Tài liệu Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach khả ly

1 Trêng §¹i häc Vinh Khoa to¸n ====– — ==== Háa ThÞ H¬ng CÊu tróc ph©n tö ngÉu nhiªn NhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach kh¶ ly Khãa luËn tèt nghiÖp ®¹i häc Ngµnh cö nh©n khoa häc to¸n ====š Vinh - 2007 › === 2 lêi nãi ®Çu X¸c suÊt - thèng kª lµ mét lÜnh vùc khoa häc ®Çy khã kh¨n vµ phøc t¹p nhng còng ®Çy lý thó vµ hÊp dÉn. Nã cã nhiÒu ®ãng gãp vµo viÖc chøng minh mét líp c¸c bµi to¸n vµ mét vµi øng dông trong thùc tiÔn. ChÝnh ®iÒu ®ã ®· khiÕn t«i muèn ®i s©u h¬n vµo viÖc nghiªn cøu mét bé phËn nhá trong lý thuyÕt x¸c suÊt ®ã lµ: "CÊu tróc phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach kh¶ ly". ë ph¹m vi cña kho¸ luËn t¸c gi¶ chØ míi nªu lªn mét sè tÝnh chÊt cña c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn vµ øng dông cña nã. Bªn c¹nh ®ã cßn nªu lªn mét sè mÖnh ®Ò, ®Þnh lý cã chøng minh. Kho¸ luËn ®îc chia lµm 3 phÇn. PhÇn I: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ PhÇn II: PhÇn tö ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian R. PhÇn III: PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach kh¶ ly. Kho¸ luËn ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i §¹i Häc Vinh. Th«ng qua kho¸ luËn nµy t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o: NguyÔn H÷u Minh ngêi ®· híng t×nh vµ nhiÖt t×nh gióp ®ì trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ó hoµn thµnh kho¸ luËn. T¸c gi¶ còng xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn quý thÇy c« trong khoa To¸n §¹i Häc Vinh vµ c¸c b¹n cïng kho¸ ®· t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. 3 Do thêi gian nghiªn cøu kh«ng nhiÒu vµ h¹n chÕ cña b¶n th©n nªn ®Ò tµi sÏ kh«ng tr¸nh khái khiÕm khuyÕt. T«i mong muèn nhËn ®îc sù gãp ý cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®Ó khãa luËn cña t«i ®îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Vinh, th¸ng 5 n¨m 2007 T¸c gi¶ môc lôc Tran Lêi nãi ®Çu PhÇn I: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ PhÇn II: PhÇn tö ngÉu nhiªn R - gi¸ trÞ §1. §Þnh nghÜa vµ mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØ tiªu §2. øng dông cña hµm chØ tiªu §3. PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn R (R - gi¸ trÞ) §4. Kh«ng gian khi (X) PhÇn III: PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian g 1 3 7 7 11 13 15 21 Banach kh¶ ly §1: CÊu tróc phÇn tö ngÉu nhiªn B - gi¸ trÞ §2. Kú väng to¸n cña phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn 21 kh«ng gian Banach kh¶ ly §3. C«varian cña phÇn tö ngÉu nhiªn B - gi¸ trÞ §4. Ph¬ng sai cña phÇn tö ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian 24 28 29 Banach KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o 31 32 4 PhÇn I C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1. Kh«ng gian vÐc t¬ §Þnh nghÜa: Mét tËp hîp E   cïng víi mét phÐp céng E x E  E vµ mét phÐp nh©n v« híng /R x E  E ®îc gäi lµ kh«ng gian vÐc t¬ nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i, x + y = y + x ; x, y  E ii, (x + y) + z = x + (y + z) ; x, y, z  E iii, Tån t¹i ph©n tö   E ®Ó x +  = x ; x  E 4i, x  E, tån t¹i - x  E ®Ó x + (- x) =  5i, 1 . x = x ; x  E 6i, (x) = () . x 7i, (x + y) = x + y ;   /R ; x, y  E 8i, ( + ) x = x + x ;  ,   /R ; x  E ,   /R; x  E 1.2. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn 1.2.1. §Þnh nghÜa Gi¶ sö E - kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn /R vµ  . : E  /R lµ mét hµm tõ E  /R x  x Hµm  .  ®îc gäi lµ mét chuÈn trªn E nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: i, x  0 ; x  E x = 0  x = 0 ii, x =  . x;   /R ; x  E iii, x + y  x + y ; x, y  E 5 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh E cïng víi mét chuÈn trªn nã ®îc gäi lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Ký hiÖu: (E;  . ) ; hay E 6 1.2.2. TÝnh chÊt cña chuÈn * §Þnh lý 1: NÕu x  x lµ mét chuÈn trªn E th× d(x, y) = x - y lµ mét Mªtric trªn E. Mªtric nµy tho¶ m·n: d(x + z, y + z) = d(x, y) vµ d(x, y) =  . d(x, y)  x, y, z  E;   R. Chøng minh +) Râ rµng d(x, y) = x - y  0  x, y  E d(x, y) = 0  x - y = 0  x - y = 0  x = y +) x, y  E ta cã: d(x, y) = x - y = - (y - x)  = y - x = d(y, x) +) x, y, z  E ta cã: d(x, y) = x - y =  (x - z) + (z - y)  x z + z - y = = d(x, z) + d(z, y)  d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) * §Þnh lý 2: NÕu E - kh«ng gian ®Þnh chuÈn th× ¸nh x¹ chuÈn  .  lµ liªn tôc ®Òu trªn E. Chøng minh x, y  E ta cã: x =  (x - y) + y  x - y + y (1) y =  (y - x) + x  (2) y - x + x 7 Tõ (1)  x - y  (2)  x - y  - y - x = - x - y  - x - y  x - y     > 0 nªn chän  =  th× tõ x, y  E  x - y x - y  x - y x - y x - y <  =   x - y <    .  lµ liªn tôc ®Òu trªn E. * §Þnh lý 3: Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã ¸nh x¹ (x; y)  x + y tõ E x E  E vµ (; x)  x tõ R x E  E lµ liªn tôc Chøng minh Gi¶ sö (x, y) vµ (x0, y0)  E x E. Ta cã:  (x + y) - (x0 + y0) = (x - x0) + (y - y0)  x - x0 + y - y0 §iÒu nµy cho ta tÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ (x, y)  x + y t¹i mäi ®iÓm (x0; y0). Víi (; x) vµ (0, x0)  R x E. Ta cã: x - 0x0 = 0(x - x0) + ( - 0) x0 + ( - 0) (x - x0)   0 . x - x0 +  - 0 . x0 +  - 0 . x - x0. BÊt ®¼ng thøc nµy cho ta tÝnh liªn tôc cña hµm (; x)  x t¹i ®iÓm (0, x0). * §Þnh lý 4: Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã  a  E ¸nh x¹ x  a + x lµ phÐp ®ång ph«i ®¼ng cù tõ E lªn E vµ   /R;   0 ¸nh x¹ x  x lµ phÐp ®ång ph«i ®Òu E lªn E. Chøng minh DÔ thÊy c¸c ¸nh x¹ nµy lµ nh÷ng song ¸nh. 8 KÕt luËn vÒ tÝnh liªn tôc hai chiÒu ®îc suy ra tõ c¸c ®¼ng thøc:  (a + x) - (a + y)  = x - y x - y =  . x - y. 1.3. Kh«ng gian Banach §Þnh nghÜa: Gi¶ sö E - kh«ng gian ®Þnh chuÈn . E ®îc gäi Banach nÕu E ®èi víi Mªtric sinh bëi chuÈn lµ kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ (nghÜa lµ mäi d·y Cauchy trong E ®Òu héi tô). Hay c¸ch kh¸c:  > 0 ; tån t¹i n0 ; n  n0 ; k  N cã: xn+k - xn < . 1.4. Kh«ng gian Hilbert §Þnh nghÜa: Gi¶ sö E - kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K.  : E x E  K. (x, y)  (x, y). Hµm  ®îc gäi lµ mét tÝch v« híng trªn E nÕu: i, (x, x)  0 x  E (x, x) = 0  x = 0 ii, (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) x1, x2, y  E. iii, (x, y) =  . (x, y) ;   K ; x, y  E. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh E cïng víi mét tÝch v« híng trªn nã ®îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert. §Þnh nghÜa: Gi¶ sö E lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert, E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn sinh bëi tÝch v« híng ®îc x¸c ®Þnh bëi: x + y  x + y 9 NÕu E lµ kh«ng gian Banach th× E ®îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert. 1.5. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc §Þnh nghÜa: Gi¶ sö E, F lµ hai kh«ng gian ®Þnh chuÈn. ¸nh x¹ T : E  F ®îc gäi lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc nÕu T lµ tuyÕn tÝnh, T liªn tôc, tøc lµ: T(x + y) =  . Tx +  . Ty vµ lim x n  x Txn ,   /R ; x, y  E = Tx x  E. 1.6. Hµm sè ®o ®îc §Þnh nghÜa: Cho mét kh«ng gian Mªtric X, mét б - ®¹i sè F nh÷ng tËp hîp con cña X vµ mét tËp hîp A  F. Mét hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn X gäi lµ ®o ®îc trªn tËp hîp A ®èi víi б - ®¹i sè F nÕu: a  R : x  A : f(x) < a  F 10 PhÇn II PhÇn tö ngÉu nhiªn R - Gi¸ trÞ Trong phÇn nµy ta sö dông hµm chØ tiªu ®Ó t×m hiÓu s©u h¬n ®Þnh nghÜa theo cÊu tróc phÇn tö ngÉu nhiªn. §1. §Þnh nghÜa vµ mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØ tiªu 1.1. §Þnh nghÜa Cho  lµ mét tËp hîp bÊt kú. cña . Khi ®ã ta gäi bé (, A lµ б - ®¹i sè c¸c tËp con A) lµ kh«ng gian ®o. TËp con A  A ®îc gäi lµ tËp ®o ®îc hay lµ biÕn cè. Ta gäi ¸nh x¹ IA:   /R sao cho: Hay lµ: 1 nÕu  IA() =  A 0 nÕu   A 1 nÕu biÕn cè A x¶y ra IA() = 0 nÕu biÕn cè A kh«ng x¶y ra lµ hµm chØ tiªu tËp A hay hµm chØ tiªu cña biÕn cè A. 1.2. TÝnh chÊt 1.2.1. TÝnh chÊt 1 Hµm chØ tiªu cña tËp A (IA) lµ mét biÕn ngÉu nhiªn (BNN). Ta cã: б - ®¹i sè A = A, A ; ;  Víi c lµ sè thùc bÊt kú (c  /R)  víi c > 1  : IA() > c =  víi c  0 A víi 0 < c  1 (1) 11 V× , , A lµ c¸c biÕn cè nªn IA() lµ biÕn ngÉu nhiªn. Ngîc l¹i: IA() lµ BNN ta cã: A =  : IA() = 1 VËy A lµ biÕn cè. Ta cã mÖnh ®Ò: Hµm IA() lµ BNN khi vµ chØ khi A lµ biÕn cè. Tõ (1) ta cã:  nÕu c > 1  : IA()  c  =  nÕu c  0 A nÕu 0 < c  1  nÕu c > 1  : IA()  c  =  nÕu c  0 A nÕu 0 < c  1 1.2.2. TÝnh chÊt 2 NÕu AB th× IA  IB vµ ngîc l¹i. NÕu A=B th× IA = IB vµ ngîc l¹i. Chøng minh Trêng hîp 1: NÕu B x¶y ra  A x¶y ra hoÆc A kh«ng x¶y ra. NghÜa lµ nÕu IB = 1 th× IA = 1 hoÆc 0. Do vËy: KÕt luËn: IB - I A  0  IA  IB NÕu A  B th× IA  IB. ChiÒu ngîc l¹i chøng minh t¬ng tù. Trêng hîp 2: NÕu B kh«ng x¶y ra  