Tài liệu Các mô hình chuỗi thời gian tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Hùng Thao Hà Nội - 2011 Lời mở đầu Phân tích dự báo giá tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá. . . là một chủ đề thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học. Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sức cho lĩnh vực này với nhiều phương pháp phân tích khác nhau. Cho đến nay có thể kể đến hai phương pháp phân tích đã quen thuộc với hầu hết các nhà đầu tư là phân tích kĩ thuật (Technical analysic) và phân tích cơ bản (Fundamental analysic). Bên cạnh hai phương pháp này còn có phương pháp phân tích định lượng thông qua các mô hình toán học. Dự báo thị trường bằng phương pháp phân tích định lượng hiện nay được sử dụng rất phổ biến trên thế giới. Hầu hết các quỹ đầu tư,quỹ phòng hộ (Hedge fund) và các phòng giao dịch (Trading desk) của các ngân hàng đầu tư đều có hệ thống giao dịch tự động bằng phương pháp định lượng (Quantitative trading). Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh tại rất nhiều thị trường. Lí do hiệu quả của phương pháp này là tín hiệu đưa ra khách quan dựa trên những tiêu chí thống kê từ mô hình. Do đó sẽ giảm thiểu được sự sai sót do cảm xúc của con người. Phương pháp phân tích định lượng giả định rằng mối liên hệ giữa các yếu tố được thiết lập trong quá khứ sẽ có ảnh hưởng, lặp lại trong tương lai. Hay nói cách khác, phương pháp này dựa trên các dữ liệu từ quá khứ để phát hiện chiều hướng vận động của chúng trong tương lai theo một quy luật nào đó. Phổ biến nhất là sử dụng chuỗi thời gian (Time series analysis) hoặc sử dụng phân tích nhân quả. Ngoài ra, người ta còn sử dụng phương pháp khá phức tạp là Mạng thần kinh(Neural network). Trong phạm vi đề tài này chúng tôi để cập đến các mô hình chuỗi thời gian trong thị trường tài chính. Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để dự báo giá trị tương lai của một tài sản tài chính chỉ dựa trên phân tích số liệu quá khứ và hiện tại của nó. Do đó với phương pháp này điều kiện quan trọng là chuỗi thời gian cần có tính ổn định thể hiện ở tính dừng của nó. Luận văn chia làm ba chương: Chương I: Trình bày những khái niệm cơ bản như phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi thời gian dừng, kỳ vọng điều kiện và martingale. . . làm cơ sở cho các i chương sau Chương II: Trình bày một số mô hình chuỗi thời gian dừng và không dừng như MA, AR, ARMA, ARIMA. Chương III: Trình bày các mô hình dự báo rủi ro như ARCH, GARCH cùng các mô hình cải tiến của nó như IGARCH, TGARCH, EGARCH. . . cùng các ứng dụng trong thực tế phân tích tỷ giá. Đây cũng là phần chính của luận văn. Qua đây tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Trần Hùng Thao người đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn các thày cô trong tổ bộ môn khoa Toán –Cơ-Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi trong suốt quá trình học tập cao học, cảm ơn công ty tư vấn đầu tư MHT http://www.mhtgold.com mà tôi đã từng hợp tác trong 3 năm qua đã giúp tôi trong phần cung cấp số liệu, xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và làm luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Vũ Duy Thắng ii Bảng ký hiệu ACF:Hàm tự tương quan ADF:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike AR:Quá trình tự hồi quy ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARIMA:Quá trình ARMA tích hợp ARCH:Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy BIC:Tiêu chuẩn thông tin Bayes hoặc tiêu chuẩn Schwartz GDP:Tổng sản phẩm quốc nội IID:Độc lập cùng phân bố MA:Quá trình trung bình trượt MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình MLE:Ước lượng hợp lí cực đại PACF:Hàm tự tương quan riêng RMSE:Căn bậc hai của MSE GARCH:Mô hình ARCH tổng quát EGARCH:Mô hình GARCH dạng mũ TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp iii Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ . . . . . 1.1.1 Chuỗi thời gian . . . . . . . . 1.1.2 Chuỗi dừng . . . . . . . . . . 1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) . . . 1.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . 1.2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phương trình sai phân . . . . 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 . 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p . 1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale . . . 1.3.1 Không gian xác suất được lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện . . . . . . 1.3.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính 2.1 Quá trình trung bình trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) . . . . . . . . 2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) . . . . . 2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞) . . . . 2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) . . . . . . . . . 2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1) . . . . . . . 2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) . . . . . . . . 2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF . . . . . . . 2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p) . . . . . 2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) 2.2.6 Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 3 3 3 4 4 6 9 10 10 11 . . . . . . . . . . . . 14 14 14 15 16 16 16 20 21 22 25 26 29 3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng 3.1 Rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mô hình ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Mô hình ARCH(1) . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Mối liên hệ giữa ARCH(p) và AR(p) . . . . . 3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) . . . . . . . . 3.3.4 Kiểm định hiệu ứng của ARCH . . . . . . . 3.3.5 Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1) . . . . . . . . . . 3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p) . . . . . . . 3.4 Mô hình GARCH(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Dạng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Mối liên hệ GARCH và ARMA . . . . . . . 3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Dự báo phương sai . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Các mô hình GARCH khác . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) . . . . . . . . 3.5.2 Mô hình EGARCH . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 38 39 39 41 43 43 44 45 48 48 48 49 50 52 54 54 54 57 66 v Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện và Martingale sẽ được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA. . . 1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ 1.1.1 Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến số nào đó theo thời gian. Mẫu quan sát có thể xem như một đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn quan sát (yt )+∞ −∞ = (...y−1 , y0 , y1 , y2 ...yn , ...)
