http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
PHÂN LOẠI BÀI TẬP CHƯƠNG CƠ HỌC VẬT RẮN
I.MỤC TIÊU
-Học sinh nắm vững kiến thức về các ñại lượng trong chuyển ñộgn quay, phương trình cơ bản của ñộng
lực học vật rắn,ñịnh lý ñộng năng , ñịnh luật bảo toàn mô men ñộng lượng.
-Biết áp dụng các công thức ñể làm bài tập.
II.NỘI DUNG
DẠNG 1: VẬT RẮN QUAY ðỀU QUANH MỘT TRỤC CỐ ðỊNH
A.LÍ THUYẾT
Tốc ñộ góc: ω = const
ϕ = ω .t
Góc quay:
Công thức liên hệ:
Gia tốc góc: γ = 0
v = ωr
ω = 2π f =
Tọa ñộ góc: ϕ = ϕ0 + ω t
2π
T
an =
v2
= ω 2 .r
r
B.BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM CHUYỂN ðỘNG QUAY ðỀU
1. Một ñĩa ñặc ñồng chất có dạng hình tròn bánh kính R ñang quay tròn ñều quanh trục của nó. Tỉ số gia
tốc hướng tâm của ñiểm N trên vành ñĩa với ñiểm M cách trục quay một khoảng cách bằng nửa bán kính
của ñĩa bằng:
A.
1
2
B. 1
C. 2
D. 4
2. Một xe ñạp có bánh xe ñường kính 700 mm, chuyển ñộng ñều với tốc ñộ 12,6 km/h. Tốc ñộ góc của
ñầu van xe ñạp là:
A. 5 rad/s
B. 10 rad/s
C. 20 rad/s
D. Moät giaù trò khaùc.
3. Một vật hình cầu bán kính R = 25 m, chuyển ñộng quay ñều quanh một trục ∆ thẳng ñứng ñi qua tâm
của nó. Khi ñó một ñiểm A trên vật, nằm xa trục quay ∆ nhất chuyển ñộng với tốc ñộ 36 km/h. Gia tốc
hướng tâm của A bằng:
A. 0,4 m/s2
B. 4 m/s2
C. 2,5 m/s2
D. Moät giaù trò khaùc.
4. Một ñĩa ñặc ñồng chất có dạng hình tròn bánh kính R = 30 cm ñang quay tròn ñều quanh trục của nó,
thời gian quay hết 1 vòng là 2 s. Biết rằng ñiểm A nằm trung ñiểm giữa tâm O của vòng tròn với vành ñĩa.
Tốc ñộ dài của ñiểm A là:
A. 47 cm/s
B. 4,7 cm/s
C. 94 cm/s
D. 9,4 cm/s
5. Một ñĩa ñặc ñồng chất có dạng hình tròn bánh kính R ñang quay tròn ñều quanh trục của nó. Hai ñiểm
A, B nằm trên cùng một ñường kính của ñĩa. ðiểm A nằm trên vành ñĩa, ñiểm B nằm trung ñiểm giữa tâm
O của vòng tròn với vành ñĩa. Tỉ số tốc ñộ góc của hai ñiểm A và B là:
A.
ωA 1
=
ωB 4
B.
ωA 1
=
ωB 2
C.
ωA
=2
ωB
D.
ωA
=1
ωB
6. Kim giê cña mét chiÕc ®ång hå cã chiÒu dµi b»ng 3/4 chiÒu dµi kim phót. Coi như c¸c kim quay ®Òu. TØ
sè tèc ®é gãc cña ®Çu kim phót vµ ®Çu kim giê lµ
A. 12;
B. 1/12;
C. 24;
D. 1/24
7. Kim giê cña mét chiÕc ®ång hå cã chiÒu dµi b»ng 3/4 chiÒu dµi kim phót. Coi như c¸c kim quay ®Òu. TØ
sè gi÷a vËn tèc dµi cña ®Çu kim phót vµ ®Çu kim giê lµ
A. 1/16;
B. 16;
C. 1/9;
D. 9
8. Kim giê cña mét chiÕc ®ång hå cã chiÒu dµi b»ng 3/4 chiÒu dµi kim phót. Coi như c¸c kim quay ®Òu. TØ
sè gia tèc híng t©m cña ®Çu kim phót vµ ®Çu kim giê lµ
1
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
A. 92;
B. 108;
C. 192;
D. 204
9. Mét b¸nh xe quay ®Òu xung quanh mét trôc cè ®Þnh víi tÇn sè 3600 vßng/min. Tèc ®é gãc cña b¸nh xe
nµy lµ:
A. 120π rad/s;
B. 160π rad/s; C. 180π rad/s;
D. 240π rad/s
10. Mét b¸nh xe quay ®Òu xung quanh mét trôc cè ®Þnh víi tÇn sè 3600 vßng/min. Trong thêi gian 1,5s
b¸nh xe quay ®ưîc mét gãc b»ng:
D. 180π rad
A. 90π rad; B. 120π rad;
C. 150π rad;
11. Kim giờ của một ñồng hồ có chiều dài 8 cm. Tốc ñộ dài của ñầu kim là
A.1,16.10-5 m/s.
B.1,16.10-4 m/s. C.1,16.10-3 m/s.
D.5,81.10-4 m/s.
_____________________________________________________________________________________
DẠNG 2: VẬT RẮN QUAY BIẾN ðỔI ðỀU QUANH MỘT TRỤC CỐ ðỊNH
I.TÍNH TOÁN CÁC ðẠI LƯỢNG CƠ BẢN
A.LÍ THUYẾT
Gia tốc góc: γ = const Tốc ñộ góc: ω = ω0 + γ t Tọa ñộ góc: ϕ = ϕ0 + ω0t + 1 γ t 2 Tốc ñộ góc tb: ωtb =
2
∆ϕ
∆t
Phương trình ñộc lập với thời gian: ω 2 − ω02 = 2γ (ϕ − ϕ0 )
1
2
Góc quay: ϕ = ω0t + γ t 2
Gia tốc tiếp tuyến: att =
Số vòng quay: n =
dv
dω
= r.
= γ .r
dt
dt
ϕ
ϕ
n=
2π
2π
Gia tốc hướng tâm:
an =
v2
= ω 2 .r
r
a = at2 + an2 = r. ω 4 + γ 2
Gia tốc:
*Một số chú ý:
-góc mà vật quay ñược là ∆φ chứ không phải φ, nó chỉ trùng φ khi φ0=0
- Trong chuyển ñộng quay ñểu , γ = 0 , ω là hằng số, att=0, an=ωR=const.
Trong chuyển ñộng quay biến ñổi ñều: att=const, an= (ω0 + γ t ) R
B.BÀI TẬP
TỰ LUẬN
Ví dụ 1. Một ñĩa mài bắt ñầu quay với vị trí góc ϕ0 = 0 và gia tốc góc không ñổi γ = 0,35
rad/s2. Tính tốc ñộ góc của ñĩa tại thời ñiểm t = 18s và số vòng mà ñĩa quay ñược trong thời
gian ñó.
