Tài liệu Cấu trúc vành

Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh PHAÀN MÔÛ ÑAÀU –o— I. Lí do choïn ñeà taøi: Trong moân hoïc “Lí thuyeát vaønh vaø tröôøng” sinh vieân ñaõ ñöôïc hoïc moät soá tính chaát cuûa vaønh giao hoaùn, vaønh ñòa phöông, vaønh Euclide, vaønh Gauss ... . Tieáp ñoù, ôû moân “Ñaïi soá giao hoaùn” sinh vieân tieáp tuïc ñöôïc hoïc caùc loaïi vaønh nhö vaønh Artin, vaønh Noether. Nhö vaäy, lôùp caùc vaønh raát phong phuù. Ñeå tìm hieåu theâm tính phong phuù cuûa caùc loaïi vaønh toâi ñaõ choïn ñeà taøi “Caáu truùc vaønh” cho luaän vaên toát nghieäâp cuûa mình. II. Ñoái töôïng nghieân cöùu: Ñeà taøi “Caáu truùc vaønh” nghieân cöùu moät soá loaïi vaønh: vaønh ñôn, vaønh nguyeân thuûy, vaønh truø maät, radical Jacobson, radical nguyeân toá treân vaønh baát kì, vaønh nöûa ñôn, vaønh nöûa nguyeân toá … . Qua ñoù cho thaáy moät soá tính chaát vaø moái lieân heä giöõa chuùng. Noäi dung ñeà taøi ñöôïc chia thaønh hai phaàn: A. Cô sôû lí thuyeát (goàm naêm muïc). ÔÛ muïc moät laø kieán thöùc chuaån bò, trong phaàn naøy trình baøy sô löôïc caùc kieán thöùc lieân quan ñeán vaønh, module … ñeå laøm cô sôû cho caùc muïc sau. Caùc muïc coøn laïi neâu leân ñònh nghóa vaø nghieân cöùu moät soá tính chaát cuûa vaønh ñôn, vaønh nguyeân thuûy, radical Jacobson, vaønh nöûa ñôn …. B. Baøi taäp (goàm 20 baøi taäp). III. Muïc ñích nghieân cöùu: Nhaèm giôùi thieäu moät soá loaïi vaønh vaø moái lieân heä giöõa chuùng, qua ñoù cho thaáy tính phong phuù cuûa caùc loaïi vaønh. IV. Phöông phaùp nghieân cöùu: Ñeà taøi “Caáu truùc vaønh” ñöôïc thöïc hieän chuû yeáu baèng caùch dòch töø tieáng Anh quyeån “Algebra” cuûa Thomas W. Hungerford (chöông 9, töø trang 414 ñeán trang 450); beân caïnh coù söû duïng phöông phaùp phaân tích, toång hôïp moät soá kieán thöùc coù lieân quan. Maëc duø raát coá gaéng nhöng do haïn cheá veà thôøi gian vaø kieán thöùc neân ñeà taøi khoù traùnh khoûi nhöõng sai soùt. Kính mong nhaän ñöôïc nhöõng lôøi goùp yù cuûa quí thaày coâ vaø caùc baïn. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 1 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh LÔØI CAÛM ÔN –o— Ñeà taøi “Caáu truùc vaønh” ñöôïc thöïc hieän vaø hoaøn thaønh döôùi söï höôùng daãn taän tình cuûa thaày Nguyeãn Thanh Bình vaø söï coá gaéng, noå löïc cuûa baûn thaân. Em xin chaân thaønh gôûi lôøi caùm ôn ñeán thaày Nguyeãn Thanh Bình vaø caùc thaày coâ trong boä moân Toaùn, khoa Sö Phaïm, tröôøng Ñaïi Hoïc Caàn Thô ñaõ tích luõy cho em nhöõng kieán thöùc caàn thieát vaø taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi cho em trong luùc thöïc hieän vaø hoaøn thaønh ñeà taøi naøy. Xin caùm ôn caùc baïn sinh vieân lôùp Sö Phaïm Toaùn K25 ñaõ ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi. Moät laàn nöõa xin gôûi ñeán thaày Nguyeãn Thanh Bình vaø caùc thaày coâ trong boä moân Toaùn loøng bieát ôn saâu saéc. Caàn Thô, thaùng 5 naêm 2003 Sinh vieân thöïc hieän Cao Minh Quang. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 2 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh MUÏC LUÏC –o— Trang Phaàn môû ñaàu .................................................................................................1 Lôøi caùm ôn ....................................................................................................2 Muïc luïc .........................................................................................................3 Phaàn noäi dung ................................................................................................4 A. Cô sôû lí thuyeát ..........................................................................................4 §1. Kieán thöùc chuaån bò ...................................................................................4 §2. Vaønh ñôn vaø vaønh nguyeân thuûy ..............................................................15 §3. Radical Jacobson.....................................................................................24 §4. Vaønh nöûa ñôn..........................................................................................32 §5. Radical nguyeân toá – vaønh nguyeân toá vaø vaønh nöûa nguyeân toá..................41 B. Baøi taäp .....................................................................................................45 Phaàn keát luaän ...............................................................................................57 Taøi lieäu tham khaûo .......................................................................................58 GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 3 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh PHAÀN NOÄI DUNG A. CÔ SÔÛ LÍ THUYEÁT §1. KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ –o— 1.1. Ñònh nghóa: Vaønh laø taäp hôïp R cuøng vôùi hai pheùp toaùn hai ngoâi treân R goàm pheùp coäng (+) vaø pheùp nhaân (.) thoûa caùc ñieàu kieän sau: (i) (R, +) laø nhoùm Abel. (ii) Pheùp nhaân coù tính chaát keát hôïp, töùc laø: a(bc) = (ab)c vôùi moïi a, b ,c ∈ R. (iii) Pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng, töùc laø: a(b + c) = ab + bc (b + c)a = ba + ca vôùi moïi a, b, c ∈ R. Vaønh R ñöôïc goïi laø coù ñôn vò neáu pheùp nhaân cuûa noù coù ñôn vò, phaàn töû ñôn vò cuûa R kí hieäu laø 1R hay 1 hoaëc e. Vaønh R ñöôïc goïi laø theå neáu R coù ñôn vò 1R ≠ 0 vaø moïi phaàn töû khaùc khoâng cuûa noù ñeàu khaû nghòch. Töø ñoù suy ra theå khoâng coù ideal thaät söï. 1.2. Ñònh lí: Neáu f: R  → S laø ñoàng caáu vaønh vaø I laø ideal cuûa R chöùa trong Kerf thì toàn taïi duy nhaát ñoàng caáu vaønh f : R/I  → S sao cho f (a + I) = f(a) vôùi moïi a ∈ R. Im f = Imf vaø Ker f = Kerf/I. f laø ñaúng caáu khi vaø chæ khi f laø toaøn caáu vaø I = Kerf. Chöùng minh: Ñònh nghóa aùnh xaï f : R/I  → S a + I α f (a + I) = f(a) vôùi moïi a ∈ R. Ñònh nghóa naøy ñöôïc xaùc ñònh ñuùng ñaén. Thaät vaäy, neáu a + I = b + I thì a – b ∈ I ⊂ Kerf neân f(a – b) = 0 hay f(a) = f(b). Deã thaáy f laø ñoàng caáu vaønh thoûa f = f g vôùi g: R → R/I laø ñoàng GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 4 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh caáu vaønh. Giaû söû toàn taïi ñoàng caáu vaønh h: R  → R/I thoûa maõn f = hg, theá thì vôùi moïi a ∈ R, ta coù: f g(a) = hg(a) hay f [g(a)] = h[g(a)], suy ra f (a + I) = h(a + I). Vaäy f = h vaø f ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát. Töø ñònh nghóa aùnh xaï f ta suy ra Im f = Imf. Ta coù: Ker f = {a + I ∈ R/I | f (a + I) = 0} = {a + I ∈ R/I | f(a) = 0} = {a + I ∈ R/I | a ∈ Kerf } = Kerf/I. Ta chöùng minh f laø ñaúng caáu khi vaø chæ khi f laø toaøn caáu vaø I = Kerf. Giaû söû f laø ñaúng caáu. Khi ñoù f laø toaøn caáu vaø laø ñôn caáu. Vì Imf = Im f neân f laø toaøn caáu vaø Ker f = 0 neân Kerf/I = 0 = I, suy ra Kerf = I. Ngöôïc laïi, do Kerf = I neân Ker f = Kerf/I = 0 neân f laø ñôn caáu. Deã thaáy f laø toaøn caáu. Vaäy f laø ñaúng caáu. 1.3. Ñònh lí: Giaû söû I vaø J laø caùc ideal cuûa vaønh R sao cho I ⊂ J. Khi ñoù J/I laø ideal cuûa vaønh R/I. Chöùng minh: Ñònh nghóa aùnh xaï f: R/I → R/J a + I α f(a) = a + J vôùi moïi a ∈ R Ñònh nghóa naøy xaùc ñònh ñuùng ñaén. Thaät vaäy, giaû söû a + I = b + I thì a – b ∈ I ⊂ J, suy ra a + J = b + J. Deã daøng kieåm tra ñöôïc raèng f laø ñoàng caáu vaønh. Maët khaùc, ta coù Kerf = {a + I ∈ R/I | f(a + I) = 0} = {a + I ∈ R/I | a + J = J} = {a + I ∈ R/I | a ∈ J} = J/I. Vì Kerf laø ideal cuûa R/I neân J/I laø ideal cuûa R/I. 1.4. Ñònh nghóa: Ideal P cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø nguyeân toá neáu P ≠ R vaø vôùi moïi ideal A, B cuûa R sao cho AB ⊂ P thì A ⊂ P hoaëc B ⊂ P. 1.5. Ñònh lí: GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 5 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh (i) Trong vaønh R khaùc khoâng, coù ñôn vò luoân toàn taïi ít nhaát moät ideal toái ñaïi. (ii) Cho A laø ideal cuûa vaønh R khaùc khoâng coù ñôn vò, A khaùc R. Khi ñoù toàn taïi ideal toái ñaïi cuûa R chöùa A. Chöùng minh: (i) Goïi S laø taäp taát caû ideal cuûa R vaø khaùc R. Ta coù S ≠ Þ vì (0) ∈ S. Xeùt (S, ⊆ ). Goïi (Ai)i∈I laø daây xích trong S. Ñaët A = Υ A i , ta coù A laø ideal cuûa R vaø i∈I khaùc R. Thaät vaäy, goïi x, y ∈ A thì toàn taïi i, j ∈ I sao cho x ∈ Ai vaø y ∈ Aj. Do (Ai)i∈I laø daây xích neân ta coù theå giaû söû x, y ∈ Ai. Khi ñoù x – y ∈ Ai vaø ax, xa ∈ Ai vôùi moïi a ∈ R, suy ra x – y ∈ A vaø ax, xa ∈ A vôùi moïi a ∈ R, suy ra A laø ideal cuûa R. Neáu A = R thì 1 ∈ A, suy ra toàn taïi i ∈ I sao cho 1 ∈ Ai, suy ra Ai = R (voâ lí). Vaäy A ≠ R, do ñoù A ∈ S. Theo boå ñeà Zorn – Kuratowshi thì trong taäp S toàn taïi phaàn töû toái ñaïi. Goïi M laø phaàn töû toái ñaïi trong S. Neáu M khoâng phaûi laø phaàn töû toái ñaïi cuûa R thì toàn taïi ideal P naøo ñoù cuûa R sao cho M ⊂ P ⊂ R vaø M ≠ P ≠ R, suy ra P ∈ S (voâ lí) vì M toái ñaïi. Vaäy M laø ideal toái ñaïi cuûa R. (ii) Goïi S laø taäp taát caû caùc ideal cuûa R chöùa A vaø khaùc R. Baèng phöông phaùp chöùng minh töông töï nhö treân thì trong (S, ⊆ ) toàn taïi phaàn töû toái ñaïi M vaø M chính laø ideal toái ñaïi cuûa R chöùa A. 1.6. Ñònh lí: Cho A1, A2,…, An laø caùc ideal cuûa vaønh R thoûa R2 + Ai = R vôùi moïi i = 1..n vaø Ai + Aj = R vôùi moïi i ≠ j; i, j = 1..n. Neáu b1, b2, … , bn ∈ R thì toàn taïi b ∈ R sao cho b ≡ bi (mod Ai) (i = 1..n). Chöùng minh: Vì A1 + A2 = R vaø A1 + A3 = R neân R2 = (A1 + A2)(A1 + A3) = A12 + A1A3 +A2A1 + A2A3 ⊂ A1 + A2A3 ⊂ A1 + A2 ∩ A3. Vì R = A1 + R2 neân A1 + R2 ⊂ A1 +(A1 + A2 ∩ A3) = A1 + A2 ∩ A3 ⊂ R suy ra R = A1 + A2 ∩ A3. Giaû söû R = A1 + A2 ∩ A3 ∩ …. ∩ Ak-1, khi ñoù: R2 = (A1 + A2 ∩ A3 ∩ …. ∩ Ak-1)(A1 + Ak) ⊂ A1 + A2 ∩ A3 ∩ …. ∩ Ak, suy ra R = R2 + A1 ⊂ A1 + A2 ∩ A3 ∩ …. ∩ Ak ⊂ R hay R = A1 + A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 6 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Vaäy R = A1 + Ι i ≠1 Caáu truùc vaønh A i . Töông töï, ta coù R = Ak + moïi k = 1..n, toàn taïi ak ∈ Ak, rk ∈ Ι i≠k Ι i≠k A i , k = 1..n. Do ñoù vôùi A i sao cho bk = ak + rk vaø rk ≡ bk (mod Ak) , rk ≡ 0 (mod Ai). Ñaët b = r1 + r2 + …+ rn. Khi ñoù b ≡ bi (mod Ai) vôùi moïi i = 1..n. 1.7. Heä quaû: Neáu A1, A2, … , An laø caùc ideal cuûa vaønh R thì toàn taïi ñôn caáu vaønh φ : R/(A1 ∩ … ∩ An)  → R/A1x R/A2x…xR/An. Neáu R2 + Ai = R vôùi moïi i = 1..n vaø Ai + Aj = R vôùi moïi i ≠ j; i, j =1..n thì φ laø ñaúng caáu. 1.8. Ñònh lí: Cho {Ri | i ∈ I} laø hoï khaùc roãng cuûa caùc vaønh vaø cuûa caùc nhoùm coäng Ri. Khi ñoù: (i) ∏ R i laø tích tröïc tieáp i∈ I ∏ R i laø vaønh vôùi pheùp (.) ñöôïc ñònh nghóa bôûi {ai}i ∈ I{bi}i ∈ I = {aibi}i ∈ I i∈ I (ii) Neáu Ri coù ñôn vò thì ∏ R i coù ñôn vò. i∈ I (iii) Vôùi k ∈ I pheùp chieáu chính taéc π k: ∏ Ri i∈ I  → Rk {ai}i ∈ I α ak laø toaøn caáu vaønh. (iv) Vôùi k ∈ I pheùp nhuùngï chính taéc ik: Rk  → ak α ∏Ri i∈ I {ai}i ∈ I laø ñôn caáu vaønh. 1.9. Boå ñeà: Cho S laø vaønh cuûa caùc ma traän vuoâng caáp n treân theå D. Khi ñoù S khoâng coù ideal thaät söï. Chöùng minh: Ñaët S = MatnD. Goïi I laø moät ideal khaùc khoâng cuûa S. Giaû söû A = [aij] khaùc khoâng, A ∈ I vaø ars ≠ 0. Kí hieäu Aij(x) laø ma traän coù thaønh phaàn ij baèng x, caùc thaønh phaàn coøn laïi baèng 0. Vôùi moãi soá thöïc b, toàn taïi caùc soá thöïc x, y GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 7 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh sao cho yarsx = b, suy ra Akr(y)AAse(x) = Ake(b) ∈ I vôùi 1 ≤ k, e ≤ n. Vì moãi ma traän cuûa MatnD laø toång cuûa n2 ma traän daïng Ake(b) neân thuoäc I, do ñoù I = MatnD = S. Vaäy S khoâng coù ideal thaät söï. 1.10. Ñònh lí ñeä qui: Cho taäp hôïp S, a ∈ S, vôùi moãi n ∈ N, fn : S  → S laø moät haøm soá. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát haøm soá ϕ : N  → S thoûa ϕ (0) = a vaø ϕ (n + 1) = fn( ϕ (n)) vôùi moïi n ∈ N. Chöùng minh: Goïi C laø taäp hôïp caùc taäp con Y cuûa NxS sao cho neáu (0, a) ∈ Y vaø (n, x) ∈ Y thì (n + 1, fn(x)) ∈ Y vôùi moïi n ∈ N. Khi ñoù C ≠ ∅ vì NxS ∈ C. Ñaët R = Ι Y thì R ∈ C. Goïi M laø taäp con cuûa N chöùa n ∈ N maø vôùi moãi n, toàn taïi Y∈ C duy nhaát moät phaàn töû xn ∈ S sao cho (n, xn) ∈ R. Ta chöùng minh M = N baèng phöông phaùp qui naïp. Neáu 0 ∉ M thì toàn taïi (0, b) ∈ R vôùi b ≠ a vaø R\{(0, b)} ⊂ NxS trong C. Suy ra R = Ι Y ⊂ R\{(0, b)} (voâ lí). Vaäy 0 ∈ M. Giaû söû n ∈ M, töùc laø (n, xn) Y∈ C ∈ R vôùi xn laø duy nhaát thuoäc S. Khi ñoù (n + 1, fn(xn)) ∈ R. Neáu (n + 1, c) ∈ R vôùi c ≠ fn(xn) thì R\{(n +1, c)} ∈ S (voâ lí). Vì vaäy xn+1 = fn(xn) laø phaàn töû duy nhaát thoûa (n + 1, xn+1) ∈ R. Do ñoù N = M. Töø ñaây ta coù theå ñònh nghóa haøm soá ϕ : N  → S cho bôûi n α ϕ (n) = xn. Vì (0, a) ∈ R neân ta coù ϕ (0) = 0. Vôùi moïi n ∈ N, ta coù (n,xn) = (n, ϕ (n)) ∈ R, vì vaäy (n +1, fn( ϕ (n))) ∈ R vì R ∈ C. Nhöng (n + 1, x n+1) ∈ R vaø xn+1 laø duy nhaát neân ϕ (n + 1) = xn+1 = fn ( ϕ (n)). 1.11. Ñònh nghóa: Cho R laø vaønh. Nhoùm Abel (M, +) ñöôïc goïi laø R - module (traùi) neáu toàn taïi pheùp toaùn ngoaøi: RxM  → M (r,m) α rm thoûa maõn caùc tính chaát sau: (i) (a + b)m = am + bm. (ii) a(m1 + m2) = am1 + am2. (iii) (ab)m = a(bm). Vôùi moïi a, b ∈ R; m, m1, m2 ∈ M. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 8 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh Neáu R coù ñôn vò 1R vaø 1Ra = a vôùi moïi a ∈ M thì M ñöôïc goïi laø R – module unita. Neáu R laø theå thì R – module unita ñöôïc goïi laø khoâng gian vector (traùi). R – module phaûi ñöôïc ñònh nghóa töông töï. Trong ñeà taøi naøy, phaàn lôùn ta xeùt treân caùc R – module traùi. 1.12. Boå ñeà: Cho R vaø S laø vaønh vaø ϕ: R  → S laø ñoàng caáu vaønh. Khi ñoù moïi S – module A coù theå ñöôïc taïo bôûi moät R – module vôùi pheùp toaùn rx = ϕ(r)x (x ∈ A). 