Tài liệu Các thuật toán tính diện tích và thể tích vật thể không gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG PHẠM HẢI NINH CÁC THUẬT TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG PHẠM HẢI NINH CÁC THUẬT TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số: 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH NGUYỄN XUÂN HUY THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, kết quả của luận văn hoàn toàn là kết quả của tự bản thân tôi tìm hiểu, nghiên cứu dƣới sự hƣớng dẫn của giáo viên hƣớng dẫn PGS TSKH Nguyễn Xuân Huy. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính pháp lý quá trình nghiên cứu khoa học của luận văn này. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015 Học viên Phạm Hải Ninh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TSKH Nguyễn Xuân Huy người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Công nghệ thông tin đã truyền đạt những kiến thức và giúp đỡ em trong suốt quá trình học của mình. Học viên xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Hồng Bàng - Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho học viên tham gia khóa học và quá trình hoàn thành luận văn. Và học viên cũng xin gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè những người đã ủng hộ, động viên tạo mọi điều kiện giúp đỡ để học viên có được kết quả như ngày hôm nay. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015 Học viên Phạm Hải Ninh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................ ii MỤC LỤC ................................................................................................ iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT ................................. v DANH MỤC CÁC HÌNH ......................................................................... vi MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ ....................................................... 2 1.1. Tổ ng quan về đề tài . ........................................................................ 2 1.1.1. Giới thiệu đề tài. ....................................................................... 2 1.1.2. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết. ........................ 2 1.1.3. Phƣơng pháp nghiên cứu. ......................................................... 3 1.1.4. Phạm vi ứng dụng. ................................................................... 3 1.1.5. Kết quả đạt đƣợc. ..................................................................... 3 1.1.6. Bố cục của luận văn.................................................................. 4 1.2. Khái niệm cơ sở . ............................................................................. 5 1.2.1. Khái quát cách tính diện tích các hình cơ bản. .......................... 5 1.2.2. Khái quát cách tính thể tích các hình cơ bản. .......................... 10 Chƣơng 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ KHÔNG GIAN ...................................................................... 14 2.1. Thuâ ̣t toán tính diện tích của đa giác theo tọa độ đỉnh . .................. 14 2.2. Thuật toán tìm diện tích hình chữ nhật tối đại. .............................. 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iv 2.3. Thuật toán tính thể tích vùng nƣớc đo ̣ng . ...................................... 33 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG VÀ THỬ NGHIỆM .......................................... 45 3.1. Cơ sở lý thuyết và lựa chọn bài toán ứng dụng . ............................ 45 3.2. Bài toán: Dự án xây dựng sân bay. ................................................ 49 3.2.1. Phát biểu bài toán. .................................................................. 49 3.2.2. Mô tả dƣ̃ liê ̣u. ......................................................................... 