Tài liệu Các phương pháp hàm Spline và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ------------------------- LÃ THỊ NGỌ CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUẤN HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại hoc sư phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp trong trường THPT Đa Phúc - Sóc Sơn - Hà Nội ( nơi tác giả đang công tác) đã luôn cổ vũ, động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả Lã Thị Ngọ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng biết ơn. Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả Lã Thị Ngọ Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.6 Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Một số kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 iii 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B-SPLINE 2.1 Mở đầu về hàm spline và B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 2.1.1 Tổ hợp lồi và bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Nội suy các đường cong đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Xây dựng đường cong spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.5 Giới thiệu đường cong spline theo các hàm số cơ bản . . . . . . 23 2.2 Tính chất cơ bản của spline và B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Một vài hệ quả đơn giản của hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Các tổ hợp tuyến tính của B - spline . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Ma trận biểu diễn của các B - spline . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.4 Thuật toán để ước lượng một spline 35 . . . . . . . . . . . . . . . 3 NỘI SUY HÀM SPLINE 36 3.1 Các phương pháp xấp xỉ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.1 Nội suy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2 Nội suy bậc ba Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Ước lượng các đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Nội suy spline bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Phép tính xấp xỉ spline tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.1 Nội suy bằng hàm spline bậc 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.2 Nội suy bằng hàm spline bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 iv BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập các số nguyên R Tập số thực C Tập số phức S 3 C[a;b] Không gian các hàm Spline bậc 3 Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b] MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học, kĩ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán cần phải tính được giá trị của hàm số tại một điểm nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại một điểm của một số hàm gặp rất nhiều khó khăn ví dụ như hàm số mũ, hàm lượng giác, hàm số logarit,.... Để giải quyết vấn đề này người ta đã nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó phương pháp hàm Spline đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Áp dụng hàm spline và phương pháp nội suy để xấp xỉ hàm số người ta chia khoảng xác định thành nhiều đoạn, trên mỗi đoạn ta xấp xỉ bằng một hàm spline, từ đó ta xấp xỉ được hàm số đã cho.Tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm bằng phương pháp hàm Spline rất thuận lợi vì nó là những hàm đa thức nên việc tính toán, lập trình với hàm đa thức rất thuận tiện và dễ dàng. Do vậy, với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã nghiên cứu luận văn: “ Các phương pháp hàm Spline và một số ứng dụng”. Bố cục của luận văn gồm 3 chương: Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản để sử dụng cho các chương sau. Chương 2 của luận văn trình bày về các khái niệm và tính chất của hàm spline và B-spline. Chương 3 của luận văn trình bày về nội suy hàm spline và ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để nắm được một số phương pháp hàm spline. Ứng dụng hàm Spline để tính giá trị của hàm số tại một điểm và một số ứng dụng khác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline. Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. Ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, tham khảo ý kiến chuyên gia. 6. Giả thuyết khoa học Áp dụng phương pháp spline để xấp xỉ một lớp hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi viết theo lối cộng (+) và một ánh xạ ψ : K × X → X. Với mỗi α ∈ K và mỗi x ∈ X thì phần tử ψ(α, x) được gọi là tích của số α với phần tử x và được kí hiệu αx. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X; 3) Tồn tại duy nhất phần tử θ sao cho x + θ = θ + x, ∀x ∈ X (phần tử này gọi là phần tử không); 4) Ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao cho x+(−x) = θ phần tử (−x) được gọi là phần tử đối của x; 5) 1 · x = x, ∀x ∈ X; 6) α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ X; 7) (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, α, β ∈ K; 8) α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, α ∈ K; Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường số thực hoặc trường số phức và mỗi phần tử ∀x ∈ X được gọi là một vectơ; còn các điều kiện trên gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính. 3 4 Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng thực R2 Tập X = R2 là tập R2 = {(x1 , x2 ) : x1 và x2 là các số thực} Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X, phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) αx = (αx1 , αx2 ) là không gian tuyến tính. Ví dụ 1.1.2. Không gian C[a, b] Không gian C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b]. Với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: (f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b (αf )(t) = αf (t) là không gian tuyến tính. Ví dụ 1.1.3. Pn [a, b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a, b] là không gian tuyến tính. 1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính. Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 , x2 , . . . , xn ∈ X là một tổng có dạng: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn Các vectơ x1 , x2 , . . . , xn được gọi là độc lập tuyến tính nếu α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn == θ Các vectơ x1 , x2 , . . . , xn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính, tức là tồn tại những số α1 , α2 , . . . , αn trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 5 Ví dụ, hai vectơ x và (−x) là phụ thuộc tuyến tính vì : 1 · x + 1 · (−x) = 0 Nếu trong các vectơ x1 , x2 , . . . , xn có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến tính. Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian k chiều nếu trong X có k vectơ độc lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến tính. Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó. Các không gian k chiều, với k là một số nguyên không âm bất kì gọi là không gian hữu hạn chiều. Một không gian vô hạn chiều tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơ độc lập tuyến tính của nó. Ví dụ 1.1.4. Rk = {(a1 , a2 , · · · , ak ) |ai ∈ R} là không gian k chiều, với cơ sở là: x1 = (1, 0, . . . , 0), x2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , xn = (0, 0, . . . , 1) Không gian R[a, b] là vô hạn chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của nó độc lập tuyến tính, đó là: x1 (t) = t, x2 (t) = t2 , . . . , xn (t) = tn Nếu X là không gian k chiều và x1 , x2 , . . . , xk là một cơ sở của nó thì mọi x thuộc X đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk Các số α1 , α2 , . . . , αk là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở x1 , x2 , . . . , xk . Nếu ta làm phép ánh xạ 1 − 1 : x ↔ (α1 , α2 , . . . , αk ) thì đó là một phép đẳng cấu giữa X và Rk . Như vậy không gian tuyến tính k chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian Rk . Định nghĩa 1.1.3. Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhân phần tử với một số, nghĩa là: 1) ∀x, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M . 