TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************
HOÀNG THỊ HẢI YẾN
CÁC KÝ HIỆU LEGENDRE,
JACOBI VÀ MỘT VÀI CÁCH CHỨNG
MINH CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH
BẬC HAI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
HÀ NỘI - 2015
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************
HOÀNG THỊ HẢI YẾN
CÁC KÝ HIỆU LEGENDRE,
JACOBI VÀ MỘT VÀI CÁCH CHỨNG
MINH CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH
BẬC HAI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐỖ VĂN KIÊN
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội 2 và sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn ThS. Đỗ Văn Kiên tôi đã
thực hiện đề tài “Kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và một vài cách
chứng minh của luật thuận nghịch bậc hai”.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn
giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo
hướng dẫn ThS. Đỗ Văn Kiên đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực
hiện khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn
chỉnh nhất. Song, do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học
cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô và các
bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Hoàng Thị Hải Yến
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp là nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi
nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn
ThS. Đỗ Văn Kiên, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan kết quả của mình không trùng với bất cứ kết quả
của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Hoàng Thị Hải Yến
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu................................................................... 1
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ ............................................... 2
1.1. Đồng dư thức .............................................................................. 2
1.2. Các tính chất của quan hệ đồng dư ................................................ 5
1.3. Phương trình đồng dư một ẩn bậc cao ........................................... 9
CHƢƠNG 2: LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI ........................... 18
2.1. Thặng dư bậc hai .......................................................................... 18
2.2. Kí hiệu Legendre và kí hiệu Jacobi.............................................. 21
2.3. Luật thuận nghịch bậc hai ............................................................ 30
2.4. Một số cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai..................... 36
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬPVẬN DỤNG LUẬT THUẬN
NGHỊCH BẬC HAI .............................................................................. 51
3.1. Sử dụng luật thuận nghịch tính kí hiệu Legendre ....................... 51
3.2. Sử dụng luật thuận nghịch bậc hai giải bài toán đồng dư ............ 53
KẾT LUẬN ............................................................................................ 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 56
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Có thể nói kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi, luật thuận nghịch bậc
hai là những mảng kiến thức hay và khó liên quan đến kiến thức đồng
dư, đồng thời có những ứng dụng trong số học.Ở nước ta theo tôi biết,
đến năm 2008 mới có một tài liệuTiếng Việt chính thức đề cập đến kí
hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi, luật thuận nghịch bậc hai. Và tôi cũng là
một người đam mê tới ba mảng kiến thức này. Vì những lý do trên tôi
chọn đề tài “Kí hiệu Jacobi, kí hiệu Legendre và một vài cách chứng
minh luật thuận nghịch bậc hai”.
2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận gồm ba chương: chương 1, chương 2 của khóa luận tôi sẽ
trình bày về lý thuyết đồng dư, kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và một
số cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai, còn chương 3 tôi đưa ra
một số bài tập áp dụng luật thuận nghịch bậc hai.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và luật
thuận nghịch bậc hai.
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu về kí hiệu Legendre, kí hiệu
Jacobi dựa trên lý thuyết đồng dư; luật thuận nghịch bậc hai, một vài
cách chứng minh luận thuận nghịch bậc hai và bài tập áp dụng.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong khóa luận này, tôi thu thập và đọc các tài liệu tìm được từ
nhiều nguồn khác nhau để phân tích, nghiên cứu về kí hiệu Legendre, kí
hiệu Jacobi và luật thuận nghịch bậc hai cùng một số cách chứng minh
sau đó ghi lại một cách hệ thống theo cách tôi hiểu.
1
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ
Trong chương này tôi xin trình bày lại một số kiến thức về đồng dư
thức: khái niệm và tính chất của đồng dư thức, phương trình đồng dư
một ẩn bậc cao.
1.1. Đồng dƣ thức
Định nghĩa 1.1.1. Cho
nguyên. Ta nói
chia
và
đồng dư với nhau theo môđun
và
cho
là một số nguyên dương,
và
là hai số
nếu trong phép
ta được cùng một số dư, nghĩa là có các số nguyên
với
sao cho
à
đồng dư với nhau theo môđun
Khi
và
Nếu
không đồng dư với
(
, ta viết
theo môđun
)
thì ta viết
(
)
Định lý 1.1.2. Các kết quả sau là tương đương
i.
(
)
ii.
chia hết cho
(kí hiệu là
(
iii. Tồn tại số nguyên sao cho
))
.
