Tài liệu Cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm và khả năng làm lạnh nguyên tử bằng laser

  • Số trang: 57 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 83 |
  • Lượt tải: 0
tructuyentailieu

Tham gia: 25/05/2016

Mô tả:

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng ®¹i häc vinh ---------- TrÇn Do·n Anh Tho¹i CÊu tróc phæ nguyªn tö cña kim lo¹i kiÒm vµ Kh¶ n¨ng lµm l¹nh nguyªn tö b»ng Laser LuËn v¨n Th¹c sü VËt lý Vinh – 2009 1 MỤC LỤC Lời mở đầu Chương 1. Cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro 1.1. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Hydro - 1.3.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro - 1.3.2. Quang phổ của nguyên tử Hydro 1.2. Cấu trúc siêu tinh tế của nguên tử Hydro - 1.3.1. Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro - 1.3.2. Tương tác tứ cực trong cấu trúc siêu tinh tế của Hydro Kết luận chương 1 Chương 2. Cấu trúc phổ nguyên tử của các kim loại kiềm 2.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của các nguyên tử kim loại kiềm - 2.2.1. Sự tương tự của các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên tử Hydro - 2.2.2. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Rubi 2.2. Hiệu ứng Zeeman và hiệu ứng Stark trong cấu trúc tinh tế - 2.2.1. Trường mạnh, hiệu ứng Zeeman thường - 2.2.2. Hiệu ứng Paschen- Back - 2.2.3. Trường yếu, hiệu ứng Zeeman dị thường - 2.2.4. Hiệu ứng Stark 2.3. Cấu trúc siêu tinh tế của các nguyên tử kim loại kiềm - 2.3.1. Sự phân tách các mức năng lượng trong nguyên tử Rubi - 2.3.2. Tương tác của nguyên tử Rubi với trường ngoài tĩnh Kết luận chương 2 Chương 3. Khả năng làm lạnh nguyên tử bằng Laser 3.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường ánh sáng - 3.1.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường ánh sáng - 3.1.2. Chuyển động của nguyên tử dưới tác dụng của quang lực 3.2. Nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng Laser - 3.2.1. Làm lạnh Doppler - 3.2.2. Làm lạnh các nguyên tử kim loại kiềm Kết luận chương 3 Kết luận chung Tài liệu tham khảo 2 Trang 2 3 9 10 15 16 17 20 24 26 27 29 33 36 38 39 42 44 50 52 53 55 LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay trên thế giới với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật laser, các nhà khoa học có thể làm lạnh nguyên tử xuống gần độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ thấp như vậy, các nguyên tử thể hiện tính sóng nhiều hơn nhiều so với tính hạt, và có trạng thái lượng tử như nhau, ngưng tụ lại thành hệ vật lý đậm đặc Bose-Einstein (BEC) trạng thái thứ năm của vật chất. Kim loại kiềm là những nguyên tố có cấu trúc tương tự như Hydro và có quang phổ nằm trong vùng khả kiến, vì thế nó rất thích hợp cho công việc làm lạnh bằng ánh sáng laser. Nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới đã tiến hành làm lạnh kim loại kiềm và đã thu được nhiều thành công rực rỡ. Một trong những thành công đó là đã tạo ra được BEC, từ đó cho phép chúng ta nghiên cứu phổ nguyên tử với các phép đo siêu chính xác, nghiên cứu các hiệu ứng quan trọng như trong suốt tự cảm điện từ (EIT ), các hiệu ứng phi tuyến, máy tính lượng tử, laser nguyên tử .v.v. Muốn làm lạnh được kim loại kiềm thì phải biết được cấu trúc phổ nguyên tử của chúng, tức là phải