49 3.2.3. Thiế t kế các bƣớc thƣ̣c hiê ̣n. ................................................... 50 3.3. Bài toán: Tính thể tích chứa nƣớc cho một lòng hồ . ...................... 54 3.3.1. Phát biểu bài toán. .................................................................. 54 3.2.2. Mô tả dữ liệu. ......................................................................... 55 3.3.3. Thiế t kế các bƣớc thƣ̣c hiê ̣n. ................................................... 56 3.4. Cài đặt chƣơng trình ...................................................................... 58 3.4.1. Chƣơng trinh tinh diê ̣n đa giác theo to ̣a đô ̣ đinh . .................... 58 ̉ ̀ ́ 3.4.2. Chƣơng trình tim diện tích hình chữ nhật tối đại . ................... 59 ̀ 3.4.3. Chƣơng trinh tính thể tích vùng nƣớc đo ̣ng . ........................... 61 ̀ KẾT LUẬN ............................................................................................. 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 65 PHỤ LỤC ................................................................................................ 66 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn v DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT CSDL: Cơ sở dữ liệu GIS: Geographic Information System (Hệ thống thông tin địa lý ) HCN : Hình chữ nhật INP: Input (Dƣ̃ liê ̣u vào ) NXB: Nhà xuất bản OUT: Output (Dƣ̃ liê ̣u ra) S: Diê ̣n tích bề mă ̣t V: Thể tich (Dung tích) của vật thể ́ VD: Ví dụ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn vi DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 1.1: Công thƣ́c tinh diê ̣n tich của mô ̣t số hinh đă ̣c biê ̣t ...................... 7 ́ ́ ̀ Hình 1.2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục trên đoạn [a, b] và hai đƣờng thẳng x = a, x = b .. 8 Hình 1.3: Công thƣ́c tinh thể tí ch của mô ̣t số khố i hinh đă ̣c biê ̣t .............. 12 ́ ̀ Hình 1.4: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b ............................................ 13 Hình 2.1: Hình chữ nhâ ̣t ABCD trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy .................. 16 Hình 2.2: Ngũ giác lõm ABCDE trong mặt phẳng tọa độ Oxy ................. 17 Hình 2.3: Ngũ giác lồi ABCDE trong mặt phẳng tọa độ Oxy ................... 18 Hình 2.4: Hình thang ABCD trong mặt phẳng tọa độ Oxy ....................... 19 Hình 2.5: Đa giác lồi, lõm trong mặt phẳng tọa độ Oxy ........................... 20 Hình 2.6: VD1 - Ma trâ ̣n chƣ́a các kí tƣ̣ 0 và 1 ......................................... 25 Hình 2.7: VD2 - Ma trâ ̣n chƣ́a các kí tƣ̣ 0 và 1 ......................................... 26 Hình 2.8: VD3 - Ma trâ ̣n chƣ́a các kí tƣ̣ 0 và 1 ......................................... 27 Hình 2.9: VD1 - Ma trâ ̣n và cô ̣t thể hiện độ cao của các cột vuông cạnh 1 đơn vi ̣....................................................................................................... 34 Hình 2.10: VD2 - Ma trâ ̣n và cô ̣t thể hiê ̣n đô ̣ cao của các cô ̣t vuông ca ̣nh 1 đơn vi ̣....................................................................................................... 35 Hình 2.11: VD3 - Ma trâ ̣n và cô ̣t thể hiê ̣n đô ̣ cao của các cô ̣t vuông ca ̣nh 1 đơn vi ̣....................................................................................................... 35 Hình 3.1: Ma trận không gian của một file ảnh raster có cấu trúc pixel .... 46 Hình 3.2: Các đối tƣợng không gian đƣợc mã hoá trong mô hình Raster . 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn vii Hình 3.3: Các điể m ả nh đƣợc mã hoá trong mô hình Raster nhƣ mô ̣t ma trâ ̣n số nguyên .......................................................................................... 49 Hình 3.4: Vùng địa hình khảo sát xây dựng sân bay ................................. 50 Hình 3.5: Ma trâ ̣n số nguyên thể hiê ̣n theo đô ̣ cao vùng điạ hinh ............. 51 ̀ Hình 3.6: Vùng địa hình có một hồ chứa nƣớc ......................................... 56 Hình 3.7: Ma trâ ̣n số nguyên theo đô ̣ cao vùng có hồ ............................... 57 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Lịch sử của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài ngƣời, những khái niệm đƣợc hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá của con ngƣời. Một ví dụ kinh điển cho sự ra đời ngành hình học thời Ai Cập cổ đại đấy là việc chia ruộng cho ngƣời dân. Nếu không có sự ra đời các khác niệm chiều dài, chiều rộng, diện tích, thể tích, và số đo góc, có lẽ những ngƣời Ai Cập khó có thể phân chia ruộng một cách công bằng. Thời xƣa khi con ngƣời chƣa có sự hỗ trợ của máy móc nên bản thân các bài toán phát sinh chỉ là các bài đơn giản, số lƣợng tính toán là cỡ nhỏ, việc tính diện tích và thể tích chỉ áp dụng đối với các hình đặc biệt. Với các hình phức tạp ngƣời ta tính bằng phƣơng pháp gần đúng hoặc chia ra thành các hình nhỏ. Vì vậy các công cụ toán để sử dụng cũng là những công thức vô cùng đơn giản và sơ khai nhƣ phép cộng, phép chia, hay khai căn một cách gần đúng. Ngày nay, cùng với sự hỗ trợ của máy tính, các bài toán con ngƣời có thể đặt ra là vô cùng trừu tƣợng và phức tạp, với số lƣợng phép tính lớn, vƣợt xa ra khỏi khả năng tự nhiên của một con ngƣời. Vì vậy các công cụ tính toán và các khái niệm mới cũng hết sức trừu tƣợng. Trong khuôn khổ của mình, luận văn sẽ trình bày về một số thuật toán tính diện tích và thể tích nhằm tính toán diện tích bề mặt cho các vật , cho các điạ hinh trong thƣ̣c tế . Đồng thời đề cập về ứng dụng của các thuật ̀ toán trên để từ đó cài đặt chƣơng trình thử nghiệm làm rõ hơn một số nội dung về tính toán trừu tƣợng hoặc xử lí những khối lƣợng tính toán phức tạp mà con ngƣời cần tính toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 2 Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 1.1. Tổ ng quan về đề tài 1.1.1. Giới thiệu đề tài Việc tính diện tích và tính thể tích luôn đƣợc con ngƣời quan tâm và ứng dụng trong thực tế. Để xác định, tính toán về mặt định lƣợng trên bề mặt hay dung tích chúng ta cần phải dựa vào số đo là diện tích và thể tích. Trong các lĩnh vực nhƣ xây dựng, thủy lợi, khai khoáng, ... con ngƣời cũng cần phải dựa vào các con số tính toán nhiều chính là diện tích và thể tích vật thể. Trong thƣ̣c tế nhƣ̃ng bài toán về tinh diê ̣n tích và thể tích có thể có ́ nhiề u cách tính và phƣơng pháp tính khác nhau . Với đề tài luận văn ”Các thuật toán tính diện tích và thể tích vật thể không gian và ứng dụng” nhằm tìm hiểu các cách tiếp cận về cách tính diện tích và thể tích của các hình, các vật thể đặc biệt. Đồng thời phân tích bài toán , hình thành ý tƣởng và xây dựng thuật toán về cách tính diện của một đa giác khi biết tọa độ đỉnh , tìm diện tích phẳng là hình chữ nhật tối đại và tính thể tích vùng nƣớc đo ̣ng. Từ đó đề tài cũng nêu và giải quyết một số ứng dụng có trong thực tế mà áp dụng từ các thuật toán đã trình bày. 1.1.2. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết - Giới thiệu tổng quan việc tính diện tích, thể tích vật thể không gian. - Tìm hiểu các thuật toán liên quan tính diện tích, thể tích vật thể không gian. - Cài đặt thử nghiệm các thuật toán đã xây dựng. - Ứng dụng và xây dựng chƣơng trình bài toán ứng dụng trong một số lĩnh vực có trong thực tế. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 3 1.1.3. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu, tổng hợp tài liệu, phân tích, đánh giá các phƣơng pháp. - Phƣơng pháp đối sánh . - Phƣơng pháp trao đổi khoa học, lấy ý kiến chuyên gia. - Phƣơng pháp thực nghiệm: xây dựng chƣơng trình cụ thể để thử nghiệm, phân tích, đánh giá kết quả đạt đƣợc. 1.1.4. Phạm vi ứng dụng Phạm vi nghiên cứu của đề tài đƣợc giới hạn trong việc xây dựng các phƣơng pháp thực hiện, chú trọng vào mô hình tính toán, thuật toán và chƣơng trình máy tính. Tính toán thực nghiệm cho một khu vực địa lý cụ thể. Ứng dụng tính diện tích phẳng tối đa cho phép trên một địa hình và thể tích chứa nƣớc của một lòng hồ. 1.1.5. Kết quả đạt đƣợc Tổng hợp mô ̣t số cách tiế p câ ̣n để tính diện tích, thể tích các hình, khối hình học và các vật thể cơ bản. Phân tich bài toán , hình thành ý tƣởng và xây dựng thuật toán cũng ́ nhƣ chƣơng trinh cho các thuâ ̣t toán sau : Thuâ ̣t toán tính diện tích đa giác ̀ theo to ̣a đô ̣ đinh, thuật toán tìm diện tích hình chữ nhật tối đại và thuật toán ̉ tính thể tích vùng nƣớc đo ̣ng. Thiết lập tƣơng quan giữa các thuật toán vào thực tế để tính toán những khối lƣợng công việc tƣởng nhƣ trừu tƣợng, khó tính toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 4 Nâng cao kĩ năng về phân tích dữ liệu thực tế với chƣơng trình chạy thực nghiệm. 1.1.6. Bố cục của luận văn Bố cục của luận văn bao gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ Chƣơng này học viên trình bày tổng quan về đề tài và tóm tắt các cách tiếp cận để tính diện tích đối với các hình đặc biệt, tính thể tích đối với các khối hình đặc biệt. Chƣơng 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ KHÔNG GIAN Chƣơng này học viên trình bày các thuật toán sau: Thuâ ̣t toán tính diện tích đa giác theo to ̣a đô ̣ đinh, thuật toán tìm diện tích hình chữ nhật tối ̉ đại và thuật toán tính thể tích vùng nƣớc đo ̣ng. Chƣơng 3: ỨNG DỤNG VÀ THỬ NGHIỆM Dựa vào cơ sở lý thuyết GIS và các thuật toán đƣợc trình bày ở chƣơng 2, trong chƣơng này học viên trình bày cụ thể hơn về bài toán ứng dụng trong thực tế trên mô ̣t vùng điạ hình . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 5 1.2. Khái niệm cơ sở 1.2.1. Khái quát cách tính diện tích các hình cơ bản Diện tích là độ đo dùng để đo độ lớn bề mặt của vật thể . Diện tích bề mặt của một đối tƣợng là toàn bộ những gì ta có thể nhìn thấy của đối tƣợng. Diện tích có đơn vị đo là bình phƣơng của khoảng cách (khoảng cách mũ 2). Trong hệ đo lƣờng quốc tế, nế u đơn vị đo của khoảng cách là cm thì đơn vị đo của diện tích là cm2, nế u đơn vị đo của khoảng cách là km thì đơn vị đo của diện tích là km2, nế u đơn vị đo của khoảng cách là m thì đơn vị đo của diện tích là m2 [6]. Việc tính diện tích các khối hình chúng ta có thể có những cách tiếp cận, những cách tính khác nhau. Đối với các hình đặc biệt ta thƣờng dựa vào độ dài các thông số cơ bản của hình, có cách tính nhanh và dễ nhớ. Ví nhƣ đoạn thơ sau có thể mô tả nhanh về công thức tính diện tích với một số hình đặc biệt: Muốn tính diện tích hình thang Đáy lớn, đáy nhỏ ta mang cộng vào Rồi đem nhân với đƣờng cao Chia đôi kết quả thế nào cũng ra. Chữ nhật ta đã học qua Dài nhân với rộng thế là ra ngay Hình vuông quả thật là hay Cạnh nhân với cạnh ra ngay tức thì Tam giác thì có khó chi Cao nhân với đáy ta thì chia đôi Hình tròn tính cũng dễ thôi Bán kính bán kính nhân pi là thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 6 Khối hộp làm cũng thật nhanh Muốn tìm diện tích xung quanh khó gì Sau đây là tổng quan về tính diện tích của các hình đặc biệt thông qua các yếu tố hình học cơ bản và công thức tính [6], [7]: p S 1 ah 2 S  P( p  a)( p  b) p  c) Hình tam giác (Cách 1) S abc 2 1 d1d 2 sin  2 Hình tứ giác Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN Hình tam giác (Cách 2) S 1 d1 d 2 2 Hình thoi http://www.ltc.tnu.edu.vn 7 1 ( a  b) h 2 S Hình thang S  R 2 Hình tròn Hình 1.1: Công thức tính diê ̣n tích của một số hình đặc biê ̣t Từ những công thức với các hình đặc biệt trên