Tài liệu Các ứng dụng của phương trình schrodinger cho hệ nguyên tử

Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i Lêi c¶m ¬n C«ng tr×nh kho¸ luËn nµy ®îc hoµn thµnh, ngoµi sù nç lùc cña b¶n th©n cßn nhê vµo sù gióp ®ì híng dÉn nhiÖt t×nh ®Çy t©m huyÕt cña T.s Vò Ngäc S¸u - thÇy gi¸o híng dÉn vµ c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa vËt lý. VËy qua ®©y chóng t«i xin ®îc göi tíi T.s Vò Ngäc S¸u vµ toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa vËt lý lêi c¶m ¬n ch©n thµnh nhÊt. Do ®iÒu kiÖn thêi gian vµ kh¶ n¨ng cã h¹n nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt trong khi thùc hiÖn ®Ò tµi. RÊt mong ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c ®éc gi¶ ®Ó ®Ò tµi ®îc hoµn thiÖn h¬n./. Sinh viªn : u«ng thÞ h¶i 1 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i A- më ®Çu Tõ nh÷ng n¨m 30 cña thÕ kû XIX, c¬ häc lîng tö ®· trë thµnh lý thuyÕt vËt lý hiÖn ®¹i lµm c¬ së ®Ó gi¶i thÝch mäi hiÖn tîng xÈy ra trong c¸c cÊu tróc vi m« cña vËt chÊt, nã trë thµnh néi dung c¬ b¶n ®Ó x©y dùng c¸c híng nghiªn cøu míi cña vËt lý vµ c«ng nghÖ trong giai ®o¹n hiÖn nay nh chÊt r¾n, b¸n dÉn, lý thuyÕt h¹t c¬ b¶n, quang häc ph¸t x¹,... C¬ häc lîng tö cho c¸c vi h¹t chuyÓn ®éng cã vËn tèc nhá so víi vËn tèc ¸nh s¸ng (c= 3.108m/s) ®îc x©y dùng trªn ph¬ng tr×nh sãng Schr  odinger. §©y lµ ph¬ng tr×nh võa mang nh÷ng ®Æc trng sãng l¹i võa mang nh÷ng ®Æc trng h¹t phï hîp víi viÖc m« t¶ lìng tÝnh sãng - h¹t cña c¸c vi h¹t. Nghiªn cøu ph¬ng tr×nh Schr  odinger lµ mét vÊn ®Ò lín cña c¬ häc lîng tö. Trong khuÊn khæ cña ®Ò tµi nµy chóng t«i chØ dõng l¹i xem xÐt mét sè øng dông thùc tÕ, kh¸ tiªu biÓu cña ph¬ng tr×nh Schr  odinger dõng ®èi víi c¸c hÖ vËt lý thùc, nh÷ng bµi to¸n quan träng vµ c¸c øng dông trong nghiªn cøu phæ nguyªn tö. C¸c vÊn ®Ò tr×nh bµy trong kho¸ luËn nµy hy väng sÏ lµ néi dung khoa häc sö dông tèt cho nh÷ng ai quan t©m ®Õn c¸c 2 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i vÊn ®Ò øng dông nghiªn cøu ph¬ng tr×nh Schr  odinger trong c¸c vÊn ®Ò lîng tö. B - Néi dung Ch¬ng I: Tæng quan vÒ ph¬ng tr×nh Schr  o dinger 1.1. Ph¬ng tr×nh Schr  odinger kh«ng phô thuéc thêi gian 1.1.1. X©y dùng ph¬ng tr×nh XÐt mét h¹t khèi lîng m, ë tr¹ng th¸i cã n¨ng lîng E, xung lîng p kh«ng ®æi ( tr¹ng th¸i dõng ). Tr¹ng th¸i cña h¹t mµ ta xÐt ®îc m« t¶ bëi hµm sãng :     (r ) Khi ®ã h¹t chuyÓn ®éng sÏ tu©n theo ph¬ng tr×nh Schr  o dinger dõng sau ®©y:  Hˆ   E (r ) 3 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i 2 Víi