Tài liệu Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton - Jacobi với Hamiltonian lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ HUYỀN CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON – JACOBI VỚI HAMILTONIAN LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Hữu Thọ, đồng thời tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô đã tham gia giảng dạy Cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Tác giả Phùng Thị Huyền ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị nào. Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Tác giả Phùng Thị Huyền Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Hàm liên tục Lipchitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Liên hợp Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Công thức Hopf trong trường hợp Hamiltonian lồi . . . . 9 1.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một 11 2.1. Phương trình vi phân thường đặc trưng . . . . . . . . . . 11 2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục trong iii iv trường hợp Hamiltonian lồi 33 3.1. Hệ phương trình vi phân đặc trưng . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Công thức dạng Hopf và các đặc trưng . . . . . . . . . . 35 3.3. Dải khả vi của nghiệm được xác định qua công thức dạng Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R Đường thẳng thực Rn Không gian Euclid n chiều R̄ = R ∪ {−∞, +∞} Tập số thực suy rộng Ø Tập hợp rỗng k.k Chuẩn trong không gian domf Miền hữu hiệu của f epif Trên đồ thị của f Ux Lân cận mở của x f|Ux Thu hẹp của f trên Ux |x| Giá trị tuyệt đối của x hx, yi Tích vô hướng x và y f∗ Liên hợp Fenchel của f Lip(Ω) Tập hợp các hàm số liên tục Lipchitz địa phương trên Ω C k (U ) Tập hợp các hàm số khả vi liên tục cấp k trên U Ā Bao đóng của A A∩B Giao của tập A và tập B A\B Hiệu của tập A và tập B Ec Phần bù của tập E MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề hết sức cần thiết của Giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một thôi chúng ta có thể thấy hàng loạt các công trình của rất nhiều các nhà Toán học trên thế giới, trong đó Phương trình Hamilton-Jacobi đã và đang được quan tâm nhiều. Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một có dạng như sau: Ut + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ Rn (1) trong đó H được gọi là Hamiltonian. Những nghiên cứu về Phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rất lâu, có lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động. Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương của phương trình này. Định lý Cauchy-Kovalevskaya là một trong những định lý đầu tiên nói về sự tồn tại, duy nhất nghiệm địa phương với các dữ kiện được đặt ra là những hàm giải tích. Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, biến phân, đồng dạng...đã góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điển địa phương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu 2 cầu thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể và đầy đủ hơn. Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưa quan tâm đến vấn đề nghiệm toàn cục, hoặc vì chưa có cách hiểu nghiệm một cách mềm dẻo (do bản chất phi tuyến của phương trình HamiltonJacobi, nghiệm cổ điển toàn cục của bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi nói chung chỉ tồn tại trong một số lớp khá đặc biệt). Bắt đầu từ những năm 1950-1951, với sự ra đời của các bài báo của E. Hopf và J. D. Cole về phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệm toàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi được đặt nền móng và được các nhà Toán học quan tâm, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kết quả kinh điển ra đời tạo ra những định hướng quan trọng. Do tính phi tuyến của Hamiltonian nên miền xác định của nghiệm nói chung bị hạn chế nghiêm ngặt. Để đạt được sự tồn tại toàn cục cho nghiệm cổ điển đối với bài toán Cauchy đòi hỏi phải có điều kiện nghiêm ngặt đặt trên Hamiltonian và dữ kiện ban đầu. Đây cũng là nguyên nhân thúc đẩy sự phát triển các phương pháp tìm nghiệm toàn cục, nghĩa là tìm nghiệm trong toàn bộ miền đã cho. Để nhận được điều này chúng ta không hy vọng đạt được độ trơn cao của nghiệm mà nhất thiết phải giảm yêu cầu đó. Một lớp hàm được quan tâm trước hết trong việc mở rộng khái niệm nghiệm toàn cục đó là lớp hàm liên tục Lipschitz. Theo Định lý Rademacher: "Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó", chúng ta thấy lớp hàm này là một lớp con không quá rộng của lớp hàm liên tục và chứa lớp các hàm khả vi, và từ đó gợi ý cho những nghiên cứu về những lớp nghiệm suy rộng. Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm suy rộng của 3 Bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi quyết định chọn đề tài: "Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi với Hamiltonian lồi" 2. Mục đích nghiên cứu Mô tả cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trong trường hợp Hamiltonian lồi và xét tính chính quy của nghiệm toàn cục. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một . - Mô tả nghiệm toàn cục cho bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian lồi thông qua nghiệm của nghiệm của hệ phương trình vi phân đặc trưng. -Khảo sát tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi khi Hamiltonian lồi. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để nhận được một nghiên cứu về cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian lồi. 6. Đóng góp mới của luận văn Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm toàn cục mô tả bởi công thức dạng Hopf-Lax đối với bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian lồi. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Tập đóng, tập mở Định nghĩa 1.1.1. [4] Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập  B(x0 , ε) := x ∈ Rn : x − x0 < ε là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0 , bán kính ε. Định nghĩa 1.1.2. [4] Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu ∀x0 ∈ U, ∃ε > 0 sao cho B(x0 , ε) ⊂ U . Tập F ⊂ Rn gọi là đóng nếu U := Rn \F là mở. Tập V ⊂ Rn gọi là lân cận của x ∈ Rn nếu ∃ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ V. Định nghĩa 1.1.3. [4] Cho A là tập con bất kì trong Rn . Kí hiệu {Fj (A)}j∈J là họ tất cả các tập đóng chứa A. Khi đó F = ∩ Fj (A) là một tập đóng. j∈J Tập F gọi là bao đóng của A, kí hiệu là Ā. Định nghĩa 1.1.4. [4] Tập B trong Rn gọi là bị chặn nếu tồn tại m > 0 sao cho kxk ≤ m với mọi x ∈ B. 5 6 Cho U ⊂ Rn là một tập mở và giả sử f : U → Rn thuộc lớp C 1 , f = (f 1 , f 2 , ..., f n ). Giả  f1 .  x1   . . Df =    . .  fxn1 . thiết x0 ∈ U, z0 = f (x0 ). Khi đó  1 . . f xn   . . .   = ma trận gradient của f .  . . .   n . . f xn    ∂(f 1 , ..., f n )  . Định nghĩa 1.1.5. [1] Jf = Jacobian của f = |detDf | =  ∂(x1 , ..., xn )  Nếu xét U ⊂ Rn+m là một tập mở và giả sử f : U → Rm thuộc lớp C 1 , f = (f 1 , ..., f m ). Giả thiết (x0 , y0 ) ∈ U, z0 = f (x0 , y0 ). Khi đó:    ∂(f 1 , ..., f m )  . Định nghĩa 1.1.6. [1] Jy f = |det Dy f | =  ∂(y1 , ..., ym )  Định lý 1.1.1. (Định lý hàm ẩn)[1] Giả thiết f ∈ C 1 (U ; Rm ) và Jy f (x0 , y0 ) 6= 0. Khi đó tồn tại một tập mở V ⊂ U với (x0 , y0 ) ∈ V , và tập mở W ⊂ Rn với x0 ∈ W , một ánh xạ g : W → Rm thuộc lớp C 1 sao cho (i) g(x0 ) = y0 (ii) f (x, g(x)) = z0 (x ∈ W ) (iii) Nếu (x, y) ∈ V và f (x, y) = z0 thì y = g(x) (iv) Nếu f ∈ C k thì g ∈ C k (k = 2, ...). Hàm g được xác định ẩn gần x0 bởi phương trình f (x, y) = z0 . 1.2. Hàm lồi Định nghĩa 1.2.1. [4] Tập M ⊂ Rn gọi là tập lồi nếu: ∀x, y ∈ M, {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊂ M 7 Giả sử f : Rn −→ R̄ = [−∞, +∞] là một hàm thực (mở rộng). Ta gọi domf := {x ∈ Rn : f (x) < +∞} là miền hữu hiệu của hàm f và epif := {(x, a) ∈ Rn × R : f (x) ≤ a} là trên đồ thị của hàm f. Hàm f được gọi là proper nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ với ∀x ∈ Rn Định nghĩa 1.2.2. [4] Hàm f được gọi là hàm lồi (t.ư., đóng) nếu tập hợp epi là tập lồi (t.ư., đóng) trong không gian Rn × R. Đối với các hàm lồi, proper (chẳng hạn hàm lồi từ Rn vào R) tính lồi của nó tương đương với điều kiện: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) với ∀x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1] Hàm f : Rn −→ R được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.1), khi x 6= y, dấu = xảy ra nếu λ = 0 hoặc λ = 1. Định lý 1.2.1. [4] Mọi hàm lồi xác định trên Rn và chỉ nhận giá trị trong R đều liên tục. Định nghĩa 1.2.3. [4] Hàm lồi, proper f được gọi là đối hữu hạn nếu f (y) = +∞. ||y||→+∞ ||y|| lim Định lý 1.2.2. [4] Giả sử f là hàm lồi, hữu hạn trên một tập lồi, mở C. Khi đó, nếu f khả vi trên C thì f cũng khả vi liên tục trên C. 1.3. Hàm liên tục Lipchitz Định nghĩa 1.3.1. [4] Giả sử f là một hàm xác định trong một tập X ⊆ Rn . Khi đó f được gọi là hàm Lipchitz (liên tục Lipchitz) trên X 8 nếu tồn tại một số thực K ≥ 0 sao cho: |f (x) − f (y)| ≤ K. kx − yk ; ∀x, y ∈ X (1.2) K được gọi là hằng số Lipchitz của f trên X. Dễ thấy điều kiện (1.2) suy ra f là hàm liên tục đều trong X. Hàm f được gọi là Lipchitz địa phương trên X nếu với mỗi x ∈ X tồn tại lân cận mở Ux của x sao cho thu hẹp f|Ux là Lipchitz trên Ux Định lý 1.3.1. (Định lý Rademacher)[4] Một hàm liên tục Lipschitz địa phương thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó. Cho f : Rn → R là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó f liên tục đều và hơn nữa liên tục Lipschitz trên mỗi tập con bị chặn của dom f. Định lý 1.3.2. [4] Cho f là hàm lồi, proper trên X. Khi đó domf ∗ sẽ bị chặn khi và chỉ khi f hữu hạn và liên tục Lipschitz toàn cục trên X. 1.4. Liên hợp Fenchel