Tài liệu Các toán tử liên hợp, tự liên hợp, compact, và phổ của chúng

1 Môc lôc Lêi më ®Çu ……………………………………………………………… 2 §1. KiÕn thøc chuÈn bÞ ……………………………………………………3 §2. To¸n tö liªn hîp ……………………………………………………… 6 §3. To¸n tö tù liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert ………………………..11 §4. To¸n tö compact ……………………………………………………..14 §5. Phæ cña to¸n tö ………………………………………………………19 5.1. Kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña phæ …………………………. 19 5.2. Phæ cña to¸n tö compact …………………………………………23 5.3. Phæ cña to¸n tö liªn hîp liªn hîp ………………………………………… 28 5.4. Phæ cña to¸n tö tù ……………………………………….30 KÕt luËn …………………………………………………………………..35 Tµi liÖu tham ………………………………………………………..36 kh¶o 2 Lêi më ®Çu Lý thuyÕt to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ lý thuyÕt phæ ®ãng vai trß quan träng trong Gi¶i tÝch hµm vµ nhiÒu ngµnh to¸n häc kh¸c, v× thÕ nã ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m. Trong häc phÇn Gi¶i tÝch hµm, sinh viªn chØ míi ®îc cung cÊp mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. Môc ®Ých cña kho¸ luËn lµ t×m hiÓu, nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c to¸n tö liªn hîp, tù liªn hîp, to¸n tö compact vµ phæ cña chóng. Víi môc ®Ých ®ã, dùa vµo c¸c tµi liÖu tham kh¶o, chóng t«i t×m hiÓu c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n, ®a ra c¸c vÝ dô minh ho¹, chøng minh chi tiÕt mét sè mÖnh ®Ò ®· cã trong c¸c tµi liÖu. Ngoµi ra, chóng t«i còng chøng minh mét sè mÖnh ®Ò mµ chóng lµ c¸c bµi tËp ë trong c¸c tµi liÖu tham kh¶o hoÆc lµ c¸c nhËn xÐt do chóng t«i ®a ra, ®ã lµ NhËn xÐt 2.4, VÝ dô 2.5, MÖnh ®Ò 3.3, MÖnh ®Ò 4.8, VÝ dô 5.1.5, §Þnh lÝ 5.1.7, MÖnh ®Ò 5.2.8 . 3 Kho¸ luËn ®îc viÕt thµnh 5 môc. Môc thø nhÊt tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn dïng trong kho¸ luËn. Môc 2, 3, 4 lÇn lît tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c to¸n tö liªn hîp, to¸n tö tù liªn hîp, to¸n tö compact. Môc 5, ®Çu tiªn dµnh cho viÖc tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc nãi chung, sau ®ã tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ phæ cña to¸n tö compact, to¸n tö liªn hîp vµ to¸n tö tù liªn hîp. Qua ®©y, t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n thÇy gi¸o PGS. TS. §inh Huy Hoµng, ngêi ®· trùc tiÕp híng dÉn t«i hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. T«i xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa to¸n, ®Æc biÖt lµ c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong tæ gi¶i tÝch ®· quan t©m vµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp. Do thêi gian vµ n¨ng lùc cßn h¹n chÕ, nªn kho¸ luËn kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña c¸c thÇy gi¸o c« gi¸o vµ c¸c b¹n. Vinh, th¸ng 5 n¨m 2007 T¸c gi¶ §1. kiÕn thøc chuÈn BÞ Trong môc nµy, ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®· biÕt cÇn dïng cho c¸c môc sau. 4 1.1. §Þnh nghÜa. Cho E lµ mét K - kh«ng gian vect¬. Mét x chuÈn trªn E lµ mét hµm x  tõ E vµo R tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau víi mäi x, y  E, mäi   K (i) x  0, x = 0 nÕu vµ chØ nÕu x = 0 x =  x ; (ii) x y  (iii) x  ; y . Mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ mét kh«ng gian vect¬ cïng víi mét chuÈn trªn nã . NÕu E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn th× c«ng thøc x  y d(x, y) = víi x, y  E x¸c ®Þnh mét mªtric trªn E. Ta gäi mªtric nµy lµ mªtric sinh bëi chuÈn. Kh«ng gian Banach lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy ®ñ ( ®èi víi mªtric sinh bëi chuÈn ). 