1.13. Ñònh lí: Cho vaønh R vaø {Ai | i ∈ I} laø hoï caùc module con cuûa R - module A thoûa: (i) A laø toång cuûa hoï {Ai | i ∈ I}. (ii) Vôùi moïi k ∈ I, Ak ∩ Ak* = 0, trong ñoù Ak* laø toång cuûa hoï {Ai | i ≠ k}. Khi ñoù A ≅ ∑ A i , trong ñoù ∑ A i laø toång tröïc tieáp (ngoaøi) cuûa hoï caùc R i ∈I – module {Ai | i ∈ I}. i ∈I 1.14. Ñònh nghóa: fn n +1 Cho daõy ñoàng caáu R – module …  → An-1 → An f → An+1  → … . Ta noùi naèng daõy treân laø khôùp taïi An (nöûa khôùp taïi An) neáu Imfn = Kerfn+1 (Imfn ⊂ Kerfn+1 ). An ñöôïc goïi laø maét xích thöù n (n ∈ N*). Daõy treân ñöôïc goïi laø khôùp (nöûa khôùp) neáu noù khôùp (nöûa khôùp) taïi moãi maét xích, tröø maét xích ñaàu vaø cuoái (neáu coù). Chuù yù: Daõy ñaõ cho khôùp taïi An khi vaø chæ khi fn+1fn = 0 vaø Kerfn+1 ⊂ Imfn. Daõy ñaõ cho nöûa khôùp taïi An khi vaø chæ khi fn+1fn = 0. f Daõy 0  B laø khôùp khi vaø chæ khi f laø ñôn caáu. → A  → g Daõy B  C  → → 0 laø khôùp khi vaø chæ khi g laø toaøn caáu. f g * Daõy 0  B  C  → A  → → → 0 ñöôïc goïi laø daõy khôùp ngaén. Neáu Imf laø haïng töû tröïc tieáp cuûa B thì daõy khôùp naøy goïi laø daõy khôùp bò cheû. 1.15. Boå ñeà naêm ngaén: Cho vaønh R vaø bieåu ñoà giao hoaùn cuûa caùc R – module vaø R – ñoàng caáu sau: GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 9 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh g 0  → A → B → C  → 0 f α β γ f' g' 0  B’ → C’  → A’  → → 0 trong ñoù caùc doøng laø khôùp. Khi ñoù: (i) Neáu α , γ laø ñôn caáu thì β laø ñôn caáu. (ii) Neáu α , γ laø toaøn caáu thì β laø toaøn caáu. (iii) Neáu α , γ laø ñaúng caáu thì β laø ñaúng caáu. Chöùng minh: (i) Laáy b ∈ B, giaû söû β (b) = 0. Ta coù γ g(b) = g’ β (b) = g’(0) = 0. Suy ra g(b) = 0 vì γ laø ñôn caáu. Do doøng treân khôùp taïi B neân b ∈ Kerg = Imf, vì vaäy b = f(a) vôùi a ∈ A. Maët khaùc f’ α (a) = β f(a) = β (b) = 0. Do doøng döôùi khôùp taïi A’ neân f’ laø ñôn caáu, do ñoù α (a) = 0. Vì α laø ñôn caáu neân a = 0, suy ra b = f(a) = f(0) = 0. Vaäy β laø ñôn caáu. (ii) Laáy b’ ∈ B’,khi ñoù g’(b’) ∈ C’. Vì γ laø toaøn caáu neân g’(b’) = γ (c) vôùi c ∈ C . Vì doøng treân khôùp taïi C neân g laø toaøn caáu, do ñoù c = g(b) vôùi b ∈ B. Ta coù g’ β (b) = γ g(b) = γ (c) = g’(b’), suy ra g’[ β (b) - b’] = 0 hay β (b) - b’ ∈ Kerg’ = Imf’, do ñoù f’(a’) = β (b) – b’vôùi a’ ∈ A’. Vì α laø toaøn caáu neân a’ = α (a) vôùi a ∈ A. Xeùt b – f(a) ∈ B thì β [b – f(a)] = β (b) - β f(a). Do bieåu ñoà giao hoaùn neân β f(a) = f’ α (a) = f’(a’) = β (b) – b’, vì vaäy β [b – f(a)] = β (b) - β f(a) = β (b) – ( β (b) – b’) = b’. Do ñoù β laø toaøn caáu. (iii) Suy ra töø (i) vaø (ii). 1.16 Ñònh lí (ñaëc tröng cuûa daõy khôùp bò cheû): f g Cho daõy khôùp ngaén caùc R – module 0  B  C  → A  → → → 0, khi ñoù caùc khaúng ñònh sau laø töông ñöông: (i) Daõy khôùp bò cheû ra. (ii) Toàn taïi moät R – ñoàng caáu h: B  → A sao cho hf = 1A. (iii) Toàn taïi moät R – ñoàng caáu i: C  → B sao cho gi = 1C. Khi caùc ñieàu kieän treân thoûa thì B = A ⊕ C. 1.17. Ñònh nghóa: GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 10 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh Module P treân vaønh R ñöôïc goïi laø xaï aûnh neáu cho baát kì bieåu ñoà cuûa caùc ñoàng caáu R – module P f g A  B  → → 0 vôùi doøng döôùi laø khôùp (g laø toaøn caáu) thì toàn taïi moät ñoàng caáu R – module h: P  → A sao cho bieåu ñoà P h f g A B  → → 0 laø giao hoaùn (töùc laø gh = f). Module J treân vaønh R ñöôïc goïi laø noäi xaï neáu cho baát kì bieåu ñoà cuûa caùc ñoàng caáu R – module g 0  B → A  → f J vôùi doøng treân laø khôùp (g laø ñôn caáu) thì toàn taïi moät ñoàng caáu R – module h: B  → J sao cho bieåu ñoà g 0 B → A  → f h J laø giao hoaùn (töùc laø hg = f). 1.18. Ñònh lí: Cho vaønh R. Caùc ñieàu kieän sau treân R – module P laø töông töông: (i) P laø xaï aûnh. f g (ii) Moïi daõy khôùp ngaén 0  B  P  → A  → → → 0 bò cheû vaø B ≅ A ⊕ C. (iii) Toàn taïi module töï do F vaø moät R – module K sao cho F ≅ K ⊕ P. 1.19. Ñònh lí: Cho vaønh R. Caùc ñieàu kieän sau treân R – module J laø töông töông: (i) J laø noäi xaï. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 11 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh f g (ii) Moïi daõy khôùp ngaén 0  B  C  → J  → → → 0 bò cheû vaø B ≅ J ⊕ C. (iii) J laø toång tröïc tieáp cuûa baát kì R - module con B naøo ñoù. 1.20. Ñònh lí: Moãi khoâng gian vector treân theå D coù moät cô sôû vaø moïi taäp con ñoäc laäp tuyeán tính cuûa V ñöôïc chöùa trong cô sôû cuûa V. 1.21. Ñònh lí: Cho vaønh R coù ñôn vò vaø E laø R - module traùi töï do coù cô sôû höõu haïn n phaàn töû. Khi ñoù toàn taïi ñaúng caáu vaønh HomR(E,E) ≅ Matn(Rop), trong ñoù Rop laø vaønh ñoái cuûa vaønh R. Trong phaàn sau, ta aùp duïng ñònh lí naøy cho khoâng gian vector E n chieàu treân theå R, trong tröôøng hôïp ñoù Rop cuõng laø theå. 1.22. Ñònh nghóa: Module A ñöôïc goïi laø thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng treân caùc module con neáu moïi daây xích A1 ⊂ A2 ⊂ A3 … cuûa caùc module con cuûa A, toàn taïi n nguyeân döông sao cho Ai = An vôùi moïi i ≥ n. Module B ñöôïc goïi laø thoûa maõn ñieàu kieän daây xích giaûm treân caùc module con neáu moïi daây xích B1 ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃ … cuûa caùc module con cuûa B, toàn taïi m nguyeân döông sao cho Bi = Bm vôùi moïi i ≥ m. 1.23. Ñònh nghóa: Vaønh R laø Noether traùi (phaûi) neáu R thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng treân caùc ideal traùi (phaûi). Vaønh R laø Noether neáu R laø Noether traùi vaø phaûi. Vaønh R laø Artin traùi (phaûi) neáu R thoûa maõn ñieàu kieän daây xích giaûm treân caùc ideal traùi (phaûi). Vaønh R laø Artin neáu R laø Artin traùi vaø phaûi. 1.24. Ñònh nghóa: Module A ñöôïc goïi laø thoûa maõn ñieàu kieän toái ñaïi (toái tieåu) treân caùc module con neáu moïi taäp con khaùc roãng cuûa caùc module con cuûa A chöùa moät phaàn töû toái ñaïi (toái tieåu) (theo quan heä bao haøm cuûa lí thuyeát taäp hôïp). 1.25. Ñònh lí: Module A thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng (giaûm) treân caùc module con khi vaø chæ khi A thoûa maõn ñieàu kieän toái ñaïi (toái tieåu) treân caùc module con. Chöùng minh: GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 12 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh Giaû söû A thoûa maõn ñieàu kieän toái tieåu treân caùc module con vaø A1 ⊃ A2 ⊃… ⊃ An laø daây xích caùc module con. Khi ñoù taäp hôïp {Ai | i ≥ 1} coù phaàn töû toái tieåu laø An. Do ñoù vôùi moïi i ≥ n, ta coù An ⊃ Ai (suy ra töø giaû thieát) vaø An ⊂ Ai (do An toái tieåu), vì vaäy Ai = An vôùi moïi i ≥ n. Vaäy A thoûa maõn ñieàu kieän daây xích giaûm. Ngöôïc laïi, giaû söû A thoûa maõn ñieàu kieän daây xích giaûm vaø S laø taäp hôïp khaùc roãng cuûa caùc module con cuûa A. Khi ñoù toàn taïi Bo ∈ S. Neáu S khoâng coù phaàn töû toái tieåu thì vôùi moãi module con B naèm trong S, toàn taïi ít nhaát moät module con B’ trong S sao cho B ⊃ B’ vaø B ≠ B’. Vôùi moãi B trong S, choïn B’ nhö treân, khi ñoù ta ñònh nghóa aùnh xaï f: S  → S cho bôûi B α B’. Theo ñònh lí ñeä qui 1.10, toàn taïi haøm soá ϕ: N  → S sao cho ϕ(0) = Bo vaø ϕ(n +1) = f(ϕ(n)) = ϕ(n)’. Vì vaäy neáu Bn ∈ S, kí hieäu laø ϕ(n), thì toàn taïi daõy Bo, B1, … sao cho Bo ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ … vaø Bo ≠ B1 ≠ B2 ≠ …. Ñieàu naøy traùi vôùi ñieàu kieän daây xích giaûm. Do ñoù S phaûi coù phaàn töû toái tieåu, suy ra A thoûa maõn ñieàu kieän toái tieåu. Phaàn chöùng minh cho daây xích taêng vaø ñieàu kieän toái ñaïi töông töï. 1.26. Ñònh lí: f g Cho 0  B  C  → A  → → → 0 laø daõy khôùp ngaén caùc module. Khi ñoù B thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng (giaûm) treân caùc module con khi vaø chæ khi A vaø C cuõng thoûa maõn ñieàu kieän ñoù. Chöùng minh: Ta chæ chöùng minh cho ñieàu kieän daây xích taêng, ñieàu kieän daây xích giaûm chöùng minh töông töï. Neáu B thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng thì f(A) cuõng thoûa maõn ñieàu kieän ñoù, do f laø ñôn caáu neân A ñaúng caáu vôùi f(A), vì vaäy A thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng. Neáu C1 ⊂ C2 ⊂ C3 … laø daây xích cuûa caùc module con cuûa C thì g-1( C1) ⊂ g-1 (C2) ⊂ g-1( C3) ⊂ … laø daây xích caùc module con cuûa B. Do ñoù toàn taïi n nguyeân döông sao cho g-1(Ci) = g-1(Cn) vôùi moïi i ≥ n. Vì g laø toaøn caáu neân Ci = Cn vôùi moïi i ≥ n. Vaäy C thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng. Ngöôïc laïi, giaû söû A vaø C thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng vaø B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ... laø daây xích cuûa caùc module con cuûa B. Vôùi moãi i, ñaët Ai = f-1(f(A) ∩ Bi vaø Ci = g(Bi). Goïi fi = fAi vaø gi = gBi. Deã thaáy vôùi moïi i, daõy 0  → Ai fi i Bi → Ci  → → 0 laø khôùp vaø A1 ⊂ A2 ⊂ A3 … , C1 ⊂ C2 ⊂ C3 … . Töø g giaû thieát, suy ra toàn taïi n nguyeân döông sao cho Ai = An vaø Ci = Cn vôùi moïi i ≥ n. Vôùi moïi i ≥ n, toàn taïi bieåu ñoà sau giao hoaùn vôùi doøng laø khôùp: GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 13 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh fn n 0  Bn  → Cn  → 0 → An → g α βi γ fi i Ci  0  Bi → → 0 → Ai → g trong ñoù α vaø γ laø aùnh xaï ñoàng nhaát, β i laø aùnh xaï bao haøm, töø boå ñeà naêm ngaén 1.15 suy ra β i laø aùnh xaï ñoàng nhaát, do ñoù B thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng. 1.27. Heä quaû: Neáu A laø module con cuûa module B thì B thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng (giaûm) khi vaø chæ khi A vaø B/A thoûa maõn ñieàu kieän ñoù. 1.28. Heä quaû: Neáu A1, … , An laø caùc module thì toång tröïc tieáp A1 ⊕ A2 ⊕ … ⊕ An thoûa maõn ñieàu kieän daây xích taêng (giaûm) treân caùc module con khi vaø chæ khi moãi Ai (i = 1..n) thoûa maõn ñieàu kieän ñoù. 1.29. Ñònh nghóa: Chuoãi bình thöôøng cuûa module A laø daây xích cuûa caùc module con: A = Ao ⊃ A1 ⊃ … ⊃ An. Nhaân töû cuûa chuoãi laø caùc module thöông Ai/Ai+1 (i = 0..