Ví dụ: Chuỗi nhiễu trắng Gauss(white noise) εt ∼ N 0; σ 2 với các εt độc lập cùng phân phối. 1.1.2 Chuỗi dừng Chuỗi dừng là một khái niệm rất quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian. Nó được chia làm hai loại là dừng yếu (weakly stationarity) và dừng chặt (strict stationarity) 1 1.1.2.1 Chuỗi dừng chặt Chuỗi yt được gọi là dừng chặt
nếu với các giá trị tùy ý j1 , j2 ... jn thì phân bố đồng thời của yt , yt+ j1 , ..., yt+ jn chỉ phụ thuộc vào khoảng j1 , j2 ... jn mà không phụ thuộc vào thời gian t. 1.1.2.2 Chuỗi dừng yếu Chuỗi thời gian yt được gọi là dừng yếu nếu Eyt = µ ∀t V aryt = σ 2∀t (1.1) cov (yt ; yt−k ) = γk ∀t Như vậy với chuỗi dừng yếu thì kì vọng,phương sai và hệ số tương quan của quá trình yt đều không phụ thuộc vào thời gian. Ngược lại chuỗi thời gian gọi là không dừng nếu nó không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên. Trong phạm vi đề tài này nếu không có gì đặc biệt thì tính dừng ở đây được hiểu là dừng yếu. 1.1.2.3 Nhận xét + Một chuỗi dừng chặt với moment bậc 2 hữu hạn thì là dừng yếu song điều ngược lại không đúng. +Như vậy một chuỗi dừng yếu thì giá trị trung bình, phương sai, hiệp phương sai ở các độ trễ khác nhau sẽ giống nhau không cần biết ta đang đo lường chúng tại thời điểm nào. Một chuỗi dữ liệu như vậy sẽ có xu hướng trở về giá trị trung bình và những dao động xung quanh giá trị trung bình(đo bằng phương sai) là giống nhau. Câu hỏi là vì sao chuỗi thời gian dừng lại quan trọng như vậy? Vì cơ sở của dự báo chuỗi thời gian chúng ta luôn giả định rằng xu hướng vận động của dữ liệu trong quá khứ và hiện tại được duy trì cho các giai đoạn tương lai. Do đó,dữ liệu cần có tính ổn định được thể hiện ở tính dừng của nó. Theo Gujarati(2003) cho rằng một chuỗi thời gian không dừng thì chúng ta chỉ có thể nghiên cứu hành vi của nó trong khoảng thời gian đang xét mà thôi. Nghĩa là chúng ta không thể khái quát nó cho giai đoạn khác,không thể dự báo được điều gì cho tương lai nếu như bản thân dữ liệu luôn thay đổi, tất cả chỉ là ngẫu nhiên. Một ví dụ nổi tiếng cho chuỗi không dừng là bước ngẫu nhiên(Random walk) sẽ được đề cập ở chương sau. 2 1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) Toán tử trễ là một công cụ hữu hiệu khi nghiên cứu chuỗi thời gian. Các phương trình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công cụ này. Giả sử có chuỗi thời gian (xt )+∞ −∞ ta định nghĩa toán tử trễ như sau: Lxt = xt−1 L2 xt = L (Lxt ) = xt−2 (1.2) .... Lk xt = xt−k Từ định nghĩa (1.2) dễ dàng nhận thấy toán tử trễ L có các tính chất sau đây: a)Tuyến tính L (xt + wt ) = L (xt ) + L (wt ) = xt−1 + wt−1 L (β xt ) = β L (xt ) = β xt−1 b)Nếu (xt )+∞ −∞ = (c) thì: Lxt = xt−1 = c
α + β L + θ L2 c = (α + β + θ ) c 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Sai phân Với quỹ đạo y = y(t) phụ thuộc liên tục vào t thì vi phân hàm số được xác định thông qua đạo hàm. Tuy nhiên,khi t biến thiên rời rạc t=1,2,3. . . n. . . thì khái niệm đạo hàm và vi phân không có ý nghĩa. Trong trường hợp này người ta dùng khái niệm sai phân. Sai phân cấp 1 ∆yt = yt − yt−1 (1.3) Sai phân cấp n  ∆ yt = ∆ ∆ n 3 n−1 yt  (1.4) 1.2.2 Phương trình sai phân Phương trình sai phân đề cập đến việc thiết lập hoặc phân tích định tính quỹ đạo y = y(t) thông qua các quan hệ sai phân. Phương trình sai phân cấp n Φ (t; yt ; ∆yt ; ...; ∆n yt ) = 0 (1.5) Vì ∆nyt biểu diễn qua yt ; yt+1 ; ...yt+n nên phương trình đưa về F (t; yt ; yt+1 ...yt+n ) = 0 Nghiệm của phương trình là hàm số đối số rời rạc yt = φ (t) thỏa mãn phương trình F (t; yt ; yt+1 ...yt+n ) = 0 Nghiệm tổng quát phương trình sai phân cấp n là hàm số đối số rời rạc yt = φ (t;C1 ;C2...Cn ) với C1;C2 ...Cn là các hằng số. Phương trình sai phân gọi là otonom nếu nó không chứa biến thời gian t dưới dạng hiện yt+n = f (yt ; yt+1 ...yt+n−1 ) (1.6) 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 Phương trình sai phân cấp 1 mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt (giá trị của biến số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đó yt−1 và biến đầu vào (input variable) wt yt = ϕ yt−1 + wt Trong đó wt có thể là hàm tất định hoặc ngẫu nhiên còn ϕ là một hàm số. y1 = ϕ y0 + w1 y2 = ϕ y1 + w2 = ϕ 2y0 + ϕ w1 + w2 ... yt = ϕ t y0 + ϕ t−1w1 + ϕ t−2w2 + ... + wt 4 (1.7) Hoặc yt = ϕ t+1 y−1 + ϕ t w0 + ϕ t−1w1 + ... + wt với yt là một hàm tuyến tính của giá trị xuất phát y−1 và các giá trị quá khứ của w. Ảnh hưởng của w0 đến yt là ∂ yt = ϕt ∂ w0 Tương tự yt+ j = ϕ j+1yt−1 + ϕ j wt + ϕ j−1wt+1 + ... + wt+j Ảnh hưởng của wt đến yt là ∂ yt+ j (1.8) =ϕj ∂ wt Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier). Nó chỉ phụ thuộc vào j là độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thời điểm quan sát. Kết luận này đúng cho bất kì phương trình sai phân tuyến tính nào. -Nếu ∂ yt+ j −1 < ϕ < 1 : = ϕ j −−−→ 0 j→∞ ∂ wt -Nếu |ϕ | > 1 : ∂ yt+ j = ϕ j −−−→ ∞ ∂ wt j− →∞ Vậy nếu |ϕ | < 1 hệ thống sẽ ổn định. Tính ổn định ở đây được hiểu là tác động của sự thay đổi của wt sẽ bị triệt tiêu. Còn nếu |ϕ | ≥ 1 hệ thống sẽ phân kì. Bây giờ, ta sẽ xét phương trình trên dưới cái nhìn của toán tử trễ. Phương trình được viết dưới dạng: (1 − ϕ L) yt = wt

⇔ 1 − ϕ t+1Lt+1 yt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt wt ⇔ yt − ϕ t+1y−1 = wt + ϕ wt−1 + ... + ϕ t w0 ⇔ yt = ϕ t+1y−1 + wt + ϕ wt−1 + ... + ϕ t w0 Ta lại thu được kết quả giống phương pháp đệ quy ở trên. Hơn nữa, từ

1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt (1 − ϕ L) yt = 1 − ϕ t+1Lt+1 yt = yt − ϕ t+1y−1 Nếu |ϕ | < 1; y−1 < ∞ thì ϕ t+1y−1 −−−−→ 0 do đó t→+∞
∃ (1 − ϕ L)−1 = Lim 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... t→+∞ 5 Từ đó, nếu |ϕ | < 1; y−1 < ∞ ta có thể viết
yt = (1 − ϕ L)−1 wt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... wt = wt + ϕ wt−1 + ϕ 2wt−2 + ... Điều kiện |ϕ | < 1 chính là đảm bảo cho chuỗi yt là dừng. Điều này sẽ được trình bày kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2. 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt theo p biến trễ của chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào wt . yt = ϕ1 yt−1 + ϕ2yt−2 + ... + ϕ pyt−p + wt (1.9) Dạng vecto  yt    yt−1 trong đó ξt =    ...  yt−p+1 ξt = F ξt−1 +Vt    ϕ1 ϕ2 · · · ϕ p    1 ···0 0    F =  0 ···0 1       ··· ··· ···  0 0 ···0 (1.10)             p×p  w  t     0   Vt =     ···    0 Hay dưới dạng toán tử trễ   p 2 1 − ϕ1L − ϕ2 L − ... − ϕ pL yt = wt (1.11) Phân tích toán tử ở vế trái của
