Tài liệu Các tính chất snc của một tập hợp

0 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU.............................................................................................................1 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ.................................................3 CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP.............................................7 2.1. Tính compact pháp tuyến theo dãy của các tập ...........................................7 2.2. Đối chiều hữu hạn của tập SNC ..................................................................8 2.3. Tính chất SNC qua ảnh ngược của ánh xạ khả vi ngặt ................................17 2.4. Tính chất SNC qua ảnh ngược của toán tử tuyến tính liên tục.....................20 2.5. Tính chất SNC của tập compact epi-Lipschitzian........................................21 KẾT LUẬN........................................................................................................26 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................27 1 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết một trong những điểm khác biệt cơ bản giữa giải tích biến phân hữu hạn chiều và giải tích biến phân vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về tính compact pháp tuyến theo dãy (SNC) khi ta xét các tập hợp trong không gian vô hạn chiều. Nếu những yêu cầu đó được thõa mãn thì khi lấy giới hạn theo dãy tôpô yếu * ta mới có những kết quả không tầm thường. Vấn đề này đã được nhiều nhà Toán học quan tâm và nghiên cứu như Nguyễn Đông Yên [3], B. S. Mordukhovic [5]… Vì những lí do trên nên chúng tôi đã chọn đề tài “Các tính chất SNC của một tập hợp” nhằm nghiên cứu các tính chất SNC của các tập hợp, từ đó đưa ra những kết quả không tầm thường về tính chất địa phương của các tập con trong không gian Banach vô hạn chiều. Luận văn được trình bày gồm 2 chương Chương I Các khái niệm và tính chất cơ sở. Chương II Các tính chất SNC của một tập hợp. Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi tác giả B. S. Mordukhovic trong tài liệu [5] và được trích dẫn trong khoá luận. Các Bổ đề 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3, Chú ý 2.3.1, Nhận xét 2.5.1,… đã được Mordukhovic [5] sử dụng nhưng tác giả chưa tìm thấy các kết quả này được chứng minh trong các tài liệu mà tác giả đã tham khảo. Khoá luận này tập trung chứng minh để làm sáng tỏ các kết quả trên. Tuy nhiên, do thời gian và trình độ có hạn nên tác giả không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của độc giả. Nhân dịp này xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và viết bài 2 khoá luận này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh. Vinh, tháng 5 năm 2010 Tác giả 3 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ Định nghĩa 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường K. Không gian ℒ(E,K) = E* là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào K được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu (tôpô) của E. Nhận xét 1.1. Với mọi không gian định chuẩn E, không gian liên hợp E * là Banach. Định nghĩa 1.2. Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f  E* liên tục được gọi là tôpô yếu trên E. Định nghĩa 1.3. Dãy {xn} được gọi là hội tụ yếu đến x  E, kí hiệu xn  x  nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n0 sao cho xn  U với mọi n ≥ n0. Nói cách khác, xn  x nếu mọi f1, f2¸…,fn  E*, ε > 0, tồn tại số n0 sao cho  xn  U(f1, f2¸…, fn, x, ε) với mọi n ≥ n0. Ở đây n U(f1, f2¸…, fn, x, ε) = I U(fi, x, ε) i1 = {y  E : 1sup │fi(y) – fi(x)│< ε }.  i n Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau Dãy {xn} trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x  E nếu và chỉ nếu f(xn)  f(x) với mọi f  E*. Định nghĩa 1.4 ( Pháp tuyến tổng quát). Giả sử Ω là tập con khác rỗng của X. i) Cho  ≥ 0, ta định nghĩa tập các véc tơ  - pháp tuyến Fréchet của Ω tại x  bởi 4  x ,u  x *  * * Nˆ  ( x; ) :=  x  X | lim sup u  x u x     .  (1.1) Nếu x  Ω thì ta đặt Nˆ  ( x; ) :=  . Khi  = 0, mỗi phần tử của Nˆ  ( x; ) được gọi là pháp tuyến Fréchet của Ω tại x và tập hợp Nˆ  ( x; ) : Nˆ ( x, ) được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x. ii) Cho x  Ω. Lúc đó, mỗi phần tử x* X* là pháp tuyến cơ sở / pháp tuyến Mordukhovic của Ω tại x nếu tồn tại các dãy  k  0, x k  x và  * * x x * k * sao cho x k  Nˆ  k ( x k ; ) , với mọi k N. Tập hợp các pháp tuyến như vậy, kí hiệu N ( x ; ) : Lim sup x x  0 Nˆ  ( x; ) , (1.2) được gọi là nón pháp tuyến (cơ sở / Mordukhovic) của Ω tại x . Đặt N ( x ; ) :  , nếu x   . Nhận xét 1.2. i) Nˆ  ( x ; )  Nˆ  ( x ; ) và N ( x ; )  N ( x ; ) , với mọi    , x  Ω,  ≥ 0. ii) Với mỗi  ≥ 0, tập Nˆ  ( x; ) là lồi và đóng trong theo tôpô chuẩn của X*. Mệnh đề 1.1 (Pháp tuyến đối với tích Đề các). Cho Lúc đó, nếu x = ( x 1, x 2) δδ 1  2 1  2  X 1  X 2 . X 1 X 2 thì Nˆ ( x , 1   2)  Nˆ ( x 1, 1)  Nˆ ( x 2,  2) ; N ( x , 1   2)  N ( x 1, 1)  N ( x 2,  2) . Mệnh đề 1.2 (  - pháp tuyến đối với tập lồi). Cho Ω là tập lồi. Khi đó 5  * * Nˆ  ( x ; )  x  X  * x ,x  x   x  x ,x  , với mọi  ≥ 0 và x  Ω. Tức là, Nˆ ( x ; ) đồng nhất với nón pháp tuyến của giải tích lồi. Định nghĩa 1.5. Cho f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian Banach và Θ là tập con của Y. Ảnh ngược của Θ dưới f được định nghĩa bởi: f -1(Θ) := { x  X │ f ( x)  Θ }. Định nghĩa 1.6. Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi ngặt tại x nếu lim x x u x f ( x)  f (u )   f ( x )( x  u )  0. xu Hệ số khả vi ngặt của f tại x là hàm r f ( x ; .) : (0; ∞) → [0; ∞) định nghĩa bởi r f ( x ; ) : sup u , x x  x u f ( x)  f (u )   f ( x )( x  u ) . xu Bổ đề 1.3. Cho f : X → Y, Θ  Y và y  f ( x )   . Nếu f khả vi ngặt tại x thì tồn tại các hằng số c1 > 0,   0 sao cho với bất kì y* Nˆ  ( f ( x ); ) 1 (  ≥ 0), x  ( x  )  f () và    0,  ta có  f ( x)* y *  Nˆ ˆ ( x; f 1()) với ˆ : c1  + y r f ( x ; ) . * Nếu  f ( x ) là toàn ánh thì