Ĥ lµ to¸n tö Haminton : H = - 2m 2 + U(x,y,z) Do vËy to¸n tö nµy kh«ng t¸c dông lªn phÇn tö hµm sãng chøa trong trêng hîp tæng qu¸t khi h¹t chuyÓn ®éng trong trêng ngoµi biÕn ®æi. Khi ®ã hµm sãng m« t¶ tr¹ng th¸i h¹t lµ :     (r , t ) Vµ nã tho¶ m·n ph¬ng tr×nh sau ®©y:   (r , t ) ˆ  (r, t ) i. H t (1.1) Ph¬ng tr×nh (1.1) gäi lµ ph¬ng tr×nh Schr  odinger phô thuéc thêi gian viÕt cho h¹t vi m« chuyÓn ®éng trong mét trêng thÕ bÊt kú. B©y giê ®Ó ®¬n gi¶n ta xÐt cho h¹t chuyÓn ®éng mµ vÞ trÝ cña h¹t x¸c ®Þnh bëi to¹ ®é trªn trôc x. H¹t chuyÓn ®éng trong trêng thÕ U(x) cã n¨ng lîng E. Ta cã :    ( x , t ) ˆ (x i.  H , t) t MÆt kh¸c ta l¹i cã : víi 2 ˆ     2  U ( x) H 2m   ( x , t ) ˆ  ( x, t )  E ( x, t ) i.  E ( x, t )  H t ⇒ 2 ∂ 2ψ(x,t) . +U(x).ψ(x,t) =Eψ(x,t) 2m ∂t2 ⇒ 2 ∂ 2ψ(x,t) . +[ U(x) 2m ∂t2 E] ψ(x) =0 (1.2) 4 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i (1.2) lµ ph¬ng tr×nh Schr  odinger trong chuyÓn ®éng mét chiÒu §Æt  ( x, t )   ( x ). exp(  i Et )  (1.3) Thay (1.3) vµo (1.2) ta ®îc: 2 i  2 ( x ) i . exp(  Et ).  exp(  Et )( E  U ( x )) ( x )  0 2 2m   x  2  2 ( x ) .  ( E  U ( x )) ( x )  0 2m x 2 (1.4) Ph¬ng tr×nh (1.4) lµ ph¬ng tr×nh Schr  odinger dõng hay ph¬ng tr×nh Schr  odinger kh«ng phô thuéc thêi gian. VÒ ph¬ng diÖn to¸n häc ®©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng h¹ng hai tuyÕn tÝnh. ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh nµy cã thÓ cho nghiÖm øng víi nh÷ng gi¸ trÞ E bÊt kú. Tuy nhiªn vÒ ph¬ng diÖn vËt lý, ta chØ chän nh÷ng gi¸ trÞ E sao cho E(x,y,z) biÓu diÔn mét tr¹ng th¸i vËt lý, nghÜa lµ E(x) ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ, liªn tôc vµ h÷u h¹n. Ngêi ta ®· chøng minh r»ng chØ cã mét gi¸ trÞ E t¬ng øng víi c¸c hµm E(x) lµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn vËt lý ®ã. TËp hîp c¸c gi¸ trÞ E cã thÓ gi¸n ®o¹n hoÆc liªn tôc, hoÆc võa gi¸n ®o¹n võa liªn tôc. C¸c tr¹ng th¸i E(x,y,z) víi c¸c møc n¨ng lîng gi¸n ®o¹n t¬ng øng víi vi h¹t chØ chuyÓn ®éng trong mét vïng h÷u h¹n nµo ®ã trong kh«ng gian, x¸c suÊt t×m thÊy h¹t ë v« cïng b»ng kh«ng. V× vËy c¸c tr¹ng th¸i nµy gäi lµ c¸c tr¹ng 5 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i th¸i liªn kÕt. ViÖc gi¶i ph¬ng trinh Schr  odinger trong kh«ng gian ba chiÒu nãi chung lµ phøc t¹p vÒ sau sÏ ®Ò cËp ®Õn cßn b©y giê ta xÐt trong kh«ng gian mét chiÒu ( trªn trôc x ch¼ng h¹n ). Víi bµi to¸n nµy cã thÓ ph©n tÝch ®îc mét sè tÝnh chÊt tiªu biÓu ®Æc trng cho hÖ lîng tö mµ kh«ng lµm gi¶m tÝnh tæng qu¸t cña bµi to¸n ba