Tài liệu Các loại tích phân stieltjes và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

  • Số trang: 13 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 139 |
  • Lượt tải: 0
tructuyentailieu

Tham gia: 25/05/2016

Mô tả:

1 Më ®Çu Lý thuyÕt ®é ®o vµ tÝch ph©n lµ c«ng cô quan träng ®Ó nghiªn cøu lý thuyÕt x¸c suÊt. Kho¸ luËn nµy tr×nh bµy mét hiÓu biÕt cña t¸c gi¶ vÒ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes vµ tÝch ph©n Riemannn Stieltjes, cïng nh÷ng øng dông cña chóng vµo viÖc nghiªn cøu kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn. Kho¸ luËn gåm 2 ch¬ng: Ch¬ng 1. §é ®o Lebesgue - Stieltjes. Ch¬ng nµy gåm 2 tiÕt: TiÕt 1: Chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o. TiÕt 2: Tr×nh bµy vÒ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. Ch¬ng 2. C¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes. Ch¬ng nµy gåm 4 tiÕt: TiÕt 1: Tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Riemannn - Stieltjes. TiÕt 2 : Tr×nh bµy kh¸i niÖmvµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. TiÕt 3: Tr×nh bµy vÒ viÖc chuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu tÝch ph©n Stieltjes. TiÕt 4: Tr×nh bµy kh¸i niÖm kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn vµ øng dông cña tÝch ph©n Riemannn - Stieltjes vµ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes ®Ó nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña kú väng. Kho¸ luËn nµy ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc Vinh díi sù híng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña thÇy gi¸o PGS.TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng vµ sù gãp ý t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì cña c¸c thÇy, c« gi¸o trong tæ X¸c suÊt thèng kª vµ To¸n øng dông trong khoa To¸n. Nh©n dÞp nµy t«i 2 xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn thÇy Qu¶ng, c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa To¸n vµ b¹n bÌ ®· gióp ®ì t¸c gi¶ hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. V× n¨ng lùc vµ thêi gian h¹n hÑp, kho¸ luËn kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong quý thÇy, c« gi¸o vµ c¸c b¹n gãp ý gióp ®ì. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Vinh, th¸ng 5 n¨m 2006 T¸c gi¶ 3 Ch¬ng I. §é ®o lebesgue - stieltjes §1. mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o. C¸c hµm tËp x¸c ®Þnh trªn  - ®¹i sè ®ãng vai trß quan träng trong lý thuyÕt tÝch ph©n vµ lý thuyÕt x¸c suÊt. Gi¶ sö (A) lµ kh«ng gian ®o nµo ®ã. 1.1.1. §Þnh nghÜa. Ta gäi hµm tËp  lµ ®é ®o trªn kh«ng gian ®o (A) nÕu: A. 1) MiÒn x¸c ®Þnh cña  lµ  - ®¹i sè 2)  kh«ng ©m vµ  - céng tÝnh. 1.1.2. §Þnh lý: NÕu  lµ ®é ®o  - h÷u h¹n th× tån t¹i {Xn}  A  sao cho {Xn} t¨ng ®Õn UX n n 1  X vµ (Xn) < +n. 1.1.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®é ®o 1) () = 0. 2) NÕu A, B  A, B  A vµ (B) < +th× (A\B) = (A) - (B). 3) (TÝnh ®¬n ®iÖu) A, B  A vµ B  A th× (B)  (A).  4) TÝnh nöa  - céng díi. NÕu Ak     k 1 Ak A, A  A, A  U n 1 th× (A) (A k ) . §Æc biÖt nÕu thªm ®iÒu kiÖn (Ak) = 0 k = 1, 2, … th× (A) = 0. A lµ  - ®¹i sè,  lµ hµm tËp kh«ng ©m céng t×nh h÷u h¹n trªn A. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau 1.1.4. §Þnh lý. Gi¶ sö lµ t¬ng ®¬ng: 4 a)  lµ ®é ®o (tøc lµ   - céng tÝnh); b)  nöa  - céng tÝnh díi; c)  liªn tôc díi, tøc lµ nÕu An A th× (An)  (A). NÕu thªm ®iÒu kiÖn  h÷u h¹n th× c¸c ®iÒu kiÖn trªn t¬ng ®¬ng víi mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: d)  liªn tôc trªn, tøc lµ nÕu n A th× (An)  (A). e)  liªn tôc t¹i , tøc lµ nÕu n   th× (An)   §2. §é ®o lebesgue - stieltjes. 1.2.1. Hµm kh«ng gi¶m vµ ®é ®o trªn ®êng th¼ng. 1.2.1. a) §Þnh nghÜa. Gi¶ sö F: R1  R1 lµ hµm sè kh«ng gi¶m. Ta biÕt r»ng ®èi víi mçi hµm sè nh thÕ lu«n tån t¹i giíi h¹n mét phÝa: F(x) ; F(x) ; F(a + 0) = lim F(a - 0) = lim x a x a F(x) ; F(+ ) = xlim   F(x) . F(- ) = xlim   1.2.1.b) MÖnh ®Ò 1. F lµ tËp hµm x¸c ®Þnh trªn ®¹i sè B2, kh«ng ©m,  - céng tÝnh,  - h÷u h¹n vµ nhËn gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn mçi kho¶ng h÷u h¹n [a, b). 1.2.1.c) §Þnh lý. Víi mçi F  F tån t¹i duy nhÊt mét ®é ®o  - h÷u h¹n (Lebesgue - Stieltjes) trªn  - ®¹i sè Borel B cña ®êng th¼ng thùc sao cho F([a, b)) = F(b) - F(a) < . B nhËn gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn mçi kho¶ng [a, b) tån t¹i duy nhÊt F  F sao cho F = Ngîc l¹i, víi mçi ®é ®o  trªn . 1.2.2. §é ®o Lebesgue cña ®êng th¼ng thùc 5 LÊy F(x) = x  F. Khi ®ã  = F ®îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue cña ®êng th¼ng thùc vµ mçi tËp L  B1 ®îc gäi lµ tËp Lebesgue. 1.2.3. §é ®o Lebesgue - Stieltjes cña mét ®iÓm. §é ®o Lebesgue - Stieltjes cña tËp chØ gåm cã mét ®iÓm rÊt cã thÓ kh¸c kh«ng. Ch¬ng 2. c¸c lo¹i TÝch ph©n Stieltjes §1. TÝch ph©n Riemann - Stieltjes 2.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö trªn ®o¹n [a, b] ®îc x¸c ®Þnh mét hµm sè h÷u h¹n f(x) vµ F(x) lµ hµm ph©n phèi. Ta chia ®o¹n [a, b] thµnh c¸c ®o¹n nhá bëi phÐp chia  gåm c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < … < xn = b. §Æt  = maxxi, trong ®ã xi = xi+1 - xi vµ mçi ®o¹n con [xi, xi+1] (i = 0, 1, 2, …, ni tuú ý vµ lËp tæng Riemann - 1) ta chän mét ®iÓm Stieltjes  = n 1  i 0 f (i ) F(x i ) , trong ®ã F(xi) = F(xi+1) - F(xi). NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n I cña c¸c tæng  khi  dÇn ®Õn 0 vµ giíi h¹n ®ã kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia ®o¹n [a, b] vµ c¸ch chän ®iÓm i, th× giíi h¹n nµy ®îc gäi lµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes vµ ®îc ký hiÖu (R - S) b f (x)dF(x) . a n 1 Ta ký hiÖu I = lim  f (i ) V  x i , x i1  .  