biết được các mức năng lượng của nguyên tử. Thực nghiệm cho thấy rằng phổ quang học của các nguyên tử là do electron hoá trị quy định. Vì thế thay cho việc xác định trạng thái của nguyên tử ta chỉ việc xác định trạng thái của các electron hoá trị. Nghiên cứu ở mức độ càng sâu, độ chính xác càng cao thì các mức năng lượng thu được càng nhiều tức là hình ảnh phổ càng phức tạp. Vì vậy chúng tôi chọn chủ đề “ Cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm và khả năng làm lạnh nguyên tử bằng laser ” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp của mình. Ở đây chúng tôi nghiên cứu quang phổ của nguyên tử Hydro rồi mở rộng cho các nguyên tử kim loại kiềm bằng việc sử dụng các lý thuyết của cơ học lượng tử. Căn cứ vào cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm để xây dựng sơ đồ làm lạnh nguyên tử. Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương : Chương 1. Cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro Chương 2. Cấu trúc phổ nguyên tử của các kim loại kiềm 3 Chương 3. Khả năng làm lạnh các nguyên tử kim loại kiềm bằng laser CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Hydro 1.1.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro Nguyên tử Hydro gồm hạt nhân có điện tích  1e  và một hạt nhân chuyển động xung quanh. Trạng thái của electron trong nguyên tử Hydro được các định từ phương trình Dirac : ih   Hˆ  t (1.1)          H  c ( x p x   y p y   z p z )  m0c 2   U  cp  m0 c 2   U Với : (1.2) là Hamintơn của eletron. c : là vận tốc của ánh sáng trong chân không. m0 : là khối lượng nghỉ của electron U  Ze 2 là thế năng của electron trong trường hạt nhân ( với Hydro thì Z = 1 ) r  0 ˆ     ˆ 0    I 0 0 I trong đó : ˆ   ˆ x , ˆ y , ˆ z  là các ma trận Pauli. trong đó : I : là ma trận đơn vị hạng hai  1     2               3      4 (1.3) là hàm sóng xác định trạng thái của electron. Ở trạng thái dừng : H  E E  m0c 2   m0 c 2 là năng lượng nghỉ của electron,  : là động năng của electron Với : Thay (1.5) vào (1.4) ta có : 4 (1.4) (1.5)        2 E      (cp  m0 c   U )     (1.6) Thay  và  bằng những biểu thức của chúng ta đi tới:   0 E   = c          I    p  m0 c 2     0 0     0    I    U    0  I     0        I    (1.7) Khai triển (1.7) ta được :     m0 c 2  U E      c p c p       m0 c 2  U     (1.8) Từ đó ta suy ra :   cp  ( m0 c 2  U  E )  0   cp  ( m0c 2  U  E )   0 (1.9a) (1.9b) Thay (1.5) vào các phương trình (1.9a) và (1.9b) ta biến đổi được :  cp  (  U ) (1.10a) (1.10b) Nhiệm vụ của chúng ta là tìm trị riêng của toán tử Ĥ ứng với trạng thái  được  cp  (  U  2m0 c 2 )  xác định theo biểu thức (1.3). Cần chú ý rằng vai trò của  và  là như nhau đối với trị riêng của Ĥ vì vậy ta chỉ cần xét trị riêng của hàm  . Từ phương trình (1.10b) ta có :  cp     U  2m0c 2  cp   U 1 2m0c 2 1 2 = 2m0c  U (1.11) với độ chính xác đến bậc nhất của tỉ số 2m c 2 ta có thể biến đổi (1.11) về dạng : 0   1   U p1  2m0 c 2m0 c 2     (1.12) Thay (1.12) vào (1.10a) ta được : (  U )  1    U p  1  2m0 2m0 c 2     p  (1.13) Đối với các ma trận Pauli ta có hệ thức :     (a )(b )      b )  i [ a b ] = (a (1.14) Đồng thời ta cũng có :     (p ) f ( r )(p )         i(gradf )(p ) = f ( r ) p 2   i [( gradf ) p  i [( gradf ) p ]] (1.15) =f(r) (p )(p ) - 5 - Đặt   U  1  2 m c 2 0      f (r ) ,  và chú ý tới (1.14) và (1.15) phương trình (1.13) sẽ  được biến đổi về dạng :   H ' (1.16) Trong đó :   U 1  H '=  2m0c 2     p2 1   i(U )   U   [Up ]  p 2 2 4m0c 2 4m0 c  2m0 (1.17) Từ điều kiện chuẩn hoá cho hàm sóng :   d  1 * (1.18) Trong đó :        mà              *         ( do đó ta có :      )d  1  (1.19) Trong gần đúng cấp không biểu thức (1.12) được viết lại :  p  2m0c  p 2      [ ]  2m0 c  Như vậy : (1.20)  =  p2  ( 2m0 c ) 2 (1.21) Thay (1.21) vào (1.19) ta viết lại được điều kiện chẩn hoá :    (     )d     (1   p2 )d ( 2m0 c ) 2 =1 (1.22) Để tiện lợi hơn ta chuyển sang biểu diễn mới bằng cách đưa vào hàm  thay cho hàm  ,   g (1.23)  Sao cho :   d    g  gd  1 So sánh (1.24) và (1.22) ta tìm được dạng tường minh của toán tử biến đổi :   gg 1 Chọn ĝ là toán tử thực ta có : g)   g)  [1  p2 2 4m0 c 2   p 2 1/2 p2 ]  1  2 4m0 2c 2 8m0 c 2 6 (1.24)   p 2 1/2 p2 ) g 1  [1  ]  1  2 4m0 2 c 2 8m0 c 2 Phép biến đổi (1.23) không làm cho toán tử Ha min tơn biến đổi. dễ dàng thấy được điều đó nếu viết phương trình (1.16) về dạng :     g  ( g H ' g 1 ) g Như vậy toán tử Ha min tơn của phương trình :   Hˆ   (1.25) v  2 Với H  ( g) H ' g 1 ) trong phép gần đúng đến cấp 2 có dạng : c  2  2   p   U 2   ) '  U    2U  [U  p ] = 2 2 2 2 2 2   H1  ( g H g )  2m 8m0 c 4m0 c  2m0 c 0       1  (1.26)  2 Với : p  U là toán tử Ha min tơn phi tương đối tính, ba số hạng sau xét đến các 2m0 v2 hiệu chính tương đối tính cấp 2 . Như vây hiệu chính tương đối tính cho các toán c 1 tử Ha min tơn trong chuyển động phi tương đối tính của hạt có spin có thể được 2 viết dưới dạng : Trong đó :     W  W1  W2  W3  W1  (1.27) 2  Zh e 1  2( )  2U =  2 2 2 2 8m0 c r 8m0 c 2 2 (1.28) Để ý rằng : 2 1  4 ( r ) r ta được : )  Z h2 e 2 W1   (r ) 2m0 2c 2 (1.29) là số hiệu chính Darwin, đại lượng này xác định năng lượng tương tác bổ sung cho electron trong trường hạt nhân ở các trạng thái s. 2  Ze 2  2      W2 r     2m0 2 c 2 2m0 2 c 2  )  U  (1.30) Là đại lượng hiệu chính cho toán tử động năng xuất hiện do sự biến đổi khối lượng của hạt khi vận tốc biến đổi. 7   [ gradU  p ] 2 2 4m0 c  W3  (1.31) Là đại lượng hiệu chính cho tương tác spin-quỹ đạo. Trong trường xuyên tâm ta có gradU  U r U  r r r Thay biểu thức này vào (1.31) ta tìm được : ( với j  l  s )  W3   1 U 1  U )) Ze 2 ( r  p )  ( sl )  ( ˆj 2  lˆ2  sˆ 2 ) 2 2m0 2 c 2 r r 4m0 2 c 2 r 3 4m0 c 2 r r (1.32) Ở trạng thái dừng ta có thể viết: Ŵ3  Trong đó    l  [r  p] ,    s 2 Ze 2 h2 4m0 2 c 2 r 3 3   j  j  1  l  l  1  4  (1.33) lần lượt là các toán tử mô men quỹ đạo và toán tử mô men spin của hạt. Để xác định các trạng thái dừng của electron trong trường Coulomb của hạt nhân ta cần giải phương trình :     ( H 0  W1  W2  W3 )  E Trong đó :  2  p Ze 2 H0   2m0 r (1.34) , còn Ŵ1 , Ŵ2 , Ŵ3 là các hiệu chính tương đối tính cho toán tử Hamintơn đã nói ở trên. với giả thiết rằng : E Ze 2  2m0 c 2 . r Trong toạ độ ) cầu ta biến đổi H 0 về dạng :   2 1   2   l2 Ze 2 H0    r  2 2m0 r r  r  2m0 r r (1.35) Thực hiện phép tách biến :   Rnlj ( r )Ylmj ( ,  ) Thay (1.36) vào (1.34) ta tìm được hàm sóng xuyên tâm Rnlj (1.36) cho các trạng thái dừng của nguyên tử Hydro. {E  ) ) ) h2 1   2   l (l  1) Ze 2 (W1  W2  W3 ) Rnlj (r ) = [ 2 r  ]  } R r    nlj 2m0 r  r   r  r2 r (1.37) Ta giải phương trình trên bằng phương