chiÒu. MÆt kh¸c trong nhiÒu trêng hîp thÕ n¨ng cña trêng t¬ng t¸c cã thÓ t¸ch ra díi d¹ng: U(x,y,z) = U(x) + U(y) + U(z) Khi ®ã bµi to¸n trong kh«ng gian ba chiÒu cã thÓ chuyÓn vÒ c¸c bµi to¸n mét chiÒu  2 d 2 . . E ( x )  U ( x ). E ( x )  E. E ( x ) 2m dx 2 (1.5) (1.5) lµ ph¬ng tr×nh Schr  odinger mét chiÒu 1.1.2. C¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. a) TÝnh ch½n, lÎ cña nghiÖm. NÕu thÕ n¨ng lµ mét hµm chuÈn cña to¹ ®é th× nghiÖm ph¬ng tr×nh (1.5) cã tÝnh ch½n lÎ x¸c ®Þnh. ThËt vËy do biÕn sè trong ph¬ng tr×nh (1.5) cã kho¶ng gi¸ trÞ tõ -  < x <  nªn cã thÓ thay x b»ng -x vµ ta cã:  2 d2 . . 2m d (  x ) E (  x )  U (  x ). E (  x )  E. E ( x) (1.6) U(-x) = U(x) nªn khi thay vµo ph¬ng tr×nh trªn ta thu ®îc : 6 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i  2 d 2 . . E (  x)  U ( x). E (  x )  E. E (  x ) 2m dx 2 (1.7) E(-x) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (1.7) gièng hÖt phong tr×nh (1.5) vÒ d¹ng vµ øng víi cïng mét trÞ riªng E. khi kh«ng cã suy biÕn nghÜa lµ c¸c hµm riªng øng víi trÞ riªng kh¸c nhau th× (x) vµ E(-x) chØ cã thÓ kh¸c nhau mét h»ng sè nh©n k E E(x) = k . E(-x) (*) TiÕp tôc ®æi dÊu x mét lÇn n÷a ta cã : E(-x) = k . E(x) (**) Tõ (*) vµ (**) ta cã : E(x) = k2 . E(x) suy ra k =  1 E(x) = E(x) (1.8) Tõ (1.8) ta kÕt luËn r»ng nghiÖm E(x) cña ph¬ng tr×nh (1.5) lµ mét hµm hoÆc ch½n øng víi dÊu (+), hoÆc lÎ øng víi dÊu trõ cña to¹ ®é b) Hµm sãng (x) ph¶i giíi néi §iÒu nµy cã thÓ suy ra tõ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ cña hµm sãng Theo ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ hµm sãng.  |  ( x, t ) | 2 dx  1 c) Hµm sãng ph¶i ®¬n trÞ vµ nÕu kh«ng ®¬n trÞ th× øng v¬Ý c¸c møc vÞ trÝ kh«ng gian cã nhiªï gi¸ trÞ x¸c suÊt t×m h¹t. §iÒu nµy tr¸i víi lý thuyÕt x¸c suÊt . d) TÝnh liªn tôc. 7 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i Hµm sãng cÇn ph¶i liªn tôc theo to¹ ®é v× mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy h¹t |(x)|2 kh«ng thay ®æi . Ngoµi ra ®èi víi c¸c trêng cã thÕ n¨ng gi¸n ®o¹n h÷u h¹n thi ngay c¶ t¹i nh÷ng ®iÓm ®ã, ®¹o hµm bËc nhÊt cña nghiÖm còng sÏ liªn tôc. NghÜa lµ: E(x0+) = E'(x0+) Víi x0 lµ ®iÓm mµ t¹i ®ã U(x) gi¸n ®o¹n. 1.1.3. TÝnh kh«ng suy biÕn cña tr¹ng th¸i ë phæ gi¸n ®o¹n. Trong chuyÓn ®éng m«t chiÒu øng víi c¸c møc n¨ng lîng cña phæ gi¸n ®o¹n, c¸c hµm sãng t¬ng øng lµ kh«ng suy biÕn. ThËt vËy gi¶ sö tån t¹i hai hµm sãng 1, 2 cïng øng víi møc n¨ng lîng E. Khi ®ã tõ (1.5) ta cã: 1  2 2m '' ''   (U  E )   1 . 2   2 . 1  1  2 '' '' TÝch ph©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh trªn ta cã : 1' . 2 2' . 1 = const ë v« cùc ®èi víi phæ gi¸n ®o¹n. 1(+) = 2(+) = 0 nªn const = 0 ' Suy ra : 1' . 2 = 2' . 1 ⇒ ' ψ1 ψ 2 = ψ1 ψ 2 LÊy tÝch ph©n hai vÐ cña ®¼ng thøc nµy ta cã: 1 = 2.const. Chøng tá r»ng 1 vµ 2 ph¶i trïng nhau. Hay nãi c¸ch kh¸c 1(x) , 2(x) chØ kh¸c nhau bëi mét h»ng sè kh«ng phô thuéc x hay trÞ riªng E thuéc phæ gi¸n ®o¹n kh«ng bÞ suy biÕn. §iÒu 8 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i nµy chØ cã thÓ ë c¸c trÞ riªng ë phæ gi¸n ®o¹n trong chuyÓn ®éng mét chiÒu. 1.2. C¸c ®¹i lîng ®Æc trng c¬ b¶n cña hÖ lîng tö. 1.2.1. MËt ®é x¸c suÊt vµ mËt ®é dßng x¸c suÊt. Nh ®· biÕt nÕu biÐt ®îc h¸m sãng sÏ tÝnh ®îc mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy h¹t:  = ||2 = *. Râ rµng  phô thuéc vµo thêi gian v× r»ng hµm sãng phô thuéc vµo thêi gian. Nh vËy  sÏ cã nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau khi thêi gian tr«i ®i, ta nãi r»ng cã mét dßng h¹t lu th«ng trong kh«ng gian. Tõ ph¬ng tr×nh (1.1) nh©n c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ bªn tr¸i víi hµm * ta cã: i * .    * Hˆ  t (1.10) lÊy liªn hîp phøc (1.10) ta ®îc:  i. .  * ˆ *  H t (1.11) LÊy (1.10) trõ (1.11) theo vÕ ta ®îc : i( * .   * ˆ   H ˆ *  . )  *H t t (1.12) mµ: ψ *. ∂ψ ∂ψ * ∂ ∂ρ +ψ. = (ψ *ψ) = ∂t ∂t ∂t ∂t víi 2 2 Ĥ = - 2m  + U(x,y,z) 9 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i 2   * Hˆ   Hˆ  *   ( * 2   2 * )   *U  U * 2m Do ®ã (1.12) viÕt l¹i lµ: NÕu ®Æt Ta cã: j = i. i * (ψ ⇒ψ 2m ∂ρ 2 = ⇒(ψ *⇒ψ ∂t 2m ψ⇒⇒*) = i (ψ⇒⇒* 2m ψ⇒⇒* ) =0 ψ *⇒ψ) ∂p +divj =0 ∂t (1.13) Ph¬ng tr×nh (1.13) cã d¹ng t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh liªn tôc trong c¬ häc lìng tö. Trong ®ã: p - gäi lµ mËt ®é x¸c suÊt j - gäi lµ vector mËt ®é dßng x¸c suÊt Theo ý nghÜa cña ph¬ng tr×nh liªn tôc th× ph¬ng tr×nh (1.13) biÓu thÞ ®Þnh luËt b¶o toµn x¸c suÊt hay cßn gäi lµ b¶o toµn sè h¹t trong c¬ häc lîng tö. 1.2.2. C¸c øng dông cña ph¬ng tr×nh Schr  odinger dõng a. Hè thÕ s©u v« h¹n XÐt mét h¹t chuyÓn ®éng trong trêng mµ thÕ n¨ng U(x) cã d¹ng 0khi a 0 D¹ng rµo thÕ nãi trªn ®îc biÓu diÔn ë h×nh (H.1.2) Ph¬ng tr×nh Schr  odinger cho h¹t lµ: miÒn I vµ miÒn III  2 d 2 . . ( x ) 2m dx 2   '' ( x )  víi x<0 vµ x>a 2mE  ( x)  0 2 (1.24) miÒn II lµ:  2 d 2 . . ( x )  U ( x ). ( x )  E. ( x ) 2m dx 2   '' ( x )  víi 0a) chØ tån t¹i sãng truyÒn qua. 14 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i Tõ ®ã ta ®i ®Õn nghiÖm sau:  I ( x)  e ik x  A.e  ik x x<0 1 1 (1.28) ψ II (x) =Bek2x +C.e-k2x 0a 1 (1.30) ' ' Sö dông ®iÒu kiÖn biªn: ψ I (0) =ψ II (0);ψ I (0) =ψ II (0)  II ( a )   III ( a ); II ' ( a )   III ' ( a ) Ta ®a hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1 A  B  C ik1 (1  A)  k 2 ( B  C ) (1.31) Be k 2 a  Ce  k 2a  De ik1a k 2 ( Be k 2 a  Ce  k2 a )  i.k1 .D.e ik1a Gi¶i 4 ph¬ng tr×nh trªn ta t×m ®îc A,B,C,D 4ik k . exp( ik a ) 1 2 2 §èi víi D ta ®îc : D  ( k  k ) 2 . exp(k a )  ( k  k ) 2 exp( k a ) 1 2 2 1 2 2 (1.32) Nh vËy dï cho E < 0 biªn ®é D cña sãng vÉn kh¸c 0, tøc lµ h¹t vÉn ®i qua rµo thÕ víi mét x¸c suÊt nµo ®ã. HiÖn tîng xuyªn qua rµo thÕ nµy goi lµ hiÖn tîng ®êng ngÇm. Ta sÏ x¸c ®Þnh ®îc hÖ sè truyÒn qua T cña h¹t ®i qua rµo. 15 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i T= D 2 2 16k1 k 2  2 k1  k 2 2 Hay T = 2 . exp( 2k 2 a ) 2 16k1 k1 2 1 2 k +k2 2 .exp 2a  2m( U 0 - E) (1.33) 2m Víi k 2  2 (U 0  E ) §èi víi trêng hîp rµo thÕ d¹ng tæng qu¸t nh h×nh (1.3) cã thÓ chia rµo thÕ thµnh v« sè rµo thÕ nhá h×nh ch÷ nhËt, mçi c¸i cã bÒ réng x vµ chiÒu cao U(x) U(x) HÖ sè truyÒn qua rµo thÕ b»ng tÝch hÖ sè truyÒn qua c¸c rµo thÕ . Ta cã: x1 0 x2 x  2x T  exp    2m(U ( x)  E ) dx   (1.34) víi x1 , x2 lµ hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a U(x) vµ ®êng m« t¶ E c. Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. XÐt h¹t víi khèi lîng m, dao ®éng däc theo trôc x díi t¸c dông cña lùc ®µn håi F=-kx (k lµ h»ng sè) , x lµ ®é dÞch chuyÓn 16 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i khái vÞ trÝ c©n b»ng ®Æt t¹i gèc to¹ ®é x=0 vµ ®ù¬c gäi lµ dao ®éng tö ®iÒu hoµ. Tõ ph¬ng tr×nh cña ®Þnh luËt II - Niuton, ta suy ra ph¬ng tr×nh cña m x F   x dao ®éng F k k   .x   x .x  0, m m m tö ®Æt ®iÒu ω= hoµ cã d¹ng : k m (1.36) (1.36) cã nghiÖm lµ : x=Asin t + Bcos t = acos(t+) §éng n¨ng cña tö dao ®éng ®iÒu hoµ: 1 1 2 = ma2ω 2 sin2 (ωt + φ) T = mx 2 2 ThÕ n¨ng cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ : E  T U  1 ma 2 2 2 (1.37) Râ rµng n¨ng lîng cña h¹t lµ liªn tôc vµ phô thuéc vµo . B©y giê ta gi¶i bµi to¸n dao ®éng tö theo c¬ häc lîng tö. §©y lµ bµi to¸n cã nhiÒu øng dông trong vËt lý lîng tö vµ lµ mét sè Ýt bµi to¸n cña c¬ häc lîng tö cã thÓ gi¶i ®îc mét c¸ch chÝnh x¸c. Ph¬ng tr×nh Schr  odinger cña dao ®éng tö cã d¹ng: ( 2 d 2 1 .  