Giải
Tốc ñộ góc của ñĩa tại thời ñiểm t = 18s là:
ω = γt = 0,35.18 = 6,3 (rad/s)
Góc ñĩa quay ñược trong khoảng thời gian t = 18s ñó là:
ϕ=
1 2 1
γt = .0,35.182 ≈ 56,7 (rad)
2
2
Số vòng quay ñược :
2
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
n=
56,7
ϕ
=
≈ 9 vòng
2π
2π
Ví dụ 2: Một cái ñĩa bắt ñầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không ñổi. Sau 5,0s nó
quay ñược 25 rad.
a) Gia tốc góc của ñĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của ñĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của ñĩa :
γ=
2.∆ϕ 2.25
=
(rad/s2) = 2 (rad/s2)
2
25
t
b) Vận tốc góc trung bình
ωTB =
∆ϕ 25
= (rad / s ) = 5 (rad/s)
t
5
c) Vận tốc góc tức thời tại cuối thời gian 5s là:
ω = ω0 + γt = 2.0,5 = 1(rad/s)
Ví dụ 3: Một bánh xe quay nhanh dần ñều quanh trục của nó. Lúc bắt ñầu tăng tốc, bánh xe
ñang có tốc ñộ góc là 5 rad/s. Sau 10s tốc ñộ góc của nó tăng lên ñến 10 rad/s. Hãy tìm:
a) Gia tốc góc của bánh xe.
b) Góc mà bánh xe quay ñược trong khoảng thời gian ñó.
c) Số vòng mà bánh xe quay ñược trong thời gian ñó.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe :
γ=
ω − ω0
t
=
10 − 5
(rad/s2) = 0,5 (rad/s2)
10
b) Góc mà bánh xe quay ñược trong 10s:
1
2
∆ϕ = ϕ - ϕ0 = ω0t + γt2
1
2
∆ϕ = 5.10 + .0,5.102 = 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay ñược trong 10s:
n=
∆ϕ 75
=
≈ 12(vòng)
2π 2π
Ví dụ 4: Một ñĩa mài ñang quay với tốc ñộ góc ω0 = - 4,6 rad/s và gia tốc góc không ñổi γ =
0,35 rad/s2. Xác ñịnh các thời ñiểm ñể:
a) Tốc ñộ của ñĩa mài bằng 0.
b) ðĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương.
Giải
3
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
a) Vì ω0 = - 4,6 rad/s và γ = 0,35 rad/s2 nên ban ñầu ñĩa quay chậm dần theo chiều âm.
Thời ñiểm tốc ñộ của ñĩa mài bằng 0 ñược xác ñịnh:
ω − ω0
0 − (−4,6)
=
≈ 13s .
0,35
γ
t1 =
b) Sau khi tốc ñộ của ñĩa bằng 0, ñĩa sẽ quay nhanh dần ñều với gia tốc góc γ = 0,35 rad/s2 .
Thời gian ñể ñĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương ñược tính:
∆t =
2∆ϕ
γ
=
2.5.2π
≈ 13,4 (s).
0,35
Thời ñiểm ñể ñĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương là: t = t1+∆t ≈ 26,4(s)
Ví dụ 5: Tại thời ñiểm ban ñầu một bánh ñà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là 0,25rad/s2 và ϕ0 = 0.
a) ðường mốc sẽ ñạt ñược một góc cực ñại ϕmax bao nhiêu theo chiều dương và tại thời ñiểm
nào?
1
2
b) ðến thời ñiểm nào thì ñường mốc ở ϕ = ϕmax ?
Giải
a) Ban ñầu vận tốc góc và gia tốc góc trái dấu nên bánh ñà quay chậm dần ñến khi tốc ñộ góc
bằng 0 thì ñường mốc ñạt toạ ñộ cực ñại.
Khi ñó: ω = ω0 + γt1 = 0 → t1 =
− ω0
γ
=
− 4,7
( s ) = 18,8( s )
− 0,25
ðường mốc ñạt ñược một góc cực ñại ϕmax :
ϕ = ϕmax = ϕ0 + ω0t1 +
ϕ = 4,7.1,88 +
1 2
γt1
2
1
(-0,25).1,882 = 44,18 (rad)
2
1
2
b) Khi ϕ = ϕmax ta có:
4,7t +
1
44,18
(-0,25)t2 =
→ t = 5,15 s hoặc t = 32 s.
2
2
II.Xác ñịnh vận tốc, gia tốc của một ñiểm trên vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố
ñịnh.
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức:
+ Tốc ñộ dài: v = ωr,
r r r
+ Gia tốc của chất ñiểm trong chuyển ñộng quay: a = a n + at
4
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
ðộưlớn: a =
a n2 + at2 ; trong ñó: a n = ω 2 r =
v2
∆v
, at =
r
∆t
Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:
- Trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh của vật rắn thì các ñiểm trên vật rắn:
+ Chuyển ñộng trên các quỹ ñạo tròn có tâm là trục quay.
+ Tại mọi thời ñiểm thì tất cả các ñiểm tham gia chuyển ñộng quay trên vật có cùng góc
quay, vận tốc góc và gia tốc góc.
- ðối với vật rắn quay ñều thì: at= 0 nên a = an
Bài tập tự luận
Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc ñộ góc không ñổi ω = 20 rad/s quanh
trục ñi qua O. Xác ñịnh tốc ñộ dài của một ñiểm M (thuộc OA) ở trên cánh quạt cách A một
khoảng 10 cm?
Giải
Khoảng cách từ M ñến trục quay là:
OM = OA - MA = 20 cm = 0,2 m.
Tốc ñộ dài của M là:
vM = ω.r = ω.OM = 20.0,2 = 4m/s
Ví dụ 2: Một bánh xe bán kính 50cm quay ñều với chu kì là 0,1 giây. Hãy tính:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một ñiểm trên vành bánh xe.
b) Gia tốc pháp tuyến của một ñiểm trên vành bánh; của ñiểm chính giữa một bán kính.
Giải
a) Vận tốc góc của một ñiểm trên vành bánh xe là:
ω=
2π 2π
=
= 62,8(rad / s )
T
0,1
- Vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh xe là :
v = ω.r = 62,8.0.5 = 31,4(m / s )
b) Gia tốc pháp tuyến của một ñiểm trên vành bánh xe:
an1 = ω 2 r = 62,82.0,5 = 1971,92(m / s 2 )
- Gia tốc pháp tuyến của ñiểm chính giữa một bán kính:
an 2 = ω 2
r an1
=
= 985,96(m / s 2 )
2
2
Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc ñầu ñứng yên, sau ñó quay xung quanh trục
của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s2. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một ñiểm trên vành
bánh?
5
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một ñiểm trên vành
bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:
r
ω = γt = 3,14.1 = 3,14 rad/s
r
at
a
Vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh xe:
α
v = ωr = 3,14 . 0,1 = 0,314 m/s.
0
r
an
b) Gia tốc tiếp tuyến:
at = γr = 3,14.0,1 = 0,314m/s2
Gia tốc pháp tuyến:
Hình 1
2
2
2
an = ω r = 3,14 .0,1 = 0,985 m/s
Gia tốc toàn phần:
a = at2 + an2 = 1,03m/s2
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe ñược xác ñịnh:
tgα =
at 0,314
=
a n 0,985
→ α= 17046’
Bài tập áp dụng
1. Tìm vận tốc góc trung bình của:
a) Kim giờ và kim phút ñồng hồ.
b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái ðất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái ðất một vòng mất 27 ngày
ñêm).
c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái ðất quay trên quỹ ñạo tròn với chu kì bằng 88 phút.
ðáp số: a) 14,5.10-5rad/s, 1,74.10-3rad/s; b) 2,7.10-6rad/s; c) 1,19.10-3rad/s.
