Tài liệu Các phương pháp toán kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðAỊ HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin HÀ NỘI, 2008 MỤC LỤC Trang LỚI NÓI ðẦU 7 CHƯƠNG I. MỞ ðẦU 11 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ TRONG KINH TẾ TOÁN 11 1.1. Khái niệm về kinh tế toán 11 1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế 12 1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng 13 2. CÁC YẾU TỐ CỦA MÔ HÌNH KINH TẾ TOÁN 14 2.1. Khái niệm về mô hình kinh tế 14 2.2. Biến, hằng số và tham số 15 2.3. Các loại phương trình 16 CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH 18 1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TRONG KINH TẾ 18 1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng 18 1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh 19 2. CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH 21 2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát 21 2.2. Mô hình thu nhập quốc dân 23 2.3. Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief 25 BÀI TẬP CHƯƠNG II 30 CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH 34 1. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH TẾ 34 1.1. Khái niệm phân tích so sánh tĩnh 34 1.2. ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế 35 1.3. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thị trường riêng 38 1.4. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhập quốc dân 39 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..2 1.5. Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành 2. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MÔ HÌNH KINH TẾ TỔNG QUÁT 40 42 2.1. Hệ số co giãn 42 2.2. Một số ví dụ tìm vi phân toàn phần và ñạo hàm hàm ẩn 44 2.3. Mô hình thị trường tổng quát 47 2.4. Mô hình thu nhập quốc dân tổng quát 54 2.5. Một số ñiểm hạn chế của phân tích so sánh tĩnh 57 BÀI TẬP CHƯƠNG III 58 CHƯƠNG IV. MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 61 1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH TỐI ƯU KHÔNG RÀNG BUỘC 61 1.1. Mô hình tối ưu một biến không ràng buộc 61 1.2. Hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng của biến kinh tế 65 1.3. Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu nhiều biến không ràng buộc 68 2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC 79 2.1. Phương pháp nhân tử Lagrange 79 2.2. ðiều kiện ñạt tới trạng thái cân bằng 83 2.3. Cực ñại hoá hàm thoả dụng của người tiêu dùng 85 3. HÀM SẢN XUẤT VÀ VẤN ðỀ PHÂN BỔ ðẦU VÀO TỐI ƯU 89 3.1. Các tính chất của hàm ñẳng cấp 89 3.2. Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas 92 3.3. Xác ñịnh các tổ hợp ñầu vào với chi phí tối thiểu 96 3.4. Hàm sản xuất dạng CES 100 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 104 CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 107 1. KHÁI NIỆM PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 107 1.1. Một số ñịnh nghĩa 107 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..3 1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình vi phân 2. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DOMAR 108 112 2.1. Phát biểu mô hình 112 2.2. Tìm ñường cân bằng bền cho mô hình tăng trưởng Domar 113 3. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG ðỐI VỚI GIÁ CẢ THỊ TRƯỜNG 114 3.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp một 114 3.2. Phát biểu mô hình cân bằng ñộng 115 3.3. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cân bằng 117 4. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW 118 4.1. Bổ sung thêm về phương trình vi phân cấp một 118 4.2. Tiếp cận ñịnh tính giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một 122 4.3. Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow 126 4.4. Phân tích ñịnh tính trên biểu ñồ pha 127 4.5. Phân tích ñịnh lượng 129 5. MÔ HÌNHTHỊ TRƯỜNG VỚI KỲ VỌNGGIÁ ðƯỢC DỰ BÁOTRƯỚC 129 5.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng 129 5.2. Phát biểu mô hình 133 5.3. Xác ñịnh ñường biến ñộng giá và ñiều kiện ổn ñịnh ñộng 134 6. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤTNGHIỆP 139 6.1. Phát biểu mô hình 6.2. Khảo sát ñường biến ñộng lạm phát, giá cả và thất nghiệp 139 140 BÀITẬPCHƯƠNG V 143 CHƯƠNG VI. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 147 1. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 147 1.1. Khái niệm về phương trình sai phân 147 1.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 148 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..4 1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 150 1.4. Khảo sát tính ổn ñịnh của nghiệm của các phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai 152 2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ 154 2.1. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu 154 2.2. Mô hình thị trường có hàng tồn kho 155 2.3. Mô hình thị trường với giá trần 156 3. MÔ HÌNH THU NHẬP QUỐC DÂN VỚI NHÂN TỬ TĂNG TỐC SAMUELSON 159 3.1. Phát biểu mô hình 159 3.2. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình 160 4. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC 163 4.1. Phát biểu mô hình 163 4.2. Phân tích các ñường biến ñộng của giá cả và lạm phát 164 5. ÁP DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 166 5.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 166 5.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một 169 5.3. Mô hình cân ñối liên ngành ñộng 171 5.4. Mô hình tương tác lạm phát và thất nghiệp 176 5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng 179 BÀI TẬP CHƯƠNG VI 185 TÀI LIỆU THAM KHẢO 189 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..5 LỜI NÓI ðẦU Những vấn ñề kinh tế trong các hoạt ñộng kinh tế thường rất ña dạng và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn ñề như vậy một cách chặt chẽ và hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả các vấn ñề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học ñể giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả ñạt ñược một cách logic luôn là một yêu cầu cấp thiết ñối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế. Trong các thập kỉ gần ñây, nhiều giải Nobel kinh tế ñược trao cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và phương pháp toán học như tối ưu hóa, lí thuyết trò chơi, hệ phương trình vi phân và sai phân, lí thuyết xác suất và thống kê. Nhà kinh tế học người Na Uy Trygve Haavelmo, trong lễ nhận giải thưởng Nobel kinh tế năm 1989, ñã từng phát biểu: “Nếu không có toán học kinh tế làm trung tâm cho các nghiên cứu kinh tế học, môn khoa học kinh tế có thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói chuyện chung chung chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”. Hiện nay, các môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế – quản lí nói chung và các phương pháp toán học áp dụng trong phân tích kinh tế nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình ñào tạo ñại học trong và ngoài nước. ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin và Toán – Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế – quản lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là cương vị CIO (Chief Information Officer – Giám ñốc Thông tin). Trong chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Vận trù học và Các phương pháp toán kinh tế. Giáo trình “Các phương pháp toán kinh tế” này với thời lượng từ 45 tới 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu với mục ñích cung cấp cho sinh viên năm thứ ba ngành Tin học một số kiến thức cơ bản về các Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..6 phương pháp toán kinh tế (mathematical methods for economics) ñược ứng dụng rộng rãi trong phân tích các mô hình kinh tế (economic models). Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình kinh tế cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp toán kinh tế thích hợp ñể phân tích các mô hình ñó, biết cách rút ra các kết luận phản ảnh bản chất của vấn ñề kinh tế ñược xem xét. Từ ñó, sinh viên sẽ tiếp thu ñược các vấn ñề kinh tế cơ bản làm cơ sở cho việc tiếp tục tự hoàn thiện các kiến thức về kinh tế vi mô cũng như vĩ mô. Giáo trình cũng giúp cho sinh viên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Toán – Tin ứng dụng có một cách tiếp cận hệ thống ñể sau này có thể xây dựng các hệ thống xử lí thông tin và các phần mềm tính toán trong lĩnh vực Tin học kinh tế. Như vậy, ưu tiên của giáo trình là tập trung trình bày một cách logic một số phương pháp toán kinh tế cơ bản và các ứng dụng của chúng trong việc phân tích các loại mô hình kinh tế (các phương pháp khác ñược trình bày trong các học phần còn lại của khối kiến thức về kinh tế – quản lí thuộc chương trình ñào tạo như ñã ñề cập trên ñây). ðây là một vấn ñề mới so với các giáo trình về Toán kinh tế ñã ñược biên soạn và giảng dạy tại một số trường ñại học trong nước. Chương I của giáo trình giới thiệu tổng quan và ngắn gọn về lĩnh vực Kinh tế toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tế cơ bản thường ñược sử dụng trong lĩnh vực này, cũng như giới thiệu về các yếu tố cơ bản của mô hình kinh tế toán. Chương II ñề cập tới khái niệm phân tích cân bằng kinh tế bao gồm cân bằng tĩnh cũng như cân bằng có mục ñích và phương pháp ñại số ma trận ñể phân tích một số mô hình cân bằng kinh tế như mô hình thị trường, mô hình thu nhập quốc dân và mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief (còn gọi là mô hình cân ñối liên ngành). Các phương pháp toán kinh tế như phép tính ñạo hàm, cũng như một trong các công cụ mạnh và ñẹp của toán học là ðịnh lí hàm ẩn ñược vận dụng trong Chương III nhằm thực hiện việc phân tích so sánh tĩnh cho các mô hình thị trường, mô hình cân ñối liên ngành và mô hình thu nhập quốc dân tổng quát (bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..7 Chương IV xem xét việc vận dụng một số phương pháp toán tối ưu cơ bản không ràng buộc và ràng buộc dạng ñẳng thức ñể phân tích các mô hình tối ưu trong kinh tế, bao gồm các mô hình thị trường ñộc quyền và phân biệt giá cả, mô hình cực ñại hàm thỏa dụng của người tiêu dùng, các mô hình phân bổ ñầu vào tối ưu với các dạng hàm sản xuất hiệu suất không ñổi, Cobb – Douglas, CES (Hệ số co giãn thay thế không ñổi). Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vi phân cũng như sai phân ñược nghiên cứu trong Chương V và Chương VI ñể thực hiện các phân tích cân bằng ñộng trong các mô hình kinh tế ñộng như mô hình tăng trưởng Domar, mô hình tăng trưởng Solow, mô hình ổn ñịnh ñộng của giá cả thị trường khi không có hoặc có kỳ vọng giá ñược dự báo trước, mô hình cân bằng ñộng lạm phát – giá cả – thất nghiệp, mô hình thu nhập quốc dân Samuelson, mô hình cân ñối liên ngành ñộng. Một số nội dung của Chương V và Chương VI có thể ñược lược bớt tùy theo thời lượng môn học và trình ñộ tiếp thu của người học. Khi biên soạn, chúng tôi luôn có một nguyện vọng là làm sao việc trình bày các phương pháp toán kinh tế ñược ñề cập tới trong giáo trình phải cô ñọng và dễ hiểu, việc ứng dụng các phương pháp này trong phân tích các dạng mô hình kinh tế phải chặt chẽ và logic. Chính vì vậy, các phương pháp toán kinh tế luôn ñược trình bày một cách cụ thể và tương ñối hoàn chỉnh thông qua các ví dụ tính toán và các mô hình kinh tế từ dễ tới khó. Phần bài tập giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực hành áp dụng các phương toán học trong phân tích mô hình kinh tế. Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Alpha C. Chiang, Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright, Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 2005; Michael W. Klein, Mathematical methods for economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hoàng ðình Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003; Nguyễn Quang Dong – Ngô Văn Thứ – Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..8 tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002; Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 1997. Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả chủ yếu dựa vào các tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh. Những sinh viên khá có thể tự học sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt trên Internet và viết các tiểu luận. “Các phương pháp toán kinh tế” là một môn học về mặt lí thuyết ñang ñược tiếp tục phát triển, về mặt thực hành ñang ngày càng có nhiều ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phân tích kinh tế, chắc chắn sẽ gây cho người học nhiều hứng thú tìm tòi, sáng tạo. Khi ñến thăm Việt Nam, nhà toán học và kinh tế học Robert Aumann, người nhận giải thưởng Nobel kinh tế năm 2005 ñã nói: “Có một công thức chung trong các hoạt ñộng kinh tế là tất cả mọi người sẽ giàu có hơn nếu mỗi người ñều ñược làm việc theo khả năng và sự yêu thích của mình”. Trong quá trình biên soạn, tuy rất cố gắng, nhưng có lẽ tác giả không tránh khỏi sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp và sinh viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49 và K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, và luôn mong tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của các giảng viên và sinh viên, ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn, chính xác hơn và sinh ñộng hơn. Hà Nội, ngày 19 tháng 8 năm 2008 Tác giả Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..9 Chương I MỞ ðẦU 1. Các phương pháp toán kinh tế trong kinh tế toán 1.1. Khái niệm về kinh tế toán Không giống như tài chính công hay thương mại quốc tế, kinh tế toán (mathematical economics) không phải là lĩnh vực riêng biệt của kinh tế. Có thể coi kinh tế toán là một cách tiếp cận nhằm thực hiện các phân tích kinh tế. Trong kinh tế toán, các nhà kinh tế sử dụng các kí hiệu toán học ñể phát biểu bài toán và dựa vào các ñịnh lí toán học ñể suy luận, áp dụng và tiếp tục phát triển các phương pháp và kĩ thuật toán học ñể mô tả và phân tích các vấn ñề kinh tế. Nhà kinh tế học người Mĩ Paul Samuelson ñược coi là người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng kinh tế toán. Một số sách kinh tế học ñại cương hiện nay vẫn dùng các phương pháp hình học trên mặt phẳng (hay không gian hai chiều) ñể minh họa và rút ra các kết luận có tính chất lí thuyết. Trong khi ñó, ñể nghiên cứu các bài toán kinh tế với nhiều biến kinh tế cần phải có sự hiểu biết sâu sắc về toán học. Kinh tế toán cho phép mô tả các vấn ñề kinh tế cần khảo sát với các công cụ toán học ña dạng như ñại số ma trận và phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, phép tính ñạo hàm và tích phân, phương trình vi phân và sai phân, các phương pháp tối ưu hoá, lí thuyết trò chơi... Trong các phân tích kinh tế, vi mô cũng như vĩ mô, các phương pháp toán học này còn ñược gọi là các phương pháp toán kinh tế (mathematical methods for economics). Hiện nay các phương pháp toán kinh tế ngày càng ñược sử dụng rộng rãi với các kết quả nổi bật ñược công bố trong các tài liệu chuyên khảo, các tạp chí chuyên ngành kinh tế và các tạp chí liên ngành khác. Cần nhấn mạnh rằng, dù có sử dụng các phương pháp toán kinh tế hay không, quy trình cơ bản của việc phân tích kinh tế vẫn là căn cứ vào các giả thiết, các ñịnh ñề hay các nguyên lí ñể ñưa ra các kết luận hay các Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..10 ñịnh lí thông qua một quá trình suy luận hay lập luận. Nhưng khác với các phân tích kinh tế ñịnh tính, trong kinh tế toán các giả thiết cũng như các kết luận ñược phát biểu bằng các kí hiệu toán học cũng như các phương trình toán học. Hơn nữa, các suy luận hay lập luận ñược ñưa ra dựa trên các ñịnh lí toán học. ðiều này giúp cho quá trình suy luận trở nên thuận lợi và chặt chẽ hơn, cũng như giúp cho việc phát biểu các kết luận trở nên chính xác hơn. Tóm lại, các mặt mạnh của việc sử dụng kinh tế toán trong các phân tích kinh tế là: – Cho phép sử dụng ngôn ngữ chính xác hơn. – Cho phép sử dụng các ñịnh lí toán học rất ña dạng nhằm gia tăng tốc ñộ suy luận. – Bắt buộc phải phát biểu các giả thiết một cách rõ ràng, không hàm chứa ẩn ý, ña nghĩa, do ñó tránh ñược các giả thiết không mong muốn có thể phát sinh. – Giúp xử lí các bài toán kinh tế nhiều biến một cách hiệu quả trong việc phân tích kinh tế vi mô cũng như vĩ mô. Có thể có ý kiến (chẳng hạn ý kiến trước ñây của trường phái kinh tế học Vienna, Áo) cho rằng: Kinh tế toán sử dụng các suy luận và các phân tích có tính chủ quan và hình thức dựa vào các ñịnh lí và phương pháp toán học ñể ñưa ra các kết luận nên ít có tính thực tiễn. Tuy nhiên, ý kiến phê phán kiểu này không nên áp dụng ngay cả ñối với các lí thuyết kinh tế nói chung, chứ không chỉ ñối với lí thuyết kinh tế toán. Thật vậy, là sự khái quát hóa của thế giới thực, mọi lí thuyết nói chung vẫn luôn chỉ xét tới một số yếu tố và mối liên quan bản chất nhất. Chẳng hạn, không thể phê phán lí thuyết về lợi nhuận của công ty trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo hay không hoàn hảo là không thực tiễn, dù lí thuyết này có ñược ñưa ra dựa trên các công cụ toán học hay không. 1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế Việc phân loại các phương pháp toán kinh tế là không ñơn giản và thậm chí còn chưa ñược thống nhất. Mục ñích của giáo trình này, với dung lượng thời gian từ 45 tới 60 tiết, là nhằm giới thiệu cho người học Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..11 làm quen với các phương pháp toán kinh tế cơ bản thường ñược áp dụng trong kinh tế toán trong khuôn khổ các công cụ toán học ñã nêu, bao gồm ñại số ma trận, phép tính ñạo hàm và tích phân, một số phương pháp tối ưu, phương trình vi phân và sai phân. Các công cụ sâu sắc và phức tạp hơn của toán kinh tế như quy hoạch phi tuyến, quy hoạch ña mục tiêu, quy hoạch ñộng, phương trình tích phân, mô phỏng ngẫu nhiên, phân tích Markov, lí thuyết trò chơi, ... sẽ không ñược ñề cập trong giáo trình này. Cần chú ý rằng, tuy các phương pháp toán xác suất, toán thống kê khi áp dụng trong các phân tích kinh tế cũng ñược coi là các phương pháp toán kinh tế, nhưng trong giáo trình này chúng ta cũng không ñề cập tới. Các phương pháp này thường ñược trình bày chi tiết trong các môn học như Kinh tế lượng (Econometrics), Vận trù học (Operations Research), hay Các phương pháp ñịnh lượng trong quản lí – kinh doanh (Quantitative Methods for Management and Business). Ngoài ra, do thời lượng môn học, giáo trình không giới thiệu các phương pháp giải tích ngẫu nhiên là cơ sở cho môn học Tài chính toán (Mathematical Finance) có rất nhiều ứng dụng trong phân tích tài chính. Khi nghiên cứu các phương pháp toán kinh tế ñược ñề cập tới trong giáo trình, cần tập trung vào việc nên sử dụng chúng như thế nào trong phân tích các vấn ñề kinh tế, mà không nên quá chú trọng vào cơ sở toán học của các phương pháp này. 1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng Thuật ngữ “kinh tế toán” và “kinh tế lượng” ñôi khi ñược sử dụng một cách nhầm lẫn. Thật ra, kinh tế toán ñi sâu vào phân tích các mô hình kinh tế, các lí thuyết kinh tế bằng cách sử dụng các công cụ toán học. Trong khi ñó, kinh tế lượng lại liên quan ñến việc ñịnh giá, ño lường các số liệu kinh tế hay các biến kinh tế, tức là liên quan ñến các nghiên cứu dựa trên các khảo sát thực nghiệm có sử dụng các phương pháp thống kê về ước lượng, kiểm ñịnh, dự báo, phân tích hồi quy và phân tích nhân tố... Một trong những người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu và áp dụng kinh tế lượng là nhà kinh tế học người Na Uy Ragnar Frisch. Như vậy, kinh tế toán có tính chất suy luận, lí thuyết còn kinh tế lượng có tính chất quy nạp, thực nghiệm. Tất nhiên, các phân tích kinh tế Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..12 dù là mang tính lí thuyết hay mang tính thực nghiệm ñều quan trọng. Chúng luôn là sự bổ sung cần thiết cho nhau và làm tăng cường hiệu quả lẫn nhau. Trước khi ñược ñưa vào áp dụng, các lí thuyết của kinh tế toán cần ñược kiểm ñịnh về tính phù hợp căn cứ các số liệu thực nghiệm thu ñược. Mặt khác, ñể xác ñịnh ñược các hướng nghiên cứu liên quan một cách hợp lí, các khảo sát thống kê trong kinh tế lượng sẽ ñược tiến hành dựa trên một lí thuyết kinh tế chỉ ñạo. Mối liên quan này ñược thể hiện khá rõ, chẳng hạn, trong các nghiên cứu về hàm tiêu dùng tổng hợp và nhiều nghiên cứu kinh tế khác. 2. Các yếu tố của mô hình kinh tế toán 2.1. Khái niệm mô hình kinh tế Như ñã trình bày trên ñây, mọi lí thuyết kinh tế là sự khái quát hóa cần thiết của thế giới thực. ðể nghiên cứu về một vấn ñề kinh tế thực tế, không thể xét ñồng thời tất các các yếu tố cũng như các mối liên quan nội tại (ñiều này quá phức tạp, ñôi khi vượt quá sự hiểu biết của chúng ta). Hơn nữa, các yếu tố hay các mối liên quan cũng không phải là có tầm quan trọng như nhau cho việc tìm hiểu bài toán kinh tế ñặt ra. Bởi vậy, bằng cách này hay cách khác, chúng ta cần lựa chọn ra ñược các yếu tố và các mối liên quan cơ bản nhất ñể xem xét. Việc lựa chọn như vậy trong nhiều trường hợp là khá nhạy cảm. Một mô hình kinh tế (economic model) là một khung lí thuyết, là một sự diễn ñạt (hay mô tả, thể hiện) có tính khái quát một vấn ñề kinh tế thực tế. Khi xây dựng mô hình cần chú trọng tính phù hợp, tính khả thi, tính thực tiễn và tính mục ñích. ðiều này cho phép mô hình ñược ñề xuất phù hợp với các ñặc ñiểm cơ bản của vấn ñề nghiên cứu và các thông tin thu thập ñược, ñồng thời có thể ñược phân tích bởi các phương pháp hay công cụ thích hợp nhằm tìm hiểu và nhận thức thực tiễn một cách sâu sắc. Trên cơ sở phân tích mô hình phải ñưa ra ñược các tác ñộng ñiều khiển hợp lí nhằm ñạt ñược các mục tiêu ñề ra. Một mô hình kinh tế có thể chứa hoặc không chứa các yếu tố toán học, có thể là một mô hình toán học hay không phải là một mô hình toán Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..13 học. Nếu một mô hình kinh tế là mô hình toán học thì nó còn ñược gọi là mô hình kinh tế toán (một số tác giả gọi là mô hình toán kinh tế). Mô hình kinh tế toán bao gồm các phương trình (các hệ thức toán học nói chung) mô tả cấu trúc của mô hình. Các phương trình phản ánh mối liên quan giữa các biến kinh tế dưới dạng toán học một cách phù hợp với các giả thiết của mô hình. Như vậy, các biến, hằng số, tham số và các loại phương trình là các yếu tố cơ bản của một mô hình kinh tế toán. Nhờ áp dụng các phép toán, các ñịnh lí toán học, chúng ta sẽ ñưa ra ñược các kết luận ñược suy ra một cách logic từ các giả thiết ñã nêu. 2.2. Biến, hằng số và tham số Biến là một ñại lượng mà ñộ lớn và dấu của nó có thể biến thiên, tức là nó có thể nhận các giá trị khác nhau. Chẳng hạn, trong các phân tích kinh tế thường gặp các loại biến sau ñây: – P: giá cả (price), – Π: lợi nhuận (profit), – R: doanh thu (revenue), – C: chi phí (cost), – Y: thu nhập (income), – ... Trong các mô hình kinh tế toán, các biến ñược phân loại như sau: – Biến nội sinh. Nếu một mô hình kinh tế ñược xây dựng một cách chính xác thì thông qua việc giải quyết mô hình có thể xác ñịnh ñược các giá trị của một số biến, chẳng hạn như xác ñịnh ñược mức giá cả làm cân bằng thị trường hay mức sản phẩm ñầu ra làm tối ña hóa lợi nhuận. Các biến như vậy ñược gọi là biến nội sinh, giá trị của chúng ñược xác ñịnh từ các mối liên quan nội tại của mô hình. – Biến ngoại sinh. Biến ngoại sinh là các biến với các giá trị ñược xác ñịnh bởi các yếu tố, các lực lượng xuất hiện ngoài mô hình. Vì vậy, ñộ lớn của các biến ngoại sinh ñược coi như các số liệu cho trước. Một biến kinh tế có thể là nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mô hình hay lí thuyết kinh tế ñang ñược xem xét. Chẳng hạn, khi nghiên cứu mô Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..14 hình cân bằng thị trường thì giá cả P của một loại hàng hóa là biến nội sinh. Nhưng nếu nghiên cứu lí thuyết về chi phí của người tiêu dùng thì P lại là biến ngoại sinh, vì P ñược coi là số liệu ñầu vào cho mô hình này. Ngược lại so với biến, hằng số là một ñại lượng có giá trị không thay ñổi. Hằng số có thể ñược kí hiệu bởi các số hoặc, một cách tổng quát hơn, bởi các chữ. Trong các trường hợp khi hằng số ñược kí hiệu bởi các chữ, chúng ta có các hằng số dạng tham số, còn ñược gọi một cách ngắn gọn hơn là các tham số. Giá trị của các tham số ñược coi là hằng số chỉ sau khi chúng ñược xác ñịnh. Các tham số thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b, c hay α, β, γ ... Còn các biến nội sinh ñược kí hiệu bởi các chữ in như P, Q, R, C hay Π, Λ ... Biến ngoại sinh ñược phân biệt với biến nội sinh bởi chỉ số dưới “0” , chẳng hạn như P0, C0 ... 2.3. Các loại phương trình Mối liên quan giữa các biến, hằng hay tham số ñược thể hiện thông qua các phương trình. Chúng ta xét các loại phương trình thường gặp trong mô hình kinh tế như sau: – Phương trình ñịnh nghĩa (definitional equation). – Phương trình hành vi (behavioral equation). – Phương trình cân bằng (equilibrium equation). Phương trình ñịnh nghĩa là một ñẳng thức mà hai biểu thức thay thế ở hai vế của nó có cùng một ý nghĩa. Như vậy, dấu “=” trong phương trình ñịnh nghĩa phải ñược hiểu như dấu ≡ (ñồng nhất thức). Ví dụ 1. Lợi nhuận ñược ñịnh nghĩa thông qua phương trình ñịnh nghĩa sau: Π = R – C, tức là lợi nhuận thu ñược chính là phần dôi ra của doanh thu sau khi ñã trừ ñi chi phí. Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay ñổi phụ thuộc vào sự thay ñổi giá trị của các biến khác. Nó có thể bao hàm các hành vi có ý thức của con người (chẳng hạn, khi xét mối liên quan của tiêu dùng tổng hợp phụ thuộc vào thu nhập quốc dân) hoặc các hành vi Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..15 vô thức (chẳng hạn, khi xem xét mối liên quan giữa tổng chi phí sản xuất và mức sản phẩm ñầu ra). Tuy nhiên, ñể thiết lập một phương trình hành vi cần tuân theo các giả thiết nhất ñịnh. Như vậy, dấu “=” trong phương trình hành vi phải ñược hiểu như một mối liên quan phụ thuộc. Ví dụ 2. Xét các ví dụ sau ñây về phương trình hành vi với C là chi phí và Q là mức sản phảm ñầu ra: – Chi phí C = 75 + 10Q. – Chi phí C = 110 + Q2. Các ñiều kiện sản xuất ñược mô tả trong hai phương trình trên là khác nhau. Trong phương trình thứ nhất chi phí cố ñịnh là 75, còn trong phương trình thứ hai chi phí cố ñịnh là 110. Sự biến thiên của chi phí C cũng là khác nhau trong hai phương trình trên. Trong phương trình thứ nhất khi Q tăng lên một ñơn vị thì C tăng 10 ñơn vị, còn trong phương trình thứ hai khi Q tăng một ñơn vị thì C tăng lên một lượng là: (Q + 1)2 – Q2 = 2Q + 1. Chẳng hạn nếu Q tăng từ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 ñơn vị. Phương trình cân bằng mô tả ñiều kiện cân bằng, nói ñúng hơn là các ñiều kiện cần thiết ñể ñạt tới tình trạng cân bằng. Ví dụ 3. Xét các ví dụ sau ñây về phương trình cân bằng: – Qd = Qs: Lượng cầu phải bằng lượng cung. – S = I: Tổng tiết kiệm phải bằng tổng ñầu tư. Phương trình thứ nhất mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô hình thị trường, còn phương trình thứ hai mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô hình thu nhập quốc dân. Về bản chất, phương trình cân bằng khác với phương trình ñịnh nghĩa và phương trình hành vi. Phương trình cân bằng có một ý nghĩa quan trọng trong các phân tích kinh tế ñể tìm ra các trạng thái cân bằng. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..16 Chương II PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH 1. Phân tích cân bằng trong kinh tế 1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng Cân bằng hay trạng thái cân bằng có thể ñược hiểu là một tập hợp có cấu trúc của các biến ñược lựa chọn, có liên quan nội tại và ñược ñiều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô hình mà chúng tạo nên, khuynh hướng thay ñổi không tiềm ẩn một cách ñáng kể. Cụm từ “các biến ñược lựa chọn” ñược nêu trên có nghĩa là, theo sự lựa chọn của nhà phân tích kinh tế, ñã có một số biến không ñược ñưa vào mô hình. Như vậy, trạng thái cân bằng chỉ liên quan tới các biến ñược lựa chọn và ñược ñưa vào xem xét mà thôi. Nếu mô hình ñược mở rộng ñể bao gồm cả các biến khác thì có thể trạng thái cân bằng trên sẽ không còn duy trì ñược nữa. Cụm từ “có liên quan nội tại” có nghĩa là ñể ñạt tới tình trạng cân bằng, các biến ñược lựa chọn ñều phải ở trong trạng thái dừng. Hơn nữa trạng thái dừng của các biến cũng phải tương thích với nhau. Nếu trái lại, việc một số biến thay ñổi có thể kéo theo việc các biến khác thay ñổi theo phản ứng dây chuyền, do ñó trạng thái cân bằng có thể không còn tồn tại nữa. Cụm từ “tiềm ẩn” “trong mô hình” nói lên rằng trong trạng thái cân bằng, các trạng thái dừng của các biến ñược thiết lập dựa trên việc cân bằng các biến nội sinh trong khi các biến ngoại sinh ñược coi là không ñổi. Có thể nói, trạng thái cân bằng là trạng thái mà với giá trị cho trước của các biến ngoại sinh, của các tham số, giá trị của các biến nội sinh ñược xác ñịnh và không thay ñổi theo thời gian. Như vậy, trạng thái cân bằng là tình trạng ñược ñặc trưng bởi việc không phát hiện thấy có khuynh hướng thay ñổi. Do ñó, phân tích cân bằng ñể tìm ra các trạng thái như vậy còn ñược gọi là phân tích tĩnh hay phân tích cân bằng tĩnh (static – equilibrium). Tuy nhiên, việc không phát hiện thấy có khuynh hướng thay ñổi hay ñộng lực thay ñổi không ñồng nghĩa với việc nhất thiết cần coi tình trạng cân bằng là lí tưởng. ðối với nhiều Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..17 công ty, tình trạng cân bằng cung cầu hiện tại về sản phẩm có thể cần ñược thay ñổi chứ không thể coi là lí tưởng. Tình trạng cân bằng, bởi vậy, có thể ñược hiểu như tình huống, mà các biến nội sinh có khuynh hướng duy trì chống lại các thay ñổi từ phía ngoài, từ phía các biến ngoại sinh. Một kiểu cân bằng khác là cân bằng có mục ñích (goal – equilibrium), hay cân bằng tối ưu, ñược phân tích thông qua các bài toán tối ưu. Trạng thái cân bằng như vậy có thể ñược coi là lí tưởng, hay ít nhất ñược coi là trạng thái “mong muốn” trong ñiều kiện hiện có. Trong những trạng thái cân bằng như vậy, các biến ñược lựa chọn, có liên quan nội tại với nhau và ñược ñiều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô hình mà chúng tạo nên, trạng thái lí tưởng hay mong muốn xảy ra. Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu cân bằng tĩnh không có tính mục ñích. 1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh Trong các mô hình cân bằng tĩnh, bài toán ñặt ra là cần xác ñịnh các giá trị của các biến nội sinh sao cho phương trình cân bằng của mô hình ñược thỏa mãn. Một khi các giá trị ñó ñược xác ñịnh, trạng thái cân bằng cũng sẽ ñược thiết lập. Chúng ta hãy minh họa vấn ñề này qua mô hình (tuyến tính cũng như phi tuyến) phân tích cân bằng thị trường riêng, tức là cân bằng thị trường ñối với một mặt hàng. Ví dụ 1. Mô hình tuyến tính cân bằng thị trường riêng. Trong mô hình này chúng ta chỉ xét một mặt hàng với các biến: Qd là lượng cầu, Qs là lượng cung và P là giá cả của mặt hàng. Lúc ñó cần xác ñịnh nghiệm ( P , Q ) sao cho Q d = Q s = Q và P thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính sau: Qd = Qs (2.1) Qd = a – bP (với ñiều kiện a > 0, b > 0) (2.2) Qs = – c + dP (với ñiều kiện c > 0, d > 0 ). (2.3) Trong hệ trên, phương trình (2.1) là phương trình cân bằng xác ñịnh ñiều kiện cân bằng giữa cầu và cung. Phương trình (2.2) và (2.3) là các Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..18 phương trình hành vi mô tả sự biến thiên của cầu và cung phụ thuộc vào P. ðể ñơn giản, các mối liên quan này ñược coi là tuyến tính. Các tham số a, b, c, d xác ñịnh các mối liên quan này. Trong phương trình (2.3) ta có Qs = – c + dP với c > 0, d > 0. ðiều kiện này có nghĩa là cung Qs chỉ xuất hiện (Qs > 0) một khi giá cả P của mặt hàng vượt qua một ngưỡng dương tối thiểu P1 = c/d. Nghiệm ( P , Q ) ñược gọi là trạng thái cân bằng, Q d = Q s = Q là mức cân bằng cung cầu và P là mức cân bằng giá. Trên hình II.1, nghiệm ( P , Q ) chính là giao ñiểm của các ñường cầu và ñường cung. Qd Qs a Qd = a – bP Qs = –c + dP ( P, Q ) Q O P1 P P –c Hình II.1 Dễ thấy rằng từ hệ trên ñây ta có: Q = a – bP Q = – c + dP . Do ñó mức cân bằng giá và mức cân bằng cung cầu ñược xác ñịnh như sau: P = a+c b+d Q = ad − bc . b+d Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..19 ðể mô hình có ý nghĩa thực tế, các tham số a, b, c và d ñều phải lấy giá trị dương và thỏa mãn ñiều kiện ad – bc > 0. Ví dụ 2. Mô hình phi tuyến cân bằng thị trường riêng. Các mối phụ thuộc của cầu hay cung vào giá cả không nhất thiết phải là tuyến tính. Nói chung, các mối liên quan này là phi tuyến. Xét ví dụ sau: Qd = Qs Qd = 4 – P2 Qs = 4P – 1. Từ ñó có phương trình P2 + 4P – 5 = 0. Trong hai nghiệm của phương trình này: P 1 = 1 và P 2 = –5, chúng ta chỉ lấy nghiệm P 1 = 1. Thay vào, sẽ tìm ñược Q d = Q s = Q = 3. Hình II.2 minh họa các ñường cầu và ñường cung cũng như trạng thái cân bằng. Qd Qs 4 Qs = 4P – 1 3 ( P, Q ) Qd = 4 – P2 O 1 2 P –1 Hình II.2 2. Các mô hình tuyến tính trong phân tích cân bằng tĩnh 2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát Xét ví dụ ñơn giản về mô hình cân bằng thị trường tuyến tính với hai mặt hàng: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..20 Qd1 = Qs1 Qd1 = a0 + a1 P1 + a2P2 Qs1 = b0 + b1P1 + b2P2 Qd2 = Qs2 Qd2 = α0 + α1P1 + α2P2 Qs2 = β0 + β1P1 + β2P2. Cần xác ñịnh trạng thái cân bằng của thị trường với hai mặt hàng ( P , P ,Q ,Q ) 1 2 1 2 thỏa mãn hệ phương trình trên với Q1d = Q1s = Q1 và Q 2d = Q 2s = Q 2 . Kí hiệu: ci = ai – bi , γi = αi – βi với i = 0, 1, 2, ta có: c1P1 + c2P2 = – c0 γ1P1 + γ2P2 = – γ0. Do ñó: P1= c2 γ 0 − c0 γ 2 c1γ 2 − c2 γ1 P2= c0 γ1 − c1γ 0 . c1γ 2 − c2 γ1 Từ ñó sẽ tìm ñược các lượng cầu cung cân bằng ñối với hai mặt hàng: Q 1 = Q d1 = Q s1, Q 2 = Q d2 = Q s2. Xét ví dụ tính toán với các giá trị cụ thể của các tham số sau ñây: Qd1 = Qs1 Qd1 = 10 – 2P1 + P2 Qs1 = – 2 + 3P1 Qd2 = Qs2 Qd2 = 15 + P1 – P2 Qs2 = –1 + 2 P2. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..21 ðưa hệ ñiều kiện trên về hệ phương trình tuyến tính với 4 ẩn, dễ dàng xác ñịnh ñược các giá trị cân bằng: P 1= 26 46 , P2= 7 7 Q1= 64 85 , Q2= . 7 7 Chú ý rằng, trong trường hợp mô hình cân bằng thị trường hai mặt hàng là hệ phương trình phi tuyến, cần áp dụng dùng các phương pháp toán học và / hoặc phần mềm tính toán thích hợp ñể tìm các giá trị cân bằng của giá cả, cầu và cung. Trong trường hợp tổng quát, mô hình cân bằng thị trường với n mặt hàng có phát biểu toán học như sau: Qdi (P1, P2, P3 , ...., Pn) = Qsi (P1, P2, P3 , ...., Pn) i = 1, 2, ..., n. Trong ñó, Qdi và Qsi có thể là các hàm tuyến tính hay phi tuyến của P1, P2, P3 , ...., Pn. Các giá cả cân bằng xác ñịnh ñược từ hệ ñiều kiện trên sẽ phụ thuộc vào các tham số của mô hình Pi = Pi (a1, a2, ..., am) , i = 1, 2, ..., n. 2.2. Mô hình thu nhập quốc dân Xét mô hình thu nhập quốc dân Keynes Y = C + I0 + G0 (ñây là phương trình cân bằng) C = a + bY (với ñiều kiện a > 0, 0 < b < 1). Trong ñó: Y: thu nhập quốc dân, là biến nội sinh, C: mức tiêu dùng quốc dân, là biến nội sinh, I0: tổng ñầu tư quốc gia, là biến ngoại sinh, G0: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước, là biến ngoại sinh. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..22 Các tham số a, b lần lượt là chi phí tiêu dùng cố ñịnh (autonomous consumption expenditure) và hệ số tiêu dùng biên (marginal propensity to consume). Từ mô hình trên có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng của thu nhập quốc dân và mức tiêu dùng quốc dân phụ thuộc vào giá trị của các biến ngoại sinh I0 và G0: Y= a + I 0 + G0 1− b C= a + b(I 0 + G 0 ) . 1− b Hay, nếu viết dưới dạng véc tơ, thì có: Y  1  = C  1 − b I 0 + G 0 + a   .  b(I 0 + G0 ) + a  Các mức cân bằng thu nhập quốc dân hay tiêu dùng quốc dân có thể là cao hay thấp phụ thuộc vào I0, G0, a và b theo công thức trên. Chẳng hạn, nếu cố ñịnh I0, G0 và a, thì với b càng lớn sát 1, Y và C càng cao. Do ñó, ñể tăng thu nhập quốc dân, có thể áp dụng chính sách kích cầu (tăng hệ số tiêu dùng biên). Cần chú ý rằng mô hình thu nhập quốc dân Keynes là một mô hình khá ñơn giản. Mô hình thu nhập quốc dân sau ñây coi chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước là biến nội sinh phụ thuộc vào mức thu nhập quốc dân: Y = C + I0 + G C = a + b(Y – T0) (với ñiều kiện: a > 0, 0 0, ∀ j = 1, 2, ..., n. i =1 Hệ (2.4) ñược viết dưới dạng ma trận như sau: x − Ax = d ⇔ (I − A)x = d ⇔ Tx = d ⇔ x = T–1d. Ví dụ 3. Xét mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief với ma trận ñầu vào: 0,2 0,3 0,2  A = 0, 4 0,1 0,2   0,1 0,3 0,2  Có thể thực hiện các phân tích sau: a) Ý nghĩa của aij: Chẳng hạn a12 = 0,3, a22 = 0,1, a32 = 0,3 có nghĩa là ñể sản xuất ra 1 ñơn vị (tính bằng giá trị tiền tệ, chẳng hạn 1 triệu ñồng) hàng hóa loại 2, cần có các lượng ñầu vào là 0,3 triệu ñồng hàng hóa loại 1, 0,1 triệu ñồng hàng hóa loại 2 và 0,3 triệu ñồng hàng hóa loại 3. 3 b) Tính chất 1 – ∑ a ij > 0, ∀j = 1, 2, 3 là ñúng ñối với ma trận A. i =1 Chẳng hạn, với j = 2 ta có 1 – 3 ∑a i =1 i2 = 1 – (a12 + a22 + a32) = 0,3 = a02 > 0. Vậy 0,3 (triệu ñồng) là số tiền lãi khi sản xuất 1 triệu ñồng lượng hàng hóa loại 2, và ñược dành ñể trả lương cho ñầu vào cơ bản (dịch vụ, lao ñộng sử dụng trong ngành công nghiệp 2 cho việc sản xuất ra ñược 1 triệu ñồng hàng hóa loại 2). Tương tự, ta có a01 = 0,3 và a03 = 0,4. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..27  0,8 −0,3 −0,2  c) T = I – A =  −0, 4 0,9 −0,2  ⇒ detT = 0,384 ≠ 0.  −0,1 −0,3 0,8  d) Giải hệ phương trình Tx = d với véc tơ d là véc tơ tham số ta có x = T–1d với 0,66 0,30 0,24  1 0,34 0,62 0,24  . T =  0,384   0,21 0,27 0,60  –1 Việc tính ma trận nghịch ñảo T–1 có thể thực hiện theo công thức thông thường (như công thức trên), hoặc có thể tính gần ñúng theo công thức sau: T–1 = (I – A)–1 = I + A + A2 + ... + Am + ... ≈ I + A + A2 + ... + Am. ðiều này là do với ma trận A có tính chất như ñã biết: các phần tử ñều không âm và tổng các phần tử trên mỗi cột ñều nhỏ hơn 1, có thể chứng minh ñược Am sẽ dần tiến tới ma trận 0 khi m → ∞ (bạn ñọc tự tìm hiểu ñiều này trong các giáo trình ðại số tuyến tính). 10  e) Giả sử véc tơ cầu ñã ñược xác ñịnh d = 5  (×100 tỉ ñồng). Áp 6  dụng công thức tính nghiệm của hệ Cramer dùng ma trận nghịch ñảo, ta có:  x1  0,66 0,30 0,24  10  1   0,34 0,62 0,24  5  x = T d ⇔  x2  =   0,384   x3   0,21 0,27 0,60  6  –1 24,84  = 20,68  (×100 tỉ ñồng). 18,36  Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..28 Chẳng hạn, có thể tính x1 = 1 9, 54 (0,66×10 + 0,30×5 + 0,24×6) = = 24,84. 0,384 0,384 Ngoài ra có thể tìm ñược x 1, x 2 và x 3 theo công thức Cramer. Tuy nhiên cách tìm x theo công thức x = T–1d tỏ ra thuận tiện hơn trong trường hợp ma trận ñầu vào A không thay ñổi mà chỉ có véc tơ cầu d thay ñổi. g) Có thể xác ñịnh ñược mức lương trả cho ñầu vào cơ bản của từng ngành công nghiệp căn cứ vào các phân tích tại mục b). Chẳng hạn, ñể sản xuất ra 24,84×100 tỉ ñồng hàng hóa loại 1, cần một lượng lao ñộng (kể cả dịch vụ) cho ngành công nghiệp 1 tương ứng với mức lương là a01× 24,84×100 = 0,3 × 24,84×100 = 8,65×100 tỉ ñồng. Vậy ñể ñảm bảo cho nền kinh tế với ba ngành công nghiệp như trong ví dụ này ñáp ứng ñược véc tơ cầu d ñã cho, cần có một lượng lao ñộng tương ứng với mức lương là: 3 ∑a j=1 0j x j = (0,3× 24,84 + 0,3× 20,68 + 0,4× 18,36)×100 = 21×100 tỉ ñồng. Bài tập Chương II Bài 1. Giả sử các hàm cung và hàm cầu ñã biết: a) Qd = 51 – 3P, Qs = 6P – 10; b) Qd = 30 – 2P, Qs = 5P – 6. Hãy tìm các mức cân bằng cung cầu Q và mức cân bằng giá P . Bài 2. Tìm nghiệm cân bằng của các mô hình cân bằng thị trường sau: a) Qd = Qs, Qd = 3 – P2, Qs = 6P – 4; b) Qd = Qs, Qd = 8 – P2, Qs = P2 – 2. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..29 Bài 3. Cho biết các hàm cầu và hàm cung trong mô hình thị trường với hai mặt hàng: Qd1 = 18 – 3P1 + P2, Qs1 = –2 + 4P1; Qd2 = 12 + P1 – 2P2, Qs2 = –2 + 3P2. Tìm các mức cân bằng cung cầu và cân bằng giá của hai mặt hàng Q i , Pi , i =1, 2. Bài 4. Xét mô hình sau: Y = C + I0 + G0, C = a + b(Y – T) (với ñiều kiện a > 0, 0 < b < 1), T = d + tY (với ñiều kiện d > 0, 0 < t < 1). Trong ñó Y, C, T lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân và tổng thu thuế quốc gia ñều là các biến nội sinh, còn I0 và G0 là tổng ñầu tư quốc gia và tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước ñều là các biến ngoại sinh. a) Hãy cho biết ý nghĩa của các tham số a, b, c và d. b) Tìm các mức cân bằng Y , C và T . Bài 5. Xét mô hình thu nhập quốc dân sau: Y = C + I0 + G, C = a + b(Y – T0) (a > 0, 0 < b < 1), G = gY (0 < g < 1). Trong ñó Y, C, G lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân và tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước ñều là các biến nội sinh, còn I0 và T0 là tổng ñầu tư quốc gia và tổng thu thuế quốc gia ñều là các biến ngoại sinh. a) Hãy cho biết ý nghĩa của tham số g. b) Tìm các mức cân bằng Y , C và G . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..30 Bài 6. Tìm Y và C từ các ñiều kiện sau: Y = C + I0 + G0, C = 25 + 6Y1/2, I0 = 16, G0 = 14. Bài 7. Xét mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief với ma trận ñầu vào: 0,2 0,3 0,2  A = 0, 4 0,1 0,2  .  0,1 0,3 0,2  Cho biết d1 = 30, d2 = 15 và d3 = 10 (ñơn vị là 100 tỉ ñồng). a) Hãy xác ñịnh các mức ñầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp. b) Hãy xác ñịnh mức tiền lương trả cho ñầu vào cơ bản ñối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp. Bài 8. Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp (chủ ñạo). Cho biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,1 triệu ñồng và một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 0,6 triệu ñồng làm ñầu vào ñể sản xuất ra ñược một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 1 triệu ñồng. Trong khi ñó, ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,5 triệu ñồng làm ñầu vào ñể sản xuất ra ñược một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu ñồng. a) Hãy thiết lập ma trận ñầu vào, ma trận công nghệ và phương trình ma trận xác ñịnh các mức ñầu ra cho nền kinh tế trên. b) Hãy tìm các mức ñầu ra cần thiết thỏa mãn ñược các nhu cầu ñầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần mở. Bài 9. a) Chứng minh rằng: (I – A)(I + A + A2 + A3 + ... + Am) = I – Am+1, trong ñó A là ma trận vuông cấp n, I là ma trận ñơn vị cùng cấp. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..31 b) Giả sử tất cả các phần tử của A ñều không âm. Gọi N(A) là chuẩn của A ñược ñịnh nghĩa bởi giá trị lớn nhất của tổng từng cột của A. Hãy chứng tỏ rằng N(Am) ≤ [N(A)]m, từ ñó suy ra với m lớn: Am ≈ O (ma trận với tất cả các phần tử bằng 0). Vậy có thể tính gần ñúng ma trận nghịch ñảo: T–1 = (I – A)–1≈ I + A + A2 + A3 + ... + Am. Bài 10. Xét mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief với ma trận ñầu vào: 0,05 0,25 0,34  A = 0,33 0,10 0,12  0,19 0,38 0  Cho d1 = 1800, d2 = 200 và d3 = 900 (ñơn vị là 100 tỉ ñồng). a) Cho biết ý nghĩa của các phần tử a21 = 0,33 và a33 = 0 trong ma trận A. b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ ba của ma trận A. c) Hãy xác ñịnh các mức ñầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp. d) Hãy xác ñịnh mức tiền lương trả cho ñầu vào cơ bản ñối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..32 Chương III PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH 1. Phân tích so sánh tĩnh trong kinh tế 1.1. Khái niệm phân tích so sánh tĩnh Phân tích so sánh tĩnh (comparative statics) thực chất là việc so sánh các trạng thái cân bằng khác nhau của một mô hình kinh tế nào ñó. ðó là các trạng thái cân bằng ñạt ñược với các giá trị khác nhau của các tham số và của các biến ngoại sinh của mô hình. Chẳng hạn trong mô hình thị trường riêng, giả sử trạng thái cân bằng ñã ñạt ñược, tức là ñã xác ñịnh ñược mức giá cân bằng và mức cung cầu cân bằng là P và Q . Một số yếu tố mất cân bằng sẽ xuất hiện khi các giá trị của một số biến ngoại sinh hay một số tham số của mô hình thay ñổi. ðiều này dẫn tới việc các giá trị cân bằng của các biến nội sinh (là P và Q ) sẽ thay ñổi và trong mô hình xuất hiện trạng thái cân bằng mới. Tương tự, trong mô hình thu nhập quốc dân, khi giá trị của các tham số hay của các biến ngoại sinh thay ñổi, thì mô hình sẽ ñạt tới trạng thái cân bằng mới, xác ñịnh bởi các mức cân bằng mới của thu nhập quốc dân Y và tiêu dùng quốc dân C . Vậy chúng ta có thể nghiên cứu so sánh các trạng thái cân bằng mới và cũ theo cách thức nào? ðó chính là vấn ñề cần thảo luận trong chương này. Ví dụ 1. Xét mô hình thu nhập quốc dân sau ñây: Y = C + I0+ G0 C = a + bY (với ñiều kiện: a > 0, 0 < b <1). Lúc ñó các mức cân bằng của thu nhập quốc dân và tiêu dùng quốc dân là: Y= a + I0 + G 0 = Y (a, b, I0, G0) 1− b C= a + b(I0 + G 0 ) = C ( a, b, I0, G0). 1− b Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..33 Vì vậy, việc thay ñổi các giá trị của a, b, I0, G0 sẽ dẫn tới trạng thái cân bằng ( Y , C ) thay ñổi. Vấn ñề cần phân tích ở ñây là: các mức cân bằng Y , C sẽ thay ñổi thế nào về hướng (tăng lên hay giảm ñi?) cũng như về biên ñộ (tốc ñộ thay ñổi là nhanh hay chậm?). ðây chính là các nội dung cơ bản của phân tích so sánh tĩnh. ðể nghiên cứu lĩnh vực này, trước hết cần phân tích ý nghĩa của ñạo hàm, một khái niệm nền tảng của Giải tích toán học, ñể từ ñó tìm hiểu khái niệm tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế 1.2. ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh và khả vi trong một miền D ⊂ R. Lúc ñó, ∀ x ∈ D ñạo hàm của f(x) ñược xác ñịnh và kĩ hiệu như sau: y’ = f’(x) = dy f (x + ∆x) − f (x) ∆y = lim = lim . ∆x →0 ∆x →0 ∆x dx ∆x Do ñó có thể thấy rằng: dy ∆y ≈ khi ∆x ñủ nhỏ. dx ∆x ∆y chính là tốc ñộ biến thiên trung bình của hàm số ∆x dy ∆y y khi ñối số x chạy từ x tới x + ∆x . Còn y ' = = lim là tốc ñộ ∆x →0 ∆x dx thay ñổi tức thời của hàm số y = f(x) tại x. Vậy có thể nói rằng tốc ñộ thay ñổi tức thời của hàm số là xấp xỉ bằng tốc ñộ thay ñổi trung bình của nó khi số gia ñối số ∆x ñủ nhỏ. Mặt khác ta thấy: Chú ý. Tốc ñộ thay ñổi tức thời của y theo x là y ' = dy ∆y = lim ∆x →0 ∆x dx ∆y khi ∆x nhỏ nhất có thể ñược. Thông thường ta chọn ∆x = 1 (ñơn ∆x ∆y ñược gọi là tỉ lệ biên hay tốc ñộ thay vị nhỏ nhất có thể). Lúc ñó y’ ≈ ∆x ñổi biên hay hàm biên (marginal function). Vậy tốc ñộ thay ñổi tức thời của hàm số có thể ñược lấy xấp xỉ bởi tỉ lệ biên. ≈ Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..34 Minh hoạ hình học y B y + ∆y β A y α O x x + ∆x Hình III.1 Trên hình III.1, ta thấy y’ = tgα ≈ tgβ = x ∆y . ∆x Ví dụ 2. Xét hàm tổng chi phí C phụ thuộc vào mức sản xuất ñầu ra Q như sau: C = Q3 – 4Q2 + 10Q + 75 (ở ñây 75 là chi phí cố ñịnh). ⇒ C’ = dC = 3Q2 – 8Q + 10 là chi phí biên (marginal cost MC). dQ ⇒ C ' Q=3 = 13 ≈ ∆C tại Q = 3 với ∆Q = 1. ∆Q ⇒ hàm biên = 13 tại mức Q =3. ⇒ tại mức Q = 3, nếu mức sản xuất ñầu ra tăng thêm 1 ñơn vị sản phẩm thì tổng chi phí C phải tăng thêm khoảng 13 ñơn vị. Phân tích tương tự, tại mức Q = 2, nếu mức sản xuất ñầu ra tăng thêm 1 ñơn vị sản phẩm thì tổng chi phí C phải tăng thêm khoảng 6 ñơn vị. So sánh hai kết quả trên ta thấy: tốc ñộ tăng tức thời của chi phí tại Q = 3 là cao hơn tốc ñộ tăng tức thời của chi phí tại Q = 2. Ví dụ 3. Xét trường hợp công ty sản xuất một loại sản phẩm với các biến AR là doanh thu trung bình (average revenue), Q là lượng sản phẩm Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..35 ñầu ra (quantity output). Giả sử doanh thu trung bình phụ thuộc vào lượng sản phẩm ñầu ra theo mối quan hệ: AR = 15 – Q (trong trường hợp tổng quát AR có thể là hàm phi tuyến). Lúc ñó tổng doanh thu R = AR×Q = 15Q – Q2 nên doanh thu biên (marginal revenue) MR = R’ = 15 – 2Q. Trong trường hợp tổng quát, nếu AR = f(Q) thì R = f(Q)×Q và MR = PQ R R’ = f(Q) + Q×f’(Q). Vậy MR – AR = Q×f’(Q) . Do AR = = =P Q Q nên doanh thu trung bình cũng chính là giá P của một ñơn vị sản phẩm. Do ñó P = AR = f(Q). ðây chính là mối quan hệ giữa mức sản xuất ñầu ra Q và giá P, còn gọi là “hàm cầu ngược”, vì Q = f–1(P) là hàm cầu ñối với sản phẩm của công ty. Trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo, AR là một hằng số nên f’(Q) = 0, do ñó MR – AR = 0 ñối với mọi mức ñầu ra Q, nên các ñường doanh thu trung bình AR và doanh thu biên MR là trùng nhau. Trong ñiều kiện cạnh tranh không hoàn hảo, thông thường hàm AR có ñạo hàm âm hay ñường AR có ñộ dốc âm (xem hình III.2). ðó là vì khi Q tăng thì AR giảm hay f’(Q) < 0. Lúc này, ta có MR – AR = Q×f’(Q) < 0 nên ñường doanh thu biên nằm thấp hơn ñường doanh thu trung bình. AR=P Q×f’(Q) AR= P = f(Q) AR P” > 0 MR MR O Q Q Hình III.2 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..36 1.3. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thị trường riêng Xét mô hình thị trường thị trường riêng (với một loại hàng hóa): Qd = a – bP (với a, b > 0) Qs = – c + dP (với c, d > 0) Qs = Qd. Trạng thái cân bằng ñược xác ñịnh bởi các mức giá cân bằng và cung cầu cân bằng như sau: P= a+c b+d Q= ad − bc . b+d ðể phân tích so sánh tĩnh về mặt ñịnh tính cũng như ñịnh lượng mô hình trên, cần tính ñạo hàm riêng của P và Q theo a, b, c, d: – Trong phân tích ñịnh tính, phải xác ñịnh ñược dấu của các ñạo hàm riêng ñể biết ñược xu hướng P và Q là tăng hay giảm khi các tham số a, b, c và d của mô hình thay ñổi. – Trong phân tích ñịnh lượng, cần xác ñịnh ñược ñộ lớn (magnitude) của các ñạo hàm riêng ñể từ ñó xác ñịnh ñược các tốc ñộ thay ñổi biên. ∂P 1 = > 0 nên khi a tăng thì P tăng. Giả sử ∂a b+d b = 2 và d = 3 là các giá trị ñã cho của các tham số b và d. Lúc ñó Chẳng hạn, ta có ∂P ∆P 1 = ≈ . Vậy với b, c, d ñược coi là cố ñịnh thì khi a tăng thêm ∂a 5 ∆a 1% sẽ kéo theo P tăng thêm khoảng 0,2%. Tương tự, do ∂Q ab + bc = > 0 nên khi cho a, b, c cố ñịnh thì d ∂d (b + d)2 tăng sẽ kéo theo Q tăng. Còn tốc ñộ tăng biên của Q theo d là do các giá Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..37 trị của các tham số a, b, c và d quyết ñịnh. Minh họa hình học Xét hàm biên của P theo a: ∂P 1 = . Hình III.3 minh họa sự ∂a b+d thay ñổi trạng thái cân bằng từ ( P, Q ) sang ( P ', Q ' ) khi a tăng, còn b, c, d ñược coi là cố ñịnh. Tương tự, chúng ta có thể xét minh họa hình học cho các trường hợp khác. Qd Qs a’ ( P,Q ) ðường cung Qs = – c + dP a ( P ', Q ') ðường cầu Qd = a + bP O P Hình III.3 1.4. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhập quốc dân Xét mô hình thu nhập quốc dân với các biến nội sinh Y, C và T lần lượt là thu nhập quấc dân, tiêu dùng quốc dân và thuế; các biến ngoại sinh I0, G0 là mức tổng ñầu tư và chi phí cho bộ máy nhà nước. Y = C + I0 + G0 (với ñiều kiện: α > 0, 0 < β < 1) C = α + β(Y − T) (với ñiều kiện: γ > 0) T = γ + δY (với ñiều kiện: 0 < δ < 1). Dễ dàng tìm ñược mức thu nhập quốc dân cân bằng theo công thức sau: Y= α − βγ + I0 + G 0 . 1 − β + βδ Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..38 Thực hiện việc tính các ñạo hàm riêng của Y theo G0, I0, α, β, γ và δ, chúng ta có: ∂Y ∂Y ∂Y 1 = = = >0 ∂α ∂G 0 ∂I0 1− β + βδ ⇒ Nếu G0 hoặc I0 hoặc α tăng thì Y tăng. ∂Y −β = < 0 ⇒ Nếu γ tăng thì Y giảm. ∂γ 1 − β + βδ −β(α − βγ + I0 + G 0 ) ∂Y −βY = = <0 2 ∂δ 1 − β + βδ (1 − β + βδ) ⇒ Nếu δ tăng thì Y giảm. −γ (1 − β + βδ) − (α − βγ + I0 + G 0 )(−1 + δ) ∂Y = ∂β (1 − β + βδ)2 = −γ + (α + I0 + G 0 )(1 − δ) (1 − β + βδ)2 ⇒ Nếu (α + I 0 + G 0 ) > γ /(1 − δ) thì việc β tăng dẫn tới Y tăng. Chú ý. ∂Y ∂Y ñược gọi là hệ số chi phí nhà nước, ñược gọi là hệ ∂G 0 ∂γ ∂Y ñược gọi là hệ số thuế thu nhập. Có thể ∂δ thấy các phân tích so sánh tĩnh trên ñây cho ta các kết luận không phải là hoàn toàn hiển nhiên. số thuế ngoài thu nhập, còn 1.5. Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành Cho A ma trận hệ số ñầu vào A= [aij]3×3 trong mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief, còn gọi là mô hình cân ñối liên ngành, với ba ngành công nghiệp. ðể tìm các mức sản xuất (ñầu ra) cân bằng, trước hết chúng ta tìm ma trận T= I– A và xét phương trình ma trận Tx = d, trong ñó Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..39  x1    x =  x 2  là véc tơ sản xuất, và d =  x 3  d1    d 2  là véc tơ nhu cầu (cuối cùng). d3  Do ñó mức cân bằng của véc tơ sản xuất là x = T–1d. ðặt B = T–1 ta có x = Bd, trong ñó  b11 b12 B = [bij]3×3 =  b21 b22  b31 b32 b13  b23  . b33   x1   b11 b12     x 2  =  b21 b22  x 3   b31 b32 d1    d 2  d3  Vậy: b13  b23  b33  x1 = b11d1 + b12d2 + b13d3 ⇔ x 2 = b21d1 + b22d2 + b23d3 (3.1) x 3 = b31d1 + b32d2 + b33d3 . Do ñó: ∂x1 ∂x = b11 , ... , i = bij, ∀i, j = 1, 2, 3. ∂d1 ∂d j Chúng ta sử dụng các kí hiệu:  ∂x1    ∂d1    b11   b11 b12 ∂x  ∂x    ∂x 2  = b 21 =  = b 21 b 22  và ∂d1    ∂d1  ∂d   b31   b31 b32  ∂x 3     ∂d1  b13  b 23  = B. b33  Ý nghĩa của ma trận B = T–1 trong việc phân tích so sánh tĩnh: Chúng ta muốn trả lời câu hỏi, chẳng hạn khi tăng d1 lên thêm 1 ñơn vị thì x 1, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..40 x 2 và x 3 thay ñổi như thế nào? Giả sử b11 = 2, b12 = 1, b31 = 0,5 thì x 1 tăng thêm 2 ñơn vị , x 2 tăng thêm 1 ñơn vị còn x 3 tăng thêm 0,5 ñơn vị. Chú ý. Từ (3.1) ta thấy ñịnh thức Jacoby J= d(x1 , x 2 , x 3 ) = B, d(d1 , d 2 , d 3 ) nên nếu J ≠ 0 thì các phương trình của hệ (3.1) là ñộc lập tuyến tính. 2. Phân tích so sánh tĩnh cho mô hình kinh tế tổng quát 2.1. Hệ số co giãn Xét hàm cầu Q = f(P) với Q là nhu cầu phụ thuộc vào giá P. Chúng ta hãy tính hệ số co giãn (point elasticity) của cầu ñược kí hiệu là εd khi giá cả biến thiên. Ta có: εd = dQ / Q dQ / dP = với dQ = Q’dP (theo công thức tính vi phân). dP / P Q/P Một cách tổng quát, nếu y = f(x) thì hệ số co giãn của y theo x là: ε yx = dy / y dy / dx = = hàm biên / hàm trung bình. dx / x y/x dy / y = 2. Nếu dx / x dx/x = 1% thì dy/y = 2%, tức là nếu x tăng thêm 1% thì y tăng thêm 2%. Vậy hệ số co giãn ε yx biểu thị mức gia tăng tính theo % của y tính theo Hệ số co giãn có ý nghĩa như sau: Giả sử ε yx = 2 thì mức gia tăng 1% của x. Về mặt hướng biến thiên, xét các trường hợp sau ñây: εyx = 0 ⇔ dy = 0 (y có thể ñạt cực trị). dx εyx > 0 ⇔ x tăng thì y tăng. εyx < 0 ⇔ x tăng thì y giảm. Về mặt biên ñộ hay ñộ lớn, xét các trường hợp sau ñây: εyx> 1 thì y là giãn. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..41 εyx= 1 thì có ñộ co giãn ñơn vị (y không giãn không co). εyx< 1 thì y là co. Ví dụ 4. Q = f(P) = 100 – 2P. Vậy εQP = εd = −P (với ñiều kiện: 50 − P 0 ≤ P ≤ 50). Về dấu, ta thấy εd < 0, nên nếu P tăng thì Q giảm. Về biên ñộ: εd = −P = 1 ⇔ P = 50 – P ⇔ P = 25. Ta cũng 50 − P có: εd < 1 ⇔ P < 25 và εd > 1 ⇔ P > 25. Giả sử giá P tăng, ñiều này sẽ dẫn tới cầu giảm. Tuy nhiên, khi P < 25 thì tốc ñộ giảm cầu xảy ra thấp hơn tốc ñộ tăng giá (giá tăng 1% dẫn tới cầu giảm ít hơn 1%), còn khi P > 25 thì tốc ñộ giảm cầu xảy ra cao hơn tốc ñộ tăng giá (giá tăng 1% dẫn tới cầu giảm nhiều hơn 1%). Ví dụ 5. a) Cho M = f(Y) với Y là thu nhập quốc dân và M là mức nhập khẩu. Hãy tính hệ số co giãn εMY và phân tích ý nghĩa. b) Cho C = a + bY với C là mức tiêu dùng và Y là thu nhập quốc dân (ñiều kiện: a > 0, 0 < b < 1). Hãy tính hệ số co giãn εCY và phân tích ý nghĩa. K với Q là hàm cầu phụ thuộc giá P (ñiều kiện: K > 0, Pn n > 0). Hãy tính hệ số co giãn εQP và phân tích ý nghĩa. c) Cho Q = Xét b) chẳng hạn. Giả sử b = 0,5 thì hàm tiêu dùng biên C’ = MC = 0,5 (có nghĩa là: nếu Y tăng thêm 1 ñơn vị (∆y =1) thì C tăng thêm 0,5 ñơn vị (∆C = 0,5). Ngoài ra: εCY = ∆C / ∆Y ∆C / C bY b = = = > 0. C/Y ∆Y / Y (a + bY ) / Y a + bY Giả sử thêm rằng a = 1, Y = 10 thì ta có εCY = 5/6 < 1. Tóm lại khi thu nhập quốc dân Y tăng thì mức tiêu dùng C tăng. Tuy nhiên với các tham số a = 1, b = 0,5 (ñược ñiều tiết theo các chính sách thích hợp) thì C Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..42 tăng chậm hơn Y. Một cách tổng quát có thể chứng minh ñược εCY < 1 nếu ñiều kiện: a > 0, 0 < b < 1 ñược duy trì. Minh hoạ hình học của hệ số co giãn y A yA y = f(x) θm θa O xA x Hình III.4 Trên hình III.4, ta thấy hàm trung bình y/x = tgθa còn hàm biên dy/dx = tgθm. Do ñó εyx = Hàm biên / Hàm trung bình = dy / dx tgθm = . Các chữ tgθa y/x m và a dùng ñể kĩ hiệu hàm biên (marginal function) và hàm trung bình (average function). Trên hình III.4, tgθa > tgθm nên OA dốc hơn tiếp tuyến tại A. Vậy ε yx < 1. 2.2. Một số ví dụ về tìm vi phân toàn phần và ñạo hàm hàm ẩn Ví dụ 6. Xét hàm tiết kiệm S phụ thuộc vào thu nhập quốc dân Y và lãi xuất i: S = S(Y, i) dS = S′Y dY + S′i di Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..43 ⇒ dS = ∂S ∂S dY + di là vi phân toàn phần cấp của S. ∂Y ∂i Từ công thức trên có thể tính ñược các hệ số co giãn riêng: εSY = S′Y S′ ∂S / ∂Y ∂S / ∂i = và εSi = i = S/ Y S/ Y S/i S/ y Một cách tổng quát, xét hàm n biến, chẳng hạn hàm thỏa dụng U: U = U( x1, x2, ...., xn) ⇒ ε U,xi = ∂U / ∂x i ∀i = 1, 2, ..., n. U / xi Ví dụ 7. Một số ứng dụng của ñạo hàm hàm hợp. a) Xét hàm thỏa dụng U = U(C, S) phụ thuộc vào lượng cà phê C và lượng ñường S. Giả sử rằng S = g(C). Lúc ñó U′C = ∂U ∂U + × g ′(C) . ∂C ∂S b) Xét hàm sản xuất Q = f(K, L, t) với Q là mức sản xuất ñầu ra, K là vốn (capital), L là lượng lao ñộng (labor), t là thời gian. Coi K = K(t) và L = L(t) thì có: dQ ∂Q dK ∂Q dL ∂Q = × + × + . dt ∂K dt ∂L dt ∂t Viết cách khác ta có: dQ ∂Q = Q K × K ′( t ) + Q L × L′( t ) + . dt ∂t Trong công thức trên, cần phân biệt ñược “ñạo hàm toàn phần” dQ/dt với ñạo hàm riêng ∂Q/∂t. Ví dụ 8. Thông thường hàm sản xuất ñược cho dưới dạng tường Q = f(K, L), ở ñây mức sản xuất ñầu ra Q phụ thuộc vào mức vốn K và lượng lao ñộng L. ðôi khi hàm sản xuất ñược cho dưới dạng ẩn: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..44 F(Q, K, L) = 0, (3.2) với Q ñược coi là hàm ẩn của K, L. Xét các ñạo hàm riêng của Q theo K và theo L: ∂Q = MPPK là hàm sản xuất biên theo vốn (marginal physical ∂K product of capital). ∂Q = MPPL là hàm sản xuất biên theo lao ñộng (marginal physical ∂L product of labor). Lấy vi phân toàn phần biểu thức (3.2) ta có: FQdQ + FKdK + FLdL = 0. Xét một mức sản xuất Q cố ñịnh nào ñó: Q = const ⇒ dQ = 0. Vậy FKdK + FLdL = 0 ⇔ F dK =− L . dL FK dK/dL ñược gọi là tỉ lệ thay thế kĩ thuật biên, cho biết: nếu muốn duy trì mức sản xuất Q như hiện tại nhưng L hay K thay ñổi, thì cần giữ tỉ lệ thay thế giữa K và L theo tỉ số FL/FK, L tăng thì K giảm, L giảm thì K tăng. K K = K(L) Q = Q0 (dQ = 0) O L Hình III.5 Trên hình III.5, ta thấy ứng với mỗi mức Q cố ñịnh có một ñường ñồng mức, mà tất cả các tổ hợp (L, K) trên ñó ñều cho cùng một mức Q. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..45 ðộ dốc của tiếp tuyến tại một ñiểm bất kỳ trên ñường ñồng mức ñược F dK tính theo công thức: =− L . dL FK Kết luận: Nếu giữ ñược F ∆K dK ≈ = − L thì Q luôn ñược duy trì ở ∆L dL FK FL = – 4 thì tỉ lệ thay thế cần thực hiện FK là 4 ñơn vị lao ñộng bằng1 ñơn vị vốn ñể giữ nguyên mức sản xuất ñầu ra. mức Q = Q0. Chẳng hạn, nếu cho Ví dụ 9. Xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas: Q = K0,8L0,2 hay F = Q – K0,8L0,2 = 0. Lúc ñó tỉ lệ thay thế kĩ thuật giữa K và L ñược tính theo công thức: dK F 0, 2K 0,8 L−0,8 K =− L =− =− . −0,2 0,2 dL FK 4L 0,8K L Xét ñường ñồng mức Q = Q0 = 162. Tại L = 32, K = 243 ta có: dK 243 =− = –1,898438. dL 4 × 32 Vậy tỉ lệ thay thế kĩ thuật giữa K và L là –1,898438 cho biết: nếu giảm 1 ñơn vị L thì cần tăng 1,898438 ñơn vị K, nếu tăng 1 ñơn vị L thì cần giảm 1,898438 ñơn vị K. Lúc ñó Q sẽ ñược duy trì ở mức Q0 = 162. 2.3. Mô hình thị trường tổng quát Xét mô hình thị trường tổng quát, trong ñó cầu Qd phụ thuộc vào giá cả P và thu nhập quốc dân Y0 (biến ngoại sinh), cung Qs chỉ phụ thuộc vào P, các mối phụ thuộc này ñược coi là có dạng tổng quát (tuyến tính hay phi tuyến): Qd = Qs Qd = D(P, Y0) (với ñiều kiện: ∂D ∂D <0, > 0) ∂P ∂Y0 Qs = S(P) (với ñiều kiện: dS > 0 ). dP Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..46 Thế các phương trình thứ hai và thứ ba vào phương trình cân bằng, ta có: F(P, Y0) = D(P, Y0) – S(P) = 0. Giả sử trạng thái cân bằng ñược biểu diễn bởi tổ hợp của mức giá cân bằng và mức cung cầu cân bằng ( P , Q ). Ta thấy P là hàm của Y0 nên có thể viết P = P (Y0). Lập luận tương tự Q = Q (Y0). ðể phân tích so sánh tĩnh cần ñánh giá ñược dấu của dP dQ cũng như dấu của . dY0 dY0 Phương pháp 1. Sử dụng ñạo hàm hàm ẩn hay vi phân toàn phần. Từ F( P , Y0) = D( P , Y0) – S( P ) = 0 lấy ñạo hàm theo Y0, ta có: ∂F ∂D dP ∂D dS dP = × + − × = 0. ∂Y0 ∂P dY0 ∂Y0 dP dY0 Vậy: ∂D / ∂Y0 dP =− > 0 (do tử số có dấu dương còn mẫu dY0 ∂D / ∂P − dS / dP số có dấu âm). Ta cũng có: dQ dS dP > 0. = × dY0 dP dY0 Phương pháp 2. Sử dụng ñịnh lí hàm ẩn. Trước hết, chúng ta nghiên cứu ñịnh lí hàm ẩn. Xét hàm ẩn: F(y, x1, x2, ...,xn) = 0, (3.3) trong ñó y có quan hệ phụ thuộc hàm ñối với x1, x2, ..., xn, tức là có thể coi y = f(x1, x2, ...,xn). Lấy vi phân (3.3) ta có: dF = Fy′ dy + Fx′1 dx1 + ... + Fx′ n dx n = 0 . Tính (3.4) ∂y khi x2, ..., xn không ñổi. Lúc này dx 2 = dx 3 = ... = dx n = 0 . ∂x1 Vậy từ (3.4) suy ra: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..47 Fy′ dy + Fx′1 dx1 = 0 ⇒ Tính F′ F dy ∂y = = − x1 = − 1 . dx 1 ∂x 1 Fy′ Fy Fx ∂x1 ∂x1 F : =− 2 =− 2 . ∂x 2 ∂x 2 Fx1 F1 Tương tự có thể chứng minh ñược: F'x Fx′ Fj dy ∂y F ∂x = = − i = − i và i = − j = − , ∀i, j = 1, 2, ..., n, i ≠ j. dxi ∂xi Fy′ Fy ∂x j F'xi Fi Ví dụ 10. áp dụng cho hàm sản xuất Q = f(K, L) cho dưới dạng ẩn F(Q, K, L) = Q – f(K, L) = 0. Từ các công thức trên, ta có: MPPK = F F dK ∂Q ∂Q F = − K , MPPL = =− L , =− L . ∂K ∂L FQ FQ dL FK Ví dụ 11. áp dụng các phân tích trên cho mô hình thị trường tổng quát ta có: FY DY0 dP ∂D / ∂Y0 dP =− 0 = =− hay > 0, do ñó dY0 FP DP − SP dY0 ∂D / ∂P − dS / dP dQ dS dP = × > 0. dY0 dP dY0 ðể ñánh giá ñồng thời dP dQ và có thể xét ñịnh lí hàm ẩn tổng dY0 dY0 quát sau ñây: ðịnh lí hàm ẩn. Xét hệ phương trình F1( y1, y2, ...,yn, x1, x2, ..., xm) = 0 F2( y1, y2, ...,yn, x1, x2, ..., xm) = 0 ... (3.5) Fn( y1, y2, ...,yn, x1, x2, ..., xm) = 0. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..48 Với các giả thiết: a) F1, F2, ..., Fn có các ñạo hàm riêng liên tục ñối với tất cả các biến yj, xi (∀j = 1, 2, ..., n, ∀i = 1, 2, ..., n). b) Có ñiểm M0 = (y10, y20, ..., yn0, x10, x20, ..., xm0) thoả mãn (3.5). c) ðịnh thức Jacoby J = ∂F1 ∂y1 ∂F1 ∂y 2 ... ∂F1 ∂y n ... ∂ (F1 , F2 ,..., Fn ) = ... ∂ (y1 , y 2 ,..., y n ) ... ... ... ... ... ... ∂Fn ∂y1 ∂Fn ∂y 2 ... ∂Fn ∂y n ≠ 0 tại M0. Lúc ñó có các kết luận: a) Tồn tại một lân cận N của ñiểm (x10, x20, ..., xm0) ∈ Rm, mà trong lân cận ñó các biến y1, y2, ..., yn là các hàm ẩn của (x1, x2, ..., xm). b) Các hàm yj = fj(x1, x2, ..., xm), thoả mãn: yj0 = fj0(x10, x20, ..., xm0), ∀ j = 1, 2, ..., n. c) Các hàm ñó cũng thỏa mãn (3.5) một cách ñồng nhất thức cho mọi ñiểm (x1, x2, ..., xm) trong lân cận N. Chứng minh. ðịnh lí trên ñây ñã ñược chứng minh chặt chẽ trong môn học Toán giải tích hoặc Giải tích hàm. Bạn ñọc quan tâm có thể tìm hiểu thêm. Ví dụ 12. Xét hàm ẩn cho bởi : x2 y2 x 2 y2 + = 1 ⇔ F(y, x) = + − 1 = 0. 9 4 9 4 Xét các giả thiết của ñịnh lí hàm ẩn: a) Fx′ , Fy′ tồn tại và liên tục. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..49 2 5  x2 y2 b) Xét ñiểm M0 = (y0, x0) =  + = 1. , 2  thoả mãn 9 4  3  c) J = y ≠ 0 tại (y0, x0). 2 Kết luận: Tồn tại hàm ẩn y = f(x) = 2 1 − của ñiểm x0 = 2 thoả mãn y0 = f(x0) và Ngoài ra, tại y0 = x2 trong lân cận N nào ñó 9 F dy 2x / 9 4 x =− x =− =− × . dx Fy y/2 9 y 2 5 4 2 4 , x0 = 2 ta có y′(x 0 ) = − × =− 3 9 2 5 /3 3 5 Từ ñó tìm ñược phương trình tiếp tuyến tại (x0, y0) là y− 2 5 4 =− (x − 2) . 3 3 5 Vấn ñề tìm các ñạo hàm riêng ∂yj/∂ ∂xi Từ (3.5) ta có dFj = 0, ∀j = 1, 2, ..., n, ⇒ ∂F j ∂F j ∂F j ∂F j ∂F j dx1 + dx 2 + ... + dx m , dy1 + ... + dy n + ∂x1 ∂x 2 ∂x m ∂y1 ∂y n ∀j = 1, 2, ..., n. ⇒ ∂F j ∂F j ∂F j ∂F j ∂F j dy1 + ... + dy n = − dx1 − dx 2 − ... − dx m , ∂x1 ∂x 2 ∂x m ∂y1 ∂y n ∀j = 1, 2, ..., n. Cần tìm ∂y j ∂x i ∀i = 1, 2, ..., m, ∀j = 1, 2, ..., n. Cho dx2 = dx3 = ... = dxm = 0. Ta có hệ: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..50 ∂F1 ∂y1 ∂F1 ∂y 2 ∂F1 ∂y n ∂F1 × + × + ... + × =− ∂y1 ∂x1 ∂y 2 ∂x1 ∂y n ∂x1 ∂x1 ... ∂Fn ∂y1 ∂Fn ∂y 2 ∂Fn ∂y n ∂Fn × + × + ... + × =− ∂y1 ∂x1 ∂y 2 ∂x1 ∂y n ∂x1 ∂x1  ∂F1  ∂y  1  ⇔ ...  n  ∂F  ∂y  n  ∂y1   ∂x1 ⇒  ...   ∂y n  ∂x  1 ∂F1 ∂y2 ... ∂Fn ∂y2 ∂F1   ∂y1  ∂y n   ∂x1    ... ...  × ...  = –    ∂Fn   ∂yn  ∂y n   ∂x1   ∂F1     ∂x1   ...   n  ∂F   ∂x   1   ∂F1   −    ∂x1   = J–1×  ...  .      ∂Fn    − ∂x  1   Áp dụng công thức Cramer, ta có: ∂y j ∂x1 = J j(1) J , ∀j = 1, 2, ..., n. Trong ñó J (1) là ñịnh thức thu ñược từ ñịnh thức Jbằng cách thay cột j bởi j cột ñạo hàm riêng của –F1, –F2, ..., –Fn theo x1. Tương tự ta có: ∂y j ∂x i = J j(i) J , ∀j = 1, 2,..., n, ∀i = 1, 2,..., m. Ví dụ 13. Quay lại mô hình thị trường tổng quát: F1 (P, Q, Y0 ) = D(P, Y0 ) − Q = 0  2 F (P, Q, Y0 ) = S(P) − Q = 0. (3.6) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..51 Ta coi: y1 = P, y2 = Q, x1 = Y0 và ñi tính các ñạo hàm ẩn. Trước hết cần kiểm tra các giả thiết của ñịnh lí hàm ẩn: a) Các ñạo hàm riêng ( ∂F1 ∂F1 ∂F1 ∂F2 ∂F2 ∂F2 , , , , , ñược coi là tồn ∂P ∂Q ∂Y0 ∂P ∂Q ∂Y0 ) tại và liên tục tại P, Q, Y0 . ( ) b) ðiểm P, Q, Y0 thỏa mãn (3.6). ∂D −1 ∂ (F , F ) dS ∂D ∂P c) J = = = − > 0. dS dP ∂P ∂ (P, Q) −1 dP 1 2 Kết luận: Tại lân cận nào ñó của ( P, Q, Y ) 0 tồn tại các hàm P = P(Y0 ), Q = Q(Y0 ) và các hàm này thỏa mãn (3.6) một cách ñồng nhất thức. Ta có hệ:  ∂D  ∂P   dS  dP   dP   ∂D  −1  dY0   −  ∂Y0  . = ×     dQ −1   0     dY0   Chúng ta sẽ tính ñược ñồng thời: −∂D −1 ∂Y0 0 dP = ∂D dY0 ∂P dS dP −∂D ∂P −∂D ∂Y0 ∂D dS 0 ∂Y0 dQ dP = > 0, = dS ∂D ∂D dY0 − −1 −1 dP ∂P ∂P dS −1 −1 dP −1 dS ∂D × dP ∂Y0 = > 0. dS ∂D − dD ∂P Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..52 Ví dụ 14. Hãy phân tích so sánh tĩnh mô hình sau ñây: Qd = D(P, Y0) Qs = S(P, T0) (với ñiều kiên: DP < 0, DY0 > 0) (với ñiều kiện: SP > 0, ST0 < 0). Gọi (P, Q) là trạng thái cân bằng của mô hình trên. Với một số giả thiết nhất ñịnh (bạn ñọc từ tìm hiểu), ta có các hàm ẩn: P = P(Y0 , T0 ) Q = Q(Y0 , T0 ). Có thể tính ñược các ñạo hàm riêng của các hàm trên ñể tiến hành phân tích so sánh tĩnh (bạn ñọc tự làm). Ví dụ 15. Xét mô hình thu nhập quốc dân: Y − C − I0 − G 0 = 0  C − α − β(Y − T) = 0 T − γ − δY = 0.  Có thể áp dụng ñịnh lí hàm ẩn ñể thực hiện phân tích so sánh tĩnh. Bạn ñọc quan tâm có thể tự tìm hiểu. 2.4. Mô hình thu nhập quốc dân tổng quát Chúng ta nghiên cứu mô hình thu nhập quốc dân bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ với các mối quan hệ sau ñây: a) Thị trường hàng hóa − Mức ñầu tư I = I(i) (Mức tiền ñầu tư phụ thuộc vào lãi suất ngân hàng: I’ < 0). − Phương trình tiết kiệm S = S(Y, i) (Si > 0, 0 < SY < 1, SY ñược gọi là khuynh hướng tiết kiệm biên). − Phương trình nhập khẩu: M = M(Y) (với 0 < M’ < 1). − Mức xuất khẩu: X = X0 là biến ngoại sinh do nhà nước quyết ñịnh. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..53 b) Thị trường tiền tệ − Lượng cầu về tiền Md = Md(Y, i) = L(Y, i), trong ñó L là hàm thanh khoản với các ñiều kiện LY > 0 (lượng tiền luân chuyển biên), Li < 0 (lượng tiền tích trữ biên). − Lượng cung tiền Ms = Ms0 là biến ngoại sinh do nhà nước quyết ñịnh. Với các mối quan hệ trên, mô hình thu nhập quốc dân có thể ñược phát biểu dưới dạng hệ phương trình như sau: I = I(i) S = S(Y, i) M = M(Y) (với I’ < 0) (với Si > 0, 0 < SY < 1 ) (với 0 < MY < 1) X = X0 Md = L(Y, i) (với LY > 0, Li < 0) Ms = Ms0. Chú ý. I, S, MS, X, Y là khái niệm dòng (flow concept) ñược tính theo từng chu kỳ thời gian. Còn Md, MS là khái niệm tích trữ (stock concept) ñược tính tại từng thời ñiểm. Tất cả các hàm này ñều ñược giả sử là có ñạo hàm liên tục. Xét các ñiều kiện cân bằng về thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ: I + X0 = S + M Md = Ms0, hay I(i) + X0 = S(Y, i) + M(Y) L(y, i) = Ms0. Các ñiều kiện trên ñược viết về dạng sau: F1(Y, i, X0, Ms0) = I(i) +X0 – S(Y, i) – M(Y) = 0 F2(Y, i, X0, Ms0) = L(Y,i) – Ms0 = 0. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..54 Chúng ta giả sử các hàm F1 và F2 ñều có các ñạo hàm riêng liên tục, cũng như giả sử rằng tồn tại ñiểm M0( Y , i , X0, Ms0) thỏa mãn các phương trình cân bằng trên. Cần tìm các hàm ẩn Y(X0 , Mso ) và i(X 0 , Ms0 ) tại lân cận của ñiểm (X0 , Ms0) và các ñạo hàm riêng của các hàm này theo X0 và Ms0. Trước hết chúng ta kiểm tra giả thiết còn lại trong ñịnh lí hàm ẩn (hai giả thiết khác ñã ñược coi là ñược thỏa mãn): − J = ∂S ∂S − M ' I '− ∂Y ∂i ≠ 0. ∂L ∂L ∂Y ∂i Thật vậy: J = −SY − M ' I '− Si = − Li (SY + M′) − LY (I′ − Si ) > 0 LY Li (do I’ < 0, 0 < M’ <1, SY > 0, Si > 0, LY > 0, Li < 0). Do ñó, có thể kết luận rằng trong lân cận của (X0, Ms0) tồn tại các tổ hợp ( Y , i ) sao cho: Y = Y(X 0 , M s0 ) và i = i (X 0 , M so ) là các hàm ẩn thỏa mãn các phương trình cân bằng một cách ñồng nhất thức. Ta có hệ:  dY   ∂F1     −  −SY − M ' I '− Si   dX 0   ∂X 0   −1 × = . =  L Li   d i   ∂F2  0   Y    −  dX 0   ∂X 0  J1(1) ∂Y L Vậy = = − i > 0. Do ñó nếu X0 tăng thì Y tăng. ∂X 0 J J Tương tự, cũng có thể tính ñược: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..55 J (1) J1(2) − I '+ S 2 L ∂i ∂Y i = = Y >0, = = > 0, ∂X 0 J J ∂M s0 J J J (2) 2 −S − M′ ∂i = = Y < 0. ∂M s0 J J Như vậy, nếu X0 tăng thì Y cũng như i ñều tăng. Còn nếu Ms0 tăng thì Y tăng còn i sẽ giảm. Ngoài ra, nếu xét M = M(Y) = M(Y(X0 , M s0 )) thì có ∂M ∂Y = M′ × > 0. ðiều này chứng tỏ nếu X0 tăng, tức là mức xuất ∂X 0 ∂X 0 khẩu tăng, thì Y tăng và do ñó M tăng, tức là mức nhập khẩu cân bằng cũng phải tăng. Tương tự, cũng có thể tìm ñược dấu của các ñạo hàm riêng của M , I , S và L theo X0 và Ms0 và phân tích ý nghĩa của chúng. 2.5. Một số ñiểm hạn chế của phân tích so sánh tĩnh Phân tích so sánh tĩnh là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong phân tích kinh tế. Nó cho biết biến ñộng phá vỡ trạng thái cân bằng hiện tại của một tham số hay của một biến ngoại sinh sẽ ảnh hưởng như thế nào ñến trạng thái cân bằng. Tuy nhiên, phân tích so sánh tĩnh có một số ñiểm hạn chế như sau: – Phân tích so sánh tĩnh không chỉ ra ñược quá trình hiệu chỉnh ñể ñi từ trạng thái cân bằng cũ về trạng thái cân bằng mới. – Phân tích so sánh tĩnh cũng không xét ñến yếu tố thời gian trong quá trình ñi từ trạng thái cân bằng cũ tới trạng thái cân bằng mới. – Với những sự bất ổn trong mô hình kinh tế chưa chắc trạng thái cân bằng mới (theo tính toán phân tích) ñạt ñược trong thực tế. ðể khắc phục những ñiểm hạn chế trên, chúng ta cần nghiên cứu một lĩnh vực khác trong phân tích kinh tế. ðó là phân tích cân bằng ñộng trong lĩnh vực kinh tế ñộng (economic dynamics). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..56 Bài tập Chương III Bài 1. Xét hàm tổng chi phí C phụ thuộc vào mức sản xuất ñầu ra Q như sau: C = Q3 – 5Q2 + 14Q + 75 (ở ñây 75 là chi phí cố ñịnh). a) Viết biểu thức của hàm chi phí biến thiên VC. b) Tìm ñạo hàm của hàm VC và cho biết ý nghĩa của nó. Bài 2. Cho biết hàm chi phí trung bình AC = Q2 – 4Q + 214. Hãy tìm hàm chi phí biên MC và cho biết hàm chi phí biên là thích hợp ñối với phân tích ngắn hạn hay dài hạn. Bài 3. Cho biết hàm doanh thu trung bình AR = 60 – 3Q. a) Vẽ ñường doanh thu trung bình AR, sau ñó vẽ ñường doanh thu biên MR theo phương pháp ñã biết (dựa vào hình III.2). b) Từ biểu thức của hàm doanh thu trung bình hãy xác ñịnh các hàm tổng doanh thu và hàm doanh thu biên. Hãy kiểm nghiệm rằng hàm doanh thu biên tìm ñược thông qua phương pháp ñồ thị trong câu a) và thông qua phương pháp giải tích trong câu b) là trùng nhau. c) Hãy so sánh các ñường doanh thu trung bình và doanh thu biên và so sánh ñộ dốc của chúng tại mỗi mức sản phẩm ñầu ra Q. Bài 4. Xét hàm tiêu dùng C = a + bY với a > 0 và 0 < b < 1. a) Hãy viết biểu thức của hàm tiêu dùng biên và hàm tiêu dùng trung bình. b) Tìm hệ số co giãn ñiểm εCY của thu nhập Y theo mức tiêu dùng C. Hãy ñưa ra nhận xét về dấu và ñộ lớn của εCY . Bài 5. Xét hàm cầu có biểu thức Q = k/Pn với k và n là các hằng số dương. a) Hãy cho biết hệ số co giãn của cầu Q theo giá cả P có phụ thuộc vào giá cả hay không? b) Vẽ ñồ thị của ñường cầu khi n = 1 và cho biết công thức tìm hệ số co giãn ñiểm của cầu trong trường hợp này. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..57 Bài 6. Giả sử hàm cung của một loại hàng hóa có dạng sau: Q = a + bP2 + R1/2 (a < 0, b > 0), trong ñó R là lượng mưa (mức cung hàng phụ thuộc vào thời tiết). Hãy tìm các hệ số co giãn ñiểm εQP và εQR và phân tích ý nghĩa của các biểu thức thu ñược. Bài 7. Xét mô hình thu nhập quốc dân (với Y, C, I0, G0 và T theo thứ tự là thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân, tổng ñầu tư quốc gia, tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước và tổng thu thuế quốc gia): Y − C − I0 − G 0 = 0  C − α − β(Y − T) = 0 T − γ − δY = 0.  a) Hãy phân tích ý nghĩa của các tham số α, β, δ và γ. b) Áp dụng ñịnh lí hàm ẩn ñể thực hiện phân tích so sánh tĩnh mô hình trên. Bài 8. Xét ñiều kiện cân bằng trong mô hình thu nhập quốc dân: S(Y) + T(Y) = I(Y) + G0 (S’, T’, I’ > 0; S’ + T’ > I’), trong ñó S, Y, T, I và G lần lượt là mức tiết kiệm quốc dân, thu nhập quốc dân, tổng thu thuế quốc gia, tổng ñầu tư quốc gia và tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước. Giả sử các ñạo hàm của các hàm S, T, I ñều liên tục. a) Hãy phân tích ý nghĩa của các ñạo hàm S’, T’ và I’. b) Hãy kiểm nghiệm các giả thiết của ñịnh lí hàm ẩn. c) Tìm dY / dG 0 và cho biết ý nghĩa kinh tế của nó. Bài 9. Xét mô hình cân bằng thị trường với một mặt hàng sau ñây: Qd = D(P, t0) ( ∂D / ∂P < 0, ∂D / ∂t 0 > 0), Qs = Qs0, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..58 trong ñó t0 là sở thích của người tiêu dùng, còn các ñạo hàm riêng của D theo P và theo t0 ñều liên tục. a) Hãy cho biết ñịnh lí hàm ẩn có thể áp dụng ñược hay không? b) Từ ñó cho biết về khuynh hướng biến ñộng của mức cân bằng cung cầu phụ thuộc vào sở thích của người tiêu dùng. Bài 10. Xét mô hình thu nhập quốc dân sau ñây: Y – C(Y) – I(i) – G0 = 0 (0 < C’ < 1, I’ < 0), kY + L(i) – Ms0 = 0 (k là hằng số dương; L’ < 0), trong ñó Y, C, I, i, L, G0 và Ms0 lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng quốc dân, tổng ñầu tư quốc gia, lãi suất ngân hàng, hàm thanh khoản, tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước và mức cung tiền tệ. Các biến Y, I là các biến nội sinh, còn các biến G0 và Ms0 là các biến ngoại sinh. a) Hãy cho biết các phương trình trên có mô tả các ñiều kiện cân bằng hay không? b) Cho biết lượng cầu tiền tệ trong mô hình trên ñược tính theo công thức nào? c) Hãy thực hiện phân tích so sánh tĩnh khi lượng cung tiền tệ Ms0 (chính sách tiền tệ) và tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước G0 (chính sách công khố) thay ñổi. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..59 Chương IV MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 1. Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu không ràng buộc 1.1. Mô hình tối ưu một biến không ràng buộc ðịnh nghĩa 1. Xét hàm số một biến y = f(x) với x ∈ D ⊂ R1. D ñược gọi là miền xác ñịnh của hàm số. – ðiểm x ∈ D ñược gọi là ñiểm cực ñại ñịa phương của hàm số, nếu ∀x ∈ D Ι Nε( x ) (trong ñó Nε( x ) là một lân cận ε nào ñó của x ) thì luôn có f( x )≥ f(x). – ðiểm x ∈ D ñược gọi là ñiểm cực ñại toàn cục của hàm số, nếu ∀x ∈ D thì luôn có f( x )≥ f(x). Tương tự, có thể ñịnh nghĩa khái niệm cực tiểu ñịa phương và cực tiểu toàn cục. Các ñiểm cực tiểu hay cực ñại ñược gọi chung là ñiểm cực trị. Ví dụ 1. Xét hàm số y= f(x) với miền xác ñịnh [a, b] ⊂ R1 có ñồ thị cho trên hình IV.1. Hàm số có một số ñiểm cực ñại và cực tiểu ñịa phương, trong số ñó x0 là ñiểm cực ñại toàn cục duy nhất, còn x1 là ñiểm cực tiểu toàn cục duy nhất. y O a y = f(x) x1 x0 b x Hình IV.1 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..60 ðiều kiện cực trị không có ràng buộc của hàm một biến Xét hàm một biến y = f(x) xác ñịnh trong miền D ≡ R1. Giả sử tại x0, tồn tại f’(x0). Lúc ñó ta có khai triển Taylor ñến vi phân cấp một: f(x) = f(x0) + f’(x0)(x – x0) + o(x – x0) ⇔ f(x) = f(x0) + dy + o(x – x0). Trong công thức trên, kí hiệu o(α) ñể chỉ lượng vô cùng bé bậc cao hơn α. Do ñó, nếu x0 là ñiểm cực trị thì ta phải có f’(x0) = 0. Thật vậy, giả sử x0 là ñiểm cực tiểu và f’(x0) ≠ 0, chẳng hạn f’(x0) > 0. Lúc ñó, tồn tại các ñiểm x thuộc vào lân cận Nε(x0) thỏa mãn ñiều kiện x < x0, sao cho f’(x0)(x – x0) + o(x – x0) < 0, do ñó f(x) < f(x0), mâu thuẫn với giả thiết x0 là ñiểm cực tiểu. Nếu tại x0, tồn tại f’’(x0) thì ta có khai triển Taylor ñến vi phân cấp hai: f(x) = f(x0) + f’(x0)(x – x0) + ⇔ f(x) = f(x0) + dy + 1 f’’(x0)(x – x0)2 + o(x – x02) 2 1 2 d y + o(x – x02). 2 Vậy ñiều kiện ñủ ñể có cực trị tại x0 là: dy = 0 d2y < 0 thì xo là cực ñại ⇔ 2 d y > 0 thì xo là cực tiểu f’(x0) = 0 f’’(x0) < 0 thì xo là cực ñại f’’(x0) > 0 thì xo là cực tiểu. Chú ý. Khi f’’(x0) = 0 thì ta không ñưa ra ñược kết luận về việc x0 có phải là ñiểm cực trị hay không. Muốn có ñược kết luận, cần phải khảo sát dấu của ñạo hàm cấp cao hơn tại x0. Ví dụ 2. ðiều kiện ñạt lợi nhuận tối ña. Xét các hàm doanh thu và chi phí R = R(Q), C = C(Q) phụ thuộc vào Q là mức sản xuất ñầu ra. Các hàm doanh thu và chi phí tính theo ñơn vị tiền tệ (chẳng hạn USD), còn Q tính theo ñơn vị sản phẩm (chẳng hạn, bằng tấn). Lúc ñó, hàm lợi nhuận có dạng: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..61 π = R − C = R(Q) − C(Q) . ðiều kiện cần ñể có lợi nhuận cực ñại là: π′(Q) = 0 ⇔ R ′(Q) = C′(Q) . ðiều kiện ñủ: π′(Q) = 0 ⇔ R ′(Q) = C′(Q) π′′ < 0 ⇔ R ′′(Q) < C′′(Q) Xét các hàm: R(Q) = 1200Q– 2Q2 C(Q) = Q3 – 61,25Q2 + 1528,5Q + 2000 π(Q) = – Q3 + 59,25Q2 – 328,5Q – 2000. Ta có π′ (Q) = –3Q2 + 118,5Q – 328,5 = 0 tại Q1 = 3 và Q3 = 36,5. Các ñiểm này thỏa mãn ñiều kiện cần R’(Q) = C’(Q) hay các hàm doanh thu biên MR = R’ và MC = C’ có giá trị bằng nhau. π′′ (Q) = – 6Q + 118,5 có dấu dương tại Q1 = 3 và có dấu âm tại Q 3 = 36,5. R C MR MC C(Q) MC N R(Q) L MR K O Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q O Q1 Q2 Q3 Q R Π =R–C M Hình IV.2 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..62 R Trên hình IV.2, ñiểm Q3 chính là ñiểm làm hàm lợi nhuận ñạt cực ñại. Vậy mức sản xuất tối ưu là Q3 = 36,5 tấn cho lợi nhuận cực ñại là 16318,44 USD. Ví dụ 3. Xét hàm doanh thu trung bình (average revenue) AR= f(Q) = R Q Vậy R = Q×f(Q), do ñó hàm doanh thu biên là: R ′ = MR = f (Q) + Qf ′(Q) . Trong ví dụ 3 của Chương III, ñồ thị của hàm doanh thu biên MR hay R’ là ñường thẳng. Trong các trường hợp tổng quát, có thể xảy ra là MR có ñồ thị lõm lên hoặc lõm xuống như minh họa trên hình IV.3. R ′′ > 0 R ′′ < 0 Hình IV.3 Ta có: R ′′ = d MR = 2f ′(Q) + Qf ′′(Q) . dQ Xét trường hợp f ′(Q) < 0 , tức là khi Q tăng thì doanh thu trung bình giảm trong ñiều kiện cạnh tranh không hoàn hảo. Tuy nhiên, số hạng thứ hai Qf’’(Q) có thể có dấu tùy ý (dương, âm hay bằng 0) tùy theo ñường AR = f(Q) là lõm lên hay lõm xuống. Do ñó R’’ có thể có dấu trùng với dấu của f’’(Q). Chẳng hạn, qua khảo sát thống kê chúng ta có mối quan hệ sau ñây: AR = f(Q) = 8000 – 23Q + 1,1Q2 – 0,018Q3. Vậy R = Q×f(Q) = 8000Q – 23Q2 + 1,1Q3 – 0,018Q4 ⇒ R’ = MR = 8000 – 46Q + 3,3Q2 – 0,072Q3 ⇒ R’’ = – 46 + 6,6Q – 0,216Q2. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..63 Q1 = 10, 76 ðiều kiện R ′′ = 0 ⇔  Q2 = 19, 79. R’’ O Q1 Q2 Q Hình IV.4 Xét Q ∈ ( Q1 , Q 2 ) . Lúc này R’’(Q) > 0, nên MR cũng như AR tăng khi Q chạy từ Q1 ñến Q2. Tuy nhiên, trong ví dụ này, việc doanh thu biên hay doanh thu trung bình tăng không dẫn tới việc doanh thu ñạt cực ñại. Thật vậy, R’’(Q) < 0 chỉ xảy ra khi Q ∉ ( Q1 , Q 2 ) (bạn ñọc quan tâm có thể tính ñược mức sản xuất Q làm cực ñại hàm doanh thu cho ví dụ này). 1.2. Hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng của biến kinh tế Khái niệm hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng là các khái niệm quan trọng trong phân tích kinh tế. Sau ñây chúng ta sẽ tiếp cận các khái niệm này thông qua một số ví dụ ñơn giản. Ví dụ 4. Hàm tăng trưởng vốn ñầu tư. Xét hàm tăng trưởng thường áp dụng trong việc tính lãi suất ngân hàng cho các khoản ñầu tư (phụ thuộc vào tham số m): r   Vm ( t ) = V( t ) = A1 +   m mt Trong ñó, A là lượng tiền ñầu tư ban ñầu hay vốn ban ñầu, r là lãi suất / năm (tính theo %), t là thời gian ñầu tư nhận giá trị nguyên dương, m là số tự nhiên: m = 1 tương ứng với việc tính lãi ñơn, m > 1 tương ứng với việc tính lãi kép. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..64 – Ta có m = 1 khi tính lãi ñơn (một năm tính lãi một lần). Cho r = 2%, lượng vốn ñầu tư ban ñầu A = 1000 USD, t = 1 thì V1(1) = 1000(1+2%)1 = 1020 USD. Tức là, sau một năm cộng cả vốn lẫn lãi ta có 1020 USD. Với t = 2, ta có V1(2) = 1000(1,02)2 = 1040,4 USD. Với t = 3 ta có V1(3) = 1061,2 USD. – Ta có m = 2 khi tính lãi kép, một năm tính lãi 2 lần: V2(t) = A(1+ r/2)2t. Cho A = 1000 USD, r = 2% thì có V2(1) = 1000(1,01)2 = 1020,1 USD, V2(2) = 1000(1,01)4 = 1040,6 USD, V2(3) = 1000(1,01)6 = 1061,5 USD. – Tính lãi kép liên tục là trường hợp giới hạn khi số lần tính lãi trong năm là rất nhiều lần (ta coi m → ∞). Ta có lim Vm (t) = lim A (1 + r / m ) = Aert = V(t). Do ñó: mt m →∞ m →∞ t = 1 ⇒ V(1) = Aer = 1000e0,02 = 1020,2 USD, t = 2 ⇒ V(2) = Ae2r = 1000e0,04 = 1040,8 USD, t = 3 ⇒ V(3) = Ae3r = 1000e0,06 = 1061,8 USD. Có thể nhận xét rằng trong ví dụ trên việc tính lãi ñơn, lãi kép rời rạc hay lãi kép liên tục không ảnh hưởng tới kết quả của hàm tăng trưởng (vốn ñầu tư). Như vậy, chúng ta ñã xét hai dạng hàm tăng trưởng vốn ñầu tư: r   a) V ( t ) = A1 +   m m = 1, 2, 3, ...), mt khi lãi gộp hình thành rời rạc (phụ thuộc vào b) V = Aert khi lãi gộp hình thành liên tục (m = ∞ ), với t là thời gian ñầu tư, A vốn gốc và r là lãi suất / một năm. Rõ ràng rằng việc hàm tăng trưởng tăng nhanh hay chậm phụ thuộc vào r. Sau ñây chúng ta sẽ biết r chính là tốc ñộ tăng trưởng của hàm tăng trưởng. ðịnh nghĩa 2. Hàm tăng trưởng là một hàm số ñồng biến phụ thuộc vào thời gian t, thông thường ñược kí hiệu bởi V = V(t). Xét hàm tăng trưởng phụ thuộc vào t một cách liên tục. Lúc ñó, nếu tồn tại rv = V’/V = (lnV)’ thì rv ñược gọi là tốc ñộ tăng trưởng (hay hệ số tăng trưởng) của V. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..65 Quay lại ví dụ 4 trên ñây, với hàm tăng trưởng V = Aert ta có: rv = V ′ (Ae rt )′ = =r. V Ae rt Vậy lãi suất / năm r chính là tốc ñộ tăng trưởng. Ví dụ 5. Thu nhập quốc dân có tốc ñộ tăng trưởng 8% và dân số có tốc ñộ tăng trưởng 2%. Hãy xác ñịnh thu nhập bình quân theo ñầu người tăng bao nhiêu % một năm? ðặt thu nhập bình quân ñầu người là Pc, thu nhập quốc dân là Y và dân số là N. Tất cả các biến này ñều phụ thuộc vào t. Rõ ràng Pc = Y/N. Do ⇒ ñó lnPc = lnY – lnN ⇒ (ln Pc )′ = (ln Y)′ − (ln N)′ Pc′ Y′ N′ = − = 8% − 2% = 6% . Vậy thu nhập bình quân theo ñầu Pc Y N người tăng 6% một năm. Ví dụ 6. Cho tốc ñộ tăng trưởng của vốn là r = 2% / năm. Hãy xác ñịnh sau bao nhiêu năm thì từ vốn ñầu tư ban ñầu 1000 USD sẽ có 1500USD. Theo ñịnh nghĩa r = V’/V = 2%. Giải phương trình vi phân này ta có: V = Ae rt = 1000e0,02t (với V(0) = 1000). Tìm t từ 1000e0,02t = 1500 thì có t = (ln1,5)/0,02 = 20,27326 năm (khoảng 20 năm 3 tháng). ðịnh nghĩa 3. Hàm giảm trưởng là hàm nghịch biến phụ thuộc vào thời gian t. Hàm khấu hao trong kinh tế cũng có thể coi là hàm giảm trưởng, hay hàm tăng trưởng với tốc ñộ tăng trưởng âm. Ví dụ 7. Cho A1 = 1000 USD là giá một máy tính khi mới mua với tỉ lệ khấu hao r = 10% / năm. Hãy tính giá trị của máy tính sau t năm sử dụng. Ta có xét hàm V1(t) = 1000(1 – 10%)t ≈ 1000e −0,1×t . Do ñó sau khoảng 30 năm, giá trị của máy tính sau khi tính khấu hao sẽ còn lại khoảng 50 USD. Như vậy, hàm khấu hao V1(t) chính là hàm giảm trưởng với tốc ñộ tăng trưởng âm xấp xỉ – 10%/ năm. Ví dụ 8. Xét hàm tăng trưởng V(t) = A × 2 t = Ae t ln 2 trong một công việc kinh doanh nào ñó (chẳng hạn, kinh doanh bất ñộng sản). Giả Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..66 sử r = 5% là lãi suất ngân hàng. Hỏi khi nào thì nên dừng công việc kinh doanh trên? Cách 1: Xét ñiều kiện rv = ln 2 > rc = 0,05 ⇔ t < (ln2/0,1)2 = 48,0453 2 t năm. Vậy sau khoảng 48 năm nên dừng công việc kinh doanh trên và nên ñầu tư vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Cách 2: Dùng phương pháp quy ñổi về giá trị gốc căn cứ vào lãi suất ngân hàng. Quy ñổi V(t) về giá trị tương ñương tại thời ñiểm hiện tại theo công thức: Vh (t) = V(t)e−0,05t = Ae t ln 2 × e−0,05t = Ae−0,05t + t ln 2 . Cần tìm t ñể Vh(t) ñạt giá trị cực ñại.  ln 2  × − 0, 05  . ðiều kiện cần ñể Vh(t) 2 t  ñạt cực ñại là Vh′ (t) = 0 ⇔ t = 48,0453. Tại t = 48,0453 thì Vh′′(t) > 0 nên Tính Vh′ (t) = A e−0,05t + t ln 2 ñiều kiện ñủ của ñiểm cực ñại ñược thỏa mãn. Vậy sau khoảng 48 năm thì công việc kinh doanh trên nên kết thúc. 1.3. Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu nhiều biến không ràng buộc ðịnh nghĩa 4. Cho hàm số n biến f: D ⊂ Rn → R. – ðiểm x ∈ Rn ñược gọi là ñiểm cực ñại ñịa phương nếu x ∈ D và tồn tại một lân cận Nε ñủ nhỏ của ñiểm x sao cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ D Ι Nε( x ). – ðiểm x ∈ Rn ñược gọi là ñiểm cực ñại toàn cục nếu x ∈ D và tồn tại một lân cận Nε ñủ nhỏ của ñiểm x sao cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ D. Tương tự, có thể ñịnh nghĩa khái niệm cực tiểu ñịa phương và cực tiểu toàn cục. Các ñiểm cực ñại hay cực tiểu ñược gọi chung là ñiểm cực trị. Dễ thấy, mọi ñiểm cực ñại (cực tiểu) toàn cục cũng là ñiểm cực ñại (cực tiểu) ñịa phương, trong khi ñó ñiều ngược lại không nhất thiết luôn xảy ra. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..67 ðiều kiện cực trị không ràng buộc của hàm hai biến Xét hàm hai biến: z = f(x, y) xác ñịnh trong miền D ≡ R2 với ñiều kiện vi phân toàn phần cấp một: dz = z′x ( x 0 , y 0 )dx + z′y ( x 0 , y 0 )dy tồn tại tại (x0, y0). Lúc ñó ta có khai triển Taylor cho hàm f(x, y) ñến vi phân cấp một tại (x0, y0) tương ứng với các số gia riêng ∆x và ∆y là: f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y) = f ( x 0 , y 0 ) + z ′x dx + z ′y dy + o(ρ) , với ρ = (∆x ) 2 + (∆y) 2 . Có thể thấy z = f ( x 0 , y 0 ) + z ′x dx + z ′y dy là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong z = f(x, y) tại (x0, y0). Ngoài ra, ñiều kiện cần ñể hàm z = f(x, y) có cực trị tại (x0, y0) là dz = 0. Nếu tồn tại vi phân toàn phần cấp hai d2z tại (x0, y0), thì khai triển Taylor tới vi phân cấp hai ñược viết như sau: f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y) = f ( x 0 , y 0 ) + dz + d 2z + o(ρ 2 ) . 2! Trong ñó: d2z = d(dz) = d ( z ′x dx + z ′y dy ) ′ dx + z ′xy ′ dy )dx + ( z ′yx′ dx + z ′yy ′ dy )dy = ( z ′xx  z′′x 2 = z′′ 2 dx 2 + 2z′′xy dydx + z′′ 2 dy 2 = [ dx dy ]  x y  z′′xy z′′xy   dx   . z′′y 2   dy   Vậy ñiều kiện ñủ ñể z = f(x,y) có cực trị tại (x0,y0) là: z ′x = 0  z′x  dz = [dx dy]   = 0 ∀ dx, dy ⇔  z ′y = 0  z′y  d2z > 0 ∀ dx, dy không ñồng thời bằng 0 ⇒ (x0, y0) là ñiểm cực tiểu d2z < 0 ∀ dx, dy không ñồng thời bằng 0 ⇒ (x0, y0) là ñiểm cực ñại. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..68 Có thể chứng minh ñược ñiều kiệ n d2z > 0 ( ∀ dx, dy không ñồng ′  z ′′ 2 z ′xy thời bằng 0) là tương ñương với ñiều kiệ n ma trận Hess  x ′ z ′′ 2   z ′xy y  xác ñịnh dương. Do ñó ñiều kiện ñủ ñể z = f(x,y) có cực tiểu tại (x0, y0) là: dz = 0 ⇔ z ′x = z ′y = 0  z′′x 2 d2z > 0 ⇔   z′′xy z′′xy   xác ñịnh dương. z′′y2   Cần chú ý rằng ma trận vuông là xác ñịnh dương nếu các ñịnh thức con dọc theo ñường chéo chính là dương. Có thế phát biểu ñiều kiện tương tự ñể có cực ñại tại (x0, y0). Ví dụ 9. Xét hàm z = f(x, y) = 8x3 + 2xy – 3x2 + y2 + 1 z′x = 24x 2 + 2y − 6x = 0  x 1 = y1 = 0 ⇔   x 2 = 1 / 3, y 2 = −1 / 3 z′y = 2x + 2y = 0  48x − 6 2  Xét ma trận Hess H =  , ta có các ñịnh thức con dọc 2   2 theo ñường chéo chính là H1 = det [ 48x − 6 ] , H 2 = det H = 96x − 16. – Trường hợp 1: Tại x1 = y1 = 0 hay tại ñiểm M1(0, 0) thì H1 < 0 và H2 < 0 nên d2z không xác ñịnh về dấu. – Trường hợp 2: Tại x2 = 1/3, y2 = –1/3 thì H1 > 0 và H2 > 0, hay H xác ñịnh dương nên d2z > 0, vậy ñây là ñiểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu của hàm số tại ñiểm này là 23/27. Trong một số bài toán dạng tương tự có thể xảy ra trường hợp 3: H1 < 0, H2 > 0. Lúc này H xác ñịnh âm nên d2z < 0 và ta có ñiểm cực ñại. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..69 ðiều kiện cực trị không ràng buộc của hàm n biến Cho hàm n biến: z = f(x), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ D ≡ Rn. Xét các ñiều kiện cần và ñủ ñể hàm số có cực trị tại x0 = (x10 , x 02 ,..., x 0n ) : – ðiều kiện cần: dz = 0 ⇔ z′x1 = z′x 2 = ... = z′x n = 0 . – ðiều kiện ñủ: dz = 0 ⇔ z ′x1 = z ′x 2 = ... = z ′x n = 0 d2z < 0 ⇒ x0 là ñiểm cực ñại d2z > 0 ⇒ x0 là ñiểm cực tiểu. Có thể xét dấu d2z căn cứ vào ma trận Hess  z′′x1x1   z′′x x H= 2 1 ...   z′′x n x1 Ta có: z′′x1x 2 z′′x 2 x 2 ... z′′x n x 2 ... z′′x1x n   ... z′′x1x 2  ... ...   ... z′′x x  n n  d2z > 0 ⇔ H xác ñịnh dương (xTHx > 0, ∀x ≠ 0 )  H1 = det  z′′z x  > 0  1 1    z′′z x z′′x1x 2   H 2 = det  1 1 >0 ⇔  z′′x 2 x1 z′′x 2 x 2   ...  H = det H > 0.  n Tương tự: d2z < 0 ⇔ H xác ñịnh âm (tức là xTHx < 0, ∀x ≠ 0 ) H1 < 0 H > 0  2 ⇔ Các ñịnh thức con chính lần lượt ñổi dấu H 3 < 0 H > 0  4 ... Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..70 Ví dụ 10. Xét mô hình cân bằng thị trường ñộc quyền với hai mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau: Q1 = 40 – 2P1 + P2 Q2 = 15 + P1 – P2 Trong hệ trên, Q1 và Q2 là các mức cầu về hai mặt hàng với các giá P1, P2 tương ứng. Cho biết hàm chi phí là C = Q12 + Q1Q2 + Q22 và hàm doanh thu là R = P1Q1 + P2Q2 = (55 – Q1 – Q2)Q1 + (70 – Q1 – 2Q2)Q2 = 55Q1 + 70Q2 – 2Q1Q2 – Q12 – 2Q22. Hãy tìm các mức cân bằng về cầu và về giá cả Q 1, Q 2, P 1, P 2 ñể ñạt lợi nhuận cực ñại: π = R − C → Max. Ta có π = R – C = 55Q1 + 70Q2 – 3Q1Q2 – 2Q12 – 3Q22. Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm hai biến ñối với hàm lợi nhuận π, chúng ta xét các ñiều kiện sau: − ðiều kiện cần: ∂π/∂Q1 = π1 = 55 – 4Q1 – 3Q2 = 0 ∂π/∂Q2 = π2 = 70 – 3Q1 – 6Q2 = 0. Giải hệ trên ta có Q1 = 8, Q 2 = 7 2 . Từ ñó tìm ñược P1 = 39 1 , 3 3 2 P 2 = 46 . 3 − ðiều kiện ñủ: tính ñược các ñạo hàm cấp hai dπ1/dQ1 = π11 = − 4, dπ1/dQ2 = π12 dπ2/dQ1 = π21 = −3, dπ2/dQ2 = π22 = –6. Lúc ñó ta có ma trận Hess:  − 4 − 3 H=    − 3 − 6 với H1 = −4 < 0 và H2 = 15 > 0. Vậy ma trận Hess xác ñịnh âm, nên ñiều kiện ñủ ñể lợi nhuận ñạt cực ñại ñược thỏa mãn tại Q1 = 8, Q 2 = 7 2 , P1 = 39 1 , P 2 = 46 2 . Dễ dàng 3 3 3 1 tính ñược πmax = 488 . 3 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..71 Ví dụ 11. Vấn ñề thị trường phân biệt giá cả. Xét trường hợp một hãng sản xuất một loại hàng hóa ñộc quyền ñược bán trên ba thị trường phân biệt với các mức tiêu thụ là Q1, Q2 và Q3. Nếu các hệ số co giãn của cầu trên ba thị trường khác nhau thì giá cả sản phẩm cũng là khác nhau trên ba thị thị trường này. Mô hình xác ñịnh giá cả phân biệt ñược cho bởi hệ sau: R = R1 (Q1 ) + R 2 (Q 2 ) + R 3 (Q3 )  C = C(Q)  Q = Q1 + Q 2 + Q3 R i = Pi Qi , i = 1, 2, 3. Ri, Pi với i = 1, 2, 3 là các doanh thu và giá cả sản phẩm tại thị trường i. Từ ñó ta có bài toán: Cần xác ñịnh các mức giá cân bằng P 1, P 2 và P 3 sao cho tổng lợi nhuận của hãng sản xuất là tối ña: π = R 1 (Q1 ) + R 2 (Q 2 ) + R 3 (Q 3 ) − C(Q) → Max Xét ñiều kiện cần:  ∂π ∂Q = π1 = R 1′ (Q1 ) − C′(Q) × =0  Q Q ∂ ∂ 1 1   ∂π ∂Q = π 2 = R ′2 (Q 2 ) − C′(Q) × =0  ∂Q 2  ∂Q 2  ∂π ∂Q = π 3 = R ′3 (Q 3 ) − C′(Q) × =0  ∂Q 3  ∂Q 3 Do ∂Q ∂Q ∂Q = = = 1 nên từ ñiều kiện này ta có: ∂Q1 ∂Q 2 ∂Q 3 R 1′ (Q1 ) = R ′2 (Q 2 ) = R ′3 (Q 3 ) = C′(Q) ⇔ MR 1 = MR 2 = MR 3 = MC ðiều kiện trên cho phép ta có thể xác ñịnh ñược việc phân phối hàng trên thị trường ñể ñạt lợi nhuận tối ña. Ta có Ri = PiQi (i = 1, 2, 3). Từ ñó: MRi = dR i dPi = Pi + Qi . dQ i dQ i Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..72 Coi Pi là hàm của Qi , ta có:  dP Q  MRi = Pi 1 + i i  .  dQ P  i i   Do ε di = dQ i / Q i (εdi là hệ số co giãn của cầu tại thị trường i, εdi < 0) nên: dPi / Pi MR i = Pi (1 − 1 ) εdi Vậy ñiều kiện cần ñể π ñạt Max là    1  1  1  P1  1 −  = P2  1 −  = P3  1 − .  εd1  εd2  εd3     Xét ñiều kiện ñủ. Trước hết ta tính các ñạo hàm riêng cấp hai: π11 = ∂ 2π = R 1′′(Q1 ) − C′′(Q) ∂Q12 π 22 = ∂2π = R ′2′ (Q 2 ) − C′′(Q) ∂Q 22 π 33 ∂ 2π = = R ′3′ (Q 3 ) − C′′(Q) 2 ∂Q 31 π12 = π13 = π 21 = π 23 = π 31 = π 32 = −C′(Q) . Từ ñó có ma trận Hess như sau −C′′ −C′′   R ′′ − C′′  R ′′2 − C′′ −C′′  . H=  −C′′  −C′′ −C′′ R ′′3 − C′′ ðể ñể π ñạt Max thì H phải xác ñịnh âm. Chẳng hạn, cho P1= 63 – 4Q1, P2 = 105 – 5Q2, P3 = 75 – 6Q3, C = 20 + 15Q. Hãy xác ñịnh các mức giá cân bằng P 1, P 2 và P 3 ñể π ñạt Max. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..73 ðiều kiện cần: Từ R1 = P1Q1 = 63Q1 – 4Q12 suy ra MR1 = 63 – 8Q1. Tương tự, từ ñiều kiệ n MR1 = MR2 = MR3 = MC suy ra 63 – 8Q1 = 105 – 10Q2 = 75 – 12Q3 = 15. Giải các ñiều kiện này sẽ thu ñược: Q1 = 6  Q 2 = 9 với  Q3 = 5 P1 = 39  P 2 = 60  P3 = 45. Có thể kiểm tra rằng: R1′′ = –8, R ′′2 = –10, R ′′3 = –12 và C′′ = 0, nên ma trận Hess (luôn) xác ñịnh âm. Do ñó, ñiều kiện ñủ ñược thỏa mãn. Vậy lợi nhuận tối ña ñạt ñược là π = 679 tại các giá cả (phân biệt ñối với ba thị trường) là P 1 = 39, P 2 = 60 và P 3 = 45. Có thể kiểm nghiệm rằng mức giá cân bằng P 2 = 60 là cao nhất tại thị trường thứ hai, mà tại ñó hệ số co giãn của cầu là thấp nhất. Dựa trên chính sách giá cả phân biệt có thể xác ñịnh ñược các mức giá phân biệt tối ưu (mức cân bằng giá) trên các thị trường ñể tổng lợi nhuận ñạt tới Max. Từ ñó, có thể dự báo ñược các doanh thu Ri tại thị trường i cũng như hàm tổng chi phí C. Ví dụ 12. Các quyết ñịnh ñầu vào cho một hãng sản xuất. Thay vì các mức sản xuất ñầu ra, các biến quyết ñịnh trong bài toán tối ña hóa lợi nhuận có thể là các mức ñầu vào. Xét một hãng sản xuất sử dụng hai loại nguyên liệu (hai loại dự trữ) a, b ñể sản xuất ra một loại sản phẩm ở mức Q. Cho biết Pa 0 là giá một ñơn vị nguyên liệu loại 1, Pb0 là giá nguyên liệu loại 2 và P0 là giá một ñơn vị sản phẩm. Quá trình sản xuất ra sản phẩm kéo dài t năm, nên phải tính ñến khấu hao. Gọi C = aPa 0 + bPb0 là hàm chi phí, Q = Q(a, b) là hàm sản xuất với Q là mức sản phẩm ñầu ra phụ thuộc vào các mức nguyên liệu ñầu vào a, b. Lúc ñó ta có bài toán tối ưu: hãy xác ñịnh các tổ hợp ñầu vào (a, b) tối ưu ñể π = P0Q(a, b)e− rt − aPa 0 − bPb0 → Max . ðiều kiện cần: πa = P0Qa e− rt − Pa 0 = 0 và πb = P0Qb e − rt − Pb0 = 0 . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..74 Giả sử ñã xác ñịnh ñựợc a, b ñể Q ñạt mức sản phẩm ñầu ra cực ñại Qmax, liệu có khả năng tìm ñược tổ hợp khác của các mức ñầu vào (a, b) vẫn ñạt ñược mức Qmax ? ðây là vấn ñề thay thế giữa các ñầu vào. Phân tích ñường ñồng mức Q: Cho Q = Q(a, b) = const = Q0. Lúc ñó có mối quan hệ hàm ẩn giữa b và a sao cho Q(a,b) − Q0 = 0. Coi b là hàm ẩn của a thì b = ϕ(a). Như vậy, mọi ñiểm (a, b) thuộc ñồ thị của hàm b = ϕ(a) ñều cho cùng mức Q = Q0. Do: Q = Q0 ⇒ dQ = 0 ⇒ Qada + Qbdb = 0 ⇒ Q MPPa db =− a =− = − (hàm sản xuất biên theo a / hàm sản da Qb MPPb xuất biên theo b). Chú ý các kí hiệu và các thuật ngữ: MPPa là hàm sản xuất biên theo biến a (marginal physical product of a), còn MPPb là hàm sản xuất biên theo biến b (marginal physical product of b). ý nghĩa của các hàm sản xuất biên: Khi tăng ñầu vào a lên một ñơn vị, b giữ nguyên, thì Q tăng một lượng Qa = MPPa (thường giả sử MPPa > 0). Còn nếu tăng ñầu vào b lên một ñơn vị, a giữ nguyên, thì Q tăng một lượng Qb = MPPb (thường giả sử MPPb > 0). b N’ ðường ñồng mức M’ D Q0 b0 Q1 O M Hình IV.5 N a Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..75 ¼ ' . Tại ñó ta Xét ñường ñồng mức Q(a, b) = Q0. Xét ñoạn cong MM db < 0 (do MPPa > 0, MPPb > 0). có mối quan hệ hàm ẩn b = ϕ(a) với da db Giả sử ta chọn M và chuyển ñộng ra khỏi vùng D. Lúc ñó > 0 nên da một trong các ñạo hàm riêng MPPa hoặc MPPb có dấu âm. Vậy nếu giữ b = b0 không ñổi thì M có khuynh hướng chuyển sang ñiểm N thuộc ñường ñồng mức với mức thấp hơn Q = Q(a, b) = Q1 < Q0. ðiều này chứng tỏ MPPa < 0. ðiều kiện ñủ: Ma trận Hess phải xác ñịnh âm. π H =  aa π ba ñịnh âm Q aa ⇔ K = Q ba π ab  = π bb  P0 Q aa e − rt  − rt P0 Q ba e Q P0 Q ab e − rt  = P0 e − rt  aa − rt  P0 Q bb e  Q ba Q ab  xác Q bb  Q ab  xác ñịnh âm Q bb  ⇔ Qaa < 0 và Q aaQbb – Qab2 > 0. Trước hết hãy tìm hiểu: Qaa < 0 có nghĩa là gì? Ta giả sử Qa > 0 (MPPa > 0) và Qaa < 0, suy ra Qa nghịch biến. Lúc ñó khi giữ b cố ñịnh thì Q tăng theo a với tốc ñộ chậm dần. Còn QaaQbb – Q2ab > 0 có nghĩa là gì? Có thể chứng minh ñược rằng: d 2 b d  db  d  Qa =   = − da 2 da  da  da  Qb  1 =− 2 Qb  dQb   dQa Qb da − Qa da  .   Mặt khác b là hàm ẩn của a nên b = ϕ(a). Do ñó: dQ b dQa db db = Q bb + Q ab . = Qab + Qaa và da da da da Từ ñó có: d2b 1 = − 3 Qaa Q2b − 2Qab Qa Qb + Qbb Qa2  . 2 da Qb Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..76 Tam thức nhận ñược sau khi chia biểu thức trong ngoặc cho Qa2 có biệt thức ∆ = Qab2 – Q aaQbb < 0 (do ñiều kiện ma trận K xác ñịnh âm ñược thỏa mãn) và hệ số cao nhất là Qaa nên luôn mang dấu âm. Vậy d 2b > 0, tức là các ñường ñồng mức ñều lõm xuống (như mô tả trên da 2 hình IV.5). Chú ý. Xét trường hợp khấu hao theo quý với r là lãi suất / năm và t là thời gian sản xuất tính theo năm. Lúc ñó π = P0Q(a, b)(1 + r / 4)−4t − (aPa 0 + bPb0 ) . Nếu t ñược tính theo quý và i là lãi suất theo quý (lãi suất / quý) thì có π = P0Q(a, b)(1 + i)− t − (aPa 0 + bPb0 ) . Bạn ñọc quan tâm có thể tự mình khảo sát ñể ñưa ra các ñiều kiện cần và ñủ nhằm ñạt ñược lợi nhuận cực ñại. Áp dụng phân tích so sánh tĩnh cho bài toán xác ñịnh các quyết ñịnh ñầu vào Cần xác ñịnh ñiểm cân bằng ( a , b ) (ñể ñạt ñược lợi nhuận tối ña πmax) thỏa mãn − rt 1 F (a, b;P0 , Pa0 , Pb0 , r,t) = P0Q a (a,b)e − Pa0 = 0, πa = π b = 0 ⇔  − rt 2 F (a, b;P0 ,Pa0 ,Pb0 , r, t) = P0Q b (a, b)e − Pb0 = 0. Do ñó có a = a(P0 , Pa 0 , Pb0 , r, t) và b = b(P0 , Pa 0 , Pb0 , r, t) . Cần tính ∂ a ∂b ∂ a ∂b ∂ a ∂b , , , , , , ñể từ ñó trả lời các câu hỏi: ∂P0 ∂P0 ∂r ∂r ∂t ∂t nếu P0, r, t, tăng hoặc giảm thì a , b tăng hoặc giảm như thế nào. Ta có ñịnh thức Jacoby J = P0 e −rt Q aa Q ab Q ab ≠ 0 . Giả sử các ñiều Q bb kiện khác của ñịnh lí hàm ẩn ñược thỏa mãn. Lúc ñó từ kết luận của ñịnh lí hàm ẩn ta sẽ có: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..77 Q P0e − rt  aa Qab  ∂a  Qab   ∂P0  − rt  −Q a  =e  . Q bb   ∂b   −Q b     ∂P0  Do ñó ta có: −Qa Q bb + Q b Qab ∂a = 2 ∂P0 P0 (Qaa Q bb − Qab ) và: −Q b Qaa + Qa Qab ∂b = . 2 ∂P0 P0 (Qaa Q bb − Qab ) Chú ý rằng ta ñã giả sử các ñiều kiện: Qa > 0, Qb > 0, Qaa < 0, Qbb < 0 và Q aaQbb – Qab2 > 0 (do ma trận Hess H hay ma trận K là xác ñịnh âm). Trường hợp 1: Qab = Qba > 0. Qab = (Qa)b > 0 có nghĩa là khi b tăng thì Qa tăng (hay MPPa tăng). Qba = (Qb)a > 0 có nghĩa là khi a tăng thì Qb tăng (hay MPPb tăng). Lúc này: ∂a ∂b > 0, >0. ∂P0 ∂P0 Trường hợp 2: Qab = Qba < 0. Lúc này cần khảo sát các ñộ lớn (biên ñộ) của các ñạo hàm riêng Qa, Qb, Qaa, Qab, Qbb ñể xác ñịnh dấu của ∂ a ∂b , là dương hay âm và rút ra các kết luận cần thiết. ∂P0 ∂P0 2. Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu nhiều biến có ràng buộc 2. 1. Phương pháp nhân tử Lagrange Xét bài toán tối ưu hóa (cực ñại hóa) hai biến dạng tổng quát với một ràng buộc mang dấu bằng: z = f(x1, x2) → Max, với ñiều kiện ràng buộc g(x1, x2) = c. Ví dụ 13. z = x1x2 + 2x1 → Max, với ràng buộc: 4x1 + 2x2 = 60. Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange (chính xác hơn còn gọi là ñiều kiện Kuhn – Tucker mà chúng ta ñã ñược biết tới trong môn học Tối ưu hóa), chúng ta ñi cực ñại hóa hàm Lagrange Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..78 Z = f(x1, x2) +λ[c – g(x1, x2)] = x1x2 + 2x1 +λ (60 – 4x1 – 2x2). Ở ñây λ ñược gọi là nhân tử Lagrange. Xét ñiều kiện cần:  Z = ∂Z / ∂λ = c − g(x , x ) = 0 1 2  λ  Zx1 = ∂Z / ∂x1 = f x1 − λg x1 = 0   Zx 2 = ∂Z / ∂x 2 = f x 2 − λg x 2 = 0 (4.1) λ = 4 60 − 4x1 − 2x 2 = 0   ⇔  x 2 + 2 − 4λ = 0 ⇔  x1 = 8  x − 2λ = 0  x = 14.  1  2 Chú ý. Từ (4.1) sẽ có Zx1 = Zx 2 = 0 hay: λ= f x1 g x1 = fx2 gx2 . (4.2) Xét ñiều kiện ñủ: Trước hết, do ñiều kiện g(x1, x2) = c nên ta có dg = gx1dx1 + gx2dx2 = 0. Vậy dx2 = −(gx1/gx2)dx1. Coi x2 là hàm ẩn của x1, ta sẽ có: d2z = d(dz) = ∂ ∂ f x1 dx1 + f x 2 dx 2 dx1 + f x dx1 + f x 2 dx 2 dx 2 ∂x1 ∂x 2 1 ( ) ( )   ∂dx 2   = f x1x1 dx1 +  f x1x 2 dx 2 + f x 2   dx1 ∂x1       ∂dx 2   + f x 2 x1 dx1 +  f x 2x 2 dx 2 + f x 2   dx 2 . ∂x 2      ∂dx 2  ∂dx 2 dx1 + dx 2  = f x 2 d(dx 2 ) = f x 2 d 2 x 2 nên chúng ta có: Do f x 2  ∂x 2  ∂x1  Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..79 d2x = f x1x1 dx12 + 2f x1x 2 dx1dx 2 + f x 2 x 2 dx 22 + f x 2 d 2 x 2 . (4.3) Tương tự, ta cũng có: d 2g = g x1x1 dx12 + 2g x1x 2 dx1dx 2 + g x 2 x 2 dx 22 + g x 2 d 2 x 2 = 0. (4.4) Rút d2x2 từ ñẳng thức (4.4) và thế vào ñẳng thức (4.3), sẽ thu ñược:     fx fx d2z =  f x1x1 − 2 g x1x1  dx12 + 2  f x1x 2 − 2 g x1x 2  dx1dx 2     gx2 gx2       fx +  f x 2 x 2 − 2 g x 2 x 2  dx 22 .   g x2   Theo (4.1) chúng ta có: ( ) ( ) d2z = f x1x1 − λg x1x1 dx12 + 2 f x1x 2 − λg x1x 2 dx1dx 2 ( ) + f x 2 x 2 − λg x 2x 2 dx 22 = Zx x dx12 + 2Zx1x 2 dx1dx 2 + Zx 1 1 2x 2 dx 22 . Thay dx2 = −(gx1/gx2)dx1 vào biểu thức trên, thu ñược: 2 d z = Z x1x1 dx − 2Z x1x 2 2 1 g x1 g x2 dx + Z x 2 x 2 2 1 g 2x1 g ( = Z x1x1 g 2x 2 − 2Z x1x 2 g x1 g x 2 + Z x 2 x 2 g 2x1 2 x2 dx 12 ) dx g 2 1 2 x2 . Vậy dấu của d2z chính là dấu của tam thức bậc hai (Z x1x1 g 2x 2 − 2Z x1x 2 g x1 g x 2 + Z x 2 x 2 g 2x1 0 g x1 ) g x2 hay ngược với dấu của H = g x1 Z x1x1 Zx1x 2 . gx2 Z x1x 2 Zx 2x 2 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..80 0 g1 g2 Có thể viết ngắn gọn H = g1 g2 Z11 Z21 Z12 . Z22 ðịnh thức H ñược gọi là ñịnh thức Hess bao (Bordered Hessian). Nếu H > 0 thì ta có d2z < 0, hay ñiều kiện ñủ ñể có z ñạt Max ñược thỏa mãn, còn nếu H < 0 thì ta có z ñạt Min. Trong ví dụ trên ta có: 0 4 2 H = 4 0 1 = 16 > 0 . 2 1 0 Kết luận: Tại x1 = 8, x 2 = 14 thì hàm z ñạt giá trị cực ñại zmax = z = 128. Sau ñây chúng ta sẽ phân tích giá trị tối ưu λ = 4 của nhân tử Lagrange. Ý nghĩa của nhân tử Lagrange Quay lại bài toán tối ưu: z = f(x1, x2) → Max, với ñiều kiện ràng buộc g(x1, x2) = c. Chúng ta ñã xét bài toán cực ñại hóa hàm Lagrange Z = f(x1, x2) + λ[c – g(x1, x2)] = x1x2 + 2x1 + λ (60 – 4x1 – 2x2) → Max. ðiều kiện cần: Zλ = Zx1 = Zx 2 c − g(x , x ) = 0 1 2  = 0 ⇔ f x1 − λg x1 = 0  f x 2 − λg x 2 = 0 F1 (λ, x , x , c) = c − g(x , x ) = 0 1 2 1 2  2 ⇔ F (λ, x1 , x 2 , c) = f x1 − λg x1 = 0  3 F (λ, x1 , x 2 , c) = f x 2 − λg x 2 = 0 (4.5) Giả sử các hàm Fj(λ, x1, x2; c), với j = 1, 2, 3, ñều có các ñạo hàm riêng liên tục. Dễ thấy ñịnh thức Jacoby: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..81 ∂F1 ∂λ ∂F1 ∂x1 ∂F2 J = ∂λ ∂F2 ∂x1 ∂F3 ∂λ ∂F3 ∂x1 ∂F1 ∂x2 0 −gx1 −gx2 ∂F2 = −gx1 fx1x1 −λgx1x1 fx1x2 −λgx1x2 = H ≠ 0. ∂x2 −gx2 fx1x2 −λgx1x2 fx1x2 −λgx1x2 ∂F3 ∂x2 Lúc ñó, theo ñịnh lí hàm ẩn, nghiệm của (4.5) phụ thuộc vào tham số c ñược viết dưới dạng: λ = λ(c) , x1 = x1 (c) , x 2 = x 2 (c) trong một lân cận ñủ nhỏ của c. Gọi Z là giá trị tối ưu của Z, có thể viết: Z = f ( x1 , x 2 ) + λ c − g ( x1 , x 2 )  . Do ñó: dx dx dx dx  dZ dλ  = f x1 1 + f x 2 2 + [ c − g(x1 , x 2 )] + λ 1 − g x1 1 − g x 2 2  dc dc dc dc dc dc   ( = f x1 − λg x1 ) dxdc + ( f 1 x2 − λg x 2 ) dxdc + [c − g(x , x )] ddcλ + λ = λ . 2 1 2 Do chúng ta ñang giả sử ñiều kiện cần ñược thỏa mãn nên ba số hạng ñầu ở vế phải triệt tiêu. Vậy dZ dz = λ . Do Z = z nên cũng có =λ. dc dc Như vậy, λ cho phép ñánh giá ñược ảnh hưởng của sự thay ñổi của c ñến z . Chẳng hạn, do trong ví dụ trên λ = 4 nên khi c tăng lên 1 ñơn vị thì z có khuynh hướng tăng lên 4 ñơn vị. 2.2. ðiều kiện ñạt tới trạng thái cân bằng Xét bài toán z = f(x1, x2, ..., xn) → Max (Min) với ràng buộc: g(x1, x2, ..., xn) = c. ðiều kiện cần: Z = z + λ(c – g) = f + λ(c – g) ñạt Max (Min) là Zλ = Z1 = ... = Zn = 0. ðiều kiện ñủ: Giả sử ñiều kiện Zλ = Z1 = ... = Zn = 0 ñã ñược thỏa mãn. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..82 Xét ñịnh thức Jacoby hay cũng chính là ñịnh thức Hess bao: 0 g1 g2 ... gn g1 J = g2 ... gn Z11 Z21 ... Zn1 Z12 Z22 ... Zn 2 ... Z1n ... Z2n = H . ... ... ... Znn Có thể chứng minh ñược rằng khi H 3 > 0, H 4 < 0, ... với dấu của các ñịnh thức con chính từ cấp 3 trở lên thay ñổi lần lượt thì d2z có dấu âm, nên ta có zmax. Còn nếu H 3 < 0, H 4 < 0, ...tức là dấu các ñịnh thức con chính từ cấp 3 trở lên luôn âm thì d2z có dấu dương, nên ta có zmin. Một cách tổng quát hơn, xét bài toán tối ưu z = f(x1, x2, ..., xn) → Max (Min), với m ràng buộc mang dấu bằng: g1 (x1 , x 2 , ..., x n ) = c1  2 g (x1 , x 2 , ..., x n ) = c2  ... g m (x , x , ..., x ) = c .  1 2 n m Xét hàm Lagrange: Z = f (x1 , x 2 , ..., x n ) + λ1 (c1 − g1 ) + ... + λ m (cm − g m ) . ðiều kiện cần ñể có zmax (hay zmin) là: Zλ1 = ... = Zλm = Z1 = ... = Zn = 0 . ðiều kiện ñủ ñể có zmax (hay zmin) là: ðịnh thức Jacoby cũng chính là ñịnh thức Hess bao Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..83 J =H = 0 ... ... ... 0 ... g11 ... ... ... g1n ... 0 ... 0 g1m ... g nm g11 ... ... g1m ... ... Z11 ... Z1n ... ... ... g1n ... g nm Zz1 ... Znn thỏa mãn: – Các ñịnh thức con chính từ cấp m + 2: H m + 2 , H m +3 , ... lần lượt ñổi dấu với H m + 2 có dấu (–1)m+1. Lúc ñó ta có zmax. – Các ñịnh thức con chính từ cấp m + 2: H m + 2 , H m +3 , ... không ñổi dấu với H m + 2 có dấu (–1)m. Lúc ñó ta có có zmin. 2.3. Cực ñại hóa hàm thỏa dụng của người tiêu dùng Xét hàm thỏa dụng U = U(x, y) của người tiêu dùng phụ thuộc vào các biến quyết ñịnh x và y là mức tiêu dùng hai mặt hàng với các ñiều kiện: Ux > 0, Uy > 0 (có nghĩa là khi mức tiêu dùng từng mặt hàng tăng thì ñộ thỏa mãn của người tiêu dùng cũng tăng). Chúng ta có bài toán tối ưu sau: U(x, y) → Max, với ñiều kiện ràng buộc: xPx + yPy = B. ở ñây B là ngân quỹ tiêu dùng cho phép. Cần tìm ñiều kiện cần và ñủ ñể có Umax. Trước hết chúng ta thiết lập hàm Lagrange: Z = U( x , y) + λ (B − xPx − yPy ) . ðiều kiện cần: B − xPx − yPy = 0  Zλ = 0    Zx = 0 ⇔  U x − λPx = 0 Z = 0  U − λP = 0. y  y  y Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..84 Từ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ ñiều kiện trên suy ra: Ux Uy = =λ. Px Py ðiều kiện trên có thể phát biểu như sau: Muốn cực ñại hóa hàm thỏa dụng của người tiêu dùng cần phân bổ quỹ tiền hiện có sao cho tỉ số của các hàm thỏa dụng biên với giá cả tương ứng là bằng nhau cho tất cả các mặt hàng. Ngoài ra, có thể chứng minh ñược, λ là ảnh hưởng của B (ngân quỹ) tác ñộng lên giá trị thỏa dụng cực ñại: λ = dU . Tức là khi dB ngân quỹ tăng lên 1 ñơn vị thì U có khuynh hướng tăng lên λ ñơn vị. Phân tích ñường bàng quan ðường bàng quan là quỹ tích (tập hợp) tất cả các tổ hợp mức tiêu dùng hai mặt hàng (x, y) sao cho U = c cố ñịnh (xem hình IV.6). Lúc ñó cũng có dU = Uxdx + Uydy = 0. y ðường bàng quan y E O x ðường ngân quỹ x Hình IV.6 Như vậy x và y có thể thay thế lẫn nhau ñể giữ nguyên ñược mức thỏa dụng U của người tiêu dùng, hay U(x, y) − c = 0. Với một số ñiều kiện nhất ñịnh (như ñã phân tích trong ñịnh lí hàm ẩn), có thể coi y là Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..85 hàm ẩn của x, hay y = y(x). Do dU = Uxdx + Uydy = 0 nên trên ñường bàng quan ta có: U P dy =− x =− x dx Uy Py ðây là tỉ lệ thay thế biên giữa hai loại hàng hóa ñể giữ cho mức thỏa mãn U của người tiêu dùng cố ñịnh trên ñường bàng quan. Muốn ñạt Umax với ngân quỹ B ñã cho, cần xác ñịnh tiếp ñiểm (x, y ) của ñường ngân quỹ (xPx + yPy = B) với một trong các ñường bàng quan. Theo phân tích trên tại (x, y ) ta có U x Px = . U y Py ðiều kiện ñủ ñể có Umax ñạt tại (x , y ) : 0 H = Px Py Px U xx U xy Py U xy > 0 ⇔ H = 2Px Py U xy − Py2 U xx − Px2 U yy > 0 . U yy Sau ñây chúng ta tính d2y cho hàm ẩn y = y(x) (khi U(x, y) = c = dx 2 const): dU y  dU x d 2 y d  dy  d  U x  1  = = − Ux −  = − 2  Uy    2 dx  dx  dx  U y  dx dx  dx Uy  =− 1 U 2y Từ ñiều kiện   dy  dy    U y  U xx + U xy dx  − U x  U xy + U yy dx  .      U P dy = − x = − x , ta có: dx Uy Py 1 d2y =− 2 2 dx Uy    P  P   U y  U xx − U xy x  − U x  U xy − U yy x   .  Py  Py      Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..86 Thay U x = U y Px Py vào biểu thức trên và rút gọn, cuối cùng sẽ nhận ñược: 2 2 H d 2 y 2Px Py U xy − Py U xx − Px U yy . = = 2 2 dx U y Py U y Py2 Vậy nếu ñiều kiện ñủ ñược thỏa mãn thì d2y > 0. Do ñó ñường bàng dx 2 quan (là ñồ thị hàm lồi) có tính lõm xuống. Phân tích so sánh tĩnh Xét bài toán cực ñại hóa hàm thỏa dụng (với hai loại hàng hóa), thì ñiều kiện cần là: B − xPx − yPy = 0  Zλ = 0    Zx = 0 ⇔  U x (x, y) − λPx = 0 Z = 0  U (x, y) − λP = 0. y  y  y với Z = U(x, y) – (B – Pxx – Pyy). Có thể áp dụng ñịnh lí hàm ẩn, ñể có: F1 (λ, x, y, B, Px , Py ) = B − xPx − yPy = 0 λ = λ (B, Px , Py )   2 F (λ, x, y, B, Px , Py ) = U x (x, y) − λPx = 0 ⇒  x = x(B, Px , Py )  3  F (λ, x, y, B, Px , Py ) = U y (x, y) − λPy = 0  y = y(B, Px , Py ). Ma trận Jacoby là:  0  J =  − Px  − Py  − Px U xx U xy − Py   U xy  U yy  Theo ñịnh lí hàm ẩn sẽ có: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..87  0   −Px   − Py −Px U xx U xy  ∂x =   ∂B ⇒   ∂y  ∂B =   ∂F1   ∂λ       ∂B   −1 −Py   ∂B    ∂x   ∂F2    U xy  ×   = −  =0   ∂B   ∂B   0  U yy  ∂y  ∂F3           ∂B   ∂B  1 −Px J −Py U yy −1 − Px J −Py U xx . U xy U xy Dấu của các ñạo hàm riêng trên có thể dương hay âm tùy theo từng trường hợp. Cần nói tới một số thuật ngữ sau: Mặt hàng thứ nhất là mặt ∂x > 0 (tức là nếu ngân quỹ B tăng thì mức tiêu hàng thông thường nếu ∂B dùng cân bằng ñối với mặt hàng thứ nhất có khuynh hướng tăng), là thứ ∂x cấp nếu < 0 (tức là nếu ngân quỹ B tăng thì mức tiêu dùng cân bằng ∂B ñối với mặt hàng thứ nhất lại có khuynh hướng giảm). ðiều tương tự cũng ñược phát biểu cho với mặt hàng thứ hai. Ngoài ra, cũng có thể ∂x , phân tích các ảnh hưởng của giá cả ñến x , y nếu tiếp tục ñánh giá ∂Px ∂y ∂x ∂y , , . Tuy nhiên những phân tích kiểu này khá phức tạp nên ∂Px ∂Py ∂Py chúng ta không trình bày ở ñây, bạn ñọc quan tâm có thể xem thêm trong tài liệu tham khảo. 3. Hàm sản xuất và vấn ñề phân bố ñầu vào tối ưu 3.1. Hàm ñẳng cấp ðịnh nghĩa 5. Hàm z = f(x1, x2, ..., xn) ñược gọi là hàm ñẳng cấp bậc r hay hàm thuần nhất bậc r nếu f(jx1, jx2, ..., jxn) = jr f(x1, x2, ..., xn) ñúng với Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..88 giá trị j bất kỳ (giả sử rằng cả hai ñiểm (x1, x2, ..., xn) và (jx1, jx2, ..., jxn) ñều nằm trong miền xác ñịnh của hàm f). Ví dụ 14. Hàm f ( x, y, w ) = Hàm f(x, y, w) = x 2 2w 2 + là hàm ñẳng cấp bậc một. y x x 2w + là hàm ñẳng cấp bậc 0. 3x y Ví dụ 15. Xét hàm sản xuất có dạng Q = f(K, L) với Q là lượng sản xuất ñầu ra, K là mức vốn, còn L mức lao ñộng. Thông thường giả sử hàm sản xuất là hàm ñẳng cấp bậc một, tức là: f(jK, jL) = j×f(K, L). Các hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một còn ñược gọi là hàm sản xuất với hiệu suất không ñổi (constant – return – to – scale), tức là nếu chúng ta mở rộng quy mô sản xuất một cách cộng tính, bố trí j nhà máy cùng cỡ tương tự như nhà máy hiện có, thì mức sản xuất ñầu ra sẽ tăng j lần). Sau ñây là các tính chất của hàm sản xuất bậc một. Tính chất 1. Xét hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một: Q = f(K, L). Lúc ñó, hàm sản phẩm trung bình theo lao ñộng APPL = Q/L và hàm sản phẩm trung bình theo vốn APPK = Q/K là các hàm số của tỉ lệ mức vốn trên mức lao ñộng k = K/L. Chứng minh và APPL = Q f (K, L) K L = = f  ,  = f (k,1) = Φ (k) L L  L L APPK = Q Q L Φ (k) = × = . K L K k Tính chất 2. Cho hàm sản xuất Q = f(K, L) ñẳng cấp bậc một. Lúc ñó hàm sản phẩm biên theo lao ñộng MPPL và hàm sản phẩm biên theo vốn MPPK cũng là các hàm của tỉ lệ mức vốn trên mức lao ñộng k = K/L. Chứng minh Ta có: MPPK = ∂Q ∂ ∂ = [ LΦ(k)] = L (Φ(k)) ∂K ∂K ∂K Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..89 = LdΦ (k) ∂k 1 × = LΦ′(k) × = Φ′(k) . dk L ∂K Tương tự ta tính ñược: MPPL = ∂Q ∂ d ∂k = (LΦ (k)) = Φ (k) + L [ Φ (k) ] × ∂L ∂L dk ∂L  K = Φ (k) + LΦ′(k) ×  − 2  = Φ (k) − kΦ′(k) .  L  Tính chất 3 (ðịnh lí Euler). Xét hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một: Q = f(K, L). Lúc ñó ta có: K ∂Q ∂Q +L = Q. ∂K ∂L Chứng minh K ∂Q ∂Q +L = K × Φ′(k) + L(Φ (k) − kΦ '(k)) ∂K ∂L = ( K × Φ′(k) − LkΦ '(k) ) + LΦ(k) = LΦ(k) = Q . Phân tích ý nghĩa của ñịnh lí Euler: Giả sử chúng ta ñịnh lượng K, L và Q theo ñơn vị tiền tệ. Nếu trả công ñóng góp vốn K theo tỉ lệ quy ñịnh bởi hàm sản phẩm biên theo vốn MPPK, và nếu trả công ñóng góp lao ñộng theo tỉ lệ quy ñịnh bởi hàm sản phẩm biên theo lao ñộng MPPL thì tổng giá trị sản phẩm làm ra cũng bị “vét cạn” theo tỉ lệ phân phối (distributive shares) trên ñây. Do ñó, lãi dòng về mặt kinh tế sẽ còn lại bằng 0. ðây là ñiểm hạn chế của hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một hay hàm sản xuất hiệu suất không ñổi. ðặc biệt trong ñiều kiện cạnh tranh không hoàn hảo, tiền trả công không nhất thiết tuân theo các tỉ lệ MPPK và MPPL, thì ñịnh lí Euler cũng không ñóng vai trò gì trong bức tranh phân phối tổng giá trị sản phẩm làm ra. Tuy nhiên, do tính chất dễ áp dụng và tính toán ñơn giản, hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một vẫn ñược sử dụng rộng rãi trong các phân tích kinh tế. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..90 3.2. Hàm sản xuất dạng Cobb–Douglas Hàm sản xuất Cobb–Douglas phụ thuộc vào các ñầu vào là mức vốn ñầu tư K và lượng lao ñộng L có dạng Q = f (K, L) = A × K α × Lβ , với ñiều kiện α > 0 và β > 0. Ở ñây, A là hệ số công nghệ (ñược coi là hằng số tại thời ñiểm t nào ñó), Q là mức sản xuất ñầu ra. Có thể chứng minh ñược, hàm sản xuất ñã cho là hàm ñẳng cấp bậc α + β vì: f ( jK, jL) = A(Kj)α (Lj)β = jα+β AK α Lβ = jα+β AK α Lβ = jα+βf (K, L) . Bằng cách xét hàm ẩn K = K(L) ñối với các ñiểm (K, L) nằm trên cùng một ñường ñồng mức sản xuất Q = Q0 = const (tức là F(K, L) = Q(K, L) – Q0 = 0), có thể áp dụng ñịnh lí hàm ẩn ñể chứng minh ñược: dK ∂F / ∂L β/L βK =− =− =− <0 dL ∂F / ∂K α/K αL và d 2 K d  βK  β d K β 1  dK  = L − K  > 0. − =−  =− 2 2  dL  αL  α dL  L  α L  dL dL  Do ñó, ñường ñồng mức của hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas có dạng lõm xuống. Xét trường hợp α + β = 1 ta có hàm sản xuất Q = AK α L1−α . ðây là hàm ñẳng cấp bậc một. Chúng ta ñi kiểm tra lại kết quả của ñịnh lí Euler. Ta có: α APPL = Q AK α L1−α K = = A  = Ak α , L L L APPK = Q Q L Ak α = × = = Ak α−1 , K L K k MPPL = Aαk α −1 , MPPK = A(1 − α)k α . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..91 Do ñó: K ∂Q ∂Q +L = KAαK α−1L1−α + LAK α (1 − α)L−α ∂K ∂L = A αK α L1−α + (1 − α)K α L1−α  = AK α L1−α = Q Ta có nhận xét: K (∂Q / ∂K ) L(∂Q / ∂L) = α còn = 1 − α , nên có thể Q Q kết luận rằng nếu trả công vốn K và lao ñộng L theo các tỉ lệ tương ứng MPPK và MPPL thì các tỉ lệ phân chia tương ñối (relative share) của tổng giá trị sản phẩm làm ra Q cho K và L sẽ ñúng bằng các số mũ α và 1 − α. Mặt khác có thể thấy εQL = εQK ∂Q / Q ∂Q / ∂L A(1 − α)K α × L−α = = = 1− α ∂L / L Q/L AK α × L−α ∂Q / Q ∂Q / ∂K AαK α−1L1−α = = = = α. Q/K ∂K / K AK α−1L1−α Vậy hệ số co giãn của sản lượng Q theo K (vốn) chính là lũy thừa α của K trong biểu thức Q = AK α L1−α , còn theo L (lao ñộng) là 1 − α. Ví dụ 16. Xét hàm sản xuất Q = 100×K0,6L0,4 có ε QK = 0,6 và εQL = 0, 4 . ðiều này có nghĩa rằng: Khi K tăng thêm 1% thì Q tăng thêm 0,6% , còn nếu L tăng thêm 1% thì Q tăng thêm 0,4%. Ví dụ 17. Xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas tổng quát với 3 biến ñầu vào trong một mô hình chăn nuôi: Q = Ax1α x β2 x 3δ tức là Q phụ thuộc vào các ñầu vào x1 (chẳng hạn là tiền mua thức ăn ñể chăn nuôi), x2 (tiền mua giống), x3 (tiền trả công lao ñộng). Hãy trả lời các câu hỏi sau ñây: a) Với ñiều kiện nào của α, β, δ thì hàm sản xuất trên ñây là hiệu suất không ñổi hay ñẳng cấp bậc một? Ý nghĩa kinh tế của ñiều kiện này là gì? Bạn ñọc tự tìm hiểu câu trả lời. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..92 b) Tìm các hệ số co giãn εQ1, εQ2, εQ3. εQ1 = r hàm biên ∂Q / Q ∂Q / ∂x1 = = = Q = α, Q / x1 hàm trung bình rx 1 ∂x1 / x1 với rQ và rx1 là các tốc ñộ tăng trưởng của Q và x1. Tương tự, ta có εQ2 = β, εQ3 = δ . c) Làm thế nào ñể tìm ñược hàm sản xuất Q = Ax1α x β2 x 3δ theo dạng trên ñây? (không xét ñiều kiện ñẳng cấp bậc một). ðể trả lời câu hỏi này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chọn mẫu trong thống kê ñể tìm hồi quy thực nghiệm dạng mũ: Q = Ax1α x β2 x 3δ hay, sau khi lôgarit hóa, dạng tuyến tính ñối với lnx1, lnx2, lnx3: ln Q = ln A + α ln x1 + β ln x 2 + δ ln x 3 . Tiếp theo có thể xét bài toán tối ưu ñể tìm cơ cấu ñầu tư tối ưu: Q = Ax1α x β2 x 3δ → Max , với ràng buộc: x1 + x2 + x3 = B (B là tổng vốn ñầu tư). Ví dụ 18. Tìm các mức ñầu vào tối ưu cho hàm sản xuất Cobb – Douglas tổng quát n biến ñầu vào: x1, x2, ..., xn ñể ñạt ñược lợi nhuận tối ña. Xét hàm sản xuất dạng Cobb –Douglas: Y = Ax1α1 x 2α2 ...x n αn ⇒ Doanh thu: PY = PAx1α1 x 2α2 ...x n αn , (P là giá ñơn vị sản phẩm ñầu ra). ⇒ Lợi nhuận cần tối ña: Π = PY − (x1P1 + x 2 P2 + ... + x n Pn ) → Max (Pi là giá ñơn vị ñầu vào thứ i). ⇒ ðiều kiện cần: ∂Π ∂Π ∂Π = = ... = = 0. ∂x1 ∂x 2 ∂x n Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..93 ∂Y  ∂Π  ∂x = P ∂x − P1 = 0 1 PAα1x1α1 −1x 2α2 ...x n α n = P1  1  ∂Y  ∂Π α α −1 α =P − P2 = 0 PAα 2 x1 1 x 2 ...x n n = P2  ∂x 2 ⇒  ∂x 2 ⇒ ... ... PAα x α1 x α2 ...x αn −1 = P .  n 1 1 n  ∂Y  ∂Π = P − P = 0. n  ∂x ∂x n  n PAα1x1α1 x 2α 2 ...x n αn = P1x1  α α α PAα 2 x1 1 x 2 2 ...x n n = P2 x 2 ⇒ ... PAα x α1 x α 2 ...x αn = P x . n 1 2 n n n  ⇒ (4.6) x i αi Pj = , ∀i ≠ j . x j α j Pi Thay biểu thức trên vào (4.6) ta có: α PAα1x1α1  x1α 2 P1  2  x1α n P1    ...    α1 P2   α1 Pn  α +α +...+α n −1 1 2 ⇒ x1 ⇒ x1−β αn = P1x1 P11−α 2 −...−α n = α α 2 +...+αn −1 P2α 2 ...Pn α n α2 αn 1 PAα 2 ...α n P1α1 +β α1−β−α1 = P α 2 Pn α n α2 αn 2 PA α 2 ...α n αn   α1 +β α 2 β β ⇒ x1 =  P1 P2 ...Pn β    ⇒ x1 = ( PA ) 1 β P1 α1 +β β α1 α1 +β β P2 α2 α2 β α2 β −1 ( PA ) ...α n ...Pn αn β 1 β α1 −β−α1 −β α2 +α 2 β ...α n αn βn αn β . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..94 ⇒ x1 = ( PA ) 1 β α1  α1  β    P1  +1 α2 αn  α2  β  αn  β   ...    P2   Pn  Lập luận tương tự cho ∀i = 2, 3, ..., n, chúng ta có: x i = ( PA ) 1 β α1 αi  α1  β  αi  β   ...    p1   Pi  +1 αn α  β ...  n  .  Pn  Như vậy chúng ta ñã xác ñịnh ñược các mức ñầu vào tối ưu (ñiều kiện ñủ dành cho bạn ñọc tự kiểm nghiệm). 3.3. Xác ñịnh các tổ hợp các ñầu vào với chi phí tối thiểu Xét hàm sản xuất Q = Q(a, b) biểu thị mức sản phẩm ñầu ra khi sử dụng hai dạng nguyên liệu dự trữ ñầu vào ở các mức a và b. Gọi C = aPa + bPb là hàm chi phí phải bỏ ra, với Pa và Pb là giá thành mỗi ñơn vị dự trữ ñầu vào. Bài toán ñặt ra là cần cực tiểu hóa hàm chi phí C = aPa + bPb với ràng buộc Q(a, b) = Q0 (tức là cần sản xuất ñúng một lượng sản phẩm nhất ñịnh ở mức Q0). Xét ñiều kiện cần: Thiết lập hàm Lagrange Z = aPa + bPb + µ(Q0 – Q(a, b)) với µ là nhân tử Lagrange. Cần có: Zµ = Q0 – Q(a, b) = 0 Za = Pa – µQa = 0 ⇒ Pa P = b =µ Qa Q b Zb = Pb – µQb = 0. (tỉ số của các giá ñầu vào chia cho hàm sản xuất biên theo các ñầu vào là như nhau). Vậy Pa Q a (vế phải không kể dấu là tỉ số thay thế kĩ thuật biên = Pb Q b của a ñối với b (MRTSab) cũng chính là ñộ dốc không kể dấu của ñường Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..95 ñồng mức sản xuất, còn vế trái là ñộ dốc hay hệ số góc không kể dấu của ñường ñẳng chi phí). Do ñó, về mặt hình học, mức tổ hợp các nguyên liệu dự trữ ñầu vào ( a , b ) tối ưu, tức là làm cho hàm chi phí ñạt cực tiểu ñược xác ñịnh như trên hình IV.7. b ðường ñồng mức sản xuất Q(a, b) = Q0 E b O ðường ñẳng chi phí C = aPa + bPb = C0 a a Hình IV.7 Thật vậy, xét ñường chi phí C = aPa + bPb ở mức C0 nào ñó. Biểu thị C P b qua a ta ñược b = 0 − a a là ñường thẳng ñẳng chi phí với hệ số góc Pb Pb − Pa . Cần tịnh tiến ñường ñẳng chi phí tới vị trí tiếp tuyến của ñường Pb ñồng mức sản xuất Q = Q0 ñể xác ñịnh tổ hợp ñầu vào tối ưu ( a , b ) . Xét ñiều kiện ñủ: Xét dấu của ñịnh thức Hess bao Zµµ H = Zaµ Z bµ Zµa Zaa Zba Zµb 0 Zab = Qa Zbb Q b Qa −µQaa −µQab Qb −µQab = J < 0 −µQ bb ⇔ H = µ(Qaa Q 2b − 2Qab Qa Q b + Q bb Qa2 ) < 0, µ > 0. Lúc này có thể tính ñược d 2b (với b là hàm ẩn của a trên ñường da 2 Q(a,b) = Qo) như sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..96 d 2b − 1 = 3 (Q aa Q 2b − 2Q ab Q a Q b + Q bb Q a2 ) 2 Qb da (ñể chứng minh công thức này, xem lại mục 1.3, ví dụ 12). Giả sử rằng Qb > 0 thì dấu của d 2b là dương, nên ñường ñồng mức da 2 sản xuất lõm xuống. Xét ñường mở rộng mức sản lượng (expansion path) là ñường tạo nên từ các ñiểm (a, b) khi mức sản xuất ñầu ra thay ñổi tăng dần từ Q0 sang Q1 rồi sang Q2. Trên hình IV.8, ñường mở rộng sản xuất ñược tạo nên từ các ñiểm E, E’, E’’... b Q2 Q1 Q0 E O E’’ E’ Hình IV.8 a Xét trường hợp hàm sản xuất có dạng Cobb–Douglas Q = Q(a, b) = Aa α bβ ( α, β > 0 và không nhất thiết tổng α + β phải bằng 1). Cần tìm tổ hợp tối ưu ñầu vào (a, b) sao cho C ñạt Min với Q = Q0. Theo ñiều kiện ñã phân tích ở trên, ta có: Pa Q a α b b βP = = ⇒ = a = const . Pb Q b β a a αPb Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..97 Vậy trong trường hợp này ñường mở rộng là ñường thẳng βP b= a a. αPb Xét trường hợp hàm sản xuất dạng H = h[Q(a, b)], trong ñó h là hàm ñồng tản khuyếch ñại với ñiều kiện h ′(Q) > 0 . Xét ñường ñồng mức H = H0. Lúc ñó, ñộ dốc của ñường ñồng mức này là: − Ha h ′(Q)Qa Q =− =− a . Hb h ′(Q)Q b Qb ðộ dốc này cũng chính là ñộ dốc của ñường ñồng mức của Q(a, b). Như vậy, nếu Q có dạng Cobb – Douglas và hàm sản xuất có dạng ñồng tản khuyếch ñại H = h[Q(a, b)] thì ñường mở rộng mức sản lượng là quỹ tích các ñiểm (a, b) sao cho C = aPa + bPb → Min với ñiều kiện H(a, b) = const vẫn là ñường thẳng có phương trình như ñã biết b= β Pa a . Trong trường hợp này, mức sản lượng H0 có tăng hay giảm αPb hoàn toàn không ảnh hưởng ñến tỉ số ∂(b / a ) ∂H 0 ⇒ =0⇒ a . Vậy ta có b 1  ∂b ∂a  a× − b× =0 2  ∂H 0  a  ∂H 0 ∂ a / ∂H 0 ∂b / ∂H 0 = ⇒ εaH = εbH . 0 0 a / H0 b / H0 Do ñó, khi H0 tăng 1% thì a, b ñều tăng như nhau do các hệ số co giãn εaH , εbH luôn bằng nhau. 0 0 Hệ số co giãn thay thế Hệ số co giãn σ giữa P b và a ñược gọi là hệ số co giãn thay thế và a Pb ñược tính theo công thức: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..98 d(b / a) d(b / a) d(Pa / Pb ) σ= b/a = d(Pa / Pb ) b/a Pa / Pb Pa / Pb Nếu hàm sản xuất có dạng Cobb – Douglas Q = Aa α bβ thì theo các phân tích trên chúng ta có b βPa = . Phương trình này có dạng y = mx, a αP b dy/dx = y/x = m. Vậy σ = 1. ðiều này có nghĩa rằng khi Pa tăng 1% thì Pb b cũng tăng 1% (bạn ñọc nên tự phân tích thêm về kết quả này). a 3.4. Hàm sản xuất dạng CES (Hệ số co giãn thay thế không ñổi – Constant Elasticity of Substitution) Hàm CES là hàm sản xuất có hệ số co giãn thay thế không ñổi, không nhất thiết bằng 1, ñược xác ñịnh bởi biểu thức sau ñây: Q = A δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ    − (1/ ρ) . Trong ñó: A > 0 (hệ số công nghệ), 0 < δ < 1, −1 < ρ ≠ 0. δ ñược gọi là tham số phân phối (giống như tham số α trong hàm Cobb – Douglas). ρ ñược gọi là tham số thay thế (giữa các ñầu vào). Tính chất của hàm CES – Có thể chứng minh rằng hàm CES là hàm ñẳng cấp bậc một (hàm hiệu suất không ñổi) nên nó thỏa mãn ñịnh lí Euler. – Các ñường ñồng mức sinh ra bởi CES có ñộ dốc âm. Thật vậy, ta có: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..99 1+ρ 1− δ  Q  QL =   Aρ  L  1+ρ δ Q > 0 và Q K =   Aρ  K  > 0 nên Q dK =− L <0 dL QK (Bạn ñọc hãy tự kiểm nghiệm ñiều này). Nếu ρ → 0 thì khi ñó có K × QK L × QL = 1 − δ và = δ là các tỉ lệ Q Q phân chia tương ñối (relative distributive share) tổng giá trị sản phẩm ñầu ra, do: K × QK L × QL + = 1 hay K×QK + L×QL = Q. Q Q ðó chính là lí do ñể gọi δ là tham số phân phối. K Q(K,L) = Q0 O L Hình IV.9 Trên ñường Q = Q0, K là hàm ẩn của L, và Q dK = − L < 0 . Ngoài ra dL QK d 2K > 0. Do ñó ñường ñồng mức sản xuất có dạng dL2 lõm xuống (xem hình IV.9). có thể chứng tỏ rằng – Từ các biểu thức tính QK và QL, dễ thấy: εQK = ρ ∂Q / Q ∂Q / ∂K δ Q = =   Q/K ∂K / K Aρ  K  ρ và ε QL = 1− ρ  Q    . Aρ  L  Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..100 Muốn tìm tổ hợp ñầu vào tối ưu (K, L) sao cho C = PKK +PLL nhỏ nhất với ràng buộc Q(K, L) = Q0 = const, cần phải có: 1+ρ PL Q L P 1− δ  K  = ⇒ L =   PK Q K δ L PK 1 1+ρ K  δ =  L  1− δ  1  PL   PK 1+ρ   1  P  1+ρ K ⇒ = c L  . L  PK  Tìm ñộ co giãn thay thế σ của K / L theo PL / PK : − ρ 1  PL  1+ρ d(K / L) d(K / L) c   1 + ρ  PK  d(PL / PK ) 1 K / L = = . σ= = ρ d(PL / PK ) K/L 1+ ρ −  P  1+ρ PL / PK PL / PK c L   PK  Kết luận. σ = 1/(1 + ρ) = const. ðây cũng là lí do ñể gọi ρ là tham số thay thế (giữa các ñầu vào) và tên của hàm sản xuất là CES (hệ số co giãn thay thế không ñổi) là hợp lí. Ta thấy: – Với –1 < ρ < 0 ⇒ σ >1⇒ – Nếu ρ = 0 ⇒ σ = 1 ⇒ K giãn nhanh (tăng trưởng mạnh) hơn L PL . PK P K giãn ñều như L . L PK – Còn nếu ρ > 0 ⇒ 0 < σ <1 ⇒ P K giãn chậm hơn L . L PK Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..101 Câu hỏi 1: Nếu ρ = 0 thì σ = 1 như phân tích trên ñây. Tuy nhiên ñiều này chỉ có ý nghĩa mang tính chất “giới hạn”, tức là khi ρ → 0 hàm CES sẽ “trở thành” hàm Cobb – Douglas. Thật vậy, ta cần chứng minh LimQ = AK δ L1−δ . ρ →0 Trước hết logarit hóa tỉ số Q/A, chúng ta có: ln [ Q = ln δK −ρ + (1 − δ )L−ρ A ] − 1 ρ =− [ ] ln δK −ρ + (1 − δ )L−ρ . ρ Áp dụng quy tắc L’Hopital ñể tìm giới hạn sẽ nhận ñược:  ln δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ    Q  Lim  ln  = Lim  −    ρ ρ→ 0  A  ρ→ 0   − ln δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ    = Lim 1 ρ→ 0 Lim ρ→0 δK −ρ ′ −1 × − δK −ρ ln K − (1 − δ)L−ρ ln L + (1 − δ)L−ρ ( ) = δ ln K + (1 − δ) ln L . Vậy Lim ( ln Q / A ) = ln (K δ L(1−δ ) ) hay LimQ = AK δ L1−δ là ñiều cần ρ→ 0 ρ→0 chứng minh. Câu hỏi 2: Xét hàm sản xuất CES, hãy tìm Lim Q và phân tích ý ρ→ −1 nghĩa kinh tế. Dễ thấy khi ρ → –1 thì ñộ co giãn thay thế σ = cả khi PL PK tăng 0,00001% thì 1 → ∞. Vậy ngay 1+ ρ K cũng tăng rất nhiều lần (≈ +∞ lần) nên L K và L không thể thay thế cho nhau. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..102 −r / ρ Câu hỏi 3: Xét hàm sản xuất dạng Q =A δK −ρ + (1 − δ)L−ρ  .   Hãy chứng minh rằng tuỳ theo giá trị của r > 0, hàm sản xuất Q có thể có hiệu suất tăng hay giảm. Bài tập Chương IV Bài 1. Cho biết các hàm chi phí toàn phần và hàm cầu của một hãng sản xuất là: C = 13 Q3 – 7Q2 + 111Q + 50, Q = 100 – P. a) Hãy biểu diễn tổng doanh thu R và tổng lợi nhuận π qua Q. b) Tìm mức sản phẩm Q làm tổng lợi nhuận lớn nhất. Bài 2. a) Tính giá trị của lượng tiền ñầu tư ban ñầu / vốn gốc là 2000 USD sau 5 năm, biết lãi suất r = 8% trong các trường hợp: Lãi gộp hình thành rời rạc theo năm, nửa năm, quý và hình thành liên tục. b) Gọi lãi suất thực tế khi tính lãi gộp là lãi suất tương ñương mà ngân hàng phải trả theo năm. Chẳng hạn, lãi suất thực tế khi lãi gộp hình thành rời rạc theo nửa năm với r = 8% là: re = (1 + r/2)2 – 1 = (1 + 4%)2 – 1 = 8.16%. Hãy kiểm tra lại các kết quả thu ñược ở câu a) bằng cách sử dụng lãi suất thực tế re. Bài 3. Giả sử rằng dân số tăng trưởng tuân theo hàm H = H0×2bt và tiêu dùng quốc dân tăng trưởng tuân theo hàm C = C0eat. Hãy tìm tốc ñộ tăng trưởng dân số, tốc ñộ tăng trưởng tiêu dùng quốc dân và tốc ñộ tăng trưởng tiêu dùng theo ñầu người. Bài 4. Một hãng sản xuất hai loại hàng hóa với các hàm cầu và hàm chi phí sau ñây: Q1 = 40 – 2P1 – P2, Q2 = 35 – P1 – P2, C = Q12 + 2Q22 + 10. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..103 a) Hãy tìm các mức ñầu ra thỏa mãn ñiều kiện cần ñể có lợi nhuận cực ñại. b) Hãy kiểm nghiệm ñiều kiện ñủ và cho biết bài toán có cực ñại toàn cục duy nhất hay không? c) Cho biết mức lợi nhuận cực ñại mà hãng có thể ñạt ñược là bao nhiêu? Bài 5. Một hãng sản xuất một mặt hàng ñộc quyền ñược bán trên 3 thị trường phân biệt giá cả. Cho biết các ñường giá cả trên ba thị trường là P1= 63 – 4Q1, P2 = 105 – 5Q2, P3 = 73 – 6Q3, còn hàm chi phí sản xuất là C = 20 + 15Q + Q2, với Q = Q1 + Q2 + Q3. a) Hãy xác ñịnh các hệ số co giãn ñiểm εdi của cầu tại các thị trường i = 1, 2, 3. Thị trường nào có hệ số co giãn ñiểm của cầu là thấp nhất? b) Hãy xác ñịnh các mức giá cân bằng P 1, P 2 và P 3 ñể hãng ñạt lợi nhuận π cực ñại. Bài 6. Xét ví dụ 12. Nếu thời gian sản xuất là t quý, i là lãi suất trả theo quý, thì lợi nhuận hãng sản xuất ñạt ñược là: π = P0Q(a, b)(1 + i)− t − (aPa 0 + bPb0 ) . Hãy thực hiện phân tích so sánh tĩnh ñể ñánh giá khuynh hướng biến ñộng của a và b khi P0 thay ñổi. Bài 7. Cần cực ñại hóa hàm thỏa dụng của người tiêu dùng có dạng U = (x + 2)(y + 1) với ñiều kiện ràng buộc về ngân quỹ: xPx + yPy = B. a) Hãy viết hàm Lagrange cho bài toán tối ưu trên. b) Biểu thị các mức cân bằng x , y và λ theo Px, Py và B. c) Hãy kiểm nghiệm ñiều kiện ñủ ñể ñạt mức thỏa dụng cực ñại. d) Hãy tiến hành phân tích so sánh tĩnh ñể xác ñịnh ∂x ∂y ∂x , , , ∂B ∂B ∂Px ∂y ∂x ∂y , và . Cho biết có mặt hàng nào trong hai mặt hàng là loại ∂Px ∂Py ∂Py Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..104 hàng thứ cấp? e) Tìm x , y và λ khi Px = 4, Py = 6 và B = 130. Bài 8. Xét hàm sản xuất với hiệu suất không ñổi Q = f(K, L). Hãy chứng tỏ rằng: a) Nếu MPPK = 0 thì APPL = MPPL. b) Nếu MPPL = 0 thì APPK = MPPK. Bài 9. Cho Q có dạng Cobb – Douglas: Q = Q(a, b) = Aa α bβ với α, β > 0 và không nhất thiết tổng α + β phải bằng 1. Xét hàm sản xuất có dạng ñồng tản khuyếch ñại H = h[Q(a, b)]. Hãy kiểm nghiệm rằng: a) ðộ dốc của các ñường ñồng mức H = H0 tại (a, b) không thay ñổi nếu chọn H = Q2 (trường hợp 2) thay cho H = eQ (trường hợp 1). b) Trong cả hai trường hợp trên ñường mở rộng mức sản lượng là βP ñường thẳng có phương trình như ñã biết b = a a . αPb −r / ρ Bài 10. Xét hàm sản xuất dạng Q =A δK −ρ + (1 − δ)L−ρ  . Hãy   chứng minh rằng tuỳ theo giá trị của r > 0, hàm sản xuất Q có thể có hiệu suất tăng hay giảm. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..105 Chương V PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 1. Khái niệm phân tích cân bằng ñộng 1.1. Một số ñịnh nghĩa Các biến kinh tế thường nhận các giá trị khác nhau tùy vào thời ñiểm cụ thể ñược xem xét. Chẳng hạn, giá cả của một mặt hàng nào ñó có tính biến ñộng theo thời gian, tức là giá cả là một hàm của thời gian: P = P(t). Thuật ngữ “kinh tế ñộng” (economic dynamics) dùng ñể chỉ lĩnh vực phân tích kinh tế mà trong ñó mục tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ ñạo thời gian (time path) của các biến kinh tế, nhằm xác ñịnh xem các biến có hội tụ ñến một mức giá trị (cân bằng) nhất ñịnh không sau một khoảng thời gian ñủ dài (thường ñược kí hiệu là t → +∞ ). Trên hình V.1, ta thấy lim P(t) = P và quỹ ñạo thời gian của giá cả tiệm cận t →∞ dần tới mức giá cân bằng P . Trong việc phân tích kinh tế ñộng, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế không nhất thiết ñược coi là luôn ñạt tới ñược, mà chỉ có thể ñạt tới ñược với một số ñiều kiện nhất ñịnh. Phân tích cân bằng ñộng là một lĩnh vực quan trọng của phân tích kinh tế ñộng nhằm tìm ra các ñiều kiện ñó. Một cách tổng quát hơn, có thể nghiên cứu sự hội tụ của quỹ ñạo thời gian của biến kinh tế tới một quỹ ñạo cân bằng, chẳng hạn quỹ ñạo thời gian x(t) của biến kinh tế x tiệm cận dần tới một quỹ ñạo cân bằng x*(t) có tính tối ưu theo một nghĩa nào ñó. Trong khuôn khổ của giáo trình này chúng ta sẽ chỉ ñề cập tới trường hợp khi x*(t) ≡ x = const. Lúc này ta nói x là mức cân bằng liên thời (cân bằng theo thời gian – intertemporal equilibrium) có tính dừng (stationary) của biến kinh tế ñược xem xét. Nếu với một số ñiều kiện nhất ñịnh x(t) hội tụ tới x thì ta nói x là mức cân bằng liên thời ổn ñịnh ñộng (dynamically stable) và có tính dừng, hay x(t) có tính ổn ñịnh ñộng. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..106 P(t) P O t Hình V.1 Trong phân tích cân bằng ñộng, yếu tố thời gian hay thời ñiểm là rất quan trọng. Chính vì vậy, các biến kinh tế ñược phân chia làm hai loại: – Biến liên tục là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách liên tục. – Biến rời rạc là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách rời rạc t = t0, t1, t2, ... Trên hình V.1, biến giá cả P(t) của một ñơn vị hàng hóa là biến liên tục, tại mỗi thời ñiểm t, giá một ñơn vị hàng là P(t). Sau một thời gian ñủ dài, giá P(t) sẽ ổn ñịnh tới mức giá cân bằng P . Cần chú ý rằng, trong trường hợp ñang xét quỹ ñạo thời gian P(t) (còn ñược gọi là ñường biến ñộng giá cả) có tính dao ñộng xung quanh mức giá cân bằng P . Trong một số trường hợp khác, ñường biến ñộng giá cả có thể không có tính dao ñộng mà tiệm cận tới P từ dưới lên hoặc từ trên xuống. ðể thực hiện phân tích cân bằng ñộng có thể sử dụng các công cụ của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân ... 1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình vi phân Ví dụ 1. Bài toán tăng trưởng dân số. dH −1/ 2 dH 1 =t ⇔ = , trong ñó H = H(t) dt dt t dt là dân số tại thời ñiểm t. Giải phương trình vi phân trên: ∫ dH = ∫ t Xét phương trình vi phân: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..107 ⇔ H(t) = 2 t + c , với c = H(0) là dân số tại thời ñiểm t = 0. Vậy H(t) = 2 t + H(0). Cho H(0) = 100 thì H ( t ) = 2 t + 100 . Phương trình H ( t ) = 2 t + 100 xác ñịnh quỹ ñạo thời gian của biến dân số H(t). Ví dụ 2. Bài toán tìm hàm chi phí biết chi phí biên. Tìm hàm chi phí toàn phần C = C(Q) phụ thuộc vào mức sản phẩm ñầu ra, cho biết hàm chi phí biên MC = C/(Q) = 2e0,2Q và chi phí cố ñịnh FC = 90. Ta có: dC = 2e0,2Q ⇔ dC = 2e0,2QdQ ⇔ ∫ dC = ∫ 2e0,2QdQ dQ ⇔ C = 10e0,2Q + k . Với FC = C(0) = 90 thì k = C(0) – 10e0 = 80, nên C(Q) = 10e0,2Q + 80. Ví dụ 3. Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên. Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save) phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y–0,5, với Y là thu nhập và S = S(Y) là hàm tiết kiệm. Ngoài ra cho biết ñiều kiện ban ñầu S = 0 khi Y = 81. Lúc ñó chúng ta sẽ có: dS = (0,3 – 0,1Y–0,5)dY ⇔ S(Y) = 0,5 ∫ ( 0,3 − 0,1Y )dY = 0,3Y – 0,2Y + c. −0,5 Từ ñiều kiện S(81) = 0 suy ra c = –22,5. Vậy S(Y) = 0,3Y – 0,2Y0,5 – 22,5. Ví dụ 4. Bài toán ñầu tư và hình thành vốn. Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (ñây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I = I(t), cường ñộ ñầu tư thuần (ñây là khái niệm dòng – flow concept). Chẳng hạn, nếu sau 2 năm (24 tháng) vốn tích trữ là 2,4 triệu USD thì ta viết K(24) = 2,4. Giả sử cường ñộ ñầu tư là 100000 USD / tháng, thì dòng ñầu tư có cường ñộ I(t) = 100000 USD = const. Vốn tích trữ K và cường ñộ ñầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương dK = I(t) . Vế trái là tốc ñộ biến thiên của vốn tích trữ, còn trình vi phân: dt Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..108 vế phải là cường ñộ ñầu tư. Biết hàm I(t), có thể tìm ñược K(t) theo công thức (xem hình V.2): ∫ dK = ∫ I(t)dt ⇒ K = K(t) + c. I I = I(t) t0 ∫ I(t)dt = K(t 0 ) − K(0) 0 O t0 Hình V.2 t Chẳng hạn cho I(t) = 3 t . Gọi K(0) là vốn tích trữ ñược tại t = 0 thì K(t) = ∫ I(t)dt = 2t 3 / 2 + c, trong ñó c = K(0). Do ñó K(t) = 2t 3 / 2 + K(0). áp dụng tích phân xác ñịnh có thể tìm ñược lượng vốn tích lũy trong b khoảng thời gian [a, b] là ∫ I(t)dt = b K(t) a = K(b) − K(a) . Nếu cho a I(t) = 100000 USD / tháng = const thì vốn tích trữ sau 3 tháng là: 3 3 0 0 K = ∫ I(t)dt = ∫ 100000dt = 300000 USD. Ví dụ 5. Tìm giá trị hiện tại của một dòng tiền. Trước hết cần nhắc lại một số công thức quy ñổi về giá trị hiện tại ñã học trong chương IV. Gọi V(t) là giá trị sẽ có ñược tại thời ñiểm t trong tương lai. Nếu quy ñổi căn cứ lãi hình thành rời rạc thì giá trị hiện tại của V(t) là V0 = V(t)(1 + i)–t với i là lãi suất ngân hàng / chu kỳ thời gian. Còn nếu quy ñổi căn cứ lãi hình thành liên tục thì V0 = V(t)e–rt với r là lãi suất cho một chu kỳ thời gian. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..109 Chẳng hạn, nếu sau 8 năm ta sẽ nhận ñược một khoản tiền ñầu tư là V(8) = 100000 USD, hãy tìm giá trị ñầu tư tại thời ñiểm hiện tại V(0) tương ñương với giá trị trên cho các trường hợp sau: − Lãi hình thành rời rạc với lãi suất một năm là 5%. − Lãi hình thành liên tục với lãi suất một năm là 5%. Trong trường hợp thứ nhất ta có V(0) = 100000 × (1 + 5%)-8 = 67683.9362 USD. Còn trong trường hợp thứ hai V(0) = 100000×e–0,05×8 = 67032.0046 USD. Giả sử R(t) là hàm cường ñộ doanh thu gây nên dòng doanh thu. Lúc ñó doanh thu tích lũy trong khoảng thời gian ñủ bé [t, t + ∆t] sẽ ñược coi là bằng R(t)∆t. Quy giá trị này về thời ñiểm hiện tại ta ñược R(t)∆te–rt, với r là lãi suất ngân hàng hay cũng chính là tỉ suất khấu hao. Bởi vậy, giá trị hiện tại của toàn bộ doanh thu tích lũy ñược cho tới thời ñiểm y y trong tương lai sẽ là: V0 = ∫ R(t)e − rt dt . ðiều này có thể ñược giải thích 0 dựa trên ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh: y − rt ∫ R(t)e dt ≈ 0 n ∑ R(t )e i =1 i − rt i ∆t i . Trong biểu thức trên, dấu gần ñúng càng chính xác khi các khoảng ∆ti (ñược coi là bằng nhau với mọi i = 1, 2, ..., n) càng bé và số n các khoảng [ti, ti + ∆ti] ñược chia ra từ khoảng [0, y] ngày càng lớn. ðặc biệt, giá trị hiện tại của một dòng tiền (dòng doanh thu) kéo dài trong y năm với cường ñộ không ñổi D USD / năm khi biết tỉ suất khấu hao / năm là r sẽ là: y V0 = ∫ De− rt dt = 0 D (1 − e − ry ) r Với D = 3000 USD là cường ñộ doanh thu, y = 2, r = 6%, ta có: V0 = 3000 (1 − e −0,12 ) = 5655 USD. 0, 06 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..110 Chú ý. Xét trường hợp dòng doanh thu kéo dài mãi mãi (liên quan ñến bất ñộng sản, ñất ñai ...). Giả sử cường ñộ doanh thu là R(t) = D = ∞ const. Lúc ñó, tổng giá trị doanh thu tạo nên sẽ là: V0 = ∫ De− rt dt = 0 D . r 2. Mô hình tăng trưởng Domar 2.1. Phát biểu mô hình ðây là một mô hình phân tích kinh tế cổ ñiển nhằm tìm ra các dạng quỹ ñạo thời gian của các biến kinh tế sao cho ñiều kiện cân bằng của nền kinh tế ñược thỏa mãn. Trước hết, chúng ta có một số nhận xét sau ñây: – Gọi I(t) là cường ñộ ñầu tư của dòng ñầu tư. Việc thay ñổi cường ñộ ñầu tư I(t) sẽ có tác ñộng ñến tổng cầu cũng như khả năng sản xuất của nền kinh tế. – Việc thay ñổi cường ñộ ñầu tư I(t) ảnh hưởng tới tổng cầu thông qua phương trình dY 1 dI = × , dt s dt (5.1) trong ñó: dI/dt là tốc ñộ biến ñổi của cường ñộ ñầu tư, Y là tổng thu nhập hay chính là tổng cầu, s là khuynh hướng tiết kiệm biên (ñược coi là không ñổi). – Sự tăng trưởng cường ñộ ñầu tư cũng ảnh hưởng ñến sản xuất như κ trong phân tích sau. ðể cho ñơn giản chúng ta xét phương trình =ρ, K với κ là khả năng sản xuất hay tiềm năng ñầu ra (dòng sản phẩm ñầu ra ñược quy về ñơn vị tiền tệ), K là vốn tích trữ, ρ là tỉ lệ khả năng / vốn hay khả năng sử dụng vốn. Lúc ñó, κ = ρK nên dκ = ρdK. Chia cả hai vế cho dt ta có: dκ dK =ρ = ρI , dt dt (5.2) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..111 do tốc ñộ thay ñổi của vốn tích trữ K chính bằng cường ñộ ñầu tư I(t). – Xét phương trình cân bằng: thu nhập quốc dân phải vừa bằng khả năng sản xuất: Y = κ. (5.3) Câu hỏi ñặt ra là quỹ ñạo thời gian của I(t) phải có dạng như thế nào ñể thỏa mãn ñược phương trình cân bằng trên tại mọi thời ñiểm t. Từ (5.1), (5.2) và (5.3), chúng ta có: dY 1 dI dY dκ dK 1 dI dI = , = =ρ = ρI ⇒ = ρI ⇒ ∫ = ∫ ρsdt dt s dt dt dt dt s dt I ⇒ ln I = ρst + c ⇒ I = I(0)eρst với I(0)= ec. 2.2. Tìm ñường cân bằng bền cho mô hình tăng trưởng Domar Xét hệ số tiện ích: Y(t) (u = 1 có nghĩa là sử dụng hết tiềm năng sản suất). t →∞ κ(t) u = Lim Giả sử cường ñộ ñầu tư I(t) có tốc ñộ tăng trưởng là r, lúc ñó ta có: Y′ ( t ) I′ ( t ) / s rI ( 0 ) e rt / s r = Lim = Lim = , rt ′ sρ t →∞ κ ( t ) t →∞ ρI(t) t →∞ ρI ( 0 ) e u = Lim do: dY 1 dI r dκ = = I(0)ert và = ρI(t) = ρI(0)ert . dt s dt s dt Vậy u = (5.4) r . Do ñó: sρ u = 1 ⇔ r = sρ u > 1 ⇔ r > sρ u < 1 ⇔ r < sρ . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..112 Nếu r > sρ thì dY / dt r = > 1 nên tốc ñộ thay ñổi của Y nhanh dκ / dt sρ hơn tốc ñộ thay ñổi của κ. ðiều này dẫn tới tình trạng thiểu dư khả năng sản xuất so với tổng cầu (κ < Y). Còn nếu r < sρ thì sẽ xuất hiện tình trạng thặng dư khả năng sản xuất so với tổng cầu (κ > Y). Cần chú ý rằng, có thể suy luận sai như sau: Giả sử r > sρ ⇒ khả năng sản xuất thấp hơn so với tổng cầu ⇒ thường xuất hiện khuynh hướng tăng cường ñộ ñầu tư I(t) = I(0)ert ⇒ r tăng ⇒ tỉ số r/sρ tăng lên ⇒ dẫn tới tình trạng thiểu dư khả năng sản xuất so với tổng cầu (κ < Y) ⇒ không ñạt ñược ñiều kiện cân bằng Y = κ. Suy luận ñúng trong trường hợp r > sρ tức là khả năng sản xuất thấp hơn so với tổng cầu là: cần có các chính sách ñiều tiết thích hợp làm giảm cường ñộ ñầu tư r cũng như tăng cường việc chi tiêu tiết kiệm (tăng s) và tăng cường khả năng sử dụng vốn (tăng ρ). Trong trường hợp r < sρ, bạn ñọc có thể tự tìm ra các chính sách liên quan thích hợp. Tóm lại, bằng các chính sách ñiều tiết thích hợp, cần duy trì ñược ñường cân bằng bền Razor: r = sρ . 3. Phân tích cân bằng ñộng ñối với giá cả thị trường 3.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp một Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng sau: y’ + u(t)y = w(t). (5.5) Trong phương trình trên, các hàm u(t) và w(t) là các hàm số ñã biết, còn y = y(t) là hàm cần tìm ñể phương trình ñược thỏa mãn. Trường hợp phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng y’ + ay = b. (5.6) Các bước giải phương trình (5.6) như sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..113 – Xét phương trình thuần nhất tương ứng y’ + ay = 0, ⇒ (5.7) dy dy = ∫ −adt ⇒ lny = -at + c ⇒ yc = Ae–at = −ay ⇒ ∫ y dt hay yc = y(0)e–at (yc ñược gọi là hàm bù – complementary function). – Tìm ñược nghiệm riêng (còn gọi là tích phân riêng – particular intergal) của (5.6) yp = b/a nếu a ≠ 0, còn nếu a = 0 thì nghiệm riêng là yp = bt. – Nghiệm tổng quát của (5.6) có dạng: y = yp + yc. Tóm lại, công thức tìm nghiệm tổng quát của (5.6) là: – Với a ≠ 0 thì yc = Ae–at, yp = b/a nên y = Ae–at + b/a hay y = [ y(0) – b/a ]e–at + b/a. – Với a = 0 thì yc = A, yp = bt nên y = A + bt = y(0) + bt. Ví dụ 6. Bạn ñọc có thể tự giải một số ví dụ sau ñể ôn tập các công thức trên: a) Phương trình dy/dt + 2y = 6 với y(0) = 10 có nghiệm y = 7e–2t + 3. b) Phương trình dy/dt + 4y = 0 với y(0) = 1 có nghiệm y = e–4t. c) Phương trình dy/dt = 2 với y(0) = 5 có nghiệm y = 5 + 2t. 3.2. Phát biểu mô hình cân bằng ñộng Xét mô hình kinh tế thị trường vi mô với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau: Qd = α – βP (với α, β > 0) Qs = – γ + δP (với γ, δ > 0). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..114 Cho Qd = Qs sẽ tìm ñược mức giá cân bằng: P= α+γ . β+δ (Xem hình V.3) Q ñường cầu ñường cung Q O P P Hình V.3 Khi P(0) = P , thị trường ñã ở trạng thái cân bằng, do ñó không cần phân tích tiếp giá cả thị trường. Khi P(0) ≠ P , chúng ta cần tiếp tục phân tích ñể biết sau một thời gian nhất ñịnh thị trường có ñược ñiều chỉnh ñể ñạt tới trạng thái cân bằng hay không. ðể nghiên cứu vấn ñề này, cần xác lập ñược quỹ ñạo thời gian của giá cả (có thể hiểu ñây là ñồ thị của hàm giá cả P(t)). Do giá cả của mặt hàng luôn ñược ñiều chỉnh tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, chúng ta có mối quan hệ sau: dP = j ( Qd − Qs ) (với j là hằng số dương) dt P’ = j(α − βP + γ − δP) ⇒ P’ + j(β + δ)P = j(α + γ). ðây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng. Theo công thức ñã biết ở trên, nghiệm tổng quát có dạng:  α + γ  − j(β+δ ) t P = Pp + Pc hay P =  P ( 0 ) − +P e β+δ   Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..115 Ở ñây, mức giá cân bằng chính là Pp = P = α+γ (xem hình V.4). β+δ P(0) P(t): khi P(0) > P P P(t): khi P(0) < P P(0) Hình V.4 t 3.3. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cân bằng P ñược gọi là mức cân bằng liên thời (intertemporal equilibrium) của giá cả. Mức cân bằng này ñược gọi là ổn ñịnh ñộng (dynamically stable) do P(t) hội tụ tới P khi t →∞. Ngoài ra, do Pp = P = const, mức cân bằng liên thời ñược gọi là mức cân bằng dừng (stationary equilibrium). P(0) – P ñược gọi là sai số ban ñầu, P(t) – P là sai số giữa P(t) và P tại thời ñiểm t. Chúng ta cũng có thể xét mô hình thị trường với một vài giả thiết khác, chẳng hạn mô hình sau: Qd = α + βP (với α, β > 0) Qs = – γ + δP (với γ, δ > 0). Lập luận tương tự như ñã biết, chúng ta có  α + γ  − j( δ−β ) t P =  P(0) − +P e δ−β   ðể P = (α + γ)/(δ − β) là mức cân bằng dừng theo thời gian của giá cả có tính ổn ñịnh ñộng, chúng ta cần có ñiều kiện (δ − β) > 0. ðiều này Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..116 có nghĩa rằng, tuy hai ñường cung và cầu ñều có ñộ dốc dương, nhưng ñường cung bắt buộc phải dốc hơn ñường cầu (xem hình V.5). Q ñường cung ñường cầu Q O P1 P P2 P Hình V.5 Chúng ta tiếp tục xét mô hình thị trường với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau: Qd = α − β P + σ dP dt Qs = −γ + δP α, β, γ, δ > 0. Giả sử tốc ñộ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, vấn ñề ñặt ra là: Hãy thực hiện phân tích cân bằng ñộng và tìm quỹ ñạo thời gian P(t) và cho biết mức giá cân bằng liên thời cũng như cho biết các giá trị nào của tham số σ ñảm bảo mức giá cân bằng này có tính ổn ñịnh ñộng? Bạn ñọc quan tâm hãy tự phân tích ví dụ này. 4. Mô hình tăng trưởng Solow 4.1. Bổ sung thêm về phương trình vi phân cấp một Phương trình biến số tách Phương trình biến số tách có dạng f(y)dy + g(t)dt = 0. (5.8) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..117 Chuyển vế số hạng thứ hai và lấy tích phân hai vế, ta có: ∫ f ( y)dy = ∫ − g(t )dt . Công thức này cho ta biểu thức nghiệm của phương trình biến số tách. Ví dụ 7. 3y2dy − tdt = 0 ⇔ ∫ 3y 2dy = ∫ tdt ⇔ y3 = t 2 / 2 + c ⇔ y = ( t2 / 2 + c) . 1/ 3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên y’ + u(t)y = w(t) Trong phương trình trên, các hàm u(t) và w(t) là các hàm số ñã biết, còn y = y(t) là hàm cần tìm ñể phương trình ñược thỏa mãn. Công thức tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên như sau: y = y(t) = e− ∫ u(t)dt  A + ∫ w(t)e ∫ u(t)dt dt  .   Ví dụ 8. Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp một với ñiều kiện ban ñầu.  dy 2 2  + t y = 5t dt   y (0) = 6  Theo công thức tìm nghiệm ta có 2  2 3 3  y = y ( t ) = e− ∫ t dt  A + ∫ 5t 2e ∫ t dt dt  = e − t / 3  A + ∫ 5t 2e t / 3dt      3  3 3  3  t3  = e − t / 3  A + 5∫ e t / 3dt  = e − t / 3  A + 5e t / 3  . 3     3 Vậy y = 5 + Ae− t / 3 . Do y(0) = 6 nên A = 1. Cuối cùng ta có 3 nghiệm y = 5 + e− t / 3 . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..118 Phương trình Bernoulli Phương trình Bernoulli có dạng dy + Ry = Ty m , dt (5.9) với R = R(t), T = T(t). Chúng ta chỉ xét các trường hợp: m ≠ 0, m ≠ 1 , vì khi m = 0 hay m = 1 thì (5.9) trở thành phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Chia cả hai vế cho ym, ta có: y−m dy + Ry1− m = T . dt ðặt z = y1− m thì có dz dy = (1 − m) y − m . Thay vào phương trình trên dt dt ta có: 1 dz dz + Rz = T ⇔ + (1 − m)Rz = (1 − m)T 1 − m dt dt ðây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một ñối với z. Do ñó tìm ñược z = z(t). Từ ñó có y = [z( t )]1 /(1− m) là nghiệm của (5.9). dy 1 + y = y 3 . Bạn ñọc có thể tự dt t tìm ñược nghiệm của phương trình theo phương pháp nói trên: Ví dụ 9. Xét phương trình Bernoulli y = (At 2 + 2t ) −1/ 2 . Phương trình vi phân ñầy ñủ Phương trình vi phân cấp một sau ñây: Mdy + Ndt = 0, (5.10) với M = M(y, t) và N = N(y, t), ñược gọi là phương trình vi phân ñầy ñủ nếu tồn tại hàm F(y, t) sao cho: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..119  ∂F  ∂y = M ( y, t )   ∂F = N ( y, t )  ∂t Lúc ñó, từ (5.10) và (5.11) suy ra (5.11) ∂F ∂F dy + dt = 0 ⇔ dF ( y, t ) = 0 . ∂y ∂y Vậy F ( y, t ) = c . ∂ 2F ∂ 2 F ∂M ∂N = nên = . Có thể chứng minh ñiều ngược lại ∂t∂y ∂y∂t ∂t ∂y cũng ñúng. Vậy phương trình (5.10) là phương trình vi phân ñầy ñủ khi và chỉ khi ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: Do ∂M ∂N = . ∂t ∂y (5.12) Cách giải phương trình vi phân ñầy ñủ Từ ∂F = M(y, t) ta có F(y, t) = ∫ M(y, t)dy + ψ (t) . Lấy ñạo hàm hai ∂y ∂F ∂ = ( ∫ M(y, t)dy + ψ (t) ) = N(y, t) . Từ ñây, có ∂t ∂t thể tìm ra ψ(t), do ñó tìm ñược F(y, t). Nghiệm cần tìm sẽ là F(y, t) = c. vế theo t, sẽ thu ñược Ví dụ 10. Hãy giải phương trình sau: 2ytdy + y2 dt = 0 Trước hết cần kiểm tra ñiều kiện (5.12): ∂M ∂N = = 2y . Do ñiều ∂t ∂y kiện ñược thỏa mãn nên tồn tại hàm F(y, t) sao cho:  ∂F  ∂y = 2yt   ∂F = y 2  ∂t Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..120 Do ñó F(y, t) = ∫ 2ytdy + ψ (t) = y 2 t + ψ (t) . Mặt khác: ∂F = y 2 ⇒ y 2 + ψ′(t) = y 2 ⇒ ψ′ ( t ) = 0 ∂t ⇒ ψ = c1 ⇒ F ( y, t ) = y 2 t + c1. Vậy nghiệm của phương trình vi phân ñầy ñủ ñã cho là F(y, t) = c2 ⇔ y2t + c1 = c2 ⇔ y2t = c3 ⇔ y = ct −1/2. Ví dụ 11. Xét phương trình vi phân cấp một: 2tdy + ydt = 0. Có thể kiểm tra ñược rằng ñây chưa phải là phương trình vi phân ñầy ñủ. ðể ñưa về dạng ñầy ñủ cần nhân vào các hệ số một thừa số tích phân thích hợp bằng y ñể có: tydy + y2dt = 0. Phương trình này là phương trình vi phân ñầy ñủ vì ñiều kiện (5.12) ñược thỏa mãn: ∂M ∂N = = 2y . dt dy Giải phương trình vi phân ñầy ñủ trên giống như trong ví dụ 1, ta có: y = ct −1/2. Chú ý. Về ñiều kiện ñể một phương trình vi phân có thể ñưa ñược về dạng ñầy ñủ và cách tìm thừa số tích phân thích hợp, các bạn ñọc quan tâm cần xem thêm trong các tài liệu tham khảo. 4.2. Tiếp cận ñịnh tính ñồ thị giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một Trong nhiều trường hợp, các phương trình vi phân cấp một không giải ñược một cách tường minh. Tuy nhiên, với mục ñích khảo sát sự biến ñổi của y = y(t) khi t biến thiên, chúng ta tìm cách giải các phương trình như vậy bằng phương pháp tiếp cận ñịnh tính có sử dụng vẽ ñồ thị. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..121 Xét phương trình vi phân dy = f ( y) . dt Ví dụ 12. Xét phương trình vi phân: y’ = 3y2 ⇒ ∫ dy 1 1 = ∫ dt ⇒ − y −1 = t + c ⇒ y = − . 3( t + c) 3 3y 2 Tuy nhiên, với phương trình vi phân: y’ = (lny)1/2 thì sẽ không có thể tìm ñược công thức nghiệm một cách tường minh. Một cách tổng quát, chúng ta tìm cách phân tích ñịnh tính nghiệm dy của phương trình = f ( y) thông qua việc sử dụng biểu ñồ pha / ñường dt pha (phase diagram/ phase line). ðồ thị f(y) có mũi tên ≡ ñường pha f(y) yb ya O (a) (b) yb ya (c) y Hình V.6 ðể phân tích tính chất của quỹ ñạo thời gian y = y(t), chúng ta vẽ các ñiểm (y, f(y)) cũng chính là các ñiểm (y, dy/dt) như trên hình V.6a. Chú ý rằng, các ñiểm nằm phía trên của trục Oy ñều có f(y) = dy/dt > 0, vì vậy khi t tăng thì y tăng. Các mũi tên chỉ chiều biến thiên của y khi t tăng, nên có chiều chếch từ trái sang phải. ðối với các ñiểm (y, f(y)) nằm phía dưới trục Oy, bằng lập luận tương tự, ta thấy các mũi tên sẽ chếch từ phải sang trái. Như vậy, có thể hiểu ñường pha ñồ thị f(y) có các mũi tên chỉ chiều biến thiên của y khi t tăng. Tương tự có thể phân tích các ñường pha V.6b và V.6c. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..122 Một mức cân bằng liên thời của y chỉ có thể xảy ra tại các ñiểm y trên trục Oy sao cho dy/dt = 0. Giả sử ya, yb là các nghiệm của phương trình: dy/dt = f(y) = 0 thì rõ ràng dy/dt = 0. Do ñó, ya và yb có thể là các mức cân bằng liên thời của quỹ ñạo thời gian y = y(t). Tương ứng với các ñường pha trên hình V.6, chúng ta có các kiểu quỹ ñạo thời gian y = y(t) như sau: ðường pha V.6a tương ứng với quỹ ñạo thời gian cho trên hình V.7a. y ya Hình V.7a t ya là mức cân bằng liên thời không ổn ñịnh ñộng: tương ứng với ñộ dốc của ñường pha là hữu hạn dương tại ñiểm ya (ñiểm cắt của ñường pha với trục y). ðường pha V.6b tương ứng với quỹ ñạo thời gian cho trên hình V.7b. y yb t Hình V.7b Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..123 yb là mức cân bằng liên thời ổn ñịnh ñộng: tương ứng với ñộ dốc của ñường pha là hữu hạn âm tại ñiểm yb (ñiểm cắt của ñường pha với trục y). ðường pha V.6c tương ứng với quỹ ñạo thời gian cho trên hình V.7c. y yd Hình V.7c yc t yc và yd không phải là các mức cân bằng liên thời: tương ứng với ñộ dốc của ñường pha là ∝ tại các ñiểm yc và yd (ñiểm cắt của ñường pha với trục y). Lúc này quỹ ñạo thời gian y = y(t) có tính dao ñộng theo chu kỳ với các mức cao nhất và thấp nhất là yd và yc. Ví dụ 13. Xét phương trình vi phân trình tuyến tính cấp một hệ số hằng. Vậy dy + ay = b . ðây là phương dt dy = f ( y) = −ay + b . dt Rõ ràng rằng, ñồ thị V.7b xảy ra khi và chỉ khi ñộ dốc của ñường pha là –a < 0 hay a > 0. Theo công thức nghiệm của phương trình vi phân ta có: b b  y = y( t ) =  y(0) −  e − at + . a a  e –at Xét quỹ ñạo theo thời gian y = y(t) thì y(t) sẽ dần sát tới về b/a do → 1 khi t ñủ lớn (do a > 0). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..124 4.3. Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow Trong mô hình Domar có giả thiết sau: κ = ρK tức là tiềm năng sản xuất tỉ lệ theo hằng số ρ ñối với vốn K. Nếu ñồng nhất κ với Q (mức sản xuất ñầu ra) thì Q = ρK . ðiều này ñược coi là hợp lí khi K (vốn) và lao ñộng (L) luôn ñược sử dụng theo một tỉ lệ cố ñịnh và do ñó K ñược coi là ñại diện cho cả vốn và lao ñộng. Trong trường hợp các ñầu vào (K, L) không luôn tuân theo một tỉ lệ cố ñịnh thì phương trình Q = ρK không phải là mô hình hợp lí. ðể khắc phục nhược ñiểm này, chúng ta xem xét hàm sản xuất phụ thuộc cả vào K và L: Q = f(K, L), với giả thiết ñây là hàm ñẳng cấp bậc một và do ñó có tính chất hiệu suất cố ñịnh, tức là f(kK, kL) = kf(K, L). K K  Vậy ta có Q = Lf  , 1 = Lf (k, 1) = LΦ (k) với k = . Theo kết L L  quả từ chương IV, mục 3.1 thì: fK = MPPK = Φ′(k) nên ∂ 1 f KK = Φ′(k) = Φ′′(k) . Do giả thiết fKK < 0 nên cũng có Φ′′(k) < 0. L ∂K Trong mô hình tăng trưởng Solow, ta cũng giả thiết rằng: k = K/L là biến thiên. Ngoài ra, chúng ta cũng giả thiết các ñiều kiện sau ñây ñược thoả mãn: dK = sQ, tức là một tỉ lệ cố ñịnh của Q ñược sử dụng cho tái dt ñầu tư với s là hệ số thể hiện khuynh hướng tiết kiệm biên (s ñược coi là hằng số dương, s < 1). Dấu “ • ” ñược sử dụng ñể kí hiệu ñạo hàm theo thời gian. • – K= • L 1 dL = = λ , với λ ñược coi là hằng số dương. Giả thiết này là – L L dt tương ñương với hàm (tăng trưởng) lao ñộng có dạng L = L(0)e λt (với λ chính là tốc ñộ tăng trưởng của lao ñộng). Từ các giả thiết trên có thể rút ra phương trình vi phân sau: • k = sΦ ( k ) − λ k . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..125 • Thật vậy, ta có K = sQ = sLΦ (k) . Mặt khác, K = kL nên khi lấy ñạo • • • • hàm theo t cả hai vế sẽ có K = L k + k L = L k + kλL. Chuyển biểu thức kλL từ vế phải sang vế trái, sau ñó chia cả hai vế cho L, ta có: • • • K − λ k = k ⇔ sΦ ( k ) − λ k = k . L 4.4. Phân tích ñịnh tính trên biểu ñồ pha ðể sử dụng biểu ñồ pha phân tích ñịnh tính ñường k = k(t), chúng ta vẽ ñường y = λk và ñường y = sΦ(k) trong cùng hệ toạ ñộ (xem hình V.8). y y = λk y = sΦ(k) O k k Hình V.8 • Sau ñó vẽ biểu ñồ pha của k = sΦ(k) – λk (xem hình V.9). • k k O k Hình V.9 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..126 Trên hình V.9, do ñộ dốc của biểu ñồ pha tại k là hữu hạn âm nên k chính là mức cân bằng liên thời có tính dừng và ổn ñịnh ñộng. Quỹ ñạo thời gian của k = k(t), vì vậy, có dạng như trên hình V.10. k k O t Hình V.10 Phân tích tính ổn ñịnh vững của nghiệm k = k(t) Từ các phân tích trên về mô hình tăng trưởng Solow có thể rút ra một số kết luận sau: − Tỉ số k = K → k . L t →∞ • − Vì tốc ñộ tăng trưởng của L là λ (do giả thiết L/ L = λ ) và tỉ lệ K/L = k = const khi cho thời gian ñủ lớn, nên tốc ñộ tăng trưởng của K cũng là λ tại t ≈ ∞ (khi tỉ số K/L ổn ñịnh ở mức k = const). Các trạng thái như vậy, mà trong ñó các biến kinh tế có tốc ñộ tăng trưởng như nhau, ñược gọi là trạng thái vững. ðiều này luôn ñược ñảm bảo trong mô hình Solow. − Ngoài ra, xét phương trình Q = L Φ (k). Tại t = + ∞ , do k ≈ k nên có thể coi Φ(k) = const. Do ñó, chúng ta có: • • Q L Q = LΦ (k ) ⇒ = = λ Q L ⇒ tốc ñộ tăng trưởng của Q cũng xấp xỉ λ khi t khá lớn Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..127 ⇒ các biến kinh tế K, L, Q ñều có tốc ñộ tăng trưởng λ khi t ñủ lớn ⇒ khi t ñủ lớn mô hình kinh tế Solow tiến ñến trạng thái vững. 4.5. Phân tích ñịnh lượng ðể phân tích ñịnh lượng mô hình Solow, chúng ta xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas Q = K α L1−α , với 0 < α < 1. Lúc ñó: Q = Lk α với k = K/L. Trong trường hợp này cũng có Φ (k ) = k α nên mô hình Solow ñược mô tả bởi phương trình vi phân: • • k = sk α − λk ⇔ k + λk = sk α . ðây là phương trình vi phân Bernoulli. Giải phương trình trên (bạn ñọc quan tâm có thể tự mình kiểm tra) sẽ nhận ñược nghiệ m s s s  khi t → ∞ k1− α = k (0)1− α −  e − (1− α )λt + → λ λ λ  1 /(1− α ) s ⇒k→   λ khi t →∞. ðiều này có nghĩa là tỉ lệ vốn / lao ñộng tiến tới một mức cân bằng vững, với giá trị tính ñược phụ thuộc vào hệ số (khuynh hướng) tiết kiệm biên và tốc ñộ tăng trưởng của lao ñộng ñã khảo sát ñược trong mô hình Solow. 5. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá ñược dự báo trước 5.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: y′′( t ) + a1y′( t ) + a 2 y( t ) = b với các hệ số a1, a2, b là các hằng số. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình trên có cấu trúc nghiệm: y = yc + yp, trong ñó yp là nghiệm riêng, còn yc là nghiệm bù (nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..128 Cách tìm yp − Trường hợp 1: a2 ≠ 0 ⇒ dễ thấy yp = b / a 2 . − Trường hợp 2: a2 = 0 và a1 ≠ 0 ⇒ y′′( t ) + a1y′( t ) = b ⇒ yp= bt / a1 . − Trường hợp 3: a1 = a2 = 0 ⇒ y′′( t ) = b ⇒ y p = bt 2 / 2 . Cách tìm yc yc là nghiệm của phương trình : y′′( t ) + a1y′( t ) + a 2 y( t ) = 0 . (5.13) Giả sử nghiệm bù có dạng yc = e λt . Vậ y y′ = λe λt và y′′ = λ2e λt . Thay vào (5.13) ta có: eλt (λ 2 + a1λ + a 2 ) = 0 ⇔ λ 2 + a1λ + a 2 = 0 . (5.14) Phương trình (5.14) ñược gọi là phương trình ñặc trưng c ủa (5.13). − Trường hợp 1: ∆ = a12 − 4a 2 > 0 . (5.14) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 , λ2 . Lúc này tìm ñược hai nghiệm bù riêng của (5.13) là: y1c = e λ1t , y c2 = e λ 2 t . Vậy nghiệm bù tổng quát của (5.13) có dạng: y c = A1y1c + A 2 y c2 = A1e λ1t + A 2 e λ 2 t . − Trường hợp 2: ∆ = 0 , phương trình ñặc trưng có nghiệm kép λ. Lúc này nghiệm bù tổng quát của (5.13) có dạng: yc = (A3 + tA4)eλt. − Trường hợp 3: ∆ < 0 , phương trình ñặc trưng có hai nghiệm phức: λ1,2 = h ± ui , với h, u là các số thực, h = - a1/2 , u = ∆ / 2 , còn i = - 1 là ñơn vị ảo. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..129 Lúc ñó nghiệm bù tổng quát của (5.13) có dạng: yc = eht[A5cos(ut) + A6sin(ut)]. Ví dụ 14. Xét phương trình vi phân cấp hai: y′′( t ) + 2 y′( t ) + 17 y( t ) = 34 . Nghiệm riêng là yp = 34/17 = 2. Giải phương trình ñặc trưng: λ2 + 2λ + 17 = 0. Ta có ∆ = – 64 ⇒ ∆ = 64 = 8 ⇒ λ1,2= − 1 ± 4i . Vậy nghiệm bù tổng quát của phương trình ñã cho là: yc = e–t [A5cos4t + A6sin4t]. Xét trường hợp 3, khi biệt thức ∆ của phương trình ñặc trưng mang dấu âm. ðể khảo sát quỹ ñạo thời gian của yc = eht[A5cos(ut) + A6sin(ut)], trước hết cần xét sự biến thiên của biểu thức g(t) = A5cos(ut) + A6sin(ut). Rõ ràng rằng, ñồ thị của hàm g(t) là một ñường hình sin, có tính dao ñộng tuần hoàn (xem hình V.11). A5cos(ut) + A6sin(ut) max O t min Hình V.11 ðể khảo sát quỹ ñạo thời gian của yc = eht[A5cos(ut) + A6sin(ut)], cần xét ba trường hợp sau về dấu của h: − Trường hợp 3a: h = 0. Lúc này yc= A5cos(ut) + A6sin(ut). Quỹ ñạo thời gian của y = y(t) = yc + yp cũng có dạng dao ñộng ñều (uniform fluctuation) như trên hình V.12a. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..130 y(t) A5cos(ut) + A6sin(ut) max yp min O t Hình V.12a − Trường hợp 3b: h < 0. Quỹ ñạo thời gian của y = y(t) = yc + yp cũng có dạng dao ñộng tắt dần (damped fluctuation) có tính ổn ñịnh ñộng như trên hình V.12b. y(t) yp O Hình V.12b t − Trường hợp 3c: h > 0. Quỹ ñạo thời gian của y = y(t) = yc + yp cũng có dạng dao ñộng khuyếch ñại (explosive fluctuation) không có tính ổn ñịnh ñộng như trên hình V.12c. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..131 y(t) yp O Hình V.12c t 5.2. Phát biểu mô hình Trong mô hình này, các lượng cầu và cung Qd và Qs không chỉ phụ thuộc vào giá cả P của hàng hóa mà còn phụ thuộc vào các khuynh hướng biến ñộng của giá cả, tức là vào P’ và P’’. Chẳng hạn nếu tại thời ñiểm t nào ñó P’(t) > 0 thì ta nói giá cả P có khuynh hướng tăng lên, còn nếu ngoài ra P’’(t) < 0 thì có thể kết luận tốc ñộ tăng giá cả P sẽ có khuynh hướng chậm (giảm) ñi. Chúng ta xét mô hình sau: ′ P′′(t)) Qd = D( P(t), P(t), Qs = S ( P(t), P′(t), P′′(t) ) Qd = Qs. Trong trường hợp riêng khi các hàm Qd và Qs là các hàm phụ thuộc tuyến tính vào P, P’ và P’’, chúng ta có: Q d = α − β P + mP ′ + nP ′′ ( víi α , β > 0) Q s = − γ + δ P + u P ′ + w P ′′ ( v í i γ , δ > 0 ) (5.15) Qd = Qs. Chúng ta có thể phân tích ý nghĩa của các hệ số α, β, γ, δ như ñã biết. Các hệ số m, n, u và w cũng có những ý nghĩa nhất ñịnh. Chẳng hạn, nếu m > 0 thì ñiều này có nghĩa là: P’ tăng sẽ kéo theo Qd tăng. Vì vậy người mua (bên cầu) lúc này có khuynh hướng mua nhiều hàng hơn trong khi giá cả P còn chưa quá cao. Hệ số n sẽ cho biết về hành vi của người Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..132 mua phụ thuộc vào tốc ñộ thay ñổi của dP/dt (tức là vào việc P tăng / giảm nhanh hay chậm ñi). Tương tự, các hệ số u và w sẽ cho phép phân tích về khía cạnh người bán (bên cung). 5.3. Xác ñịnh ñường biến ñộng giá (Tìm quỹ ñạo thời gian P(t)) Từ hệ phương trình (5.15), chúng ta dễ dàng nhận ñược phương trình vi phân cấp hai: (n − w)P′′ + (m − u)P ' − (δ + β)P + α + γ = 0 . Giả sử w = u = 0 và n ≠ 0, lúc ñó ta có: P′′ + m β+δ α+γ P′ − P+ =0 n n n (5.16) Chúng ta cần trả lời các câu hỏi sau ñây: Tìm quỹ ñạo thời gian của giá cả theo công thức P(t) = Pc + Pp và khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cân bằng liên thời: lim P(t) = Pp ? t →+∞ Sau ñó áp dụng các tính toán và phân tích nêu trên cho một mô hình cụ thể Qd = 42 − 4P − 4P′ − P′′  QS = −6 + 8P. Trong phương trình P′′ + a1 = m β+δ α+γ P′ − P+ = 0 , ta ñặt: n n n m β+δ α+γ , a2 = − , b=− . n n n Lúc ñó nghiệm tổng quát của (5.16) có cấu trúc như sau: P = Pc + Pp, Trong ñó Pc là nghiệm bù (chính là nghiệm tổng quát của phương trình thuần tương ứng) còn Pp là một nghiệm riêng. Ta có: Pp = b α+γ = . a2 β + δ Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..133 Chúng ta ñi tìm Pc là nghiệm tổng quát của phương trình: P′′ + m β+δ P′ − P = 0. n n Xét phương trình ñặc trưng: λ2 + m β+δ λ− =0 , n n (5.17) 2 β+δ m và biệt thức ∆ của nó: ∆ =   + 4 . n n 2 β+δ m Trường hợp 1: ∆ > 0 ⇔   > −4 . Lúc này (5.17) có hai n n nghiệm thực phân biệt là λ1 , λ 2 . Do ñó: Pc = A1eλ1t + A 2eλ 2 t ⇒ P = Pc + Pp ⇒ P = α+γ + A1eλ1t + A 2eλ2 t . β+δ ðể phân tích tính ổn ñịnh ñộng theo thời gian của giá cả P, chúng ta α+γ xét lim P(t) . Dễ thấy nếu λ1 , λ 2 < 0 thì: lim P(t) = = P nên P là t →∞ t →+∞ β+δ ổn ñịnh ñộng (xem hình V.13). P t Hình V.13 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..134 2 m β+δ Trường hợp 2: ∆ = 0 ⇔   = −4  . n  n  Phương trình (5.17) có nghiệm kép λ nên Pc = (A3 + tA 4 )eλt kéo theo: P= α+γ + (A 3 + tA 4 )eλt . β+δ P ổn ñịnh ñộng khi và chỉ khi λ < 0. Trường hợp 3: ∆ < 0. Lúc này λ1 , λ 2 = − i = m ± n ∆ i = h ± vi , trong ñó −1 là ñơn vị ảo. Ta có: Pc = (A5 cos vt + A 6 sin vt)e ht và P = Pc + Pp = α + γ ht + e (A5 cos vt + A 6 sin vt) . β+δ Trường hợp 3a: h = − m α+γ < 0 . Dễ thấy lim P(t) = P = nên P(t) t →−∞ n β+δ dao ñộng tắt dần và giá cân bằng P là ổn ñịnh ñộng theo thời gian. Trường hợp 3b: h = 0. Lúc này P(t) dao ñộng xung quanh P (hình V.14). P t Hình V.14 m > 0. Lúc này lim P(t) không tồn tại nên giá t →+∞ n cân bằng P không ổn ñịnh ñộng theo thời gian (xem hình V.15) Trường hợp 3c: h = − Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..135 t P Hình V.15 Ví dụ 15. Xét mô hình thị trường sau ñây: Qd = 42 − 4P − 4P '+ 4P ''  Qs = −6 + 8P Q = Q . s  d Lúc ñó ta cần xét phương trình vi phân: P ''− 4P '− 4P + 48 = 0 . Giả sử ñã biết ñiều kiện ban ñầu: P(0) = 6 và P’(0) = 4. Dễ dàng tìm ñược nghiệm riêng: P = Pp = 4 . ðể ñi tìm nghiệm bù, chúng ta xét phương trình ñặc trưng: λ − 4λ − 12 = 0 . Phương trình này có hai nghiệm: 2 λ1 = 6 và λ2 = –2 ⇒ Pc = A1e6t + A2 e–2t ⇒ P = 4 + A1 e6t + A2 e–2t ⇒ P’ = 6A1 e6t –2A2 e–2t. Từ ñiều kiện ban ñầu ñã cho ta có: P(0) = 4 + A1 + A 2 = 6  A =1 ⇒ 1  A 2 = 1. P′(0) = 6A1 − 2A 2 = 4 Vậy P(t) = Pp + Pc = 4 + e6t + e−2t . Do lim P(t) không tồn tại nên t →+∞ P = 4 không thể ñạt tới ñược, vì vậy giá cân bằng P không ổn ñịnh ñộng. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..136 Ví dụ 16. Xét mô hình thị trường: Qd = 40 − 2P − 2P′ − P′′  QS = −5 + 3P Q = Q . s  d Từ hệ trên ta có phương trình vi phân: P′′ + 2P′ + 5P = 45 . Dễ thấy 45 nghiệm riêng là: Pp = P = = 9 . ðể tìm nghiệm bù cần xét phương trình 5 ñặc trưng: λ 2 + 2λ + 5 = 0 ⇔ λ1 , λ 2 = −1 ± 2i . Do ñó: Pc = e− t (A 5 cos 2t + A 6 sin 2t) ⇒ P = P(t) = 9 + e− t (A 5 cos 2t + A 6 sin 2t) . Mặt khác: P′ = −e− t (A5 cos 2t + A 6 sin 2t) + e− t (−2A5 sin 2t + 2A6 cos 2t). Cho ñiều kiện ban ñầu là: P(0) = 12 và P’(0) = 1. ðể tìm A5 và A6, cần xét hệ: 9 + A5 = 12 –A5 + 2A6 = 1. Vậy A5 = 3 và A6 = 2 nên P = P(t) = 9 + e − t (3cos 2t + 2sin 2t) P=9 t Hình V.16 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..137 Chú ý. Xét trường hợp cân bằng cung cầu của thị trường không luôn thoả mãn tại mọi thời ñiểm, tức là khi ñiều kiện Qd = Qs không bắt buộc phải thỏa mãn. Giả sử giá cả biến ñộng tuân theo quy luật: dP = 9(Qd − Qs ) (tức là khi Qd > Qs thì giá có khuynh hướng tăng, còn dt nếu Qd < Qs thì giá có khuyng hướng giảm). Lúc này, chúng ta vẫn có thể phân tích ñược mô hình áp dụng việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng. 6. Mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp 6.1. Phát biểu mô hình Xét mối quan hệ Phillips: w = f (U) , (5.18) với ñiều kiện f ′(U) < 0 , trong ñó U là mức thất nghiệp (unemployment) • và w là mức tăng trưởng của lương (wage): w = W/ W . Ngoài ra, giả sử: p = w –T, (5.19) • trong ñó p = P/ P là mức tăng trưởng về giá (lạm phát) và T là hiệu suất lao ñộng (coi là biến ngoại sinh). Dễ thấy p > 0 khi w > T, tức là nếu tốc ñộ tăng trưởng của tiền lương nhanh hơn hiệu suất lao ñộng thì sẽ có lạm phát về giá. Nếu giả sử mối quan hệ: w = α − β U với α, β > 0, tức là tốc ñộ tăng trưởng của tiền lương tỉ lệ nghịch với mức thất nghiệp, thì ta có: p = α − T − βU . (5.20) Xét mối quan hệ Phillips có bổ sung giá trị kì vọng: w = f (U) + hπ (với 0 < h ≤ 1), trong ñó π là tốc ñộ lạm phát dự báo (kỳ vọng tốc ñộ lạm phát). Lúc này thay vào (5.19) sẽ có: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..138 p = α − T − β U + hπ (với 0 < h ≤ 1). (5.21) Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử rằng: dπ = j(p − π) (với 0 < j ≤ 1), dt (5.22) ðiều này có nghĩa là: Nếu tốc ñộ lạm phát về giá hiện tại là lớn hơn tốc ñộ lạm phát dự báo (tức là p > π) thì tốc ñộ lạm phát dự báo có xu hướng tăng thêm, tức là dπ / dp > 0. Ngược lại, nếu π > p thì tốc ñộ lạm phát dự báo có xu hướng giảm ñi, tức là dπ / dp < 0. • M Kí hiệu m = với M là lượng tiền cân bằng danh nghĩa (phụ thuộc M chính sách tiền tệ của nhà nước), ta có thể giả sử rằng: dU = − k(m − p) (với k > 0). dt Hệ thức này có nghĩa là, chẳng hạn, nếu m > p thì dU/dt < 0 nên U có • • khuynh hướng giảm. Có thể nhận thấy m – p = M/ M − P/ P = rM – rP = r(M/P) chính là tốc ñộ tăng trưởng giá trị thực của tiền tệ. Vậy mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp ñược phát biểu dưới dạng hệ phương trình vi phân sau ñây: p = α − T − β U + hπ (với 0 < h ≤ 1) dπ = j(p − π) (với 0 < j ≤ 1) dt dU = − k(m − p) (với k > 0). dt 6.2. Khảo sát ñường biến ñộng lạm phát, giá cả và thất nghiệp Thay (5.21) vào (5.22) chúng ta nhận ñược: dπ = j(α − T − β U + hπ − π) = j(α − T − βU) + j(h − 1)π . (5.23) dt Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..139 Lấy ñạo hàm hai vế của (5.23) theo t sẽ nhận ñược: d2π dU dπ dπ = − jβ − j(1 − h) = jβk(m − p) − j(1 − h) . (5.24) 2 dt dt dt dt Từ (5.22) ta có: p= 1 dπ +π. j dt (5.25) Thay (5.25) vào (5.24) sẽ nhận ñược: 1 dπ  d2π dπ = jβkm − jβk  + π  − j(1 − h) , 2 dt dt  j dt  hay: d2π dπ + [βk + j(1 − h) ] + jβ kπ = jβkm . 2 dt dt (5.26) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có cấu trúc b jβkm = = m . ðể tìm nghiệm: π = πc + πp với nghiệm riêng: πp = a2 jβ k nghiệm bù, chúng ta ñi xét phương trình ñặc trưng tương ứng: λ 2 + a1λ + a 2 = 0 , (5.27) (trong ñó a1 = βk + j(1 – h) > 0, a2 = jβk >0). Trường hợp 1: ∆ > 0. Lúc này phương trình (5.27) có hai nghiệm: λ1 , λ 2 = −a1 ± a12 − 4a 2 < 0 ⇒ π(t) = (A1eλ1t + A 2e λ2 t ) + m → m . t →∞ 2 Trường hợp 2: ∆ = 0. Lúc này do (5.27) có nghiệm kép λ < 0 nên π = (A1 + tA 2 )eλt + m → m . t →∞ Do ñó, chúng ta có kết luận tương tự như trong trường hợp 1. Trường hợp 3: ∆ < 0. Lúc này phương trình (5.27) có hai nghiệm phức: λ1 , λ 2 = − a1 i ± 2 2 a12 − 4a 2 = h ± vi (với h < 0). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..140 ⇒ π = e ht (A5 cos vt + A 6 sin vt) + m → m . t →∞ Như vậy, trong cả 3 trường hợp trên, π(t) ñều cùng hội tụ tới m và m là mức cân bằng ổn ñịnh ñộng theo thời gian của π(t). Tuy nhiên kiểu thay ñổi (pattern of change) của hàm dự báo lạm phát π(t) trong các trường hợp trên là khác nhau. Ví dụ 17. Xét mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp: p= 1 − 3U + π 6 dπ 3 = (p − π) dt 4 dU 1 = − (m − p) . dt 2 Chúng ta có thể tìm ñược quỹ ñạo thời gian của các mức lạm phát π(t), giá cả p(t) và thất nghiệp U(t) như sau: Trước hết cần giải phương trình (5.26) với các tham số cụ thể ñã cho trong ví dụ ñể tìm ñường π(t). 1 dπ Từ ñó, dựa vào ñiều kiện (5.22): p = + π ñể tìm ñường giá cả p(t). j dt Cuối cùng, sử dụng hệ thức: p = 1 − 3U + π ñể tìm ñường lạm phát theo 6 công thức: 1 π+ −p 6 U(t) = . 3 Việc tính toán cụ thể sẽ cho ta các biểu thức sau ñây: 3 3   π(t) = e −3t / 4  A 5 cos t + A 6 sin t  + m , 4 4   3 3   p(t) = e −3t / 4  A 6 cos t − A 5 sin t  + m , 4 4   Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..141 1 3 3  1  U(t) = e −3t / 4  (A 5 − A 6 ) cos t + (A 5 + A 6 ) sin t  + . 3 4 4  18  Nhận xét. Các ñường π(t) và p(t) có tính dao ñộng tắt dần và hội tụ về m. Vì vậy m, mức tăng trưởng về tiền tệ cân bằng danh nghĩa, lại chính là mức cân bằng của lạm phát giá và của dự báo lạm phát giá. Trong khi ñó ñường U(t) cũng có tính dao ñộng tắt dần nhưng hội tụ về mức 1/18 = 5,56%. ðây là tỉ lệ “vàng” về lạm phát, ñảm bảo cho mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp có hiệu quả trong thực tế. Vấn ñề giá, lương, tiền, hiệu suất lao ñộng cũng như vấn ñề việc làm, như ñược xem xét và phân tích trong mô hình trên ñây, là các vấn ñề quan trọng luôn cần giải quyết tốt ở tầm kinh tế vĩ mô. Tất các các kết luận rút ra từ mô hình trên ñây chỉ có ý nghĩa tương ñối một khi các tham số của mô hình cũng như các mối quan hệ giữa các biến ñược ñiều tiết bởi các chính sách kinh tế thích hợp. Bài tập Chương V Bài 1. Tìm hàm doanh thu toàn phần (hãy tự xác ñịnh ñiều kiện ban ñầu thích hợp) biết hàm doanh thu biên: a) R’(Q) = 28Q – e0,3Q, b) R’(Q) = 10(1 + Q)–2. Bài 2. Giả sử rằng cường ñộ ñầu tư ñược cho bởi I(t) = 12t1/3 và vốn tại thời ñiểm ban ñầu là K(0) = 25. a) Tìm quỹ ñạo thời gian của vốn tích trữ K. b) Hãy tìm lượng vốn tích lũy ñược trong khoảng thời gian [1, 3]. Bài 3. Xét dòng thu nhập với cường ñộ không ñổi 1000 USD / năm. a) Hãy xác ñịnh giá trị hiện tại của dòng thu nhập trên với thời gian kéo dài trong hai năm và tỉ suất khấu hao (liên tục) là 5% / năm, với thời gian kéo dài trong ba năm và tỉ suất khấu hao (liên tục) là 4% / năm. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..142 b) Hãy xác ñịnh giá trị hiện tại của dòng thu nhập trên với thời gian kéo dài vô hạn trong hai trường hợp trên. Bài 4. Xét mô hình tăng trưởng Domar với khuynh hướng tiết kiệm biên s = 0,2 và khả năng sử dụng vốn ρ = 0,6. a) Hãy cho biết quỹ ñạo thời gian của cường ñộ ñầu tư cần thiết ñể thỏa mãn ñược ñiều kiện cân bằng: thu nhập quốc dân luôn bằng khả năng sản xuất tại mọi thời ñiểm t. b) Giả sử rằng tốc ñộ tăng trưởng r của cường ñộ ñầu tư hiện tại là 15%. ðể không xảy ra tình trạng khả năng sản xuất thặng dư cũng như thiểu dư so với tổng cầu cần ñưa ra các chính sách ñiều tiết như thế nào ñối với r, s và ρ. Bài 5. Xét mô hình thị trường với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau: Qd = α − β P + σ dP dt Qs = −γ + δP α, β, γ, δ > 0. a) Giả sử tốc ñộ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung. Hãy tìm quỹ ñạo thời gian P(t). b) Cho biết mức giá cân bằng theo thời gian cũng như cho biết giá trị nào của tham số σ ñảm bảo mức giá cân bằng này có tính ổn ñịnh ñộng? Bài 6. Xét mô hình tăng trưởng Solow. a) Các biến ñầu vào của mô hình là K và L, trong khi ñó phương • trình cơ bản mô tả mô hình là k = sΦ (k ) − λk lại nhấn mạnh ñến tỉ số k = K/L. Hãy cho biết giả thiết nào của mô hình dẫn tới ñiều này? b) Hãy chứng tỏ rằng tốc ñộ tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao ñộng K/L phụ thuộc vào vốn K, lượng lao ñộng L, khuynh hướng tiết kiệm biên s và tốc ñộ tăng trưởng của lượng lao ñộng. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..143 c) Câu hỏi b) ñược giải quyết như thế nào nếu hàm sản xuất có dạng Cobb – Douglas Q = K α L1−α , với 0 < α < 1. Bài 7. Xét mô hình tăng trưởng Solow với hàm sản xuất có dạng Q = T(t)f(K, L), trong ñó f(K, L) là hàm ñẳng cấp bậc một. Cho biết hàm khuyếch ñại T(t) có tốc ñộ tăng trưởng là ρ, còn lượng lao ñộng L có tốc ñộ tăng trưởng là λ. Hãy xác ñịnh tốc ñộ tăng trưởng của Q khi mô hình ñạt tới trạng thái vững. Bài 8. Xét mô hình thị trường có kỳ vọng giá dự báo khi các hàm Qd và Qs là các hàm phụ thuộc tuyến tính vào P, P’ và P’’ như sau: Q d = 9 − P + P ′ + 3P ′′ Q s = − 1 + 4 P − P ′ + 5 P ′′ Qd = Qs. Cho biết P(0) = 4 và P’(0) = 4. a) Tìm ñường biến ñộng giá. b) Xác ñịnh mức giá cân bằng P và cho biết nó có ổn ñịnh ñộng hay không? Bài 9. Xét mô hình trên với giả thiết cân bằng cung cầu của thị trường không luôn thoả mãn tại mọi thời ñiểm, tức là khi ñiều kiện Qd = Qs không bắt buộc phải thỏa mãn. Giả sử giá cả biến ñộng tuân theo quy dP = 9(Qd − Qs ) , hãy xác ñịnh ñường biến ñộng giá. luật: dt Bài 10. Xét mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp: p= 1 − 3U + π 6 dπ 3 = (p − π) dt 4 dU 1 = − (m − p) . dt 2 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..144 a) Hãy kiểm tra lại các kết quả sau về phương trình các ñường quỹ ñạo theo thời gian: 3 3   π(t) = e −3t / 4  A 5 cos t + A 6 sin t  + m , 4 4   3 3   p(t) = e −3t / 4  A 6 cos t − A 5 sin t  + m , 4 4   1 3 3  1  U(t) = e −3t / 4  (A 5 − A 6 ) cos t + (A 5 + A 6 ) sin t  + . 3 4 4  18  b) Hãy giải mô hình trong trường hợp ñiều kiện ñầu tiên của hệ ñược thay bởi : p = 1/ 6 − 3U + π / 3. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..145 Chương VI ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 1. Một số dạng phương trình sai phân 1.1. Khái niệm về phương trình sai phân Ví dụ 1. Xét biến kinh tế y = y(t) phụ thuộc vào biến ñộc lập t (có thể coi t là biến thời gian chẳng hạn) với biểu thức cụ thể sau: y(t) = y(0)e0,02t. y y(t) y(0) O t Hình VI.1 ðồ thị của hàm y = y(t) ñược cho trên hình VI.1. Trong ví dụ này, ta giả sử t nhận các giá trị liên tục. Trong nhiều bài toán phát sinh từ thực tế, một cách hợp lí hơn, t ñược giả sử là chỉ nhận các giá trị rời rạc t∈ {0, 1, 2, ...}. Vậy có thể viết mối quan hệ phụ thuộc giữa y và t như sau: yt = y(t), ∀t ∈ {0, 1, 2, ...}, trong ñó yt là giá trị của biến y tại thời ñiểm t. ∆y t = y t +1 − y t ñược gọi là sai phân cấp một của y. Chúng ta sẽ ñi xây dựng khái niệm phương trình sai phân. ðây là một khái niệm có ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, ñiều khiển học, công nghệ kĩ thuật. Ví dụ 2. Xét một vài phương trình sai phân sau: a) ∆y t = 2 ( ∀ t = 1, 2, …) ⇔ y t = 2 + y t −1 . Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..146 Ta có: y1 = 2 + y0, y2 = 2 + y1 = 4 + y0 , … Tóm lại, từ ñiều kiện ∆y t = 2 chúng ta ñã tìm ñược hàm: yt = 2t + y0 , ∀ t = 1, 2, … ðồ thị của yt ñược cho trên hình VI.2. y y2 ∆y2 y1 ∆y1 y0 O 1 2 t Hình VI.2 b) Cho ∆y t = −0,1y t . Ta có yt+1 = yt + (–0,1)yt = 0,9yt . Do ñó: y1 = 0,9y0, y2 = (0,9)2y0, ... Vậy yt = (0,9)ty0, ∀t = 1, 2, … ðồ thị của yt ñược cho trên hình VI.3. y y = (0,9)ty y0 y1 y2 O 1 2 3 4 t Hình VI.3 1.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng có dạng sau: y t +1 + ay t = c , (6.1) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..147 trong ñó a, c là các hằng số, yt và yt+1 là các giá trị của y tại các thời ñiểm t và t+1. Cần tìm biểu thức của yt phụ thuộc vào t, a và c. Có thể chứng minh ñược rằng: tương tự như ñối với phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nghiệm của phương trình (6.1) có cấu trúc dạng: y = yc + yp , trong ñó yp là nghiệm riêng của (6.1) còn yc là nghiệm bù của (6.1), tức là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng: y t +1 + ay t = 0. (6.2) Trước hết chúng ta ñi tìm yp. Trường hợp 1: a ≠ –1. Cho yp = k = const, ta có: k + ak = c nên k = c/(1 + a). Trường hợp 2: a = –1. Tìm yp dưới dạng: yt = kt, ta có: k(t + 1) – kt = c nên k = c. Vậy: yp = ct . Sau ñây chúng ta ñi tìm yc dưới dạng yt = Abt. Thay yt+1 = Abt+1, yt = Abt vào (6.2) có: Abt+1 + aAbt = 0 ⇒ b = – a ⇒ yt = A(–a)t. Vậy nghiệm của (6.1) có dạng yt = yc + yp ñược viết tường minh hơn như sau: nếu a ≠ –1 thì y t = A(−a) t + c , 1+ a (6.3) còn nếu a = – 1 thì: yt = A + ct. (6.4) Rõ ràng rằng, nghiệm của phương trình sai phân cấp một phụ thuộc vào tham số A với giá trị cụ thể của A có thể tìm ñược nếu cho ñiều kiện ban ñầu: y0 = y(0). Xét (6.3), khi a ≠ –1: y0 = A + c c ⇒ A = y0 − 1+ a 1+ a Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..148 c  c  t ⇒ y t =  y0 − .  (−a) + 1+ a  1+ a  Xét (6.4), khi a = –1: y0 = A ⇒ yt = y0 + ct. Ví dụ 3. Giải các phương trình sai phân tuyến tính cấp một sau: a) ∆ yt = 2 ⇒ yt +1 – yt = 2 ⇒ yt = y0 + 2t. b) ∆ yt = –0,1yt ⇒ yt+1= 0,9yt ⇒ yt = y0(0,9)t. 1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có dạng sau: yt+2 + a1yt+1 + a2yt = c, (6.5) trong ñó a1, a2 và c là các hằng số. Cần tìm cách biểu diễn yt qua t, a1, a2 và c. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai (6.5) cũng có cấu trúc nghiệm tương tự như phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng: y = yc + yp, với yp là nghiệm riêng, yc là nghiệm bù hay chính là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: yt+2 + a1yt+1 + a2yt = 0. Trước hết chúng ta ñi tìm nghiệm riêng yp. Giả sử yp = k = const, thay vào (6.5) sẽ có : k + a1k +a2k = c ⇒ k = c 1 + a1 + a 2 với ñiều kiện: a1 + a2 ≠ –1. Vậy chúng ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: a1 + a2 ≠ –1. Lúc này y p = c 1 + a1 + a 2 . Trường hợp 2: a1 + a2 = –1, a1 ≠ –2. Tìm yp dưới dạng y = kt, thay vào (6.5) ta có: k(t + 2) + a1k(t + 1) + a2kt = c ⇒ t(k + a1k + a2k ) + 2k + a1k = c ⇒ k= c c ⇒ yc = t . 2 + a1 2 + a1 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..149 Trường hợp 3: a1 + a2 = –1, a1 = –2 (lúc này a2 = 1). Chúng ta có phương trình: yt+2 – 2yt+1 + yt = c. (6.6) Tìm nghiệm yp dưới dạng y = kt2, thay vào (6.6) ta có: c k(t + 2)2 – 2k(t + 1)2 + kt2 = c ⇒ 2k = c ⇒ k = 2 . Vậy nghiệm riêng của (6.6) là: y p = c 2 t . 2 Tóm tắt nghiệm riêng của (6.5) a) Khi a1 + a2 ≠ –1, ta có y p = c 1 + a1 + a 2 b) Khi a1 + a2 = –1, a1 ≠ –2, ta có y p = c) Khi a1 = –2, a2 = 1, ta có y p = . c t. 2 + a1 c 2 t . 2 Sau ñây chúng ta ñi tìm nghiệm bù yc của (6.5). Xét phương trình ñặc trưng: b2 + a1b + a2 = 0. (6.7) Trường hợp 1: ∆ = a12 – 4a2 > 0. Phương trình (6.7) có 2 nghiệm thực b1, b2 nên: yc = A1b1t + A2b2t. Trường hợp 2: ∆ = 0. Phương trình (6.7) có nghiệm kép b = – a1 nên: 2 yc= (A3 + A4t)bt. Trường hợp 3: ∆ < 0. Lúc này (6.7) có hai nghiệm phức: b1, b 2 = −a1 ± i ∆ 2 = h ± vi (với h là phần thực, v là phần ảo). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..150 Do ñó : yc = Rt(A5cosθt + A6sinθt ), với R = h 2 + v 2 và sin θ = v . R Ví dụ 4. Bạn ñọc hãy tự giải một số phương trình sai phân sau ñây: a) yt+2 + yt+1 – 2yt = 12 ⇒ yt = A1 + A2(–2)t + 4t. Nếu cho ñiều kiện ban ñầu: y0 = 4 và y1 = 5, thì có yt = 3 + (–2)t + 4t. b) yt+2 + 6yt+1 + 9yt = 4 ⇒ yt = A1 + A2(–2)t + 4t. t 1 π π  1  c) yt+2 + yt = 5 ⇒ yt =    A 5cos t + A 6 sin t  + 4 . 4 2 2   2  d) yt+2 – yt+1 – yt = 0, với ñiều kiện ban ñầu: y0 = 1 và y1 = 1. Dành cho bạn ñọc tự giải. 1.4. Khảo sát tính ổn ñịnh của nghiệm của các phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai Ví dụ 5. Xét phương trình yt+1 + ayt = c với ñiều kiện a ≠ −1. Ta có: c  c t  . y t =  y0 −  ( −a ) + 1+ a  1+ a  Nếu a < 1 thì quỹ ñạo thời gian của y = y(t) có dạng như trên hình VI.4. y –a < 0 y1 y2 y3 yp = y O 1 2 3 t Hình VI.4 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..151 Trên hình VI.4, yp = y là mức cân bằng dừng ổn ñịnh ñộng theo thời gian. Ví dụ 6. Xét phương trình: yt+2 + a1yt+1 + a2yt = c. Giả sử a1 + a2 ≠ –1 và ∆ = a12 − 4a 2 < 0 , ta có: yp = c 1 + a1 + a 2 và   c y t = R t (A 5 cos θt + A 6 sin θt) +    1 + a1 + a 2  với h = − a1 1 , v= 4a 2 − a12 và R = h 2 + v2 = 2 2 a 2 < 1, sin θ = v . R Giả sử a2 < 1 thì có ngay R < 1. Lúc này yt có tính ổn ñịnh ñộng với quỹ ñạo thời gian dao ñộng tắt dần như ñược chỉ ra trên hình VI.5. y = yc t Hình VI.5 Bạn ñọc quan tâm có thể tự mình khảo sát về tính ổn ñịnh của nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai trong các trường hợp khác. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..152 2. Phân tích cân bằng ñộng trong một số mô hình kinh tế 2.1. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu Xét mô hình thị trường ñược biểu diễn bởi hệ phương trình sai phân sau: Qdt = Qst  Qdt = α − β Pt Q = −γ + δP t −1  st ( víi α, β > 0) (6.8) ( víi γ, δ > 0). Trong mô hình trên chúng ta giả sử lượng cầu của thị trường phụ thuộc vào giá cả tại thời ñiểm hiện tại, còn lượng cung phụ thuộc vào giá cả tại thời ñiểm trước ñó một chu kì thời gian. Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử ñiều kiện Qdt = Qst, tức là lượng cung và lượng cầu ñược coi là cân bằng tại mỗi thời ñiểm t. Từ hệ (6.8) có thể rút ra: δ α+γ δ α+γ Pt + Pt −1 = ⇒ Pt +1 + Pt = β β β β (6.9) t  α + γ  δ  α + γ ⇒ Pt =  P0 − .  −  + β + δ  β  β + δ  Có thể phân tích tính ổn ñịnh ñộng của giá cả Pt dựa trên ñồ thị Cobweb (xem các hình VI.6a và VI.6b) như sau: Q Q Qs Qd Qs Qs1=Qd1 Qs1=Qd1 Qs2=Qd2 Qs2=Qd2 O Qd P1 P P0 Hình VI.6a P O P1 P P0 P Hình VI.6b Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..153 Trên hình VI.6.a ta thấy ñường cung dốc hơn ñường cầu, tức là δ > β nên kiểu biến ñộng của giá cả Pt là kiểu dao ñộng khuyếch ñại (explosive oscillation), do ñó P là mức giá cả cân bằng liên thời nhưng không có tính ổn ñịnh ñộng. Còn trên hình VI.6.b ñường cầu dốc hơn ñường cung, tức là δ < β nên kiểu biến ñộng của giá cả Pt là kiểu dao ñộng tắt dần (damped oscillation), do ñó P là mức giá cả cân bằng liên thời có tính ổn ñịnh ñộng. Trong trường hợp δ = β, giá cả Pt là kiểu dao ñộng ñều (uniform oscillation). 2.2. Mô hình thị trường có hàng tồn kho Trong mô hình này, chúng ta xét các giả thiết sau: Cả lượng cầu Qdt và lượng cung Qst ñều là các hàm tuyến tính “không trễ” của Pt. Việc ñiều chỉnh giá cả xảy ra không thông qua sự ñáp ứng cân bằng cung cầu thị trường tại từng thời ñiểm, mà là thông qua việc người bán ñặt giá phụ thuộc vào lượng hàng tồn kho. Nếu lượng hàng tồn kho dương (hàng dư ra từ chu kì trước) thì giá cả ñược ñiều chỉnh thấp xuống, còn nếu lượng hàng tồn kho âm (có hàng nợ từ chu kì trước) thì giá cả ñược ñiều chỉnh cao hơn. Sự ñiều chỉnh giá cả do người bán ấn ñịnh trong mỗi chu kì tỉ lệ nghịch với lượng hàng tồn kho còn lại từ chu kì trước. Với các giả thiết trên, chúng ta có hệ phương trình sai phân: (víi α, β > 0) Qdt = α − β Pt Q = −γ + δP (víi γ, δ > 0)  st t  Pt +1 = Pt − σ(Qst − Qdt ) (víi σ > 0) Qdt = Qst . (6.10) (6.11) (6.12) (6.13) Phương trình (6.12) có nghĩa là: giá hàng ở giai ñoạn sau phụ thuộc vào giá hàng ở giai ñoạn trước có ñiều chỉnh dựa vào hệ số σ và lượng hàng tồn kho. Thế phương trình (6.10) và (6.11) vào (6.12), chúng ta có: Pt +1 − 1 − σ ( β + δ )  Pt = σ ( γ + α ) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..154 t  α+γ α+γ ⇒ Pt =  P0 − 1 − σ (β + δ ) ) + (  β+δ β+δ  ⇒ Pt =  P0 − P  (1 − σ ( β + δ ) ) + P . t Như vậy, tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cả cân bằng P (nói vắn tắt, sự bình ổn giá) sẽ phụ thuộc vào biểu thức b = 1 – σ(β + δ). Dễ thấy, ñiều kiện bình ổn giá là: –1 < b = 1 – σ(β + δ) < 1. Khi b = 0 thì giá cả không có biến ñộng và luôn giữ ở mức cân bằng P . Ngoài ra, có thể nhận thấy: 0< b <1 ⇔ 0<σ< 1 ⇔ quỹ ñạo thời gian của P(t) là không dao β+δ ñộng và hội tụ, –1 < b < 0 ⇔ 1 2 <δ< ⇔ quỹ ñạo thời gian P(t) là dao ñộng β+δ β+δ tắt dần và hội tụ, b = –1 ⇔ δ = 2 ⇔ quỹ ñạo thời gian P(t) là dao ñộng ñều và β+δ không hội tụ, 2 ⇔ quỹ ñạo thời gian P(t) là dao ñộng khuyếch β+δ ñại và không hội tụ. b < –1 ⇔ δ > 2.3. Mô hình thị trường với giá trần Phân tích ñịnh tính bằng biểu ñồ pha Trong các mục trên chúng ta ñã phân tích một số mô hình kinh tế thông qua việc giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Tuy nhiên nhiều mô hình kinh tế ñòi hỏi giải các phương trình sai phân phi tuyến. Trong các trường hợp ñó có thể áp dụng cách tiếp cận ñịnh tính ñể phân tích tính ổn ñịnh ñộng của các biến kinh tế liên quan bằng biểu ñồ pha. Nếu chúng ta vẽ các ñiểm (yt, yt+1) trên mặt phẳng tọa ñộ thì ta có một biểu ñồ pha, các ñiểm (yt, yt+1) tạo thành ñường pha. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..155 ðể cho dễ hiểu, chúng ta hãy xét phương trình sai phân cấp một: yt+1 = f(yt). yt+1 C E f(yt) D y1=f(y0) A E yt+1 F B f( D y) C A y1=f(y0 B F 45 O 45 y0 y1 yt y O Hình VI.7a yt+1 y1=f(y0) A E yt D f(yt ) y y1 F E A B y1=f(y0) C 45 Hình VI.7c yt+1 B F o y0 y1 Hình VI.7b D O y y0 yt C f(yt) o 45 O y0 y y1 yt Hình VI.7d Dựa vào các hình VI.7a, VI.7b, VI.7c và VI.7d chúng ta có thể phân tích ñược sự ổn ñịnh của các quỹ ñạo thời gian của yt. Bạn ñọc hãy tự giải thích các kết quả sau: – Nếu 0 < f’ < 1 thì quỹ ñạo thời gian không dao ñộng và hội tụ (tới y ). – Nếu f’ > 1 thì quỹ ñạo thời gian không dao ñộng và không hội tụ. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..156 – Nếu –1 < f’ < 0 thì quỹ ñạo thời gian dao ñộng tắt dần và hội tụ (tới y ). – Nếu f’ < –1 thì quỹ ñạo thời gian dao ñộng khuyếch ñại và không hội tụ. Phân tích mô hình thị trường với giá trần bằng biểu ñồ pha Xét mô hình Cobweb cân bằng cung cầu mục 2.1 và phương trình sai phân (6.9): Pt +1 = f (Pt ) = α+γ δ − Pt β β (víi δ > 0). β Dựa vào hình VI.6b, chúng ta ñã nhận thấy rằng ñường (quỹ ñạo thời gian) giá cả Pt có tính dao ñộng và ổn ñịnh theo thời gian với ñiều kiện δ < β và ngược lại. Ngược lại, dựa trên hình VI.6a, ñường giá cả sẽ dao ñộng khuyếch ñại khi δ > β. Tuy nhiên, một khi giá trần P$ñược áp ñặt (trong mọi trường hợp không cho phép giá P vượt quá P$), thì ñường giá và P$, cả sẽ có tính dao ñộng ñều, giá cả P sẽ biến ñộng trong khoảng P% trong ñó P% là mức giá sàn xác ñịnh bởi P% = f( P$). Mô hình này có thể ñược tổng quát hóa cho trường hợp hàm f(Pt) là phi tuyến (xem hình VI.8). Giá trị k (là hoành ñộ của giao ñiểm tạo bởi Pt+1 = f(Pt) và Pt+1 = P$) ñược gọi là giá trị xoắn (kink value). Pt+1 Pt+1 = f(Pt) P$ P% 45o O P%k P0 P P1 P$ Pt Hình VI.8 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..157 3. Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson 3.1. Phát biểu mô hình Giả sử thu nhập quốc dân bao gồm các phần chi phí: dành cho tiêu dùng quốc dân, cho ñầu tư và cho bộ máy nhà nước. Tiêu dùng quốc dân tại thời ñiểm (chu kì) t phụ thuộc vào mức thu nhập quốc dân tại thời ñiểm (chu kì) trước ñó (t – 1). Còn lượng ñầu tư tại mỗi thời ñiểm t ñược giả sử là bằng một tỉ lệ nhất ñịnh của lượng tăng tiêu dùng tại thời ñiểm này so với thời ñiểm trước. Nếu lượng tiêu dùng tăng thì lượng ñầu tư cũng ñược giả sử là tăng lên. Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử rằng chi phí cho bộ máy nhà nước ñược coi là biến ngoại sinh. Từ các giả thiết trên, chúng ta có hệ phương trình sai phân sau ñây: Yt = Ct + It +G0 (6.14) Ct = γYt–1 (với 0 < γ < 1) (6.15) It = α(Ct – Ct–1) (với α > 0). (6.16) Trong ñó: Y: Thu nhập quốc dân, C: Tiêu dùng quốc dân, I: ðầu tư (tái ñầu tư), G0: Chi phí cho bộ máy nhà nước, α: Nhân tử tăng tốc (cho tái ñầu tư), γ: Khuynh hướng tiết kiệm biên. ðem (6.15) thay vào (6.16) sẽ có: I t = α ( C t − C t −1 ) = α ( γYt −1 − γYt − 2 ) = αγ ( Yt −1 − Yt − 2 ) . (6.17) Thay (6,15) và (6.17) vào (6.14) ta thu ñược: Yt = γYt −1 + αγ (Yt −1 − Yt − 2 ) + G 0 ⇔ Yt − γ (1 + α ) Yt −1 + αγYt − 2 = G 0 . (6.18) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..158 3.2. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình Trước hết chúng ta ñi tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân (6.18) theo công thức ñã biết Yp = c 1 + a1 + a 2 ⇒ Yp = G0 G = 0 > 0. 1 − γ (1 + α) + αγ 1 − γ ðể tìm nghiệm bù Yc của (6.18), tức là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, cần xét phương trình ñặc trưng: g(b) = b 2 − γ (1 + α)b + αγ = 0. (6.19) Một cách tổng quát, các nghiệm của phương trình ñặc trưng ñược tìm theo công thức: b1,2 = γ (1 + α ) ± ( γ (1 + α ) ) 2 − 4αγ 2 . Xét ba trường hợp sau tùy thuộc vào dấu của biệt thức ∆ = γ 2 (1 + α) 2 − 4αγ . Trường hợp 1: ∆ > 0 ⇔ γ > Trường hợp 2: ∆ = 0 ⇔ γ = Trường hợp 3: ∆ < 0 ⇔ γ < 4α 2 . Ta có Yc = A1b1t + A 2 b 2t . 2 . Ta có Yc = (A 3 + A 4 t)b t . 2 . Lúc này, chúng ta có: (1 + α ) 4α (1 + α ) 4α (1 + α ) γ (1 + α ) ± i γ 2 (1 + α ) − 4αγ 2 b1,2 = với h = γ (1 + α) và v = 2 2 ∆ 2 = h ± vi, . Do ñó: Yc = R t (A 5 cos θt + A 6 sin θt) , với R = h 2 + v 2 = αγ và cosθ = h/R , sinθ = v/R. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..159 γ αγ = 1 1C γ= 3D O 1D 2D 4D 3C 2C 4α (1 + α)2 Hình VI.9 α Từ các trường hợp 1, 2 và 3 ñã phân tích trên ñây và các công thức tìm Yc trong các trường hợp ñó, chúng ta ñi tới các kết luận sau ñây về tính chất của ñường (quỹ ñạo thời gian) thu nhập quốc dân Yt: – Tại vùng 1C: 4α < γ < 1 , 0 < α < 1,Yt có tính ổn ñịnh dừng và (1 + α)2 không dao ñộng. – Tại vùng 1D: 4α < γ < 1 , α > 1, Yt không ổn ñịnh dừng và (1 + α)2 không dao ñộng. – Trên ñoạn cong 2C: γ = 4α , 0 < α < 1, Yt ổn ñịnh dừng và (1 + α)2 không dao ñộng. – Trên ñoạn cong 2D: γ = 4α , α >1, Yt không ổn ñịnh dừng và (1 + α)2 không dao ñộng. 4α và α < 1, hoặc 0 < γ < 1/α và α > (1 + α) 2 1, Yt có tính ổn ñịnh dừng và dao ñộng tắt dần. – Trong vùng 3C: 0 < γ < – Trong vùng 3D: 1 4α , α > 1, Yt không ổn ñịnh dừng và <γ< α (1 + α) 2 dao ñộng khuyếch ñại. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..160 – Trên ñoạn cong 4D: γ = 1/α và α > 1, Yt không ổn ñịnh dừng và dao ñộng ñều. Thật vậy, ñể chứng tỏ tính ñúng ñắn của các kết luận trên, chúng ta cần xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: ∆ > 0 ⇔ γ > 4α (theo giả thiết của mô hình (1 + α) 2 0 < γ < 1). Gọi b1, b2 là nghiệm của phương trình ñặc trưng g(b) = b − γ (1 + α)b + αγ = 0. 2 – Xét trường hợp 1a: 0 < b2 < b1 < 1. Ta có g(1) = 1 – γ > 0 ⇔ γ < 1 . Ngoài ra, do b1b2 = αγ nên phải có αγ < 1. Vậy (α, γ) nằm trong vùng 1C. Lúc này: Yt = Yc + Yp = A1b1t + A 2 b 2t + G0 G0 → . t →∞ 1− α 1− γ Do ñó Yt có tính ổn ñịnh dừng và không dao ñộng. – Xét trường hợp 1b: 1< b2 < b1. Lập luận tương tự, ta có αγ > 1 . Vậy (α, γ) nằm trong vùng 1D. Lúc này: Yt = Yc + Yp = A1b1t + A 2 b 2t + G0 không hội tụ khi t → ∞. 1− γ Do ñó Yt không có tính ổn ñịnh dừng và không dao ñộng. Trường hợp 2: ∆ = 0 ⇔ γ = nghiệm kép b = 4α . Phương trình ñặc trưng có (1 + α) 2 G γ (1 + α) và: Yt = (A 3 + A 4 t)b t + 0 . 2 1− α γ (1 + α) < 1 ⇔ γ + γα < 2 . Lúc này: 0 < b < 1 2 nên b2 = αγ < 1. Do ñó khi (α, γ) thuộc ñoạn cong 2C, Yt có tính ổn ñịnh dừng và không dao ñộng. – Xét trường hợp 2a: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..161 γ (1 + α) > 1 ⇔ γ + γα > 2 . Lúc này b > 1 và 2 b2 = αγ > 1. Do ñó khi (α, γ) thuộc ñoạn cong 2D, Yt không ổn ñịnh dừng và không dao ñộng. – Xét trường hợp 2b: – Trường hợp b = 1 không thể xảy ra, vì lúc ñó γ = 1 trái với giả thiết của mô hình. Trường hợp 3: ∆ < 0 ⇔ γ < 4α . Lúc này phương trình ñặc (1 + α) 2 trưng có nghiệm phức: γ (1 + α ) ± i γ 2 (1 + α ) − 4αγ 2 b1,2 = với h = γ (1 + α) và v = 2 2 ∆ 2 = h ± vi, . Do ñó: Yt = R t (A5 cos θt + A 6 sin θt) + G0 , 1− γ với R = h 2 + v 2 = αγ và cosθ = h/R , sinθ = v/R. – Xét trường hợp 3a: R < 1. Lúc này αγ < 1 nên Yt có tính ổn ñịnh dừng theo thời gian và dao ñộng tắt dần khi (α, γ) thuộc vùng 3C. – Xét trường hợp 3b: R ≥ 1. Ta có αγ < 1 nên Yt dao ñộng khuyếch ñại và không ổn ñịnh dừng khi (α, γ) thuộc vùng 3D. 4. Mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp với thời gian rời rạc 4.1. Phát biểu mô hình Trong mục 6 của chương V, chúng ta ñã nghiên cứu về mô hình quan hệ tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp với thời gian liên tục (bạn ñọc có thể xem lại cách kí hiệu các biến trong mô hình). Vấn ñề này có thể ñược xem xét với thời gian rời rạc. Trong mô hình với biến thời gian liên tục, chúng ta ñã xét hệ phương trình sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..162 p = α − T − β U + hπ (ðây là quan hệ Phillips có bổ sung kì vọng lạm phát), dπ = j(p − π) dt (Phương trình này mô tả tính thích nghi của kì vọng lạm phát), dU = − k(m − p) dt (ðây là phương trình mô tả chính sách tiền tệ). Rời rạc hóa hệ phương trình trên chúng ta có: p t = α − T − βU t + hπt (với α, β > 0, 0 < h ≤ 1), (6.20) π t +1 − πt = j(p t − πt ) (với 0 < j ≤ 1), (6.21) U t +1 − U t = −k(m − p t +1) (với k > 0). (6.22) 4.2. Phân tích các ñường biến ñộng của giá cả và lạm phát Từ (6.20) suy ra: p t +1 = α − T − βU t +1 + hπt +1 . (6.23) Theo (6.20), (6.21) và (6.22) suy ra: p t +1 − p t = −β(U t +1 − U t ) + h(πt +1 − πt ) (6.24) ⇒ p t +1 − p t = kβ(m − p t +1 ) + hj(p t − πt ) . (6.25) Cần khử π t trong (6.25). Từ (6.20) ta có: hπ t = p t − α + T + βU t . (6.26) Thay vào (6.25) sẽ nhận ñược: p t +1 − p t = kβ(m − p t +1 ) + hjp t − j(p t − α + T + βU t ) (6.27) ⇒ p t + 2 − p t +1 = kβ(m − p t + 2 ) + hjp t +1 − j(p t +1 − α + T + βU t +1 ) . (6.28) Lấy (6.27) trừ (6.28) ta có: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..163 −p t + 2 + 2p t +1 − p t = kβ(p t + 2 − p t +1 ) + hj(p t − p t +1 ) − j(p t − p t +1 ) + j β[ − k (m − p t +1 )] . ⇒ (1 + kβ)p t + 2 + (−kβ − hj + j + kjβ − 2)p t +1 + (1 + hj − j)p t = jβ km . Vậy cuối cùng ta có: pt+2 − 1 + hj + (1 − j)(1 + kβ) 1 − j(1 − h) jβkm p t +1 + pt = . 1 + kβ 1 + kβ 1 + kβ (6.29) ðây là phương trình sai phân cấp hai ñối với p (p là tốc ñộ tăng trưởng giá cả). Theo công thức tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân cấp hai: yt+2 + a1yt+1 + a2yt = c, ta có: p = pp = c 1 + a1 + a 2 = m; ðể tìm nghiệm bù của p c của (6.29) trước hết cần tìm các nghiệm b1, b2 của phương trình ñặc trưng: b2 − 1 + hj + (1 − j)(1 + kβ) 1 − j(1 − h) b+ = 0. 1 + kβ 1 + kβ Chúng ta sẽ chỉ xét trường hợp 1: ∆ > 0 (các trường hợp khác dành cho bạn ñọc). Lúc này: b1 + b2 = b1b 2 = 1 + hj + (1 − j)(1 + kβ) 1 − hj = +1− j > 0 1 + kβ 1 + kβ 1 − j(1 − h) > 0. 1 + kβ Ngoài ra: (1 − b1 )(1 − b 2 ) = β kj >0. 1 + kβ Vậy nếu ∆ > 0 thì 0 < b 2 < b1 < 1 . Từ ñó suy ra: p c = A1b1t + A 2 b 2t và pt = pc + pp. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..164 Do ñó mức tăng trưởng giá pt sẽ hội tụ tới mức cân bằng dừng m (ñây cũng chính là mức tăng trưởng lượng tiền cân bằng danh nghĩa) ổn ñịnh ñộng theo thời gian. Bạn ñọc có thể kiểm nghiệm lại tính ñúng ñắn của các phương trình và công thức sau ñây: U t +2 − = 1 + hj + (1 − j)(1 + kβ) 1 − j(1 − h) U t +1 + Ut 1 + kβ 1 + kβ kj[ α − T − (1 − h)m ] 1 + kβ . (6.30) Phương trình (6.30) có nghiệm: U t = U c + U p , trong ñó U c ≡ p c còn U = Up = 1 1 [ α − T − (1 − h)m] = [α − T − (1 − h)p] . β β 5. Áp dụng hệ phương trình vi phân và sai phân trong phân tích kinh tế Trong các mục trước, chúng ta ñã tiến hành các phân tích cân bằng ñộng sử dụng chỉ một phương trình “ñộng học” duy nhất: phương trình vi phân hoặc sai phân. Trong mục này hệ phương trình vi phân hoặc sai phân tuyến tính cấp một sẽ ñược áp dụng ñể nghiên cứu các kiểu thay ñổi tương tác của các biến kinh tế liên quan nhằm tìm ra các quỹ ñạo thời gian của chúng. Từ ñó, các kết luận ñược ñưa ra về việc các biến kinh tế này có hội tụ về các mức cân bằng ổn ñịnh ñộng hay không. 5.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Chúng ta nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một qua ví dụ ñơn giản sau ñây: Ví dụ 7. Xét hệ phương trình vi phân  x′(t) + 2y′(t) + 2x(t) + 5y(t) = 77  y′(t) + x(t) + 4y(t) = 61.  (6.31) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..165 Kí hiệu:  x ′(t)  u=  , v =  y′(t)   x(t)   y(t)  , J =   1 2  0 1  , M =   2 5 1 4 , g =    77   61  .   Lúc ñó hệ (6.31) ñược viết dưới dạng: Ju + Mv = g, (6.32) hoặc: J–1Ju + J–1Mv = J–1g ⇔ Iu + Kv = d, trong ñó I là ma trận ñơn vị, K = J–1M và d = J–1g. Chúng ta ñi tìm nghiệm riêng của hệ (6.32) dưới dạng véc tơ có các toạ ñộ không ñổi:  x(t)   x  v=   =   ⇒  y(t)   y  0  u =  . 0  nên (6.32) trở thành: x  v =   = M–1g =  y  =   4 3 1 3 − 5 3 2 3 2 5 1 4    77  61  =   −1  77   61     1 15 .   (6.33) ðể tìm nghiệm bù của hệ (6.32), tức là nghiệm thỏa mãn Ju + Mv = 0, chúng ta xét nghiệm có dạng: x(t) = mert và y(t) = nert. Do ñó: x’(t) = mrert và y’(t) = nrert.  mrert   m   =   re rt và v = u=  rt  nre   n   me rt   m    =   ert . rt  ne   n  Thay u và v trong các công thức trên vào phương trình Ju + Mv = 0, chúng ta có: m m m  J   rert + M   ert = 0 ⇔ (rJ + M)   = 0. n  n  n  (6.34) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..166 ðể (6.34) có nghiệm không tầm thường, chúng ta phải có det(rJ + M) = 0. (6.35) Phương trình (6.35) ñược gọi là phương trình ñặc trưng của hệ (6.32) và cho phép tìm ñược các nghiệm ri cần thiết, từ ñó có thể tính ñược các giá trị mi và ni tương ứng thoả mãn (6.34). Trong ví dụ này, ta có:  r + 2 2r + 5 =0 det(rJ + M) = det  r + 4   1 ⇔ r2 + 4r + 3 = 0 ⇔ r1 = –1, r2 = –3. Với r1 = –1, ta có 1 3  m1  1 3  n  = 0 ⇔ m1 = 3A1, n1 = –A1 với A1 là tham số có giá trị   1  tuỳ chọn. Với r2 = −3, ta có  −1 −1  m 2   1 1   n  = 0 ⇔ m2 = A2, n2 = –A2   2  với A2 là tham số có giá trị tuỳ chọn. Căn cứ các giá trị ri, mi và ni ñã xác ñịnh ñược với i = 1, 2 như trên ñây, nghiệm bù của (6.32) có dạng rt r t  x c   m1e 1 + m 2e 2   , y  =  c   n1er1t + n 2e r2 t  nên nghiệm tổng quát của (6.32) sẽ là: −t −3t  x(t)   x c   x  3A1e + A 2e + 1   . = + =  y(t)   y   y     c     −A1e− t − A 2e−3t + 15 Hơn nữa, nếu xét ñiều kiện ban ñầu x(0) = 6 và y(0) = 12 thì các tham số A1 và A2 sẽ nhận các giá trị thích hợp là: A1 = 1 và A2 = 2 (bạn ñọc tự kiểm tra). Ngoài ra, với các giá trị tuỳ ý của các tham số A1 và A2, dễ thấy rằng các ñường quỹ ñạo thời gian x(t) và y(t) ñều hoặc hội tụ hoặc không hội Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..167 tụ. Trong ví dụ trên, do r1 = –1, r2 = –3 nên các ñường này ñều hội tụ về mức cân bằng ổn ñịnh ñộng với x = 1, y = 15. Phương pháp giải hệ phương trình vi phân tuyến tính tổng quát cũng có thể ñược trình bày tương tự như trong ví dụ trên. Bạn ñọc quan tâm có thể tự nghiên cứu công thức tìm nghiệm bù và nghiệm tổng quát trong các trường hợp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có phương trình ñặc trưng với các nghiệm thực phân biệt hay các nghiệm phức. 5.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một ðể nghiên cứu cách giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một, chúng ta xét ví dụ sau ñây: Ví dụ 8. Xét hệ phương trình sai phân  x t +1 + 6x t + 9y t = 4  = 0.  y t+1 − x t (6.36) Chúng ta ñi tìm nghiệm riêng của hệ (6.36) dưới dạng  x t +1   x t   x  7x + 9y = 4  x = 1/ 4  y  =  y  =  y  ⇒ − x + y = 0 ⇒  y = 1/4.    t +1   t    (6.37) Chú ý. Nếu cách tìm nghiệm riêng trên ñây không cho ta ñáp số thì cần tìm nghiệm riêng dưới dạng: xt = k1t và yt = k2t. ðể tìm nghiệm bù của (6.36), chúng ta xét dạng nghiệm sau: xt = mbt và yt = nbt. Lúc ñó, xt+1 = mbt+1 và yt+1 = nbt+1. Thay các biểu thức này vào hệ phương trình thuần nhất tương ứng với hệ (6.36):  x t +1 + 6x t + 9y t = 0  =0  y t+1 - x t ta sẽ thu ñược: (b + 6)m + 9n = 0  -m + bn = 0.  (6.38) ðể hệ có nghiệm (m, n) không tầm thường, cần xét ñiều kiện: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..168 b + 6 9  2 det   = 0 ⇔ b + 6b + 9 = 0 ⇔ b1 = b2 = –3. (6.39) − 1 b   Phương trình (6.39) ñược gọi là phương trình ñặc trưng của hệ (6.36) và cho phép tìm ñược n = A3 và m = –3A3, với A3 là tham số tuỳ chọn. Từ ñó, có thể tìm ñược công thức tính nghiệm bù nghiệm bù của (6.36) t t  x c   −3A3 (−3) − 3A 4 t(−3)   , = y   c   A3 (−3) t + A 4 t(−3) t  nên nghiệm tổng quát của (6.36) sẽ là: t t  x(t)   x c   x   −3A3 (−3) − 3A 4 t(−3) + 1/ 4   .  y(t)  =  y  +  y  =    c     A3 (−3) t + A 4 t(−3) t + 1/ 4  Dễ thấy, trong ví dụ này, do b1 = b2 = –3 nên các ñường quỹ ñạo thời gian xt và yt ñều phân kì và có dạng dao ñộng tuần hoàn khuyếch ñại. Trong trường hợp tổng quát, các ñường quỹ ñạo thời gian của các biến kinh tế xt và yt luôn ñồng thời hoặc hội tụ hoặc phân kì. Phương pháp giải trên ñây có thể ñược trình bày dưới dạng các phương trình ma trận như sau: Trước hết hệ (6.36) ñược viết dưới dạng: 1 0   x t +1   6 9   x t   4  0 1   y  +  −1 0   y  = 0  ⇔ Iu + Kv = d,    t +1    t   (6.40) trong ñó  x t +1  u=  , v =  y t +1  xt  y  , I =  t 1 0  0 1  , K =    6 9  −1 0  , d =   4 0  .   ðể tìm nghiệm riêng, chúng ta giả sử xt+1 = xt = x và yt+1 = yt = y thì có phương trình: x  (I + K)   = d ⇔  y x  –1  y  = (I + K) d   Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..169  7 9 =    −1 1  −1 1  4  16 0  =  1   16 − 9   4  1  16  = 4 .   7  0   1  16  4 Còn ñể tìm nghiệm bù, chúng ta xét:  mb t +1   m   =   b t +1 và v = u=  t + 1  nb   n   mb t   m    =   bt . t  nb   n  Thay vào phương trình (6.40) chúng ta thu ñược: m (bI + K)   = 0. n  (6.41) ðể (6.41) có nghiệm không tầm thường, cần xét ñiều kiện sau: b + 6 9  2 det (bI + K) = det   = 0 ⇔ b + 6b + 9 = 0 − 1 b   ⇔ b1 = b2 = –3. (6.42) Phương trình b2 + 6b + 9 = 0 ñược gọi là phương trình ñặc trưng. Từ ñây ta cũng có n = A3 và m = –3A3, với A3 là tham số tuỳ chọn và nghiệm tổng quát của (6.40) là: t t  x(t)   x c   x   −3A3 (−3) − 3A 4 t(−3) + 1/ 4   . = + =  y(t)   y   y     c     A3 (−3) t + A 4 t(−3) t + 1/ 4  Chú ý. Trong trường hợp phương trình ñặc trưng có nghiệm là các số thực phân biệt (hay là các số phức), chúng ta vẫn có thể dễ dàng viết ñược công thức của nghiệm bù cũng như nghiệm tổng quát của hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một (vấn ñề này dành cho các bạn ñọc quan tâm tự nghiên cứu). 5.3. Mô hình cân ñối liên ngành ñộng Mô hình cân ñối liên ngành ñộng còn ñược gọi là mô hình ñầu vào – ñầu ra ñộng. ðây là sự tổng quát của mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..170 ñã ñược nghiên cứu trong mục 2.3 của Chương II, trong ñó các mức ñầu vào – mức cung của giai ñoạn trước sẽ ñược sử dụng ñể ñáp ứng các mức ñầu ra – mức cầu cho giai ñoạn sau. Sau ñây, với mục ñích trình bày vấn ñề ñơn giản, chúng ta xét mô hình cân ñối liên ngành ñộng trong một nền kinh tế chỉ với hai ngành công nghiệp. Trong mô hình này chúng ta giả sử rằng: mức cầu trong giai ñoạn t xác ñịnh ñầu ra không phải của giai ñoạn t mà là của giai ñoạn t + 1. Vì vậy mô hình này ñược gọi là mô hình “trễ một giai ñoạn” và ñược viết như sau: xi,t+1 = ai1x1,t + ai2x2,t + di,t , với i = 1, 2, (6.43) x t +1 = Ax t + d t hay x t +1 − Ax t = d t (6.44) hay: trong ñó:  x1,t  xt =   là véc tơ ñầu vào, xi,t là các mức ñầu vào của ngành công  x 2,t  nghiệp i tại giai ñoạn t, với i = 1, 2,  x1,t +1  xt+1 =   là véc tơ ñầu ra của nền công nghiệp, xi,t+1 là các mức  x 2,t +1  ñầu vào của ngành công nghiệp i tại giai ñoạn t + 1, với i = 1, 2, a  a A =  11 12  là ma trận hệ số ñầu vào, a 21 a 22  d1,t  dt =   là véc tơ nhu cầu chung (nhu cầu cuối cùng) của xã hội về d 2,t  các loại hàng hoá do các ngành công nghiệp 1 và 2 sản xuất ra tại giai ñoạn t. Ví dụ 9. Giả sử véc tơ nhu cầu cuối cùng dt có dạng hàm mũ: d1,t  δ t  1 t dt =   =   =   δ , trong ñó δ là một hằng số dương. d 2,t  δ t  1 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..171 Lúc ñó chúng ta cần tìm nghiệm riêng dưới dạng: β δ t  β δ t +1  1    , với β1 và β2 là các hệ số cần xác ñịnh , xt+1 =  1 xt = t β2δ  β2δ t +1  sau. Vậy ta có: β  xt =  1  δ t và xt+1 = β2  β δ t   1 δ= β2δ t  δ 0  β1  t 0 δ  β  δ .    2 Lúc này (6.44) trở thành: δ 0  β1  t  a11 a12  β1  t 1 t    δ = 1 δ 0 δ  β  δ − a    2   21 a 22  β2  δ − a11 −a12  β1  1 ⇔   =  .  −a 21 δ − a 22  β2  1 (6.45) Giả sử ma trận hệ số của hệ (6.45) là không suy biến, lúc ñó hệ có nghiệm sau ñây: β1 = δ − a 22 + a12 δ − a11 + a 21 , β2 = , ∆ ∆ trong ñó: ∆ = (δ − a11 )(δ − a 22 ) − a12a 21 . ðể tìm nghiệm bù cần xuất phát từ phương trình xt+1 – Axt = 0 và xét phương trình ñặc trưng như sau:  b − a11 −a12  det(bI − A) = det   = 0.  −a 21 b − a 22  (6.46) Từ phương trình này ta tìm ñược các giá trị b1 và b2 ñể ñi giải các hệ phương trình: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..172 −a12   m  0   bi − a11 = với i =1, 2.  −a bi − a 22   n  0  21  Áp dụng phương pháp tìm nghiệm bù và nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính như trong mục 5.2 chúng ta sẽ tìm ñược nghiệm tổng quát của (6.44). Mô hình cân ñối liên ngành ñộng với cầu vượt mức Giả sử mức cầu về hàng hóa của ngành công nghiệp i trong giai ñoạn t vượt qua mức cung về hàng trong giai ñoạn này, thì việc ñiều chỉnh ñầu ra ñược thực hiện sao cho: ∆xi, t = xi,t+1 – xi,t = ai1x1,t + ai2x2,t + di,t – xi,t , với i = 1, 2. (6.47) ðiều này có nghĩa là cần căn cứ vào thặng dư của cầu so với cung của giai ñoạn t ñể ñiều chỉnh lại mức ñầu ra của giai ñoạn t + 1 một cách tương ứng so với ñầu ra của giai ñoạn t. Nếu ta cộng hai vế của phương trình (6.47) với xi,t thì nhận ñược hệ phương trình (6.43). Mô hình (6.47) ñối với thời gian rời rạc ñược viết một cách tương tự cho trường hợp thời gian liên tục (với giãn cách giữa các mốc thời gian ñủ bé) như sau: x ′i (t) = ai1x1(t) + ai2x2(t) + di(t) – xi(t) , với i = 1, 2. (6.48) Dưới dạng phương trình ma trận, mô hình này ñược viết là: Ix’ + (I – A)x = d, (6.49) trong ñó:  x ′ (t)  x’ =  1  ,  x ′2 (t)   x (t)  x=  1  ,A=  x 2 (t)   a11 a12  a ,d=  21 a 22  d1(t)  d (t)  .  2  Nghiệm riêng của (6.49) ñược xác ñịnh tùy theo dạng của véc tơ d. Trong khi ñó căn cứ phương pháp ñã biết trong mục 5.1, nghiệm bù của (6.49) ñược xác ñịnh sau khi giải phương trình ñặc trưng: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..173 −a12   r + 1 − a11 det(rI + I − A) = det  = 0. r + 1 − a 22   −a 21 (6.50) Ví dụ 10. Giả sử véc tơ nhu cầu cuối cùng dt có các thành phần biến thiên dạng hàm mũ: λ eρt   λ  d =  1  =  1  eρt , trong ñó ρ là một hằng số dương. λ 2eρt   λ 2  Lúc ñó chúng ta cần tìm nghiệm riêng dưới dạng: β1  β1  ρ 0  β1  ρt x =   eρt , x’ = ρ   eρt =   e  0 ρ  β2  β2  β2  với β1 và β2 là các hệ số cần xác ñịnh sau. Thay vào (6.49) chúng ta thu ñược: t t ρ 0  β1  1 − a11 −a12  β1  λ1    =      −  0 ρ  β2   −a 21 1 − a 22  β2  λ 2  hay: −a12  β1  λ1  ρ + 1 − a11 . =  −a ρ + 1 − a 22  β2  λ 2  21  (6.51) Giả sử ma trận hệ số của hệ (6.51) là không suy biến. Lúc ñó hệ có nghiệm sau ñây: λ (ρ + 1 − a 22 ) + λ 2a12 λ (ρ + 1 − a11 ) + λ1a 21 β1 = 1 , β2 = 2 , ∆ ∆ trong ñó: ∆ = (ρ + 1 − a11 )(ρ + 1 − a 22 ) − a12a 21 . Áp dụng phương pháp tìm nghiệm bù và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính như trong mục 5.1 chúng ta sẽ tìm ñược nghiệm tổng quát. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..174 5.4. Mô hình tương tác lạm phát và thất nghiệp Xét mô hình biểu thị quan hệ tương tác lạm phát và thất nghiệp ñã biết ở mục 6 Chương V: p = α − T − β U + hπ dπ = j(p − π) dt dU = − k(m − p) dt (α, β > 0; 0 < h ≤ 1) (0 < j ≤ 1) (6.52) (k > 0). Trong hệ phương trình trên, p là mức tăng trưởng về giá (lạm phát), T là hiệu suất lao ñộng, U là mức thất nghiệp, π là tốc ñộ lạm phát dự báo (kì vọng tốc ñộ lạm phát), m là tốc ñộ tăng trưởng của lượng tiền cân bằng danh nghĩa. Thay biểu thức của p trong phương trình ñầu vào hai phương trình sau của hệ, chúng ta thu ñược: + j(1 - h)π + jβU = j(α - T) π′  U′ khπ + kβU = k(α - T - m)  hay: 1 0   π′   j(1 − h) jβ   π   j(α − T)  = 0 1   U′ +  − kh    kβ  U   k(α − T − m)      (6.53) ðể tìm nghiệm riêng của hệ (6.53), chúng ta coi π (tốc ñộ lạm phát dự báo) và U (mức thất nghiệp) là các hằng số. Với ñiều kiện này π’ = U’ = 0 nên từ hệ (6.53) chúng ta thu ñược các nghiệm riêng: π = m và U = 1 [α-T-(1-h)m] . β (6.54) ðể tìm nghiệm bù dưới dạng π = mert và U = nert , trước hết chúng ta ñặt: 1 0   j(1 − h) jβ  J=  và M =  .  kβ  0 1   −kh Lúc ñó m, n và r phải thỏa mãn phương trình ma trận sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..175 jβ   m   0  m   r + j(1 − h) (rJ + M)   = 0 ⇔  = . (6.55) r + kβ   n  0  n   − kh ðể hệ thuần nhất trên ñây có nghiệm không tầm thường ta phải có: det(rJ + M) = r 2 + [kβ + j(1-h)]r + kβj = 0 ⇔ r2 + a1r + a2 = 0, (6.56) trong ñó: a1 = kβ + j(1 – h) và a2 = kβj. Dễ thấy phương trình trên ñây cũng chính là phương trình (5.27) trong mục 6.2 của Chương V. Ví dụ 11. Xét lại ví dụ ở mục 6.2, Chương V với: α – T = 1/6, β = 3, h = 1, j = 3/4 và k = 1/2. Dễ dàng tìm ñược π = m và U = 1 × 1 = 1 . Lúc này phương trình 3 6 18 ñặc trưng (6.56) có dạng: ( ) r2 + 3 r + 9 = 0 ⇔ r1, r2 = 1 − 3 ± 9 − 9 = − 3 ± 3 i 2 2 8 2 4 2 4 4 với h = − 3 và v = 3 . 4 4 Thay các nghiệm r1 và r2 tìm ñược trên ñây vào (6.55) sẽ nhận ñược các hệ thuần nhất:  − 3 (1 − i)  4  −1 2  và  − 3 (1 + i)  4  −1 2  9 4  m   1  = 0  3 (1 + i)   n 1   0  4  9 4  m   2  = 0  . 3 (1 − i)   n 2   0  4  (6.57) Từ ñây sẽ có: 1 (1 – i) m1 = n1 và 1 (1 + i) m2 = n2. Vậy nghiệm bù là: 3 3 rt r t vit − vit   πc   m1e 1 + m 2e 2  ht  m1e + m 2e     =e  = r t r t vit vit − U 1 2      c   n1e + n 2e  n1e + n 2e  Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..176 hay:  πc  ht (m1 + m 2 ) cos vt + (m1 − m 2 )i sin vt  .   = e  (n + n ) cos vt + (n1 − n 2 )i sin vt   1 2 Uc  ðặt A5 = m1 + m2 và A6 = (m1 – m2)i , ta có ngay n1 + n2 = 1 (A5 – 3 A6) và (n1 + n2)i = 1 (A5 + A6). Do ñó chúng ta thu ñược: 3 A5 cos 3 t + A 6 sin 3 t   πc  − 43 t  4 4 .  =e 3 3 1 1  U A − A 6 ) cos t + ( A5 − A 6 ) sin t   c 4 3 4  3 ( 5 Cuối cùng nghiệm tổng quát của hệ (6.53) sẽ là;  A5 cos 3 t + A 6 sin 3 t + m   π(t)  − 43 t  4 4 .  U(t)  = e 3 3 1 1 1    A − A 6 ) cos t + ( A5 − A 6 ) sin t +  4 3 4 18  3 ( 5 3 ( ) − t Vậy p(t) = 1 − 3U + π = e 4 A 6cos 3 t − A 6 sin 3 t + m . Kết 4 4 6 quả thu ñược trên ñây hoàn toàn trùng với kết quả ñã biết trong mục 6.2 của Chương V. Bây giờ chúng ta xem xét mô hình biểu thị quan hệ tương tác lạm phát và thất nghiệp với thời gian rời rạc ñã biết ở mục 4.1 cùng chương: p t = α − T − βU t + hπt (α, β > 0; 0 < h ≤ 1)  (0 < j ≤ 1) π t +1 − π t = j(p t − πt )  U − U = − k(m − p ) (k > 0). t t +1  t +1 (6.58) Sau khi khử pt và sắp xếp lại chúng ta có hệ sai phân sau ñây: 0   πt +1   −(1 − j + jh) jβ   π t   1    −kh 1 + β k   U  +  0 −1  U t     t +1    j(α − T)  =   k(α − T − m)  (6.59) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..177 Nếu mức cân bằng dừng tồn tại thì có thể tìm nghiệm riêng dưới dạng: π = π t = π t +1 và U = U t = U t +1 . Thay vào hệ (6.59) sẽ có: π = m và U = 1 [α -T- (1- h)m] . β (6.60) ðặt: 0   1  −(1 − j + jh) jβ  và K =  . J=   0 −1  −kh 1 + βk   Lúc ñó ñể tìm nghiệm bù cần xem xét hệ phương trình: jβ m   b − (1 − j + jh)   m  0 (bJ + K)   = 0 ⇔  . = −bkh b(1 + β k) − 1  n  0  n   ðể hệ có nghiệm không tầm thường, ta phải có: det(bJ + K) = (1 + βk)b2 – [1 + hj + (1 – j)(1 + βk)]b + (1 – j +jh) = 0 hay: b2 + a1b + a2 = 0 với a1 = − 1 + hj + (1 − j)(1 + β k) 1 − j(1 − h) và a2 = . 1 + βk 1 + βk (6.61) Phương trình ñặc trưng (6.61) hoàn toàn giống với phương trình ñặc trưng ñã biết tại mục 4.2 cùng chương. Do ñó chúng ta có thể tiến hành khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình tùy theo dấu của biệt thức ∆ một cách tương tự so với mục 4.2. 5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng Trong các mục trước chúng ta ñã xem xét việc giải các hệ ñộng tuyến tính. Trong mục này chúng ta sẽ sử dụng biểu ñồ pha hai biến ñể tiến hành phân tích về tính ổn ñịnh ñộng của mô hình kinh tế cho bởi hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một dạng tự ñiều khiển (autonomous system) sau ñây:  x′(t) = f (x, y)   y′(t) = g(x, y). (6.62) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..178 Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy, các ñường x’ = f(x, y) = 0 và y’ = g(x, y) = 0 ñược gọi là các ñường ranh giới. Xét chẳng hạn ñường x’ = 0. Trên ñường này y sẽ là hàm ẩn của x và ta dễ dàng tính ñược: f dy ∂f / ∂x =− = − x , với fy ≠ 0. ∂f / ∂y dx x ′= 0 fy Tương tự, chúng ta cũng tính ñược: g dy ∂g / ∂x =− = − x , với gy ≠ 0. ∂g / ∂y dx y′= 0 gy Xét một trường hợp cụ thể khi biết fx < 0, fy > 0, gx > 0 và gy < 0. Lúc ñó các hai ñường ranh giới ñều có các ñộ dốc dương. Nếu giả sử ñường x’ = 0 dốc hơn ñường y’ = 0 thì chúng ta gặp phải tình huống như minh họa trên hình VI.10a. Hai ñường ranh giới chia mặt phẳng tọa ñộ thành bốn phần I, II, III và IV. ðiểm E mà tại ñó x’ = y’ = 0 chính là ñiểm cân bằng liên thời của mô hình ñã cho. Tại một ñiểm (x, y) bất kì khác, x hoặc / và y sẽ biến thiên phụ thuộc vào t theo các hướng tăng hay giảm phụ thuộc vào dấu của các ñạo hàm x’ và y’. Trên hình VI.10a, các ñiểm thỏa mãn (6.62) nằm về bên trái của ñường ranh giới x’ = 0 sẽ cho x’ > 0, các ñiểm nằm bên phải cho x’ < 0. ðiều này là do ∂x′ / ∂x = f x < 0. Tương tự, các ñiểm thỏa mãn (6.62) nằm phía dưới của ñường ranh giới y’ = 0 sẽ cho y’ > 0, các ñiểm nằm phía trên cho y’ < 0 (do ∂y′ / ∂y = g y < 0). Với các giả thiết của hình VI.10a, chúng ta xuất phát từ một ñiểm (x, y) bất kì trên mặt phẳng tọa ñộ. Chẳng hạn từ ñiểm A thuộc phần II (xem hình VI.10b). Do tại góc này ñạo hàm x’ > 0 và y’ < 0, ñiểm A có khuynh hướng chuyển ñộng sang phải và xuống phía dưới và “hội tụ” về ñiểm E sau một thời gian ñủ dài (t → +∞). Toàn bộ quỹ ñạo tạo nên bởi chuyển ñộng của ñiểm A ñược gọi là một ñường dòng (streamline) hay quỹ ñạo pha ñược biểu thị bằng một ñường có mũi tên hướng về ñiểm E trên hình VI.10b. Phân tích một cách tương tự ta thấy: xuất phát từ các ñiểm khác nhau, các ñường dòng ñều “hội tụ” về E. Như vậy, nếu fx < 0, fy > 0, gx > 0 và gy < 0, thì mô hình (6.62) sẽ ổn ñịnh ñộng và hội tụ về ñiểm cân bằng liên thời E. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..179 y x’ = 0 + – x x y y y’ = 0 E (IV) – + (III) x (II) y – (I) + (II) x + – O x’ = 0 + – (I) y’ = 0 – + A E y – + y (III) x Hình VI.10a. Các ñng ranh gii B (IV) + – O x Hình VI.10b. Các ñng qu ño pha vi nút n ñnh E Trên hình VI.10b, ñiểm E ñược gọi là nút ổn ñịnh. Bằng các phân tích tương tự, khi xem xét các giả thiết khác nhau về dấu của các ñạo hàm riêng fx, fy, gx và gy, chúng ta sẽ ñi tới các kết luận ñược minh họa trên các hình VI.11a, 11b, 11c và 11d. Trên các hình này ñiểm E ñược gọi một cách tương ứng là nút không ổn ñịnh, nút yên ngựa, nút tiêu ñiểm và nút trung tâm. y y x’ = 0 y’ = 0 – + + – + – E y’ = 0 – + – + O x’ = 0 E + – x Hình VI.11a. Các ñng qu ño pha vi nút không n ñnh E O x Hình VI.11b. Các ñng qu ño pha vi nút yên ng a E Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..180 y y y’ = 0 y’ = 0 – + E + – E x’ = 0 + – x’ = 0 + x O Hình VI.11c. Các ñng qu ño pha vi nút tiêu ñi m E – x O Hình VI.11d. Các ñng qu ño pha vi nút trung tâm E Ví dụ 12. Sau ñây, với mục ñích minh họa một ứng dụng của biểu ñồ pha hai biến, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình tương tác giữa chính sách tiền tệ và lạm phát:  M − Md   Md  dp = h s  = h 1 −  , với ñiều kiện h > 0. (6.63) dt  Ms   Ms  Mô hình này tuân theo giả thiết: tác ñộng của dư thừa mức cung tiền tệ so với mức cầu tiền tệ (Ms > Md) sẽ làm tăng tốc ñộ lạm phát p và không có tác ñộng ñến mức giá cả P. Do ñó việc loại bỏ sự dư thừa trên trong thị trường tiền tệ sẽ làm cho tốc ñộ lạm phát ổn ñịnh, chứ không làm cho giá cả ổn ñịnh. Nếu chúng ta giả thiết thêm rằng mức cầu về tiền tệ tỉ lệ với tổng sản phẩm quốc dân thì tỉ lệ cầu – cung tiền tệ Md/Ms ñược viết như sau: µ= M d aPQ = , với a > 0. Ms Ms Lấy ñạo hàm theo t cả hai vế, chúng ta sẽ có: dµ / dt da / dt dP / dt dQ / dt dM s / dt = + + − = p + q – m, µ a P Q Ms (6.64) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..181 trong ñó p, q và m là các tốc ñộ lạm phát, tốc ñộ tăng trưởng (ngoại sinh) sản phẩm quốc dân và tốc ñộ mở rộng qui mô cung tiền tệ. Các phương trình (6.63) và (6.64) dẫn tới hệ phương trình sau: p′ = h(1 − µ)  µ′ = (p + q − m)µ. (6.65) Do h > 0 nên p’ = 0 khi và chỉ khi 1 – µ = 0. Do µ > 0 nên µ’ = 0 khi và chỉ khi p + q – m = 0. Vậy các ñường ranh giới của p’ = 0 và µ’ = 0 là các ñường sau: µ =1 p = m − q. (6.66) Theo (6.65) ta có: ∂p′ ∂µ′ = −h < 0 và = µ > 0. ∂µ ∂p (6.67) Trường hợp 1. Giả sử m = const. Do các ñường ranh giới là các ñường thẳng và dấu của các ñạo hàm riêng thu ñược như trong biểu thức (6.67) nên chúng ta có thể áp dụng các phân tích tương tự như trên hình VI.11d, với p’ ñóng vai trò của x’ và µ’ ñóng vai trò của y’. Do ñường ranh giới µ’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trái và phải với các dấu – và +, còn ñường p’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trên và dưới với các dấu – và +, nên chiều mũi tên trên các quỹ ñạo pha là ngược chiều kim ñồng hồ. Lúc này ñiểm E có tọa ñộ p = m – q và µ = 1 chính là ñiểm nút trung tâm. Trên hình VI.12a, ta thấy: khi thời gian thay ñổi các ñiểm (p, µ) sẽ chạy vòng quanh E, tức là ñiểm cân bằng E (tại ñó p’ = 0 và µ’ = 0) sẽ không bao giờ xảy ra trừ khi nền kinh tế có xuất phát ñiểm tại E. Trường hợp 2. Giả sử m = m(p’), với m’(p’) < 0 do p’ càng tăng thì nhà nước sẽ ñiều chỉnh ñể m giảm (ñây là quy tắc thông thường trong việc ñiều chỉnh mức cung tiền tệ). Lúc này, (6.65) trở thành: p′ = h(1 − µ)  µ′ = [p + q − m(p′)]µ. (6.68) Do ñó, các ñường ranh giới sẽ là: p′ = 0 ⇔ µ = 1 µ′ = 0 ⇔ p = m(p′) − q. (6.69) Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..182 Theo (6.68) ta có: ∂p′ ∂µ′ = −h < 0 và = µ > 0. ∂µ ∂p (6.70) Từ phương trình thứ hai của (6.69), tức là trên ñường µ’ = 0, chúng ta có: dp dp′ = m′(p′) = m′(p′)(−h) > 0. dµ dµ Theo ñịnh lí hàm ngược, trên ñường µ’ = 0 sẽ có dµ/dp > 0. Lúc này, với p’ ñóng vai trò của x’ (ñường ranh giới p’ = 0 chính là ñường thẳng nằm ngang µ = 1), với µ’ ñóng vai trò của y’, chúng ta có thể áp dụng các phân tích tương tự như trên hình VI.11c. Do ñường ranh giới µ’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trái và phải với các dấu – và +, còn ñường p’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trên và dưới với các dấu – và +, nên chiều mũi tên trên các quỹ ñạo pha là ngược chiều kim ñồng hồ. Lúc này ñiểm E có tọa ñộ p = m(0) – q (do p = m(p’) – q = m(0) –q khi p’ = 0) và µ = 1 chính là nút tiêu ñiểm. Trên hình VI.12b, ta thấy: khi thời gian thay ñổi các ñiểm (p, µ) sẽ chạy vòng quanh và cuốn vào ñiểm E, tức là ñiểm cân bằng E (tại ñó p’ = 0 và µ’ = 0) sẽ ñạt ñược sau một thời gian ñủ lớn. µ’= 0 µ’= 0 – + 1 E m–q Hình VI.12a – + – p’ = 0 1 + – p’= 0 + E m(0) – q Hình VI.12b Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..183 Chú ý. ðể phân tích ñịnh lượng mô hình (6.62), hệ (6.62) có thể ñược tuyến tính hóa bằng cách áp dụng khai triển Taylor cho tới vi phân toàn phần cấp một tại ñiểm cân bằng E( x, y ). Lúc ñó ta có hệ phương trình tương ñương sau ñây:  x′ − f x (x, y)x − f y (x, y)y = f x (x, y)x + f y (x, y)y   y′ − g x (x, y)x − g y (x, y)y = g x (x, y)x + g y (x, y)y. (6.71) Bằng cách phân tích nghiệm bù của hệ (6.71) nhận ñược thông qua giải hệ thuần nhất  x′  f x  y′  − g    x fy   x  0   y  = 0 g y  ( x,y )     (6.72) chúng ta có thể khảo sát ñược tính ổn ñịnh ñộng của nghiệm của hệ (6.62). Bài tập Chương VI Bài 1. Hãy tìm mức giá cân bằng liên thời và cho biết nó có ổn ñịnh ñộng không, nếu biết các hàm cung cầu trong mô hình Cobweb sau ñây: Qdt = 18 – 3Pt, Qst = –3 + 4Pt–1, Qdt = 19 – 6Pt, Qst = –5 + 6Pt–1. Bài 2. Xét mô hình thị trường ñược biểu diễn bởi hệ phương trình sai phân sau: Qdt = Qst Q = α − β P t  dt  ∗ Qst = −γ + δPt P∗ = P∗ + η(P − P∗ )  t t −1 t −1 t −1 (α, β > 0) (γ, δ > 0) (0 < η ≤ 1). Trong mô hình trên: Pt∗ là kì vọng giá tại giai ñoạn t, phương trình thứ tư mô tả tính “thích nghi” của kì vọng giá. Phát biểu ý nghĩa kinh tế của phương trình thứ tư. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..184 Hãy cho biết mô hình Cobweb (6.8) có phải là trường hợp riêng của mô hình trên hay không? Chứng tỏ rằng mô hình ñã cho có thể ñược biểu diễn bởi phương trình sai phân: Pt +1 − (1 − η − ηδ / β ) Pt = η ( α + γ ) / β. Tìm ñường quỹ ñạo thời gian của giá cả và chứng minh rằng: nếu 1 – 2/η < –δ/β thì ñường biến ñộng giá cả có dạng dao ñộng tắt dần. Bài 3. Xét mô hình thị trường với hàng tồn kho: Qdt = 21 − 2Pt Q = −3 + 6P  st t  P = P − 0,3(Q t st − Q dt )  t +1 Qdt = Qst . Hãy tìm quỹ ñạo thời gian của giá cả Pt và cho biết nó có dạng hội tụ hay không? Bài 4. Xét mô hình thị trường với hàng tồn kho: (víi α, β > 0) Q dt = α − βPt Q = k  st  Pt +1 = Pt − σ(Qst − Q dt ) (víi σ > 0) Q dt = Qst . Hãy khảo sát sự biến ñộng của giá cả theo thời gian. Cần ñưa ra ñiều kiện nào cho tham số k ñể mô hình có ý nghĩa? Bài 5. Giả sử ñường pha (xem lại mục 2.3) có dạng chữ U ngược và cắt ñường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại hai ñiểm phân biệt L (bên trái) và R (bên phải). Hãy cho biết: Trường hợp này có dẫn tới nhiều ñiểm cân bằng hay không? ðường quỹ ñạo thời gian yt có dạng như thế nào nếu giá trị ban ñầu y0 nằm giữa L và R? bên trái L? bên phải R? Có thể ñưa ra kết luận như thế nào về tính ổn ñịnh ñộng của các mức cân bằng tại L và tại R? Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..185 Bài 6. Giá trị xoắn k (hoành ñộ của giao ñiểm giữa ñường giá Pt+1 = f(Pt) và ñường Pt+1 = P̂ ) cho phép tìm Pt+1 trong mô hình thị trường với giá trần như sau: Pt+1 = P̂ (khi Pt ≤ k) α+γ δ − Pt β β (khi Pt > k). Hãy chứng minh rằng: k = α+γ β ˆ − P. δ δ Bài 7. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson và hình VI.9. Hãy cho biết các cặp giá trị (α, γ) sau ñây thuộc vào vùng nào (từ 1C cho tới 4D) và mô tả ñịnh tính các quỹ ñạo thời gian tương ứng của mức thu nhập quốc dân Yt: α = 3,5; γ = 0,8; α = 0,2; γ = 0,9. Hãy tìm phương trình các ñường quỹ ñạo thời gian với các cặp giá trị (α, γ) trong các câu a) và câu b). Bài 8. Hãy khảo sát tiếp các trường hợp 2 và 3: ∆ = 0 và ∆ < 0 khi giải phương trình sai phân (6.29): pt+2 − 1 + hj + (1 − j)(1 + kβ) 1 − j(1 − h) jβkm p t +1 + pt = . 1 + kβ 1 + kβ 1 + kβ Từ ñó cho biết cần ñưa ra các ñiều kiện nào ñể mức tăng trưởng giá sẽ dần ổn ñịnh trong các trường hợp trên. Bài 9. Xét mô hình tương tác lạm phát – thất nghiệp với thời gian rời rạc sau ñây: p t = α − T − β U t + hπt (với α, β > 0, 0 < h ≤ 1) π t +1 − π t = j(p t − πt ) (với 0 < j ≤ 1) U t +1 − U t = −k(m − p t ) (với k > 0). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..186 Tìm phương trình sai phân ñối với pt và phân tích tính ổn ñịnh của nghiệm. Cho h = j = 1. Tìm các ñiều kiện ñể phương trình ñặc trưng rơi vào các trường hợp 1, 2 và 3 (tương ứng với ∆ > 0, ∆ = 0 và ∆ < 0). Bài 10. Xét mô hình cân ñối liên ngành ñộng hai ngành hàng “trễ một giai ñoạn” (6.44), với: 1/10 4/10  A=   và a) dt = 3 /10 2/10  (12 /10) t    hoặc b) d(t) = (12 /10) t  e t /10   .  2e t /10  Tìm các ñường quỹ ñạo thời gian với các ñiều kiện ban ñầu sau ñây: x1,0 = 187/39, x2,t = 72/13 (áp dụng hệ phương trình sai phân), x1(0) = 53/6, x2(0) = 25/6 (áp dụng hệ phương trình vi phân). Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..187 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Alpha C. Chiang, Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 1984. 2. Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 2005. 3. Michael W. Klein, Mathematical methods for economics, Addison– Wesley Higher Education Group, 2002. 4. Hoàng ðình Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003. 5. Nguyễn Hải Thanh, Toán ứng dụng, Nxb. ðại học Sư phạm Hà Nội, 2005. 6. Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa, Nxb. Bách khoa, ðại học Bách khoa Hà Nội, 2006. 7. Nguyễn Hải Thanh, Một số vấn ñề về tính toán tối ưu trong lĩnh vực nông nghiệp, Tạp chí ứng dụng Toán học, Tập IV, Số 2, trang 33−50, 2006. 8. Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002. 9. Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 1997. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..188