Định nghĩa 1.4.1. [4] Cho hàm f : Rn −→ R̄, ta định nghĩa hàm f ∗ : Rn −→ R̄ như sau: f ∗ (y) := sup {hy, xi − f (x)} , y ∈ Rn (1.3) x∈Rn và gọi f ∗ là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm f . Định lý 1.4.1. [4] Giả sử f : Rn −→ R̄ là hàm lồi, proper và đóng. Khi đó hàm liên hợp f ∗ cũng là hàm lồi, proper và đóng. Ngoài ra: ∀x ∈ Rn , f (x) = f ∗∗ (x) := sup {hx, yi − f ∗ (y)} y∈Rn (1.4) 9 Với mọi hàm f : Rn −→ R̄, hàm liên hợp f ∗ luôn luôn lồi và đóng. Hơn nữa, khi f lồi, trong (1.3) (t.ư., (1.4)) sup được thay thế bằng max nếu y (t.ư., x) là điểm trong của domf ∗ (t.ư., domf ). Định lý 1.4.2. [4] Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên Rn . Khi đó f ∗ hữu hạn (và do đó domf ∗ = Rn ) khi và chỉ khi f đối hữu hạn. Cho f : Rn → R thỏa mãn f (y) = +∞. kyk→+∞ kyk lim Khi đó liên hợp Fenchel của nó cũng thỏa mãn f ∗ (p) lim = +∞. kpk→+∞ kpk 1.5. Công thức Hopf trong trường hợp Hamiltonian lồi (Kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3]). Chúng ta xét bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi dạng: ut + H(Du) = 0, (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn u(0, x) = σ(x), x ∈ Rn (1.5) (1.6) trong đó u = u(t, x) là ẩn hàm, Hamiltonian H và hàm dữ kiện ban đầu σ được cho trước, Du = Dx u = (ux1 , ux2 , ..., uxn ). Trong công trình của mình vào năm 1965, E. Hopf đã đưa ra công thức nghiệm tường minh cho nghiệm toàn cục Lipschitz cho bài toán Cauchy (1.5) − (1.6) như sau: 10 Với giả thiết rằng (i) Hamiltonian H = H(p) là hàm lồi ngặt trên Rn và thỏa mãn điều kiện "đối hữu hạn" H(p) = +∞. kpk→+∞ kpk lim (ii) Dữ kiện ban đầu σ = σ(x) là hàm liên tục Lipschitz toàn cục trên Rn . Khi đó hàm u(t, x) được xác định bởi công thức Hopf o n  ∗ x−y u(t, x) = minn σ(y) + tH y∈R t là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán Cauchy (1.5) − (1.6). 1.6. Kết luận Trong Chương này, tác giả đã trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, hàm liên tục Lipschitz, khái niệm về liên hợp Fenchel và công thức Hopf cho nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian là hàm lồi. Đây là những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trong các chương sau. Chương 2 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (Các kết quả trong Chương này được trích dẫn từ tài liệu [1]) 2.1. Phương trình vi phân thường đặc trưng Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một: F (x, u, Du) = 0 trong U (2.1) u = g trên Γ; Γ ⊆ ∂U (2.2) với điều kiện biên: giả sử F, g là những hàm trơn. Để nghiên cứu bài toán (2.1), (2.2) ta dùng phương pháp đặc trưng, đây là phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành một hệ phương trình vi phân thường tương ứng. Ý tưởng chủ yếu như sau. Giả sử u thỏa mãn (2.1), (2.2) và x là điểm cố định nào đó thuộc U . Ta sẽ tìm một đường cong nằm trong U nối x với x0 ∈ Γ. Theo (2.2) ta có 11 12 u = g trên Γ, vì thế ta biết giá trị của u tại điểm mút x0 của đường cong: u(x0 ) = g(x0 ). Nếu u là hằng số dọc theo đường cong, ta tìm được giá trị của u tại x. Cách tìm phương trình vi phân thường đặc trưng Giả sử đường cong được tham số hóa bởi hàm x(s) = (x1 (s), x2 (s), ..., xn (s)) trong đó s nằm trong khoảng con nào đó của R. Giả thiết u là C 2 - nghiệm của (2.1), ta đặt: z(s) := u(x(s)) (2.3) p(s) := Du(x(s)) (2.4)
có nghĩa là: p(s) = p1 (s), p2 (s), ..., pn (s) và pi (s) = uxi (x(s)) (2.5) Như vậy z(.) cho giá trị của u dọc đường cong và p(.) là giá trị của gradient Du. Ta phải chọn x(.) sao cho có thể tính được z(.) và p(.). Để làm được điều này, trước hết ta đạo hàm (2.5) để được   n X d .i .j · p (s) = uxi xj (x(s))x (s) = ds j=1 (2.6) Biểu thức này khá rườm rà vì nó có chứa đạo hàm cấp hai của u. Mặt khác, ta đạo hàm phương trình đạo hàm riêng (2.1) theo xi và nhận được n X ∂F j=1 ∂pj (x, u, Du) uxi xj + ∂F ∂F (x, u, Du) uxi + (x, u, Du) = 0 (2.7) ∂z ∂xi 13 Ta sử dụng đồng nhất thức này để loại bỏ những đạo hàm cấp hai của u trong (2.6). Đặt .j x (s) = ∂F (x(s), z(s), p(s)) ∂pj (j = 1, ..., n) (2.8) Giả thiết rằng đẳng thức (2.8) là đúng, thay x = x(s) vào (2.7) và từ (2.3), (2.4) ta nhận được đồng nhất thức sau n ∂F P ∂F (x(s), z(s), p(s))uxi xj (x(s)) + (x(s), z(s), p(s)) pi (s)+ ∂z j=1 ∂pj ∂F + (x(s), z(s), p(s)) = 0. ∂xi Từ đó n ∂F P ∂F (x(s), z(s), p(s))uxi xj (x(s)) = − (x(s), z(s), p(s)) pi (s)− ∂z j=1 ∂pj ∂F (x(s), z(s), p(s)) . − ∂xi Thế biểu thức này và (2.8) vào (2.6) ta có .i p (s) = − ∂F ∂F (x(s), z(s), p(s))− (x(s), z(s), p(s)) pi (s) ∂xi ∂z (i = 1, ..., n) (2.9) Cuối cùng, lấy đạo hàm biểu thức (2.3) ta thấy n n X X ∂F ∂u ·j (x(s))x (s) = pj (s) (x(s), z(s), p(s)) z (s) = ∂x ∂p j j j=1 j=1 · (2.10) (ở đây ta dùng (2.5) và (2.8) để nhận được đẳng thức thứ hai). Ta viết lại các phương trình (2.8) − (2.10) theo ký hiệu véc tơ  .   (a) p(s) = −Dx F (x(s), z(s), p(s)) − Dz F (x(s), z(s), p(s)).p(s)   . (b) z(s) = Dp F (x(s), z(s), p(s)).p(s)    .  (c) x(s) = D F (x(s), z(s), p(s)). p (2.11) 14 Hệ (2n + 1) phương trình vi phân cấp một này gọi là các phương trình đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1). Các hàm x(.) = (x1 (.), x2 (.), ..., xn (.)); z(.); p(.) = (p1 (.), p2 (.), ..., pn (.)) được gọi là những đặc trưng. Ta còn gọi x(.) là đặc trưng gốc, nó là hình chiếu của toàn bộ đặc trưng (x(.), z(.), p(.)) ⊂ R2n+1 lên miền U ⊂ Rn . Như vậy ta đã hoàn thiện chứng minh định lý sau đây: Định lý 2.1.1. [4] (Cấu trúc của phương trình vi phân thường đặc trưng) Cho u ∈ C 2 (U ) là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (2.1) trong U . Giả thiết rằng x(.) thỏa mãn phương trình vi phân thường (2.11)(c), với p(.) = Du(x(.)), z(.) = u(x(.)). Khi đó p(.) là nghiệm của phương trình vi phân thường (2.11)(a) và z(.) thỏa mãn phương trình vi phân thường (2.11)(b) với những s sao cho x(s) ∈ U . Ta còn cần phải tìm điều kiện ban đầu tương ứng cho hệ phương trình vi phân thường (2.11) để hệ này sẽ thực sự có ích. Giả sử u là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1), khi đó hệ phương trình vi phân thường đặc trưng là một hệ đóng đối với x(.), z(.) = u(x(.)), và p(.) = Du(x(.)). Bước quan . trọng mang tính quyết định ở đây là việc đặt x = Dp F , tức là đẳng thức (2.8), do đó, như đã nói ở trên, khi đó các số hạng chứa đạo hàm cấp hai bị loại bỏ. 2.2. Một số ví dụ Trước khi tiếp tục xét về các phương trình đặc trưng (2.11) ta sẽ dừng lại để xét một số trường hợp đặc biệt mà trong đó cấu trúc của