1.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö E vµ F lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn cïng mét trêng K. KÝ hiÖu l ( E, F) lµ kh«ng gian L c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ E vµo F. gian vect¬ con cña K - kh«ng gian vect¬ l ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ E vµo F . Víi mçi f  = inf  k : f §¹i lîng f Hµm f  = k ( E, F ) tÊt c¶ c¸c l ( E, F ), ®Æt x víi mäix E  . ®îc gäi lµ chuÈn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f. f 1.3. §Þnh lÝ. Víi mäi f  f  x ( E, F ) lµ kh«ng sup f x  0 f  x x l ( E, F ) f  x = sup x 1 lµ mét chuÈn trong = l ( E, F ). sup x 1 f  x . 5 1.4. §Þnh lÝ. NÕu F lµ kh«ng gian Banach th× kh«ng gian l ( E, F ) lµ Banach. 1.5. §Þnh lÝ. (§Þnh lÝ Hahn - Banach ). Gi¶ sö E lµ mét kh«ng gian vect¬ phøc, p lµ mét nöa chuÈn trªn E . NÕu f lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian con F cña E sao cho f  x  p  x víi mäi x  F th× tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh g x¸c ®Þnh trªn E sao cho g F = f vµ g  x  p x víi mäi x  E. 1.6. HÖ qu¶. ( HÖ qu¶ cña §Þnh lÝ Hahn - Banach ) Gi¶ sö F lµ mét kh«ng gian vect¬ con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn E vµ vect¬ v  E \ F sao cho vx   0. d(v, F) = xinf F Khi ®ã tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f : E  K sao cho f 1 ,f F = 0 vµ f (v) =  . 1.7. HÖ qu¶. ( HÖ qu¶ cña §Þnh lÝ Hahn - Banach ) Víi mäi vect¬ v trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn E, v  0, tån t¹i mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f trªn E sao cho f(v) = v f = 1 vµ . 1.8. §Þnh lÝ. ( §Þnh lÝ ¸nh x¹ më ) Mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc f tõ mét kh«ng gian Banach E lªn mét kh«ng gian Banach F lµ më, tøc lµ víi mäi tËp më U  E, f(U) lµ tËp më trong F. 1.9. HÖ qu¶. ( §Þnh lÝ Banach ) NÕu f lµ song ¸nh tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian Banach E lªn kh«ng gian Banach F vµ F liªn tôc th× F lµ phÐp ®ång ph«i. 6 1.10. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian vect¬ E cïng víi mét tÝch v« híng trªn nã gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert. Cã thÓ thÊy r»ng t¬ng øng x  x  x x , x  E x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn E. Nh vËy mäi kh«ng gian tiÒn Hilbert lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn sinh bëi tÝch v« híng. NÕu víi chuÈn nµy kh«ng gian tiÒn Hilbert E lµ ®Çy ®ñ th× E ®îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert. 1.11. §Þnh lÝ. ( Riesz ) Mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn E lµ compact ®Þa ph¬ng nÕu vµ chØ nÕu nã cã chiÒu h÷u h¹n. 1.12. §Þnh lÝ. ( §Þnh lÝ Riesz vÒ d¹ng tæng qu¸t cña phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Hilbert ) Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert .Khi ®ã (i) Víi mäi a  E t¬ng øng x   x a x¸c ®Þnh phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn E víi chuÈn lµ a . (ii) Ngîc l¹i nÕu f lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn E, th× tån t¹i duy nhÊt a  E ®Ó f(x) =  x a víi mäi x  E. 1.13. §Þnh lÝ. ( Hausdorff ) a) Mét tËp hîp compact t¬ng ®èi trong kh«ng gian mªtric th× hoµn toµn bÞ chÆn. b) NÕu X lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ A lµ mét tËp hîp hoµn toµn bÞ chÆn trong X th× A lµ compact t¬ng ®èi. 7 8 §2. to¸n tö liªn hîp Trong môc nµy ta lu«n gi¶ sö E , F lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn trêng K. * 2.1. §Þnh nghÜa. Ta kÝ hiÖu E = kh«ng gian liªn hîp cña E, E ** = l ( E, K ) vµ gäi nã lµ l ( E*, K ) lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña E. * ** E vµ E lµ c¸c kh«ng gian Banach. ** 2.2. §Þnh lÝ. ¸nh x¹ chÝnh t¾c  : E  E x¸c ®Þnh bëi  (x) (f) = f (x) víi mäi x  E, f  E* lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ tho¶ m·n   x  x  E. víi mäi x ** Do ®ã  lµ phÐp nhóng ®¼ng cù E vµo E . Chøng minh. Gi¶ sö x, y  E, ,   K. Ta cã    x   y  f   f   x   y    f  x    f  y      x  f      y      x     y   f  . Do ®ã    x   y      x      y  víi mäi f  E*. VËy  lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Tõ   x  f   f  x  f x víi mäi f  E*, suy ra   x  sup f 1   x  f   x (1). MÆt kh¸c theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Hahn - Banach, víi mäi x  E , x  0, tån t¹i f0  E* sao cho Do ®ã  (x) (f0) = x . Suy ra f 0 1 , f0 (x) = x . 9   x  sup f 1   x  f     x  f 0   x (2).  x Tõ (1) vµ (2) suy ra  . VËy  lµ mét phÐp x ®¼ng cù tuyÕn tÝnh vµ do ®ã ¸nh x¹  tõ E lªn  (E) lµ ®¼ng cÊu . V× vËy mçi x  E ®îc ®ång nhÊt víi mét phÇn ** * tö cña E , tøc lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn E , nghÜa lµ ** E  E   E . 2.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö A  l ( E, F ). Khi ®ã ta gäi to¸n tö * * * A :F  E * f A (f) tho¶ m·n * < x, A f > = < Ax, f > víi mäi x E (1) lµ to¸n tö liªn hîp cña A, trong ®ã * * < x, A f > = ( A f ) (x) ; < Ax, f > = f (Ax) . * * ë ®©y ta viÕt Ax thay cho A(x) cßn viÕt A f thay cho A ( f ). 2.4. NhËn xÐt. i) Ta thÊy hÖ thøc (1) t¬ng ®¬ng víi * ( A f ) (x) = f ( Ax ) víi mäi f  E*, x  E. * * ii) Râ rµng A lµ tuyÕn tÝnh. H¬n n÷a A liªn tôc. ThËt vËy A* f  sup x 1  A* f      x  sup x f 1  A x  , vµ f  A x   f A x  f A x víi mäi x  E. 10 Nªn A* f  A f . 2.5. VÝ dô. Trong vÝ dô nµy ta sÏ xÐt to¸n tö liªn hîp trong mét trêng hîp ®Æc biÖt, khi E = F vµ E lµ kh«ng gian Hilbert. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert vµ A  l ( E, F ). Chóng ta ®· biÕt r»ng, theo §Þnh lÝ Riesz vÒ d¹ng tæng qu¸t cña phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Hilbert, cã thÓ ®ång nhÊt mçi f  E* víi y  E sao cho f (x) = ( x ), x y  E. * Theo ®Þnh nghÜa cña A ta cã * A f (x) = f (Ax) = ( Ax y ), x E.  E* nªn ta ®ång nhÊt A*f víi z  E sao cho * V× A f * A f (x) = ( x ), x z E. * * Víi c¸ch ®ång nhÊt f víi y vµ A f víi z ta cã thÓ xem A l ( E, E ) sao cho ( Ax y )=(x z * )=(x * A f)=(x A y ), x  E, tøc lµ ( Ax * y)=(x A y ); x, y E. Nh vËy, trong trêng hîp E lµ kh«ng gian Hilbert ta cã thÓ ®Þnh nghÜa to¸n tö liªn hîp cña A  l ( E, E ) lµ to¸n tö A* tuyÕn tÝnh trªn E sao cho ( Ax y)=(x * A y ) víi mäi x, y E. B©y giê gi¶ sö E lµ kh«ng gian Hilbert l2 =     xn      C :  xn n 1 2       víi tÝch v« híng 11  x y    xn y n víi x   xn  , y   y n   l . 