pháp gần đúng liên tiếp, trong gần đúng cấp không ta có phương trình : 8 {E  h2 1   2   l (l  1) Ze 2 [ ] }R nl =0 r  2m0 r 2  r   r  r2 r (1.38) Phương trình này hoàn toàn trùng với phương trình Schrodinger. Vì thế ta tìm được: En0   Z 2 m0e 4 22 n 2 với n  1, 2,3... (1.39) Trong phép gần đúng cấp một , số hiệu chính năng lượng cho các Ŵi được tính :  ˆ nl  nl W ˆ nl  nl W ˆ nl (1.40) Enj  En 1  En 0  Rnl2  w1  w2  w3  r 2 dr  nl W 1 2 3 0 Thực hiện các phép tính toán ta có : 0 khi l0  2 2  Z h2 e2  2 Z h e  nl Ŵ1 nl  Rnl  r   r  r 2 dr  Rnl2  0    Z h2 e 2 1 (1.41) 2 2 l 0 2m02c 2  8 m c 0 0  2m 2 c 2 . n 2 khi  0   2    0 e2  2 1 1 1 3 1  2 nl Ŵ2 nl   Rnl  r   En   r dr  (1.42)    2m0 c 2  r  2m0 c 2 n3  4n l  1   0  2  2 Ze 1 nl Ŵ3 nl   2 2  j  j  1  l  l  1  s  s  1  Rnl2 3 r 2 dr  4m0 c r 0 1   l  1    e2  3  2 dr Ze 2 1  j j  1  l l  1  R  .     nl 2 2  2 2 2   4m0 c  4 0 r 4m0 c n  2l  1   l  1  khi j l 1 2 (1.43) khi j l 1 2 Khi tính toán các phần tử ma trận trên chúng ta đã sử dụng các tích phân sau :  2 Rnl  1 2 1 2 0 Rnl r r dr  n2 ; 0 1 2 r dr  r2 1  1; n3  l    2  R 2 nl 0 1 2 r dr  r3 1  1 n3  l  1  l   l  2 Như vậy trong gần đúng cấp một, hiệu chính năng lượng là : E  Enj Trong đó :   e2 c  1 137   Z 4 2  n 3    R.h   4  j 1 n4    2  (1.44) m0 e 4 là hằng số cấu trúc tinh tế, còn R  3 là hằng số 2.h Rydberg. 9  Z  Z 2 2 0 Enj= En  Enj =   R.h 2 1  2 n  n  2    n 3      j  1 4   2  (1.45) Với Hydro thì Z = 1 nên ta có :  R.h   2 0 Enj= En  Enj =   2 1  2 n  n     n 3     (1.46)  j  1 4   2  Hệ các mức năng lượng ứng với các giá trị Enj khác nhau ứng với cùng giá trị En0 như nhau gọi là cấu trúc tinh tế. Độ rộng toàn phần của cấu trúc tinh tế ở trạng thái n được tính như sau :  n  Enjmax  Enjmin 1 2 1 2 1 2 R 2  n  1 n  n4 (1.47) 1 2 Trong đó : jmax  lmax    n  1   n  ; jmin  lmin   vào (1.45) ta tìm được : 1 ; thay các giá trị này 2 (1.48) Điều này có nghĩa là số lượng tử chính tăng lên thì độ rộng của cấu trúc tinh tế giảm, nên trong thực tế chúng ta chỉ có thể quan sát được các dịch chuyển về mức cơ bản và các lân cận với nó. Ứng với n, j như nhau nhưng với các giá trị của l  j 1 khác nhau thì vẫn có suy biến bội hai.( Chỉ có các mức có n đã cho với các 2 giá trị khả dĩ cực đại là không suy biến). 1.1.2. Quang phổ của nguên tử Hydro Cấu trúc các vạch quang phổ của Hydro dựa trên quá trình dịch chuyển giữa các mức năng lượng đồng thời có chú ý tới các quy tắc lọc lựa. Khi electron chuyển từ trạng thái có mức năng lượng En về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn Em thì nó sẽ phát xạ photon có năng lượng là h . Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có : h  En  Em 10 (1.49) Số lượng các vạch quang phổ thu được phụ thuộc vào cấp độ mà chúng ta đang m0 e 4 R.h R..h xét. Khi bỏ qua cấu trúc tinh tế E nj  E   2 2   2   2h n n 2. n 2 0 n thì các vạch quang phổ thu được là các vạch đơn. Thay biểu thức năng lượng vào ta được : h  R.h  1 1   2 2  2  n m  (1.50) với n và m là các số nguyên và n > m , Khi n = 1 ta được các vạch phổ trong dãy Lyman, tần số ứng với các vạch là :   R  1  . 1  2  với m = 2, 3, 4, 5….. 2  m  (1.51) Khi n = 2 ta được các vạch phổ trong dãy Balmer, tần số ứng với các vạch là :   R 1 1  .  với m = 3, 4, 5, 6….. 