Tài liệu Các mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Chuyên ngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN VÀ NĂNG LƯỢNG CAO Mã số: 60 44 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN HOA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hoa – người hướng dẫn khoa học của luận văn – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho tác giả những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý báu để tác giả thực hiện luận văn này. Là người định hướng cho tác giả bước vào con đường khoa học lý thuyết, thầy đã để lại trong lòng tác giả tinh thần làm việc hăng say, thái độ làm việc nghiêm túc. Những ấn tượng này sẽ là nguồn động lực lớn trong con đường học vấn và nghiên cứu mà tác giả đang theo đuổi. Xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô của khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP. HCM vì những buổi trao đổi thú vị và bổ ích, những nhận xét sắc bén, những bài giảng chất lượng. Tất cả đã tạo tiền đề cho tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Văn Hoàng đã gợi ý đề tài và tận tình giúp đỡ. Cuối cùng tác giả cũng xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình theo học chương trình cao học và thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô và các bạn. Học viên thực hiện Bùi Nguyễn Ngọc Thúy MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA ........................................................................................................... 1 LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 3 MỤC LỤC ........................................................................................................................ 4 DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................................... 6 MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 7 Chương 1. NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO .......................................... 12 1.1. Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro .................................................. 12 1.2. Năng lượng của nguyên tử hydro ........................................................................ 13 1.3. Hàm sóng của nguyên tử hydro ........................................................................... 15 Chương 2. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ .......................................................................... 16 2.1. Các bước cơ bản của phương pháp toán tử ......................................................... 16 2.2. Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro .................................... 17 2.2.1 Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro ........................................... 17 2.2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro .............................. 19 2.2.3. Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian ................................................ 24 2.3. Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn ........................ 27 2.3.1. Sơ đồ Rayleigh – Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng ............... 27 2.3.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro............................................... 30 2.3.3. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro ........................... 31 2.3.4. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro ............................. 33 2.4. Kết luận chương 2 ................................................................................................ 34 Chương 3. CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ THEO SƠ ĐỒ VÒNG LẶP ........................................... 35 3.1. Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro ..................................................... 35 3.2. Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp .. 39 3.2.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro............................................... 39 3.2.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro ........................... 41 3.2.3. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro ............................. 42 3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................................ 43 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ....................