2. Khi tắt ñiện thì một cánh quạt ñiện ñang quay với tốc ñộ góc 20 vòng/phút dừng lại sau 2 phút. Tính
gia tốc góc trung bình.
ðáp số: 0,05π rad/s.
3. Một bánh xe quay ñều với tốc ñộ 300 vòng/phút. Trong 10s bánh xe quay ñược góc là bao nhiêu?
ðáp số: 314 rad
4. Một cái ñĩa quay quanh một trục cố ñịnh, từ nghỉ và quay nhanh dần ñều. Tại một thời ñiểm nó ñang
quay với tốc ñộ 10 vg/s. Sau khi quay trọn 60 vòng nữa thì tốc ñộ góc của nó là 15 vg/s. Hãy tính:
a) Gia tốc góc của ñĩa.
b) Thời gian cần thiết ñể quay hết 60 vòng nói trên.
c) Thời gian cần thiết ñể ñạt tốc ñộ 10vg/s và số vòng quay từ lúc nghỉ cho ñến khi ñĩa ñạt tốc ñộ góc
10vg/s.
ðáp số: a) 6,54 rad/s2; b) 4,8s; c) 9,6s và 48 vòng.
5. Một bánh ñà ñang quay với tốc ñộ góc 1,5 rad/s thì quay chậm dần ñều ñược 40 vòng cho ñến khi
dừng.
6
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
a) Thời gian cần ñể dừng là bao nhiêu?
b) Gia tốc góc là bao nhiêu?
c) Nó cần thời gian là bao nhiêu ñể quay ñược 20 vòng ñầu trong số 40 vòng ấy.
ðáp số: a) t = 335s ; b) γ = - 4,48.10-3rad/s2; c) t’ = 98,1s
6. Một cái ñĩa ban ñầu có vận tốc góc 120rad/s, quay chậm dần ñều với gia tốc bằng 4,0 rad/s2.
a) Hỏi sau bao lâu thì ñĩa dừng lại?
b) ðĩa quay ñược một góc bao nhiêu trước khi dừng?
ðáp số: a) t = 30s ; b) 1800rad.
7. Tìm vận tốc dài của chuyển ñộng quay của một ñiểm trên mặt ñất tại Hà Nội. Biết rằng vĩ ñộ của Hà
Nội là α = 210
ðáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong nguyên tử hyñrô là v = 2,8.103 cm / s .Tính vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến
của electron nếu quỹ ñạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1-8cm.
ðáp số: ω = 4,4.1016rad/s ; an = 9,68.104m/s2.
TRẮC NGHIỆM
1. Một vật rắn chuyển ñộng quay quanh một trục với tọa ñộ góc là một hàm theo thời gian có dạng: ϕ =
10t2 + 4 (rad; s). Tọa ñộ góc của vật ở thời ñiểm t = 2s là:
A. 44 rad
B. 24 rad
C. 9 rad
D. Một giá trị khác.
2. Một vật rắn chuyển ñộng quay quanh một trục với tọa ñộ góc là một hàm theo thời gian có dạng: ϕ =
4t2 (rad; s). Tốc ñộ góc của vật ở thời ñiểm t = 1,25 s là:
A. 0,4 rad/s
B. 2,5 rad/s
C. 10 rad/s
D. một giá trị khác.
3. Một xe ñạp bắt ñầu chuyển ñộng trên một ñường hình tròn bán kính 400 m. Xe chuyển ñộng nhanh dần
ñều, cứ sau một giây tốc ñộ của xe lại tăng thêm 1 m/s. Tại vị trí trên quĩ ñạo mà ñộ lớn của hai gia tốc
hướng tâm và tiếp tuyến bằng nhau, thì tốc ñộ góc của xe bằng:
A. 0,05 rad/s
B. 0,1 rad/s
C. 0,2 rad/s D. 0,4 rad/s
4. Một quạt máy ñang quay với tốc ñộ góc 360 vòng/phút thì bị hãm. Sau khi hãm
π
s tốc ñộ góc của cánh
2
quạt còn 180 vòng/phút. Gia tốc góc trung bình của quạt là:
A. 3 rad/s2
B.6 rad/s2
C.
1
rad/s2
3
D.12 rad/s2
5. Một vô lăng quay với tốc ñộ góc 180 vòng/phút thì bị hãm chuyển ñộng chậm dần ñều và dừng lại sau
12 s. Số vòng quay của vô lăng từ lúc hãm ñến lúc dừng lại là:
A. 6 vòng
B. 9 vòng
C. 18 vòng
D. 36 vòng
6. Một vật rắn coi như một chất ñiểm, chuyển ñộng quay quanh một trục ∆, vạch nên một quĩ ñạo tròn tâm
O, bán kính R = 50 cm. Biết rằng ở thời ñiểm t1 = 1s chất ñiểm ở tọa ñộ góc ϕ1 = 30o; ở thời ñiểm t2 = 3s
chất ñiểm ở tọa ñộ góc ϕ2 = 60o và nó chưa quay hết một vòng. Tốc ñộ dài trung bình của vật là:
A. 6,5 cm/s
B. 0,65 m/s
C. 13 cm/s
D. 1,3 m/s
7. Một vật rắn coi như một chất ñiểm chuyển ñộng trên quĩ ñạo tròn bán kính bằng 40 m. quãng ñường ñi
ñược trên quĩ ñạo ñược cho bởi công thức : s = - t2 + 4t + 5 (m). Gia tốc pháp tuyến của chất ñiểm lúc t =
1,5 s là:
A. 0,1 cm/s2
B. 1 cm/s2
C. 10 cm/s2
D. 100 cm/s2
8. Một vật chuyển ñộng trên một ñường tròn có tọa ñộ góc phụ thuộc vào thời gian t với biểu thức: ϕ = 2t2
+ 3 (rad; s). Khi t = 0,5 s tốc ñộ dài của vật bằng 2,4 m/s. Gia tốc toàn phần của vật là:
7
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
A. 2,4 m/s2
B. 4,8 2 m/s2 C. 4,8 m/s2
D. 9,6 m/s2
9. Một vật rắn quay quanh một trục cố ñịnh ñi qua vật có phương trình chuyển ñộng: ϕ = 10 + t2 (rad; s).
Tốc ñộ góc và góc mà vật quay ñược sau thời gian 5 s kể từ thời ñiểm t = 0 lần lượt là:
A. 10 rad/s vaø 25 rad
B. 5 rad/s vaø 25 rad C. 10 rad/s vaø 35 rad
D. 5 rad/s
vaø 35 rad
10. B¸nh ®µ cña mét ®éng c¬ tõ lóc khëi ®éng ®Õn lóc ®¹t tèc ®é gãc 140rad/s ph¶i mÊt 2 s. BiÕt ®éng c¬
quay nhanh dÇn ®Òu.Gãc quay cña b¸nh ®µ trong thêi gian ®ã lµ:
A. 140rad.
B. 70rad.
C. 35rad.
D. 36πrad.
11. Mét b¸nh xe quay nhanh dÇn ®Òu quanh trôc. Lóc t = 0 b¸nh xe cã tèc ®é gãc 5rad/s. Sau 5s tèc ®é gãc
cña nã t¨ng lªn 7rad/s. Gia tèc gãc cña b¸nh xe lµ:
A. 0,2rad/s2.
B. 0,4rad/s2.
C. 2,4rad/s2.
D. 0,8rad/s2.
12. Trong chuyÓn ®éng quay cã vËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc γ chuyÓn ®éng quay nµo sau ®©y lµ nhanh
dÇn?
A. ω = 3 rad/s vµ γ = 0;
B. ω = 3 rad/s vµ γ = - 0,5 rad/s2
C. ω = - 3 rad/s vµ γ = 0,5 rad/s2;
D. ω = - 3 rad/s vµ γ = - 0,5 rad/s2
13. Mét b¸nh xe quay nhanh dÇn ®Òu tõ tr¹ng th¸i ®øng yªn sau 2s nã ®¹t tèc ®é gãc 10rad/s. Gia tèc gãc
cña b¸nh xe lµ
A. 2,5 rad/s2; B. 5,0 rad/s2;
C. 10,0 rad/s2;
D. 12,5 rad/s2
14. Mét b¸nh xe cã ®−êng kÝnh 4m quay víi gia tèc gãc kh«ng ®æi 4 rad/s2, t0 = 0 lµ lóc b¸nh xe b¾t ®Çu
quay. T¹i thêi ®iÓm t = 2s tèc ñộ gãc cña b¸nh xe lµ:
A. 4 rad/s.
B. 8 rad/s.
C. 9,6 rad/s.
D. 16 rad/s.
15. Mét b¸nh xe cã ®−êng kÝnh 4m quay víi gia tèc gãc kh«ng ®æi 4 rad/s2, t0 = 0 lµ lóc b¸nh xe b¾t ®Çu
quay. Tèc ®é dµi cña mét ®iÓm P trªn vµnh b¸nh xe ë thêi ®iÓm t = 2s lµ
A. 16 m/s.
B. 18 m/s.
C. 20 m/s.
D. 24 m/s.
16. Mét b¸nh xe cã ®−êng kÝnh 4m quay víi gia tèc gãc kh«ng ®æi 4 rad/s2. Gia tèc tiÕp tuyÕn cña ®iÓm P
trªn vµnh b¸nh xe lµ
A. 4 m/s2.
B. 8 m/s2.
C. 12 m/s2.
D. 16 m/s2.
17. Mét b¸nh xe ®ang quay víi tèc ñộ gãc 36 rad/s th× bÞ h\m l¹i víi mét gia tèc gãc kh«ng ®æi cã ®é lín
3rad/s2. Thêi gian tõ lóc h\m ®Õn lóc b¸nh xe dõng h¼n lµ
A. 4s;
B. 6s;
C. 10s;
D. 12s
18. Mét b¸nh xe ®ang quay víi tèc ®é gãc 36rad/s th× bÞ h\m l¹i víi mét gia tèc gãc kh«ng ®æi cã ®é lín
3rad/s2. Gãc quay ®−îc cña b¸nh xe kÓ tõ lóc h\m ®Õn lóc dõng h¼n lµ
A. 96 rad;
B. 108 rad;
C. 180 rad;
D. 216 rad
19. Mét b¸nh xe quay nhanh dÇn ®Òu trong 4s tèc ®é gãc t¨ng tõ 120vßng/phót lªn 360vßng/phót. Gia tèc
gãc cña b¸nh xe lµ
A. 2π rad/s2.
B. 3π rad/s2.
C. 4π rad/s2.
D. 5π rad/s2.
20. Mét b¸nh xe cã ®−êng kÝnh 50cm quay nhanh dÇn ®Òu trong 4s tèc ®é gãc t¨ng tõ 120vßng/phót lªn
360vßng/phót. Gia tèc h−íng t©m cña ®iÓm M ë vµnh b¸nh xe sau khi t¨ng tèc ®−îc 2s lµ
A. 157,8 m/s2.
B. 162,7 m/s2.
C. 183,6 m/s2.
D. 196,5 m/s2
21. Mét b¸nh xe cã ®−êng kÝnh 50cm quay nhanh dÇn ®Òu trong 4s tèc ®é gãc t¨ng tõ 120 vßng/phót lªn
360 vßng/phót. Gia tèc tiÕp tuyÕn cña ®iÓm M ë vµnh b¸nh xe lµ:
B. 0,50π m/s2;
C. 0,75π m/s2;
D. 1,00π m/s2
A. 0,25π m/s2;
21. Một cái ñĩa ban ñầu ñứng yên bắt ñầu quay nhanh dần quanh một trục cố ñịnh ñi qua ñĩa với gia tốc
góc không ñổi bằng 2 rad/s2. Góc mà ñĩa quay ñược sau thời gian 10 s kể từ khi ñĩa bắt ñầu quay là
8
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
A. 20 rad.
B. 100 rad.
C. 50 rad.
D. 10 rad
22. Một bánh xe bắt ñầu quay nhanh dần ñều quanh một trục cố ñịnh của nó. Sau 10 s kể từ lúc bắt ñầu
quay, vận tốc góc bằng 20 rad/s. Vận tốc góc của bánh xe sau 15 s kể từ lúc bắt ñầu quay bằng
A. 15 rad/s.
B. 20 rad/s.
C. 30 rad/s.
D. 10 rad/s.
23. Tại thời ñiểm t = 0, một vật rắn bắt ñầu quay quanh một trục cố ñịnh xuyên qua vật với gia tốc góc
không ñổi. Sau 5 s nó quay ñược một góc 25 rad. Vận tốc góc tức thời của vật tại thời ñiểm t=5s là
A. 5 rad/s.
B. 10 rad/s.
C. 15 rad/s.
D. 25 rad/s.
24. Một bánh xe ñang quay với tốc ñộ góc 24 rad/s thì bị hãm. Bánh xe quay chậm dần ñều với gia tốc góc
có ñộ lớn 2 rad/s2. Thời gian từ lúc hãm ñến lúc bánh xe dừng bằng:
A. 8 s.
B. 12 s.
C. 24 s.
D. 16 s.
25. Một vật rắn quay quanh một trục cố ñịnh ñi qua vật có phương trình chuyển ñộng ϕ =10+t2 ( ϕ tính
bằng rad, t tính bằng giây). Tốc ñộ góc và góc mà vật quay ñược sau thời gian 5 s kể từ thời ñiểm t = 0 lần
lượt là
A. 5 rad/s và 25 rad
B. 5 rad/s và 35 rad.
C. 10 rad/s và 35 rad.
D. 10 rad/s và 25 rad.
26. Phương trình toạ ñộ góc φ theo thời gian t của một vật rắn quay biến ñổi có dạng :
φ = 2008 + 2009t +12 t2 (rad, s).Tính tốc ñộ góc ở thời ñiểm t = 2s
A. ω = 2009 rad
B. ω = 4018 rad
C. ω = 2057 rad
D. ω = 2033 rad
27. Một vật rắn quay nhanh dần ñều quanh một trục cố ñịnh, trong 3,14 s tốc ñộ góc của nó tăng từ 120
vòng/phút ñến 300 vòng/phút. Lấy π = 3,14. Gia tốc góc của vật rắn có ñộ lớn là
A.20 cm/s2.
B.10 cm/s2.
C.30cm/s2.
D.40cm/s2
28. Tại một thời ñiểm t = 0, một vật bắt ñầu quay quanh một trục cố ñịnh xuyên qua vật với gia tốc góc
không ñổi. Sau 5 s, nó quay một góc 10 rad. Góc quay mà vật quay ñược sau thời gian 10 s kể từ lúc t = 0
bằng
A.10 rad.
B.40 rad.
C.20 rad.
D.100 rad.
29. Một ñĩa tròn, phẳng, mỏng quay ñều quanh một trục qua tâm và vuông góc với mặt ñĩa. Gọi vA và vB
lần lượt là tốc ñộ dài của ñiểm A ở vành ñĩa và của ñiểm B (thuộc ñĩa) ở cách tâm một ñoạn bằng nửa bán
kính của ñĩa. Biểu thức liên hệ giữa vA và vB là
A. vA = vB.
B. vA = 2vB.
C. v A =
vB
2
D. vA = 4vB.
30. Từ trạng thái nghỉ, một ñĩa bắt ñầu quay quanh trục cố ñịnh của nó với gia tốc góc không ñổi. Sau 10s,
ñĩa quay ñược một góc 50 rad. Góc mà ñĩa quay ñược trong 10 s tiếp theo là
A. 100 rad.
B. 200 rad.
C. 150 rad.
D. 50 rad.
31. Một vật quay nhanh dần từ trạng thái nghỉ, trong giây thứ 4 vật quay ñược góc 14 rad. Hỏi trong giây
thứ 3 vật quay ñược góc bao nhiêu ?
A. 10 rad
B. 5 rad
C. 6 rad
D.2 rad
32. Moät caùnh quaït cuûa maùt phaùt ñieän chaïy baèng söùc gioù coù ñöôøng kính 80m, quay vôùi toác
ñoä 45voøng/phuùt. Toác ñoä cuûa một ñieåm naèm ôû vaønh caùnh quaït laø:
A. 18,84 m/s
B. 188,4 m/s
C. 113 m/s
D. 11304m/s
.....................................................................................................................................................................
DẠNG 3: MOMEN QUÁN TÍNH – MOMEN LỰC.Bài tập xác ñịnh mô men quán tính của một số vật ñồng chất có hình dạng hình học ñặc biệt.
Phương pháp giải
Kiểm tra xem hệ gồm mấy vật: I = I1 + I2 + ….+ In
9
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
+nếu vật có hình dạng ñặc biêt, áp dụng công thức sgk, nếu trục quay không ñi qua tâm:
: I(∆) = IG + md2
+nếu vật là chất ñiểm: I=mr2
Mô men quán tính của một số vật ñồng chất:
+ Vành tròn, hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I = mR2.
+ ðĩa tròn, hình trụ ñặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I =
1
mR2.
2
+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:
I=
1 2
ml .
12
+ Quả cầu ñặc có trục quay ñi qua tâm: I =
2
mR2.
5
A.TỰ LUẬN
Ví dụ 1: Một thanh ñồng chất AB dài l = 1m khối lượng m1 = 3 kg. Gắn vào hai ñầu A và B
của thanh hai chất ñiểm khối lượng m2 = 3kg và m3 = 4kg. Tìm momen quán tính của hệ
trong các trường hợp:
a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung ñiểm của AB.
b) Trục quay tại ñầu A của thanh và vuông góc với thanh.
c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Giải
a) Mô men quán tính của thanh ñối với trục quay (O) ñi qua trung
A
O
1
ñiểm của thanh AB: I1 = m1l2
12
m3
m2
Hình 2
Mô men quán tính của m2 ñối với trục quay (O): I2 = m2R22 =
m2 l
B
2
4
Mô men quán tính của m3 ñối với trục quay (O): I3 = m3R32 = m3 l
2
4
Momen quán tính của hệ ñối với trục quay (O):
I = I1 + I2 + I3 =
Thay số: I =
2
2
1
m1l2 + m2 l + m3 l
12
4
4
2
= l ( m1 + 3m2 + 3m3)
12
1
(3 + 3.3 + 3.4) = 2 (kg.m2)
12
b) Trục quay vuông góc với thanh tại ñầu A ñược tính:
Mô men quán tính của thanh ñối với trục quay (A): I1 =
1
m1l2
3
10
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
Mô men quán tính của m2 ñối với trục quay (A): I2 = 0
Mô men quán tính của m3 ñối với trục quay (A): I3 = m3R32 = m3l2
Mô men quán tính của hệ ñối với trục quay (A):
I = I1 + I2 + I3 =
1
1
m1l2 + 0 + m3 l2 = .3.12 + 0 + 4.12 = (5 kgm2)
3
3
c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Áp dụng ñịnh lí trục song song ta tính ñược mô men quán tính
của thanh ñối với trục quay (O’):
I1 =
A
m2
O’
G
Hình 4
B
m3
l
7
1
m1l2 + m1 ( )2 =
m1l2
12
4
48
Mô men quán tính của m2 ñối với trục quay (O’):
2
2
I2 = m2R22 = m2 l = m2 l
4
16
Mô men quán tính của m3 ñối với trục quay (O’):
2
I3 = m3R32 = m3 3l = m3 9l
4
2
16
Mô men quán tính của hệ ñối với trục quay (O’):
I = I1 + I2 + I3 =
7
1
9
2
m1l 2 +
m2 l 2 + m3l 2 = 2,875 2 kg.m
48
16
16
Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L ñược gập thành khung hình tam giác ñều
ABC. Tính mô men quán tính của khung ñối với trục quay ñi qua A và vuông góc với khung.
Giải
Ta thấy:
B
mAB = mBC = mCA = m = M/3.
G
lAB = lBC = lCA = l = L/3.
A
Mô men quán tính của khung ñối với trục quay ñi qua A và vuông
C
góc với khung:
Hình 5
I = IAB + IBC + ICA
Trong ñó: IAB = ICA =
1 2
ml
3
Áp dụng ñịnh lí trục song song ta tính mô men quán tính của thanh BC ñối với trục quay ñi
qua A là IBC:
IBC = I(G)BC + m .(AG)2
Trong ñó: I(G)BC =
IBC
1
l 3
ml 2 ; AG =
12
2
1
l 3 2 5 2
= ml 2 + m.(
) = ml
12
2
6
A
m2
B
m3
Hình 3
11
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
Suy ra: I = 2.
M L2
1
1 2
5
2
ml + ml 2 = 1,5ml = 1,5.
. = ML2
3
6
3 9 18
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn ñồng chất dạng ñĩa tròn ñặc bán kính r có trục quay
vuông góc với ñĩa và ñi qua mép ñĩa.
ðáp số: 1,5mR 2
2. Một ñĩa tròn ñồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của ñĩa ñối với trục vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
b) ðặt vật nhỏ khối lượng m1 = 2 kg vào mép ñĩa và vật m2 = 3 kg vào tâm ñĩa. Tìm momen
quán tính của hệ ñối với trục quay vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
ðáp số: a) 2,25 kg.m2; b) 6,25 kg.m2
3. Sàn quay là một hình trụ, ñặc ñồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có
khối lượng có khối lượng 50kg ñứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2
trường hợp:
a) Người ñứng ở mép sàn
b) Người ñứng ở ñiểm cách trục quay 1,0m.
ðáp số: a)250kgm2; b) 100kgm2.
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn ñồng chất dạng ñĩa tròn ñặc bán kính r có trục quay vuông góc
với ñĩa và ñi qua mép ñĩa.
ðáp số: 1,5mR 2
2. Một ñĩa tròn ñồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của ñĩa ñối với trục vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
b) ðặt vật nhỏ khối lượng m1 = 2 kg vào mép ñĩa và vật m2 = 3 kg vào tâm ñĩa. Tìm momen quán tính
của hệ ñối với trục quay vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
ðáp số: a) 2,25 kg.m2; b) 6,25 kg.m2
3. Sàn quay là một hình trụ, ñặc ñồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có khối
lượng có khối lượng 50kg ñứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2 trường hợp:
a) Người ñứng ở mép sàn
b) Người ñứng ở ñiểm cách trục quay 1,0m.
ðáp số: a)250kgm2; b) 100kgm2.
TRẮC NGHIỆM
12
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
Câu1: Một thanh thẳng ñồng chất OA có chiều dài l, khối lượng M, có thể quay quanh một trục cố ñịnh
qua O và vuông góc với thanh. Người ta gắn vào ñầu A một chất ñiểm m =
M
. Momen quán tính của hệ
3
ñối với trục qua O là
A. 2Ml 2 / 3 .
B. Ml 2 /3 .
C. Ml2.
D. 4Ml 2 / 3 .
Câu 2: ðại lượng ñặc trưng cho tác dụng làm quay của lực ñối với vật rắn có trục quay cố ñịnh ñược gọi là
A. momen quán tính.
B. momen quay.
C. momen lực.
D. momen ñộng
lượng.
B (m )
Câu3: Tại các ñỉnh ABCD của một hình vuông có cạnh a=80cm có gắn lần lượt các A (m )
chất ñiểm m1, m2, m3, m4 với m1=m3=1kg, m2=m4=2kg. Mômen quán tính của hệ 4
chất ñiểm ñối với trục quay qua M (trung ñiểm của DC) và vuông góc với hình
O
vuông có giá trị nào sau ñây?
A. 1,68 kgm2.
B. 2,96 kgm2. C. 2,88 kgm2.
* D. 2,42 kgm2.
Câu4: Một khung dây cứng nhẹ hình tam giác ñều cạnh a. Tại ba ñỉnh khung có gắn D (m )
M
m C (m )
ba viên bi nhỏ có cùng khối lượng m. Mômen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi
qua tâm O và vuông góc mặt phẳng khung là
a
a
A. ma2.*
B. m
2a 2
.
3
C. m
2a 2
.
3
D. m
1
2
4
3
a2
.
2
Câu5: Một vành tròn ñồng chất tiết diện ñều, có khối lượng M, bán kính vòng ngoài là m
R, vòng trong là r ( hình vẽ). Momen quán tính của vành ñối với trục qua tâm và vuông góc
với vành là
1
A. M(R2 + r2).
2
1
*B.
M(R2 - r2)
2
2
2
C. M(R + r ).
2
O
a
m
r
R
2
D. M(R - r )
Chú ý: I vành=Iñĩa tròn lớn-I ñĩa tròn nhỏ
6. Một tam giác ñều có cạnh là a. Ba chất ñiểm, mỗi chất ñiểm có khối lượng là m, ñược ñặt ở ba ñỉnh của
tam giác. Momen quán tính của hệ này ñối với trục quay là một ñường cao của tam giác bằng:
A. ma2/2
B. ma2/4
C. 3ma2/2
D. 3ma2/4.
7. Một thanh cứng ñồng chất có chiều dài ℓ, khối lượng m, quay quanh một trục ∆ qua trung ñiểm và
vuông góc với thanh. Gắn chất ñiểm có khối lượng 3 m vào một ñầu thanh. Momen quán tính của hệ ñối
với trục ∆ là
A.
2
13
mℓ .
12
B.
2
1
mℓ .
3
C.
2
4
mℓ .
3
D.
2
5
mℓ .
6
8. Hai chất ñiểm có khối lượng 0,2kg và 0,3kg gắn ở hai ñầu một thanh cứng, nhẹ, có chiều dài 1,2m.
Momen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi qua trung ñiểm của thanh và vuông góc với thanh có giá trị
nào
sau
ñây?
2
2
2
2
A. 1,58kg.m
B. 0,18kg.m
C. 0,09kg.m
D. 0,36kg.m .
9. Một thanh mỏng AB có khối lượng M = 1kg, chiều dài l = 2m, hai ñầu thanh gắn hai chất ñiểm có khối
lượng bằng nhau là m = 100g. Momen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi qua trung ñiểm của thanh và
vuông góc với thanh có giá trị nào sau ñây?
A. 0,53kg.m2
B. 0,64kg.m2
C.
2
2
1,24kg.m
D. 0,88kg.m
10. Hai ròng rọc A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m, bán kính của ròng rọc A bằng 1/3 bán kính
ròng rọc B. Tỉ lệ IA/IB giữa momen quán tính của ròng rọc A và ròng rọc B bằng:
A. 4/3
B. 9
C. 1/12
D. 1/36
13
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ðỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
A.LÍ THUYẾT
Phương trình ñộng lực học của vật rắn quay quanh một trục cố ñịnh
M = I γ hay γ =
M
I
Trong ñó: + M = Fd (Nm)là mômen lực ñối với trục quay (d là tay ñòn của lực)
+ I = ∑ mi ri 2 (kgm2)là mômen quán tính của vật rắn ñối với trục quay
i
• I.Xác ñịnh gia tốc góc và các ñại lượng ñộng học khi biết các lực (hoặc mô men lực) tác dụng
lên vật, mô men quán tính và ngược lại.
Phương pháp giải
Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mô men các lực ñó ñối với trục quay.
Áp dụng phương trình ñộng lực học của vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh:
M=Iγ
Từ phương trình ñộng lực học xác ñịnh ñược γ (hoặc các ñại lượng liên quan), từ ñó xác ñịnh
ñược các ñại lượng ñộng học, học ñộng lực học.
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chú ý xem vật có chịu tác dụng của momen cản hay không, có
thể nhận thấy momen cản thông qua dữ liệu, khi ngừng lực tác dụng thì vật quay chậm dần ñều.
Nếu có momen cản thì phương trình ñộng lực học trở thành: M-Mc= I γ
Ví dụ 1: Một ñĩa tròn ñồng chất có bán kính R = 20cm, khối lượng m = 5 kg. ðĩa có trục
quay ñi qua tâm ñĩa và vuông góc với mặt ñĩa. ðĩa ñang ñứng yên thì chịu tác dụng của lực
không ñổi F = 2N tiếp tuyến với vành ñĩa. Bỏ qua ma sát. Tìm tốc ñộ góc của ñĩa sau 5s
chuyển ñộng?
Giải
Momen quán tính của ñĩa ñối với trục quay ñi qua tâm ñĩa và vuông góc với mặt ñĩa:
I=
1
1
mR2 = .5.2,02 = 0,1 kg.m2
2
2
Momen lực tác dụng lên ñĩa:
M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay ta ñược:
M = I.γ → γ =
M 0,4
2
=
= 4rad/s
I
0,1
Tốc ñộ góc của ñĩa sau 5s chuyển ñộng là:
ω = γt = 4.5 = 20 rad/s
14
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có ñường kính
60cm. Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay ñược vòng ñầu tiên. Momen
quán tính của bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia tốc góc của bánh xe ñược tính:
ϕ - ϕ0 = 1 γt2
2
→γ=
2(ϕ − ϕ 0 ) 2.2π
π
=
(rad / s 2 ) = (rad / s 2 )
2
4.4
4
t
Mô men lực tác dụng vào bánh xe:
M = F.R = 0,7.0.3 = 0,21Nm.
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay, ta tính ñược mô men quán tính của
bánh xe:
M = I.γ → I =
M
γ
=
0,21
2
kgm 2 ≈ 0,27kgm .