Chứng minh.
i. ii. Ta có
(
với
)
(
Suy ra
nên
ii. iii. Giả sử
(
(
). Do
).
) khi ấy tồn tại số
sao cho
tức là
iii. i. Giả sử có số
trong phép chia
cho
. Gọi là số dư
sao cho
, nghĩa là
với
Khi ấy
hay
2
(
,
)
, trong đó
. Chứng tỏ số dư trong phép chia
,
(
là , tức là
cho
cũng
).
Định nghĩa 1.1.3. Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư môđun
được gọi là các lớp thặng dư môđun
.
Mệnh đề 1.1.4. Số các lớp thặng dư môđun
Chứng minh. Mỗi lớp thặng dư môđun
số dư 0,1, ...,
đúng bằng
chứa một và chỉ một trong các
thu được khi chia các số nguyên cho
lớp thặng dư môđun
bằng
.
. Vậy số các
.
Kí hiệu lớp thặng dư chứa số nguyên
*
̅
là ̅. Như vậy
+.
Mỗi số của một lớp thặng dư được gọi là một thặng dư. Số
̅ với
được gọi là thặng dư không âm bé nhất của lớp ̅. Như vậy
*̅ ̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
} với mọi số
{̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅+
nguyên .
Ví dụ 1.1.5.
*̅ ̅
̅+
̅̅̅̅}. Các thặng dư không âm
{̅ ̅
bé nhất của các lớp đồng dư môđun 8 là *
+
Định nghĩa 1.1.6. Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun
ta lấy ra một đại
diện thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ
môđun
.
Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun
ta lấy ra một đại diện không âm
bé nhất thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ
không âm bé nhất môđun
.
Nhận xét 1.1.7. Từ định nghĩa của một hệ thặng dư đầy đủ ta suy ra rằng
một hệ thặng dư đầy đủ môđun
không đồng dư môđun
là một hệ gồm
.
3
số nguyên, đôi một
Nếu *
+ là một hệ thặng dư đầy đủ môđun
*
thì
+ cũng là một hệ thặng dư đầy đủ môđun
với mọi
.
là *
Hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun
+.
Còn hệ thặng dư đầy đủ với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất môđun
được xác
định như sau
{
khi
}
lẻ và
2
3 hoặc 2
khi
3
chẵn.
Ví dụ 1.1.8. Hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun 9 là
*
+
Còn hệ thặng dư đầy đủ với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất môđun 9 là
*
+
Định lý 1.1.9. Cho
nguyên, với
là một số nguyên dương và
nguyên tố với
. Khi đó nếu
một hệ thặng dư đầy đủ môđun
bộ một hệ thặng dư đầy đủ nào đó môđun
(
do (
)
chứng tỏ khi
)
lấy giá trị trong toàn bộ
cũng lấy giá trị trong toàn
thì
Chứng minh. Ta có
là những số
.
(
)khi và chỉ khi
(
)
(
nên điều đó tương đương với
). Điều này
chạy qua các lớp tương đương khác nhau thì
cũng chạy qua các lớp tương đương khác nhau. Vậy nếu (
chạy khắp một hệ thặng dư đầy đủ môđun
một hệ thặng dư đầy đủ môđun
thì
)
và
cũng chạy khắp
.
4
Nhận xét 1.1.10. Từ chứng minh trên ta suy ra hệ quả: nếu (
)
thì
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ khi và chỉ khi ̅
̅ môđun
.
1.2. Các tính chất của quan hệ đồng dƣ
Định lý 1.2.1. Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập
tức là
(
i. Với mọi
)
(
ii. Với mọi
)khi và chỉ khi
(
iii. Với mọi
(
suy ra
)
(
(
)
)
)
Chứng minh.
i. Vì
chia hết cho
ii. Từ
(
) ta có
(
(
) Khi đó
Vậy
(
(
)
((
(
(
)
).
).Do đó
)
(
iii. Ta có
(
nên
)
) nên
(
)) hay
(
(
).
).
Định lý 1.2.2. Cho
là một số nguyên dương và
số nguyên, nếu
(
) và
(
i.
ii.
) và
(
(
là những
) thì ta có
)
).
Chứng minh.
i. Từ
sao cho
(
),
(
. Do đó
,
(
Vậy
) suy ra tồn tại
(
)
5
) với
.
(
ii. Từ
),
sao cho
(
. Do đó
,
(
Vậy
) suy ra tồn tại
),
chia hết cho
.
(
hay
).
Hệ quả 1.2.3.
(
i.
) khi và chỉ khi
(
Thật vậy, ta có
) và
(
Vậy
(
Vậy
) và
)(
(
(
)(
)
).
)
(
iii.
).
) khi và chỉ khi
(
Thật vậy, ta có
(
)
)
(
ii.
(
) khi và chỉ khi
(
) với mọi
.
(
Thật vậy,
),
(
Vậy
)
(
(
à
(
Thật vậy, ta có
) và
)
(
Thật vậy, ta có
(
),
(
)
v.
Suy ra
).
).
(
iv.
(
(
).
) vậy
(
)
(
)
) với mọi
(
), ... ,
vi. Giả sử ( ) là một đa thức với hệ số nguyên và
(
( )
khi ấy
( )(
(
)
). Đặc biệt, nếu ( )
)
(
) với mọi
Thật vậy, giả sử ( )
(
) suy ra
(
) thì
.
Từ giả thiết
(
6
),
1, 2, ..., . Do đó
Nghĩa là ( )
( )(
)(
)
( )
Nhưng ( )
)
(
) với mọi
)
(
Đặc biệt, vì
(
(
nên
(
)(
)
) nên ta có (
)
.
Định lý 1.2.4. Cho
là một số nguyên dương và
là những số
nguyên
i. Cho là số nguyên,
(
ii. Với
(
)và (
(
).
),
, (
(
iii.
),
,
)
)
.
/
(
(
) hay
)
Chứng minh.
(
i. Ta có
Nhưng (
)
)
nên ta có
ii. Từ giả thiết, (
(
)
(
), ta đặt
).
).
,
(
. Mặt khác
(
,với
)
. Ta có
.
(
iii. Từ
ra
(
)
(
/
(
)
mà
(
) suy
).
Định lý 1.2.5. Cho
) hay
là một số nguyên dương và
nguyên, ta có
7
là những số
(
i.
), = 1, ...,
(
) với
).
BCNN(
(
ii.
)
(
Ta thấy với hai phần tử
(
)
(
)
và của lớp ̅ thì
)
(
(
)
)
.
Do đó ta có thể định nghĩa
Định nghĩa 1.2.6. ( ̅
(̅
)
môđun
) được cho bằng (
) với một
thì lớp ̅ được gọi là một lớp thặng dư nguyên tố với
.
Ví dụ 1.2.7. Ta có thể tìm số dư trong phép chia
(
Thật vậy vì
,
chia cho .
) nên
Ví dụ 1.2.8. Giả sử (
,
̅. Khi
√ )
√
nguyên. Khi đó
(
√
dư , còn
chia cho
).
√ . Khi đó
,
cùng chia hết
cho . Thật vậy, ta có
√
√
(
√
√ )(
√
√ )
Vậy
{
Từ
hay ,
(
(
(
)
)
)
suy ra điều cần chứng minh.
,
Định nghĩa 1.2.9. Nếu từ mỗi lớp thặng dư nguyên tố với môđun
ta
lấy ra một đại diện thì tập các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư
thu gọn môđun
.
Nhận xét 1.2.10. Thông thường, ta chọn hệ thặng dư thu gọn môđun
từ một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất *
rằng số các số trong tập *
+ nguyên tố với
số các phần tử của một hệ thu gọn môđun
8
là ( ).
+. Vì
là ( )nên
là *
Ví dụ 1.2.11. Hệ thặng dư thu gọn môđun
(
)
+ và
.
Định lý 1.2.12. Cho một số nguyên dương
. Khi đó nếu
nguyên tố với
dư thu gọn môđun
Chứng minh. Vì (
hết cho
.
)
và (
lấy giá trị trong toàn bộ một hệ thặng
cũng lấy giá trị trong toàn bộ hệ thặng dư
thì
thu gọn nào đó môđun
nên
)
chia hết cho
khi và chỉ khi (
khắp một hệ thặng dư thu gọn môđun
thặng dư thu gọn môđun
Định lý 1.2.13. Nếu
môđun
và một số nguyên
và
khi và chỉ khi
)
. Nên nếu
chạy
cũng chạy khắp một hệ
thì
, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
là các số nguyên dương thì mỗi lớp thặng dư
là hợp của đúng
lớp thặng dư môđun
.
là một lớp thặng dư môđun
Chứng minh. Giả sử
chia
Ta kiểm tra rằng các lớp thặng dư môđun
̅
với
.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ với
sau đây:
đều là tập con của . Điều này chứng tỏ
⋃
.
