Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Trêng ®¹i häc vinh
----------
TrÇn Do·n Anh Tho¹i
CÊu tróc phæ nguyªn tö cña kim lo¹i
kiÒm
vµ Kh¶ n¨ng lµm l¹nh nguyªn tö
b»ng Laser
LuËn v¨n Th¹c sü VËt lý
Vinh – 2009
1
MỤC LỤC
Lời mở đầu
Chương 1. Cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro
1.1. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Hydro
- 1.3.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro
- 1.3.2. Quang phổ của nguyên tử Hydro
1.2. Cấu trúc siêu tinh tế của nguên tử Hydro
- 1.3.1. Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro
- 1.3.2. Tương tác tứ cực trong cấu trúc siêu tinh tế của Hydro
Kết luận chương 1
Chương 2. Cấu trúc phổ nguyên tử của các kim loại kiềm
2.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của các nguyên tử kim loại kiềm
- 2.2.1. Sự tương tự của các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên tử Hydro
- 2.2.2. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Rubi
2.2. Hiệu ứng Zeeman và hiệu ứng Stark trong cấu trúc tinh tế
- 2.2.1. Trường mạnh, hiệu ứng Zeeman thường
- 2.2.2. Hiệu ứng Paschen- Back
- 2.2.3. Trường yếu, hiệu ứng Zeeman dị thường
- 2.2.4. Hiệu ứng Stark
2.3. Cấu trúc siêu tinh tế của các nguyên tử kim loại kiềm
- 2.3.1. Sự phân tách các mức năng lượng trong nguyên tử Rubi
- 2.3.2. Tương tác của nguyên tử Rubi với trường ngoài tĩnh
Kết luận chương 2
Chương 3. Khả năng làm lạnh nguyên tử bằng Laser
3.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường ánh sáng
- 3.1.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường ánh sáng
- 3.1.2. Chuyển động của nguyên tử dưới tác dụng của quang lực
3.2. Nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng Laser
- 3.2.1. Làm lạnh Doppler
- 3.2.2. Làm lạnh các nguyên tử kim loại kiềm
Kết luận chương 3
Kết luận chung
Tài liệu tham khảo
2
Trang
2
3
9
10
15
16
17
20
24
26
27
29
33
36
38
39
42
44
50
52
53
55
LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay trên thế giới với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật laser, các nhà
khoa học có thể làm lạnh nguyên tử xuống gần độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ thấp
như vậy, các nguyên tử thể hiện tính sóng nhiều hơn nhiều so với tính hạt, và có
trạng thái lượng tử như nhau, ngưng tụ lại thành hệ vật lý đậm đặc Bose-Einstein
(BEC) trạng thái thứ năm của vật chất.
Kim loại kiềm là những nguyên tố có cấu trúc tương tự như Hydro và có quang
phổ nằm trong vùng khả kiến, vì thế nó rất thích hợp cho công việc làm lạnh bằng
ánh sáng laser. Nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới đã tiến hành làm lạnh kim loại
kiềm và đã thu được nhiều thành công rực rỡ. Một trong những thành công đó là
đã tạo ra được BEC, từ đó cho phép chúng ta nghiên cứu phổ nguyên tử với các
phép đo siêu chính xác, nghiên cứu các hiệu ứng quan trọng như trong suốt tự cảm
điện từ (EIT ), các hiệu ứng phi tuyến, máy tính lượng tử, laser nguyên tử .v.v.
Muốn làm lạnh được kim loại kiềm thì phải biết được cấu trúc phổ nguyên tử của
chúng, tức là phải biết được các mức năng lượng của nguyên tử. Thực nghiệm cho
thấy rằng phổ quang học của các nguyên tử là do electron hoá trị quy định. Vì thế
thay cho việc xác định trạng thái của nguyên tử ta chỉ việc xác định trạng thái của
các electron hoá trị. Nghiên cứu ở mức độ càng sâu, độ chính xác càng cao thì các
mức năng lượng thu được càng nhiều tức là hình ảnh phổ càng phức tạp. Vì vậy
chúng tôi chọn chủ đề “ Cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm và khả
năng làm lạnh nguyên tử bằng laser ” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp
của mình. Ở đây chúng tôi nghiên cứu quang phổ của nguyên tử Hydro rồi mở
rộng cho các nguyên tử kim loại kiềm bằng việc sử dụng các lý thuyết của cơ học
lượng tử. Căn cứ vào cấu trúc phổ nguyên tử của kim loại kiềm để xây dựng sơ đồ
làm lạnh nguyên tử.
Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương :
Chương 1. Cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro
Chương 2. Cấu trúc phổ nguyên tử của các kim loại kiềm
3
Chương 3. Khả năng làm lạnh các nguyên tử kim loại kiềm bằng laser
CHƯƠNG 1
CẤU TRÚC PHỔ CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
1.1 Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Hydro
1.1.1. Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro
Nguyên tử Hydro gồm hạt nhân có điện tích 1e và một hạt nhân chuyển động
xung quanh. Trạng thái của electron trong nguyên tử Hydro được các định từ
phương trình Dirac :
ih
Hˆ
t
(1.1)
H c ( x p x y p y z p z ) m0c 2 U cp m0 c 2 U
Với :
(1.2)
là Hamintơn của eletron.
c : là vận tốc của ánh sáng trong chân không. m0 : là khối lượng nghỉ của electron
U
Ze 2
là thế năng của electron trong trường hạt nhân ( với Hydro thì Z = 1 )
r
0 ˆ
ˆ 0
I
0
0
I
trong đó : ˆ ˆ x , ˆ y , ˆ z là các ma trận Pauli.
trong đó : I : là ma trận đơn vị hạng hai
1
2
3
4
(1.3)
là hàm sóng xác định trạng thái của electron.
Ở trạng thái dừng :
H E
E m0c 2
m0 c 2 là năng lượng nghỉ của electron, : là động năng của electron
Với :
Thay (1.5) vào (1.4) ta có :
4
(1.4)
(1.5)
2
E
(cp m0 c U )
(1.6)
Thay và bằng những biểu thức của chúng ta đi tới:
0
E = c
I
p m0 c 2
0
0
0
I
U
0
I
0
I
(1.7)
Khai triển (1.7) ta được :
m0 c 2 U
E
c p
c p
m0 c 2 U
(1.8)
Từ đó ta suy ra :
cp ( m0 c 2 U E ) 0
cp ( m0c 2 U E ) 0
(1.9a)
(1.9b)
Thay (1.5) vào các phương trình (1.9a) và (1.9b) ta biến đổi được :
cp ( U )
(1.10a)
(1.10b)
Nhiệm vụ của chúng ta là tìm trị riêng của toán tử Ĥ ứng với trạng thái được
cp ( U 2m0 c 2 )
xác định theo biểu thức (1.3). Cần chú ý rằng vai trò của và là như nhau đối
với trị riêng của Ĥ vì vậy ta chỉ cần xét trị riêng của hàm .
Từ phương trình (1.10b) ta có :
cp
U 2m0c 2
cp
U
1
2m0c 2
1
2
= 2m0c
U
(1.11)
với độ chính xác đến bậc nhất của tỉ số 2m c 2 ta có thể biến đổi (1.11) về dạng :
0
1
U
p1
2m0 c
2m0 c 2
(1.12)
Thay (1.12) vào (1.10a) ta được :
( U )
1
U
p
1
2m0
2m0 c 2
p
(1.13)
Đối với các ma trận Pauli ta có hệ thức :
(a )(b )
b ) i [ a b ]
= (a
(1.14)
Đồng thời ta cũng có :
(p ) f ( r )(p )
i(gradf )(p ) = f ( r ) p 2
i
[( gradf ) p i [( gradf ) p ]] (1.15)
=f(r) (p )(p ) -
5
-
Đặt
U
1 2 m c 2
0
f (r ) ,
và chú ý tới (1.14) và (1.15) phương trình (1.13) sẽ
được biến đổi về dạng :
H '
(1.16)
Trong đó :
U
1
H '=
2m0c 2
p2
1
i(U )
U
[Up ]
p
2 2
4m0c 2
4m0 c
2m0
(1.17)
Từ điều kiện chuẩn hoá cho hàm sóng :
d 1
*
(1.18)
Trong đó :
mà
*
(
do đó ta có :
)d 1
(1.19)
Trong gần đúng cấp không biểu thức (1.12) được viết lại :
p
2m0c
p 2
[
]
2m0 c
Như vậy :
(1.20)
=
p2
( 2m0 c ) 2
(1.21)
Thay (1.21) vào (1.19) ta viết lại được điều kiện chẩn hoá :
( )d
(1
p2
)d
( 2m0 c ) 2
=1
(1.22)
Để tiện lợi hơn ta chuyển sang biểu diễn mới bằng cách đưa vào hàm thay cho
hàm ,
g
(1.23)
Sao cho :
d
g gd 1
So sánh (1.24) và (1.22) ta tìm được dạng tường minh của toán tử biến đổi :
gg 1
Chọn ĝ là toán tử thực ta có : g) g) [1
p2
2
4m0 c 2
p 2 1/2
p2
]
1
2
4m0 2c 2
8m0 c 2
6
(1.24)
p 2 1/2
p2
)
g 1 [1
]
1
2
4m0 2 c 2
8m0 c 2
Phép biến đổi (1.23) không làm cho toán tử Ha min tơn biến đổi. dễ dàng thấy
được điều đó nếu viết phương trình (1.16) về dạng :
g ( g H ' g 1 ) g
Như vậy toán tử Ha min tơn của phương trình :
Hˆ
(1.25)
v
2
Với H ( g) H ' g 1 ) trong phép gần đúng đến cấp 2 có dạng :
c
2
2
p
U
2
) '
U
2U
[U p ]
=
2 2
2 2
2
2
H1 ( g H g ) 2m
8m0 c
4m0 c
2m0 c
0
1
(1.26)
2
Với : p U là toán tử Ha min tơn phi tương đối tính, ba số hạng sau xét đến các
2m0
v2
hiệu chính tương đối tính cấp 2 . Như vây hiệu chính tương đối tính cho các toán
c
1
tử Ha min tơn trong chuyển động phi tương đối tính của hạt có spin có thể được
2
viết dưới dạng :
Trong đó :
W W1 W2 W3
W1
(1.27)
2
Zh e
1
2( )
2U =
2 2
2 2
8m0 c
r
8m0 c
2 2
(1.28)
Để ý rằng :
2
1
4 ( r )
r
ta được :
) Z h2 e 2
W1
(r )
2m0 2c 2
(1.29)
là số hiệu chính Darwin, đại lượng này xác định năng lượng tương tác bổ sung cho
electron trong trường hạt nhân ở các trạng thái s.
2
Ze 2
2
W2
r
2m0 2 c 2
2m0 2 c 2
)
U
(1.30)
Là đại lượng hiệu chính cho toán tử động năng xuất hiện do sự biến đổi khối lượng
của hạt khi vận tốc biến đổi.
7
[ gradU p ]
2 2
4m0 c
W3
(1.31)
Là đại lượng hiệu chính cho tương tác spin-quỹ đạo. Trong trường xuyên tâm ta có
gradU
U r U
r
r r
Thay biểu thức này vào (1.31) ta tìm được : ( với j l s )
W3
1 U
1
U ))
Ze 2
(
r
p
)
(
sl
)
( ˆj 2 lˆ2 sˆ 2 )
2
2m0 2 c 2 r r
4m0 2 c 2 r 3
4m0 c 2 r r
(1.32)
Ở trạng thái dừng ta có thể viết:
Ŵ3
Trong đó
l [r p]
,
s
2
Ze 2 h2
4m0 2 c 2 r 3
3
j j 1 l l 1 4
(1.33)
lần lượt là các toán tử mô men quỹ đạo và toán tử mô
men spin của hạt. Để xác định các trạng thái dừng của electron trong trường
Coulomb của hạt nhân ta cần giải phương trình :
( H 0 W1 W2 W3 ) E
Trong đó :
2
p
Ze 2
H0
2m0
r
(1.34)
, còn Ŵ1 , Ŵ2 , Ŵ3 là các hiệu chính tương đối tính cho
toán tử Hamintơn đã nói ở trên. với giả thiết rằng :
E
Ze 2
2m0 c 2 .
r
Trong toạ độ
)
cầu ta biến đổi H 0 về dạng :
2 1 2
l2
Ze 2
H0
r
2
2m0 r r r 2m0 r
r
(1.35)
Thực hiện phép tách biến :
Rnlj ( r )Ylmj ( , )
Thay (1.36) vào (1.34) ta tìm được hàm sóng xuyên tâm Rnlj
(1.36)
cho các trạng thái
dừng của nguyên tử Hydro.
{E
) )
)
h2 1 2 l (l 1) Ze 2
(W1 W2 W3 ) Rnlj (r )
=
[ 2 r
]
}
R
r
nlj
2m0 r r r
r2
r
(1.37)
Ta giải phương trình trên bằng phương pháp gần đúng liên tiếp, trong gần đúng
cấp không ta có phương trình :
8
{E
h2 1 2 l (l 1) Ze 2
[
]
}R nl =0
r
2m0 r 2 r r
r2
r
(1.38)
Phương trình này hoàn toàn trùng với phương trình Schrodinger. Vì thế ta tìm
được:
En0
Z 2 m0e 4
22 n 2
với n 1, 2,3...
(1.39)
Trong phép gần đúng cấp một , số hiệu chính năng lượng cho các Ŵi được tính :
ˆ nl nl W
ˆ nl nl W
ˆ nl (1.40)
Enj En 1 En 0 Rnl2 w1 w2 w3 r 2 dr nl W
1
2
3
0
Thực hiện các phép tính toán ta có :
0
khi
l0
2 2
Z h2 e2 2
Z
h
e
nl Ŵ1 nl
Rnl r r r 2 dr
Rnl2 0 Z h2 e 2 1
(1.41)
2 2
l 0
2m02c 2
8
m
c
0
0
2m 2 c 2 . n 2 khi
0
2
0 e2 2
1
1 1 3
1
2
nl Ŵ2 nl
Rnl r En r dr
(1.42)
2m0 c 2
r
2m0 c 2 n3 4n l 1
0
2
2
Ze
1
nl Ŵ3 nl 2 2 j j 1 l l 1 s s 1 Rnl2 3 r 2 dr
4m0 c
r
0
1
l 1
e2
3 2 dr
Ze 2
1
j
j
1
l
l
1
R
.
nl
2 2
2 2
2
4m0 c
4 0
r 4m0 c n 2l 1
l 1
khi
j l
1
2
(1.43)
khi
j l
1
2
Khi tính toán các phần tử ma trận trên chúng ta đã sử dụng các tích phân sau :
2
Rnl
1
2 1 2
0 Rnl r r dr n2 ;
0
1 2
r dr
r2
1
1;
n3 l
2
R
2
nl
0
1 2
r dr
r3
1
1
n3 l 1 l l
2
Như vậy trong gần đúng cấp một, hiệu chính năng lượng là :
E Enj
Trong đó
:
e2
c
1
137
Z 4 2
n
3
R.h
4
j 1
n4
2
(1.44)
m0 e 4
là hằng số cấu trúc tinh tế, còn R 3 là hằng số
2.h
Rydberg.
9
Z Z 2 2
0
Enj= En Enj = R.h 2 1 2
n
n
2
n
3
j 1 4
2
(1.45)
Với Hydro thì Z = 1 nên ta có :
R.h 2
0
Enj= En Enj = 2 1 2
n n
n
3
(1.46)
j 1 4
2
Hệ các mức năng lượng ứng với các giá trị Enj khác nhau ứng với cùng giá trị En0
như nhau gọi là cấu trúc tinh tế. Độ rộng toàn phần của cấu trúc tinh tế ở trạng thái
n được tính như sau :
n Enjmax Enjmin
1
2
1
2
1
2
R 2 n 1
n
n4
(1.47)
1
2
Trong đó : jmax lmax n 1 n ; jmin lmin
vào (1.45) ta tìm được :
1
; thay các giá trị này
2
(1.48)
Điều này có nghĩa là số lượng tử chính tăng lên thì độ rộng của cấu trúc tinh tế
giảm, nên trong thực tế chúng ta chỉ có thể quan sát được các dịch chuyển về mức
cơ bản và các lân cận với nó. Ứng với n, j như nhau nhưng với các giá trị của
l j
1
khác nhau thì vẫn có suy biến bội hai.( Chỉ có các mức có n đã cho với các
2
giá trị khả dĩ cực đại là không suy biến).
1.1.2. Quang phổ của nguên tử Hydro
Cấu trúc các vạch quang phổ của Hydro dựa trên quá trình dịch chuyển giữa các
mức năng lượng đồng thời có chú ý tới các quy tắc lọc lựa. Khi electron chuyển từ
trạng thái có mức năng lượng En về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn Em thì
nó sẽ phát xạ photon có năng lượng là h . Theo định luật bảo toàn năng lượng ta
có :
h En Em
10
(1.49)
Số lượng các vạch quang phổ thu được phụ thuộc vào cấp độ mà chúng ta đang
m0 e 4
R.h
R..h
xét. Khi bỏ qua cấu trúc tinh tế E nj E 2 2 2
2h n
n
2. n 2
0
n
thì các vạch
quang phổ thu được là các vạch đơn.
Thay biểu thức năng lượng vào ta được : h
R.h 1
1
2
2
2 n
m
(1.50)
với n và m là các số nguyên và n > m ,
Khi n = 1 ta được các vạch phổ trong dãy Lyman, tần số ứng với các vạch là :
R
1
. 1 2 với m = 2, 3, 4, 5…..
2 m
(1.51)
Khi n = 2 ta được các vạch phổ trong dãy Balmer, tần số ứng với các vạch là :
R 1 1
.
với m = 3, 4, 5, 6…..
2 4 m 2
(1.52)
Khi n = 3 ta được các vạch phổ trong dãy Paschel, tần số ứng với các vạch là :
R 1 1
.
với m = 4, 5, 6, 7…..
2 9 m 2
(1.53)
- Các vạch quang phổ trong dãy Lyman nằm trong vùng tử ngoại.
- Các vạch quang phổ trong dãy Balmer nằm trong vùng ánh sáng nhìn thấy.
- Các vạch quang phổ trong dãy Paschel nằm trong vùng hồng ngoại.
Khi tính đến cấu trúc tinh tế thì số các vạch phổ tăng lên. Mỗi mức năng lượng
ứng với số lượng tử chính n bị tách thành n mức cấu trúc tinh tế. Hình ảnh phổ thu
được không còn là những vạch đơn như trước mà là các vạch kép. Ứng với các
dịch chuyển về trạng thái s thì các vạch phổ đều có cấu trúc bội hai. Sự tách mức
năng lượng thành các mức con như trên chủ yếu là do tương tác spin - quỹ đạo gây
ra, electron ở trạng thái s không xảy ra tương tác spin - quỹ đạo. còn ở các trạng
thái khác ( l 0 ) đều bị tách thành thành hai mức do j l s (trừ trạng thái j n
1
)
2
kết quả là các dịch chuyển về s đều cho ta vạch kép.
Khi nghiên cứu cấu trúc tinh tế như ở trên ta đã coi trường hạt nhân là trường
xuyên tâm, tuy nhiên hạt nhân của nguên tử Hydro có mô men từ và nó sẽ tương
11
tác với mô men từ của electron kết quả còn cho ta thêm nhiều hiệu chính năng
lượng phụ nữa, tức là mỗi mức tinh tế còn bị tách ra thành nhiều mức, đây được
gọi là sự tách siêu tinh tế, vấn đề này sẽ được nghiên cứu trong phần 1.2
1.2. Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử Hydro
1.2.1 Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lương của nguyên tử Hydro
Thực nghiệm cho thấy rằng khi quan sát sự tách các vạch trong cấu trúc tinh tế
bằng máy quang phổ có độ phân giải cao, mỗi vach tinh tế còn bị tách thành các
vạch con. Người ta gọi các vạch con này là cấu trúc siêu tinh tế. Nguyên nhân của
sự tách vạch siêu tinh tế là do hạt nhân nguyên tử có spin ( I ) tương tác với spin
của electron. Trong trường hợp này spin của hạt nhân I có trong biểu thức :
MN g1 N
I
h
(1.54)
Ở đây g1 là đại lượng không thứ nguyên N gọi là mô men từ hạt nhân và được
cho bởi :
N
eh
m
B
2M P M P
(1.55)
ở đây m là khối lượng của electron M P là khối lượng của prôton . N nhỏ hơn B
bởi vì yếu tố
m
MP
=
1
1836.15
, giá trị của N là :
N
= 5.050821027 J/T
(1.56)
I
h
(1.57)
Chúng ta có thể viết:
MN g1' B
ở đây :
g 1' =
g1
N
m
g1
g1 =
Mp
1836.15
B
(1.58)
là số rất nhỏ nên (1.54) có thể viết lại :
MN =
N I
I
(1.59)
Ở đây MN là giá trị mô men từ hạt nhân trong hệ đơn vị hạt nhân chúng ta có :
N = g1 I
12
(1.60)
Nghiên cứu nguyên tử Hydro có điện tích Ze , Z << 1 và mô men lưỡng cực từ
của hạt nhân MN chúng ta sẽ viết được Hamintonian như sau :
'
H H 0 H MD
Ze
(1.61)
2
Ho bao gồm tương tác Coulomb 4 r và liên hệ với cấu trúc tinh tế.
0
'
H MD
H 1' H 2'
H1 liên quan đến véc tơ thế năng
r
A r 0 M
4
N
(1.62)
A (r)
1
0 M
r 4
N
r
1
r3
(1.63)
Khi không chú ý tới mô men của electron thì H1’ được viết :
H 1'
ie
A .
m
(1.64)
Đưa (1.63) vào (1.64) chúng ta giành được :
H 1'
0 2
1
B 3 L . M
4 r
N
0 2
1
g1 B N 3 L . I
2
4
r
(1.65)
Ở đây L = rp, H2’ liên quan đến spin của electron S.
1
B A 0 M N 2 M
4
r
N
.
1
(1.66)
r
Mô men từ spin của electron tương ứng với năng lượng tương tác (với gs = 2)
. B 2 B S . B
H 2' M
(1.67)
hoặc :
0
4
1
1
2 5 . M N .
r
r
2
1
1
0 2 g1 B N S I S I
4
r
r
H 2'
M
5
.M
N
(1.68)
với chú ý rằng :
1
2 4 r
r
với r 0
S
I
S r I r ;
1
1
3 S I 3
r
r
r2
Bây giờ sử dụng (1.68) và (1.70) ta có :
13
(1.69)
r0
(1.70)
0
4
0
4
H '2
S r I r
2
1
g1 B N 3 S I 3
2
r
r2
M 5 r M N r
1
M 1 M N 3
3
r
r2
r0
(1.71)
Mô tả tương tác lưỡng cực - lưỡng cực giữa mô men từ của electron và hạt nhân,
thêm kết quả (1.65) và (1.71) mô men lưỡng cực từ hạt nhân và electron với l 0
'
H MD
0 2
S I I r ,
1
g1 B N 3 L I S I 3
2
4
r
r2
r0
(1.72)
Quay lại biểu thức (1.68) của H và xem xét trong trường hợp r = 0 trong trạng
'
2
thái s ( l = 0 ) ta sẽ có :
S
I
1
r
3
3
i 1
S1 I 1
j 1
2
1
x i x j r
(1.73)
Tất cả các phần tử ma trận đều triệt tiêu ngoại trừ i = j mỗi một phần tử ma trận
2 1
2 1
2 1
của x 2 r , x 2 r , x 2 r phải có giá trị tương tự vì thế với l = 0
1
2
3
S
I
1
1
4
1
S I 2
S I r
r
3
3
r
(1.74)
Từ phương trình này và thực tế là H 1' không đóng góp cho trạng thái có l = 0
chúng ta suy luận ra rằng tương tác giữa mô men lưỡng cực từ hạt nhân và và một
electron được cho bởi
'
H MD
0 2
8
8
g1 B N
rS I 0
M
2
4
3
4 3
Trong biểu thức này số hạng
r
S
M N r ,
l 0
(1.75)
gọi là tương tác Fermi.
Chúng ta bắt đầu đi xem xét trong trường hợp l = 0 và viết (1.72) ở dạng đơn giản
hơn.
'
H MD
với :
0 2
1
g1 B N 3 G I
2
4
r
G LS 3
(1.76)
r S r
r2
(1.77)
Ta đưa vào mô men góc toàn phần của nguyên tử
F IJ
14
(1.78)
Ta biểu thị
F F 1 2 là
trị riêng của toán tử F2 M F là trị riêng của toán tử FZ
Lúc này giá trị của số lượng tử F được cho bởi :
với : M F F , F 1,..., F .
F I j , I j 1,..., I j 1, I j
(1.79)
Từ F và MF năng lượng chuyển đổi được viết :
E
0 2
1
g1 B N lsjIFM F 3 G I lsjIFM F
2
4
r
, l0
(1.80)
Chúng ta có thể thay thế phần tử ma trận của G.I bằng j cho bởi :
G I
Ngoài ra từ
G
J I J
j j 1 h 2
(1.81)
F 2 I 2 2I J J 2
(1.82)
I J
Vì thế :
E
Chúng ta có :
1 2 2 2
F - I - J
2
(1.83)
C
F F 1 I I 1 J J 1
2
(1.84a)
với:
C
0
1
1
g1 B N
GJ
2
4
j j 1 r 3
l0
(1.84b)
Chúng ta ký hiệu
cho giá trị kỳ vọng, lượng
r G.J
-3
giành được một
cách rõ ràng , ta chú ý rằng L.r = 0 và có thể viết :
S rr
S r
G J L - S 3 2 L S L2 - S 2 3 2
r
r
2
S r
2
Dễ dàng thấy :
S -3 2 0
r
Vì thế G.J = L2 và
1
1
G J l l 1 2 3
3
r
r
(1.87)
Vì vậy ta có:
15
2
(1.85)
(1.86)
0
0
l l 1 1
l l 1
Z'
C
2 g1 B N
2 g1 B N
4
j j 1 r 3
4
j j 1 l l 1 / 2 l 1 2
l0
(1.88)
Tiếp tục xét cho trạng thái s ( l = 0) năng lượng chuyển đổi viết được :
E
0 2
8
gl B N
rS I , l 0
2
4 h
3
S I
Như L 0 ta có F I S và:
E
Và bởi vậy
1 2
F I 2 S2
2
(1.89)
(1.90)
C0
F F 1 I I 1 s s 1
2
(1.91a)
C0
với :
0
8
2 g1 B N
r ,
4
3
l0
(1.91b)
r n 00 r r dr n 00 0
2
Bây giờ
2
Z3
a 3 n 3
(1.92)
C0
Ở đây C0 có kết quả :
0 16
Z3
g1 B N 3 3
4 3
a n
(1.93)
So sánh (1.84) và (1.91) và nhớ lại rằng j = s cho trạng thái s chúng ta thấy cả hai
trường hợp l 0 và l 0 chúng ta đều có :
E
C
F F 1 I I 1 j j 1
2
(1.94a)
Với :
C
0
1
Z3
4 g1 B N
4
j j 1 2l 1 a 3 n 3
(1.94b)
Sử dụng hệ đơn vị nguyên tử và đưa vào hằng số cấu trúc tinh tế chúng ta sẽ viết
được kết quả :
3
1 m
Z 3 2 F F 1 I I 1 j j 1
E
g1 3
2 Mp
n m
j j 1 2l 1
(1.95)
Đã cho hạt nhân có số lượng tử spin là I cấu trúc tinh tế các mức năng lượng tương
ứng với các giá trị của l và j bởi vậy sự tách vạch trong cấu trúc siêu tinh tế được
16
cấu thành bởi F. Số cấu trúc siêu tinh tế cấu thành tương ứng với cấu trúc tinh tế
các mức năng lượng là nhỏ hơn hai số
2 j 1
và
2 l 1
là :
E F E F 1 CF
(1.96)
Độ rộng của hai thành phần của cấu trúc siêu tinh tế là :
m
E
Mp
I 1/ 2 khi j I
3
Z 3 2
l j 1/ 2
g1 3
khi I
m
n
j
1
2
l
1
j
(1.97)
Số lượng tử F tuân theo quy tắc lựa chọn : F
0,1
(1.98)
Trong hệ đơn vị nguyên tử E được cho bởi :
3
4 m
2
E
g p
3 Mp m
(1.99)
Ở đây g p =5,5883 là yếu tố Lander của photon dựa và kết quả này chúng ta tìm
được tần số chuyển đổi giữa hai mức cấu trúc siêu tinh tế :
E
có giá trị vào
h
khoảng 1420 MHz tương ứng với độ dài bước sóng là : 21cm . Giá trị thực
nghiệm của v mà các nhà khoa học giành được vào năm 1963 là :
v 1420405751.800 0.02 Hz
(1.100)
1.2.2. Tương tác tứ cực trong cấu trúc siêu tinh tế
Đặc điểm quan trọng thứ hai của cấu trúc của hạt nhân là tương tác tứ cực. Cấu
trúc siêu tinh tế nó có tính đối xứng gồm các tensor bậc hai cấu thành
định nghĩa dưới đây .
vì vậy :
X p1 X p , X p 2 Y p
,
Qij được
X p3 Z p .
Qij 3 X pi X pj ij R p2
p
i, j 1,
2, 3
(1.101)
là tổng của tất cả các proton trong hạt nhân , được gọi là mô men tứ cực điện như
giá trị trung bình của hai thành phần Qzz Q33 trong trạng thái I , M I I đó là :
Q
I , M 1 I Q zz I , M 1 I
I, M1 I
3Z
p
2
p
R p2 I , M 1 I
(1.102)
'
Năng lượng tương tác H EQ giữa mô men tứ cực điện của hạt nhân và thế năng tĩnh
điện Ve tạo bởi electron và hạt nhân, trong hệ đợn vị nguyên tử nó được viết :
17
H
'
EQ
I J 2 I J 1 I 2 J 2
B
2 I 2 I 1 j 2 j 1
3
2
:B Q
Ở đây B là hằng số tương tác tứ cực được cho bởi
với :
2Ve
z 2
j, m j j
(1.103)
2Ve
z 2
(1.104)
2Ve
3z 2 r 2
j
,
m
j
j
,
m
j
j j
j
j
z 2
r5
là gradient trung bình của trường điện gây bởi electron và hạt nhân. Độ dịch
chuyển năng lượng trong tương tác tứ cực điện là :
E jIFM F H
'
EQ
jIFM
F
B
4
3
4
K K 1 2 I I 1 j j 1
2 I I 1 j 2 j 1
K F F 1 I I 1 j j 1
(1.105)
với :
(1.106)
Thay (1.94) vào biểu thức (1.105) chúng ta tìm thấy năng lượng tổng thể của cấu
trúc siêu tinh tế cho bởi biểu thức sau :
C
B
E K
2
4
3
4
K K 1 2 I I 1 j j 1
2 I I 1 j 2 j 1
(1.107)
Kết luận chương 1
Chương 1 đã nghiên cứu cấu trúc phổ của nguyên tử Hydro và của các Ion đồng
dạng với nó. Chúng ta biết rằng các mức năng lượng trong nguyên tử do số lượng
tử chính n quy định. Các vạch phổ thu được trong quang phổ do sự dịch chuyển
giữa các mức năng lượng nói trên, và tuân theo quy tắc lọc lựa.
Khi có tính đến spin của electron thì mỗi vạch phổ không còn là vạch đơn nữa
mà được phân tách thành nhiều vạch nhỏ, sự phân tách đó gọi là cấu trúc tinh tế.
Khi xét đến cả spin của hạt nhân thì mỗi mức tinh tế lại được tách thành các mức
con nữa, tạo nên cấu trúc siêu tinh tế. Nghiên cứu ở cấp độ chính xác càng cao thì
hình ảnh phổ càng phức tạp và càng đúng với thực nghiệm. Các kết quả thu được
về nguyên tử Hydro có thể được vận dụng để nghiên cứu cho kim loại kiềm những nguyên tử đồng dạng với nó. Chúng ta sẽ nghiên cứu cấu trúc tinh tế và siêu
tinh tế phổ nguyên tử của các kim loại kiềm ở chương 2.