π /4
Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M1 không ñổi là 20Nm. Trong 10 s
ñầu, tốc ñộ góc của bánh xe tăng ñều từ 0 ñến 15 rad/s. Sau ñó mô men lực M1 ngừng tác
dụng, bánh xe quay chậm dần ñều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô men của lực ma sát có giá
trị không ñổi trong suốt thời gian chuyển ñộng bằng 0,25M1.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển ñộng nhanh dần ñều và khi chậm dần ñều.
b) Tính mô men quán tính của bánh xe ñối với trục.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:
- Giai ñoạn quay nhanh dần ñều:
γ1 =
ω1 − ω 0
∆t1
= 1,5rad / s 2
- Giai ñoạn quay chậm dần ñều:
γ1 =
ω 2 − ω1
∆t 2
= −0,5rad / s 2
b) Tổng mô men lực tác dụng vào bánh xe trong giai ñoạn quay nhanh dần ñều:
M = M1 + Mms = 20 – 5 = 15Nm
Mô men quán tính của bánh xe:
I=
M
γ1
= 10kgm2.
Ví dụ 4: Một ñĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg và bán kính 7,5cm. Mô men lực cần thiết
phải tác dụng lên ñĩa ñể tăng tốc từ nghỉ ñến 1500vòng/phút trong 5s là bao nhiêu? Nếu biết
15
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
rằng sau ñó ngừng tác dụng của mô men lực thì ñĩa quay chậm dần ñều cho ñến khi dừng lại
mất 45s.
Giải
Mô men quán tính của ñĩa là ñối với trục quay trùng với trục hình trụ là:
I=
1
mR2 = 1,55.10-3 (kgm2)
2
Gia tốc góc của ñĩa khi tăng tốc:
γ1 =
ω
t1
=
1500.2π / 60
(rad / s 2 ) = 10π (rad / s 2 )
5
Gia tốc góc của ñĩa khi quay chậm dần:
γ2 = -
ω
t2
=−
1500.2π / 60
10π
(rad / s 2 ) = −
(rad / s 2 )
45
9
Áp dụng phương trình ñộng lực học trong chuyển ñộng của ñĩa ta có:
+ Khi quay chậm dần ñều ñĩa chịu tác dụng của lực ma sát sinh ra mô men cản: Mms = Iγ2
+ Khi tăng tốc ñĩa chịu tác dụng của mô men lực làm quay và mô men cản của lực ma sát:
MF + Mms = I γ1
→ MF = I γ1 - I γ2 = I(γ1 - γ2 )
MF = 1,55.10-3(10π+
10π
) (Nm) = 0,054Nm.
9
• II: Xác ñịnh gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển ñộng của hệ vật có cả chuyển ñộng tịnh tiến
và chuyển ñộng quay.
Phương pháp giải
Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển ñộng quay và một số vật
chuyển ñộng tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực hiện theo các bước sau:
Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
Viết các phương trình ñộng lực học cho các vật:
+ ðối với vật chuyển ñộng quay: M = I γ
+ ðối với các vật chuyển ñộng thẳng:
r
r
∑ F = ma
Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng.
Áp dụng các phương trình ñược suy ra từ ñiều kiện của bài toán:
+ Dây không dãn: a1 = a2 =….= rγ
+ Dây không có khối lượng thì: T1 = T2 (ứng với ñoạn dây giữa hai vật sát nhau).
Dùng toán học ñể tìm ra kết quả bài toán.
b. Áp dụng công thức liên hệ giữa các phần chuyển ñộng tịnh tiến và chuyển ñộng quay:
Quãng ñường và toạ ñộ góc: x = R ϕ .
Tốc ñộ dài và tốc ñộ góc: v = Rω .
16
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
Gia tốc dài và gia tốc góc: a = Rγ
Trong ñó R là bán kinh góc quay
Bài 1: Một ròng rọc có khối lượng m = 400g phân bố ñều trên vành bán kính r = 10 cm.
1. Tính mô men quán tính của ròng rọc ñối với trục quay qua nó.
2. Quấn trên rãnh ròng rọc một dây quấn khối lượng không ñáng kể, không giãn, một ñầu gắn vào ròng rọc ñầu kia
gắn vào vật A khối lượng m1 = 0,6 kg. Buông ra cho vật A chuyển ñộng. tính gia tốc của vật A và lực căng của sợi
dây. Cho g = 10 m/s2.
Giải:
1. Tính I:
Mô men quán tính của ròng rọc: I = m.r2 = 0,4.0,12 = 4.10-3kg.m2.
+
2. Tìm a và T:
•o
Chọn chiều dương là chiều chuyển ñộng như hình vẽ 3.1
T
Áp dụng pt của ñịnh luật II niuton cho vật A
m1g – T = m1a
(1)
T
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho ròng rọc
M = T.r = I. γ
(2)
Hình 3.1 A
Mặt khác gia tốc góc của ròng rọc là
a
r
(3)
γ=
P
r
Thay (3) vào (2) ta ñược
T = ma
(4)
Giải hệ phương trình (1)(4) ta tính ñược sức căng cúa sơị dây và gia tốc của vật A
m1
a=
g = 6m / s 2 . T = 2,4N.
m1 + m
Nhận xét: ðối với bài toán dạng này nếu cho biết khối lượng của ròng rọc, vật A và gia tốc trọng trường thì lực
m1
g . Và T = ma
căng của sợi dây và gia tốc a xác ñịnh theo công thức: a =
m1 + m
Bài 2: Cho hệ cơ như hình 3.2. Ròng rọc có khối lượng m1 = 1kg phân bố ñều trên vành có bán kính R = 20 cm.
Dây nhẹ không dãn, một ñầu gắn vào ròng rọc, ñầu kia gắn vào vật nặng có khối lượng m = 1 kg. Hệ bắt ñầu
chuyển ñộng với vận tốc bằng 0. Lấy g = 10m/s2.
1. Tìm gia tốc của vật nặng A và sức căng của sợi dây.
2. Tìm vận tốc góc của ròng rọc khi nó ñi ñược 0,4m.
3. Trường hợp có mô men cản tác dụng vào ròng rọc thì
Mc
vật nặng ñi xuống 1m và ñạt gia tốc 0,5m/s2. Tính mô men lực cản.
Giải:
1. Tìm a và T:
Áp dung kết quả bài trên ta suy ra:
m1
a=
T = ma = 5 N.
g = 5m / s 2 . Và
m1 + m
2. Tìm v:
Áp dụng công th ức :
•o
Hình 3.2
A
17
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
v 2 − v02 = 2a.s → v = 2a.s = 2m / s .
3. Tìm mô men cản Mc:
Khi có mô men cản vật sẽ chuyển ñộng chậm hơn với gia tốc a,, sức căng sợi dây lúc này là T, và gia tốc góc γ , .
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho vật rắn A và ròng rọc:
mg − T , = ma ,
(1)
M = T , .R + M c = Iγ , = m1 R 2
a,
= Rm1 a , (2)
R
(Mô men quán tính I = m1 R 2 )
Giải hệ (1)và (2) ta suy ra:
M c = R (m + m1 )a , − mg
(3).
,
Tính a :
v2
a , = , = 0,125m / s 2
(4)
2s
Thay (4) vào (3 ) ta suy ra :
M c = −1,95 N .m .
Nhận xét:
Thông thường bài toán ta xét thì không có mô men cản tuy nhiên ñối với bài toán này lại xuất hiện mô men cản vì
vậy gia tốc khi chưa có mô men cản lớn hơn gia tóc khi không có mô men cản.
Mô men cản có tác dụng cản trở chuyển ñộng quay nên ta có thể xem nó như lực ma sát trong chuyển ñộng tịnh
tiến.
1
Nếu ròng rọc là một ñĩa tròn phân bố ñều lúc này bằng phép biến ñổi tương tự và chú ý I = mR 2 ta sẽ suy ra
2
ñược các kết quả bài toán như sau:
2m1
1
•Xét trường hợp không có mô men cản : a =
g . Và T = ma.
m1 + 2m
2
[
]
m
•Xét trường hợp có mô men cản: M c = (m + 1 )a , − mg
2
Bài 3: Một ròng rọc là một ñĩa tròn ñồng chất có khối lượng m = 200g, bán kính r = 10 cm. Có thể quay quanh trục
nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh có khối lượng không ñáng kể, không dãn, vắt qua ròng rọc, hai ñầu dây gắn
vào hai quả cân A, B khối lượng m1 = 500 g và m2 = 400g (Hình 3.4). Lúc ñầu hệ ñứng yên, buông ra cho hai quả
cầu chuyển ñộng lúc t = 0. Lấy g = 10 m/s2.
1. Dự ñoán xem vật chuyển ñộng theo chiều nào.
2. Tính gia tốc của các quả cân và gia tốc góc của ròng rọc.
3. Tính lực căng của dây treo các vật.
•o
•o
r
T1
r
T2
r
T1
m1
m2
Hình 3.3
m1
r
T2
m2
r
P1
Hình 3.4
18
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
Giải:
1. Dự ñoán chiều chuyển ñộng của hệ.
Nhận thấy P1 > P2 nên hệ sẽ chuyển ñộng về phía của vật m1.
2.Tìm a và γ .
Chọn chiều dương là chiều chuyển ñộng của hệ như hình vẽ.
Áp dụng phương trình ñịnh luật II Niniu tơn cho hai vật m1 và m2
(1).
m1 g − T1 = m1 a
(2).
T2 − m2 g = m2 a
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho chuyển ñộng quay của vật rắn
(3).
M = (T1 − T2 )r = Iγ
Với gia tốc góc và mô men quán tính xác ñịnh theo công thức:
a
1
(4).
γ = ,
I = mr 2
r
2
Thay (4) vào (3) ta suy ra
ma
(5).
T1 − T2 =
2
Lấy (1) + (2) ta suy ra
T2 − T1 + m1 g − m2 g = (m1 + m2 )a (6).
(m1 − m2 )
Giải hệ phương trình (5) và (6) ta ñược Gia tốc: a =
g = 1m / s 2
m
m1 + m2 +
2
a
Gia tốc góc: γ = = 10rad / s.
r
3. Tìm T1 và T2.
Thay a vào các phương trình (1) và (2) ta suy ra
T1 = m1 ( g − a ) = 4,5 N .
T2 = m2 ( g + a ) = 4,4 N .
Bài 4: Ròng rọc có khối lượng m = 0,1 kg phân bố ñều trên vành tròn bán kính r = 5 cm quanh trục của nó. một
dây mảnh có kích thước không ñáng kể, không dãn vắt qua ròng rọc ở hai ñầu gắn vào vật nặng A, B khối lượng
m1 = 300g và m2 = 100g. Hệ thống ñược thả cho chuyển ñộng với vận tốc bằng không (Hình 3.5 ). Lấy g = 10
m/s2.
1. Tính gia tốc của vật A,B và gia tốc góc của ròng rọc.
2. Tính tốc ñộ góc của ròng rọc khi vật A ñi ñược 0,5 m.
3. Tính các lực căng hai bên ròng rọc.
Giải:
1. Tìm a và γ .
•o
Áp dụng kết quả bài trên và ñể ý I = mr2 ta suy ra
(m1 − m2 )
a
a=
g = 4m / s 2 ; . γ = = 80rad / s 2
.
m1 + m2 + m
r
2.Tìm ω .
m1
Tốc ñộ dài của ròng rọc là: v = 2a.s = 2m / s
v
Tốc ñộ góc: ω = = 40rad / s
Hình 3.5
m2
r
3.Tìm T1 và T2.
T1 = m1 ( g − a ) = 1,4 N .
19
http://tailieuluyenthi.net – Tài Liệu luyện Thi ðại Học
T2 = m2 ( g + a) = 1,8 N .
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giống như bài toán trên nhưng chỉ khác nhau ở
chỗ là ñối với ròng rọc là ñĩa tròn thì mô men quán tính là I = mr2/2 còn ñối với
ròng rọc là vành tròn thì mô men quán tính là I = mr2. Vì vậy kết quả của biểu
thức tính gia tốc tổng quát chỉ khác nhau “một chút” thay m/2 bằng m trong
biểu thức của gia tốc ở mẫu mà thôi!
Bài 5: Một dây không dãn khối lượng không ñáng kể vắt qua ròng rọc có
bán kính r = 10 cm, có thể quay quanh trục nằm ngang qua nó. Hai ñầu gắn
vào hai vật A, B có khối lượng m1 = 0,22kg và m2 = 0,225kg. Lúc ñầu hệ
ñứng yên (Hình 3.6). Thả m2 ñể m2 ñi xuống 1,8 m trong 6 giây. Lấy g = 10m/s2.
1. Tính gia tốc của vật m1, m2 và gia tốc góc của ròng rọc.
2. Tính lực căng hai bên của ròng rọc.
3. Tính mô men quán tính của ròng rọc.
Giải:
1. Tìm gia tốc.
Tìm a:
1
2 s 2.1,8
Áp dụng công thức: s = v0 + at 2 ta suy ra: a = 2 = 2 = 0,1m / s 2
2
t
6
Tìm γ :
a 0,1
Gia tốc góc: γ = =
= 1rad / s 2
r 0,1
2. Tính T1 và T2.
Chọn chiều dương là chiều chuyển ñộng
Áp dụng phương trình ñịnh luật II niu tơn cho vật m1 và m2 ta ñược
T1 = m1 ( g + a) = 2, 222 N .
T2 = m2 ( g − a ) = 2, 275 N .
3. Tìm I.
Áp dụng phương trình ñộng lực học
(T − T2 )
M = (T1 − T2 )r = Iγ suy ra I = 1
r = 5,3.10 −3 kg .m 2
•o
m1
m2
Hình 3.6
γ
Bài 6: Hai vật có khối lượng m1 = 0,5 kg và m2 = 1,5 kg ñược nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không dãn vắt
qua ròng rọc có trục qay nằm ngang cố ñịnh gắn vào mép bàn (Hình 3.7). Ròng rọc có mô men quán tính 0.03
kg.m2 và bán kính 10 cm. Coi rằng dây không trượt trên ròng rọc khi quay. bỏ qua ma sát.
1. Xác ñịnh gia tốc của m1 và m2.
2. Tính ñộ dịch chuyển của m2 trên mặt bàn sau 0,4s kể từ lúc bắt ñầu chuyển ñộng.
Giải:
1. Tìm a:
Chọn chiều dương 0x là chiều chuyển ñộng.
Áp dụng phương phương trình ñịnh luật II Niu tơn cho 2 vật
(1).
m1 g − T1 = m1 a
T2 = m2g
(2).
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho chuyển ñộng của ròng rọc
a
a
M = (T1 – T2)R = I γ = I
(3). (Với γ = )
R
R
m2
Hình 3.7
m1
+ x
20
- Xem thêm -
.PDF 
53 
347 
84 
