Tài liệu Các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

  • Số trang: 61 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 64 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THANH HẢI CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THANH HẢI CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Lương Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viết Luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013 Tác giả Lương Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỞ ĐẦU i 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack 1.4 Không gian W 1,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Không gian C α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK 2.1 Các định nghĩa, định lý và bổ đề có liên quan . . . . . . . . 2.2 Đánh giá Morser đối với nghiệm dưới yếu và nghiệm trên yếu 2.3 Các định lý kiểu Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Các định lý kiểu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 11 13 21 30 30 34 41 42 3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM 43 3.1 Tính liên tục Holder của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Tính liên tục Holder của đạo hàm cấp 1 của nghiệm . . . . 46 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn Luận văn Đối với phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, nghiệm thường được xét theo nghĩa yếu, tức là thuộc không gian W 1,2 (Ω) mà chỉ có đạo hàm đến cấp hai bình phương khả tích và thỏa mãn đẳng thức tích phân. Tuy nhiên, người ta phát hiện ra rằng những nghiệm yếu như vậy lại có độ trơn nhất định, tức là nó cùng với các đạo hàm cấp một của nó thuộc lớp liên tục Holder C α (Ω). 2. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp các kết quả cổ điển đối với hàm điều hòa trên, hàm điều hòa dưới và mở rộng các kết quả đó cho nghiệm trên và nghiệm dưới yếu của lớp phương trình dạng bảo toàn. 3. Mục đích của Luận văn Mục đích của Luận văn là trình bày lý thuyết về các tính chất định tính và độ trơn của nghiệm yếu của lớp các phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, trong đó các hệ số của phương trình chỉ cần đòi hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic và là các hàm đo được và bị chặn. 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các kết quả chính của Luận văn. Trước hết ta định nghĩa hàm điều hòa, sau đó đưa ra một số tính chất của hàm điều hòa, trình bày các kết quả cổ điển của hàm điều hòa như các định lý trung bình, định lý Harnack, định lý Liouville và các đành giá theo chuẩn Holder của nghiệm và các đạo hàm cấp một, cấp hai của nó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 2: Trình bày các đánh giá Morser đối với nghiệm trên và nghiệm dưới của các phương trình dạng bảo toàn và trình bày các định lý kiểu Harnack và Liouville. Chương 3: Trình bày các kết quả về độ trơn đối với nghiệm yếu của phương trình dạng