Tài liệu Các phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao (lv02266)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN PHƯƠNG THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP HẠ THẤP CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN PHƯƠNG THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP HẠ THẤP CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG NGỰ HUẤN HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngự Huấn, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các giảng viên giảng dạy lớp cao học K19 chuyên ngành Toán giải tích nói riêng, các thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Phương Thảo Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngự Huấn. Trong quá trình nghiên cứu khóa luận của mình, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc và đưa vào mục tài liệu tham khảo. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Phương Thảo Mục lục Mở đầu ............................................................................. 2 Chương 1. Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích ................ 5 1.1. Nhóm ....................................................................................... 6 1.2. Nhóm các phép biến đổi điểm .................................................. 7 1.3. Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân .............................. 16 1.3.1. Áp dụng lý thuyết nhóm giải tích giải phương trình vi phân y + y 2 = 2 ........ 16 x2 y x .......... 17 1.3.2. Áp dụng lý thuyết nhóm giải tích giải phương trình vi phân y = ϕ 1.3.3. Giảm cấp của phương trình vi phân cấp 2 ......................................................... 18 1.4. Sơ lược về thuật toán giảm nhiều cấp của lý thuyết nhóm ......... 19 1.5. Tìm toán tử của phương trình vi phân y (IV ) = y −5/3 ................ 22 Chương 2. Phương pháp tích phân đầu .................................. 28 2.1. Lý thuyết tích phân đầu ............................................................ 29 2.2. Phương pháp giảm cấp bằng tích phân đầu ................................ 30 2.3. Tìm tích phân đầu của phương trình vi phân y (IV ) = y −5/3 ...... 31 Chương 3. Mối liên hệ giữa toán tử đối xứng và tích phân đầu ................................................................................................ 37 3.1. Biến đổi của tích phân đầu dưới tác động của toán tử đối xứng ............................................................................................................... 37 3.2. Phối hợp hai phương pháp để hạ toàn bộ 4 cấp, giải phương trình vi phân y (IV ) = y −5/3 ............................................................................. 41 Kết luận ............................................................................. 46 Tài liệu tham khảo .............................................................. 