2) ∀x ∈ M, α ∈ R ⇒ αx ∈ M . Cho A là một tập con bất kì, khác rỗng của X. Khi đó, bao giờ cũng có ít nhất một không gian con bao hàm A, đó chính là X. Vậy họ các không gian con bao hàm 6 A khác rỗng, giao của họ các không gian ấy cũng là một không gian con và là không gian con nhỏ nhất bao hàm A. Không gian này gọi là không gian con sinh bởi tập A. Như vậy, không gian con sinh bởi A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk của những phần tử của A. 1.2 1.2.1 Không gian định chuẩn Khái niệm không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1. Một không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X, trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số ∥x∥, gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi x, y ∈ X, và mọi số α thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1) ∥x∥ > 0 nếu x ̸= 0; ∥x∥ = 0 nếu x = 0. 2) ∥αx∥ = |α| · ∥x∥. 3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (bất đẳng thức tam giác). Ví dụ 1.2.1. Không gian R2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn: ∥x∥2 = √ x21 + x22 Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như: ∥x∥1 = |x1 | + |x2 | hay ∥x∥∞ = max{|x1 |, |x2 |} trong đó x = (x1 , x2 ) ∈ R2 . Ví dụ 1.2.2. Không gian C[a, b] = {f : [a, b] → R |f liên tục trên [a, b]} là không gian định chuẩn với chuẩn ∥f (t)∥ = max |f (t)| a≤t≤b 7 Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn ∥∥1 và ∥∥2 . Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và m > 0 sao cho: m∥x1 ∥ ≤ ∥x2 ∥ ≤ M ∥x1 ∥, ∀x ∈ X. Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn: ( )1 √ ∥x2 ∥ ≤ 2∥x∥2∞ 2 = 2∥x∥∞ . Mặt khác: 1 ∥x∥∞ = max{|x1 |, |x2 |} ≤ (x21 + x22 ) 2 = ∥x∥2 . Do đó chọn M = √ 2, m = 1, ta có: ∥x∥∞ ≤ ∥x∥2 ≤ 1.2.2 √ 2∥x∥∞ . Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Giả sử X là không gian định chuẩn và {xn }∞ n=1 ⊂ X, x0 ∈ X. 1) xn −→ x0 (dãy xn hội tụ tới x0 ) có nghĩa là ∥xn − x0 ∥ −→ 0. 2) Nếu xn −→ x0 thì ∥xn ∥ −→ ∥x0 ∥, tức là chuẩn ∥xn ∥ là một hàm liên tục của x. 3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu xn hội tụ thì ∃M ∈ R, M > 0, ∀n, ∥xn ∥ ≤ M. 4) Nếu xn −→ x0 , yn −→ y0 thì xn + yn −→ x0 + y0 . 5) Nếu xn −→ x0 , αn −→ α0 thì xn αn −→ x0 α0 , ∀{αn }∞ n=1 ⊂ R, α0 ∈ R. 6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {xn } ⊂ X sao cho: lim ∥xn − xm ∥ = 0. m,n→∞ Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: ∥xn −xm ∥ → 0 kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 , thì không gian đó được gọi là không gian đủ thường gọi là không gian Banach. 8 1.2.3 Sai số Trong thực tế khi giải quyết các bài toán về kĩ thuật và vật lý ta thường không biết chính xác giá trị của một đại lượng nào đó. Số liệu ban đầu mà ta có trong các bài toán trên được gọi là số gần đúng. Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán. Do đó đi nghiên cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trong việc giải bài toán. Định nghĩa 1.2.3. Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khác với a∗ không nhiều. Kí hiệu a ≈ a∗ . Định nghĩa 1.2.4. Đại lượng ∆ = |a − a∗ | được gọi là sai số thực sự của a. Nói chung ta không biết a∗ nên ta không biết ∆. Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương ∆a ≥ 0 sao cho: |a − a∗ | 6△a . (1.1) Định nghĩa 1.2.5. Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2.1) gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. Khi đó a∗ = a ± ∆a. Định nghĩa 1.2.6. Số δa = ∆a được gọi là sai số tương đối của a. |a| Ví dụ 1.2.3. Giả sử a∗ = π và a = 3, 14. Do 3, 14 < π < 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01. Do 3, 14 < π < 3, 142 = 3, 14 + 0, 002 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 002. Ví dụ 1.2.4. Đo độ dài đoạn thẳng AB và CD ta thu được a = 10m ± 0, 01m; b = 1m ± 0, 01m. 0, 01 0, 01 = 0, 1%; δb = = 1%. 10 1 Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy chúng có cùng Khi đó, ta có: δa = sai số tuyệt đối ∆a = ∆b = 0, 01m. • Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a∗ là không duy nhất. • Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối. 9 1.2.4 Xấp xỉ tốt nhất Định nghĩa 1.2.7. Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn ∥∥, M ⊂ X và p ∈ X. Điểm y0 ∈ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu: ∥p − y0 ∥ ≤ ∥p − y∥, ∀y ∈ M Xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải là duy nhất. Ví dụ về sự không tồn tại xấp xỉ tốt nhất. Cho X = R2 , M = (x, 0) : x ̸= 0, p = (0, 1) thì trong trường hợp này không có xấp xỉ tốt nhất từ M tới p. Ví dụ về sự không duy nhất xấp xỉ tốt nhất: Cho X = R2 , M = (1, y) : y ∈ R ∪ (−1, y) : y ∈ R, p = (0; 0). Trong trường hợp này tồn tại hai xấp xỉ tốt nhất z1 = (−1, 0), z2 = (1, 0). Định lý 1.2.1. Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn ∥∥ và XN là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi x ∈ X tồn tại xấp xỉ tốt nhất xN ∈ XN , tức là: ∥x − xN ∥ = min ∥x − y∥ y∈XN Chứng minh. Lấy z ∈ XN và đặt d = ∥x − z∥ K = z ∈ XN : ∥x − z∥ ≤ d Từ ∥x∥ là hàm liên tục của x nên K là tập đóng và bị chặn. Mà K là không gian hữu hạn chiều nên K compact. Đặt g(z) = ∥x − z∥, z ∈ K. Khi đó, g là hàm liên tục của z. Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm xN ∈ K. Vậy ∥x − xN ∥ = miny∈K ∥x − y∥. 1.2.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia xi , i = 0, n thỏa mãn: x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn = b 10 b−a . n Giả sử x là nghiệm đúng và x∗ là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho (theo Đặt h = phương pháp gần đúng nào đó). Nếu có: ∥x − x∗ ∥ = 0(hk ) thì x∗ được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm x. 1.2.6 Ma trận đường chéo trội Định nghĩa 1.2.8. Cho ma trận vuông A = (aij )ni,j=1 . Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong hai tính chất sau: • • ∑n j=1,j̸=i ∑n i=1,i̸=j |aij | < |aii |, ∀i = 1, 2, . . . , n; |aij | < |ajj |, ∀j = 1, 2, . . . , n. Định lý 1.2.2. Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến. Khi đó hệ phương trình   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1     a x + a x + ··· + a x = y 21 1 22 2 2n n 2  ···     a x + a x + ··· + a x = y n1 1 n2 2 nn n n luôn có nghiệm. Đặt ma trận A = (aij )ni,j=1 , y = (y1 , y2 , · · · , yn )T , ta được phương trình Ax = y luôn có nghiệm. 1.3 1.3.1 Không gian Hilbert Mở đầu Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một không gian tuyến tính. Ánh xạ ψ : X × X → R thỏa mãn các điều kiện: 1. ψ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X; 11 2. ψ(x, x) = 0 ⇔ x = θ; 3. ψ(x, y) = ψ(y, x), ∀x, y ∈ X ; 4. ψ(αx1 + βx2 , y) = αψ(x1 , y) + βψ(x2 , y), ∀x1 , x2 , y ∈ X và ∀α, β ∈ R. được gọi là môt tích vô hướng trên X, còn ψ(x, y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x,y và thường được kí hiệu là (x, y). Nhận xét. Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một tích vô √ hướng (·),khi đó ánh xạ ∥ · ∥ : X → R xác định bởi ∥x∥ = (x, x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là một không gian tuyến tính định chuẩn. Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng. Từ đó có ánh xạ d : X × X → R xác định bởi: √ d(x, y) = ∥x − y∥ = (x − y, x − y) là một hàm khoảng cách trên X và (X, d) là một không gian metric. Khoảng cách d vừa xác định được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi tích vô hướng. 1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.2. Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (·) . Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà (X, d) trở thành một không gian metric đủ thì lúc đó X cùng với tích vô hướng (·) được gọi là một không gian Hilbert. 1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn Định nghĩa 1.3.3. Hệ vô hạn các phần tử {xi }i∈I thuộc không gian tuyến tính X được gọi là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn các phần tử của nó là độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một không gian Hilbert. Hệ các phần tử {ei }i∈I của X được gọi là trực chuẩn nếu: { (ei , ej ) = δij = 1 nếu i = j 0 nếu i ̸= j Định lý 1.3.1. Giả sử {xi }i∈I là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert X. Khi đó có thể xây dựng được một hệ {ei }i∈I trực chuẩn. x1 y2 , y2 = x2 − (x2 , e1 )e1 và e2 = ∥x1 ∥ ∥y2 ∥ Giả sử đã có e1 , e2 , · · · , ek−1 . Thật vậy: Đặt e1 = 12 ( ∑k−1 ) yk Ta đặt yk = xk − . Khi đó hệ {ei }i∈I là hoàn i=1 (xk , ei ) ei và ek = ∥yk ∥ toàn xác định (vì nếu tồn tại một tỉ số k sao cho ∥yk ∥ = 0 ⇔ yk = θ thì dẫn đến hệ {x1 , x2 , · · · , xk−1 ( } là phụ)thuộc tuyến tính, trái với giả thiết). Dễ thấy: (e1 , e1 ) = 1. y2 1 1 1 Xét (e2 , e1 ) = , e1 = (y2 , e1 ) = (x2 − (x2 , e1 ).e1 , e1 ) = [(x2 , e1 ) − ∥y2 ∥ ∥y2 ∥ ∥y2 ∥ ∥y2 ∥ (x2 , e1 )] Vậy có (e2 , e1 ) = 0. Dễ thấy (e2 , e2 ) = 1. Bằng quy ( nạp toán ) học ta thấy với k > h: ∑ yk 1 1 (ek , eh ) = , eh = (yk , eh ) = (xk − k−1 i=1 (xk , ei )ei , eh ) ∥yk ∥ ∥yk ∥ ∥yk ∥ 1 = [(xk , eh ) − (xk , eh )]. ∥yk ∥ Từ đó (ek , eh ) = 0, với k > h, ngoài ra (ek , ek ) = 1 là rõ ràng. Như vậy hệ {ei }i∈I là hệ trực chuẩn. Quá trình xây dựng hệ {ei }i∈I từ hệ {xi }i∈I độc lập tuyến tính như trên được gọi là quá trình trực chuẩn hóa Hilbert - Schmidt. Ví dụ 1.3.1. Xét X = Rn , với x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn , đặt ∑ (x, y) = ni=1 xi yi . Có thể thấy Rn cùng với tích vô hướng được xác định như trên là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.3.2. Xét X = L2 [a, b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a, b] bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả tích trên [a, b] sao cho: ∫b p(t)x2 (t)dt < +∞ a trong đó p(t) là hàm trọng p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều kiện: xác định và khả tích trên [a, b], p(t) ≥ 0 trên [a, b] và p(t) = 0 chỉ trên một tập có độ đo 0). Ta trang bị trên L2 [a, b] một tích vô hướng bằng cách đặt: với x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] thì: ∫b (x, y) = p(t)x(t)y(t)dt a (có thể thấy tích phân này tồn tại hữu hạn ∀x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] do bất đẳng thức Bunhiacopski dạng tích phân). Không gian L2 [a, b] với tích vô hướng vừa xác định là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.3.3. Xét trường hợp cụ thể của L2 [a, b] ở trên với a = −1, b = 1, p(t) ≡ 1, và xét hệ đa thức x1 (t) ≡ 1, x2 (t) ≡ t, ..., xk (t) = tk−1 , k > 2. Hãy trực giao hóa hệ {xk (t)} nói trên tương tự quá trình trực chuẩn hóa Hilbert - Schmidt(chính xác đến một hằng số nhân). 13 ∫1 x1 1 , thay số ta có e1 = . Dễ thấy (x2 , e1 ) = tdt = 0 ∥x1 ∥ 2 −1 nên y2 = x2 = t, ∀t ∈ [−1, 1]. √ (1 ) 1 ( 1 ) 1 √ ∫ y2 1 3  2 3 2 2 t . Vì e2 = ,thay số có e2 = .t, ∀t ∈ Vậy ∥y2 ∥ = = t.tdt = 3 −1 3 ∥y2 ∥ 2 −1 [−1, 1]. Nhận thấy: ∥x1 ∥ = 2, e1 = 1 1 3  2 Ta có: (x3 , e1 ) = t .dt = t  = 3 −1 3 −1 √ √ ∫1 2 3 3 ∫1 3 (x3 , e2 ) = t . .tdt = . t dt = 0 2 2 −1 −1 ∫1 2 y3 = x3 − [(x3 , e1 )e1 + (x3 , e2 )e2 ], thay số được: (1 ) 12 ( ) ∫ 1 1 2 t2 − y3 = t2 − ⇒ ∥y3 ∥ = dt , 3 3 −1 √ √ ( ) 2 2 3 5 2 1 rút gọn có: ∥y3 ∥ = . , từ đó có e3 = . . t − .v.v... 3 5 2 2 3 Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn{ei }. Tuy nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi ei với một hằng số thích hợp để được một vecto mới, vẫn kí hiệu là ei nhưng với dạng đơn giản hơn, như sau: Hệ đa thức {ei (t)}i∈N∗ 1.3.4 1 e1 (t) ≡ 1, e2 (t) ≡ t, e3 = (3.t2 − 1) 2 3 5t − 3t 35t4 − 30t2 + 3 e4 (t) ≡ , e5 (t) = 2 8 1 e6 (t) = (63t5 − 70t3 + 15t)v.v... 8 trực giao thu được như trên gọi là hệ đa thức trực giao Legendre. Một số kết quả cơ bản Định nghĩa 1.3.5. Giả sử X là không gian Hilbert, còn {ei }∝ i=1 là hệ trực chuẩn trong ∑k X . Với mỗi x ∈ X, ta xét Sn = i=1 ci ei , với ci = (x, ei ), thì Sn được gọi là tổng Fourier của x và các ci là các hệ số Fourier của x đối với hệ {ei }∝ i=1 Nếu lim ∥Sn −x∥ = n→∝ ∑∝ 0 thì người ta nói tổng Fourier Sn hội tụ đến x và viết: x = i=1 (x, ei )ei . Định lý 1.3.2. Cho không gian Hilbert X và {ei }∝ i=1 là một hệ trực chuẩn của nó. Khi đó các phát biểu sau tương đương: 1. ∀x ∈ X, x = ∑∝ i=1 (x, ei )ei . 14 2. ∀x ∈ X, ∥x∥2 = ∑∝ 2 i=1 (x, ei ) 3. Nếu z là một phần tử trong X sao cho (z, ei ) = 0, ∀i ∈ N∗ thì z = θ. 4. Bao đóng của không gian con sinh bởi {ei }∝ i=1 trùng với X.