Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Các loại tích phân stieltjes và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên...

Tài liệu Các loại tích phân stieltjes và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

.DOC
13
401
86

Mô tả:

1 Më ®Çu Lý thuyÕt ®é ®o vµ tÝch ph©n lµ c«ng cô quan träng ®Ó nghiªn cøu lý thuyÕt x¸c suÊt. Kho¸ luËn nµy tr×nh bµy mét hiÓu biÕt cña t¸c gi¶ vÒ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes vµ tÝch ph©n Riemannn Stieltjes, cïng nh÷ng øng dông cña chóng vµo viÖc nghiªn cøu kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn. Kho¸ luËn gåm 2 ch¬ng: Ch¬ng 1. §é ®o Lebesgue - Stieltjes. Ch¬ng nµy gåm 2 tiÕt: TiÕt 1: Chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o. TiÕt 2: Tr×nh bµy vÒ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. Ch¬ng 2. C¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes. Ch¬ng nµy gåm 4 tiÕt: TiÕt 1: Tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Riemannn - Stieltjes. TiÕt 2 : Tr×nh bµy kh¸i niÖmvµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. TiÕt 3: Tr×nh bµy vÒ viÖc chuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu tÝch ph©n Stieltjes. TiÕt 4: Tr×nh bµy kh¸i niÖm kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn vµ øng dông cña tÝch ph©n Riemannn - Stieltjes vµ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes ®Ó nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña kú väng. Kho¸ luËn nµy ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc Vinh díi sù híng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña thÇy gi¸o PGS.TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng vµ sù gãp ý t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì cña c¸c thÇy, c« gi¸o trong tæ X¸c suÊt thèng kª vµ To¸n øng dông trong khoa To¸n. Nh©n dÞp nµy t«i 2 xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn thÇy Qu¶ng, c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa To¸n vµ b¹n bÌ ®· gióp ®ì t¸c gi¶ hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. V× n¨ng lùc vµ thêi gian h¹n hÑp, kho¸ luËn kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong quý thÇy, c« gi¸o vµ c¸c b¹n gãp ý gióp ®ì. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Vinh, th¸ng 5 n¨m 2006 T¸c gi¶ 3 Ch¬ng I. §é ®o lebesgue - stieltjes §1. mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o. C¸c hµm tËp x¸c ®Þnh trªn  - ®¹i sè ®ãng vai trß quan träng trong lý thuyÕt tÝch ph©n vµ lý thuyÕt x¸c suÊt. Gi¶ sö (A) lµ kh«ng gian ®o nµo ®ã. 1.1.1. §Þnh nghÜa. Ta gäi hµm tËp  lµ ®é ®o trªn kh«ng gian ®o (A) nÕu: A. 1) MiÒn x¸c ®Þnh cña  lµ  - ®¹i sè 2)  kh«ng ©m vµ  - céng tÝnh. 1.1.2. §Þnh lý: NÕu  lµ ®é ®o  - h÷u h¹n th× tån t¹i {Xn}  A  sao cho {Xn} t¨ng ®Õn UX n n 1  X vµ (Xn) < +n. 1.1.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o 1) () = 0. 2) NÕu A, B  A, B  A vµ (B) < +th× (A\B) = (A) - (B). 3) (TÝnh ®¬n ®iÖu) A, B  A vµ B  A th× (B)  (A).  4) TÝnh nöa  - céng díi. NÕu Ak     k 1 Ak A, A  A, A  U n 1 th× (A) (A k ) . §Æc biÖt nÕu thªm ®iÒu kiÖn (Ak) = 0 k = 1, 2, … th× (A) = 0. A lµ  - ®¹i sè,  lµ hµm tËp kh«ng ©m céng t×nh h÷u h¹n trªn A. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau 1.1.4. §Þnh lý. Gi¶ sö lµ t¬ng ®¬ng: 4 a)  lµ ®é ®o (tøc lµ   - céng tÝnh); b)  nöa  - céng tÝnh díi; c)  liªn tôc díi, tøc lµ nÕu An A th× (An)  (A). NÕu thªm ®iÒu kiÖn  h÷u h¹n th× c¸c ®iÒu kiÖn trªn t¬ng ®¬ng víi mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: d)  liªn tôc trªn, tøc lµ nÕu n A th× (An)  (A). e)  liªn tôc t¹i , tøc lµ nÕu n   th× (An)   §2. §é ®o lebesgue - stieltjes. 1.2.1. Hµm kh«ng gi¶m vµ ®é ®o trªn ®êng th¼ng. 1.2.1. a) §Þnh nghÜa. Gi¶ sö F: R1  R1 lµ hµm sè kh«ng gi¶m. Ta biÕt r»ng ®èi víi mçi hµm sè nh thÕ lu«n tån t¹i giíi h¹n mét phÝa: F(x) ; F(x) ; F(a + 0) = lim F(a - 0) = lim x a x a F(x) ; F(+ ) = xlim   F(x) . F(- ) = xlim   1.2.1.b) MÖnh ®Ò 1. F lµ tËp hµm x¸c ®Þnh trªn ®¹i sè B2, kh«ng ©m,  - céng tÝnh,  - h÷u h¹n vµ nhËn gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n [a, b). 1.2.1.c) §Þnh lý. Víi mçi F  F tån t¹i duy nhÊt mét ®é ®o  - h÷u h¹n (Lebesgue - Stieltjes) trªn  - ®¹i sè Borel B cña ®êng th¼ng thùc sao cho F([a, b)) = F(b) - F(a) < . B nhËn gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn mçi kho¶ng [a, b) tån t¹i duy nhÊt F  F sao cho F = Ngîc l¹i, víi mçi ®é ®o  trªn . 1.2.2. §é ®o Lebesgue cña ®êng th¼ng thùc 5 LÊy F(x) = x  F. Khi ®ã  = F ®îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue cña ®êng th¼ng thùc vµ mçi tËp L  B1 ®îc gäi lµ tËp Lebesgue. 1.2.3. §é ®o Lebesgue - Stieltjes cña mét ®iÓm. §é ®o Lebesgue - Stieltjes cña tËp chØ gåm cã mét ®iÓm rÊt cã thÓ kh¸c kh«ng. Ch¬ng 2. c¸c lo¹i TÝch ph©n Stieltjes §1. TÝch ph©n Riemann - Stieltjes 2.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö trªn ®o¹n [a, b] ®îc x¸c ®Þnh mét hµm sè h÷u h¹n f(x) vµ F(x) lµ hµm ph©n phèi. Ta chia ®o¹n [a, b] thµnh c¸c ®o¹n nhá bëi phÐp chia  gåm c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < … < xn = b. §Æt  = maxxi, trong ®ã xi = xi+1 - xi vµ mçi ®o¹n con [xi, xi+1] (i = 0, 1, 2, …, ni tuú ý vµ lËp tæng Riemann - 1) ta chän mét ®iÓm Stieltjes  = n 1  i 0 f (i ) F(x i ) , trong ®ã F(xi) = F(xi+1) - F(xi). NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n I cña c¸c tæng  khi  dÇn ®Õn 0 vµ giíi h¹n ®ã kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia ®o¹n [a, b] vµ c¸ch chän ®iÓm i, th× giíi h¹n nµy ®îc gäi lµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes vµ ®îc ký hiÖu (R - S) b f (x)dF(x) . a n 1 Ta ký hiÖu I = lim  f (i ) V  x i , x i1  .  0 i 0 Ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸ch kh¸c: Sè I lµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes cña hµm sè f(x) lÊy theo hµm ph©n phèi F(x) nÕu víi mäi  > 0 ®Òu cã mét sè  > 0 sao cho trong mäi c¸ch chia víi  >  th×  I  <  , dï cho ta chän c¸c ®iÓm i nh thÕ nµo. 6 2.1.2. NhËn xÐt. TÝch ph©n Riemann lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña tÝch ph©n Riemann - Stieltjes khi F(x) = x. 2.1.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Riemann Stieltjes. b 1) 2) b b  f (x)  f (x) dF(x)  f (x)dF(x)  f (x)dF(x) 1 2 1 2 a a b b b a a a . a f (x)d  F(x)  G(x)  f (x)dF(x)  f (x)dG(x) . 3) NÕu k, l lµ nh÷ng h»ng sè: b b a a kf (x)dlF(x)  klf (x)dF(x) . 4) NÕu a < c < b vµ c¶ ba tÝch ph©n trong ®¼ng thøc sau tån t¹i th×: b c b a a c f (x)dF(x)  f (x)dF(x)  f (x)dF(x). b 5) NÕu mét trong c¸c tÝch ph©n f (x)dF(x) vµ a b F(x)df (x) tån t¹i th× tÝch ph©n kia còng tån t¹i vµ ta cã a ®¼ng thøc: b b F(x)df (x) + f (x)dF(x)   f (x).F(x) a b a trong ®ã ta ®Æt: a  f (x).F(x) a  f (b).F(b)f (a).F(a) . b b 2.1.4. §Þnh lý 1. TÝch ph©n (R- S) f (x) dF(x) tån t¹i nÕu a f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n ®ã. 7 2.1.5. §Þnh lý 2. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b b], ®¹o hµm F'(x) kh¶ tÝch Riemann th×: (S) f (x) dF(x) = a b (R) f (x) F'(x) dx. a 2.1.6. §Þnh lý 3. Gi¶ sö f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ F(x) lµ bËc thang trªn (a, c 1), (c1, c2), … (cm, b), trong ®ã a < c1 < c2 < … < cm < b. b Khi ®ã f (x)dF(x) m = f(a)[F(a + 0) - F(a)] + a  i 1 f (ci ) [F(ci + 0) - F(ci - 0)]- + + f(b) [F(b) - F(b - 0)]. §2. tÝch ph©n Lebesgue - stieltjes Gi¶ sö B lµ  - ®¹i sè tËp Borel trªn ®êng th¼ng,  B vµ lÊy gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn c¸c kho¶ng h÷u h¹n. Ta ký hiÖu (R, B, ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®Çy ®ñ t¬ng øng. §é ®o  trªn B ®îc gäi lµ ®é lµ ®é ®o x¸c ®Þnh trªn ®o Lebesgue - Stieltjes. HÖ thøc F(b) - F(a) = [a, b) x¸c ®Þnh ®¬n trÞ (sai kh¸c nhau h»ng sè céng) hµm F(x) ®¬n ®iÖu kh«ng gi¶m, liªn tôc tr¸i. Gäi F(x) lµ hµm ph©n phèi t¬ng øng víi ®é ®o  trªn B. 2.2.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f(x) lµ hµm thùc B - ®o ®îc, nÕu f(x) kh¶ tÝch theo ®é ®o  th× tÝch ph©n f (x)d ®- îc gäi lµ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. NÕu F(x) lµ hµm ph©n phèi t¬ng øng víi ®é ®o  th× tÝch ph©n ®îc ký hiÖu lµ f (x)d = f (x)dF(x) . f (x)d 8 TÝch ph©n trªn [a, b), ®îc ký hiÖu lµ: b b b f (x)d  f (x)dF(x) a hoÆc (L - S) a f (x)dF(x) . a 2.2.2. NhËn xÐt. §é ®o t¬ng øng víi F(x) = x ®îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue, cßn tÝch ph©n t¬ng øng ®îc gäi lµ tÝch ph©n Lebesgue. 2.2.3. TÝnh chÊt. TÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes lµ tÝch ph©n ®îc x¸c ®Þnh tõ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. Do ®ã tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n theo ®é ®o bÊt kú. Cô thÓ ta cã: 1) b b b a a a  f (x)  g(x) dF(x)  f (x)dF(x)  g(x)dF(x) b 2) b b f (x)d  F (x)  F (x)  f (x)dF (x)  f (x)dF (x) . 1 2 a 1 a 2 a 3) NÕu k, l lµ c¸c h»ng sè th× ta cã: b b a a kf (x)dlF(x)  kl f (x)dF(x) . 4) Gi¶ sö c  [a, b] sao cho a < c < b. Khi ®ã ta cã: b f (x)dF(x) a c b a c = f (x)dF(x)  f (x)dF(x) . 2.2.4 Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes vµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes. §Þnh lý 1. Gi¶ sö f liªn tôc trªn [a, b]. Khi ®ã b b a a (L - S) fdF = (R - S) fdF §Þnh lý 2. NÕu f liªn tôc trªn [a, b] vµ hµm ph©n phèi F(x) liªn tôc trªn [a, b] th×: b (R - S) f (x) dF(x) = (L) a b b a a f (x) F'(x)dx = (L) f (x) p(x)dx. 9 §ChuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu tÝch ph©n Riemann - Stieltjes Gi¶ sö trªn [a, b] hµm ph©n phèi F(x) x¸c ®Þnh. Ta chia ®o¹n [a, b] thµnh n phÇn bëi ph©n ho¹ch  gåm c¸c ®iÓm x0 = a < x1 < x2 < … < xn = b, vµ lËp tæng V = n 1   F(x k 0 k 1 )  F(x k )  . 2.3.1. §Þnh nghÜa. CËn trªn ®óng cña tËp tÊt c¶ c¸c tæng V,  ch¹y trong tËp tÊt c¶ c¸c ph©n ho¹ch cña [a, b] ®îc gäi lµ biÕn ph©n toµn phÇn cña hµm sè f(x) trªn [a, b b] vµ ®îc ký hiÖu lµ V (F). a b NÕu V (F) <  th× ta nãi F(x) lµ mét hµm sè víi biÕn a ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n [a, b]. 2.3.2. §Þnh lý 1. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b] vµ F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n [a, b] th× ta cã:  b b f (x) dF (x)   M(f). V(F) (12) a a trong ®ã M(f) = max f(x) . 2.3.3. §Þnh lý 2. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi víi biÕn ph©n h÷u h¹n vµ mét d·y c¸c hµm sè liªn tôc {f n(x)} héi tô ®Òu ®Õn mét hµm sè f(x) (liªn tôc). Khi ®ã: b lim f n (x) dF(x) = a  a b f (x) dF (x) a 2.3.4. §Þnh lý 3. Gi¶ sö trªn [a, b] ®îc x¸c ®Þnh mét hµm sè liªn tôc f(x) vµ mét d·y hµm ph©n phèi {F n(x)} héi tô t¹i mäi ®iÓm cña [a, b] ®Õn mét hµm ph©n phèi h÷u b h¹n F(x). NÕu víi mäi n, V(Fn )  K < +  th× a 10 b lim f (x) dFn(x) = a  a b f (x) dF (x) (13) a 2.3.5. NhËn xÐt. Nhê ®Þnh lý 2.3.3 mµ ta cã thÓ ®a b viÖc tÝnh tÝch ph©n f (x) dF(x) (trong ®ã f(x) liªn tôc vµ a F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n) vÒ trêng hîp F(x) liªn tôc. §4. Kú väng 2.4.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X:  R lµ biÕn ngÉu nhiªn (b.n.n). Kú väng cña b.n.n X lµ mét sè, ký hiÖu lµ EX ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: EX = X dP .  2.4.2. Chó ý. Kú väng cña X cã thÓ tån t¹i hoÆc kh«ng tån t¹i. Kú väng cña b.n.n X tån t¹i nÕu tÝch ph©n vÕ ph¶i c«ng thøc trªn tån t¹i. 2.4.3. ý nghÜa. Kú väng cña b.n.n X lµ gi¸ trÞ trung b×nh theo x¸c suÊt cña b.n.n ®ã. Trong trêng hîp X nhËn c¸c gi¸ trÞ víi x¸c suÊt nh nhau th× kú väng chÝnh lµ trung b×nh céng cña nã. 2.4.5. C¸c tÝnh chÊt. Gi¶ sö (F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X lµ b.n.n kh¶ tÝch th× ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: a) NÕu X = C = const th× EC = C b) Víi C lµ h»ng sè ta cã: ECX = CEX. c) Cho X, Y lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn ta cã: E(X  Y) = EX  EY. d) NÕu X, Y ®éc lËp th× E (X Y) = EX . EY. Tæng qu¸t. NÕu X1, X2, …, Xn lµ hä c¸c b.n.n ®éc lËp th× E(X1. X2 … Xn) = EX1 . EX2 … EXn . e) NÕu b.n.n Y = f(X) lµ hµm cña b.n.n X th×: 11 n EY = Ef(X) =  i 1 f (x i ) pi nÕu X rêi r¹c vµ P(X = xi) = pi .  vµ EY = Ef(X) = f (x) p(x) dx nÕu X liªn tôc vµ cã hµm  mËt ®é lµ p(x). ViÖc chøng minh c¸c tÝnh chÊt nµy cã thÓ suy ra tõ ®Þnh nghÜa. V× vËy ta kh«ng tr×nh bµy ë ®©y. 2.4.6. §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn víi hµm ph©n phèi FX(x).  Khi ®ã EX =  xdF  x  . x  2.4.7. HÖ qu¶. Gi¶ sö X cã ph©n phèi liªn tôc tuyÖt ®èi  EX   xp(x)dx . víi hµm mËt ®é p(x). Khi ®ã:  2.4.8. MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö X lµ b.n.n kh«ng ©m vµ kú väng h÷u h¹n. Khi ®ã  EX =  1 F(x) dx . 0 2.4.9. MÖnh ®Ò 2. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi cña b.n.n kh«ng ©m vµ EX <  ( > 0 nµo ®ã). Khi ®ã.  EX =   x  1  1 F(x) dx . 0 2.4.10. MÖnh ®Ò 3. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi cña b.n.n X kh«ng ©m vµ EX < + ( < 0 nµo ®ã). Khi ®ã  EX =    x   1 F(x)dx . 0 KÕt luËn KÕt qu¶ chÝnh cña kho¸ luËn bao gåm c¸c néi dung sau: 12 + §· tr×nh bµy l¹i mét c¸ch chi tiÕt c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o. + §· tr×nh bµy ®îc c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. + §· tr×nh bµy ®îc kh¸i niÖm vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes. + Dùa vµo c¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes, kho¸ luËn ®· øng dông vµo viÖc x©y dùng kú väng vµ chøng minh mét sè mÖnh ®Ò cña nã. + §· ®a ra ®îc mét sè vÝ dô minh ho¹. ViÖc nghiªn cøu t×m hiÓu nh÷ng øng dông cña to¸n häc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau lµ rÊt réng lín. Kho¸ luËn nµy chØ míi tr×nh bµy ®îc mét phÇn nhá cña vÊn ®Ò réng lín Êy. Hy väng r»ng, chóng t«i sÏ cã ®iÒu kiÖn quan t©m nhiÒu h¬n ®Õn vÊn ®Ò nµy. 13
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan