Tài liệu Chiều trong hình học fractal

0 Môc lôc Tran g Më ®Çu....................................................................... 1 Ch¬ng I. ChiÒu trong h×nh häc Fractal.......................3 1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ së..................................................3 1.2. §é ®o vµ chiÒu Hausdorff ........................................4 1.3. ChiÒu hép ..............................................................14 1.4. ChiÒu hép c¶i biªn ..................................................20 1.5. §é ®o gãi vµ chiÒu gãi ...........................................21 1.6. Mèi liªn hÖ gi÷a chiÒu Hausdorff, chiÒu hép, chiÒu hép c¶i biªn vµ chiÒu gãi .................................................................22 Ch¬ng II. Mét sè vÝ dô vÒ viÖc tÝnh chiÒu vµ øng dông cña chiÒu..........................................................25 2.1. Mét sè vÝ dô vÒ viÖc tÝnh chiÒu Hausdorff vµ chiÒu hép...............................................................................25 2.2. Mét sè øng dông cña chiÒu Hausdorff trong to¸n häc...39 KÕt luËn.................................................................... 43 Tµi liÖu tham kh¶o ................................................44 1 Lêi më ®Çu ChiÒu cña mét kh«ng gian hay mét tËp ®îc ®Þnh nghÜa theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, mçi c¸ch cã mét ý nghÜa vµ øng dông riªng. Tuy nhiªn, c¸c kh¸i niÖm vÒ chiÒu ®Òu cho kÕt qu¶ chiÒu lµ sè nguyªn, kh«ng ©m. ThÕ nhng vµo nh÷ng n¨m 1890, 1891 trong khi t×m kiÕm c¸c ®Æc trng bÊt biÕn cña c¸c ®èi tîng h×nh häc qua c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång ph«i vµ lý thuyÕt t«p«, Peano vµ Hilbert ®· t×m ra ®êng cong cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt lµ ®êng kh«ng tù c¾t, lÊp ®Çy mäi miÒn h×nh häc cña mÆt ph¼ng. H×nh häc Euclide xem nã lµ mét chiÒu, nhng nh vËy c¶m thÊy kh«ng tho¶ ®¸ng. Ngoµi ra, ®Çu thÕ kû XX, ngêi ta dÉn ra nhiÒu bµi to¸n mµ khi hiÓu chiÒu theo nghÜa th«ng thêng sÏ g©y c¶m gi¸c gß bã. ChÝnh v× thÕ cÇn ph¶i më réng kh¸i niÖm vÒ chiÒu. MÆt kh¸c, H×nh häc Euclide ®· tån t¹i rÊt l©u vµ cã nhiÒu øng dông trong to¸n häc vµ ®êi sèng. Tuy nhiªn, ®èi tîng nghiªn cøu cña nã lµ nh÷ng h×nh d¹ng lý tëng, nhng nh÷ng hiÖn tîng, sù vËt trong thÕ giíi thùc kh«ng tho¶ m·n tÝnh tr¬n tru, lý tëng mµ lµ nh÷ng ®èi tîng gå ghÒ, kú dÞ. V× thÕ, ngêi ta kÕt luËn H×nh häc Euclide lµ “kh« cøng” vµ “l¹nh lÏo”. §Ó gi¶i quyÕt hiÖn tîng nµy, víi sù hç trî cña m¸y tÝnh, khoa häc CHAOS vµ lý thuyÕt ngÉu nhiªn, vµo nh÷ng n¨m 70 cña thÕ kû XX, nhµ To¸n häc B. Mandelbrot ®· khëi 2 xíng ra mét híng to¸n häc míi mang tªn “H×nh häc Fractal”. Nh÷ng ®èi tîng ®îc xem lµ Fractal cã rÊt nhiÒu trong to¸n häc còng nh trong thùc tiÔn vµ viÖc nghiªn cøu chóng ®¹t rÊt nhiÒu øng dông trong hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc. §iÒu ®Æc biÖt lµ H×nh häc Fractal kh«ng dïng c¸c c«ng cô nghiªn cøu h×nh häc th«ng thêng ®Ó nghiªn cøu mµ c«ng cô nghiªn cøu nã lµ chiÒu. ChÝnh nhê sù nghiªn cøu vÒ chiÒu cña c¸c tËp Fractal ®· lµm s¸ng tá c¸c ®Æc ®iÓm, c¸c tÝnh chÊt cña chóng mµ nhê ®ã chóng ta ph¸t hiÖn ra nh÷ng øng dông phong phó cña H×nh häc Fractal ®èi víi hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc c¶ trong lý thuyÕt lÉn thùc tiÔn. V× thÕ, viÖc t×m hiÓu c¸c kh¸i niÖm vÒ chiÒu trong H×nh häc Fractal lµ vÊn ®Ò lý thó, míi mÎ vµ cã ý nghÜa. Do ®ã, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho kho¸ luËn tèt nghiÖp cña m×nh lµ: “ChiÒu trong h×nh häc Fractal”. Môc ®Ých cña kho¸ luËn nµy lµ nghiªn cøu c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ chiÒu trong H×nh häc Fractal nh chiÒu Hausdorff, chiÒu hép, chiÒu gãi...; lµm râ c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c c«ng thøc dïng ®Ó tÝnh chiÒu. Trªn c¬ së ®ã, chóng t«i ®i t×m c¸c vÝ dô minh häa cho c¸c kh¸i niÖm vÒ chiÒu vµ t×m mét sè øng dông cña chiÒu trong to¸n häc. Kho¸ luËn ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc Vinh díi sù híng dÉn cña c« gi¸o TS. Vò ThÞ Hång Thanh. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c« gi¸o - ngêi ®· ®Æt vÊn ®Ò vµ dÉn d¾t, gióp ®ì tËn t×nh, chu ®¸o ®Ó t¸c gi¶ hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. T¸c gi¶ còng xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh nhÊt ®Õn c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong khoa To¸n cïng tÊt c¶ ngêi th©n 3 vµ b¹n bÌ ®· gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong suèt thêi gian qua. Do ®iÒu kiÖn thêi gian vµ n¨ng lùc cßn h¹n chÕ nªn kho¸ luËn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, t¸c gi¶ rÊt mong ®îc quý thÇy, c« gi¸o vµ b¹n bÌ ®ãng gãp ý kiÕn. Vinh, ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 2010 T¸c gi¶ Mai ThÞ Hµ 4 CH¦¥NG 1. ChiÒu trong h×nh häc fractal Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc c¬ së vÒ ®é ®o vµ chiÒu Hausdorff; kh¸i niÖm chiÒu hép, chiÒu gãi; c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o Hausdorff vµ chiÒu. 1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ së 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho X   vµ Clµ líp c¸c tËp con cña X. Hµm  * : C � ®îc gäi lµ hµm tËp. Hµm tËp *: C � ®îc gäi lµ ®é ®o ngoµi trªn C (hay trªn X ) nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i)  * ( A)  0, A  X ;  * ( )  0 ;   i 1 i 1 * * (ii)  ( A)    ( Ai ) víi A  U Ai . (*) §iÒu kiÖn (*) ®îc gäi lµ  - díi céng tÝnh. 1.1.2. §Þnh nghÜa. Cho X   vµ A con cña X . Hµm tËp  : A lµ mét ®¹i sè c¸c tËp   � ®îc gäi lµ ®é ®o trªn A (hay trªn X ) nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i)  (A)  0, A  (ii) NÕu A;  () = 0;   An  n1  A vµ Ai  Aj   , i  j sao cho  U An  A n 1 th×     U An     ( An ) .  n 1  n 1 (**) §iÒu kiÖn (**) ®îc gäi lµ  - céng tÝnh. ` 5 1.1.3. §Þnh nghÜa. Cho D  �n , ¸nh x¹ S : D  D ®îc gäi lµ phÐp co trªn D nÕu tån t¹i c  [0, 1) sao cho S ( x )  S ( y )  c x  y , x, y  D . NÕu dÊu ®¼ng thøc x¶y ra th× ¸nh x¹ S : D  D ®îc gäi lµ phÐp ®ång d¹ng trªn D vµ c ®îc gäi lµ tû sè cña phÐp ®ång d¹ng. 1.1.4. §Þnh nghÜa. Mét hä h÷u h¹n phÐp co trªn D ®îc gäi lµ mét hÖ hµm lÆp trªn D. 1.1.5. §Þnh nghÜa. Cho mét tËp ®ãng D  �n vµ m ¸nh x¹ co Si : D  D; i  1,..., m . Mét tËp F  D ®îc gäi lµ tËp bÊt biÕn ®èi víi hÖ hµm lÆp  S1 ,..., S m  nÕu m F  U Si ( F ) . i 1 NÕu c¸c Si lµ c¸c ¸nh x¹ ®ång d¹ng th× tËp bÊt biÕn F ®îc gäi lµ tËp tù ®ång d¹ng. 1.1.6. §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng hÖ hµm lÆp  S1 ,..., S m  tháa m·n ®iÒu kiÖn tËp më nÕu tån t¹i tËp V më, kh«ng rçng, giíi néi sao cho m  V  Si (V ) U  i 1   S (V )  S (V )   , i  j. j  i 1.1.7. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö U ̹̹�n , U , khi ®ã U  sup  x  y : x, y  U  ®îc gäi lµ ®êng kÝnh cña tËp U ( x  y ®îc hiÓu lµ kho¶ng c¸ch th«ng thêng gi÷a x vµ y trªn �n ). 6 1.1.8. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö  U i  lµ mét hä ®Õm ®îc c¸c tËp con trong � . NÕu n F  U i th×  U i  U i 1 ®îc gäi lµ mét phñ cña F. NÕu 0  U i   víi mäi i th× khi ®ã  U i  ®îc gäi lµ mét  phñ cña F. 1.2. §é ®o vµ chiÒu Hausdorff Cho tËp F  �n vµ s  0, víi mçi  > 0 ta ®Þnh nghÜa Hs ( F )  inf  i1 U i s :{U i} l� - ph�F .  DÔ dµng nhËn thÊy r»ng nÕu 0 < 1 < 2 th× mäi 1 - phñ F còng lµ 2 - phñ F. Do ®ã tríc, hµm cña Hs ( F ) Hs ( F ) Hs ( F )  Hs ( F ) . Nh vËy, víi s  0 cho 1 2 t¨ng khi  gi¶m. DÉn ®Õn tån t¹i giíi h¹n khi   0+ (giíi h¹n nµy cã thÓ h÷u h¹n hay b»ng +). Do ®ã ta ®i ®Õn ®Þnh nghÜa sau. 1.2.1. §Þnh nghÜa. Víi F  �n vµ s  0,  > 0 ta ®Þnh nghÜa Hs ( F )  lim Hs ( F ) .  0  Hs ®îc x¸c ®Þnh nh Hs : P �   � tháa m·n ®iÒu 1.2.2. MÖnh ®Ò. Víi mçi s > 0 th× trªn lµ mét ®é ®o ngoµi trªn �n . Chøng minh. Ta sÏ chØ ra r»ng n kiÖn cña ®Þnh nghÜa ®é ®o ngoµi trong ®ã P �  n lµ líp c¸c tËp con cña �n . ThËt vËy, (i) Hs ( F )  0 , F  �n ; Hs ( )  0 (dÔ dµng kiÓm tra ®îc). 7 (ii) Gi¶ sö  Ei  lµ  - phñ cña F vµ  > 0. Víi mçi i  �, theo tÝnh chÊt cña infimum th× lu«n tån t¹i  U i, j  lµ  - phñ Ei sao cho Hs ( Ei )  2i  j 1 Ui, j s  . Khi ®ã  U i, j  i, j 1 lµ  - phñ F. Do ®ã  Hs( F )  i1 j 1 U i, j s  i1 Hs ( Ei )  2i   i1 Hs ( Ei )   .      Do  > 0 bÐ tïy ý nªn  Hs( F )  i1 Hs (E ) . Cho   0+ ta ®îc  i Hs( F )  i1 Hs (E ) .  i VËy Hs lµ ®é ®o ngoµi trªn �n . Hs - NhËn thÊy r»ng hä c¸c tËp ®o ®îc t¹o thµnh  - ®¹i sè. 1.2.3. §Þnh nghÜa. §é ®o c¶m sinh bëi ®é ®o ngoµi Hs trªn líp  - ®¹i sè nµy ®îc gäi lµ ®é ®o Hausdorff s - chiÒu trªn �n vµ ký hiÖu lµ Hs . 1.2.4. MÖnh ®Ò. Trong ®Þnh nghÜa ®é ®o Hausdorff s chiÒu ta cã thÓ thay  - phñ bÊt kú bëi  - phñ gåm c¸c tËp më (  - phñ gåm c¸c tËp ®ãng). NÕu F lµ tËp compact th× thay phñ bÊt kú b»ng phñ h÷u h¹n. Chøng minh.  Hs ( F )  inf    i=1  > 0, ®Æt  U i :{U i } l� -ph�m�c�a F  . Ta chøng minh ®îc. s Víi s s Hs ( F )  lim H  (F )  H (F )   0 víi mäi F lµ Hs - ®o 8 ThËt vËy, do mçi  - phñ më cña F còng lµ  - phñ cña F nªn líp c¸c  - phñ më hÑp h¬n. Do ®ã Hs ( F )  Hs (F ) . Cho   0+ ta ®îc Hs ( F )  Hs ( F ) . (1) Ngîc l¹i, gi¶ sö  > 0 lµ sè bÐ tïy ý cho tríc, tån t¹i  U i   s lµ  - phñ F mµ  U i  i 1 tháa m·n Vi Hs (F )   . Víi mçi i  �, lÊy tËp më Vi  Ui vµ Vi  (+1)Uib»ng c¸ch chän  U i   2 .  Vi   x  �n : d ( x,U i )   Khi ®ã x, y  Vi, lu«n tån t¹i a, b  U i sao cho d(x, y)  d(x, a) + d(a, b) + d(b, y)    U i  U i  U i  (  1) U i  (  1) . 2 2 VËy nÕu  U i  lµ  - phñ F th×  Vi  lµ ( + 1) - phñ më cña F. Ta cã Hs ( F )  i1 Vi s  i1 ( 1)s . U i s  ( 1)s .i1 U i s     1 s  Hs ( F )    .   Cho   0+ ta ®îc  H s ( F )  ( 1)s  Hs ( F )    . V×  > 0 bÐ tïy ý nªn Hs ( F )  Hs ( F ) . (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. Thay phñ bÊt kú bëi phñ c¸c tËp ®ãng ta chøng minh t¬ng tù trªn. Trong trêng hîp nÕu F lµ tËp compact th× mäi phñ më cña F ®Òu cã thÓ trÝch ®îc phñ con h÷u h¹n nªn dÔ 9 dµng chøng minh ®îc khi F compact th× cã thÓ thay phñ bÊt kú bëi phñ h÷u h¹n. 1.2.5. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o Hausdorff 1.2.5.1. MÖnh Hs ( F )   s Hs ( F ) ®Ò. NÕu F  �n  vµ > 0 th× víi mçi s  0 vµ  F    x : x  F  . Chøng minh. Víi  > 0 vµ s  0, nÕu  U i  lµ - phñ F th×  U i  lµ  - F. phñ Do ®ã Hs ( F )  i1 Ui s   s i1 Ui s .   (3) MÆt kh¸c, theo ®Þnh nghÜa infimum th× víi mäi  > 0 lu«n tån t¹i  U i  lµ  s  - phñ F mµ  U i  i 1 Hs (F )   . (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra Hs ( F )   s  Hs (F )    . Cho   0+ ta ®îc Do  > 0 bÐ tïy ý nªn Hs ( F )   s  Hs ( F )    . Hs ( F )   s Hs ( F ) . (*) ¸p dông kÕt qu¶ nµy cho tËp  F vµ sè H s1 s  1    . F          Hs ( F ) 1 ta cã  hay Hs ( F )  1s Hs ( F ). (**) Tõ (*) vµ (**) ta cã Hs ( F )   s Hs ( F ) . 1.2.5.2. MÖnh ®Ò. Cho F  �n , f : F  �n lµ ¸nh x¹ Hölder tháa m·n 10  f ( x)  f ( y)  c x  y , víi c >0,  > 0 lµ h»ng sè cho tríc. Khi ®ã, víi mçi s  0 ta cã Hs  f ( F )   cs Hs ( F ) .  Chøng minh. NÕu  U i  lµ  - phñ F th× f (U i )  c U i  c  . Khi  f (U i ) ®ã f (U i ) s    c Ui c  - lµ   s  c s  phñ cña f (F ) . Ta cã s U i . Suy ra Hcs  f ( F )   i1 f (Ui ) s  cs i1 U i s  c s Hs ( F ) .   s Cho   0+ ta ®îc Hs  f ( F )   c s Hs ( F ) . 1.2.5.3. HÖ qu¶. (i) NÕu  = 1 th× f lµ ¸nh x¹ Lipschitz, khi®ã Hs  f ( F )   c s Hs ( F ) . (ii) NÕu f : F  �n lµ phÐp ®¼ng cù tõ f ( x)  f ( y )  x  y víi mäi x, y  F th× F lªn f(F) nghÜa lµ Hs  f (F )   Hs ( F ) . Chøng minh. (i) Tõ MÖnh ®Ò 1.2.5.2 thay   1 ta ®îc (ii) V× f ( x)  f ( y)  x  y Hs  f (F )   c s Hs (F ) . s s s nªn theo (i) ta cã H  f ( F )   c H ( F ) . (*) MÆt kh¸c, v× f ®¼ng cù nªn tån t¹i f 1 vµ (*) cã thÓ viÕt F thay bëi f(F) ta ®îc Hs  f  f ( F )    Hs  f ( F )  . (**) s s Tõ (*) vµ (**) suy ra H  f ( F )   H ( F ) . 1 NhËn xÐt. Tõ mÖnh ®Ò trªn ta suy ra ®é ®o Hausdorff bÊt biÕn ®èi víi phÐp dêi h×nh. 1.2.6. ChiÒu Hausdorff 11 Trong h×nh häc Euclide, ta thêng gÆp c¸c ®èi tîng cã chiÒu nguyªn: b»ng 0 (®iÓm); b»ng 1 (®êng, ®o¹n th¼ng); b»ng 2 (mÆt ph¼ng); b»ng 3 (h×nh cÇu, khèi ®a diÖn),... Mét tÝnh chÊt phæ biÕn cña H×nh häc Fractal bªn c¹nh tÝnh tù ®ång d¹ng ®ã lµ cã sè chiÒu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn, ch¼ng h¹n lµ log2/log3, ®Õn nçi nãi ®Õn Fractal nhiÒu ngêi chØ nghÜ lµ tËp hîp cã sè chiÒu kh«ng nguyªn. 1.2.6.1. Bæ ®Ò. Gi¶ sö F  �n , 0 <  < 1 vµ 0  s  t , ta cã Ht ( F )   t s Hs (F ) . Chøng minh. Gi¶ sö  U i  lµ mét  - phñ F, khi ®ã Ui . Suy U ra i  1 , nªn víi t > s th×    t  Ui    t   Ui       s    víi mäi i. Do ®ã s  U i   t  s . U i . i 1 i 1 LÊy infimum hai vÕ ta ®îc Ht ( F )   t s Hs (F ) . NhËn xÐt. Tõ Bæ ®Ò 1.2.6.1, cho   0+ ta thÊy r»ng nÕu Hs ( F )   sao th× cho 0 Ht ( F )  0, t  s . Hs ( F )   th× V× vËy nÕu tån t¹i s  [0, ) tån t¹i sF tháa m·n 0  sF  inf  t  0: Ht ( F )  0  s   . t ThËt vËy, nÕu sF  inf  t  0: H ( F )  0  s th× tån t¹i s1 : sF Hs ( F )  0 tr¸i víi c¸ch x¸c ®Þnh sF.  inf  t  0 : Ht ( F )  0  s th× tån t¹i s2 sao cho sF < s2 < s > s1 > s mµ NÕu sF mµ Hs ( F ) =0. 