(n – 1)). Hai chuoãi bình thöôøng laø töông ñöông neáu coù söï töông öùng moät – moät giöõa caùc nhaân töû khoâng taàm thöôøng maø caùc nhaân töû töông öùng ñoù ñaúng caáu module vôùi nhau. Chuoãi hôïp thaønh cuûa A laø chuoãi bình thöôøng A = Ao ⊃ A1 ⊃ … ⊃ An maø moãi nhaân töû Ak/Ak+1 (k = 0 .. (n – 1)) laø caùc module khaùc khoâng vaø khoâng coù module con thaät söï. 1.30. Ñònh lí Jordan – Holder. Baát kì hai chuoãi hôïp thaønh naøo cuûa module A cuõng töông ñöông. 1.31. Ñònh lí: Module khaùc khoâng A coù chuoãi hôïp thaønh khi vaø chæ khi A thoûa maõn caû hai ñieàu kieän daây xích taêng vaø daây xích giaûm treân caùc module con. 1.32. Heä quaû: Neáu D laø theå thì vaønh MatnD cuûa caùc ma traän vuoâng caáp n treân D vöøa laø vaønh Artin vaø vöøa laø vaønh Noether. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 14 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh §2. VAØNH ÑÔN VAØ VAØNH NGUYEÂN THUÛY –o— 2.1. Ñònh nghóa: Module (traùi) A treân vaønh R laø ñôn (baát khaû qui) neáu thoûa RA ≠ 0 vaø A khoâng coù module con thaät söï. Vaønh R laø ñôn neáu R2 ≠ 0 vaø R khoâng coù ideal thaät söï. Chuù yù: (i) Module (vaønh) ñôn thì khaùc khoâng. (ii) Moãi module A treân vaønh R coù ñôn vò laø unita. Module unita A treân vaønh R coù ñôn vò thì RA ≠ 0, suy ra A ñôn khi vaø chæ khi A khoâng coù module con thaät söï. (iii) Moãi module ñôn A laø cyclic, töùc laø A = Ra vôùi a laø phaàn töû khaùc khoâng thuoäc A. Thaät vaäy, vì A ñôn neân Ra (0 ≠ a ∈ A) vaø B = {c ∈ A | Rc = 0} laø caùc module con cuûa A chæ coù theå baèng 0 hoaëc A. Vì RA ≠ 0 (do A ñôn ) neân B ≠ A, suy ra B = 0. Vaäy A = Ra. Tuy nhieân moät module cyclic thì chöa chaéc ñôn, chaúng haïn Z – module cyclic Z6. Ví duï: (i) Moãi theå D laø vaønh ñôn (vì noù khoâng coù ideal thaät söï) vaø laø D – module ñôn. (ii) Cho D laø theå vaø R = MatnD (n > 1). Vôùi moïi k ∈ [1, n], thì Ik = {(aij) ∈ R | aij = 0, j ≠ k} laø R – module traùi ñôn (heä quaû 1.32). MatnD khoâng laø R module traùi ñôn nhöng vaønh MatnD laø vaønh ñôn. Do ñoù vaønh caùc töï ñoàng caáu cuûa khoâng gian höõu haïn chieàu treân theå laø vaønh ñôn (ñònh lí 1.21). (iii) Ideal traùi I cuûa vaønh R laø toái tieåu neáu I ≠ 0 vaø vôùi moïi ideal traùi J sao cho 0 ⊂ J ⊂ I thì J = 0 hoaëc J = I. Ideal traùi I cuûa vaønh R thoûa RI ≠ 0 laø R – module traùi ñôn khi vaø chæ khi I laø ideal toái tieåu. 2.2. Ñònh nghóa: Ideal traùi I cuûa vaønh R laø chính qui neáu toàn taïi e ∈ R sao cho r – re ∈ I vôùi moïi r ∈ R. Ideal phaûi I cuûa vaønh R laø chính qui neáu toàn taïi e ∈ R sao cho GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 15 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh r – er ∈ R vôùi moïi r ∈ R. Chuù yù: Moãi ideal traùi cuûa vaønh R coù ñôn vò laø chính qui (vôùi e = 1R) 2.3. Ñònh lí: Module traùi A treân vaønh R laø ñôn khi vaø chæ khi A ñaúng caáu vôùi R/I, trong ñoù I laø ideal traùi toái ñaïi chính qui. Chöùng minh: Giaû söû module traùi A ñôn, töùc laø A = Ra (vôùi 0 ≠ a ∈ A). Xeùt aùnh xaï φ : R  → A, xaùc ñònh bôûi r α ra. Deã thaáy φ laø toaøn caáu, ñaët Ker φ = I laø ideal (cuõng laø module con) cuûa R, theo ñònh lí 1.2 ta ñöôïc R/I ≅ A = Ra. Vì A = Ra neân a = ea vôùi e ∈ R, do ñoù ra = rea vôùi r ∈ R hay (r re)a = 0. Vaäy r – re ∈ Ker φ = I, suy ra I chính qui. Moãi module con cuûa R/I coù daïng J/I, vôùi J laø ideal traùi chöùa I. Nhöng R/I ≅ A vaø A ñôn neân R/I khoâng coù module con thaät söï, suy ra I toái ñaïi. Ngöôïc laïi, giaû söû I laø ideal traùi toái ñaïi chính qui vaø A ≅ R/I, ta chöùng minh R(R/I) ≠ 0. Thaät vaäy neáu R(R/I) = 0 thì vôùi moïi r ∈ R ta coù r(e + I) = I (vôùi e ∈ R), do ñoù re ∈ I. Vì r – re ∈ I neân r – re + re ∈ I, suy ra r ∈ I, töùc laø I = R (traùi vôùi tính toái ñaïi cuûa I). Vaäy R(R/I) ≠ 0 hay RA ≠ 0. Moãi module con cuûa R/I coù daïng J/I, trong ñoù J laø ideal traùi cuûa R chöùa I, nhöng vì I toái ñaïi neân R/I khoâng coù module con thöïc söï. Vì vaäy A khoâng coù module con thöïc söï, do ñoù A laø module traùi ñôn. 2.4. Ñònh lí: Giaû söû B laø taäp con cuûa module traùi A treân vaønh R, khi ñoù: a(B)={r ∈ R | rb = 0, ∀ b ∈ B} laø ideal traùi cuûa R. Neáu B laø module con cuûa A thì a(B) laø ideal cuûa R. * a(B) goïi laø linh hoùa töû traùi cuûa B. Linh hoùa töû phaûi cuûa module phaûi ñöôïc ñònh nghóa töông töï. Chöùng minh: Deã thaáy a(B) laø ideal traùi cuûa R. Neáu B laø module con cuûa A ,vôùi r ∈ R, s ∈ a(B), vôùi moïi b ∈ B, ta coù (sr)b = s(rb) = 0 (vì rb ∈ B), vì vaäy sr ∈ a(B), suy ra a(B) laø ideal phaûi cuûa R. Vaäy a(B) laø ideal cuûa R. 2.5. Ñònh nghóa: GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 16 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh Module (traùi) A laø khôùp neáu