47 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, phương trình vi phân có nhiều loại khác nhau: phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng hay phương trình vi phân hàm. Giữa những loại đó thì phương trình vi phân thường hết sức thú vị vì nhiều bài toán sau khi biến đổi cuối cùng lại quy về giải phương trình vi phân thường. Cho đến thời điểm hiện tại, phương pháp chủ yếu để tìm nghiệm chính xác của các phương trình vi phân thường cấp cao là phương pháp hạ thấp cấp bằng tích phân thứ nhất và lý thuyết nhóm giải tích. Phương pháp đầu tiên ta đã được biết đến qua rất nhiều tài liệu viết về phương trình vi phân. Trong khi đó, phương pháp thứ hai lại là phương pháp hoàn toàn mới. Nó được viết ra bởi nhà toán học Sophus Lie (1842 - 1899) người Na Uy như là một lý thuyết tương tự như lý thuyết Galoa đối với phương trình đại số. Công cụ chính của lý thuyết này là sự khám phá ra các nhóm biến đổi liên tục (được gọi theo tên ông là nhóm Lie) và nghiên cứu các trường vectơ được tạo ra từ chúng. Đây là đối tượng cho một dạng tuyến tính hóa của luật nhóm và có cấu trúc ngày nay gọi là một đại số Lie. Với mong muốn trình bày cụ thể phương pháp thứ nhất và giới thiệu đến phương pháp thứ hai, được sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngự Huấn, tôi đã chọn đề tài “Các phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích. 2 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về hai phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao là: lý thuyết nhóm giải tích và tích phân đầu. Từ đó, áp dụng cụ thể vào giải phương trình vi phân y (IV ) = y −5/3 . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu phương trình vi phân thường cấp cao. • Tìm hiểu phương pháp lý thuyết nhóm giải tích, phương pháp tích phân đầu và định lý về sự kết hợp hai phương pháp này. • Áp dụng giải phương trình vi phân y (IV ) = y −5/3 . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết nhóm giải tích và phương pháp tích phân đầu. • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết chung và áp dụng vào phương trình vi phân y (IV ) = y −5/3 . 5. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp của lý thuyết phương trình vi phân thường, lý thuyết nhóm giải tích cổ điển, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các công cụ của lý thuyết tích phân đầu. 3 6. Đóng góp của luận văn • Trình bày lý thuyết về tích phân đầu, nhân tử tích phân. Đưa ra phương pháp tìm tích phân đầu và nhân tử tích phân trực tiếp từ phương trình định nghĩa và ta gọi là phương pháp trực tiếp.1 • Giới thiệu lý thuyết nhóm giải tích hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao. • Đưa ra cách kết hợp hai phương pháp tìm nghiệm chính xác của phương trình đã cho. 1 Tồn tại một phương pháp thứ hai tìm tích phân đầu đó là phương pháp toán tử Euler. 4 Chương 1 Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích Đối với các phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 đã có nhiều phương pháp giải, chẳng hạn như phương trình thuần nhất y = dy y =ϕ dx x y hay y = ux. Khi đó, phương trình thuần x nhất trở thành phương trình phân li biến số được giải bằng cách đặt u = du dx = . ϕ(u) − u x Nguyên hàm hai vế của phương trình này ta nhận được du = ln x + C. ϕ(u) − u Hay phương trình vi phân không chứa x có dạng F (y, y , y , ..., y (n) ) = 0 (1.0.1) bằng cách đặt y = z thì tất cả các đạo hàm bậc cao đều biểu diễn được qua z nhưng cấp nhỏ hơn một một đơn vị như sau y = zy z, 2 y = [zy + (zy ) ]z, ... (n−1) y (n) = ω(z, zy , ..., zy ). 5 Khi đó, phương trình ban đầu (1.0.1) tương đương với phương trình P (y, z, z , z , ..., z (n−1) ) = 0. (1.0.2) Rõ ràng, phương trình (1.0.2) đã được giảm một cấp so với phương trình (1.0.1). Cho đến nay, phương trình vi phân cấp cao thường được giải bằng cách hạ thấp cấp xuống. Vậy cơ sở nào để tìm ra cách đặt các hàm phụ cho cả hai phương trình trên? Nếu cho một phương trình bậc cao bất kì khác với các dạng cổ điển trên thì ta làm thế nào tìm ra hàm đặt để giảm cấp của phương trình dẫn đến lời giải. Chương này, ta sẽ trình bày lý thuyết nhóm giải tích giải quyết vấn đề trên và áp dụng cụ thể vào phương trình y (IV ) = y −5/3 . 1.1. Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm G là một tập hợp các phần tử với qui tắc hợp thành φ giữa các phần tử thỏa mãn các tiên đề sau (i) Tính chất đóng. Với bất kì các phần tử a và b của G φ(a, b) ∈ G. (ii) Tính chất kết hợp. Với bất kì các phần tử a, b, c của G φ a, φ(b, c) = φ φ(a, b), c . (iii) Phần tử đồng nhất. Tồn tại duy nhất một phần tử đồng nhất e của G sao cho với bất kì phần tử a của G φ(a, e) = φ(e, a) = a. (iv) Phần tử nghịch đảo. Với bất kì phần tử a của G tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo a−1 trong G sao cho φ(a, a−1 ) = φ(a−1 , a) = e. 6 1.2. Nhóm các phép biến đổi điểm Định nghĩa 1.2.1. ([5]) (Phép biến đổi Lie) Xét phép biến đổi một tham số Ta   x = ϕ(x, y, a), ¯  y = ψ(x, y, a), ¯ thỏa mãn tại a = 0 trở thành phép đồng nhất   x = ϕ(x, y, a) |a=0 = x, ¯  y = ψ(x, y, a) |a=0 = y. ¯ Trong đó, ϕ, ψ liên tục với biến x, y khả vi cấp vô hạn với tham số a. Ví dụ 1.1. Xét biểu diễn   x = x + a, ¯  y = y + a, ¯ (1.2.3) 2 a ∈ R, (x, y) ∈ R , là phép biến đổi một tham số thỏa mãn tại a = 0 thì   x = x, ¯  y = y. ¯ Trang bị thêm phép toán hợp cho các hàm biến đổi x, y thì có mối liên ¯ ¯ hệ  ¯ x = ϕ(¯, y , b) = ϕ(x, y, a + b), x ¯ (1.2.4) ¯ y = ψ(¯, y , b) = ψ(x, y, a + b). x ¯ Dễ thấy, phép biến đổi Ta thỏa mãn các tính chất của nhóm với phần tử đơn vị T . Một nhóm G tập tất cả các phép biến đổi Ta trong một lân cận vô cùng nhỏ của a tại điểm 0 tạo thành một nhóm (nhóm tôpô). 7 1, Phần tử đơn vị là phép đồng nhất T0 = I ∈ G. 2, Phép hợp hai phép biến đổi Ta Tb = Ta+b ∈ G. 3, Ta −1 = T−a ∈ G. Ví dụ 1.2. Phép biến đổi một tham số (1.2.3) là một nhóm với 1, Phần tử đơn vị là phép đồng nhất   x = x, ¯  y = y. ¯ 2, Tích của hai phép biến đổi chính là phép toán hợp. Rõ ràng (1.2.4) cũng là một phép biến đổi điểm. 3, Phần tử nghịch đảo là phép biến đổi ngược   x = x − a, ¯  y = y − a. ¯ Giả sử ϕ và ψ là các hàm khả vi vô hạn lần với biến a, triển khai chúng bằng cách chuyển sang hàm tuyến tính theo dãy Taylor tại a = 0 (đến cấp 1) x ≈ x + ξ(x, y)a, ¯ y ≈ y + η(x, y)a, ¯ ξ(x, y, a) = η(x, y, a) = ∂ϕ(x, y, a) ∂a ∂ψ(x, y, a) ∂a , a=0 . a=0 Như vậy, với mỗi phép biến đổi điểm (¯, y ) ta có cặp véc tơ (ξ, η) tương x ¯ ứng và ngược lại. Khi đó, toán tử vi phân vô cùng bé của nhóm các phép biến đổi điểm có dạng X = ξ(x, y) ∂ ∂ + η(x, y) . ∂x ∂y 8 Mỗi nhóm G các phép biến đổi Ta tương ứng toán tử X duy nhất và ngược lại nếu cho mỗi toán tử X ta cũng tìm được các phép biến đổi bằng cách giải hệ phương trình Lie (Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp 1) với điều kiện ban đầu   dϕ = ξ(ϕ, ψ), ϕ(a = 0) = x,  da  dψ  = η(ϕ, ψ), ψ(a = 0) = y. da Ví dụ 1.3. Nhóm có phép quay trong mặt phẳng Oxy xung quanh tâm O   x = xcosa + ysina, ¯  y = ycosa − xsina. ¯ Triển khai Taylor tại a = 0 ta được x ≈ x + ay, ¯ y ≈ y − ax. ¯ Do đó, nhóm phép quay trong mặt phẳng Oxy ở trên có toán tử vi phân vô cùng bé tương đương với phép biến đổi đã cho X=y ∂ ∂ −x . ∂x ∂y Định nghĩa 1.2.2. Hàm F (x, y) được gọi là bất biến của phép biến đổi điểm x = ϕ, y = ψ nếu thỏa mãn điều kiện F (¯, y ) = F (x, y) với mọi ¯ ¯ x ¯ x, y . Ví dụ 1.4. Dễ thấy hàm F (x, y) = x − y là bất biến của nhóm các phép biến đổi (1.2.3) vì F (¯, y ) = x − y = (x + a) − (y + a) = x − y = F (x, y). x ¯ ¯ ¯ Định lý 1.2.1. F (x, y) được gọi là bất biến với phép biến đổi x, y khi và ¯ ¯ chỉ khi nó thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng sau XF = ξ(x, y) ∂F ∂F + η(x, y) ≡ 0. ∂x ∂y 9 (1.2.5) Chứng minh. Ta có F (¯, y ) = F (ϕ(x, y, a), ψ(x, y, a)) ≈ F (x + ξ(x, y)a, y + η(x, y)a) x ¯ ≈ F (x, y) + a ξ(x, y) ∂F ∂F + η(x, y) . (1.2.6) ∂x ∂y Giả sử F (¯, y ) = F (x, y) với mọi x, y . Theo (1.2.6) ta có x ¯ F (x, y) + a ξ(x, y) ∂F ∂F + η(x, y) ∂x ∂y ≈ F (x, y). Do đó, ∂F ∂F + η(x, y) ∂x ∂y = 0. ∂F ∂F + η(x, y) ∂x ∂y = 0. a ξ(x, y) Với mọi tham số a thì ξ(x, y) Ngược lại, giả sử hàm F thỏa mãn XF ≡ 0 với mọi x, y , ta viết dưới dạng x, y như sau ¯ ¯ ξ(¯, y ) x ¯ ∂F (¯, y ) x ¯ ∂F (¯, y ) x ¯ + η(¯, y ) x ¯ = 0. ∂x ¯ ∂y ¯ Từ phương trình Lie và đẳng thức trên ta thu được dF (ϕ, ψ) ∂F (¯, y ) dϕ(x, y, a) ∂F (¯, y ) dψ(x, y, a) x ¯ x ¯ = . + . da ∂x ¯ da ∂y ¯ da ∂F (¯, y ) x ¯ ∂F (¯, y ) x ¯ = ξ(¯, y ). x ¯ + η(¯, y ). x ¯ = 0. ∂x ¯ ∂y ¯ Từ đó dễ thấy F (ϕ, ψ) là hàm bất biến với một tham số a thỏa mãn phương trình vi phân với điều kiện biên dF = 0, da F |a=0 = F (x, y). Suy ra F (¯, y ) = F (x, y). x ¯ 10 Phương trình (1.2.5) có một nghiệm độc lập I(x, y) = C cũng là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dx dy = . ξ(x, y) η(x, y) Mỗi phép biến đổi điểm có một hàm độc lập I(x, y) và mọi hàm độc lập khác là một hàm của I , tức là có dạng φ(I). Định nghĩa 1.2.3. Phương trình F (x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm các phép biến đổi T nếu F (¯, y ) = 0 trên miền (x, y) ∈ R2 thỏa mãn F (x, y) = x ¯ 0. Hay phép biến đổi này biến mỗi điểm của đường cong F (x, y) = 0 thành một điểm khác của đường cong này, tức là F (¯, y ) = F (x, y). x ¯ Định lý 1.2.2. Phương trình F (x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm các phép biến đổi G nếu và chỉ nếu thỏa mãn phương trình XF |F =0 ≡ 0, tức là ξ(x, y) ∂F ∂F + η(x, y) ∂x ∂y ≡ 0. F (x,y)=0 Chứng minh. Nếu phương trình F (x, y) = 0 bất biến (tức là F (¯, y ) = 0), x ¯ ta chứng minh XF |F =0 ≡ 0. Thật vậy, ta có F (¯, y ) ≈ F (x, y) + a ξ(x, y) x ¯ ∂F ∂F + η(x, y) . ∂x ∂y Vì F (¯, y ) = F (x, y) = 0 nên a ξ(x, y) x ¯ ∂F ∂F + η(x, y) ∂x ∂y Với mọi giá trị của a thì ξ(x, y) ∂F ∂F + η(x, y) = 0. ∂x ∂y 11 (1.2.7) = 0. Do đó, XF |F =0 ≡ 0. Ngược lại, nếu XF |F =0 ≡ 0 ta có F (x, y) + a ξ(x, y) ∂F ∂F + η(x, y) ∂x ∂y = 0. F (x,y)=0 Từ (1.2.7) suy ra F (¯, y ) = 0. x ¯ Việc thu hẹp miền xác định của phương trình XF |F =0 ≡ 0 trên miền F = 0 sẽ đem lại kết quả là ta tìm được nhiều nhóm đối xứng hơn. Định lý 1.2.3. Nếu phương trình đại số F (x, y) = 0 có toán tử vi phân X = ξ(x, y) ∂ ∂ + η(x, y) , ∂x ∂y ∂I ∂I +η ≡ 0 thì ∂x ∂y phương trình F (x, y) = 0 có thể biểu diễn qua I như sau giả sử I(x, y) là bất biến của toán tử X , tức là XI = ξ φ(I) = 0 với φ là hàm số. Ví dụ 1.5. Phép biến đổi điểm   x = ea x, ¯  y = ea y, ¯ có ξ(x, y) = ∂ϕ(x, y, a) ∂a = x và η(x, y) = a=0 ∂ψ(x, y, a) ∂a = y. a=0 ∂ ∂ + y . Ta thấy toán tử này có hàm bất Do đó, nó có toán tử X = x ∂x ∂y x ∂I ∂I 1 −x biến I(x, y) = vì XI = x +y = x. + y. 2 ≡ 0. y ∂x ∂y y y Mặt khác, phương trình đại số F (x, y) = 0 có dạng x + y = 0 cũng có phép biến đổi điểm trên, theo định nghĩa (1.2.3) thì ea x x F (¯, y ) = a = = F (x, y). x ¯ e y y 12 Khi đó, phương trình x + y = 0 được biểu diễn qua biến I như sau I + 1 = 0. Định lý 1.2.4. ([5])(Qui tắc vị tự) Mọi nhóm một tham số với toán tử X = ξ(x, y) ∂ ∂ + η(x, y) , ∂x ∂y ¯ bằng cách đổi biến thích hợp đều có thể qui về nhóm tịnh tiến t = t + a với toán tử X= ∂ . ∂t Phép chuyển được thực hiện theo công thức X → X(t)∂t + X(u)∂u. Tìm các biến chính tắc t và u từ hệ phương trình   X(t) = 1,  X(u) = 0. Ví dụ 1.6. Nhóm biến đổi   x = ea x, ¯ với toán tử tương ứng  y = ea y, ¯ X=x ∂ ∂ +y , ∂x ∂y có các biến chính tắc t và u thỏa mãn  ∂t  ∂t x +y = 1,  ∂x ∂y ∂u  ∂u x +y = 0.  ∂x ∂y Từ đó suy ra 13   t = ln x,  u = y . x Vậy ta đã đưa nhóm biến đổi điểm ban đầu về nhóm tịnh tiến ¯ t = ln x = ln x + a = t + a ¯ với toán tử X= ∂ . ∂t Hai định lí (1.2.3) và (1.2.4) là nền tảng cho cách giảm cấp của phương trình vi phân sau này. Những kết quả trên là nhóm các phép biến đổi một tham số của (x, y). Chúng có thể mở rộng cho phương trình vi phân (x, y, y , y , y , ..., y (k) ). Đầu tiên, ta phải kéo dài toán tử ở trên có chứa các biến đạo hàm. Định nghĩa 1.2.4. Toán tử đạo hàm toàn phần được định nghĩa bởi D= ∂ ∂ ∂ ∂ +y +y +y + ..., ∂x ∂y ∂y ∂y trong đó, y = ¯ d¯ Dψ y ψx + y ψy = = . d¯ x Dϕ ϕx + y ϕy Khai triển Taylor cấp 1 ta được y ≈ y + D(η) − y D(ξ) a = y + aη (1) ¯ với η (1) = D(η) − y D(ξ). Tương tự, y ≈ y + D(η (1) ) − y D(ξ) a = y + aη (2) ¯ với η (2) = D(η1 ) − y D(ξ). 14 Do đó, (1) X = ξ∂x + η∂y + η ∂y , 1 (1) (2) X = ξ∂x + η∂y + η ∂y + η ∂y . 2 Với hàm lấy vi phân F (x, y, y , y , ..., y (l) ), đạo hàm toàn phần của nó được cho bởi DF (x, y, y , y , ..., y (l) ) = Fx + y Fy + y Fy + ... + y (l+1) Fy(l) . Định lý 1.2.5. Phương trình vi phân F (x, y, y ) = 0 có nhóm đối xứng G với toán tử X = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y nếu và chỉ nếu nó bất biến với nhóm mở rộng G của G, tức là 1 X F |F =0 = ξ 1 ∂F ∂F ∂F +η + η (1) ∂x ∂y ∂y ≡ 0. F =0 Tương tự đối với phương trình vi phân cấp hai F (x, y, y , y ) = 0, X F |F =0 = 2 ξ ∂F ∂F ∂F ∂F +η + η (1) + η (2) ∂x ∂y ∂y ∂y ≡ 0. (1.2.8) F =0 Phương trình (1.2.8) cho phép tìm toán tử đối xứng điểm của phương trình vi phân thường cấp 2 dạng y = f (x, y, y ) bằng phương pháp bóc tách. Đó là phương pháp dựa trên cơ sở nếu có một đa thức bằng 0 thì tất cả các hệ số phải bằng 0. ∂ có ∂x ∂ 2 ∂ − (y ) , X=y ∂x ∂y 1 ∂ ∂ 2 ∂ − (y ) − 3y y . X=y ∂x ∂y ∂y 2 Ví dụ 1.7. Toán tử X = y Toán tử X có một bất biến u Xu = ξ ∂u ∂u +η ≡ 0. ∂x ∂y 15 Toán tử X có hai bất biến u, v (cấp 1) 1 Xv=ξ 1 ∂u ∂v ∂u +η + η (1) ≡ 0. ∂x ∂y ∂y Toán tử X có ba bất biến u, v (cấp 1) và w (cấp 2) 2 Xw=ξ 2 ∂u ∂v ∂w ∂u +η + η (1) + η (2) ≡ 0. ∂x ∂y ∂y ∂y Định lý 1.2.6. Bất biến cấp 2 và cấp cao hơn được tìm như sau dv Bất biến cấp 2: w = . du d2 v . Bất biến cấp 3: du2 d3 v Bất biến cấp 4: . du3 1.3. Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân 1.3.1. Áp dụng lý thuyết nhóm giải tích giải phương trình vi 2 phân y + y 2 = 2 x Lý thuyết của Lie chỉ tìm được X cho phương trình vi phân từ cấp hai trở lên. Giả sử phương trình vi phân cấp 1 y + y2 = 2 x2 có nhóm đối xứng   x = xea , ¯  y = ye−a , ¯ với toán tử X = x ∂ ∂ −y . ∂x ∂y 16 (1.3.9)