1
Më ®Çu
Lý thuyÕt ®é ®o vµ tÝch ph©n lµ c«ng cô quan träng
®Ó nghiªn cøu lý thuyÕt x¸c suÊt.
Kho¸ luËn nµy tr×nh bµy mét hiÓu biÕt cña t¸c gi¶ vÒ
tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes vµ tÝch ph©n Riemannn Stieltjes, cïng nh÷ng øng dông cña chóng vµo viÖc nghiªn
cøu kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kú väng cña biÕn ngÉu
nhiªn.
Kho¸ luËn gåm 2 ch¬ng:
Ch¬ng 1. §é ®o Lebesgue - Stieltjes.
Ch¬ng nµy gåm 2 tiÕt:
TiÕt 1: Chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt
c¬ b¶n cña ®é ®o.
TiÕt 2: Tr×nh bµy vÒ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes.
Ch¬ng 2. C¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes.
Ch¬ng nµy gåm 4 tiÕt:
TiÕt 1: Tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n
Riemannn - Stieltjes.
TiÕt 2 : Tr×nh bµy kh¸i niÖmvµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n
Lebesgue - Stieltjes.
TiÕt 3: Tr×nh bµy vÒ viÖc chuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu
tÝch ph©n Stieltjes.
TiÕt 4: Tr×nh bµy kh¸i niÖm kú väng cña biÕn ngÉu
nhiªn vµ øng dông cña tÝch ph©n Riemannn - Stieltjes vµ
tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes ®Ó nghiªn cøu c¸c tÝnh
chÊt cña kú väng.
Kho¸ luËn nµy ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i trêng
§¹i häc Vinh díi sù híng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña thÇy
gi¸o PGS.TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng vµ sù gãp ý t¹o ®iÒu
kiÖn gióp ®ì cña c¸c thÇy, c« gi¸o trong tæ X¸c suÊt thèng
kª vµ To¸n øng dông trong khoa To¸n. Nh©n dÞp nµy t«i
2
xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn thÇy Qu¶ng, c¸c
thÇy c« gi¸o trong khoa To¸n vµ b¹n bÌ ®· gióp ®ì t¸c gi¶
hoµn thµnh kho¸ luËn nµy.
V× n¨ng lùc vµ thêi gian h¹n hÑp, kho¸ luËn kh«ng thÓ
tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong quý thÇy, c« gi¸o vµ
c¸c b¹n gãp ý gióp ®ì.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Vinh, th¸ng 5 n¨m 2006
T¸c gi¶
3
Ch¬ng I. §é ®o lebesgue - stieltjes
§1. mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o.
C¸c hµm tËp x¸c ®Þnh trªn - ®¹i sè ®ãng vai trß
quan träng trong lý thuyÕt tÝch ph©n vµ lý thuyÕt x¸c suÊt.
Gi¶ sö (A) lµ kh«ng gian ®o nµo ®ã.
1.1.1. §Þnh nghÜa. Ta gäi hµm tËp lµ ®é ®o trªn
kh«ng gian ®o (A) nÕu:
A.
1) MiÒn x¸c ®Þnh cña lµ - ®¹i sè
2) kh«ng ©m vµ - céng tÝnh.
1.1.2. §Þnh lý: NÕu lµ ®é ®o - h÷u h¹n th× tån t¹i
{Xn}
A
sao cho {Xn} t¨ng ®Õn
UX
n
n 1
X vµ (Xn) <
+n.
1.1.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o
1) () = 0.
2) NÕu A, B
A, B A vµ (B) < +th× (A\B) = (A) -
(B).
3) (TÝnh ®¬n ®iÖu) A, B
A vµ B A th× (B) (A).
4) TÝnh nöa - céng díi. NÕu Ak
k 1
Ak
A, A A, A U
n 1
th× (A)
(A k ) .
§Æc biÖt nÕu thªm ®iÒu kiÖn (Ak) = 0 k = 1, 2, …
th× (A) = 0.
A lµ - ®¹i sè, lµ hµm tËp kh«ng
©m céng t×nh h÷u h¹n trªn A. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau
1.1.4. §Þnh lý. Gi¶ sö
lµ t¬ng ®¬ng:
4
a) lµ ®é ®o (tøc lµ - céng tÝnh);
b) nöa - céng tÝnh díi;
c) liªn tôc díi, tøc lµ nÕu An A th× (An) (A).
NÕu thªm ®iÒu kiÖn h÷u h¹n th× c¸c ®iÒu kiÖn
trªn t¬ng ®¬ng víi mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
d) liªn tôc trªn, tøc lµ nÕu n A th× (An) (A).
e) liªn tôc t¹i , tøc lµ nÕu n th× (An)
§2. §é ®o lebesgue - stieltjes.
1.2.1. Hµm kh«ng gi¶m vµ ®é ®o trªn ®êng th¼ng.
1.2.1. a) §Þnh nghÜa. Gi¶ sö F: R1 R1 lµ hµm sè kh«ng
gi¶m. Ta biÕt r»ng ®èi víi mçi hµm sè nh thÕ lu«n tån t¹i
giíi h¹n mét phÝa:
F(x) ;
F(x) ;
F(a + 0) = lim
F(a - 0) = lim
x a
x a
F(x) ;
F(+ ) = xlim
F(x) .
F(- ) = xlim
1.2.1.b) MÖnh ®Ò 1. F lµ tËp hµm x¸c ®Þnh trªn ®¹i sè
B2, kh«ng ©m,
- céng tÝnh, - h÷u h¹n vµ nhËn gi¸ trÞ
h÷u h¹n trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n [a, b).
1.2.1.c) §Þnh lý. Víi mçi F
F
tån t¹i duy nhÊt mét ®é
®o - h÷u h¹n (Lebesgue - Stieltjes) trªn - ®¹i sè Borel
B cña ®êng th¼ng thùc sao cho F([a, b)) = F(b) - F(a) <
.
B nhËn gi¸ trÞ h÷u h¹n
trªn mçi kho¶ng [a, b) tån t¹i duy nhÊt F F sao cho F =
Ngîc l¹i, víi mçi ®é ®o trªn
.
1.2.2. §é ®o Lebesgue cña ®êng th¼ng thùc
5
LÊy F(x) = x
F.
Khi ®ã = F ®îc gäi lµ ®é ®o
Lebesgue cña ®êng th¼ng thùc vµ mçi tËp L
B1
®îc gäi
lµ tËp Lebesgue.
1.2.3. §é ®o Lebesgue - Stieltjes cña mét ®iÓm.
§é ®o Lebesgue - Stieltjes cña tËp chØ gåm cã mét
®iÓm rÊt cã thÓ kh¸c kh«ng.
Ch¬ng 2. c¸c lo¹i TÝch ph©n Stieltjes
§1. TÝch ph©n Riemann - Stieltjes
2.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö trªn ®o¹n [a, b] ®îc x¸c ®Þnh
mét hµm sè h÷u h¹n f(x) vµ F(x) lµ hµm ph©n phèi. Ta chia
®o¹n [a, b] thµnh c¸c ®o¹n nhá bëi phÐp chia gåm c¸c
®iÓm chia: a = x0 < x1 < … < xn = b. §Æt = maxxi, trong
®ã xi = xi+1 - xi vµ mçi ®o¹n con [xi, xi+1] (i = 0, 1, 2, …, ni tuú ý vµ lËp tæng Riemann -
1) ta chän mét ®iÓm
Stieltjes =
n 1
i 0
f (i ) F(x i ) , trong ®ã
F(xi) = F(xi+1)
- F(xi). NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n I cña c¸c tæng khi
dÇn ®Õn 0 vµ giíi h¹n ®ã kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia
®o¹n [a, b] vµ c¸ch chän ®iÓm i, th× giíi h¹n nµy ®îc gäi lµ
tÝch ph©n Riemann - Stieltjes vµ ®îc ký hiÖu (R - S)
b
f (x)dF(x) .
a
n 1
Ta ký hiÖu I = lim
f (i ) V x i , x i1 .
0
i 0
Ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸ch kh¸c:
Sè I lµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes cña hµm sè f(x)
lÊy theo hµm ph©n phèi F(x) nÕu víi mäi > 0 ®Òu cã
mét sè > 0 sao cho trong mäi c¸ch chia víi > th× I < , dï cho ta chän c¸c ®iÓm i nh thÕ nµo.
6
2.1.2. NhËn xÐt. TÝch ph©n Riemann lµ mét trêng hîp
®Æc biÖt cña tÝch ph©n Riemann - Stieltjes khi F(x) = x.
2.1.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Riemann Stieltjes.
b
1)
2)
b
b
f (x) f (x) dF(x) f (x)dF(x) f (x)dF(x)
1
2
1
2
a
a
b
b
b
a
a
a
.
a
f (x)d F(x) G(x) f (x)dF(x) f (x)dG(x) .
3) NÕu k, l lµ nh÷ng h»ng sè:
b
b
a
a
kf (x)dlF(x) klf (x)dF(x) .
4) NÕu a < c < b vµ c¶ ba tÝch ph©n trong ®¼ng
thøc sau tån t¹i th×:
b
c
b
a
a
c
f (x)dF(x) f (x)dF(x) f (x)dF(x).
b
5) NÕu mét trong c¸c tÝch ph©n
f (x)dF(x)
vµ
a
b
F(x)df (x)
tån t¹i th× tÝch ph©n kia còng tån t¹i vµ ta cã
a
®¼ng thøc:
b
b
F(x)df (x) + f (x)dF(x) f (x).F(x)
a
b
a
trong ®ã ta ®Æt:
a
f (x).F(x) a f (b).F(b)f (a).F(a) .
b
b
2.1.4. §Þnh lý 1. TÝch ph©n (R- S)
f (x) dF(x) tån t¹i nÕu
a
f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ F(x) cã biÕn ph©n h÷u
h¹n trªn ®o¹n ®ã.
7
2.1.5. §Þnh lý 2. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a,
b
b], ®¹o hµm F'(x) kh¶ tÝch Riemann th×: (S)
f (x) dF(x) =
a
b
(R) f (x) F'(x) dx.
a
2.1.6. §Þnh lý 3. Gi¶ sö f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ
F(x) lµ bËc thang trªn (a, c 1), (c1, c2), … (cm, b), trong ®ã a
< c1 < c2 < … < cm < b.
b
Khi ®ã
f (x)dF(x)
m
= f(a)[F(a + 0) - F(a)] +
a
i 1
f (ci ) [F(ci + 0)
- F(ci - 0)]- +
+ f(b) [F(b) - F(b - 0)].
§2. tÝch ph©n Lebesgue - stieltjes
Gi¶ sö
B
lµ - ®¹i sè tËp Borel trªn ®êng th¼ng,
B vµ lÊy gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn c¸c
kho¶ng h÷u h¹n. Ta ký hiÖu (R, B, ) lµ kh«ng gian cã
®é ®o ®Çy ®ñ t¬ng øng. §é ®o trªn B ®îc gäi lµ ®é
lµ ®é ®o x¸c ®Þnh trªn
®o Lebesgue - Stieltjes. HÖ thøc F(b) - F(a) = [a, b) x¸c
®Þnh ®¬n trÞ (sai kh¸c nhau h»ng sè céng) hµm F(x)
®¬n ®iÖu kh«ng gi¶m, liªn tôc tr¸i. Gäi F(x) lµ hµm ph©n
phèi t¬ng øng víi ®é ®o trªn
B.
2.2.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f(x) lµ hµm thùc
B - ®o ®îc,
nÕu f(x) kh¶ tÝch theo ®é ®o th× tÝch ph©n
f (x)d
®-
îc gäi lµ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. NÕu F(x) lµ hµm
ph©n phèi t¬ng øng víi ®é ®o th× tÝch ph©n
®îc ký hiÖu lµ
f (x)d
= f (x)dF(x) .
f (x)d
8
TÝch ph©n trªn [a, b), ®îc ký hiÖu lµ:
b
b
b
f (x)d f (x)dF(x)
a
hoÆc (L - S)
a
f (x)dF(x) .
a
2.2.2. NhËn xÐt. §é ®o t¬ng øng víi F(x) = x ®îc gäi lµ
®é ®o Lebesgue, cßn tÝch ph©n t¬ng øng ®îc gäi lµ tÝch
ph©n Lebesgue.
2.2.3. TÝnh chÊt.
TÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes lµ tÝch ph©n ®îc x¸c
®Þnh tõ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. Do ®ã tÝch ph©n
Lebesgue - Stieltjes cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch
ph©n theo ®é ®o bÊt kú.
Cô thÓ ta cã:
1)
b
b
b
a
a
a
f (x) g(x) dF(x) f (x)dF(x) g(x)dF(x)
b
2)
b
b
f (x)d F (x) F (x) f (x)dF (x) f (x)dF (x) .
1
2
a
1
a
2
a
3) NÕu k, l lµ c¸c h»ng sè th× ta cã:
b
b
a
a
kf (x)dlF(x) kl f (x)dF(x) .
4) Gi¶ sö c [a, b] sao cho a < c < b. Khi ®ã ta cã:
b
f (x)dF(x)
a
c
b
a
c
= f (x)dF(x) f (x)dF(x) .
2.2.4 Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes
vµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes.
§Þnh lý 1. Gi¶ sö f liªn tôc trªn [a, b]. Khi ®ã
b
b
a
a
(L - S) fdF = (R - S) fdF
§Þnh lý 2. NÕu f liªn tôc trªn [a, b] vµ hµm ph©n phèi
F(x) liªn tôc trªn [a, b] th×:
b
(R - S) f (x) dF(x) = (L)
a
b
b
a
a
f (x) F'(x)dx = (L) f (x) p(x)dx.
9
§ChuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu tÝch ph©n
Riemann - Stieltjes
Gi¶ sö trªn [a, b] hµm ph©n phèi F(x) x¸c ®Þnh. Ta
chia ®o¹n [a, b] thµnh n phÇn bëi ph©n ho¹ch gåm c¸c
®iÓm x0 = a < x1 < x2 < … < xn = b, vµ lËp tæng V =
n 1
F(x
k 0
k 1
) F(x k ) .
2.3.1. §Þnh nghÜa. CËn trªn ®óng cña tËp tÊt c¶ c¸c
tæng V, ch¹y trong tËp tÊt c¶ c¸c ph©n ho¹ch cña [a, b]
®îc gäi lµ biÕn ph©n toµn phÇn cña hµm sè f(x) trªn [a,
b
b] vµ ®îc ký hiÖu lµ V (F).
a
b
NÕu V (F) < th× ta nãi F(x) lµ mét hµm sè víi biÕn
a
ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n [a, b].
2.3.2. §Þnh lý 1. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b] vµ
F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n [a, b] th× ta cã:
b
b
f (x) dF (x) M(f). V(F)
(12)
a
a
trong ®ã M(f) = max f(x) .
2.3.3. §Þnh lý 2. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi víi biÕn
ph©n h÷u h¹n vµ mét d·y c¸c hµm sè liªn tôc {f n(x)} héi
tô ®Òu ®Õn mét hµm sè f(x) (liªn tôc). Khi ®ã:
b
lim f n (x) dF(x) =
a
a
b
f (x) dF (x)
a
2.3.4. §Þnh lý 3. Gi¶ sö trªn [a, b] ®îc x¸c ®Þnh mét
hµm sè liªn tôc f(x) vµ mét d·y hµm ph©n phèi {F n(x)} héi
tô t¹i mäi ®iÓm cña [a, b] ®Õn mét hµm ph©n phèi h÷u
b
h¹n F(x). NÕu víi mäi n, V(Fn ) K < + th×
a
10
b
lim f (x) dFn(x) =
a
a
b
f (x) dF (x)
(13)
a
2.3.5. NhËn xÐt. Nhê ®Þnh lý 2.3.3 mµ ta cã thÓ ®a
b
viÖc tÝnh tÝch ph©n
f (x) dF(x)
(trong ®ã f(x) liªn tôc vµ
a
F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n) vÒ trêng hîp F(x) liªn tôc.
§4. Kú väng
2.4.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (F, P) lµ kh«ng gian x¸c
suÊt, X: R lµ biÕn ngÉu nhiªn (b.n.n). Kú väng cña
b.n.n X lµ mét sè, ký hiÖu lµ EX ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng
thøc:
EX =
X dP .
2.4.2. Chó ý. Kú väng cña X cã thÓ tån t¹i hoÆc kh«ng
tån t¹i. Kú väng cña b.n.n X tån t¹i nÕu tÝch ph©n vÕ ph¶i
c«ng thøc trªn tån t¹i.
2.4.3. ý nghÜa. Kú väng cña b.n.n X lµ gi¸ trÞ trung b×nh
theo x¸c suÊt cña b.n.n ®ã. Trong trêng hîp X nhËn c¸c gi¸
trÞ víi x¸c suÊt nh nhau th× kú väng chÝnh lµ trung b×nh
céng cña nã.
2.4.5. C¸c tÝnh chÊt. Gi¶ sö (F, P) lµ kh«ng gian x¸c
suÊt, X lµ b.n.n kh¶ tÝch th× ta cã c¸c tÝnh chÊt sau:
a) NÕu X = C = const th× EC = C
b) Víi C lµ h»ng sè ta cã: ECX = CEX.
c) Cho X, Y lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn ta cã: E(X Y) = EX
EY.
d) NÕu X, Y ®éc lËp th× E (X Y) = EX . EY.
Tæng qu¸t. NÕu X1, X2, …, Xn lµ hä c¸c b.n.n ®éc lËp
th×
E(X1. X2 … Xn) = EX1 . EX2 … EXn .
e) NÕu b.n.n Y = f(X) lµ hµm cña b.n.n X th×:
11
n
EY = Ef(X) =
i 1
f (x i ) pi nÕu X rêi r¹c vµ P(X = xi) = pi .
vµ EY = Ef(X) =
f (x) p(x) dx nÕu X liªn tôc vµ cã hµm
mËt ®é lµ p(x).
ViÖc chøng minh c¸c tÝnh chÊt nµy cã thÓ suy ra tõ
®Þnh nghÜa. V× vËy ta kh«ng tr×nh bµy ë ®©y.
2.4.6. §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn víi hµm
ph©n phèi FX(x).
Khi ®ã EX =
xdF x .
x
2.4.7. HÖ qu¶. Gi¶ sö X cã ph©n phèi liªn tôc tuyÖt ®èi
EX xp(x)dx .
víi hµm mËt ®é p(x). Khi ®ã:
2.4.8. MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö X lµ b.n.n kh«ng ©m vµ kú
väng h÷u h¹n. Khi ®ã
EX =
1 F(x) dx .
0
2.4.9. MÖnh ®Ò 2. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi cña
b.n.n kh«ng ©m vµ EX < ( > 0 nµo ®ã). Khi ®ã.
EX = x
1
1 F(x) dx .
0
2.4.10. MÖnh ®Ò 3. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi cña
b.n.n X kh«ng ©m vµ EX < + ( < 0 nµo ®ã). Khi ®ã
EX = x
1
F(x)dx .
0
KÕt luËn
KÕt qu¶ chÝnh cña kho¸ luËn bao gåm c¸c néi dung sau:
12
+ §· tr×nh bµy l¹i mét c¸ch chi tiÕt c¸c kh¸i niÖm c¬
b¶n cña ®é ®o.
+ §· tr×nh bµy ®îc c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o
Lebesgue - Stieltjes.
+ §· tr×nh bµy ®îc kh¸i niÖm vµ chøng minh c¸c tÝnh
chÊt c¬ b¶n cña c¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes.
+ Dùa vµo c¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes, kho¸ luËn ®·
øng dông vµo viÖc x©y dùng kú väng vµ chøng minh mét
sè mÖnh ®Ò cña nã.
+ §· ®a ra ®îc mét sè vÝ dô minh ho¹.
ViÖc nghiªn cøu t×m hiÓu nh÷ng øng dông cña to¸n
häc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau lµ rÊt réng lín. Kho¸ luËn
nµy chØ míi tr×nh bµy ®îc mét phÇn nhá cña vÊn ®Ò réng
lín Êy. Hy väng r»ng, chóng t«i sÏ cã ®iÒu kiÖn quan t©m
nhiÒu h¬n ®Õn vÊn ®Ò nµy.
13
- Xem thêm -