2 1 12 V× s > s2 mµ Hs ( F )  0 Hs ( F )  0   2 nªn theo Bæ ®Ò 1.2.6.1 th× (v« lý). 1.2.6.2. MÖnh ®Ò. Víi mäi F  �n , s > 0 th× tån t¹i duy nhÊt mét gi¸ trÞ thÝch hîp sF sao cho (i) (ii) Hs ( F )  0 Hs ( F )   víi mäi s > sF. víi mäi s < sF (s > 0). s Chøng minh. (i) §Æt sF  inf  s  0: H ( F )    . NÕu s > sF th× tån t¹i s’ sao cho sF < s’ < s ®Ó Hs ' (F) < . Theo Bæ ®Ò 1.2.6.1 ta cã Hs ( F )   ss.Hs ( F ) . Hs ( F )  0 . s (ii) Ta chøng minh H ( F )   víi s < sF. s ThËt vËy, nÕu H ( F )   th× víi mäi s' tho¶ m·n s < s' < Cho   0+ ta ®îc sF, ta cã Hs' ( F )  0 Hs ( F )   víi 0  s  sF . (m©u thuÉn víi c¸ch ®Æt sF). VËy 1.2.7. §Þnh nghÜa. Gi¸ trÞ ®Æc biÖt sF mµ t¹i ®ã hµm (gi¸ trÞ) ®é ®o Hs ( F ) “nh¶y” tõ + vÒ 0 ®îc gäi lµ chiÒu Hausdorff cña F vµ ký hiÖu lµ dimHF. NhËn xÐt. Hs ( F )   nÕu s < dimHF; Hs ( F )  0 nÕu s > dimHF vµ s = dimHF th× Hs ( F ) cã thÓ b»ng 0 hoÆc  hoÆc 0  Hs ( F )   . s s Nh vËy dimHF  inf  s  0: H ( F )  0  sup  s  0: H ( F )    . 13 Víi mçi F vµ s  0 cho tríc mµ Hs ( F ) Hs ( F )   th× ®å thÞ cña hµm cã d¹ng sau: Hs (F ) sF s 1.2.7.1. §Þnh nghÜa. Mét tËp Borel F  �n tháa m·n 0  Hs ( F )   víi s = dimHF ®îc gäi lµ s - tËp. 1.2.8. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña chiÒu Hausdorff 1.2.8.1. MÖnh ®Ò. (i) NÕu E  F  �n th× dimHE ≤ dimHF (tÝnh ®¬n ®iÖu).  (ii) NÕu Fi  �n , i = 1, 2,... th× dimH U Fi  sup  dimH Fi  i 1 i � (tÝnh æn ®Þnh ®Õm ®îc). (iii) NÕu F  �n lµ tËp ®Õm ®îc th× dimHF = 0. (iv) dimH �n = n,  n �. (v) NÕu F   ; F lµ tËp më trong �n th× dimHF = n. (vi) NÕu F   ; F lµ ®a t¹p con tr¬n trong �n th× dimHF = n. Chøng minh. (i) V× E  F  �n nªn theo tÝnh chÊt ®¬n Hs ta cã Hs (E) ≤ Hs (F). Hs (F) = 0 th× Hs (E) = 0 nªn ®iÖu cña ®é ®o mµ Khi ®ã víi s > 0 {s : Hs (F ) = 0}  {s : Hs (E ) = 0} . 14 s s V× vËy dim H F = inf { s > 0 : H (F ) = 0}  inf {s > 0 : H (E ) = 0} = dim H E .   i 1  i 1   (ii) V× Fi  U Fi nªn theo (i) ta cã dimH Fi  dimH  U Fi , i .   sup  dim H Fi   dim H  U Fi  . Suy ra  i 1 1 i  (1) dim H Fi th× s  dim H Fi víi mäi i. DÉn Ngîc l¹i, gi¶ sö s  1sup  i  ®Õn Hs ( Fi )  0 víi mäi i. V× Hs lµ ®é ®o ngoµi nªn Hs  iU1 F   i1 Hs ( Fi )  0 .    i  Suy ra  s  dim H F  U Fi , víi s  sup  dim H Fi  . 1 i   i 1  dimH Fi  ta ®îc Cho s  1sup  i    sup  dim H Fi   dimH  U Fi  .  i 1 1 i   (2)  Tõ (1) vµ (2) ta cã dim H U Fi  sup  dim H Fi  . i 1 i �  (iii) Gi¶ sö F lµ ®Õm ®îc, tøc F  U  xi  . Theo (ii) ta cã i 1 dim H F  sup  dim H{xi } . 