0 i 0 Ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸ch kh¸c: Sè I lµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes cña hµm sè f(x) lÊy theo hµm ph©n phèi F(x) nÕu víi mäi  > 0 ®Òu cã mét sè  > 0 sao cho trong mäi c¸ch chia víi  >  th×  I  <  , dï cho ta chän c¸c ®iÓm i nh thÕ nµo. 6 2.1.2. NhËn xÐt. TÝch ph©n Riemann lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña tÝch ph©n Riemann - Stieltjes khi F(x) = x. 2.1.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Riemann Stieltjes. b 1) 2) b b  f (x)  f (x) dF(x)  f (x)dF(x)  f (x)dF(x) 1 2 1 2 a a b b b a a a . a f (x)d  F(x)  G(x)  f (x)dF(x)  f (x)dG(x) . 3) NÕu k, l lµ nh÷ng h»ng sè: b b a a kf (x)dlF(x)  klf (x)dF(x) . 4) NÕu a < c < b vµ c¶ ba tÝch ph©n trong ®¼ng thøc sau tån t¹i th×: b c b a a c f (x)dF(x)  f (x)dF(x)  f (x)dF(x). b 5) NÕu mét trong c¸c tÝch ph©n f (x)dF(x) vµ a b F(x)df (x) tån t¹i th× tÝch ph©n kia còng tån t¹i vµ ta cã a ®¼ng thøc: b b F(x)df (x) + f (x)dF(x)   f (x).F(x) a b a trong ®ã ta ®Æt: a  f (x).F(x) a  f (b).F(b)f (a).F(a) . b b 2.1.4. §Þnh lý 1. TÝch ph©n (R- S) f (x) dF(x) tån t¹i nÕu a f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n ®ã. 7 2.1.5. §Þnh lý 2. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b b], ®¹o hµm F'(x) kh¶ tÝch Riemann th×: (S) f (x) dF(x) = a b (R) f (x) F'(x) dx. a 2.1.6. §Þnh lý 3. Gi¶ sö f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ F(x) lµ bËc thang trªn (a, c 1), (c1, c2), … (cm, b), trong ®ã a < c1 < c2 < … < cm < b. b Khi ®ã f (x)dF(x) m = f(a)[F(a + 0) - F(a)] + a  i 1 f (ci ) [F(ci + 0) - F(ci - 0)]- + + f(b) [F(b) - F(b - 0)]. §2. tÝch ph©n Lebesgue - stieltjes Gi¶ sö B lµ  - ®¹i sè tËp Borel trªn ®êng th¼ng,  B vµ lÊy gi¸ trÞ h÷u h¹n trªn c¸c kho¶ng h÷u h¹n. Ta ký hiÖu (R, B, ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®Çy ®ñ t¬ng øng. §é ®o  trªn B ®îc gäi lµ ®é lµ ®é ®o x¸c ®Þnh trªn ®o Lebesgue - Stieltjes. HÖ thøc F(b) - F(a) = [a, b) x¸c ®Þnh ®¬n trÞ (sai kh¸c nhau h»ng sè céng) hµm F(x) ®¬n ®iÖu kh«ng gi¶m, liªn tôc tr¸i. Gäi F(x) lµ hµm ph©n phèi t¬ng øng víi ®é ®o  trªn B. 2.2.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f(x) lµ hµm thùc B - ®o ®îc, nÕu f(x) kh¶ tÝch theo ®é ®o  th× tÝch ph©n f (x)d ®- îc gäi lµ tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. NÕu F(x) lµ hµm ph©n phèi t¬ng øng víi ®é ®o  th× tÝch ph©n ®îc ký hiÖu lµ f (x)d = f (x)dF(x) . f (x)d 8 TÝch ph©n trªn [a, b), ®îc ký hiÖu lµ: b b b f (x)d  f (x)dF(x) a hoÆc (L - S) a f (x)dF(x) . a 2.2.2. NhËn xÐt. §é ®o t¬ng øng víi F(x) = x ®îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue, cßn tÝch ph©n t¬ng øng ®îc gäi lµ tÝch ph©n Lebesgue. 2.2.3. TÝnh chÊt. TÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes lµ tÝch ph©n ®îc x¸c ®Þnh tõ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. Do ®ã tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n theo ®é ®o bÊt kú. Cô thÓ ta cã: 1) b b b a a a  f (x)  g(x) dF(x)  f (x)dF(x)  g(x)dF(x) b 2) b b f (x)d  F (x)  F (x)  f (x)dF (x)  f (x)dF (x) . 1 2 a 1 a 2 a 3) NÕu k, l lµ c¸c h»ng sè th× ta cã: b b a a kf (x)dlF(x)  kl f (x)dF(x) . 4) Gi¶ sö c  [a, b] sao cho a < c < b. Khi ®ã ta cã: b f (x)dF(x) a c b a c = f (x)dF(x)  f (x)dF(x) . 2.2.4 Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes vµ tÝch ph©n Riemann - Stieltjes. §Þnh lý 1. Gi¶ sö f liªn tôc trªn [a, b]. Khi ®ã b b a a (L - S) fdF = (R - S) fdF §Þnh lý 2. NÕu f liªn tôc trªn [a, b] vµ hµm ph©n phèi F(x) liªn tôc trªn [a, b] th×: b (R - S) f (x) dF(x) = (L) a b b a a f (x) F'(x)dx = (L) f (x) p(x)dx. 9 §ChuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu tÝch ph©n Riemann - Stieltjes Gi¶ sö trªn [a, b] hµm ph©n phèi F(x) x¸c ®Þnh. Ta chia ®o¹n [a, b] thµnh n phÇn bëi ph©n ho¹ch  gåm c¸c ®iÓm x0 = a < x1 < x2 < … < xn = b, vµ lËp tæng V = n 1   F(x k 0 k 1 )  F(x k )  . 2.3.1. §Þnh nghÜa. CËn trªn ®óng cña tËp tÊt c¶ c¸c tæng V,  ch¹y trong tËp tÊt c¶ c¸c ph©n ho¹ch cña [a, b] ®îc gäi lµ biÕn ph©n toµn phÇn cña hµm sè f(x) trªn [a, b b] vµ ®îc ký hiÖu lµ V (F). a b NÕu V (F) <  th× ta nãi F(x) lµ mét hµm sè víi biÕn a ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n [a, b]. 2.3.2. §Þnh lý 1. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b] vµ F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n trªn ®o¹n [a, b] th× ta cã:  b b f (x) dF (x)   M(f). V(F) (12) a a trong ®ã M(f) = max f(x) . 2.3.3. §Þnh lý 2. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi víi biÕn ph©n h÷u h¹n vµ mét d·y c¸c hµm sè liªn tôc {f n(x)} héi tô ®Òu ®Õn mét hµm sè f(x) (liªn tôc). Khi ®ã: b lim f n (x) dF(x) = a  a b f (x) dF (x) a 2.3.4. §Þnh lý 3. Gi¶ sö trªn [a, b] ®îc x¸c ®Þnh mét hµm sè liªn tôc f(x) vµ mét d·y hµm ph©n phèi {F n(x)} héi tô t¹i mäi ®iÓm cña [a, b] ®Õn mét hµm ph©n phèi h÷u b h¹n F(x). NÕu víi mäi n, V(Fn )  K < +  th× a 10 b lim f (x) dFn(x) = a  a b f (x) dF (x) (13) a 2.3.5. NhËn xÐt. Nhê ®Þnh lý 2.3.3 mµ ta cã thÓ ®a b viÖc tÝnh tÝch ph©n f (x) dF(x) (trong ®ã f(x) liªn tôc vµ a F(x) cã biÕn ph©n h÷u h¹n) vÒ trêng hîp F(x) liªn tôc. §4. Kú väng 2.4.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X:  R lµ biÕn ngÉu nhiªn (b.n.n). Kú väng cña b.n.n X lµ mét sè, ký hiÖu lµ EX ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: EX = X dP .  2.4.2. Chó ý. Kú väng cña X cã thÓ tån t¹i hoÆc kh«ng tån t¹i. Kú väng cña b.n.n X tån t¹i nÕu tÝch ph©n vÕ ph¶i c«ng thøc trªn tån t¹i. 2.4.3. ý nghÜa. Kú väng cña b.n.n X lµ gi¸ trÞ trung b×nh theo x¸c suÊt cña b.n.n ®ã. Trong trêng hîp X nhËn c¸c gi¸ trÞ víi x¸c suÊt nh nhau th× kú väng chÝnh lµ trung b×nh céng cña nã. 2.4.5. C¸c tÝnh chÊt. Gi¶ sö (F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X lµ b.n.n kh¶ tÝch th× ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: a) NÕu X = C = const th× EC = C b) Víi C lµ h»ng sè ta cã: ECX = CEX. c) Cho X, Y lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn ta cã: E(X  Y) = EX  EY. d) NÕu X, Y ®éc lËp th× E (X Y) = EX . EY. Tæng qu¸t. NÕu X1, X2, …, Xn lµ hä c¸c b.n.n ®éc lËp th× E(X1. X2 … Xn) = EX1 . EX2 … EXn . e) NÕu b.n.n Y = f(X) lµ hµm cña b.n.n X th×: 11 n EY = Ef(X) =  i 1 f (x i ) pi nÕu X rêi r¹c vµ P(X = xi) = pi .  vµ EY = Ef(X) = f (x) p(x) dx nÕu X liªn tôc vµ cã hµm  mËt ®é lµ p(x). ViÖc chøng minh c¸c tÝnh chÊt nµy cã thÓ suy ra tõ ®Þnh nghÜa. V× vËy ta kh«ng tr×nh bµy ë ®©y. 2.4.6. §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn víi hµm ph©n phèi FX(x).  Khi ®ã EX =  xdF  x  . x  2.4.7. HÖ qu¶. Gi¶ sö X cã ph©n phèi liªn tôc tuyÖt ®èi  EX   xp(x)dx . víi hµm mËt ®é p(x). Khi ®ã:  2.4.8. MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö X lµ b.n.n kh«ng ©m vµ kú väng h÷u h¹n. Khi ®ã  EX =  1 F(x) dx . 0 2.4.9. MÖnh ®Ò 2. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi cña b.n.n kh«ng ©m vµ EX <  ( > 0 nµo ®ã). Khi ®ã.  EX =   x  1  1 F(x) dx . 0 2.4.10. MÖnh ®Ò 3. Gi¶ sö F(x) lµ hµm ph©n phèi cña b.n.n X kh«ng ©m vµ EX < + ( < 0 nµo ®ã). Khi ®ã  EX =    x   1 F(x)dx . 0 KÕt luËn KÕt qu¶ chÝnh cña kho¸ luËn bao gåm c¸c néi dung sau: 12 + §· tr×nh bµy l¹i mét c¸ch chi tiÕt c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o. + §· tr×nh bµy ®îc c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. + §· tr×nh bµy ®îc kh¸i niÖm vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes. + Dùa vµo c¸c lo¹i tÝch ph©n Stieltjes, kho¸ luËn ®· øng dông vµo viÖc x©y dùng kú väng vµ chøng minh mét sè mÖnh ®Ò cña nã. + §· ®a ra ®îc mét sè vÝ dô minh ho¹. ViÖc nghiªn cøu t×m hiÓu nh÷ng øng dông cña to¸n häc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau lµ rÊt réng lín. Kho¸ luËn nµy chØ míi tr×nh bµy ®îc mét phÇn nhá cña vÊn ®Ò réng lín Êy. Hy väng r»ng, chóng t«i sÏ cã ®iÒu kiÖn quan t©m nhiÒu h¬n ®Õn vÊn ®Ò nµy. 13
- Xem thêm -