m 2 m 2 ). n ( x )  E n . n ( x) 2 2m dx 2 (1.38) ®Æt y m .x  2E ;    (*) 17 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i Ta ®îc ph¬ng tr×nh víi biÕn y: d 2 n ( y )  (  y 2 ). n ( y )  0 2 dy (1.39) XÐt nghiÖm khi y   2E lóc ®ã bá qua sè h¹ng    v× nã bÐ so víi y2 d 2 n ( y )  y 2 . n ( y )  0 dy 2 (1.40) cã nghiÖm  n ( y )  e  y2 2 (1.40) , ta lo¹i nghiÖm e y2 2 v× nã kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vËt lý. NghiÖm tæng qu¸t ®èi víi y t×m díi d¹ng  n ( y )  e  y2 2 . f ( y) (1.41) Thay (1.41) vµo (1.39) ta ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n ®èi víi f(y) d 2 f ( y) df ( y )  2 y.  (  1) f ( y )  0 2 dy dy (1.42) NghiÖm cña (1.42) ®îc t×m díi d¹ng chuçi:  ak y f(y) = a0 + a1y + a2y2 + ... =  k 0 k (1.43) Thay  a k 2 k vµo (1.42)   k 1 k 0 k ( k  1) y k  2  2 a k .k . y k  (  1) a k y k  0 ta cã: (1.44) Trong tæng ®Çu thay chØ sè k  k+2, trong tæng thø 2 cho k ch¹y tõ 0 (sè h¹ng =0) , kh«ng ®ãng gãp trong tæng thø hai, ta cã : 18 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i    (k  1)(k  2)a k 0 k 2  2ka k  (  1) a k  y k  0 (1.45) §Ó ý ®¼ng thøc trªn ®óng víi mäi k th× c¸c hÖ sè ë vÐ tr¸i, vÐ ph¶i b»ng 0 nghÜa lµ: ( k  1)( k  2) a k  2  2ka k  (  1) a k  0  a k  2  2k    k .a k ( k  1)( k  2) (1.46) §©y lµ c«ng thøc truy håi cho phÐp ta tÝnh ®îc mäi hÖ sè ak khi biÕt mét hÖ sè nµo ®ã vµ tõ ®ã x¸c ®Þnh hµm f(y). Tuy nhiªn ®Ó ®¶m b¶o ý nghÜa vËt lý cña nghiÖm th× cÇn ph¶i buéc hµm f(y) bëi nh÷ng ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh. a 2 k 2 XÐt khi k   . tõ (1.46) ta cã a  k k (1.47) MÆt kh¸c h(y) = exp(y2) vµ trong khai triÓn Taylo cña hµm gÇn ®iÓm y = 0 ta cã: 1 4 yk exp( y )  1  y  . y  ...   ...  k 2! ( )! 2 2 2  b k 0 k .y k  bk  2 (k / 2)! 2   bk (k / 2  1)! k (1.48) So s¸nh (1.47) vµ (1.48) ta thÊy f(y) vµ h(y) . Khi y  lµ nh nhau y2 ⇒ ψ(y) =f (y).exp( ) → ∞ 2 khi y . 19 Kho¸ luËn tèt nghiÖp U«ng ThÞ H¶i §Ó (y) h÷u h¹n ë v« cïng th× (1.45) ph¶i trë thµnh mét ®a thøc nghÜa lµ trong chuçi ®ã tõ k = n+1  ak=0 hay an+1 = an+2=...=0 ( an  0 ) Chó ý (1.46) ta ®îc: =n=2n+1, n=0,1,2,... (1.49) KÕt hîp (1.49) vµ (*) ta ®îc : En = ( n+1/2 ).  víi n= 0,1,2,... (1.50) Tõ (1.46) ta cã: f ( y)   a k 0 k . y k  a n . y n  a n  2 . y n  2  ... (1.51) §Æt an=2n vµ tÝnh c¸c hÖ sè cßn l¹i theo (1.46) trong ®ã =2n+1 ta nhËn ®îc: ak  ( k  1)( k  2) .a k  2 2( k  n) (1.52). Tõ ®ã: an2   n(n  1)  n(n  1) n  2 .a n   .2 2.2 1! a n 4   (n  2)(n  3) n(n  1)(n  2)( n  3) n  4 .a n  2  .2 2.4 2! (1.53) §a thøc (1.53) vµ hÖ thøc (1.51) gäi lµ ®a thøc HÐcmÝt bËc n, ký hiÖu Hn(y): 2 H n ( y )  ( 1) n .e y . 2 dn .(e  y ) n dy (1.54) KÕt hîp (1.41), (1.51), (1.54) ta ®îc:  n ( y )  An .e  y 2 /2 .H n ( y ) 20