a(A) = 0. Vaønh R laø nguyeân thuûy (traùi) neáu toàn taïi moät R-module traùi khôùp ñôn. Ví duï: Cho V laø khoâng gian vector treân theå D vaø R = HomD(V,V) laø vaønh caùc töï ñoàng caáu cuûa V. Khi ñoù V laø moät R – module vôùi θ v = θ (v), vôùi moïi v ∈ V, θ ∈ R. Neáu u laø vector khaùc khoâng trong V thì toàn taïi cô sôû cuûa V chöùa u (ñònh lí 1.20). Neáu v ∈ V thì toàn taïi θ v ∈ R sao cho θ vu = v(theo ñònh nghóa θ v(u) = v vaø θ v(w) = 0 vôùi w laø phaàn töû cô sôû baát kì thì θ v ∈ R). Vì vaäy Ru = V, vôùi u laø vector khaùc khoâng trong V, do ñoù V khoâng coù R – module con thaät söï. Vì R coù ñôn vò neân RV ≠ 0, suy ra V laø R – module ñôn. Neáu θ V = 0 vôùi θ ∈ R thì θ = 0, suy ra a(V) = 0, vì vaäy V laø R – module khôùp vaø R laø nguyeân thuûy. Neáu V höõu haïn chieàu treân D thì R ñôn (suy ra töø ñònh lí 1.21). 2.6. Meänh ñeà: Vaønh ñôn R coù ñôn vò laø vaønh nguyeân thuûy. Chöùng minh: Vì R laø vaønh coù ñôn vò neân noù coù chöùa ít nhaát moät ideal toái ñaïi I (ñònh lí 1.5) vaø I chính qui, do ñoù R/I laø R-module ñôn (ñònh lí 2.3). Vì a(R/I) laø moät ideal cuûa R vaø khoâng chöùa 1R neân a(R/I) = 0 (vì R laø vaønh ñôn), suy ra R/I laø khôùp. Vaäy R nguyeân thuûy. 2.7. Meänh ñeà: Vaønh giao hoaùn R nguyeân thuûy khi vaø chæ khi R laø tröôøng. Chöùng minh: Giaû söû R laø tröôøng, khi ñoù R laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò vaø R khoâng coù ideal thaät söï, do ñoù R ñôn. Vaäy R nguyeân thuûy (meänh ñeà 2.6). Ngöôïc laïi, giaû söû A laø R - module traùi khôùp ñôn, khi ñoù A ≅ R/I vôùi I laø ideal traùi toái ñaïi chính qui cuûa R. Vì R giao hoaùn neân I laø ideal cuûa R vaø I ⊂ a(R/I) = a(A) = 0, suy ra I = 0. Vì I laø ideal chính qui neân toàn taïi e ∈ R sao cho r – re ∈ I = 0, do ñoù r = re = er vôùi moïi r ∈ R, suy ra R laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò (e). Vì I = 0 laø ideal toái ñaïi neân R laø tröôøng. 2.8. Ñònh nghóa: Cho V laø moät khoâng gian vector (traùi) treân theå D. Vaønh con R cuûa vaønh caùc töï ñoàng caáu HomD(V,V) ñöôïc goïi laø vaønh truø maät cuûa caùc töï ñoàng caáu cuûa V (hoaëc laø vaønh con truø maät cuûa HomD(V,V)) neáu vôùi moïi soá nguyeân GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 17 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh döông n, moïi taäp con ñoäc laäp tuyeán tính {u1, u2, … , un} cuûa V, moïi taäp con baát kì {v1, v2, ... , vn} cuûa V, toàn taïi φ ∈ R sao cho φ (ui) = vi (i = 1..n). Ví duï: HomD(V,V) laø vaønh con truø maät cuûa chính noù. Thaäy vaäy, neáu {u1, u2, … , un} laø taäp con ñoäc laäp tuyeán tính cuûa V thì toàn taïi cô sôû U cuûa V chöùa u1, u2, … , un (ñònh lí 1.20). Neáu v1, v2, ..., vm ∈ V thì aùnh xaï φ : V  → V xaùc ñònh bôûi φ (ui) = vi vaø φ (u) = 0 vôùi u ∈ U\{u1, u2, … , un} laø moät phaàn töû cuûa HomD (V,V). Trong tröôøng hôïp soá chieàu höõu haïn, HomD(V,V) laø moät vaønh con truø maät cuûa chính noù. 2.9. Ñònh lí: Giaû söû R laø vaønh truø maät cuûa caùc töï ñoàng caáu cuûa khoâng gian vector V treân theå D. Khi ñoù R laø vaønh Artin traùi khi vaø chæ khi dimDV laø höõu haïn, trong tröôøng hôïp naøy R = HomD(V,V). Chöùng minh: Neáu R laø vaønh Artin traùi vaø dimDV voâ haïn thì toàn taïi taäp con ñoäc laäp tuyeán tính voâ haïn {u1, u2, ….} cuûa V. Suy ra V laø HomD(V,V) - module traùi vaø cuõng laø R - module.Vôùi moïi n ∈ N*, ñaët In laø linh hoùa töû trong R cuûa taäp {u1, u2, … , un}. Töø ñònh lí 2.4, ta coù I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ … laø daây xích giaûm caùc ideal traùi cuûa R. Goïi w laø phaàn töû khaùc khoâng baát kì cuûa V. Vì {u1, u2, … , un+1} laø taäp ñoäc laäp tuyeán tính vôùi moïi n vaø R truø maät neân toàn taïi φ ∈ R sao cho φ (ui) = 0, (i = 1..n) vaø φ (un+1) = w ≠ 0. Suy ra φ ∈ In nhöng φ ∉ In+1. Vì vaäy I1 ⊃≠ I 2 ⊃≠ .... laø daây xích giaûm thaät söï, traùi vôùi giaû thieát R laø vaønh Artin traùi. Vaäy dimDV laø höõu haïn. Ngöôïc laïi, neáu dimDV laø höõu haïn thì V coù cô sôû höõu haïn {v1, v2, ..., vn}. Neáu f laø moät phaàn töû baát kì cuûa HomD(V,V) thì f hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh bôûi vi (i = 1..m). Vì R truø maät neân toàn taïi φ ∈ R sao cho φ (vi ) = f(vi) (i =1..m), suy ra f = φ ∈ R. Vaäy HomD(V,V) = R. Maët khaùc HomD(V,V) laø vaønh Artin traùi (suy ra töø ñònh lí 1.21 vaø heä quaû 1.32) neân R laø vaønh Artin traùi. 