2  4 m 2  (1.52) Khi n = 3 ta được các vạch phổ trong dãy Paschel, tần số ứng với các vạch là :   R 1 1  .  với m = 4, 5, 6, 7….. 2 9 m 2  (1.53) - Các vạch quang phổ trong dãy Lyman nằm trong vùng tử ngoại. - Các vạch quang phổ trong dãy Balmer nằm trong vùng ánh sáng nhìn thấy. - Các vạch quang phổ trong dãy Paschel nằm trong vùng hồng ngoại. Khi tính đến cấu trúc tinh tế thì số các vạch phổ tăng lên. Mỗi mức năng lượng ứng với số lượng tử chính n bị tách thành n mức cấu trúc tinh tế. Hình ảnh phổ thu được không còn là những vạch đơn như trước mà là các vạch kép. Ứng với các dịch chuyển về trạng thái s thì các vạch phổ đều có cấu trúc bội hai. Sự tách mức năng lượng thành các mức con như trên chủ yếu là do tương tác spin - quỹ đạo gây ra, electron ở trạng thái s không xảy ra tương tác spin - quỹ đạo. còn ở các trạng thái khác ( l  0 ) đều bị tách thành thành hai mức do j  l  s (trừ trạng thái j  n  1 ) 2 kết quả là các dịch chuyển về s đều cho ta vạch kép. Khi nghiên cứu cấu trúc tinh tế như ở trên ta đã coi trường hạt nhân là trường xuyên tâm, tuy nhiên hạt nhân của nguên tử Hydro có mô men từ và nó sẽ tương 11 tác với mô men từ của electron kết quả còn cho ta thêm nhiều hiệu chính năng lượng phụ nữa, tức là mỗi mức tinh tế còn bị tách ra thành nhiều mức, đây được gọi là sự tách siêu tinh tế, vấn đề này sẽ được nghiên cứu trong phần 1.2 1.2. Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro 1.2.1 Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lương của nguyên tử Hydro Thực nghiệm cho thấy rằng khi quan sát sự tách các vạch trong cấu trúc tinh tế bằng máy quang phổ có độ phân giải cao, mỗi vach tinh tế còn bị tách thành các vạch con. Người ta gọi các vạch con này là cấu trúc siêu tinh tế. Nguyên nhân của sự tách vạch siêu tinh tế là do hạt nhân nguyên tử có spin ( I ) tương tác với spin của electron. Trong trường hợp này spin của hạt nhân I có trong biểu thức : MN  g1 N I h (1.54) Ở đây g1 là đại lượng không thứ nguyên  N gọi là mô men từ hạt nhân và được cho bởi : N  eh m  B 2M P M P (1.55) ở đây m là khối lượng của electron M P là khối lượng của prôton .  N nhỏ hơn  B bởi vì yếu tố m MP = 1 1836.15 , giá trị của  N là : N = 5.050821027 J/T (1.56) I h (1.57) Chúng ta có thể viết: MN  g1'  B ở đây : g 1' = g1 N m g1  g1 = Mp 1836.15 B (1.58) là số rất nhỏ nên (1.54) có thể viết lại : MN = N I I  (1.59) Ở đây MN là giá trị mô men từ hạt nhân trong hệ đơn vị hạt nhân chúng ta có :  N = g1 I 12 (1.60) Nghiên cứu nguyên tử Hydro có điện tích Ze , Z  << 1 và mô men lưỡng cực từ của hạt nhân MN chúng ta sẽ viết được Hamintonian như sau : ' H  H 0  H MD Ze (1.61) 2 Ho bao gồm tương tác Coulomb 4 r và liên hệ với cấu trúc tinh tế. 0 ' H MD  H 1'  H 2' H1 liên quan đến véc tơ thế năng r   A r    0 M 4  N (1.62)  A (r)  1        0  M  r  4 N  r 1 r3 (1.63) Khi không chú ý tới mô men của electron thì H1’ được viết : H 1'   ie  A .  m (1.64) Đưa (1.63) vào (1.64) chúng ta giành được : H 1'  0 2 1 B 3 L . M 4  r N  0 2 1 g1  B  N 3 L . I 2 4  r (1.65) Ở đây L = rp, H2’ liên quan đến spin của electron S.    1 B    A   0 M N  2     M 4  r N .   1  (1.66) r Mô men từ spin của electron tương ứng với năng lượng tương tác (với gs = 2) . B  2 B S . B  H 2'  M (1.67) hoặc : 0 4 1 1  2      5 .   M N .    r r  2  1 1   0 2 g1  B  N  S  I     S    I     4  r r  H 2'   M  5 .M N (1.68) với chú ý rằng : 1  2    4  r  r với r  0 S    I     S  r  I  r   ; 1 1    3 S  I  3  r r  r2 Bây giờ sử dụng (1.68) và (1.70) ta có : 13 (1.69) r0 (1.70) 0 4   0 4 H '2    S  r  I  r    2 1  g1  B  N 3  S  I  3 2   r  r2   M 5  r  M N  r   1  M 1  M N 3 3   r  r2  r0 (1.71) Mô tả tương tác lưỡng cực - lưỡng cực giữa mô men từ của electron và hạt nhân, thêm kết quả (1.65) và (1.71) mô men lưỡng cực từ hạt nhân và electron với l  0 ' H MD  0 2  S  I  I  r   , 1  g1  B  N 3  L  I  S  I  3 2   4  r  r2 r0 (1.72) Quay lại biểu thức (1.68) của H và xem xét trong trường hợp r = 0 trong trạng ' 2 thái s ( l = 0 ) ta sẽ có : S    I    1  r 3 3  i 1 S1 I 1 j 1 2 1   x i x j  r  (1.73) Tất cả các phần tử ma trận đều triệt tiêu ngoại trừ i = j mỗi một phần tử ma trận 2  1  2  1  2  1  của x 2  r  , x 2  r  , x 2  r  phải có giá trị tương tự vì thế với l = 0    1  2  3  S    I    1 1 4 1   S  I  2     S  I  r  r 3 3 r (1.74) Từ phương trình này và thực tế là H 1' không đóng góp cho trạng thái có l = 0 chúng ta suy luận ra rằng tương tác giữa mô men lưỡng cực từ hạt nhân và và một electron được cho bởi ' H MD  0 2  8 8 g1  B  N  rS  I   0 M 2 4  3 4 3 Trong biểu thức này số hạng  r S  M N   r , l 0 (1.75) gọi là tương tác Fermi. Chúng ta bắt đầu đi xem xét trong trường hợp l = 0 và viết (1.72) ở dạng đơn giản hơn. ' H MD  với : 0 2 1 g1  B  N 3 G  I 2 4  r G  LS 3 (1.76) r S  r  r2 (1.77) Ta đưa vào mô men góc toàn phần của nguyên tử F IJ 14 (1.78) Ta biểu thị F  F  1 2 là trị riêng của toán tử F2 M F  là trị riêng của toán tử FZ Lúc này giá trị của số lượng tử F được cho bởi : với : M F   F , F  1,...,  F . F  I  j , I  j  1,..., I  j  1, I  j (1.79) Từ F và MF năng lượng chuyển đổi được viết : E  0 2 1 g1  B  N lsjIFM F 3 G  I lsjIFM F 2 4  r , l0 (1.80) Chúng ta có thể thay thế phần tử ma trận của G.I bằng j cho bởi : G  I  Ngoài ra từ G  J  I  J  j  j  1 h 2 (1.81) F 2  I 2  2I  J  J 2 (1.82) I J  Vì thế : E  Chúng ta có : 1 2 2 2 F - I - J  2 (1.83) C  F  F  1  I  I  1  J  J  1  2 (1.84a) với: C 0 1 1 g1  B  N GJ 2 4 j  j  1  r 3 l0 (1.84b) Chúng ta ký hiệu   cho giá trị kỳ vọng, lượng  r G.J -3  giành được một cách rõ ràng , ta chú ý rằng L.r = 0 và có thể viết : S  rr  S  r  G  J   L - S  3 2    L  S   L2 - S 2  3 2 r  r  2  S  r 2 Dễ dàng thấy : S -3 2  0 r Vì thế G.J = L2 và 1 1 G  J  l  l  1 2 3 3 r r (1.87) Vì vậy ta có: 15 2 (1.85) (1.86) 0 0 l  l  1 1 l  l  1 Z' C 2 g1  B  N  2 g1  B  N 4 j  j  1 r 3 4 j  j  1 l  l  1 / 2 l  1 2 l0 (1.88) Tiếp tục xét cho trạng thái s ( l = 0) năng lượng chuyển đổi viết được : E  0 2 8 gl  B  N  rS  I , l  0 2 4 h 3 S I Như L  0 ta có F  I  S và: E  Và bởi vậy  1 2 F  I 2  S2 2 (1.89)  (1.90) C0  F  F  1  I  I  1  s s  1  2 (1.91a) C0  với : 0 8 2 g1  B  N  r , 4 3 l0 (1.91b)   r     n 00  r    r  dr   n 00  0  2 Bây giờ 2  Z3 a 3 n 3 (1.92) C0  Ở đây C0 có kết quả :  0 16 Z3 g1  B  N 3 3 4 3 a n (1.93) So sánh (1.84) và (1.91) và nhớ lại rằng j = s cho trạng thái s chúng ta thấy cả hai trường hợp l  0 và l  0 chúng ta đều có : E  C  F  F  1  I  I  1  j  j  1  2 (1.94a) Với : C 0 1 Z3 4 g1  B  N 4 j  j  1 2l  1 a 3 n 3 (1.94b) Sử dụng hệ đơn vị nguyên tử và đưa vào hằng số cấu trúc tinh tế  chúng ta sẽ viết được kết quả : 3 1 m Z 3 2    F  F  1  I  I  1  j  j  1  E  g1 3   2 Mp n m j  j  1  2l  1 (1.95) Đã cho hạt nhân có số lượng tử spin là I cấu trúc tinh tế các mức năng lượng tương ứng với các giá trị của l và j bởi vậy sự tách vạch trong cấu trúc siêu tinh tế được 16 cấu thành bởi F. Số cấu trúc siêu tinh tế cấu thành tương ứng với cấu trúc tinh tế các mức năng lượng là nhỏ hơn hai số 2 j  1 và 2 l  1 là : E  F   E  F  1  CF (1.96) Độ rộng của hai thành phần của cấu trúc siêu tinh tế là : m E  Mp I  1/ 2 khi j  I 3 Z 3 2     l  j  1/ 2    g1 3 khi  I m n j  1 2 l  1       j  (1.97) Số lượng tử F tuân theo quy tắc lựa chọn : F  0,1 (1.98) Trong hệ đơn vị nguyên tử  E được cho bởi : 3 4 m  2 E    g p 3 Mp m (1.99) Ở đây g p =5,5883 là yếu tố Lander của photon dựa và kết quả này chúng ta tìm được tần số chuyển đổi giữa hai mức cấu trúc siêu tinh tế :   E có giá trị vào h khoảng 1420 MHz tương ứng với độ dài bước sóng là :   21cm . Giá trị thực nghiệm của v mà các nhà khoa học giành được vào năm 1963 là : v  1420405751.800  0.02  Hz (1.100) 1.2.2. Tương tác tứ cực trong cấu trúc siêu tinh tế Đặc điểm quan trọng thứ hai của cấu trúc của hạt nhân là tương tác tứ cực. Cấu trúc siêu tinh tế nó có tính đối xứng gồm các tensor bậc hai cấu thành định nghĩa dưới đây . vì vậy : X p1  X p , X p 2  Y p , Qij được X p3  Z p . Qij   3 X pi X pj   ij R p2 p  i, j  1, 2, 3  (1.101) là tổng của tất cả các proton trong hạt nhân , được gọi là mô men tứ cực điện như giá trị trung bình của hai thành phần Qzz  Q33 trong trạng thái I , M I  I đó là : Q  I , M 1  I Q zz I , M 1  I  I, M1  I  3Z p 2 p  R p2 I , M 1  I (1.102) ' Năng lượng tương tác H EQ giữa mô men tứ cực điện của hạt nhân và thế năng tĩnh điện Ve tạo bởi electron và hạt nhân, trong hệ đợn vị nguyên tử nó được viết : 17 H ' EQ I  J  2 I  J  1  I 2 J 2 B 2 I  2 I  1 j  2 j  1 3 2 :B Q Ở đây B là hằng số tương tác tứ cực được cho bởi với :  2Ve z 2  j, m j  j (1.103)  2Ve z 2 (1.104)  2Ve 3z 2  r 2 j , m  j   j , m  j j j j j z 2 r5 là gradient trung bình của trường điện gây bởi electron và hạt nhân. Độ dịch chuyển năng lượng trong tương tác tứ cực điện là :  E  jIFM F H ' EQ  jIFM F B  4 3 4 K  K  1  2 I  I  1 j  j  1 2 I  I  1 j  2 j  1 K  F  F  1  I  I  1  j  j  1 (1.105) với : (1.106) Thay (1.94) vào biểu thức (1.105) chúng ta tìm thấy năng lượng tổng thể của cấu trúc siêu tinh tế cho bởi biểu thức sau : C B E  K  2 4 3 4 K  K  1  2 I  I  1 j  j  1 2 I  I  1 j  2 j  1 (1.107) Kết luận chương 1 Chương 1 đã nghiên cứu cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro và của các Ion đồng dạng với nó. Chúng ta biết rằng các mức năng lượng trong nguyên tử do số lượng tử chính n quy định. Các vạch phổ thu được trong quang phổ do sự dịch chuyển giữa các mức năng lượng nói trên, và tuân theo quy tắc lọc lựa. Khi có tính đến spin của electron thì mỗi vạch phổ không còn là vạch đơn nữa mà được phân tách thành nhiều vạch nhỏ, sự phân tách đó gọi là cấu trúc tinh tế. Khi xét đến cả spin của hạt nhân thì mỗi mức tinh tế lại được tách thành các mức con nữa, tạo nên cấu trúc siêu tinh tế. Nghiên cứu ở cấp độ chính xác càng cao thì hình ảnh phổ càng phức tạp và càng đúng với thực nghiệm. Các kết quả thu được về nguyên tử Hydro có thể được vận dụng để nghiên cứu cho kim loại kiềm những nguyên tử đồng dạng với nó. Chúng ta sẽ nghiên cứu cấu trúc tinh tế và siêu tinh tế phổ nguyên tử của các kim loại kiềm ở chương 2. 18 CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC PHỔ NGUYÊN TỬ CÁC KIM LOẠI KIỀM 2.1 Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của các nguyên tử kim loại kiềm 2.1.1 Sự tương tự của các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên tử Hidro Các kim loại kiềm Li, Na, K, Rb, Cs và Fr tất cả chúng đều có trạng thái hoá học giống nhau, các electron ở lớp trong là bền vững, chúng liên kết chặt chẽ với hạt nhân tạo thành một hạt nhân hiệu dụng có điên tích là 1e và một electron hoá trị chuyển động trong trường hiệu dụng này vì thế chúng được coi là có cấu trúc tương tự như Hydro. Tuy nhiên sự tương tự là không hoàn toàn vì electron hoá trị đã làm biến dạng các lớp electron phía trong dẫn đến trường hiệu dụng không còn tính đối xứng cầu nữa. Thế năng của electron hoá trị trong trường hiệu dụng được viết : 1 c c  U  r   e   12  23   r r r  (2.1) Các số hạng từ thứ hai trở đi trong vế phải của phương trình (2.1) gọi là các hiệu chính thế tương tác do sự khác nhau giữa các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên tử Hydro. Dưới ảnh hưởng của electron hoá trị làm cho phần lõi bị phân cực. Ta xem trường của hạt nhân hiệu dụng là tổng của trường điện tích điểm và trường của mô men lưỡng cực điện, thế năng tương tác trong gần đúng bậc nhất sẽ là :  U (r )   Ze 2 Ze 2  C1 2 r r (2.2) Trong chương 1 chúng ta đã viết được công thức cấu trúc tinh tế của phổ nguyên tử đồng dạng với Hydro :   Z m0 e Z   n 3 Z2 0 Enj  En  Enj   2 2  Rh 4      Rh 2 2h n n  j 1 4 n  2  2 4 4 2 19     Z 2 2  n 3    1  2  n  j  1 4    2   (2.3) Trong đó :   e2 c  1 137 là hằng số cấu trúc tinh tế, R  m0 e 4 là hằng số Rydberg. 2h3 Ta nhận thấy độ tách các mức tỷ lệ với bình phương của hằng số cấu trúc tinh tế. Đối với các nguyên tử kim loại kiềm điện tử ở các lớp lấp đầy đã chắn bớt tác dụng trực tiếp của hạt nhân lên điện tử hoá trị, chính vì thế ta nói rằng điện tử chuyển động trong một trường xuyên tâm hiệu dụng. Từ đó ta có thể nhận xác định được biểu thức năng lượng cho các kim loại kiềm Enl   RyZ 2 (n  ) 2 (2.4) Trong đó  là bổ chính của số lượng tử n gọi là sai lệch lượng tử. Có thể xác định được  theo lý luận sau, electron hoá trị của kim loại kiềm chuyển động trong điện trường của hạt nhân hiệu dụng. Dưới ảnh hưởng của electron hoá trị làm cho phần lõi bị phân cực. Ta xem trường của hạt nhân hiệu dụng là tổng của trường điện tích điểmvà trường của mô men lưỡng cực điện, thế năng tương tác trong gần đúng bậc nhất sẽ là :  U (r )   Ze 2 Ze 2  C1 2 r r (2.5) C1 là hằng số đặc trưng cho mô men lưỡng cực Phương trình Schrodinger cho các nguyên tử kim loại kiềm có dạng :   Khi xem đại lượng C1 2m Ze 2 Ze 2 ( E   C )  0 1 2 r r2 Ze 2 r2 (2.6) là nhiễu loạn, có thể dùng phương pháp tách biến và tương tự như nguyên tử Hydro ta có phương trình sau :  1 d  2 d  2m0  2m0 c1e 2  e2  1   2  r   2  E    2 l  l  1   Rnl  0 r  r  h2   r dr  r  h  (2.7) Trong đây ta đặt trong toạ độ cầu :  ( r , ,  )  1  R ( r )Y ( ,  ) (2.8) Với hàm  thoả mãn phương trình trong gần đúng bậc không. Phương trình (2.6) sẽ trở về dang phương trình bán kính của Hydro, nếu đặt:   l (l  1)  2m C1Z 2e 2  l ' (l '1) 2 20 (2.9)
- Xem thêm -