A kh«ng x¶y ra NghÜa lµ IB = 0  IA = 0 IA = 12 Do vËy: KÕt luËn: NÕu IA = I B = 0 A=B th× IA = IB 1.2.3. TÝnh chÊt 3 IA = 1 - IA Tríc tiªn chøng minh: IA+B = IA + IB ; IA.B = IA . IB 13 Chøng minh +) IA+B = IA + IB. ThËt vËy: NÕu A x¶y ra th× A + B x¶y ra. Do vËy: IA+B = 1 = 1 + 0 = IA + IB. NÕu A kh«ng x¶y ra  A + B kh«ng x¶y ra. Do ®ã: +) IA+B = 0 = 0 + 0 = IA + IB IAB = IA . IB (Chøng minh t¬ng tù). +) §Ó chøng minh: IA = 1 - IA IA + IA = IA A = I = 1 Ta cã: IA = 1 - IA  1.2.4. TÝnh chÊt 4 n In Ai  = i 1 i 1 I Ai Chøng minh VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p. Víi n = 2 theo chøng minh 1.2.3. Ta cã: IA 1 .A 2 = IA 1 . IA 2 Gi¶ sö ®óng víi n = k tøc lµ: I A 1A 2 ...A k = I A 1 . I A 2 ... I A k (k > 2) Ta ph¶i chøng minh ®óng víi n = k + 1. ThËt vËy: I (A 1A 2 ...A k ).A k1 = I (A 1A 2 ...A k ) . I A k1 = I A 1 . I A 2 ... I A k . I A k1 VËy n In Ai = i 1  i 1 I Ai 1.2.5. TÝnh chÊt 5 I n  Ai = n i 1  i 1 I Ai 14 (Chøng minh nh tÝnh chÊt 4) 1.2.6. TÝnh chÊt 6 In U Ai = I A 1 + (1 - I A 1 ) . I A 2 + (1 - I A 1 ) (1 - I A 2 ) . I A 3 + ... + i 1 + (1 - I A 1 ) (1 - I A 2 ) … (1 - I A n1 ) . I A n Chøng minh Víi n = 2. Ta cã: I A 1 A 2 = I A 1 + I A 2 - I A 1.A 2 = I A 1 + I A 2 - I A 1 . I A 2 = I A 1 + (1 - I A 1 ) . I A 2 Víi n=3 I A 1  A 2  A 3 = I A 1 + I A 2 + I A 3 - IA 1 .A 2 - I A 1A 3 - I A 2A 3 + I A 1A 2A 3 = I A 1 + (1 - I A 1 ) . I A 2 + (1 - I A 1 ) . (1 - I A 2 ) . I A 3 Gi¶ sö ®óng víi n = k tøc lµ: Ik Ai = I A 1 + (1 - I A 1 ). I A 2 +... + (1 - I A 1 ) . (1 - I A 2 )...(1 - I i 1 A k1 ).I A k Chøng minh ®óng víi n = k + 1 ThËt vËy: I k 1 Ai i 1 = I ( A1 A 2  ... A k ) A k+1 = I A 1  A 2 ... A k + I A k1 - I ( A1 A 2  ... A k )  A k+1 = IA1 A 2  ... A k +IA k+1 -IA1 A2  ... A k .IA k+1 = IA1 A 2  ... A k + I A k1 - (I A 1 + (1 - I A 1 ).I A 2 + ... + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 ) ... (1 - I A k1 ).I A k ) . I A k1 = I A 1  A 2... A k + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 ) ... (1 - I A k1 ) (1 - I A k ) . I A k 1 = I A 1 + (1 - I A 1 ). I A 2 + ... + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 ) ... (1 - I A k1 ).I A k + 15 + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 ) ... (1 - I A k1 ) (1 - I A k ) . I A k1  ®pcm. 16 §2. øng dông cña hµm chØ tiªu n Ta gäi tæ hîp tuyÕn tÝnh X =  xi I A cña c¸c hµm chØ tiªu I i i 1 Ai cña c¸c tËp Ai ph©n ho¹ch h÷u h¹n  lµ BNN ®¬n gi¶n. Khi ®ã ta gäi kú väng cña X lµ: n n i 1 i 1 EX   xi EI Ai   xi P ( Ai ) Do ®ã: EIA = O . P(A) + 1 P(A) = P(A) 2.1. Sö dông hµm chØ tiªu ®Ó chøng minh x¸c suÊt cña hîp nhiÒu biÕn cè P(A1  A2  A3  A4) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A1A4) - P(A2A3) - P(A2A4) - P(A3A4) + P(A1A2A3) + + P(A1A3A4) + P(A1A2A4) + P(A2A3A4) - P(A1A2A3A4). Chøng minh Ta sö dông c«ng thøc: I A 1  A 2  A 3  A 4 = I A 1 + (1 - I A 1 ) . I A 2 + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 ). I A 3 + + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 )(1 - I A 3 ). I A 4 EI 4 I i 1 4 Ai  P(I Ai ) i 1 BiÕn ®æi vÕ tr¸i: Ta cã: P(A1  A2  A3  A4) = EI (A 1  A 2  A 3  A 4 ) = E[I A 1 + (1 - I A 1 ) . I A 2 + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 ). I A 3 + + (1 - I A 1 )(1 - I A 2 )(1 - I A 3 ). I A 4 ] = E[I A 1 + I A 2 + I A 3 + I A 4 - I A 1A 2 - I A 1A 3 - I A 1A 4 - I A 2A 3 - I A 2A 4 - I A 3A 4 + + I A 1A 2A 3 + I A 2A 3A 4 + I A 1A 3A 4 + I A 1A 2A 4 - I A 1A 2A 3A 4 ] = EI A 1 + EI A 2 + EI A 3 + EI A 4 - EI A 1A 2 - EI A 1A 3 - EI A 2A 3 - EI A 2A 4 - EI A 3A 4 - EI A 1A 4 + EI A 1A 2A 3 + EI A 2A 3A 4 + EI A 1A 3A 4 + EI A 1A 2A 4 - EI A 1A 2A 3A 4 17 = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A1A4) - P(A2A3) - P(A2A4) - P(A3A4) + P(A1A2A3) + P(A2A3A4) + P(A1A3A4) + P(A1A2A4) - P(A1A2A3A4) = vÕ ph¶i (®pcm) 2.2. øng dông cña hµm chØ tiªu chøng minh mét tÝnh chÊt kh¸c vÒ kú väng MÖnh ®Ò: Th× Gi¶ sö X lµ BNN vµ EX <  lim t . P(X  t) = 0 ( > 0) t > 0 Chøng minh  X  t t > 0. NÕu X  t t . I ( X   t)  X . I ( X  t) LÊy kú väng hai vÕ ta ®îc: t . EI ( X  t) E X . I ( X  t)   ( X  t) t . P(X  t) 0 (V× EX <   lim EX = 0) VËy lim t . P(x  t) = 0 t > 0 (®pcm).  E X . I 18 §3. PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn R (R - gi¸ trÞ) 3.1. §Þnh nghÜa 1 Cho kh«ng gian ®o Ta gäi ¸nh x¹ X: (, A) vµ (B; B).   B lµ phÇn tö ngÉu nhiªn (PTNN - B gi¸ trÞ)  : X()  A = X-1(B)  NÕu: Khi (B; B víi mçi A  B B) = (/R ; B(/R)) th× X ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn (BNN). 3.2. §Þnh nghÜa 2 Ta gäi tæ hîp tuyÕn cña c¸c hµm chØ tiªu IA lµ phÇn tö ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n nÕu: n X   xi I Ai i 1 Trong ®ã: (A1, ..., An) lµ ph©n ho¹ch cña  xi  R i lµ sè h÷u h¹n. 3.3. §Þnh nghÜa (VÒ d·y PTNN ®¬n gi¶n sinh bëi PTNN X bÊt kú). Cho X lµ PTNN nhËn gi¸ trÞ trªn R x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp . Ta gäi d·y PTNN ®¬n gi¶n sinh bëi PTNN X - R gi¸ trÞ lµ: n.k n Xn = - n . I [X   n) + Víi  j 1 j1 j [  X  n ) + n . I [X  n]  n  . I kn k   n.k n 1  k  k = 2, 3, 5, ... lµ c¸c sè nguyªn tè. NhËn xÐt: sinh bëi X. 3.4. MÖnh ®Ò §èi víi mét PTNN X cã nhiÒu PTNN ®¬n gi¶n 19 D·y PTNN ®¬n gi¶n sinh tõ X  0 n. k n Khi ®ã: Xn =  j 1   n .I An j  n.I X  n  j 1  k  An j = [ Víi j1 kn  X j kn < ] th× héi tô vÒ X. Xn  X Ký hiÖu: 3.5. MÖnh ®Ò tæng qu¸t D·y PTNN ®¬n gi¶n - R gi¸ trÞ sinh ra bëi X bÊt kú th× X n  X. n.k n NghÜa lµ: Víi Xn = - n . I [X   n) +  j 1 j1 j . I [ k  X  k )+ n .  n    n. k n 1  k  n n I [X  n] th× héi tô vÒ X. Chøng minh ThËt vËy: XÐt trêng hîp: víi X() < + th× víi n ®ñ lín X() < n cho nªn tån t¹i j : j1 kn X< j kn . §iÒu ®ã suy ra ®îc: Do ®ã Xn() = Xn() - X()  1 kn j1 . kn  0 (khi n  ) VËy Khi Xn  X. X() =   th× n n  ) Hay Xn()    khi n Xn =  n    (khi 20 VËy víi mäi trêng hîp th× Xn  X.