2 n 1 Cho   n  lµ d·y sè phøc bÞ chÆn vµ A  l ( l2, l2 ) víi Ax =   n xn  víi x   xn   l2 .   n xn  víi x   xn   l * Khi ®ã A x = ( Ax Chøng minh. V×  A* f  A A y ) víi mäi x, y  l ( E, F ) ta cã   inf   k: A* A* * y)=(x 2.6. MÖnh ®Ò. Víi mäi A nªn bëi v× 2 A A* f   . A , mäi f  F *   f  . suy ra mçi  > 0, tån t¹i mét phÇn tö x0 1 A* vµ f NÕu A = 0 th× A * = 0. Gi¶ sö A  0. Tõ x0  l2 . Ax0 vµ  Ax A  sup x 1  E sao cho A  (1). Theo hÖ qu¶ cña §Þnh lÝ Hahn - Banach, tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f0 trªn F sao cho f0 Ax0 = 1 vµ f0( Ax0 ) = (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra A V×     f0  Ax0  *   A f0      > 0 bÐ tuú ý nªn A  x0  A*  A* f 0  A* . VËy 0 f0 A    A* f 0 A* A* . . Tõ ®Þnh nghÜa ta dÔ dµng suy ra mÖnh ®Ò sau. 2.7. MÖnh ®Ò. Víi mäi A, B (i) * * (  A) =  A , (ii) (A+B) =A (iii) ( Co A ) = A * * * * o C  l ( E, F ), C  l ( F, G ) ta cã  K ; +B * * ; . 12 ( Cã thÓ xem chøng minh MÖnh ®Ò nµy trong [3] ). 2.8. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A : E  F lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc,  : E  E** vµ  : F  F** lµ c¸c phÐp nhóng chuÈn t¾c ** ** c¸c kh«ng gian E, F theo thø tù vµo E , F . Khi ®ã lîc ®å sau giao ho¸n. Tõ ®ã suy ra A ** E = A. A E F   ** A E ** F Chøng minh. Víi mäi x **  E, ta cã  (Ax) vµ A**(  (x)) lµ * hai phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn F . Víi mäi f  (Ax) f = f (Ax)  F**, ta cã (1), ** * * * * A (  (x)) f = (  (x) A ) f =  (x) ( A f ) = A f (x) = A (f (x)) = f (Ax) Tõ (1) vµ (2) suy ra (2) .  (Ax) =A**(  (x)) víi mäi x  E , tøc lµ  VËy A ** E o  .  l ( E, F ). Khi ®ã * * * * A ®¼ng cÊu th× A : F  E ®¼ng cÊu vµ (A ) (i) -1 ** A=A =A. 2.9. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A (A o * ) , -1 = 13 * * * (ii) NÕu E lµ kh«ng gian Banach vµ A : F  E lµ ®¼ng cÊu th× F lµ kh«ng gian Banach vµ A lµ ®¼ng cÊu. ( Cã thÓ xem chøng minh MÖnh ®Ò nµy trong [5] ). §3. to¸n tö tù liªn hîp trong kh«ng gian hilBert Trong môc nµy ta lu«n gi¶ thiÕt E lµ kh«ng gian Hilbert vµ viÕt l (E) thay cho l ( E, E ). ë vÝ dô 2.5 ta ®· ®Þnh nghÜa to¸n tö liªn hîp cña A  l (E) lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬c kÝ hiÖu lµ A * : E  E sao cho ( Ax y)=(x A * y ) víi mäi x, y 3.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö A  l (E). NÕu A = A * th× A ®îc gäi lµ tù liªn hîp. 3.2. VÝ dô. Gi¶ sö A  E.  l ( l2 ) víi 1   Ax =  n xn  víi x   xn   l2 .   Khi ®ã víi mäi y =  y n   l2 ta cã 14   1 1 xn y n   xn ( y n ) = ( x y ) = n n 1 n n 1 ( Ax z ), 1   trong ®ã z =  n y n  .   Tõ ( Ax y)=(x A * y ) t¬ng ®¬ng víi 1   A * y =  n y n  víi y =  y n   l2 .   Suy ra A = A * . VËy A lµ to¸n tö tù liªn hîp . Tõ vÝ dô nµy ta cã MÖnh ®Ò sau. 3.3. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö   n  lµ d·y sè phøc bÞ chÆn vµ A : l2  l2 lµ to¸n tö ®îc cho bëi Ax =   n xn  , x =  xn   l 2 . Khi ®ã A lµ tù liªn hîp khi vµ chØ khi   n  lµ d·y sè thùc. Chøng minh. DÔ dµng chøng minh ®îc A lµ tuyÕn tÝnh liªn tôc. Gi¶ sö   n   R. Khi ®ã, t¬ng tù nh VÝ dô 2.2 ta chøng minh ®îc A = A* . Ngîc l¹i, gi¶ sö A = A * . Khi ®ã víi mäi x =   xn  , y = y n   l2 ta cã ( Ax LÊy y = y( y)=(x n ) = ( Ay )      n xn y n   xn  n y n . n 1 n 1 0,  0 , , 0, 1, 0,    n ) vµ thay vµo ®¼ng thøc trªn ta cã  n   n víi mäi n. Do ®ã   n   R. Tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh to¸n ®¬n gi¶n ta chøng minh ®îc MÖnh ®Ò sau. 15 3.4. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A, B  l ( E ) lµ tù liªn hîp. Khi ®ã (i) A + B vµ  A lµ tù liªn hîp víi mäi   R. (ii) B o A lµ tù liªn hîp nÕu A o B=B o A. ( Cã thÓ xem chøng minh mÖnh ®Ò nµy trong [2] ). 3.5. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A  l ( E ) lµ mét tù ®¼ng cÊu. Khi ®ã A tù liªn hîp nÕu vµ chØ nÕu A -1 tù liªn hîp. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ to¸n tö tù liªn hîp. Víi mäi x, y  E ta cã ( A-1 x y ) = ( A-1 x (A o A-1 ) y ) = ( A-1 x = ( A ( A-1 x ) A ( A-1 y )) A-1 y ) = ( x A-1 y ) . VËy A-1 lµ to¸n tö tù liªn hîp. Ngîc l¹i gi¶ sö A-1 lµ to¸n tö tù liªn hîp. T¬ng tù ta cã ( Ax y ) = ( Ax A-1( Ay )) = ( A-1( Ax ) Ay ) = ( x Ay ). VËy A lµ to¸n tö tù liªn hîp. 3.6. §Þnh lÝ. A  l ( E ) tù liªn hîp khi vµ chØ khi ( Ax x)  R víi mäi x E. Chøng minh. CÇn. Gi¶ sö A lµ tù liªn hîp. Khi ®ã ( Ax x)=(x Ax ) = ( Ax x) , víi mäi x  E.  R víi mäi x  E . §ñ. Gi¶ sö ( Ax x )  R víi mäi x  E . Tõ c¸c ®¼ng VËy ( Ax thøc x)   A x  y  x  y    Ax x    Ax y    Ay x    Ay y     A x  iy  x  iy    Ax x   i  Ax y   i  Ay x    Ay y  Suy ra 16   Ax y    Ay x    A x  y  x  y    Ax x    Ay y      i  Ax y   i  Ay x    A x  iy  x  iy    Ax x    Ay y   ë ®©y s, t lµ c¸c sè thùc. Do ®ã   Ax y   s  it    Ay x   s  it V× s - it = ( Ay x)=(y A* x ) = ( A*x y) , x, y E nªn ( Ax y ) = s + it = ( A * x y ) , víi mäi x, y VËy A = A * , do ®ã A lµ tù liªn hîp.  E. 17 §4. to¸n tö compact 4.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö E, F lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn. To¸n tö tuyÕn tÝnh A : E  F gäi lµ compact nÕu ¶nh A( B ) cña h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng B =  x E : x  1  lµ tËp compact t¬ng ®èi trong F. NÕu A lµ to¸n tö compact th× A liªn tôc. ThËt vËy, v× A( B ) lµ compact nªn tån t¹i sè d¬ng M sao cho y M Khi ®ã, víi mäi x víi mäi y  A ( B ) .  E mµ x  0 ta cã Ax  x Ax  M  A   x x      M x . V× thÕ ta cã x víi mäi x E. VËy A liªn tôc. Do ®ã to¸n tö compact cßn gäi lµ to¸n tö hoµn toµn liªn tôc. 4.2. §Þnh lÝ. NÕu A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn E vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn F th× c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y t¬ng ®¬ng (i) A lµ compact; (ii) NÕu K lµ tËp bÞ chÆn trong E th× A( K ) lµ tËp cpmpact t¬ng ®èi trong F; (iii) NÕu  xn  lµ d·y bÞ chÆn trong E th× cã d·y con x   n  k   sao cho  A( x   nk )    héi tô trong F. 18 Chøng minh. (i)  (ii) LÊy n  nA( B ) nªn A K   N sao cho K  nB. V× A( K ) A  K   nA  B  . Mµ nA  B  compact nªn compact hay A(K) compact t¬ng ®èi. (ii)  (iii) §Æt K =  xn  . V×  xn  bÞ chÆn nªn tõ (ii) suy ra A( K ) = x   n  k    A  xn  ®Ó d·y compact t¬ng ®èi. Do ®ã tån t¹i d·y con  A( x   nk )    héi tô trong F. (iii)  (i) LÊy tuú ý d·y  yn   A( B ) vµ lÊy d·y  xn   B ®Ó A( xn ) = yn víi mäi n. V× d·y  xn   A( x   nk )    bÞ chÆn nªn tån t¹i d·y con x   n  k   ®Ó héi tô. VËy tËp A( B ) compact t¬ng ®èi hay A lµ to¸n tö compact. 