Ngược lại, lấy
. Khi đó có
với
. Ta có
⋃
. Mặt khác
để
hợp của đúng
,
và
. Do vậy
thì
, tức giao của
lớp thặng dư
⋃
. Vậy
(
Điều này chứng tỏ
. Biểu diễn
).
và
bằng rỗng. Vậy
là
môđun
1.3. Phƣơng trình đồng dƣ một ẩn bậc cao
Định nghĩa 1.3.1. Cho
là số nguyên dương,
là các số
nguyên. Phương trình đồng dư dạng
(
( ){
(
9
)
)
Được gọi là phương trình đồng dư bậc
.
( )
Định nghĩa 1.3.2. Cho phương trình đồng dư
(
). Số
được gọi là một nghiệm đúng của phương trình nếu
( )
(
).
Định nghĩa 1.3.3. Nếu phương trình
( )
(
có nghiệm đúng thì nó cũng nhận tất cả các
(
thuộc lớp
(
nghiệm. Khi đó ta nói lớp
là
),
)
) là nghiệm của phương
trình.
(
Chứng minh. Ta có
( )
( )
( )
). Vì ( )
(
) (
(
)
) nên
(
).
Chú ý rằng trong phương trình ( ) ta có thể đưa tất cả các hệ số
về các số không âm, nhỏ hơn
. Do
chỉ có
lớp thặng
dư nên số nghiệm của phương trình ( ) là số các phần tử trong một hệ
thặng dư đầy đủ theo môđun
hay trong hệ *
+ thỏa mãn
là số đủ nhỏ thì ta chỉ cần thử lần lượt các phần tử
nó. Chú ý rằng, nếu
thuộc *
+ để tìm nghiệm; còn đối với
là số quá lớn thì số
phép thử rất nhiều. Chẳng hạn, khi giải phương trình đồng dư
(
)(
)
(
), ta chỉ cần thử tất cả
đều thỏa mãn phương trình. Vậy mọi
đều là nghiệm đúng.
là một số nguyên. Xét phương trình đồng dư
Cho
( ) ( )
với
Tất cả
(
),
(
)
.
Việc tìm tất cả các giá trị ̅ thỏa mãn ( ) được gọi là giải phương trình
đồng dư.
10
Định lý 1.3.4. Giả sử
có phân tích chính tắc
thành
các thừa số nguyên tố. Khi đó ( ) tương đương với hệ phương trình
đồng dư sau
( )
(
)
( )
(
)
{ ( )
(
(
)
) là một nghiệm của ( ). Khi đó
( )
(
( )
Chứng minh. Giả sử
nên ta cũng có
Vì m là bội của các
Như vậy
).
( )
(
)
( )
(
)
(
)
{ ( )
) là một nghiệm của ( ).
(
(
Ngược lại, giả sử
) là một nghiệm của ( ). Khi đó
( )
(
Do ( ) chia hết cho các
)
là nguyên tố sánh đôi nên
và các
( ) chia hết cho tích
là ( ) có nghiệm
hay ( )
(
(
), tức
). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.3.5. Như vậy việc giải phương trình ( ) được thay bằng giải
hệ ( ). Nếu mỗi phương trình ( )
chẳng hạn
(
{
) với mỗi
(
) ta tìm được nghiệm,
thì ta sẽ giải hệ sau đây
(
)
(
) để tìm nghiệm của ( ).
(
)
11
Rõ ràng, để giải phương trình ( ) ta cần phải biết giải các phương
trình dạng
( )
(
) với
triển Taylor của hàm đa thức bậc
( )
( )
( )
( )
Dễ dàng chỉ ra
( )
nguyên tố. Theo công thức khai
tại
(
)
(
)
khi
ta có
( )
(
)
là một số nguyên. Thay
ta
có
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
Định lý 1.3.6. Cho hai phương trình
với
( )
( )
(
( )
( )
(
)
)
nguyên. Khi đó mỗi nghiệm đúng
là một số nguyên tố và
của ( ) cũng là một nghiệm đúng của ( ). Ngược lại, giả sử
(
) là một nghiệm của ( ) và kí hiệu
các lớp môđun
i. Nếu
của ̅̅̅(
là tập hợp tất cả
) khi đó ta có các khẳng định sau
( ) không chia hết cho
thì trong
sẽ có đúng một lớp là
nghiệm của ( )
ii. Nếu
lớp của
( ) chia hết cho
và ( ) chia hết cho
thì tất cả các
đều là nghiệm của ( ).
iii. Nếu
( ) chia hết cho
và ( ) không chia hết cho
) đều không là nghiệm đúng của
cả các phần tử của lớp ̅̅̅(
( ), do đó tất cả các lớp
thì tất
đều không là nghiệm của ( ).