tồn tại các hằng số c 2 > 0,  > 0 sao cho với bất kì 1 1 * x  Nˆ  ( x; f ()) (  ≥ 0), x  ( x  )  f () và    0,  ta có * * * * x   f ( x ) Nˆ %( f ( x); ) + (  c 2(  x ) r f ( x ; )) , : c 2  c 2(  x* )r f ( x ; ) . với % 6 Bổ đề 1.4 (Tính chất của toán tử tuyến tính liên hợp). Cho A * : Y* → X* là toán tử tuyến tính liên hợp với toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y . Giả sử A là toàn ánh, khi đó với bất kì y*  Y* ta có   * * * * * *  y   y , với   inf  y | y  1   0; * * * . * Cụ thể, A là đơn ánh hay * y1  * y 2 nếu y1  y 2 . Định lí 1.5. Cho f : X → Y là ánh xạ khả vi ngặt tại x , lúc đó f chính quy quanh x khi và chỉ khi toán tử đạo hàm  f ( x ) :   Y là toàn ánh. Định lí 1.6 (Định lí Josefson – Nissenzweig). X là không gian Banach vô * * * hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại dãy  x n   : x n  1 và x*n  0 . * Định nghĩa 1.7. Tập   �n được gọi là tập affin nếu (1   )x   y   , với x, y  ,   � . Định nghĩa 1.8. Tổ hợp tuyến tính của hai tập con 1 và  2 của X được định nghĩa bởi  1    2 : { x1   x 2 x1  1, x 2  2} , với các số thực  ,  . 7 CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP 2.1. Tính compact pháp tuyến theo dãy của các tập hợp Định nghĩa 2.1.1. Tập    được gọi là compact pháp tuyến theo dãy *  0, (SNC) tại x   nếu với dãy   k , xk , xk  Υ  X * thỏa mãn   k  0, xk  x, xk*  Nˆ  k  xk ;   và x*  0 k * * thì xk  0 khi k   . Nhận xét 2.1.1. Từ định nghĩa ta thấy i) Nếu  là SNC tại x   thì  là SNC tại x vì     Nˆ  x;   Nˆ  x;  . ii) Mỗi tập khác Ø trong không gian hữu hạn chiều là SNC tại mỗi điểm thuộc nó (vì trong không gian hữu hạn chiều, sự hội tụ yếu đồng nhất với hội tụ theo chuẩn). Định nghĩa 2.1.2. Cho   X . Bao affin của  được định nghĩa như sau l  l  aff  :    i xi xi  , i  �,   i  1, l  � , i 1  i 1 là tập affin nhỏ nhất chứa Ω. Bổ đề 2.1.1. AffΩ là một phép tịnh tiến của một không gian con tuyến tính của X. Chứng minh. Lấy x0  aff  , ta chứng minh rằng tồn tại duy nhất V là không gian vectơ con của X sao cho aff   x0  V (không phụ thuộc vào điểm x0 ). 8 Thật vậy, x0 , x1  aff  và V, V là các không gian con của X mà aff   x0  V = x1 + V’, ta sẽ chứng minh V  V . Lấy x bất kỳ thuộc V, lúc đó x0  x  x1  V . Suy ra x  x1  x0  V . (1) Mà x0  V  x1  V  x0  x1  V  V , nên x0  x1  0  V  (do V chứa 0). Suy ra x1  x0  V . Từ (1) ta có x  V  V  V . Nên V  V . Tương tự ta chứng minh được V  V . Vậy V  V . W Bao đóng của tập affΩ trong X được gọi là bao affin đóng của Ω. Ký hiệu aff  . Lấy x bất kỳ thuộc aff  , tập aff   x là không gian con tuyến tính đóng của X (hiệu của một tập đóng và một tập compact), nó không phụ thuộc vào cách chọn x. Đối chiều của aff  được định nghĩa bởi số chiều của không gian thương    / aff   x . Phần trong tương đối của    là phần trong của Ω tương ứng với aff  (tức là phần trong của Ω đối với tôpô trong aff  ). Ký hiệu là riΩ. 2.2. Đối chiều hữu hạn của tập SNC Định lý 2.2.1. Tập    là SNC tại x   nếu codim aff    U    , với mọi lân cận U của x . Cụ thể, tập một điểm trong X là SNC nếu và chỉ nếu X là hữu hạn chiều. Hơn nữa, khi Ω là tập lồi và ri    , tính chất SNC của Ω tại x  Ω tương đương với điều kiện codim aff    . 