4.3. VÝ dô vÒ to¸n tö compact. a) Gi¶ sö f : E  F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. Khi ®ã, nÕu E hoÆc F lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu th× f lµ ¸nh x¹ compact. Chøng minh. Gi¶ sö F h÷u h¹n chiÒu vµ B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong E. V× F h÷u h¹n chiÒu nªn theo §Þnh lÝ Riesz F lµ compact ®Þa ph¬ng. Tõ ®ã suy ra mäi h×nh cÇu ®ãng trong F ®Òu compact vµ do ®ã mäi tËp ®ãng vµ bÞ chÆn trong F ®Òu compact. MÆt kh¸c, tõ f tuyÕn tÝnh liªn tôc suy ra f ( B) lµ tËp ®ãng vµ bÞ chÆn. Do ®ã f ( B) compact. VËy f lµ ¸nh x¹ compact. 19 Gi¶ sö e compact. Khi ®ã, v× B ®ãng nªn B compact. Do f liªn tôc nªn f (B) compact. Tõ F lµ T2 - kh«ng gian suy ra f ( B) = f ( B ). VËy f lµ ¸nh x¹ compact. b) Gi¶ sö f : E  F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. F ®îc gäi lµ ¸nh x¹ h÷u h¹n chiÒu nÕu ImF lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña F. tõ vÝ dô a) ta cã hÖ qu¶ sau: c) HÖ qu¶. Mäi ¸nh x¹ h÷u h¹n chiÒu gi÷a c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Òu lµ ¸nh x¹ compact. 4.4. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö E, F lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã tæ hîp tuyÕn tÝnh cña mét sè h÷u h¹n c¸c to¸n tö compact tõ E vµo F lµ compact. Chøng minh. Gi¶ sö A1 , A2 , … , An lµ c¸c to¸n tö compact tõ E vµo F vµ  1 ,  2 , … ,  n  K . XÐt d·y bÞ chÆn bÊt k×  xn   E. Khi ®ã tån t¹i d·y con  A (x   2 nk )    , … , x   n  k   sao cho c¸c d·y  A (x   n nk )     A (x   1 nk )   , héi tô trong F. V× vËy d·y  ( A ) ( x   nk )  ( 2 A2 ) ( xn )  ...  ( n An ) ( xn )  1 1 k k   héi tô     n  trong F hay d·y     i Ai   xnk   héi tô trong F. VËy to¸n      i 1  tö n   i Ai i 1 compact. 4.5. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö E, F lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn. S  l ( E, F ), 20 T  l ( F, G ). Khi ®ã T o S compact nÕu mét trong hai S hoÆc T compact. Chøng minh. T S E F G Gäi B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong E, ta cã T  o S (B) = T ( S (B) ). NÕu S compact th× S (B) compact t¬ng ®èi trong F. V× T liªn tôc nªn T ( S(B) ) compact t¬ng ®èi trong G. Suy ra T o S compact.  NÕu T compact th× ta cã , v× B bÞ chÆn trong E vµ S liªn tôc nªn S (B) bÞ chÆn. Mµ T lµ to¸n tö compact nªn T ( S (B) ) compact t¬ng ®èi trong G. Suy ra T o S compact. 4.6. §Þnh lÝ. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn, F lµ kh«ng gian Banach vµ l ( E, F ). NÕu  An  A  An  lµ d·y c¸c to¸n tö compact trong héi tô ®Õn  l ( E, F ) th× A lµ to¸n tö compact. Chøng minh. Gäi B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong E. V× F ®Çy ®ñ nªn theo §Þnh lÝ Hausdorff ®Ó chøng minh A (B) compact t¬ng ®èi trong F ta chØ cÇn chøng minh A (B) hoµn toµn bÞ chÆn. LÊy  > 0 tuú ý. V× d·y  An  héi tô ®Õn A nªn tån t¹i n0 sao cho sup Ax  An x  x B 0 A  An 0   3. Do A n0 lµ to¸n tö compact nªn A n0 (B) compact t¬ng ®èi trong F, nghÜa lµ A n0 (B) hoµn toµn bÞ chÆn. Tõ ®ã tån t¹i x1, x2 , … , xp  B sao cho