1 i  Ta chøng minh dimH  xi   0 . ThËt vËy, gi¶ sö  > 0, -phñ cña  xi  ®îc x¸c ®Þnh bëi     U 0    xi  ; xi   trong ®ã 0 <   . Khi ®ã 2 2  mäi   0 tuú ý. Cho   0 th× Hs   xi    0 Hs   xi    0 . Hs   xi     s víi Cho   0+ th×  dimH {xi }  0 . víi mäi s > 0. V× thÕ dimH F  1sup  i  15 (iv) Gäi C lµ h×nh hép cã c¹nh ®¬n vÞ. Ta chia mçi c¹nh ®¬n vÞ ra k phÇn b»ng nhau th× mçi phÇn cã ®é dµi lµ 1 kn . Khi ®ã ta cã kn h×nh hép, kÝ hiÖu  i  i1 . Mçi h×nh hép k nµy cã ®êng kÝnh lµ n n n 1  1  i     ...     . k k  k  Víi mçi  > 0 cho tríc, lu«n tån t¹i k ®ñ lín sao cho n  k  n (ch¼ng h¹n k      1 ). Khi ®ã c¸c h×nh hép ®îc chia ra sÏ   trë thµnh  - phñ H C)  H C nªn kn  kn n   U i     i 1  i 1 n  ( Suy ra Hn (C)   H  i   i1 i n  kn n n n  n  k .    n 2   .  k  n . Cho   0+ ta ®îc Hn (C)   . DÉn ®Õn n  dim H C, C. n MÆt kh¸c, theo tÝnh chÊt cña � ta cã �  U C i víi  n i 1 Ci lµ c¸c h×nh hép cã c¹nh ®¬n vÞ. Khi ®ã theo tÝnh chÊt æn ®Þnh ®Õm ®îc cña dimH ta cã dimH �n  sup  dim H C i . (1) 1 i  L¹i cã �n lµ tËp Borel nªn Hn (�n )  2n cn Ln (�n )   . 1 Suy ra n (2)  dimH �n . 16 Tõ (1) vµ (2) ta cã dimH �n = n. (v) Do F   , F  �n vµ dimH �n = n nªn theo tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña dimH ta cã dimHF  dimH �n dimHF  n. hay (1) L¹i do F   , F më nªn tån t¹i h×nh cÇu më B  F vµ dimHB  dimHF. Ta cã 0< Hn (�n )  2n cn1Ln (�n )   . DÉn ®Õn dimHB = n. Suy ra n  dimHF. (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã dimHF = n . (vi) Do F lµ ®a t¹p tr¬n trong �n nªn tån t¹i tËp më V  �n vµ vi ph«i  : F  V víi  lµ song Lipschitz. Theo tÝnh chÊt bÊt biÕn cña dimH qua phÐp song Lipschitz ta cã dim HF = dimHV = n (theo v). 1.2.8.2. MÖnh ®Ò. Cho F  �n vµ f: F  �n lµ ¸nh x¹ Hölder, nghÜa lµ  f ( x)  f ( y)  c x  y  x, y F  , víi c,  lµ c¸c h»ng sè lín h¬n 0 th× dim H f ( F )  1 dim H F .  s Chøng minh. V× dim H F  inf  s  0: H ( F )  0 nªn tån t¹i mét d·y  sn    s  0: Hs ( F )  0 sao cho sn  dimHF. Khi ®ã Theo MÖnh ®Ò 1.2.5.3 ta cã sn Hs ( F )  0 . H   f (F )   c  Hs ( F )  0 . sn t V× dimH f ( F )  inf  t  0: H  f ( F )   0 nªn dimH f ( F )  Cho n  ∞ ta ®îc n n sn  . 17 dim H f ( F )  1.2.9. C¸c ®Þnh nghÜa t¬ng 1 dim H F .  ®¬ng cña chiÒu Hausdorff 1.2.9.1. MÖnh ®Ò. ChiÒu trong ®Þnh nghÜa Hausdorff kh«ng thay ®æi nÕu trong ®Þnh nghÜa cña nã ta thay ®é ®o Hs bëi Bs ( F )  lim Bs ( F )  0  Bs ( F )  inf   s víi     Bi : Bi l� - ph�F b� i c� c h� nh c� u . i 1 Chøng minh. NÕu  U i  lµ  - phñ F bëi c¸c h×nh cÇu th×  U i  còng lµ  - phñ F . Do ®ã Hs  F   Bs  F  . Hs  F   Bs  F  . Cho   0 ta ®îc (1) Ngîc l¹i, nÕu  U