2.10. Boå ñeà (Schur): Cho A laø module ñôn treân vaønh R vaø B laø R - modul. Khi ñoù: (i) Moãi ñoàng caáu R-module khaùc khoâng f : A  → B laø ñôn caáu. (ii) Moãi ñoàng caáu R-module khaùc khoâng g : B  → A laø toaøn caáu. (iii) Vaønh caùc töï ñoàng caáu D = HomR(A,A) laø theå. GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 18 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh Chöùng minh: (i) Kerf laø module con cuûa A, Kerf ≠ A vì f ≠ 0, vì A ñôn neân Kerf = 0. Vaäy f laø ñôn caáu. (ii) Img laø module con khaùc khoâng cuûa A vì g ≠ 0, vì A ñôn neân Img = A . Vaäy g laø toaøn caáu. (iii) Neáu h ∈ D vaø h ≠ 0, töø (i) vaø (ii) suy ra h laø ñaúng caáu, suy ra h -1 ∈ D. Vaäy moïi phaàn töû khaùc khoâng thuoäc D ñeàu khaû nghòch, suy ra D laø theå. 2.11. Boå ñeà: Cho A laø module ñôn treân vaønh R. Coù theå xem A laø khoâng gian vector treân theå D = HomR(A,A). Neáu V laø D - khoâng gian con höõu haïn chieàu cuûa D – khoâng gian vector A vaø a ∈ A\V thì toàn taïi r ∈ R sao cho ra ≠ 0 vaø rV = 0. Chöùng minh: Ñaët n = dimDV. Neáu n = 0 thì V = 0 vaø a ≠ 0 (vì a ∈ A\V). Do A ñôn neân A = Ra, suy ra toàn taïi r ∈ R sao cho a = ra ≠ 0 vaø rV = r0 = 0. Giaû söû dimDV = n > 0 vaø boå ñeà ñuùng vôùi soá chieàu nhoû hôn n. Ñaët {u1, u2, … , un-1, u} laø moät cô sôû cuûa V vaø W laø khoâng gian vector (n -1) chieàu sinh bôûi {u1, u2, … , un-1} (W = 0 neáu n = 1). Khi ñoù V = W ⊕ Du. W khoâng laø R – module con cuûa A nhöng linh hoùa töû traùi I = a(W) trong R cuûa V laø ideal traùi cuûa R (ñònh lí 2.4), do ñoù Iu laø module con cuûa A. Vì u ∈ A\W neân theo giaû thieát qui naïp toàn taïi r ∈ R sao cho ru ≠ 0 vaø rW = 0, töùc r ∈ I = a(W), daãn ñeán 0 ≠ ru ∈ Iu, suy ra Iu ≠ 0. Vì vaäy A = Iu (vì A ñôn ). Ta chöùng minh toàn taïi r ∈ R sao cho ra ≠ 0 vaø rV = 0. Thaät vaäy, neáu khoâng toàn taïi r nhö vaäy ta coù theå ñònh nghóa aùnh xaï φ : A → A nhö sau. Vì ru ∈ Iu = A neân ta ñaët φ (ru) = ra ∈ A. Vaäy φ ñöôïc xaùc ñònh toát. Neáu r1u = r2u (r1, r2 ∈ I = a(W)) thì (r1 – r2)u = 0, töø ñoù suy ra (r1 – r2)V = (r1 – r2)(W ⊕ Du) = 0, theo giaû thieát ta coù (r1 – r2)a = 0, vì vaäy φ (r1u) = r1a = r2a = φ (r2u). Deã thaáy φ ∈ HomR(A ,A) = D. Vôùi moïi r ∈ I, ta coù : 0 = φ (ru) – ra = r φ (u) – ra = r( φ (u) – a). Vì vaäy φ (u) – a ∈ W (vì I = a(W)), suy ra a = φ u – ( φ u – a ) ∈ Du + W = V hay a ∈ V (voâ lí) vì a ∈ A\V. Vaäy vôùi a ∈ A\V, toàn taïi r ∈ R sao cho ra ≠ 0 vaø rV = 0. 2.12. Ñònh lí (ñònh lí truø maät Jacobson): GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 19 SVTH: Cao Minh Quang Luaän vaên toát nghieäp Caáu truùc vaønh Giaû söû R laø vaønh nguyeân thuûy vaø A laø R – module khôùp ñôn. Coù theå xem A laø moät khoâng gian vector treân theå D = HomR(A,A). Khi ñoù R ñaúng caáu vôùi vaønh truø maät cuûa caùc töï ñoàng caáu cuûa D – khoâng gian vector A. Chöùng minh: Vôùi moãi r ∈ R, aùnh xaï α r : A  → A xaùc ñònh bôûi α r(a) = ra laø moät D – töï ñoàng caáu cuûa A, töùc laø α r ∈ HomR(A,A). Vôùi r, s ∈ R, ta coù: α r+s = α r + α s vaø α rs = α r α s. Do ñoù aùnh xaï α : R  → HomD(A,A) xaùc ñònh bôûi α (r) = α r laø moät ñoàng caáu vaønh. Vì A laø R – module khôùp neân α r = 0 khi vaø chæ khi r ∈ a(A) = 0 (vì A khôùp). Do ñoù α laø ñôn caáu, suy ra R ñaúng caáu vôùi vaønh Imα cuûa HomD(A,A). Ta seõ chöùng minh Imα laø vaønh con truø maät cuûa HomD(A,A). Goïi U = {u1, u2, … , un} laø taäp con D - ñoäc laäp tuyeán tính cuûa A,{v1, v2, ... , vn} laø taäp con baát kì cuûa A. Ta caàn tìm α r ∈ Im α sao cho α r(ui) = vi, i = 1..n. Vôùi moãi i, ñaët Vi laø D - khoâng gian con cuûa A sinh bôûi {u1, ..., ui-1, ui+1, ... , un}. Vì U laø D - ñoäc laäp tuyeán tính neân ui ∉ Vi. Duøng boå ñeà 2.11 ta thaáy toàn taïi ri ∈ R sao cho riui ≠ 0 vaø riVi =0. Tieáp tuïc duøng boå ñeà 2.11 cho khoâng gian con khoâng vaø phaàn töû khaùc khoâng riui ta coù si ∈ R sao cho siriui ≠ 0 vaø si0 = 0. Vì siriui ≠ 0 neân R – module con Rriui cuûa A khaùc khoâng, do A ñôn neân Rriui = A .Vì vaäy toàn taïi ti ∈ R sao cho tiriui = vi. Ñaët r = t1r1 + … + tnrn ∈ R. Vôùi i ≠ j, ta coù ui ∈ Vj, suy ra tjrjui ∈ tj(rjVj ) = tj0 = 0, α r(ui) = rui = (t1r1 + … + tnrn )ui = t1r1 ui+ … + tnrnui = tiriui = vi (i = 1..n). Vaäy toàn taïi α r ∈ Im α sao cho α r (ui) = vi (i =1..n) neân Im α laø vaønh truø maät cuûa HomD(A,A). 2.13. Heä quaû: Neáu R laø vaønh nguyeân thuûy, D laø theå thì hoaëc R ñaúng caáu vôùi vaønh caùc töï ñoàng caáu cuûa khoâng gian vector höõu haïn chieàu treân D, hoaëc vôùi moãi soá nguyeân döông m, toàn taïi vaønh con Rm cuûa R vaø moät toaøn caáu vaønh Rm  → HomD(Vm,Vm), trong ñoù Vm laø khoâng gian vector m chieàu treân D. Chöùng minh: Töø ñònh lí 2.12 ta coù α : R  → HomD(A,A) laø ñôn caáu thoûa maõn R ≅ Im α vaø Im α truø maät trong HomD(A,A). Neáu dimDA = n höõu haïn, töø ñònh lí 2.9 ta coù Im α = HomD(A,A), suy ra R ≅ HomD(A,A). Neáu dimDA voâ haïn vaø {u1, u2, ...} laø taäp ñoäc laäp tuyeán tính voâ haïn, goïi Vm laø D - khoâng gian con m chieàu cuûa A sinh bôûi {u1, u2, … , um}. Deã thaáy Rm = {r ∈ R | rVm ⊂ Vm} laø GVHD: Nguyeãn Thanh Bình 20 SVTH: Cao Minh Quang