9 Để chứng minh định lý, trước hết ta chứng minh các bổ đề sau    * * * Bổ đề 2.2.2. Nếu đặt L : aff  và L  x  X  x , x  0, x  L thì L đẳng cấu với  X / L  . * Chứng minh. Lập ánh xạ Ф :  X / L   L *  a      x* * sao cho x , x    x  L  , x   . Đầu tiên ta chứng minh Ф là một đẳng cấu. Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được  là một ánh xạ tuyến tính. Ta chứng minh Ф đơn ánh. Giả sử  ,   X / L  mà     thì x  X để *   x  L Do đó x*  x1*   x L  x* , x x1* , x . * * (với      x ,      x1 ). Vậy Ф đơn ánh. * Tiếp theo ta chỉ ra Ф toàn ánh. Với x*  L thì x , x  0, x  L . Đặt :X /L � x  L a   x  L   x* , x . Lúc đó,  là một ánh xạ vì nếu với mọi x  L, x L  X / L mà x  L  x L , ta có x  x L  x * , x  x  0 . * * Do đó x , x  x , x hay   x  L     x L  . Dễ thấy  tuyến tính.  ,   �; x  L, x L   / L ta có     x  L     x L       x   x L  10  x* , x   x   x* , x   x* , x (do  ,   �)   x  L   x L . Ta chứng minh  là ánh liên tục.  x n  L   / L mà xn  L  x  L , * thì x , x n  Suy ra x* , x (vì x* liên tục).   xn  L     x  L  . * Như vậy ta đã chứng minh được     / L  * và      x . Do đó  toàn ánh. Vậy Ф là một song ánh tuyến tính. Tiếp theo ta chứng minh Ф đẳng cự. Thật vậy,     / L  , ta có *      sup    , x x x 1 xy  x Mà x  L  inf y L  sup x 1   x  L x . nên      sup x 1   x  L xL  sup x  L 1 Suy ra Ф liên tục và   1 . Lại có   sup  ( x  L ) . x  L 1 Suy ra   0 ,  x sao cho   x  L      . Vậy, y  L ta có       x  y  L     x  y  , x  y   x  L xL   . (2) 11      . x  y      . in f x  y y L      . x  L      (vì x  L  1 ). Vậy       . (3)      . Từ (2) và (3) ta có: Vậy L    / L  . * Bổ đề 2.2.3. Nếu Z không gian con hữu hạn chiều của X sao cho     *   aff   Z thì Nˆ  x; | X  Nˆ  x; |aff   Z ,  x  ,   0 . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh nếu Y, Z là các không gian Banach sao cho   Y  Z thì X* đẳng cấu với Y* × Z*. Thật vậy, ta có ánh xạ : YZ  x   y, z  a y  z  p1  x   p2  x  là một đẳng cấu (Định lí V.4 [1]). * : X *  Y *  Z * Xét tương ứng x* a  y ,z  * * * * * * xác định bởi: x | *  y ; x | *  z . Y Z Lúc đó,  * là ánh xạ.  x*| *  x1*| *  Y Y * * Giả sử  x1*, x*2  X * mà x  x1   * . * x  x  | * 1| *  Z Z Do đó  x |Y , x |Z    x |Y , x |Z  . * * * * * 1 * * 1 * 12 * * * Hay   x     x1  . Ta chứng minh  * là một đơn ánh.  x*| *  x1*| * Y  Y * * * Với x , x1  X mà x*  x1* thì  * . x | *  x1*| *  Z Z     * * * * Suy ra x |Y , x |Z  x1 |Y , x1 |Z . * * * * * * * * Do đó   x     x1  . Tiếp theo ta chỉ ra  * là một toàn ánh. * * * * * * * Với bất kì  y , z   Y Z , đặt x , y  z  y , y  z , z . Ta có x* tuyến tính, liên tục . Suy ra x*  X * và từ (4) ta có x* , y  x* , z  y* , y  z * , z , y  Y , z  Z . * * * * * * * * Do đó x | *  y , x | *  z hay   x    y , z  . Y Z Vậy  * là một song ánh. Ta chứng minh  * liên tục. Thật vậy, ta có  x * *   sup  y,z  1  sup  *  x*  ,  y , z   y, z   *  x*  , 1  x  y  y  z y  z 1  sup y  z 1  sup y  z 1 x* , y  z y  z x* , y  z yz (4) 13  x* . * Suy ra  * liên tục và   1 .  * là ánh xạ tuyến tính. * Thật vậy, với mọi x* , x%  X * , ,   �, ta có *  *   x*   x%     x*   x%*  |Y *,   x*   x%*  |Z *  * * * %   x*| *   x% *, x | *   x | |Z * Y Y Z  * *    y*   y% , z *   x%  * *    y* , z *     y% , z%  *    *  x*     *  x% . Vậy  * tuyến tính liên tục từ không gian Banach X * vào không gian Banach * * Y Z . Theo định lý ánh xạ mở thì  * đồng phôi. Tóm lại,  * là một đẳng cấu. * * * * Ta chứng minh với bất kì  y , z   Y Z thì Thật vậy, ta có  y ,z  * *  y , z  ,  y, z  *  sup y  z 1  sup y  z 1  *  y, z  y* , y  z* , z y  z   max y* , z * . Ngược lại,  y ,z  * *    max y* , z* . 14 * y ,z * y* , y  z * , z  sup y  z y  z 1 y* . y  z * . z  sup y  z y  z 1    sup max y* , z* . y  z 1  y  z  y  z   max y* , z * . Vậy  y ,z  * *    max y* , z * . Ta chứng minh từ sự hội tụ yếu trong X * kéo theo sự hội tụ yếu trong Y*  Z*. * Thật vậy, giả sử  x  ̮̮ X , x * k * xk* , x  x* , x , Ta có lim k  * k   * * * * x* và   x k   y k , z k  Y Z . * * x  X . Lúc đó, với bất kì  y, z   Y Z thì y  z  X , nên   * *   x*k  ,  y , z  lim y k , z*k ,  y, z  = lim k  k  = lim xk ,  y, z  * k   lim xk* , y  z  x* , y  z  x* , ( y, z ) * * =   x  ,  y, z  =   y , z  ,  y, z   . * * 15 Hay  y , z   * k * k  *  y ,z  * trong Y *  Z * . *     * Bây giờ ta chứng minh Nˆ  x; | X  Nˆ  x; |aff   Z với  x  ;   0 . Thật vậy, lấy bất kì x  X thì x  x1  x2 với x1  aff , x2  Z . Do X  aff   Z nên x   x1 , x2  . Lúc đó, với bất kì x   , thì x  x  0 (với 0  Z ), ta có  Nˆ   x ;  | X   Nˆ  x ;  |aff  Z     = Nˆ  x; |aff   Nˆ  0; |Z    * = Nˆ  x ;  |aff   Z .     * Vậy Nˆ  x; | X  Nˆ  x; |aff   Z ,  x  ,   0 . Chứng minh định lý. Đầu tiên ta chứng minh điều kiện cần cho tập bất kỳ  X . Từ tính chất địa phương của SNC ta có thể giả sử x  0 và U  X (do % Ω là tập SNC tại x khi và chỉ khi  %là tập SNC tại 0). x    0   x   Khi đó L : aff  là một không gian con tuyến tính đóng của X (vì aff   x là không gian con tuyến tính đóng của X mà 0  Ω nên aff là không gian con tuyến tính đóng của X (theo Bổ đề 2.1.1)) và   * *  * L : x  X | x, x  0, x  L là tập con của Nˆ  0;   . Giả sử ngược lại rằng codimΩ = dim  X / L    . * 16 Sử dụng Định lý Josefson - Nissenzweig, ta tìm dãy xk*   X / L  sao cho * * x  1, k ή N , x * k * k 0 trong  X / L  . * Sử dụng tính chất đẳng cấu  X / L   L (Bổ đề 2.2.2) ta tìm được dãy * x   * k * L  X * sao cho xk*  1, k  � và x*  0 trong X*. k Từ bao hàm thức L  Nˆ  0;    Nˆ   0;   ,   0 , * * suy ra  x   Nˆ   0;   , xn*  0 mà xn  1  0 . * n Điều này mâu thuẫn với tính chất SNC tại 0 của  . Vậy codim   dim  X / L    . Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ với tập lồi có phần trong tương đối khác rỗng. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0  , từ đó aff  là không gian con đóng của X. Từ codim aff    nên tồn tại không gian con hữu hạn chiều Z  X sao cho X  aff   Z . Nghĩa là: X  aff   Z và aff   Z   0 . Ta có:  Nˆ  x; | X   Nˆ  x; |   Z , x  ,   0  * aff  (theo Bổ đề 2.2.3). Từ Z hữu hạn chiều nên ta chỉ xét với trường hợp aff   X . Khi đó ri   int   0 . Cố định x   và x0  int  thì x0  rB   với r >0 nào đó (do int    ). Lấy   * tùy ý xk   và xk  Nˆ  k  xk ,   với xk  x,  k  0 và xk*  0 khi k   . Lúc * * đó xk  c , với hằng số c nào đó, c > 0, k  �. 17 Do  lồi nên xk* , x  xk   k x  xk , x  , k  �. Lấy x  x0  ru với u   , ta có xk* , x0  xk  ru   k x0  xk  ru , u   . Do đó, 1 1 xk* , u   k x0  xk  ru  xk* , x0  xk , u   . r r Suy ra 1 1 1 xk* , u   k x0  ru  xk  xk* , x  x0  xk* , xk  x r r r 1 1 1   k  x0  xk  ru   xk* , x  x0  xk* , xk  x . r r r * Nên xk  0 khi k   ,  *  sup x* , u   xk . k u    Hay  là SNC tại x . 2.3. Tính chất SNC qua ảnh ngược của ánh xạ khả vi ngặt   Định lý 2.3.1. Cho f : X  Y khả vi ngặt tại x với đạo hàm  f x là   1 toàn ánh, và   Y sao cho y : f x   . Khi đó, f    là SNC tại x nếu và chỉ nếu  là SNC tại y . Chứng minh. Đầu tiên ta giả sử rằng  là SNC tại y , ta sẽ chứng minh f 1    là SNC tại x . * 1 * Thật vậy, lấy dãy   k , xk , xk    0;    f     X sao cho f ( xk )   ,  xk*  Nˆ  k  xk ; f 1     và   0, x  x, x*  0 khi k   . k k k * Lúc đó,  xk  bị chặn đều trên X * . * 18 Sử dụng Bổ đề 1.3 (với    k ) ta tìm được các dãy ˆk  0, % k  0 và   yk*  Nˆ %k  f  xk  ;   với xk* ѣf x yk* * ˆk , k �. * Ta chứng minh yk*  0 .  *  * x  Ѯ f x yk*  k Thật vậy, từ  *  * xk  0      * Suy ra Ѯ f x yk* *  * 0 . 0.   Lúc đó, với mỗi y  Y , do Ѯ f x : X Y là toàn ánh nên tồn tại x  X sao cho    f x  x  y .   * * Do đó yk , y  yk ,  f x  x   f ( x )* y* , x Nên → 0, y  Y . * y  0. * k * Từ tính chất SNC của tập  tại y và tính liên tục của f tại x , ta có yk  0 . * ˆk Mà xk ѣ * ˆk m yk*   0 (do  f x liên tục). * x 0 . Nên Vậy f  x  y* f 1   là SNC tại x . * 1 Chiều ngược lại, giả sử f    là SNC tại x , lấy bất kỳ dãy   k , yk , yk    * sao cho yk  Nˆ  k  yk ;   và  k  0, y k  y , y*k  0 khi k   . Từ tính chính * 19   quy của f quanh x (do f khả vi ngặt tại x và  f x toàn ánh), ta có thể tìm được   0 và xk  f 1  yk  sao cho   (do yk  y  d yk , y   với   0 bất kỳ), xk  x   yk  y nghĩa là xk  x với yk  f  xk  . Sử dụng Bổ đề 1.3 (với    k ) ta có dãy ˆk  0 và   xk* :  f x y*  Nˆ  k  xk ;f 1     , k  �. * Lúc đó   * xk* , x   f x y* , x    yk* ,  f x  x  * (vì y*  0, x  X ). k * Suy ra xk*  0 . * 1 Do tính chất SNC của f    tại x ta có xk  0 . * Suy ra Ѯ f  x  y * * Mà ѳ f  x  yk * 0.  yk* (từ Bổ đề 1.4). * Do đó yk  0 , hay  là SNC tại y. W Chú ý 2.3.1. Nếu f(x) = Ax là toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach X và Y thì Định lý 2.3.1 đảm bảo sự tương đương giữa tính SNC của   Y và nghịch ảnh A-1    tại điểm tương ứng nếu A toàn ánh. Chứng minh. Do A: X  Y tuyến tính liên tục nên A khả vì ngặt và    A x  A.