bảo toàn trong đó có các đánh giá theo chuẩn Holder đối với nghiệm và các đạo hàm cấp một của nó. Nội dung chính của Luận văn được viết dựa theo Chương 1, Chương 10 và Chương 11 của tài liệu [1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa (trong d Ω) nếu ∆u = 0, trong đó ∆u = ∑ uxj xj , Ω ⊂ Rd . j =1 Chú ý : Tập hợp các hàm điều hòa trong Ω là một không gian vector. Một số ví dụ về hàm điều hòa: (1) Trong Rd , tất cả những hàm hằng, hàm affin tuyến tính đều là hàm điều hòa. (2) Hàm đa thức bậc hai sau đây cũng là hàm điều hòa u(x) = (x1 )2 − (x2 )2 với x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd . (3) Cho x, y ∈ Rd với x ≠ y, ta đặt ⎧ ⎪ ⎪ Γ(x, y ) ∶= Γ(∣x − y ∣) ∶= ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2π log ∣x − y ∣ với d = 2 1 2−d với d > 2, d(2−d)ωd ∣x − y ∣ (1.1) ở đây ωd là thể tích của hình cầu đơn vị B (0, 1) ⊂ Rd . Khi đó với mỗi y cố định và y ≠ x, Γ(x, y ) là hàm điều hòa theo x. Thật vậy, ∂ 1 Γ ( x, y ) = (xi − y i )∣x − y ∣−d , i ∂x dwd Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 ta có ∂2 1 {∣x − y ∣2 δij − d(xi − y i )(xj − y j )}∣x − y ∣−d−2 . Γ ( x, y ) = i j ∂x ∂x dwd Vì vậy Γ là hàm điều hòa trong Rd ∣{y }. Định lý 1.1.2. (Công thức Poisson)([1]). Giả sử u(x) là hàm điều hòa trong hình cầu B (x0 , r) = {x ∈ Rd ∶ ∣x − x0 ∣} ≤ r. Khi đó ta có công thức Poisson sau đây u(y ) = R2 − ∣y − x0 ∣2 dωd r ∫ ∂B (x0 ,r) u(x) do(x), ∀y ∈ B (x0 , r), ∣x − y ∣d (1.2) trong đó do(x) là phần tử diện tích trên mặt cầu ∂B (x0 , r). Định lý 1.1.3. (Công thức giá trị trung bình) Một hàm liên tục u ∶ Ω → R là hàm điều hòa khi và chỉ khi mọi hình cầu B (x0 , r) ⊂ Ω, ta có các công thức giá trị trung bình sau đây u(x0 ) = S (u, x0 , r) ∶= 1 dωd rd−1 ∫ u(x)do(x), (1.3) u(x)dx. (1.4) ∂B (x0 ,r) và u(x0 ) = K (u, x0 , r) ∶= 1 ωd r d ∫ B (x0 ,r) Chứng minh. ′′ ⇒′′ Giả sử u là hàm điều hòa, khi đó (1.3) suy ra từ công thức Poison (1.2). Thật vậy, trong (1.2) khi lấy y = x0 ta có u(x0 ) = r2 dωd r ∫ ∂B (x0 ,r) = 1 dωd rd−1 u(x) do(x) rd ∫ u(x)do(x). ∂B (x0 ,r) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Công thức (1.3) còn có thể chứng minh bằng cách khác sau đây. Giả sử u ∈ C 2 (B (y, r)), 0 < % < r, khi đó ∂u ∫B (y,%) ∆u(x)dx = ∫∂B (y,%) ∂ν (x)do(x) ∂u =∫ (y + %ω )%d−1 dω ∂B (0,1) ∂% x−y trong tọa độ cực ω = % ∂ = %d−1 u(y + %ω )dω ∂% ∫ ∂B (0,1) = %d−1 ∂ 1−d (% ∫ ∂% u(x)do(x)) ∂B (y,%) = dωd %d−1 Nếu u là hàm điều hòa thì ∂ S (u, y, %). ∂% ∂ ∂% S (u, y, %) (1.5) = 0 và S (u, y, %) là hằng số. Vì u(y ) = lim S (u, y, %), %→0 (1.6) nên ta suy ra (1.3). Ta sẽ chứng minh (1.4). Thật vậy, từ các định nghĩa S (u, x0 , %) và K (u, x0 , r) và dx = %d−1 d%do(x) ta có r d K (u, x0 , r) = d ∫ S (u, x0 , %)%d−1 d% = u(x0 ). r (1.7) 0 ′′ ⇐′′ Giả sử (1.3) đúng với mọi x0 ∈ Ω và r > 0 sao cho B (x0 , r) ⊂ Ω. Trước tiên ta chứng tỏ rằng u trơn. Ta đặt ⎧ ⎪ ⎪ cd exp ( t21−1 ) khi 0 ≤ t < 1 %(t) ∶= ⎨ ⎪ khi t ∉ [0, 1) ⎪ ⎩0 Ở đây hằng số cd được chọn sao cho ∫ %(∣x∣)dx = 1, Rd %(∣x∣) là khả vi vô hạn theo x. Cho f ∈ L1 (Ω), B (y, r) ⊂ Ω, ta xét fr (y ) ∶= 1 ∣y − x ∣ % ( )f (x)dx. ∫ rd r Ω Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) 6 Khi đó fr là khả vi vô hạn theo y . Thật vậy từ (1.3) ta có 1 ur (y ) = d ∫ r r ∫ 0 ∂B (y,s)) r = s %( )u(x)do(x)ds r 1 s )dωd sd−1 S (u, y, s)ds ( % ∫ d r r 0 1 = u(y ) ∫ %(σ )dωd σ d−1 dσ 0 = u(y ) ∫ %(∣x∣)dx B (0,1) = u(y ). Như vậy ta cũng có ur (x) = u(x), chứng minh được rằng B (x, r) ⊂ Ω. Vì vậy u cũng khả vi vô hạn. Ta xét ∫ ∆u(x)dx = dωd %d−1 B (y,%) ∂ S (u, y, %). ∂% (1.9) Do S (u, x0 , %) là hằng số theo % và vế phải của (1.9) triệt tiêu tất cả các biến y và % với B (y, %) ⊂ Ω. Vì vậy ∆u(y ) = 0, y ∈ Ω, và u là hàm điều hòa. Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Weyl) Giả sử u ∶ Ω → R là đo được và khả tích địa phương trong Ω. Giả sử với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω), ∫ u(x)∆ϕ(x)dx = 0. Ω Khi đó u là hàm điều hòa và do đó là trơn vô hạn. Chứng minh. Ta xét ur (x) = Cho ϕ ∈ C0∞ 1 rd ∣y −x∣ ∫ %( r )u(y )dy. Ω và r < dist(supp(ϕ), ∂Ω), với suppϕ = {x ∶ ϕ(x) ≠ 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Ta có 1 ∣y − x∣ ∫ ur (x)∆ϕ(x)dx = ∫ rd ∫ %( r )u(y )dy∆ϕ(x)dx Ω Ω Ω = ∫ u(y )∆ϕr (y )dy Ω = 0. Từ cách xác định r ta suy ra khi ur là trơn thì ∞ ∫ ∆ur (x)ϕ(x)dx = 0, với mọi ϕ ∈ C0 (Ωr ), Ω với Ωr ∶= {x ∈ Ω ∶ dist(x, ∂Ω) > r}. Vì vậy, ∆ur = 0 trong Ωr . Do đó ur là hàm điều hòa trong Ωr . Ta xét R > 0 và 0 < r ≤ 12 R. Khi đó ur thỏa mãn giá trị trung bình trên mọi hình cầu tâm trong Ωr , bán kính ≤ 21 R. Khi đó 1 ∣x − y ∣ ∫ ∣ur (y )∣dy ≤ ∫ rd ∫ %( r )∣u(x)∣dxdy Ωr Ω Ωr ≤ ∫ ∣u(x)∣dx. Ω Khi ur thỏa mãn tính chất giá trị trung bình trên mọi hình cầu bán kính 1 2 R, suy ra ur bị chặn đều (cố định R và giả sử r → 0). Hơn nữa, vì ∣ur (x1 ) − ur (x2 )∣ ≤ 1 2 d ( ) ωd R ∣ur (x)∣dx ∫ B (x1 , R2 )∖B (x2 , R2 )∪B (x2 , R2 )∖B (x1 , R2 ) ≤ 1 2 d R R ( ) sup ∣ur ∣2V ol(B (x1 , ) ∖ B (x2 , )), ωd R 2 2 ur cũng liên tục đồng bậc. Vì vậy, theo Định lý Aszela Ascoli khi r → 0 ta được một dãy con hội tụ đều về hàm liên tục v . Ta phải có v = u, vì u là hàm khả tích địa phương trong L1 (Ω), với mọi x ∈ Ω, lim ur (x) = u(x). Vì r→0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 vậy u là liên tục, và vì tất cả ur thỏa mãn tính chất giá trị trung bình nên u cũng thỏa mãn tính chất đó. Từ Định lý 1.1.3 ta suy ra u là hàm điều hòa. 1.2 Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 1.2.1. a, Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X (với f (x) < ∞), nếu với ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho f (x) − ε ≤ f (y ), ∀y ∈ U. b, Nếu f (x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho f (y ) ≥ N, ∀y ∈ U. Định nghĩa 1.2.2. a, Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X (với f (x) < +∞), nếu với ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho f (y ) ≤ f (x) + ε, ∀y ∈ U. b, Nếu f (x) = −∞, thì f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho f (y ) ≤ −N, ∀y ∈ U. Định nghĩa 1.2.3. Giả sử v ∶ Ω → [−∞, ∞) là nửa liên tục trên nhưng không đồng nhất bằng −∞. Hàm v được gọi là hàm điều hòa dưới nếu mọi ′ miền con Ω′ ⊂⊂ Ω và mọi hàm điều hòa u ∶ Ω′ → R ( u ∈ C 0 (Ω ) ∩ C 2 (Ω′ )) với v ≤ u trên ∂Ω′ ta có v ≤ u trên Ω. Một hàm w ∶ Ω → (−∞, ∞], nửa liên tục dưới, w không đồng nhất bằng ∞, được gọi là hàm điều hòa trên nếu -w là hàm điều hòa dưới. Định lý 1.2.4. Một hàm v ∶ Ω → (−∞, ∞], (nửa liên tục trên, không đồng nhất −∞) là hàm điều hòa dưới khi và chỉ khi mọi hình cầu B (x0 , r) ⊂ Ω và v (x0 ) ≤ S (v, x0 , r), (1.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 hoặc tương đương, nếu mọi hình cầu v (x0 ) ≤ K (v, x0 , r), (1.11) trong đó S (v, x0 , r) và K (v, x0 , r) được xác định trong (1.3) và (1.4). Chứng minh. ′′ ⇒ ” Vì v là nửa liên tục trên nên tồn tại (vn )n∈N tăng của hàm liên tục v = lim vn , do đó, với mọi u tồn tại hàm điều hòa n∈N un ∶ B (x0 , r) → R, với un ∖ ∂B (x0 , r) = vn ∖ ∂B (x0 , r) (≥ v ∖ ∂B (x0 , r)). Vì vậy S (un , x0 , r) = S (vn , x0 , r). Vì v là hàm điều hòa dưới và un là hàm điều hòa, ta được v (x0 ) ≤ un (x0 ) = S (un , x0 , r) = S (vn , x0 , r). Cho n → ∞ thu được (1.10). ” ⇐ ” Để chứng minh chiều ngược lại ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 1.2.5. Giả sử v thỏa mãn (1.10) hoặc (1.11) với mọi hình cầu B (x0 , r) ⊂ Ω. Khi đó v cũng thỏa mãn nguyên lý cực đại, nghĩa là nếu tồn tai x0 ∈ Ω với v (x0 ) = sup v (x), x ∈Ω thì v là hằng số. Hay nếu Ω bị chặn và v ∈ C 0 (Ω), thì v (x) ≤ max v (y ), ∀x ∈ y ∈∂Ω Ω. Chứng minh. Giả sử v (x0 ) = sup v (x) =∶ M. x ∈Ω Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Vì vậy ΩM ∶= {y ∈ Ω ∶ v (y ) = M } ≠ ∅. Giả sử y ∈ ΩM , B (y, r) ⊂ Ω, khi đó (1.10) kéo theo (1.11), trong trường hợp này ta áp dụng (1.11) thu được 0 = v (y ) − M ≤ 1 (v (x) − M )dx. ωd r d ∫ (1.12) B (y,r) Vì M = sup v , luôn có v (x) ≤ M và v (x) = M với mọi x ∈ B (y, r). Vì vậy ΩM cũng chứa y , B (y, r) ⊂ Ω. Do đó nó phải trùng với Ω vì Ω là liên thông. Do đó u(x) = M, ∀x ∈ Ω. Bây giờ ta dễ dàng chứng minh chiều ngược lại, giả sử u thỏa mãn điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3. Khi đó v − u cũng thỏa mãn đánh giá về giá trị trung bình, do nguyên lý cực đại nên v ≤ u trong Ω′ nếu v ≤ u trên ∂Ω′ . Hệ quả 1.2.6. Một hàm v thuộc lớp C 2 (Ω) là hàm điều hòa dưới nếu ∆v ≥ 0 trong Ω. Chứng minh. Giả sử B (y, r) ⊂ Ω, 0 < % < r. Khi đó từ (1.5) ta có 0≤ ∫ ∆v (x)dx = dωd %d−1 B (y,%) ∂ S (v, y, %). ∂% Lấy tích phân bất đẳng thức này, S (v, y, %) ≤ S (v, y, r), 0 < % < r, và vì vế trái dần tới v (y ) khi % → 0, ta được: v (y ) ≤ S (v, y, r). Theo Định lý 1.2.4 thì v là hàm điều hòa dưới. Ngược lại, giả sử ∆v (y ) < 0. Vì v ∈ C 2 (Ω), ta có thể tìm một hình cầu B (y, r) ⊂ Ω, với ∆v < 0 trên B (y, r). Áp dụng phần trước để chứng minh cho −v sẽ được v (y ) > S (v, y, r), và v không thể là hàm điều hòa dưới. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Một số ví dụ về hàm điều hòa dưới: (1) Giả sử d ≥ 2. Ta tính ∆∣x∣α = (dα + α(α − 2))∣x∣α−2 = α(d + α − 2)∣x∣α−2 ≥ 0. Vì vậy ∣x∣α là hàm điều hòa dưới với α ≤ 2 − d. (2) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm điều hòa nhận giá trị dương, β ≥ 1. Khi đó d ∆u = ∑(βuβ −1 uxi xi + β (β − 1)uβ −2 uxi uxi ) β i=1 d = ∑ β (β − 1)uβ −2 uxi uxi i=1 d = β (β − 1)uβ −2 ∑ u2xi ≥ 0, i=1 vì u là hàm điều hòa, u nhận giá trị dương và β ≥ 1, suy ra uβ là hàm điều hòa dưới. (3) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm điều hòa dương. Khi đó d d uxi xi uxi uxi uxi uxi ∆ log u = ∑ ( − ) = − , ∑ 2 u u2 i=1 i=1 u vì u là hàm điều hòa, do đó log u là hàm điều hòa trên và − log u là hàm điều hòa dưới. 1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack Định lý 1.3.1. (Định lý Liouville) Giả sử u ∶ Rd → R là hàm điều hòa và bị chặn trên toàn Rd . Khi đó u là hằng số. Chứng minh. Cho x1 , x2 ∈ Rd , theo (1.4) với ∀r > 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 u(x1 ) − u(x2 ) = 1 ( ωd r d ∫ u(x)dx − ∫ B (x1 ,r) = 1 ( ωd r d u(x)dx) B (x2 ,r) u(x)dx − ∫ B (x1 ,r)∖B (x2 ,r) ∫ u(x)dx). B (x2 ,r)∖B (x1 ,r) Theo giả thiết ∣u(x) ≤ M ∣, và cho r → ∞, 1 V ωd rd ol(B (x1 , r) ∖ B (x2 , r)) → 0. Điều này kéo theo vế phải của biểu thức trên hội tụ đến 0 khi r → ∞. Vì vậy, ta có u(x1 ) = u(x2 ). Do x1 , x2 là tùy ý nên u là hằng số. Định lý 1.3.2. (Bất đẳng thức Harnack) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm điều hòa và không âm. Khi đó với mọi miền con Ω′ ⊂⊂ Ω, tồn tại một hằng số c = c(d, Ω, Ω′ ) sao cho sup u ≤ c inf′ u. Ω′ Ω Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt Ω′ = B (x0 , r)), cho B (x0 , 4r) ⊂ Ω. Giả sử y1 , y2 ∈ B (x0 , r). từ (1.4) ta có u(y1 ) = 1 ωd r d ∫ u(y )dy B (y1 ,r) ≤ 1 ωd r d u(y )dy ∫ B (x0 ,2r) vì u ≥ 0 và B (y1 , r) ⊂ B (x0 , 2r) = 3d ωd (3r)d ∫ 3d ωd (3r)d ∫ u(y )dy B (x0 ,2r) ≤ u(y )dy B (y0 ,3r) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 vì u ≥ 0 và B (x0 , 2r) ⊂ B (y2 , 3r) = 3d u(y2 ), và do đó, sup u ≤ 3d inf u, B (x0 ,r) B (x0 ,r) như vậy Định lý được chứng minh trong trường hợp đặc biệt. Vì miền con Ω′ ⊂⊂ Ω là tùy ý nên ta chọn r > 0 với r < 41 dist(Ω′ , ∂Ω). Vì Ω′ là bị chặn và liên thông nên tồn tại m ∈ N sao cho hai điểm bất kỳ y1 , y2 ∈ Ω′ là liên thông trong Ω′ bởi một đường cong mà có thể bị phủ ở hầu hết m cầu bán kính r với tâm trong Ω′ . Hợp thành của tất cả bất đẳng thức trên cho những hình cầu đó ta được, u(y1 ) ≤ 3md u(y2 ). Bất đẳng thức được chứng minh với c = 3md . 1.4 Không gian W 1,2 (Ω) Định nghĩa 1.4.1. Cho Ω ⊂ Rd là mở và u(x) ∈ L1loc (Ω), hàm v (x) ∈ L1loc (Ω) được gọi là đạo hàm riêng yếu của hàm u(x) theo biến xi nếu với ∀ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) ta có ∫ v (x)ϕ(x)dx = − ∫ u(x)ϕxi (x)dx. Ω (1.13) Ω Bổ đề 1.4.2. ([1]) Giả sử u ∈ L1loc (Ω) và tồn tại v = Di u. Nếu dist(x, ∂Ω) > h, ta có Di (uh (x)) = (Di u)h (x). Định lý 1.4.3. ([1]) Giả sử u, v ∈ L2 (Ω). Khi đó v = Di u nếu tồn tại một dãy (un ) ⊂ C ∞ (Ω) với un → u, ∂ un → v trong L2 (Ω′ ), ∂xi với mọi Ω′ ⊂⊂ Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Định nghĩa 1.4.4. (Định nghĩa không gian Sobolev W 1,2 (Ω)) Không gian Sobolev W 1,2 (Ω) là không gian của những hàm u ∈ L2 (Ω) mà có đạo hàm uxi (i = 1, ..., d) thuộc lớp L2 (Ω). Trong không gian W 1,2 (Ω) ta định nghĩa tích vô hướng d (u, v ) W 1,2 (Ω) ∶= ∫ uv + ∑ ∫ Di uDi v. i=1 Ω Ω Và một chuẩn 1 2 ∥u∥W 1,2 (Ω) ∶= (u, u)W 1,2 (Ω) . Ta cũng có thể định nghĩa W 1,2 (Ω) là bao đóng của C ∞ (Ω) đối với chuẩn ∥.∥W 1,2 và W01,2 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) đối với chuẩn này. Hệ quả 1.4.5. Không gian W 1,2 (Ω) là đầy đủ đối với ∥.∥W 1,2 và do đó nó cũng là không gian Hilbert. Không gian C ∞ (Ω) là trù mật trong W 1,2 (Ω). Chứng minh. Giả sử (un )n∈N là một dãy Cauchy trong W 1,2 (Ω). Khi đó (un )n∈N , (Di un )n∈N (i = 1, ..., d) là dãy Cauchy trong L2 (Ω). Vì L2 (Ω) là đầy đủ nên tồn tại u, v i ∈ L2 (Ω) với un → u, Di un → vi trongL2 (Ω) (i = 1, ..., d). Cho φ ∈ C01 (Ω), ta có ∫ Di un φ = − ∫ un Di φ, ta thấy vế trái hội tụ đến ∫ v i φ, vế phải hội tụ đến − ∫ uDi φ. Do đó Di u = v i , vì vậy u ∈ W 1,2 (Ω). Điều này chứng tỏ tính đầy đủ của nó. Để chứng minh W 1,2 (Ω) là bao đóng của C (Ω), ta cần kiểm tra không gian C ∞ (Ω) ∩ W 1,2 (Ω) là trù mật trong W 1,2 (Ω). Cho n ∈ N, ta đặt 1 Ωn ∶= {x ∈ Ω ∶ ∥x∥ < n, dist(x, ∂Ω) > }, n với Ω0 ∶= Ω−1 ∶= φ. Vì vậy, Ωn ⊂⊂ Ωn+1 và ⋃ Ωn = Ω. n∈N Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Ta giả sử {ϕj }j ∈N là sự phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ {Ωn+1 ∖ Ωn−1 } của Ω. Giả sử u ∈ W 1,2 (Ω). Từ Định lý 1.4.3 với mọi ε > 0 ta có thể tìm một số dương hn với mọi n ∈ N sao cho hn ≤ dist(Ωn , ∂Ωn+1 ), ε ∥(ϕn u)hn − ϕn u∥ 1,2 < n . W (Ω) 2 Vì ϕn là sự phân hoạch đơn vị, trên Ω′ ⊂⊂ Ω, tại một số hữu hạn hàm trơn (ϕn u)hn là khác không. ̃ ∶= ∑(ϕn u)hn ∈ C ∞ (Ω). u n Ta có ̃∥ ∥u − u ta thấy với mỗi u ∈ W 1,2 (Ω) W 1,2 (Ω) ≤ ∑ ∥(ϕn u)hn − ϕn u∥ < ε, n có thể xấp xỉ bằng các hàm thuộc C ∞ . Ta có ví dụ sau: cho Ω = (−1, 1) ⊂ R u(x) ∶= ∣x∣, trong trường hợp u ∈ W 1,2 (−1, 1) và ⎧ ⎪ ⎪ 1 khi 0 < x < 1 Du(x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −1 khi −1 < x < 0 . Suy ra Du(x) = signx. Thật vậy, 0 1 1 ∀φ ∈ C01 ((−1, 1)), ∫ −φ(x)dx + ∫ φ(x)dx = − ∫ φ′ (x).∣x∣dx, −1 0 −1 do đó thỏa mãn (1.13) Bổ đề 1.4.6. Giả sử Ω0 ⊂⊂ Ω, g ∈ W 1,2 (Ω), u ∈ W 1,2 (Ω0 ), u−g ∈ W01,2 (Ω0 ). Khi đó ⎧ ⎪ ⎪ u(x) khi x ∈ Ω0 v (x) ∶= ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ g (x) khi x ∈ Ω ∖ Ω0 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -