Tài liệu Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG PHẦN 1 PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI *Bậc học THCS là bậc học tạo nền tảng đặt cơ sở cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách của con người, tạo nền móng vững chắc cho toàn bộ hệ thống giáo dục nói riêng. * Cùng với các môn học khác, môn Toán là một trong những môn học bắt buộc ở bậc THCS. Nó chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong việc hình thành và phát triển phẩm chất nhân cách và năng lực trí tuệ cho học sinh. Môn Toán lớp 9 hệ thống hoá, khái quát hoá toàn bộ kiến thức Toán ở bậc học THCS đồng thời tạo tiền đề cho học sinh lên các lớp trên. Chương trình của lớp 8, 9 có rất nhiều bài toán cần đến kiến thức về bất đẳng thức, tuy nhiên kiến thức này chỉ được nhắc sơ qua ở cuối năm lớp 8, học sinh chưa được tìm hiểu sâu. Chính vì vậy mỗi khi gặp các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức (BĐT) học sinh thường lúng túng không biết cách giải hoặc trình bày không hợp lý * Mặt khác trong nội dung bồi dưỡng cho học sinh giỏi bài toán chứng minh BĐT là một bài quan trọng, đó là một bài toán phát triển tư duy và cũng cần phải có tư duy mới học được. Vậy nên đó là một bài toán rất phù hợp đối với học sinh khá và giỏi. II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. 1- Khẳng định tầm quan trọng của BĐT đối với chương trình Toán 9 nói riêng và chương trình Toán ở THCS nói chung. 2- Nhằm giúp cho học sinh có một kiến thức cơ bản về BĐT, phục vụ trực tiếp cho học sinh nhất là học sinh lớp 9 III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. Tìm ra một số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy BĐT cho học sinh IV/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: - Các bài toán chứng minh Bất đẳng thức 2. Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình Toán THCS đặc biệt là lớp 8 và lớp 9 PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. CHƯƠNG I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. 1- Định nghĩa bất đẳng thức. Cho a và b là hai số thực. Khi đó: a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b nếu a - b < 0 a lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu a - b > 0 a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b nếu a - b  0 a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b nếu a - b  0 Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay dạng a < b, a  b, a  b) là bất đẳng thức và a gọi là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2- Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức * Tính chất 1: Tính chất phản xứng a >bbb,b>ca>c * Tính chất 3: Tính chất cộng với cùng một số. a>ba+c>b+c Hệ quả: a + c > b  a > b - c * Tính chất 4: Tính chất cộng hai BĐT cùng chiều. a > c, b > d  a + b > c + d * Tính chất 5: Tính chất nhân với cùng một số khác 0 a > b, c > 0  ac > bc a > b, c < 0  ac < bc * Tính chất 6: Tính chất nhân hai BĐT cùng chiều. a > b  0 , c > d  0  ac > bd * Tính chất 7: Các tính chất về luỹ thừa a > b  an > bn a > b  an > bn với n lẻ. a > b  an > bn với n chẵn. CHƯƠNG II- CƠ SỞ THỰC TẾ (THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢNG DẠY BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH Ở THCS NÓI CHUNG VÀ HỌC SINH KHÁ GIỎI NÓI RIÊNG) - Chương trình Toán THCS nói chung và Toán lớp 9 nói riêng có rất nhiều bài toán phải cần đến kiến thức về bất đẳng thức chẳng hạn như: Bài toán giải phương trình, bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất, bài toán về phương trình bậc hai.. CHƯƠNG III- NỘI DUNG CỤ THỂ: PHẦN THỨ NHẤT I/ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Khi đứng trước một bài toán chứng minh BĐT việc định hướng cho lời giải là rất quan trọng. Do vậy cần cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng minh BĐT có bản sau: I .1- Phương pháp dùng định nghĩa: * Cấu trúc của phương pháp: Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B sau đó chứng minh A - B > 0 rồi kết luận. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Giải: Xét biểu thức: M = a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) Suy ra 2M = 2 a2 + 2b2 + 2c2 - 2 ab - 2bc - 2 ca = (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 Vì: (a - b)2  0 (b - c)2  0 (c - a)2  0 Do đó (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2  0 Suy ra 2 a2 + 2b2 + 2c2 - 2 ab - 2bc - 2 ca  0 hay a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)  0 Vậy: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng: 3 a2 + b2 + c2 + 4  a + b + c Giải: 3 Xét biểu thức: N = a2 + b2 + c2 + 4 - (a + b + c) 1 1 1 = (a2 - a + 4 ) + (b2 - b + 4 ) + (c2 - c + 4 ) 1 1 1 = (a - 2 )2 + (a - 2 )2 + (c - 2 )2 1 1 1 1 1 1 Vì (a - 2 )2  0; (a - 2 )2  0; (c - 2 )2  0. Do đó (a - 2 )2 + (a - 2 )2 + (c - 2 )2 0 3 Suy ra a2 + b2 + c2 + 4 - (a + b + c)  0 3  a2 + b2 + c2 + 4  a + b + c 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2 I.2- Phương pháp biến đổi tương đương * Cấu trúc của phương pháp: Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho: A > B  ….. C > D Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận). Từ đó đi đến kết luận. Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu: a b  2 Chứng minh rằng: b a Giải a b  2 b a Giả sử: (1) 2 2  a + b  2ab (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)  a2 + b2 - 2ab  0  (a - b)2  0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng. a b  2 Vậy b a (với a và b cùng dấu) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1. 1  Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab 2 Giải: 1  Giả sử a3 + b3 + ab 2 (1) 1   a3 + b3 + ab 2  0 1  (a + b)(a2 + b2 - ab) + ab - 2  0 1  a2 + b2 - 2  0 (vì a + b = 1) 2 2 2a +2b -10  2a2 + 2(1 - a)2 - 1  0 (vì b = 1- a) 2  4a - 4a + 1  0  (2a - 1)2  0 (2) Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng. 1  Vậy a3 + b3 + ab 2 (với a + b = 1) 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2 1 1 4   Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: a b a  b Giải 1 1 4   Giả sử: a b a  b (1) b a 4   ab ab 2   a  b  4ab (vì a > 0 và b > 0)  a + 2ab + b - 4ab  0  a2 - 2ab + b2  0  (a - b)2  0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng. 1 1 4   Vậy: a b a  b (với a > 0, b > 0) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Ví dụ 4: Cho a, b, x, y là các số thực. Chứng minh rằng: (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) Giải Giả sử (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) (1)  (ax)2 + 2 axby + (by)2  (ax)2 + (ay)2 + (bx)2 + (by)2  (ay)2 + (bx)2 - 2 ay bx  0  (ay - bx)2  0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng. Vậy (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) a b  x y Dấu "=" xảy ra khi và chi khi ay = bx hay 2 2 Ví dụ 5: Cho x và y là các số thực. Chứng minh rằng: x  y  x  y Giải: x  y  x  y (1) Giả sử x  y  2 xy   2 2 2 2 2  x  2 xy  y x  2xy  y xy xy (2)  Vì BĐT (2) là một BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng Vậy : x  y  x  y Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi xy  0 ab  ab Ví dụ 6: Cho a và b là hai số không âm . Chứng minh rằng: 2 Giải ab  ab 2 Giả sử (1)  a + b 2 ab  a  b  2 ab 0 2  ( a  b) 0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng a b  ab Vậy: 2 với a  0 và b  0 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. I.3- Phương pháp dùng bất đẳng thức I.3.1 - Các bất đẳng thức thường được áp dụng * BĐT bình phương của một biểu thức A2  0 với mọi giá trị của A. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = 0 * BĐT Côsi (Cauchy - Nhà toán học người Pháp 1789 - 1857) a b  ab + Cho hai số a và b không âm , ta luôn có: 2 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b a bc 3  abc 3 + Cho ba số a, b, c không âm , ta luôn có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c + Tổng quát: Cho n số a1, a2 ,…, an không âm, ta luôn có: a1  a 2  ..  a n n  a1 .a 2 ..a n n Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = …=an (Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng) * BĐT Bunhiacốp xki (Bunhiacôpxki - Nhà toán học người Nga 1804 - 1889) + Cho các số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2  (a12 + a22) (b12 + b22) a1 a 1  b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 b 2 + Tổng quát: Cho hai bộ số (a1, a2,…an) và (b1, b2, …bn) ta luôn có : 2  a1b1  a 2 b 2  ..  a n b n   a12  a 2 2  ..  a n 2   b12  b 2 2  ..  b n 2  a1 a 2 a  ...  n bn Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b1 b2 (Bình phương của tổng các tích không lớn hơn tích của tổng các bình phương) * BĐT tổng nghịch đảo của hai số cùng dấu: a b  2 b a Với hai số cùng dấu a và b ta có: . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b 1 1 4   * BĐT. a b a  b với a và b là hai số dương. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b I.3.2- Cấu trúc của phương pháp: Để chứng minh A > B ta tiến hành như sau: - Từ BĐT đã biết C > D ta đi biến đổi C > D  ….. A > B rồi trả lời. a b c 1 1 1      Ví dụ 1: Cho a , b, c là ba số dương: Chứng minh rằng: bc ca ab a b c Giải xy  xy 2 Cách 1:Theo BĐT Cô si: Với x , y không âm ta có: a b a b 2  2 .  bc ca c Ta có: bc ca b c b c 2  2 .  ca ab ca ab a a c a c 2  2 .  bc ab bc ab b b c   a  1 1 1 2     2     a b c Suy ra:  bc ca ab  b c   1 1 1  a         bc ca ab    a b c  . Dấu "=" xảy ra khi và chi khi a = b = c Vậy: Cách 2: Theo BĐT Tổng hai nghịch đảo ta có : a b  2 Với hai số cùng dấu a và b ta có: b a . a b 1 a b  2      Do đó: bc ca c  b a  c b c 1 b c  2      ca ab a  c b  a c a 1 c a 2      ab cb b  a c  b b c   a  1 1 1 2     2     a b c Suy ra  bc ca ab  b c   1 1 1  a         Vậy:  bc ca ab   a b c  . Dấu "=" xảy ra khi và chi khi a = b = c 1 Ví dụ 2: Cho hai số a và b thoả mãn 2a + b = 1. Chứng minh rằng: 2a2 + b2  3 Giải Theo BĐT Bunhia cốp xki: Với các số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2  (a12 + a22) (b12 + b22) a1 a 1  b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 b 2 2  12  2a  b   Ta có :  3(2a2 + b2)  1 1 2a 2  b 2  3 (đpcm)  2   2. 2a  1.b  ( 2)2  12   2 2a  b 2   2a b    2 1 1 2a  b 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi   a=b= 3 Ví dụ 3:Cho a ,b, c là ba cạnh của một tam giác : Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1      a b c cb a ac b a b c Giải 1 1 4   Theo BĐT x y x  y với x và y là hai số dương 1 1 2   a b  c ca  b b Ta có: 1 1 2   cb a ac b c 1 1 2   a c b a b c a 1 1 1    1 1 1 2    2     a b c Suy ra:  a  b  c c  b  a a  c  b  1 1 1 1 1 1      Vậy a  b  c c  b  a a  c  b a b c Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c (tức là tam giác đã cho là tam giác đều) I.4- Phương pháp phản chứng. * Cấu trúc của phương pháp. - Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh - Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết) - Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng. Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT. 1 1 1 a  2 b  2 c 2 b c a ; ; Giải Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT 1 1 1 c 2 a  2 b 2 b c a ; ; 1  1  1  1 1 1 a b c 6 a    b    c   6 a  b  c b c a Suy ra :   (*) 1 1 1 a  2 b  2 c  2 a b c Mà: (a > 0) ; (b > 0) ; (c > 0) 1  1  1    a     b     c   6 a  b  c  Do đó (*) vô lý. Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT. 1 1 1 c 2 a 2 b  2 b c a ; ; I.5 - Phương pháp làm trội, làm giảm Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: 1 a b c   2 a b b c ca Giải a a b b c c    Ta có : a  b  c a  b ; a  b  c b  c ; a  b  c c  a a b c a b c      Suy ra: a  b  c a  b  c a  b  c a  b b  c c  a a b c 1   a b b c ca  a a c  a b a b c Ta lại có: (điều này dễ chứng minh được) b ab  bc abc Tương tự c cb  ca a bc 2 a  b  c a b c    a bc = 2 Suy ra: a  b b  c c  a a b c   2  a b b c c a a b c 1   2 a b b c ca Vậy: Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì: 1 1 1  2  ...  2  1 2 2 3 n Giải 1 1 1 1 1     k 2 k.k k  k  1 k  1 k Ta có : 1 1 1   2 2 1 2 Nên 1 1 1   32 2 3 …….. 1 1 1   n2 n  1 n 1 1 1 1   ...   1  2 2 n2 n <1 Suy ra 2 3 1 1 1  2  ...  2  1 2 n Vậy: 2 3 II. Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp. Bài 1: * Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D * Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương 1 Ví dụ 1: Cho hai số a và b thoả mãn a - b = 1. Chứng minh rằng: a3 - b3 - ab  2 Giải: 1 Giả sử a3 - b3 - ab  2 (1) 1  (a - b)(a2 + ab + b2) - ab  2 1  a2 + ab + b2 - ab  2 (vì a - b = 1) 2 2 1  2a + 2b   2(b + 1)2 + 2b2  1 (vì a = b + 1) 2 2  2b + 4b + 2 + 2b  1  4b2 + 4b + 1  0  (2b + 1)2  0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng 1  a   2  1 b  1 2 Vậy a3 - b3 - ab  2 với a - b =1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2. 4 4 3 3 Chứng minh rằng: a  b a  b Giải * Cách 1 4 4 3 3 Giả sử: a  b a  b (1) 3  2(a4 + b4) 4  (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2) 4 4 4 3 3 4  2a + 2b  a + a b + ab + b  a4 + b4 - a3b - ab3  0  (a- b)(a3 - b3)  0  (a - b)2(a2 + ab + b2)  0 (2) 1 3 Vì (a - b)2  0 và a2 + ab + b2 = (a + 2 )2 + 4  0 nên BĐT (2) là BĐT đúng. Do đó BĐT (1) là BĐT đúng. 4 4 3 3 Vậy a  b a  b với a + b = 2. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 * Cách 2: 4 4 3 3 Giả sử: a  b a  b (1) 3  2(a4 + b4) 4  (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2) 4 4 4 3 3 4  2a + 2b  a + a b + ab + b  a4 + b4 - a3b - ab3  0  (a- b)(a3 - b3)  0 (3) Xét các trường hợp sau: * TH: a > b suy ra a3 > b3 Do đó (a- b) > 0 và ( a3 - b3) > 0 nên BĐT (3) là BĐT đúng * TH: a = b thì hiển nhiên BĐT (3) là BĐT đúng * TH : a < b suy ra a3 < b3 Do đó (a- b) < 0 và ( a3 - b3) < 0 nên BĐT (3) là BĐT đúng Vậy trong mọi trường hợp BĐT (3) luôn là BĐT đúng Suy ra (1) là BĐT đúng. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 Nhân xét: - Cách giải 2 ưu việt hơn cách giải 1 bởi vì nó có thể áp dụng để giải được bài toán tổng quát (xét ở phần sau) Bài 2: * Cấu trúc: Cho BĐT C  D, chứng minh A  B. * Cách giải : - Xét biểu thức: (A - B) + (D - C) và biến đổi về dạng tổng các bình phương - Chứng minh: (A - B) + (D - C)  0 - Dùng giả thiết C  D để suy ra A  B. Ví dụ 1: 1 a2  b2  2 Cho a + b  1 Chứng minh : Giải 1  2 2  a  b    1  a  b 2 Xét biểu thức M =  1 a2  b2  a  b  2 = 1  2 1  2 a  a   b  b   4  4 = 2 2 1  1  a   b   2  2 = 2 2 1 1 1   2  2  a   0  b   0  a  b    1  a  b 2 2 2 Vì  và  nên  0 1  2 2  a  b   0 2 mà a + b  1 suy ra 1 - a - b  0. Do đó  1 1 a 2  b2  a b  2 với a + b  1 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2 Vậy 4 4 3 3 Ví dụ 2: Cho a + b  2. Chứng minh rằng: a  b a  b Giải a 4  b 4  a 3  b3    2  a  b   Xét biểu thức : N = (a 4  a 3  a  1)   b 4  b 3  b  1 = = (a - 1)(a3 - 1) + (b - 1)(b3 - 1) = (a - 1)2 (a2 + a +1) + (b - 1)2 (b2 + b + 1) Vì (a - 1)2 (a2 + a +1)  0 và (b - 1)2 (b2 + b + 1)  0 a Suy ra 4  b 4  a3  b3    2  a  b  0 a 2 - a - b  0 . Do đó 4 mà a + b  2 nên 4 4 3 3 Vậy: a  b a  b  b 4  a 3  b 3  0 III- Mở rộng một số bất đẳng thức Việc mở rộng một BĐT giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về BĐT đó và đồng thời có tác dụng trong việc phát triển tư duy, cũng như óc tìm tòi sáng tạo của học sinh. Việc làm này nên làm thường xuyên ngay trong quá trình dạy Ví dụ 1: 1 1  a  b     4 a b Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: Mở rộng: Cho n số dương a1 ,a 2 ,...,a n . Chứng minh rằng: 1 1 1 2  a  ..  a   ..     n 1 2 n an   a1 a 2 * Gợi ý: Dùng BĐT Cô si để giải Ví dụ 2: a Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:  a  1  b  1 2 Mở rộng: Cho n số dương a1 ,a 2 ,...,a n có tích bằng 1. Chứng minh rằng: a)  a  1  a  1 ...  a  1 2 b)  a  a   a  a   a  a  ..  a n 1 1 2 2 n 2 3 3 4 n  a1  2 n Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 1  1  25  a    b    b  a 2  Mở rộng: Cho n số dương a1 ,a 2 ,...,a n có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2   1  1 1   n2  1  a   a   ..  a   1   2   n   a a a n         2 3 1 a) 2 2 2 2   1  1 1   n2  1   a1     a 2    ..   a n    a1   a2  a n   n    b) * Gợi ý : Dùng BĐT Bu nhi a cốp xki để giải Ví dụ 4: Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng: a4 + b4  a3 + b3 Mở rộng: 1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng: an + bn  an-1 + bn-1 (với n là số tự nhiên chẵn và kháo 0) * Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp 2/ a) Cho n số thực a 1 ,a 2 ,...,a n thoả mãn a1  a 2  ..  a n n . 4 4 4 3 3 3 Chứng minh rằng: a1  a 2  ..  a n a 1  a 2  ..  a n b) Cho n số thực a 1 ,a 2 ,...,a n thoả mãn a1  a 2  ..  a n n 4 4 4 3 3 3 Chứng minh rằng: a1  a 2  ..  a n a 1  a 2  ..  a n *Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp Ví dụ 5: a 2  b2  Cho a và b là hai số thực thoả mãn a  b 1 . Chứng minh rằng: Mở rộng: n a1  a 2  ..  a n  2. Cho n số thực a1 ,a 2 ,...,a n thoả mãn n a12  a 2 2  ..  a n 2  4 Chứng minh rằng: * Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp PHẦN THỨ HAI 1 2 CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1- Dùng để giải phương trình: Ví dụ 1 Giải phương trình: x  5  x  2 3 Giải áp dụng BĐT x  y  x  y . Ta có x  5  x  2 = x  5  2  x  x  5  2  x = 3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 5)(2 -x)  0 hay 2  x  5 Vậy phương trình có nghiệm với mọi x thoả mãn 2  x  5 Ví dụ 2: 2 2 2 Giải phương trình: 3x  6x  7  5x  10x  14 4  2x  x Giải: 2 Ta có : 3x 2  6x  7  3  x 2  2x  1  4  3  x  1  4 2 2 5x 2  10x  14  5  x 2  2x  1  9  5  x  1  9 3 2 2 Suy ra Vế trái = 3x  6x  7  5x  10x  14 5 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = -1. 2 2 4  2x  x  x  1  5 5 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = -1   mà Vế phải = Vậy phương trình có nghiệm x = -1 IV. 2- Dùng để tìm GTLN, GTNN Ví dụ 1 Cho a , b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. A= a 1  b 1  c 1 Giải: *Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki Ta có A2 =   2 a  1  b  1  c  1  12  12  12   a  1  b  1  c  1 = 12 1 mà A > 0. Suy ra A  12 2 3 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 * Cách 2: Dùng điểm rơi Côsi 4  a  1   3 4 3 3   3  3a  7  a 1   a  1    2 3 2  2  12   Ta có: Tương tự: b 1  3  3b  7  12 ; c 1  3  3c  7  12 3  3  a  b  c   21 2 3 12 Suy ra: 1 a b c  3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 2 1) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác để a b c   A = b  c c  a a  b đạt giá trị nhỏ nhất Giải: Ta có:  a   b   c  a b c  1    1    1  3      ab  A = bc ca a b =  bc   ca 1 1 1     a  b  c    3 b  c c  a a  b   = a 1  b 1  c 1  = 1 1 1   1   b  c    c  a    a  b       3 2 b  c c  a a  b   1 1 1  1  1   b  c    c  a    a  b        .9 2 b  c c  a a  b   2 Vì a b c 3   Suy ra A = b  c c  a a  b  2 > Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c a b c   Vậy A = b  c c  a a  b đạt giá trị lớn nhất khi a, b, c là ba cạnh của tam giác đều. 2) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác để b  c  a   1    1    1   8 a  b  c  Giải: b  c  a   a  b  b  c  c  a    1    1    1       a  b  c   a  b  c  Xét biểu thức: B =   a  b   b  c  c  a  abc = Theo BĐT Cô si cho hai sô dương ta có : a  b 2 ab ; b  c 2 bc ; c  a 2 ca Suy ra:  a  b   b  c   c  a  8abc  a  b   b  c  c  a  b  c  a   1    1    1   8 a  b  c abc nên  8 hay  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b  c  a   1    1    1   8 a  b  c Vậy với a, b, c là ba cạnh của tam giác đều thì  3) Dùng để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt.. Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2mx + (m - 1) = 0 với m là tham số Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Giải: Ta có :' = m2 - (m - 1) = m2 - m + 1 2 1 3  m   2  4 > 0 với mọi giá trị của m = Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Ví dụ 2 Cho a, b, c là ba số khác không. Chứng minh rằng: trong ba phương trình sau: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) Có ít nhất một phương trình có nghiệm Giải: Ta có 1' = b2 - ac; 2' = c2 - ab ; 3' = a2 - bc Suy ra: 1' + 2' + 3' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca 2 2 2  a  b   b  c   c  a  2 = 0 ' Từ đó suy ra phải có ít nhất 1 trong 3 biệt thức 1 hoặc 2' hoặc 3' lớn hơn hoặc bằng không. Vậy trong ba phương trình đã cho phải có ít nhất 1 phương trình có nghiệm. PHẦN THỨ BA: MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 3 a) a  b ab  a  b  với a, b > 0 2 2 2 b) a  b  c ab  2  a  b  3 a 2  b 2  c2   a  b  c 4 c) Bài 2: Cho hai số a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh: 1 a 2  b2  2 a) 1 a3  b3  4 b) 1 a4  b4  8 c) Bài 3: Cho a ;b là hai số thoả mãn a + b = 2. Chứng minh: a 2008  b 2008 a 2007  b 2007 Bài 4: Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 4. Chứng minh: 16 x4  y4  z4  3 Bài 5: Cho các số a, b, c, d dương và có tích bằng 1: Chứng minh:  a  b   b  c   c  d   d  a  16 Bài 6: Cho a, b, c, p là độ dài ba cạnh và nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1  1 1 1   2     a b c a) p  a p  b p  c a b c   3 b  c  a c  a  b a  b  c b) 2 2 2 ab  bc  ca  a  b  c  2  ab  bc  ca  c) d)  a  b  c   b  c  a   c  a  b  abc Bài 7: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh: a 3 b 3 c3   ab  bc  ca a) b c a a b c 3    b) b  c c  a a  b 2 ab bc ca   a  b  c a b c) c 3 3 a  b b 3  c3 c3  a 3   a  b  c 2bc 2ca d) 2ab a b c   2 ac a b e) b  c Bài 8: Cho a > c ; b  c ; c > 0. Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab Bài 9: Cho ba số x, y, z dương. Chứng minh: x y z   3 y z x a) x2 y2 z2 x y z  2 2   2 y z x y z x b) Bài 10. Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT sau: 4a( 1 - b) ; 4b(1 - c) ; 4c(1 - a) Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lớn hoặc bằng 2 thì tổng: 1 1 1 1   ..  2 3 n không phải là số tự nhiên. S= 3 3 Bài 12: Cho a  b 2 . Chứng minh rằng: a  b 2 Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 b2  A = b  1 a  1 với a > 1 và b > 1 Bài 14: Cho 0 x 3 và 0 y 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =  3  x   4  y   2x  3y  Bài 15: Giải phương trình: 2 a) x  2  4  x x  6x  11 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14 4  2x  x 2 x 2  6x  15  x 2  6x  18 2 c) x  6x  11 b)