12
Chứng minh.
Hiển nhiên mỗi nghiệm của ( ) cũng là nghiệm của ( ). Giả sử
(
) là một nghiệm của ( ). Khi đó
thay vào phương trình ( )
(
,
) ta có
(
)
(
)
Theo công thức khai triển Taylor cho hàm đa thức ở vế trái, ta có
( )
(
)
( )
(
)
ta nhận được
Chia hai vế cho
( )
Khi đó nếu
( )
( )
( ) không chia hết cho
thì ( ) có nghiệm duy nhất
(
)
. Do đó
Hay
. Vì vậy
(
)
Là nghiệm duy nhất của ( ) trong .
( ) chia hết cho
Nếu
và ( ) chia hết cho
với mọi . Do đó tất cả các phần tử của
( ) chia hết cho
Nếu
thì ( ) có nghiệm
đều là nghiệm của ( ).
và ( ) không chia hết cho
( ) vô nghiệm do đó tất cả các phần tử của lớp ̅̅̅(
thì rõ ràng
) đều
không là nghiệm đúng của ( ).
Định lý 1.3.7. Cho hai phương trình
với
( )
( )
(
( )
( )
(
)
)
nguyên. Khi đó mỗi nghiệm đúng
là một số nguyên tố và
của ( ) cũng là một nghiệm đúng của ( ). Ngược lại giả sử
(
môđun
)là một nghiệm của ( ) và kí hiệu
của ̅̅̅(
là tập tất cả các lớp
). Khi đó ta có các khẳng định sau
13
( ) không chia hết cho
i. Nếu
sẽ có đúng một lớp là
thì trong
nghiệm của ( )
( ) chia hết cho
ii. Nếu
và ( ) chia hết cho
thì tất cả các
lớp của đều là nghiệm của ( ).
( ) chia hết cho
iii. Nếu
và ( ) không chia hết cho
thì tất
) đều không là nghiệm đúng của ( ), do
cả các phần tử của lớp̅̅̅̅(
đó tất cả các lớp đều không là nghiệm của ( ).
Chứng minh. Bằng quy nạp một cách hình thức và định ý 1.3.6.i) ta nhận
được i).
( ) chia hết cho
Trong trường hợp
( )
phương trình
và ( ) chia hết cho
) làm tập
) liên tiếp nhận ̅̅̅(
(
nghiệm đúng với
thì
Do đó ta thu được ii).
Bây giờ ta chứng minh iii) theo định lý 1.3.6.iii) nên tất cả các phần
) đều không là nghiệm đúng của phương trình
tử của lớp ̅̅̅(
( )
(
). Do đó tất cả các phần tử của lớp ̅̅̅(
) đều
không là nghiệm đúng của ( ). Ta có iii) Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 1.3.8. Giải phương trình đồng dư
( )
(
(
Giải: Trước tiên xét
(
thặng dư đầy đủ ta có
phương trình. Ta có
) và
( )
(
Xét nghiệm
)
). Thử trên một hệ
(
) là nghiệm của
.
) ta có
( )
không chia hết cho . Đặt
ta có
( )
Chia cho
Vậy
( )
ta có
(
(
) hay
(
).
).
(
và
14
)
.
vào phương trình đồng dư
Thay
( )
(
và khai triển ta có ( )
( )
(
Vậy
Cuối cùng ta được
).
) hay
,
(
(
). Chia hai vế cho
(
Xét nghiệm
)
ta được
(
).
và
với
.
), hoàn toàn tương tự ta có
,
.
Tóm lại, phương trình đồng dư
( )
(
(
có hai nghiệm
) và
)
(
).
Ví dụ 1.3.9. Giải phương trình đồng dư
( )
(
(
Giải: Xét
(
ta được
). Thử trên một hệ thặng dư đầy đủ
) là nghiệm của phương trình
( )
Ta có
Lớp
( )
(
và
(
)
( )
) chia ra thành
(
)
chia hết cho
lớp theo môđun
),
(
),
là
(
).
Song cả ba lớp này không có lớp nào là nghiệm của phương trình đồng dư
( )
vì khi giải ( )
có
(
( )
(
)
) hay
(
không chia hết cho . Tóm lại phương trình đồng dư
( )
(
) vô nghiệm.
Ví dụ 1.3.10. Giải phương trình đồng dư
(
15
)
)
- Xem thêm -