18
CHƯƠNG 2
CẤU TRÚC PHỔ NGUYÊN TỬ CÁC KIM LOẠI KIỀM
2.1 Cấu trúc tinh tế các mức năng lượng của các nguyên tử kim loại kiềm
2.1.1 Sự tương tự của các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên tử Hidro
Các kim loại kiềm Li, Na, K, Rb, Cs và Fr tất cả chúng đều có trạng thái hoá
học giống nhau, các electron ở lớp trong là bền vững, chúng liên kết chặt chẽ với
hạt nhân tạo thành một hạt nhân hiệu dụng có điên tích là 1e và một electron hoá
trị chuyển động trong trường hiệu dụng này vì thế chúng được coi là có cấu trúc
tương tự như Hydro. Tuy nhiên sự tương tự là không hoàn toàn vì electron hoá trị
đã làm biến dạng các lớp electron phía trong dẫn đến trường hiệu dụng không còn
tính đối xứng cầu nữa.
Thế năng của electron hoá trị trong trường hiệu dụng được viết :
1 c c
U r e 12 23
r
r r
(2.1)
Các số hạng từ thứ hai trở đi trong vế phải của phương trình (2.1) gọi là các hiệu
chính thế tương tác do sự khác nhau giữa các nguyên tử kim loại kiềm với nguyên
tử Hydro. Dưới ảnh hưởng của electron hoá trị làm cho phần lõi bị phân cực. Ta
xem trường của hạt nhân hiệu dụng là tổng của trường điện tích điểm và trường
của mô men lưỡng cực điện, thế năng tương tác trong gần đúng bậc nhất sẽ là :
U (r )
Ze 2
Ze 2
C1 2
r
r
(2.2)
Trong chương 1 chúng ta đã viết được công thức cấu trúc tinh tế của phổ nguyên
tử đồng dạng với Hydro :
Z m0 e
Z n
3
Z2
0
Enj En Enj 2 2 Rh 4
Rh 2
2h n
n j 1 4
n
2
2
4
4
2
19
Z 2 2 n
3
1 2
n j 1 4
2
(2.3)
Trong đó
:
e2
c
1
137
là hằng số cấu trúc tinh tế, R
m0 e 4
là hằng số Rydberg.
2h3
Ta nhận thấy độ tách các mức tỷ lệ với bình phương của hằng số cấu trúc tinh tế.
Đối với các nguyên tử kim loại kiềm điện tử ở các lớp lấp đầy đã chắn bớt tác
dụng trực tiếp của hạt nhân lên điện tử hoá trị, chính vì thế ta nói rằng điện tử
chuyển động trong một trường xuyên tâm hiệu dụng.
Từ đó ta có thể nhận xác định được biểu thức năng lượng cho các kim loại kiềm
Enl
RyZ 2
(n ) 2
(2.4)
Trong đó là bổ chính của số lượng tử n gọi là sai lệch lượng tử. Có thể xác định
được theo lý luận sau, electron hoá trị của kim loại kiềm chuyển động trong điện
trường của hạt nhân hiệu dụng. Dưới ảnh hưởng của electron hoá trị làm cho phần
lõi bị phân cực. Ta xem trường của hạt nhân hiệu dụng là tổng của trường điện tích
điểmvà trường của mô men lưỡng cực điện, thế năng tương tác trong gần đúng bậc
nhất sẽ là :
U (r )
Ze 2
Ze 2
C1 2
r
r
(2.5)
C1 là hằng số đặc trưng cho mô men lưỡng cực
Phương trình Schrodinger cho các nguyên tử kim loại kiềm có dạng :
Khi xem đại lượng C1
2m
Ze 2
Ze 2
(
E
C
) 0
1
2
r
r2
Ze 2
r2
(2.6)
là nhiễu loạn, có thể dùng phương pháp tách biến và
tương tự như nguyên tử Hydro ta có phương trình sau :
1 d 2 d 2m0
2m0 c1e 2
e2 1
2
r 2 E 2 l l 1
Rnl 0
r r
h2
r dr r h
(2.7)
Trong đây ta đặt trong toạ độ cầu :
( r , , )
1
R ( r )Y ( , )
(2.8)
Với hàm thoả mãn phương trình trong gần đúng bậc không.
Phương trình (2.6) sẽ trở về dang phương trình bán kính của Hydro, nếu đặt:
l (l 1)
2m
C1Z 2e 2 l ' (l '1)
2
20
(2.9)
- Xem thêm -