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 47 PHỤ LỤC 1: Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng cầu của nguyên tử hydro ................... 49 PHỤ LỤC 2: Hàm GAMMA ( Γ ) .................................................................................. 51 PHỤ LỤC 3: Tính yếu tố ma trận H nn(0) , Vnk .................................................................. 52 PHỤ LỤC 4: Chương trình MAPLE tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử ......................................... 58 PHỤ LỤC 5: Chương trình FORTRAN tính các mức năng lượng của nguyên tử hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử ......................................... 82 PHỤ LỤC 6:Sơ đồ vòng lặp nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai triển C k và giá trị năng lượng E k .................................................................................................... 101 PHỤ LỤC 7: Các công thứcdùng để lập trình tính số trên Fortran 9.0 ....................... 105 PHỤ LỤC 8: Chương trình FORTRAN nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai triển C k và giá trị năng lượng E k .................................................................................. 110 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn ………………………………………………………………………..…….………31 Bảng 2.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn………….……………………………………………..…..……..33 Bảng 2.3: Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn………….………………………………………………….…....34 Bảng 3.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp.40 Bảng 3.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp………………………………………………………………………….....43 Bảng 3.3. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp………………………………………………………………………….....44 MỞ ĐẦU 1. Tình hình nghiên cứu Bài toán nguyên tử hydro đã có lời giải chính xác nên đó là một mô hình lý tưởng cho việc kiểm chứng hiệu quả của các phương pháp gần đúng giải phương trình Schrödinger [6], [7], [8]. Kể từ những năm 1970 đã có rất nhiều nghiên cứu với nhiều phương pháp khác nhau như sử dụng phương pháp biến phân [6], gần đúng Hartree-Fock [8], giải trực tiếp phương trình Schrödinger bằng phương pháp số [7], phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1]… Những ý tưởng về phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) đã xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên, OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus [5] và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường [2], [5]. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhiều tác giả khác. Phương pháp toán tử với các tính toán thuần đại số xây dựng cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang là một phương pháp có tính thời sự [1], [3]. Một trong các khó khăn khi vận dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử chính là thành phần tương tác Coulomb có các biến số nằm trong mẫu số. Trong công trình [2], khó khăn này được giải quyết bằng cách sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel để đưa bài toán về không gian bốn chiều. Tuy nhiên chính phép biến đổi này đã làm phát sinh những khó khăn khác khi giải bài toán, đó là làm cho nó khó phát triển cho các trạng thái kích thích và các bài toán nguyên tử nhiều điện tử. Qua đó chúng tôi nhận thấy việc sử dụng phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace và sơ đồ vòng lặp giúp ta thu được nghiệm chính xác bằng số cho một số mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro. Đây chính là ưu điểm của phương pháp này [1]. Ngoài ra, qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau Thứ nhất, đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán. Thứ hai, cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệ phi nhiễu loạn). Từ những ưu điểm trên thì việc lựa chọn phương pháp toán tử là rất cần thiết. 2. Lý do chọn đề tài Bước đầu, năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro thu được chính xác bằng số theo sơ đồ vòng lặp đã chứng tỏ ưu điểm của phương pháp toán tử. Tuy nhiên phương pháp này còn một số vấn đề cần làm rõ như giá trị của các mức năng lượng cao hơn cũng như bậc suy biến của chúng. Do đó, đề tài “CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp toán tử, góp phần hoàn chỉnh và khẳng định sự đúng đắn của phương pháp khi áp dụng để tính các mức kích thích của nguyên tử hydro trong các bài toán phức tạp hơn như nguyên tử trong từ trường, điện trường với cường độ bất kì, bài toán phân tử nhiều nguyên tử hay bài toán tinh thể… 3. Mục đích nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm... và áp dụng để giải bài toán nguyên tử hydro. Phạm vi nghiên cứu của luận văn là tính mức năng lượng cơ bản và một số mức kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro. Các kết quả thu được so sánh với kết quả chính xác và kết quả của các tác giả khác [1]. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Thứ nhất, tìm hiểu thuật toán và viết chương trình tính số theo sơ đồ vòng lặp cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Thứ hai, xây dựng bộ hàm cơ sở cho các trạng thái kích thích của nguyên tử hydro trong biểu diễn của dao động tử điều hòa bằng giải tích. Từ đó xác định các mức năng lượng kích thích của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử. Thứ ba, tính một số mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro bằng phương pháp tính số theo sơ đồ vòng lặp và so sánh với phương pháp cổ điển trong cơ học lượng tử cũng như các kết quả tính toán mới nhất trên các tạp chí khoa học bằng các phương pháp khác. Thứ tư, trên cơ sở đó khẳng định sự thành công của phương pháp toán tử khi giải quyết nhóm bài toán hệ nguyên tử và chỉ ra khả năng áp dụng phương pháp toán tử cho các bài toán phức tạp hơn. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết với công cụ chính là phương pháp toán tử, phương pháp giải tích để tính toán và phương pháp lập trình tính số trên máy tính. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn “CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” gồm có ba chương:  Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1. Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro 1.2. Năng lượng của nguyên tử hydro 1.3. Hàm sóng của nguyên tử hydro Trong chương này chúng tôi trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử đã đạt được về bài toán nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản và các mức năng lượng kích thích của nguyên tử hydro tính chính xác bằng phương pháp cổ điển trong cơ học lượng tử.  Chương 2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ 2.1. Các bước cơ bản của phương pháp toán tử 2.2. Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro 2.2.1. Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro 2.2.2. Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro 2.2.3. Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian 2.3. Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn 2.3.1. Sơ đồ Rayleigh - Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng 2.3.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro 2.3.3. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro 2.3.4. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro 2.4. Kết luận chương 2 Trong chương này chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro, tính mức năng lượng cơ bản và một số mức năng lượng kích thích.  Chương 3: CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ THEO SƠ ĐỒ VÒNG LẶP 3.1. Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro 3.2. Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp 3.2.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro 3.2.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro 3.2.3. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro 3.3. Kết luận chương 3 Chương này là kết quả chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi giới thiệu phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro, đối với trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích thứ nhất, thứ hai, và nhận được nghiệm năng lượng bằng số. Kết quả có thể tính đến bổ chính bất kì và hội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trước nên ta gọi là nghiệm chính xác bằng số. Đây là một bước kiểm tra hiệu quả của việc ứng dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp vào việc tính các mức năng lượng của nguyên tử hydro. Do bài toán nguyên tử hydro có nghiệm chính xác nên ta dễ dàng so sánh và đánh giá phương pháp để chỉ ra khả năng ứng dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp vào các bài toán không có nghiệm chính xác như bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài. Ngoài ra trong chương này chúng tôi so sánh kết quả của việc sử dụng sơ đồ vòng lặp so với lý thuyết nhiễu loạn, từ đó khẳng định những ưu điểm nổi bật của phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp khi giải quyết các bài toán phi nhiễu loạn. Phần kết luận: Tóm tắt lại những kết quả đã đạt được của luận văn, hướng phát triển sắp tới của đề tài. Phần tài liệu tham khảo gồm có trên 10 công trình khoa học cũng như sách có liên quan. Kết quả thu được đã được báo cáo ở Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 36. Chương 1. NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1. Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro Ta có thể đưa bài toán hai hạt electron - hạt nhân về bài toán một hạt có khối lượng rút gọn là µ = mM , chuyển động trong trường thế Coulomb (trường lực m+M dừng xuyên tâm với tâm của trường lực đặt ở khối tâm của hệ - hạt nhân). Ze 2 U (r ) = − r (1.1) Trong đó Ze là điện tích của hạt nhân. Tuy nhiên trường Coulomb này không mô tả chính xác bức tranh vật lý. Đó là sự phân bố hữu hạn điện tích của hạt nhân và cả hiệu ứng chắn gây ra bởi các electron khác (trường hợp Z > 1 ) đã được ta bỏ qua. Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm. Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro được viết như sau  2 Ze 2    ∆− −  Ψ (r ) = E Ψ (r ) r   2m (1.2) Trong tọa độ cầu, toán tử ∆ có dạng ∆= 1 ∂  2 ∂ 1  1 ∂  1 ∂2  ∂  sin + r θ +       ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2  r 2 ∂r  ∂r  r 2  sin θ ∂θ  (1.3) Từ đó suy ra phương trình (1.2) trở thành ˆ2  2  1 ∂ 2   2 ∂  L  Ze    − − − r   Ψ = EΨ   2 2 2 ∂ ∂ 2 m r r r r  r         (1.4) Đây chính là phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro trong hệ tọa độ cầu. Trong công thức (1.4) toán tử bình phương moment xung lượng đã cho là ˆ 2 ∂2  1 1 ∂  ∂  2 L = −  +  sin θ  ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2   sin θ ∂θ  (1.5) Vì ở đây trường − Ze 2 của hạt nhân là trường xuyên tâm nên ta biểu diễn r nghiệm của phương trình (1.4) dưới dạng Ψ ( r ,θ , φ ) = R ( r ) Yl m (θ , φ ) (1.6) Trong đó hàm bán kính R ( r ) được xác định khi giải phương trình bán kính (phương trình cho hàm xuyên tâm trong hệ tọa độ cầu) 1 d  2 dR  l ( l + 1) 2m  Ze 2  r − R + E + 0  R =   r 2 dr  dr  r2 2  r  (1.7) 1.2. Năng lượng của nguyên tử hydro Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hydro me 4 Z 2 En = −E = − 2 2 2 n (1.8) Công thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo (1.8) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. a) Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng m Z 2e4 và kết thúc ứng với năng lượng 0. 2 2 b) Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị = l 0,1, 2,..., n − 1 . Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng = L l ( l + 1)  c) Ba số nguyên n, l , m duy nhất xác định một hàm riêng Ψ nlm ( r , θ , φ ) = Rnl ( r ) Ylm (θ , φ ) gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị m =−l , −l + 1,..., −1, 0,1,..., l − 1, l . Tất cả có ( 2l + 1) giá trị của m . Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z Lz = m (1.9) Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau Ψ nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là n −1 n ∑ ( 2l + 1) = 2 l =0 (1.10) Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản E1 không suy biến, mức kích thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc 9... Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2 n 2 d) Phổ năng lượng của nguyên tử hydro xác định bởi phương trình (1.8) Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.8) với các số liệu thực nghiệm, ta thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử hydro. Ứng với n = 1 , năng lượng có giá trị thấp nhất E1 = −13, 6eV . Khi n càng tăng thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n → ∞ thì En → 0 . Một số mức năng lượng kích thích E2 = −3, 4eV , E3 = −1,5eV ,... 1.3. Hàm sóng của nguyên tử hydro Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng Ψ nl m ( r , θ , φ ) = R nl ( r ) Yl m (θ , φ ) (1.11) Với 1  2 Z  3 ( n − l − 1) !  2  2 Zr l − Z r  2 Zr  n ao   R nl ( r ) = −  Ln +21l +1    e  3  nao  2n ( n + 1) !   nao   nao  α= 2 Zr nao ao = 2 me 2 ( a0 là bán kính Bohr thứ nhất) Chương 2. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Phương pháp toán tử được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus [5] và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường [2], [5]. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhiều tác giả khác. Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau [3]. Thứ nhất, đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán. Thứ hai, cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài. Trong phần này chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro, tính mức năng lượng cơ bản và một số mức năng lượng kích thích. Do bài toán có nghiệm chính xác nên ta dễ dàng so sánh và đánh giá phương pháp. 2.1. Các bước cơ bản của phương pháp toán tử (1) Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh, hủy Hˆ ( xˆ , pˆ x ) → Hˆ (aˆ , aˆ + ) = aˆ (ω ) với ˆ + (ω ) a= ω 1   xˆ + ipˆ x  ω 2  ω 1   xˆ − ipˆ x  ω  2  aˆ , aˆ +  = 1   (2) Tách Hamiltonian thành hai thành phần = Hˆ (aˆ , aˆ + ) Hˆ 0 (aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ (aˆ + , aˆ , ω ) Với thành phần trung hòa Hˆ 0 (aˆ + aˆ , ω ) , trong đó nˆ = aˆ + aˆ , có trị riêng chính xác, Vˆ (aˆ + , aˆ , ω ) “đủ nhỏ” để có thể xem như là nhiễu loạn, ω là tham số tự do đưa vào nhằm tăng tốc độ hội tụ của phương pháp. (3) Giải tìm nghiệm gần đúng bậc không Ψ n (0) = n = 1 +n aˆ 0 n! En (0) = H 0 (n, ω ) (4) Tính các yếu tố ma trận và thu được nghiệm gần đúng thông qua sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hoặc nghiệm chính xác bằng số theo sơ đồ vòng lặp. 2.2. Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro 2.2.1. Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau [3] ω1  ω1  1 ∂  1 ∂  + aˆ1 = x+  , aˆ1 =  x − , ω1 ∂x  ω1 ∂x  2  2  ω  1 ∂  ω2  1 ∂  + aˆ2 =2  y +  , aˆ2 =  y − , ω2 ∂y  ω2 ∂y  2  2  ω3  ω3  1 ∂  1 ∂  + aˆ3 = z+  , aˆ3 =  z − , ω3 ∂z  ω3 ∂z  2  2  với các tham số tự do ω1 , ω2 , ω3 là các tham số thực dương. (2.1) Một cách tổng quát ta có thể viết aˆα = ωα  1 ∂  α+  2  ωα ∂ α  (2.2) aˆα + = ωα  1 ∂  α−  2  ωα ∂ α  trong đó α , β = 1, 2, 3 tương ứng với 3 trục x, y, z . Do bài toán có tính đối xứng cầu và chỉ xét đối với trạng thái cơ bản nên ω= ω= ω= ω. x y z Các toán tử (2.2) thỏa mãn hệ thức giao hoán  aˆi , aˆ +j  = δ ij ,   (2.3) trong đó δ ij là ký hiệu delta Krôneckơ. Hệ thức này giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm về phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn của toán tử. Ta đặt Aˆ = Aˆ1 + Aˆ 2 + Aˆ3 Aˆ + = Aˆ1+ + Aˆ 2+ + Aˆ3+ (2.4) Nˆ = Nˆ 1 + Nˆ 2 + Nˆ 3 Với Aˆα = aˆα aˆα Aˆα+ = aˆα+ aˆα+ ˆ N = 2nˆα + 1 α trong đó α , β = 1, 2, 3 tương ứng với 3 trục x, y, z ; ω là tham số thực dương. Dễ dàng kiểm chứng rằng ba toán tử Aˆ + , Aˆ , Nˆ tạo thành một đại số kín [trang 16] thỏa mãn các hệ thức giao hoán  Aˆ , Aˆ +  = 2 Nˆ    Aˆ , Nˆ  = 4 Aˆ    Nˆ , Aˆ +  = 4 Aˆ +   (2.5) Bộ hàm sóng cơ sở của nguyên tử hydro có dạng n1 , n2 , n3 = 1 aˆ1+ 2 n1 aˆ2+ 2 n2 aˆ3+ 2 n3 0 . (2n1 )!(2n2 )!(2n3 )! (2.6) Trong đó trạng thái chân không 0 được xác định bởi các phương trình sau aˆ1 0 = 0 aˆ2 0 = 0 (2.7) aˆ3 0 = 0 Do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở thỏa mãn Lˆ2 n, l , m= l (l + 1) n, l , m Lˆ z n, l , m = m n, l , m (2.8) Các toán tử Lˆ2 , LˆZ khi biểu diễn qua các toán tử sinh hủy có dạng 1 3 Lˆ2 = − Aˆ + Aˆ + Nˆ 2 − Nˆ + 4 4 ( = Lˆ z i aˆ2+ aˆ1 − aˆ1+ aˆ2 ) (2.9) (2.10) Ta chọn = l 0, = m 0 , thu được bộ hàm cơ sở chuẩn hóa của nguyên tử hydro [phụ lục 1] ( ) + 1  n = A (2n + 1)! n 0 (2.11) 2.2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro theo hệ đơn vị nguyên tử ( = m= e= 1 ) Hˆ ϕn = En ϕn , n = 0, 1, 2, 3, ... Với ∂2 ∂2 1  ∂2 −  2+ 2+ 2 Hˆ = 2  ∂x ∂y ∂z (2.12)  Z − 2 x + y2 + z2  (2.13) trong đó Z là điện tích hạt nhân. Ta biểu diễn Hamiltonian Ĥ trong hình thức luận toán tử sinh hủy như sau Thành phần động năng ∂2 ∂2  1  ∂2 ˆ −  2+ 2+ 2 HT = 2  ∂x ∂y ∂z  có dạng sau ( 1 − ω Aˆ + + Aˆ − Nˆ Hˆ T = 4 ) (2.14) Thành phần thế năng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn cho quá trình tính toán. Để loại trừ khó khăn trên ta sử dụng phép biến đổi Laplace [4] như sau  =− U Z Z +∞ 1 −t ( x dt e = − ∫ t π 0 x2 + y2 + z 2 2 + y +z ) 2 2 (2.15)  được đưa về dạng Thế năng U Z Uˆ = − +∞ π ∫0 dt 1 t e − ( t ˆ+ ˆ ˆ A + A+ N 2ω ) (2.16) ( 1 Toán tử Hamiltonian = Hˆ Hˆ T + Uˆ được biểu diễn qua các toán tử sinh hủy Hˆ = − ω Aˆ + + 4 Thành phần có dạng hàm mũ trong (2.17) có thể đưa về dạng chuẩn nhờ vào (2.3) và (2.5) như sau [3] , A  +, N  tạo thành một đại số kín bằng cách Bước 1: Chứng minh ba toán tử A , A  + , A , N   , N , A + kiểm tra các giao hoán tử sau:  A       Ta có các giao hoán tử  Aˆ , Aˆ +  = 2 Nˆ  