(1.11) 1 − ϕ1L − ϕ2 L2 − ... − ϕ pL p = (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) Việc phân tích này giống như việc tìm các giá trị (λ1, λ2 ...λ p) sao cho ta có đồng nhất thức của đa thức ẩn z   2 p 1 − ϕ1z − ϕ2z − ... − ϕ pz = (1 − λ1z) (1 − λ2z) ... (1 − λ pz) (1.12) Ta chuyển sang đa thức ẩn z vì thực hiện điều này với toán tử L là không có nghĩa. Chia hai vế cho z p và đặt λ = z−1 ta được   p p−1 p−2 λ − ϕ1 λ − ϕ2λ − ... − ϕ p = (λ − λ1) (λ − λ2) ... (λ − λ p) (1.13) 6 Vậy (λ1, λ2 ...λ p) là nghiệm của phương trình λ p − ϕ1λ p−1 − ϕ2λ p−1 − ... − ϕ p = 0 Việc phân tích đa thức toán tử
1 − ϕ1L − ϕ2 L2 − ... − ϕ pL p = (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) được thực hiện giốngnhư việc tìm các giá  trị riêng của ma trận      F =     ϕ1 ϕ2 1 0 0 1 ··· ··· 0 0 · · · ϕp   ···0    ···0    ···   ···0 p×p Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.4.1 Các giá trị riêng của ma trận F thỏa mãn phương trình sau(phương trình đặc trưng) (1.14) λ p − ϕ1λ p−1 − ϕ2 λ p−2 − .... − ϕ p−1λ − ϕ p = 0 Chứng minh Các giá trị riêng λ của ma trận F là nghiệm của phương trình đặc trưng det (F − λ I p) = 0 Ta có   ϕ1 − λ   1   det (F − λ I p) = det  0    ···  0 ϕ2 −λ 1 ··· 0  · · · ϕp   ···0    ···0     ···  ··· − λ rồi cộng vào cột thứ p-1 ta được  ϕp ϕ − λ ϕ · · · · · · ϕ + 1 2 p−1 λ ϕp    1 −λ ········· 0 0   det (F − λ I p) = det  0 ········· 0 1    ··· ········· ···  0 0 ······ 0 − λ Nhân cột thứ p với 1 λ 7            Sau đó nhân cột thứ p-1 với λ1 rồi cộng vào cột thứ p-2. Tiếp tục quá trình này ta nhận được ma trận tam giác trên   ϕ1 − λ     det      + ϕλ2 + λϕ32 det (F − λ I p) = ϕp + · · · + λ p−1 ϕ2 + ϕλ3 ϕp + · · · + λ p−2 0 −λ 0 0 ··· ··· 0 0 Do đó ϕ · · · · · · ϕ p−1 + λp  ϕp   ········· 0 0     ········· 0    ·········  ······ 0 − λ ϕp
det (F − λ I p) = ϕ1 − λ + ϕλ2 + · · · + λ p−1 (−λ ) p−1
= (−1) p λ p − ϕ1λ p−1 − ϕ2 λ p−2 − · · · − ϕ p Vì vậy các giá trị riêng của ma trận F phải thỏa mãn phương trình (1.14) do đó ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2.4.2 Giả sử ma trận F có p giá trị riêng phân biệt nằm trong đường tròn đơn vị thì nhân tử động ∂ yt+ j ∂ wt p = ∑ k=1 j ck λk trong đó ci = p λip−1 ∏ (λi −λk ) . Hơn nữa k=1;k6=i p ∑ ck = 1 k=1 Chứng minh Do các giá trị riêng nằm trong đường tròn đơn vị nên tồn tại các toán tử khả nghịch (1 − λ1L)−1 ; (1 − λ2L)−1 ; ... (1 − λ pL)−1 Phương trình sai phân được viết thành (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) yt = wt ⇔ yt = (1 − λ1L)−1 (1 − λ2L)−1 ... (1 − λ pL)−1 wt ⇔ yt = 1 w (1−λ1 L)(1−λ2 L)...(1−λ p L) t với λi 6= λ j (i 6= j). Ta phân tích: cp c2 c1 1 + + ... + = (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) 1 − λ1L 1 − λ2L 1 − λ pL 8 (1.15) c1, c2 ...c p trong (1.15) có thể tìm từ đồng nhất thức c 1 = 1−cλ1 1 z + 1−cλ2 2 z + ... + 1−λp p z (1−λ1 z)(1−λ2 z)...(1−λ p z) ! p p
1 − λ jz ⇔ 1 = ∑ ck ∏ j=1; j6=k k=1 (1.16) thỏa mãn với mọi giá trị của z. Với z = λ1−1 thì c1 = Tương tự ck = p p λ1p−1 ∏ (λ1 −λi ) i=1;i6=1 p−1 λk ∏ ( λk − λi ) i=1;i6=k p Với z = 0 thì ∑ ck = 1. Như vậy ta có k=1 yt =  c1 1−λ1 L + 1−cλ2 2 L c + ... + 1−λp p L  wt

  yt = c1 1 + λ1L + λ12L2 + ... + ... + c p 1 + λ pL + λ p2L2 + ... wt   j j j yt = (c1 + c2 + ... + c p) wt + ... + c1λ1 + c2λ2 + ... + c pλ p wt− j + ... Từ đó nhân tử động ∂ yt+ j ∂ wt p = ∑ ck λk với ck = k=1 j p λkp−1 ∏ (λk −λi ) p và ∑ ck = 1 k=1 i=1;i6=k Như vậy phương trình sai phân là ổn định nếu các giá trị riêng có môdun nhỏ hơn 1 hoặc chúng nằm trong đường tròn đơn vị. Điều này tương đương với các nghiệm phương trình sau nằm ngoài đường tròn đơn vị: 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − ... − ϕ pz p = 0 (1.17) 1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale Kỳ vọng điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng trong lí thuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán tài chính. Ở đây chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3 trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH. . . 9 1.3.1 Không gian xác suất được lọc Cho (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất. Một họ σ -trường con ℑt ⊂ ℑ được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn i) Nó là một họ tăng tức là ℑs ⊂ ℑt (s < t) T ℑt+ε ii) Họ đó liên tục phải tức là ℑt = ε >0 iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈ ℑ đều được chứa trong ℑ0 . Một không gian xác suất (Ω, ℑ, P) được gắn thêm bộ lọc ℑt ⊂ ℑ gọi là không gian xác suất được lọc. 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.2.1 Khái niệm Giả sử (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất. G ⊂ ℑ là σ -trường con và X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng điều kiện của X với σ - trường G là biến ngẫu nhiên kí hiệu là E (X |G ) thỏa mãn: i) E (X |G ) là G ⊂ ℑ đo được R R ii) E (X |G ) dP = XdP ∀A ∈ G A A Ta định nghĩa E (X |Y ) là kỳ vọng điều kiện của X theo σ -trường σ (Y ) 1.3.2.2 Tính chất của kỳ vọng điều kiện Các tính chất sau đều được hiểu là hầu chắc chắn(h.c.c) (1) Nếu c là hằng số thì E (c |G ) = c (2) Tính tuyến tính E (aX + bY |G ) = aE (X |G ) + bE (Y |G ) (3) Nếu G là σ -trường tầm thường {φ , Ω} thì E (X |G ) = X (4) E (E (X |G )) = EX (5) Nếu X độc lập với G tức là σ (X) độc lập với G thì E (X |G ) = EX (6) Nếu Y là G -đo được,E |Y | < ∞; E |XY | < ∞ thì E (XY |G ) = Y E (X |G ) (7) Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X |G2 ) |G1 ) = E (E (X |G1 ) |G2 ) = E (X |G1 ) (8) Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E (X |G ) ≤ E (Y |G ) (9) |E (X |G )| ≤ E (|X| |G ) (10) Bất đẳng thức Jensen Giả sử φ : R → R lồi dưới, φ X khả tích. Khi đó φ (E (X |G )) ≤ E (φ (X) |G ) (11) Hội tụ đơn điệu Beppo-Levy Nếu Xn ≥ 0; Xn ↑ X và E |X| < ∞ thì E (Xn |G ) ↑ E (X |G ) 10 (12) Bổ đề Fatou Nếu 0 ≤ Xn thì E (LimXn |G ) ≤ LimE (Xn |G ) (13) Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue Giả sử Y là biến ngẫu nhiên khả tích và |Xn| ≤ Y (h.c.c). Nếu Xn → X(h.c.c) thì E (LimXn |G ) = LimE (Xn |G ) 1.3.3 Martingale Các khái niệm và định lý dưới đây được hiểu là martingale với thời gian rời rạc. 1.3.3.1 Định nghĩa Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với bộ lọc ℑt và khả tích E |Xt | < ∞ với mỗi t. Với s, t là hai số không âm và s ≤ t i)Xt là martingale trên nếu E (Xt |ℑs ) ≤ Xs ii) Xt là martingale dưới E (Xt |ℑs ) ≥ Xs iii) Xt là martingale nếu nó vừa là martingale trên và dưới tức là E (Xt |ℑs ) = Xs Khi không nói rõ bộ lọc nào ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên sinh ra từ lịch sử của X nghĩa là ℑt = σ (Xs )s≤t . Theo lí thuyết trò chơi nếu coi Xt là số vốn ở thời điểm t,ℑt = σ (Xs )s≤t là thông tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi thiệt hại nếu nó là martingale trên, trò chơi có lợi nếu nó là martingale dưới và công bằng nếu nó là martingale. Các kết quả chính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất là các định lý của Doob. 1.3.3.2 Hiệu martingale(Martingale difference) Dãy tương thích (ξt ; ℑt ) là hiệu martingale nếu E |ξt | < ∞ và E (ξt+1 |ℑt ) = 0 Nhận xét +Nếu (Xt ; ℑt ) là martingale thì (ξt ; ℑt ) là hiệu martingale trong đó ξ0 = X0 ; ξt = ∆Xt = Xt − Xt−1 Thật vậy E (ξt+1 |ℑt ) = E (Xt+1 − Xt |ℑt ) = E (Xt+1 |ℑt ) − Xt = 0 +Ngược lại, nếu (ξt ; ℑt ) là hiệu martingale thì ta có thể tạo ra martingale (Xt ; ℑt ) t ở đó ξ0 = X0 ; Xt = ∑ ξk k=1 11 Thật vậy, dễ thấy Xt là ℑt -đo được và E |Xt | < ∞. Hơn nữa E (Xt+1 |ℑt ) = E (ξt+1 + Xt |ℑt ) = E (ξt+1 |ℑt ) + Xt = Xt 1.3.3.3 Khai triển Doob Kết quả chính là một martingale dưới được phân tích duy nhất qua một martingale và một dãy tăng dự báo được. Kết quả này được chứng minh không quá khó khăn chúng tôi không trình bày ở đây. Định lý 1.3.3.3(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.3.7) Giả sử X = (Xt ; ℑt ) là martingale dưới khi đó tồn tại martingale M = (Mt ; ℑt ) và dãy tăng dự báo được A = (At ; ℑt−1 ) : 0 = A0 ≤ A1 ≤ .... ≤ At ≤ ... sao cho Xt = Mt + At (1.18) Khai triển Doob là duy nhất. Trong định lí này dãy (At ),(Mt ) được xác định bởi A0 = 0 t−1  
 At = ∑ E X j+1 ℑ j − X j (1.19) j=0 và M0 = X0 t−1  
 Mt = X0 + ∑ X j+1 − E X j+1 ℑ j (1.20) Mt2 = mt + hMit (1.21) j=0 Bây giờ ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích. Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích tức là M = (Mt ; ℑt ) là martingale và E |Mt |2 < ∞. Do M = (Mt ; ℑt ) là martingale và áp dụng bất đẳng thức
Jensen kì vọng điều kiện 2 2 2 với hàm lồi g (x) = x suy ra quá trình M = Mt ; ℑt là martingale dưới. Theo khai triển Doob ta có trong đó m = (mt , ℑt ) là martingale và hMi = (hMit , ℑt−1 ) là dãy tăng dự báo được. Ta gọi hMi = (hMit , ℑt−1 ) trong (1.21) là đặc trưng bình phương của martingale M(quadratic characteristic) i t−1 h i t−1 h   
2  2 2  hMit = ∑ E M j+1 ℑ j − M j = ∑ E ∆M j ℑ j−1 ∆M j = M j − M j−1 j=0 j=1 12 Đặc biệt nếu M0 = 0 thì EMk2 = E hMik Nhận xét Giả sử (ξt ) là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho E ξt = 0; E ξt2 < ∞. Đặt M0 = t t   2  2 0; Mt = ∑ ξk khi đó hMi = EMt = ∑ E ξ  k=1 t k=1 k 1.3.3.4 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích Định lý 1.3.3.4(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.8.2) (i)Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích và giả sử A = (At ; ℑt−1 ) ∞ E [(∆Mi )2 |ℑi−1 ] < là dãy tăng dự báo được sao cho A1 ≥ 1, A∞ = ∞. Nếu với xác suất 1: ∑ A2 i=1 ∞ thì với xác suất 1 ta có i Mt =∞ (1.22) t→∞ At (ii)Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích và hMi∞ = ∞ (h.c.c) thì với xác suất 1 Mt Lim =0 (1.23) t→∞ hMit Lim 13