i  lµ  - phñ F bÊt kú, ta chän Bi nh sau Bi  B  xi ,2 U i  víi xi  U i , i  1,2,... Khi ®ã Bi lµ h×nh cÇu tháa m·n    Bi  U i vµ Bi  4 U i  4 dÉn ®Õn  Bi    4 U i   4s  U i . LÊy i 1 infimum hai vÕ ta ®îc s i 1 B4s  F   4s Hs  F  . Bs  F   4s Hs  F  . s s i 1 Cho   0 ta cã (2) Hs  F   Bs  F   4s Hs  F  . s s Suy ra  s  0: H  F   0   s  0: H  F   0 . Tõ (1) vµ (2) ta cã s s Do ®ã inf  s  0: H  F   0  inf  s  0: B  F   . VËy dimH kh«ng ®æi. 1.2.9.2. MÖnh ®Ò. ChiÒu Hausdorff kh«ng thay ®æi nÕu trong ®Þnh nghÜa Ms  F   lim Ms  F  víi  0 cña nã ta thay ®é ®o Hs bëi 18 Ms  F   inf  i1 U i s :{U i } l�  ph�F b�ic�c khoaûng nh�ph�n .  Nh¾c l¹i r»ng mét kho¶ng nhÞ ph©n lµ mét kho¶ng cã k k d¹ng r 2 ;  r  1 2  víi k  0,1,2,... vµ r  0,1,...,2k 1 . Chøng minh. NÕu  U i  lµ  - phñ F bëi c¸c kho¶ng nhÞ ph©n th×  U i  lµ  - phñ F . Do ®ã Hs  F   Ms  F  . Cho   0 ta ®îc Hs  F   Ms  F  . (1) §Ó ý r»ng víi bÊt kú U  0,1 ®Òu ®îc chøa trong hai kho¶ng nhÞ ph©n liªn tiÕp, mçi kho¶ng cã ®êng kÝnh nhiÒu nhÊt lµ r 2 k  2 U . Ta cã    U i   2  2 U i  hay Ms  F   2s1 Hs  F  . (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã Hs  F   Ms  F   2s1 Hs  F  . Suy ra s i 1 s i 1  s  0: Hs  F   0   s  0: Ms  F   0 . Do ®ã inf  s  0: Hs  F   0  inf  s  0: Ms  F   0 . VËy dimH kh«ng thay ®æi. 1.3. ChiÒu hép ChiÒu hép lµ mét kh¸i niÖm ®îc dïng kh¸ réng r·i do tÝnh to¸n kh¸ dÔ. Nã ®îc ®Ò xíng vµo nh÷ng n¨m 30 cña thÕ kû XX víi rÊt nhiÒu tªn gäi kh¸c nhau nh: entropy Kolmogorov; chiÒu entropy; chiÒu capacity; chiÒu metric; chiÒu th«ng tin... 19 NhËn xÐt. Víi mçi F  �n , gäi N ( F ) lµ sè tèi thiÓu c¸c tËp ®êng kÝnh kh«ng vît qu¸  > 0 cho tríc vµ phñ F. Khi ®ã ta cã   U i  N ( F ) s trong ®ã  U i  lµ h÷u h¹n tËp  - phñ F . Gi¶ sö s i 1  N  F   s   A . Ta cã tån t¹i lim  0   N  F   s  A   LÊy logarit 2 vÕ ta ®îc    0 . log N  F   s log   log  A    . Tõ ®ã ta s rót ra log N  F   log  A    .  log  Cho   0 th×   0 ; log  A     log A cßn log     log A  log   0 vµ s  lim log N  F   log  nªn nÕu giíi h¹n nµy tån t¹i, ngîc l¹i ta xÐt giíi h¹n trªn vµ giíi h¹n díi. Ta ®i ®Õn ®Þnh nghÜa sau. 1.3.1. §Þnh nghÜa. Cho F  �n ; F   vµ F bÞ chÆn. Ký hiÖu N  F  lµ sè tèi thiÓu c¸c tËp cã ®êng kÝnh kh«ng vît qu¸  , phñ F. NÕu tån t¹i lim  0 log N  F   s  s  0  th× s ®îc gäi  log  lµ chiÒu hép cña F vµ ký hiÖu lµ s  dim B F . Ngêi ta còng ®Þnh nghÜa chiÒu hép trªn vµ chiÒu hép díi cña F lÇn lît bëi dim B F  lim  0 vµ log N  F   log  log N  F  . 0  log  dim B F  lim  1.3.2. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña chiÒu hép