) , x E J=R\I= {x:~1 ~ I} lam in ham. B~ng phu'dng ph3.p Green, chung tBi du'a bal to~n (31 ).(32). (33), (34) v8 phu'dng trlnh tich phan Fredholm lo~i mQt sau dAy d6i v<'1ilin ham v(x) .. JJ v(~)~- v<'1i (35) ~Id~= F(x) F(x) = 1T(Uo (x) - u,.,)- - ~ If 1(';",) J u1 (~) lntx - .;Id.; -I I..{(x- .;)2 + ,,2 ]d~d" (36) 3. Khdo sat phJif1n6, trinh tic" phlin.. Gi:l thie't: i) UO,UI E L2(J) ii) f ~ L~(P') vdi Hi) .1=(-1.1) ={rI[II'« (37) ,.)f'«, .)<1< }. 0 chotru'& v EL~(J) = {v:[ p(~)v2(.;)d.; < cO} voi (39) P(~)=(1+1.;~2 - 11 - Ai! 1.3: Voi e >0 chotniOc ,-1 0 xet phu'dngtrlnh bi~n philn (41) liV. +A'Av. =A'F tu'dng du'dng £v. +A'Av. -A'F hay Ia vC1i v, =v, - P(EV, +A'Av. =0 -A'F) /3 > 0 se ch<;msau - 12 - (42) V~y Vs =T jIB VOlloan tifT du0, \::IFE L2(J) cho tru'oc phuong trlnh (41) co nghi~m duy nhKt 2 vsELp(J) Giii su rnng phuong trlnh (45) Avo = Fo co nghi~m chinh xac Va san cho t6n t':li vE (vO,q»L~(J)= (It; Aq»Ll(/) L2 (I) thoa (46) \::Iq>EL~(J) Ditlh IV1.5: Giasu va thoa (45), (46) va !IF- Fo 1~1(/)< E khi do lIvE- Vo II~(J) < M i'1 F day Va - nghi~m ciia phuong mnh bie'n phan (41), cfing ill di~m b1lt ~? 1/2 2 1+ 111,111 . L(l) . dQngcua T, M = 2 [ ] 5. PIll/dill!vM,} sri: Ta tinh jIB bang phuong phap xa'p xi lien tie'p ,(111)-- 7' Is (0) Vs ,(111-1) IE , , 2 E 1'p (J) tHYY . - 13 - " m-- I,-,... 6 Chon . r- v;" L (6+36)2 1 62 i. (E thl ::: jJ (48) ~36)T 1';",.1)- (c +C36)2A'(Av~"-.) - F) Khi d6 ta co hai mc:nh M (I ') v~ 1.6) IIMnp,ht vai hai mt$nh d~ 1.2 va 1.3 d Inl)CI. MQI phau k~'l qua Clla lIJlle !Jay se ch(yc caug b6 trou!?,131 . Ill. BA.ITOA.NCAUCHY CHO PHUONG TR1NH POISSON TRONG NUA KHONGGIAN TR.t:N: Llld{.O!I.T1':' f)~t R;::: {(x,y,z): -00< x,y< J{3::: {(x,y,z): -00< x,y.u::: f OO,Z > a} trong Uz E C(R/) R; thoa (49) vdi dil ki~n Cauchy du<;1crho tnf(1c tren dla Iron ddn vj et1a m~t phang z==O u(x,y,a)::: uo(x,y) 11,('1",)',0):::U,(x,y) V(x,y) EQ (50) trong d6 f cho Iniac trong R; ; uo,u. cho tru'<'Jctrong Q ; IIz d~o ham rieng z. nla u theo II chlnh qui d v() rUng. nghia la r (i) l~d ,,+~+~)lI(x,y,z)l L (ii) I 1 z>o :::a (51) j T3n t~i hhg s6du'dng C sao cho vu(x,y,z)I: - Xem thêm -

Tài liệu liên quan