khi muốn tính diện tích của các hình có hình thù phức tạp ngƣời ta có thể chia hình đó thành những hình đặc biệt nhỏ khác nhau. Công việc tính diện tích lúc này trở nên đơn giản hơn là tổng diện tích của các hình nhỏ đặc biệt, tuy nhiên không phải hình nào cũng có thể chia về các hình đặc biệt và việc chia có thể cho ta kết quả gần đúng chƣa kể chúng ta phải sử dụng tƣơng đối nhiều phép đo. Trong toán học ngƣời ta ứng dụng tích phân để tính diện tích của các hình, việc tính diện tích theo cách này chúng ta phải biết hoặc xác định đƣợc hàm số giới hạn hình cần tính [5]. Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b là: b S   f ( x) dx a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 8 Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong và hai đƣờng thẳng x = a, x = b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục trên đoạn [a, b] và hai đƣờng thẳng x = a, x = b, ta có công thức sau: b S   f ( x)  g ( x) dx a Hình 1.2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục trên đoạn [a, b] và hai đường thẳng x = a, x = b Trong công thức trên ta chia thành các trƣờng hơ ̣p cu ̣ thể (Hình1.2): Trƣờng hợp 1: Ta có công thức khai triển của S b b a f ( x)  g ( x), x a; b a S   f ( x)  g ( x) dx   ( f ( x)  g ( x))dx nếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 9 Trƣờng hợp 2: Ta có công thức khai triển của S b b a a S   f ( x)  g ( x) dx   ( g ( x)  f ( x))dx nếu f ( x)  g ( x), x a; b Trƣờng hợp 3: Ta có công thức khai triển của S b c b a a c S   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx c b a c   ( f ( x)  g ( x))dx   ( f ( x)  g ( x))dx (trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số y  f ( x), y  g ( x) ) Có một cách tiếp cận khác về cách tính diện tích với một đa giác khi đa giác đó đƣợc đặt trong hệ tọa độ Oxy và biết tọa độ (x,y) n đỉnh của đa giác trong hệ tọa độ Oxy theo tuần tự (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn). Bài toán tính diện tích cho đa giác có tọa độ của các đỉnh đã biết trƣớc và các đỉnh đƣợc sắp xếp theo thứ tự cùng chiều quay của kim đồng hồ hoặc ngƣợc chiều quay của kim đồng hồ trên mặt phẳng tọa độ đƣợc tính theo công thức tổng quát nhƣ sau [9]: 1 S 2 n 1 x y i 1 i i 1 n 1  xn y1   xi 1 yi  x1 yn i 1 (Nguồn: http://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula) Công thức trên viết lại tƣơng đƣơng với công thức sau: 1 s  ( x1 y 2  x 2 y3  ...  x n1 y n  xn y1 )  ( x2 y1  x3 y 2  ...  x n y n1  x1 y n ) 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 10 Để cụ thể tính ta triển khai tính diện tích thành các bƣớc sau: Bƣớc 1: Tính T1 T1 = x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 Bƣớc 2: Tính T2 T2 = x2y1 + x3y2 + ... + xnyn-1 + x1yn Bƣớc 3: Tính S S = |T1-T2|/2 1.2.2. Khái quát cách tính thể tích các hình cơ bản Thể tích hay dung tích của một vật là lƣợng không gian mà vật ấy chiếm. Thể tích có đơn vị đo là lập phƣơng của khoảng cách (khoảng cách mũ 3). Trong hệ đo lƣờng quốc tế, nế u đơn vị đo của khoảng cách là cm thì đơn vị đo của thể tích là cm3, nế u đơn vị đo của khoảng cách là km thì đơn vị đo của thể tích là km3, nế u đơn vị đo của khoảng cách là m thì đơn vị đo của thể tích là m3 [6]. Đối với các khối hình cơ bản trong toán học chúng ta có công thức tính thể tích theo những thông số cơ bản của hình nhƣ bảng tóm tắt sau [6], [7]: S V  R 2 h Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN n 2  a cot g 4 n V = Sh http://www.ltc.tnu.edu.vn 11 Thể tích hình trụ Thể tích hình lăng trụ đều abc p 2 S  P( p  a)( p  b) p  c) p S  P( p  a)( p  b) p  c) V = Sh Thể tích hình lăng trụ tam giác V  abc 2 3 3 R 4 Thể tích hình cầu V  1 Sh 3 Thể tích hình tứ diện h V  R 2 ( R  ) 3 Thể tích hình chóp cầu 1 V  R 2 h 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn